1

CALCUL MATRICIEL A. Définition et opérations sur les matrices

1) Définition

Soient n et p deux entiers naturels non nuls

On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans ( ) ou K K K= = ou matrice

de format ( ),n p tout tableau de la forme

1,1 1,

,1 ,

p

n n p

a a

A

a a

=

où les ,i ja sont éléments de K

Le coefficient ,i ja est situé sur la ième ligne et jème colonne

On note ( )1,1

i ni jj p

A a

=

On note ( ),n p KM l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K

2) Matrices particulières

Soit ( )1,1

i ni jj p

A a

= une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K

• Si 1p = , on dit que A est une matrice colonne

• Si 1n = , on dit que A est une matrice ligne

• Pour 1,j p , la matrice colonne1,

,

j

j

n j

a

C

a

=

est appelé jème colonne de A

• Pour 1,i n , la matrice ligne ( ),1 ,i i i nL a a= est appelé ième ligne de A

• Si n p= , on dit que la matrice A est une matrice carrée d’ordre n

3) Les matrices carrées

L’ensemble des matrices carrées d’ordre n est noté ( )n KM

Les éléments diagonaux de A sont les scalaires ,i ia pour 1,i n : ils forment la diagonale de

la matrice A

2

Une matrice carrée d’ordre n est triangulaire supérieure si ( )2

,, 1, , 0i ji j n i j a =

Les coefficients strictement en dessous de la diagonale sont nuls

Une matrice carrée d’ordre n est triangulaire inférieure si ( )2

,, 1, , 0i ji j n i j a =

Les coefficients strictement au-dessus de la diagonale sont nuls

Une matrice carrée d’ordre n est diagonale si ( )2

,, 1, , 0i ji j n i j a =

Les coefficients non situés sur la diagonale sont nuls

Une telle matrice s’écrit

1

2

0 0

0 0

0 0

0 0 n

avec 1, , ii n K , elle se note aussi

( )1,..., nA Diag=

Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont

égaux : elle s’écrit

0 0

0 0

0 0

0 0

avec K et aussi ( ),...,Diag

On désigne par nI la matrice scalaire ( )1,...,1Diag =

1 0 0

0 1 0

0 0

0 0 1

Exemples :

• Compléter

𝐴 = (1 𝑖 30 2 2𝑖4 5 −1

) ∈ et {

𝑎23 =𝑎32 =𝑎33 =

𝐵 = (1 4

−3 02 −2

) ∈ et {

𝑏21 =𝑏22 =𝑏32 =

• Ecrire la matrice A sous la forme d’un tableau si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)1≤𝑖≤31≤𝑗≤2

avec {𝑎𝑖𝑖 = 1

𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

• Même question si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)1≤𝑖≤31≤𝑗≤3

avec {𝑎𝑖𝑖 = 𝑖 − 1

𝑎𝑖𝑗 = 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

3

4) Opérations sur les matrices

a) Egalité

Soient , , ', 'n p n p quatre entiers naturels non nuls

Les deux matrices ( )1,1

i ni jj p

A a

= et ( )1 ',1 '

' ' i ni jj p

A a

= sont égales si et seulement si ', 'n n p p= = et

( ) , ,, 1, 1, , 'i j i ji j n p a a =

b) Somme de deux matrices de même format

Soient deux matrices ( )1,1

i ni jj p

A a

= et ( )1,1

i ni jj p

B b

= deux éléments de ( ),n p KM

On appelle somme A B+ la matrice ( )1,1

i ni jj p

S s

= telle que : ( ) , , ,, 1, 1, , i j i j i ji j n p s a b = +

L’addition des matrices est :

Commutative, c’est-à-dire ( ) ( )( )2

,, ,n pA B K B A A B + = +M

Associative, c’est-à-dire ( ) ( )( ) ( ) ( )3

,, , ,n pA B C K A B C A B C + + = + +M

La matrice nulle de format ( ),n p notée ,n pO (tous ses coefficients sont nuls) est élément neutre c’est-

à-dire ( ), , ,,n p n p n pA K A O O A A + = + =M

Toute matrice ( ),n pA KM admet une matrice opposée notée ( )A− telle que

( ) ( ) ,n pA A A A O+ − = − + =

c) Multiplication d’une matrice par un scalaire

Pour tout K , le produit de la matrice ( )1,1

i ni jj p

A a

= par le scalaire est la matrice ( )1,1

i ni jj p

P p

=

notée A telle que : , ,1, , i j i ji n p a =

Cette opération vérifie les propriétés suivantes :

( ), ,1n pA K A A =M

( ) ( ) ( ) ( )2, , , ,n pA K K A A =M

( ) ( ) ( ) ( )2 2,( , ) ( ) , , , et n pA B K K A A A A B A B + = + + = +M

d) Combinaisons linéaires de matrices

Soient m un entier naturel non nul et 1,..., mA A des éléments de ( ),n p KM

Une matrice ( ),n pB KM est combinaison linéaire des matrices 1,..., mA A s’il existe m scalaires

1,..., m tels que 1 11

...m

k k m m

k

B A A A=

= = + +

Conséquence :

On désigne dans ( ),n p KM , pour tout couple ( ), 1, 1,i j n p , par ,i jE la matrice dont tous les

coefficients sont nuls à l’exception ce celui de la ième ligne et jème colonne qui vaut 1

L’ensemble ( ),n p KM contient donc np matrices élémentaires

Toute matrice de ( ),n p KM est combinaison linéaire des np matrices ,i jE éléments de ( ),n p KM

En effet soit ( )1,1

i ni jj p

B b

= une matrice quelconque de ( ),n p KM , on a : , ,1 1

pn

i j i j

i j

B b E= =

=

4

Un exemple : 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3

1 2 32 3 0 1 4

0 1 4B E E E E E E

= = + + + − −

− −

e) Produit de deux matrices

Soient , ,m n p trois entiers naturels non nuls. Soient une matrice ( ),i jA a= de format ( ),m n et

( ),i jB b= une matrice de format ( ),n p

On définit la matrice ( ),i jC c= , de format ( ),m p , produit de la matrice ( ),i jA a= par la matrice

( ),i jB b= que l’on note C AB= par : , , ,1

1, , 1,n

i j i k k j

k

i m j p c a b=

=

ATTENTION : On ne peut donc multiplier A par B que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B

Remarques :

La jème colonne de AB est le produit de A par la jème colonne de B

La ième ligne de AB est le produit de la ième ligne de A par B

Disposition pratique « sur deux étages » :

11 1

1

11 12 1

1 2

1

p

n np

n

i i in

m mn

b b

b b

a a a

a a a

a a

Exemple : Soient les matrices 1 2 0

0 1 3A

=

et

4 1 0 1

1 0 2 1

1 3 0 0

B

−

= −

AB =

4 1 0 1

1 0 2 1

1 3 0 0

1 2 0 6 1 4 1

0 1 3 2 9 2 1

− −

−

Le produit de A par B est possible puisque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes

de la matrice B

On peut remarquer que le produit de B par A est impossible

5

Propriétés de la multiplication des matrices

• Soient deux matrices ( )ijA a= et ( )ijB b= deux matrices de formats respectifs

( ) ( ), et ,m n n p Le produit AB est possible, mais le produit BA n’est possible que si m p= , et en général on a

AB BA (la multiplication des matrices n’est pas commutative)

ATTENTION à l’ordre dans lequel on écrit le produit

• La multiplication des matrices est associative c'est-à-dire

Quelque soient les trois matrices A , B et C de formats respectifs ( ) ( ) ( ), , , et ,m n n p p q

On a ( ) ( )A BC AB C=

• La multiplication des matrices est distributive par rapport à l’addition des matrices c'est-à-dire

Quelque soient les trois matrices A , B et C de formats respectifs ( ) ( ) ( ), , , et ,m n n p n p

On a ( )A B C AB AC+ = +

Exemple :

Soient les matrices 0 1

0 0A

=

et 1 1

0 0B

=

0 0 0 1

0 0 0 0AB BA

= =

On peut remarquer sur cet exemple qu’un produit de deux matrices non nulles peut être égal à la

matrice nulle

La règle : un produit de facteurs est nul alors l’un au moins des facteurs est nul est donc FAUSSE

avec les matrices.

f) Transposition

La transposée d’une matrice ( ) ( )1, ,1

i ni j n pj p

A a K

= M est la matrice ( )1,1

' j pj ii n

A a

= notéeTA ou t A

( ) ( )( ) ( ) ( )2

,, , , et t tt t t

n pA B K K A B A B A AM + = + =

De plus

Soient une matrice ( ),i jA a= de format ( ),m n et ( ),i jB b= une matrice de format ( ),n p , on a :

( )t t tAB B A=

6

En effet : soit ( )1,1

i mi jj n

A a

= et ( )1,1

i ni jj p

B b

= , ( )1,1

i mi jj p

A B C c

= = avec , , ,1

n

i j i k k j

k

c a b=

=

Soit ( )1,1

'T i ni jj m

A a

= , ( )1,1

'T i pi jj n

B b

= , ( )1,1

T T

i pi jj m

B A D d

= = avec , , ,1

' 'n

i j i k k j

k

d b a=

=

Nous avons donc , , , , ,1 1

n n

i j k i j k j k k i

k k

d b a a b= =

= =

Or ( ) ( )1,1

'T

i pi jj m

AB c

= avec , , , , ,1

'n

i j j i j k k i i j

k

c c a b d=

= = = , donc on a bien ( )T T TAB B A=

Propriétés :

Une matrice carrée ( ) ( )1,1

i ni j nj n

A a K

= M est dite symétrique si TA A=

Une matrice carrée ( ) ( )1,1

i ni j nj n

A a K

= M est dite antisymétrique si TA A= −

B. L’ensemble des matrices carrées

1) Propriété supplémentaire de la multiplication

Soit

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 1

0 0 1

nI

=

la matrice identité d’ordre n

Quel que soit la matrice carrée A d’ordre n , n nAI I A A= =

La matrice unité d’ordre n est donc élément neutre pour la multiplication dans l’ensemble des

matrices carrées d’ordre n

Remarque :

En notant nO la matrice carrée nulle d’ordre n , on a, quel que soit la matrice A carrée d’ordre n ,

n n nAO O A O= =

Attention :

Le produit de deux matrices carrées d’ordre n distinctes de la matrice nulle d’ordre n peut

donner la matrice nulle : la proposition ( ) ( )oun n nAB O A O B O= = = n’est pas vraie !

2) Puissances d’une matrice carrée :

Soit une matrice A carrée d’ordre n , on pose 0 nA I= et, pour tout entier naturel m non nul,

matrices

m

m

A AA A=

7

Cas des matrices diagonales :

Le produit de deux matrices diagonales de même ordre est une matrice diagonale de cet ordre

La puissance d’une matrice diagonale est une matrice diagonale dont les termes sont les

puissances de termes initiaux

Soit une matrice

1

2 0

0

n

D

=

diagonale carrée d’ordre n

Pour tout entier naturel p non nul,

1

2 0

0

p

p

p

p

n

D

=

Démonstration par récurrence

Cas des matrices triangulaires

➢ Le produit de deux matrices triangulaires supérieures de même ordre est une matrice triangulaire supérieure de cet ordre

➢ Le produit de deux matrices triangulaires inférieures de même ordre est une matrice triangulaire inférieure de cet ordre

Démonstration :

Soient deux matrices ( ),i jA a= et ( ),i jB b= carrées d’ordre n triangulaires supérieures

La matrice ( ),i jC c= telle que C AB= est définie par , , ,1

1, , 1,n

i j i k k j

k

i n j n c a b=

=

Si i j alors1

, , , , ,

1

0 0 0i n

i j i k k j i k k j

k k i

c a b a b−

= =

= + = + = puisque la première somme vaut 0 car , 0i ka =

quand i k et la seconde vaut 0 car , 0k jb = quand k i j

Les matrices triangulaires ont des puissances triangulaires

Démonstration par récurrence

8

3) Propriétés des matrices carrées qui commutent

Soient deux matrices A et B deux matrices carrées d’ordre n qui commutent c'est-à-dire

AB BA=

On a les égalités

( )

( )

( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

A B A AB B

A B A AB B

A B A B A B

+ = + +

− = − +

+ − = −

(analogue aux identités remarquables)

Formule du binôme :

Soient deux matrices A et B deux matrices carrées d’ordre n qui commutent c'est-à-dire

AB BA=

Pour tout entier naturel p , ( )0

pp k p k

k

pA B A B

k

−

=

+ =

4) Matrices carrées inversibles Définition :

Une matrice carrée A d’ordre n est inversible s’il existe une matrice carrée 'A d’ordre n telle

que ' ' nAA A A I= =

Cette matrice 'A est alors appelée matrice inverse de A et est notée 1A−

L’ensemble des matrices carrées d’ordre n inversibles est noté ( )nGL K « groupe linéaire »

Propriétés :

Si ( )nA GL K et ( )nB GL K alors ( )nAB GL K et ( )1 1 1AB B A− − −=

En effet 1 1 1 1

n nABB A AI A AA I− − − −= = = et

1 1 1 1

n nB A AB B I B B B I− − − −= = = , donc ( )nAB GL K et

( )1 1 1AB B A− − −=

( )nA GL K si et seulement si ( )t

nA GL K

Dans ce cas nous avons ( ) ( )1

1−

−=t

t A A

Démonstration :

Si ( )nA GL K

( ) ( ) ( )1 1t tt t

n nA A A A I I− −= = = , et ( ) ( ) ( )1 1

t t tt

n nA A AA I I− −= = = .

Donc ( )t nA GL K et ( ) ( )1

1−

−=t

t A A

Si ( )t nA GL K alors t

t

nA A GL K

9

C. Opérations élémentaires et calcul matriciel 1) Rappel : cours système linéaires

On appelle opération élémentaire sur les lignes d’un système ( )S à n équations et p colonnes à

coefficients dans K (ou sur les lignes de la matrice A du système ( )S à n lignes et p colonnes)

( )

( )

( )

1,1 1,1,1 1 1,2 2 1, 1 1 1

1

2,1 1 2,2 2 2, 2 2

,1 ,,1 1 ,2 2 ,

...

...

...

pp p

p p

p

n n pn n n p p n n n

A

a aa x a x a x b L bx

a x a x a x b L

xa aa x a x a x b L b

+ + + =

+ + + = = + + + =

Toute opération consistant à :

➢ Echanger deux lignes que l’on note i jL L pour deux entiers i j

➢ Multiplier une ligne par un scalaire non nul que l’on note i iL L

➢ Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne que l’on note i i jL L L +

Remarque :

On se permettra par la suite d’effectuer en une seule fois la succession des deux dernières opérations

élémentaires par l’opération notée i i jL L L + où naturellement 0

Nous allons interpréter ces opérations élémentaires en termes de produit matriciel

2) Opérations élémentaires et matrices

• Si par l’opération élémentaire i jL L avec i j , la matrice A se transforme en 'A alors

on a :

'A EA= , avec , , , ,

1

0 1

1

1

1 0

1

n i i j j i j j iE I E E E E

= − − + + =

, les deux 0 de la

diagonale se trouvent en position i et j

Une telle matrice est appelée matrice de transposition (ou de permutation) et est notée ,i jP

• Si par l’opération élémentaire i iL L avec 0 , la matrice A se transforme en 'A alors

on a :

'A EA= , avec ( ) ,

1

0

1 0 0

0 1

n i iE I E

= + − =

, le scalaire se trouve en ligne et colonne i

Une telle matrice E est appelée matrice de dilatation et est notée ( )iD

10

• Si par l’opération élémentaire i i jL L L + avec i j , la matrice A se transforme en

'A alors on a :

'A EA= , avec ,

1

0

0 1 0

0 1

n i jE I E

= + =

, le scalaire se trouve en ligne i et en colonne j

Une telle matrice E est appelée matrice de transvection notée , ( )i jT

On appelle matrice élémentaire toute matrice de transvection, ou de dilatation ou de

transposition

Ces matrices sont carrées d’ordre n et sont inversibles et on a :

2

, 1,i j n , *, K K ,

1

, ,i j i jP P , 1 1

i iD D et1

, ,( ) ( )i j i jT T

Exemple :

Soit la matrice

1 1 0

2 1 1

0 2 3

A

−

=

2,3

1 0 0

0 0 1

0 1 0

P

=

, 2,3

1 0 0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 2 1 1 0 2 3

0 1 0 0 2 3 2 1 1

P A

− −

= =

soit 2 3L L pour A

( )3

1 0 0

2 0 1 0

0 0 2

D

=

, ( )3

1 0 0 1 1 0 1 1 0

2 0 1 0 2 1 1 2 1 1

0 0 2 0 2 3 0 4 6

D A

− −

= =

soit 3 32L L

2,1

1 0 0

( 2) 2 1 0

0 0 1

T

− = −

, 2,1

1 0 0 1 1 0 1 1 0

( 2) 2 1 0 2 1 1 0 3 1

0 0 1 0 2 3 0 2 3

T A

− −

− = − =

soit 2 2 12L L L

11

3) Algorithme de Gauss-Jordan

a) Suite finie d’opérations élémentaires et produit matriciel

Soient deux matrices Aet 'A éléments de ( ),n p KM telles que l’on passe de l’une à l’autre par une

suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes

Si ces opérations élémentaires sont successivement associées aux multiplications par les matrices

élémentaires 1..., mE E ( )ùm , alors on a : 1' ...mA E E A=

Remarque : si 1' ...mA E E A= alors 1 1

1 ... 'mE E A A− − =

Conséquence :

Soient deux matrices A et 'A éléments de ( ),n p KM

Si A et 'A sont équivalentes par lignes (c’est-à-dire si on passe de l’une à l’autre par une suite finie

d’opérations élémentaires sur les lignes. On note 'L

A A ) alors il existe une matrice ( )nE KM

inversible telle que 'A E A=

En effet le produit de matrices inversibles est une matrice inversible

b) Traduction matricielle de l’algorithme de Gauss -Jordan

Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite par lignes.

Si ( ),n pA KM alors il existe une matrice 𝑬 produit de matrices élémentaires et une unique

matrice 𝑹 échelonnée réduite par lignes telle que R EA=

Remarque : 1

inversibleER EA A E R−= = avec 1E produit de matrices élémentaires

Exemple : Soit la matrice

1

2

3

2 1 1

1 1 2

3 2 1

L

A L

L

1 21 1 2

2 1 1

3 2 1

L L

, 2 2 1

1 1 2

0 3 3 2

3 2 1

L L L ,

3 3

1 1 2

0 3 3

0 5 5 3 1L L L

2 2

1 1 21

0 1 13

0 5 5

L L ,

1 1 21 0 1

0 1 1

0 5 5

L L L

,

3 3 2

1 0 1

0 1 1

0 0 0 5L L L

Ainsi R EA= avec

1 0 1

0 1 1

0 0 0

R et E 3,2 1,2 2 3,1 2,1 1,21

5 1 3 23

T T D T T P

De plus 1,2 2,1 3,1 2 1,2 3,22 3 3 1 5A P T T D T T R

12

c) Opérations sur les colonnes

Les opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice A élément de ( ),n p KM sont

• Echanger deux colonnes que l’on note i jC C pour deux entiers i j

• Multiplier une colonne par un scalaire non nul que l’on note i iC C

• Ajouter à une colonne un multiple d’une autre colonne que l’on note i i jC C C +

Soit nA KM

iA D est la matrice obtenue en appliquant à A l’opération i iC C avec 0

,i jA P est la matrice obtenue en appliquant à A l’opération i jC C avec 0

,i jA T est la matrice obtenue en appliquant à A l’opération i i jC C C +

Deux matrices A et 'A éléments de ( ),n p KM sont équivalentes par colonnes s’il existe une suite

finie d’opérations élémentaires sur les colonnes permettant de passer de l’une à l’autre

On note 'C

A A

Il existe alors une matrice ( )pQ GL K telle que 'A A Q=

Toute matrice est équivalente par colonnes à une matrice unique échelonnée réduite par colonnes

Si ( ),n pA KM alors il existe une matrice 'E produit de matrices élémentaires et une unique matrice

'R échelonnée réduite par colonnes telle que ' 'R AE=

Remarque : une matrice est dite échelonnée réduite par colonnes si sa transposée est une matrice

échelonnée réduite par lignes

13

D. Matrices carrées inversibles et systèmes linéaires

Soit un système ( )S à n équations et n inconnues

( )

( )

( )

1,1 1,1,1 1 1,2 2 1, 1 1 1 1

2,1 1 2,2 2 2, 2 2

,1 ,,1 1 ,2 2 ,

...

...

...

nn n

n n

n n nn n n n n n n n n

X BA

a aa x a x a x b L x b

a x a x a x b L

a aa x a x a x b L x b

+ + + =

+ + + = = + + + =

1) Théorème

Soient une matrice ( )nA KM et une matrice ( ),1nB KM

( )S est noté AX B= , avec ( ),1nX KM

Les propositions suivantes sont équivalentes :

a) n

LA I

b) A est inversible

c) Pour tout ( ),1nB KM , le système AX B= admet une unique solution

d) Pour tout ( ),1nB KM , le système AX B= admet au plus une solution

e) Le système ,1nAX O= n’admet que la solution nulle ,1nO

f) La matrice A est de rang n

Démonstration : « raisonnement circulaire » a b c d e f a

Supposons que n

LA I , alors ( )n nE GL K EA I = et , comme E est inversible , en multipliant à

gauche par 1E− il vient : 1A E−= donc A est inversible

Supposons A inversible, 1AX B X A B−= = , le système AX B= a donc une unique solution

c d : immédiat

Supposons d vraie, le système homogène ,1nAX O= admet au plus une solution, comme ,1nO est

solution, c’est la seule

e f : Démontrons la contraposée

Supposons que le rang de Aest strictement inférieur à n .Alors le système ,1nAX O= admet une

infinité de solutions (cours systèmes linéaires) : ce qui est faux par hypothèse : donc le rang de A est

n

f a : si le rang de A est n alors nL

A I (cours systèmes linéaires)

2) Conséquences

a) Corollaire 1

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux sont

tous non nuls

14

b) Corollaire 2

Soit ( )nA KM . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i. La matrice A est inversible

ii. Il existe ( )' nA KM telle que ' nA A I=

iii. Il existe ( )' nA KM telle que ' nA A I=

Lorsque ii. ou iii.est vraie, on a alors 1'A A−=

Démonstration :

i. ii. immédiat et i. iii. immédiat

Supposons qu’il existe ( )' nA KM telle que ' nA A I=

Le système ,1nAX O= n’admet que la solution nulle puisque ,1 'nAX O A AX O X O= = =

Le théorème nous dit alors que A est inversible, donc ii. i.

Supposons qu’il existe ( )' nA KM telle que ' nAA I=

Par transposition, on a ( ) ( )' 'T T T

nAA A A I= = : donc TA est inversible ce qui entraîne que A est

inversible

Sachant que A est inversible, alors 1 1 1' ' 'nAA I A AA A A A− − −= = =

Point Méthode :

Pour prouver qu’une matrice A est inversible et déterminer son inverse, il suffit de trouver une

matrice 'A tell que ' nA A I= OU ' nAA I=

Profitons-en pour exposer les principales méthodes pour montrer qu’une matrice est inversible

• Utiliser la définition (et le corollaire 2)

• Utiliser une combinaison linéaire nulle de puissances de la matrice (méthode dite du polynôme

annulateur)

• Calculer l’inverse par la résolution d’un système linéaire.

On utilise le théorème précédent : A est inversible ⟺ le système 𝐴𝑋 = 𝐵 admet une unique solution et

sous ces conditions 𝑋 = 𝐴−1𝐵.

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• Méthode de Gauss -Jordan

La matrice ( )nA KM est inversible si set seulement si nL

A I

On passe de l’une à l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes

Si ces opérations élémentaires sont successivement associées aux multiplications par les matrices

élémentaires 1..., mE E ( )ùm , alors on a : 1...n mI E E A=

On peut donc affirmer (corollaire 1) que A est inversible et que 1 1...mA E E− =

Finalement 11...m nA E E I

− =

Dans la pratique : On construit la matrice ( )nM A I=

On effectue une suite finie d’opérations élémentaires qui transforme la partie « gauche » en la matrice

nI , cette même suite d’opérations élémentaires transforme la partie « droite » en 1A−

Un exemple : soit

1 2 1

2 4 1

2 5 3

A

−

= − − −

Formons la matrice

1 2 1 1 0 0

2 4 1 0 1 0

2 5 3 0 0 1

−

− − −

1 2 1 1 0 0

0 0 1 2 1 0

0 1 1 2 0 1

−

− −

2 2 1

3 3 1

2

2

L L L

L L L

−

+

1 2 1 1 0 0

0 1 1 2 0 1

0 0 1 2 1 0

−

− −

2 3L L

1 2 0 1 1 0

0 1 0 4 1 1

0 0 1 2 1 0

−

− − −

1 1 3

2 2 3

L L L

L L L

+

−

1 0 0 7 1 2

0 1 0 4 1 1

0 0 1 2 1 0

−

− − −

1 1 22L L L +

1 0 0 7 1 2

0 1 0 4 1 11

0 0 1 2 1 0

−

− − −

2 2L L−

La matrice A est équivalente à nI : nL

A I , donc A est inversible et 17 1 2

4 1 1

2 1 0

A−−

= − − −

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