Chapitre VI. Arbres (définition, parcours, représentation)

Chapitre VI.1. Arbres généraux

Introduction

• Les structures arborescentes jouent un rôle important dans l’organisation de données

• - indexes des Bases de Données sont organisés sous forme des arbres afin de segmenter la mémoire et de réduire le temps d’accès aux données.

• -dans ce chapitre nous étudions l’objet « arbre » et proposons différentes stratégies de son exploration

Arbres(1)

• Un arbre peut être défini comme un ensemble des points, appelé des nœuds et un ensemble de lignes appelées des arcs, ou un arc relie deux nœuds distincts.

• Propriétés : • (1) Il existe un nœud particulier appelé la racine• (2) Tout nœud c autre que racine est relié par un arc à un autre

nœud p appelé le père de c• (3) Un arbre est qualifié de connexe car si nous commençons à

n’importe quel nœud n autre que la racine et nous nous déplaçons vers le père de n, puis vers le père du père de n et ainsi de suite, nous atteindrons certainement la racine de l’arbre.

Arbres Exemple

Huges Capet 939-996

Adélaïde d’Aquitaine

Robert II 970-1031

Constance de Provence

Henri Ier 1008-1060

Anne de Kiev « Jaroslavna »

Huges le Grand Philippe Ier 1053-1108

Berthe de Hollande

Robert Sans terre

La définition récursive des arbres

• La base : Un nœud seul n est un arbre. On dit que n est la racine de cet arbre à un nœud

• La récurrence : soit r un nouveau nœud et soient T1, T2, …,Tk des arbres ayant respectivement pour racines c1,c2,…,ck. Nous demandons à ce qu’aucun nœud n’apparaisse plus d’une fois dans les Ti; r étant un nouveau nœud , il ne peut pas apparaître dans un de ces arbres. Nous formons un nouvel arbre T à partir de r et de T1, T2,…,Tk :

• 1. Faire de r la racine de l’arbre T• 2. Ajouter un arc entre r et chacun des c1,c2,…ck, de

manière que chacun de ces nœuds soit un fils de la racine r

Chemins, ancêtres et descendants(1)

• Supposons que m1,m2,…,mk soit une séquence de nœuds telle que m1=père(m2), m2=père(m3)…mk-1=père (mk)

• Alors m1, m2,…,mk est appelée « chemin depuis m1 jusqu’à mk » dans l’arbre

• L=k-1 – longueur du chemin

• Illustration graphique

Chemins, ancêtres et descendants(2)

• m1 est l’ancêtre de mk • mk est descendant de m1• Si L(m1, .., mk)>=1 alors m1 est ancêtre propre

de mk et mk est descendant propre de m1• Sous-arbre : dans un arbre T un nœud n

accompagné de tous ses descendants propres (si il en possède) est appelé un sous-arbre de T.

• Si père(ni)=père(nj), ni, nj sont appelé frères.• Feuille : un nœud d’un arbre qui n’a pas de fils• Nœuds intérieurs : ceux qui ont au moins un

fils

Mesures sur les arbres(1)

• Le nombre de fils d’un nœud n dans un arbre est appelé le degré de n.

• L’existence de la racine donne une orientation aux arbres

d(n)=4

Mesures sur les arbres (2)

• La profondeur d’un nœud n p(n) : la longueur du chemin depuis la racine jusqu’à n

• La hauteur d’un nœud n h(n) : la longueur du plus long chemin depuis n jusqu’à une feuille

r

h(n)=2, p(n)=2n

Mesures sur les arbres (3)

• p(r)=0• p(n)=p(q) +1 si q=père(n)• La hauteur ou la profondeur d’un arbre

h(T) = max{h(n): n nœud de T}• La longueur de cheminement

• La longueur du cheminement externe

• La longueur du cheminement interne

TNnnhTLC ,)(

ffilsTNffhTLCE ,)(

nfilsTNnnhTLCE ,)(

Arbres comme structures de données

• Arbres avec des nœuds étiquetés par des entiers 1,…,N

• Codage par tableau « père » :taille N

1

2

3

4

56

7

8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 9 1 5 1 1 5 4 4

Codage par tableau « père »

• 1. Est-feuille (n)?• 2. p(n)?• 3. h(T)?

Représentation des arbres avec des tableaux de pointeurs

info

info

info

info

p1 p2 pbf

pbf : facteur d’arborescence = le nombre maximal de fils que peut avoir un noeud

Représentation des arbres avec des tableaux de pointeurs(2)

• Type PtrNoeud = ^NoeudEnregistrement Noeud

info : TypeInfo enfants : Tableau[1,…bf] de PtrNoeudFin Enregistrement;

Déclaration d’un arbre : MonA : PtrNoeud { pointeur vers la racine}Le temps d’accès au i-ème fils de n’importe quel nœud

en O(1). L’inconvénient : gaspillage de l’espace mémoire.

Représentation des arbres avec des tableaux de pointeurs(3)

• Fils-aîné-frère-droit:

info info info

info

pour un nœud autre que la racine

Représentation des arbres avec des tableaux de pointeurs(4)

• Type PtrNoeud = ^NoeudEnregistrement Noeud

info : TypeInfo

fils_ainé : PtrNoeud

frere_droit : PtrNoeud

Fin Enregistrement;

Parcours des arbres (3)

• Un arbre peut être vu comme

• T1,…,Tk est un ensemble des arbres disjoints – « forêt »

• Du fait qu’il y a toujours un nœud (r) un arbre n’est jamais vide

TkTTrT ,....,2,1,

Parcours des arbres(1) • Procédure Parcours(A: PtrNoeud)• Var i,nb : entiers• Début

nb:=NbrFils(A)Si feuille(A) alors TraitementTerminal

sinonTraitementPref {traitement avant de voir les fils}

Pour i de 1 à nb faire Parcours(ième(Liste-Fils),i) Traitement(i) {*} FinPourTraitementSuf{traitement après avoir vu tous les fils}FSiFinParcours

Parcours des arbres(2)

• 1. L’ordre Prefixe : chaque nœud n’est pris en compte que lors du premier passage: TraitementPref et TraitementTerminal sont actifs, les autres ne font rien.

• 2. L’ordre suffixe : chaque nœud n’est pris en compte que lors du dernier passage : TraitementSuff et TraitementTerminal sont actifs, les autres ne font rien.

Parcours des arbres(3)

• Parcours d’un arbre général

Exemple(1) : Affichage de contenu d’un arbre généalogique en parcours

préfixe

• Procédure AffichePref(A: PtrNoeud) Var i,nb : entiers• Début

nb:=NbrFils(A)Si feuille(A) alors affiche(«info + plus de descendance »)

sinonaffiche(info) {TraitementPref : traitement avant de voir

les fils} Pour i de 1 à nb faire

Parcours(ième(Liste-Fils),i)FinPourFSiFinParcours

Primitives sur les arbres • Type Arbre =PtrNoeud• Type Forêt = Liste de PtrNoeud• Signature • Type Arbre, Forêt• Opérations • Cons : PtrNoeud X Forêt ->Arbre• Racine: Arbre ->PtrNoeud• List-arbres: Arbre ->Forêt• Forêt-vide: ->Forêt• Ième : Forêt X Entier->Arbre• Nb-arbres : Forêt->Entier• Insérer : Forêt X EntierXArbre->Forêt,• …

Axiomes• Précondition • Insérer (F,i,A) est definie ssi• Axiomes • Racine(cons(o,F))=o• List-arbres(cons(o,F))=F• Nb-arbres(forêt-vide)=0• nb-

arbres(insérer(F,i,A)=nb-arbres(F)+1• 1<k<i->ième(insérer(F,i,A),k)=ième(F,k)• K=i->ième(insérer(F,i,A),k)=A• i+1<k<1+nb-arbres(F)->• ième(insérer(F,i,A),k)=ième(F,k-1) {décalage}

)(11 Farbresnbi

)(11 Farbresnbi

Mise en œuvre des primitives • Représentation avec les tableau des pointeurs• Type PtrNoeud = ^Noeud

Enregistrement Noeud

info : TypeInfo

enfants : Tableau[1,…bf] de PtrNoeud

Fin Enregistrement;

Primitive Insérer : Forêt X Entier X Arbre->Forêt

Procedure Inserer (ref EnfantsDuNoeud : Tableau [1…bf] de PtrNoeud, i:entier, A : PtrNoeud)

Debut

Var j:entier

Si i>0 et i<bf+1 alors

Pour j de i à bf-1

EnfantsDuNoeud[j+1]:=EnfantsDuNoeud[j];

FPour { j pointe sur la première case vide du tableau des pointeurs}

EnfantsDuNoeud[i]=A;

Fin-Si

FinInserer

Exemple(2)

• Supposons arbre généalogique avec l’ordre de la descendance selon primarité

• Ecrire la procédure d’ajout du fils cadet au dernier représentant de la lignée principale

• Type PtrNoeud = ^Noeud

Enregistrement Noeud

info : TypeInfo

enfants : Tableau[1,…bf] de PtrNoeud

Fin Enregistrement;

Procedure AjoutLePlusJeuneLD(Agen : PtrNoeud, FilsCadet : PtrNoeud)

Début

{Arbre n’est jamais vidé !}

Si Agen.^enfants[1]=NIL { Base de récursivité 1 – le dernier descendant de la LD n’a pas de fils}

alors

Insérer(Agen.^enfants,1,FilsCadet)

sinon {Agen.^enfants[1]<>NIL}

Si Agen.^enfants[1].^enfants[1]=NIL {Base de récursivité 2- le dernier descendant de la LD a des fils}

alors

j=1

TQ(j<nbf et Agen.^enfants[j]<>NIL) j:=j+1; FTQ

Si (j<nbf) alors { Test de capacité du mémoire réservé}

Insérer(Agen.^enfants,j,FilsCadet)

FSi

sinon

AjoutLePlusJeuneL(Agen.^enfants[1],FilsCadet)

FSi

FSi

FinAjoutLePLusJeuneLD

Mise en œuvre des primitives• Fils-aîné-frère droit

• Fonction ième(NFA: PtrNoeud, FD: PtrNoeud, i: entier):PtrNoeud• Var k : entier• ptr : PtrNoeud• Debut• Si i=1 alors retourner NFA

sinon ptr:=FD; k:=3; Tq ptr<>NIL et k<i faire ptr:=ptr.FD; k++; FtqFSiRetourner ptr;Fin ième

info

info

info

info

NFA