Durée de l’épreuve : 2h00

L’usage de la calculatrice est autorisé

L’énoncé de ce devoir comporte 7 pages

➢ Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur

votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les initiatives que vous êtes amenées à prendre.

➢ Le barème tiendra compte des commentaires physiques ainsi que des qualités de rédaction.

➢ La numérotation des exercices doit être respectée. Les résultats doivent être systématiquement encadrés.

Problème 1 : « Les mirages de la gravitation »

Dans la théorie de la relativité générale d'Einstein, l'attraction gravitationnelle ne concerne pas que les corps

massifs, elle concerne toutes les sources d'énergie dans l'Univers en particulier la lumière ou de manière

générale les ondes électromagnétiques. Ainsi, un rayon lumineux est « attiré » par les corps massifs.

Cet effet n'est toutefois visible que si le rayon lumineux passe à proximité d'une masse très importante.

Il a été confirmé pour la première fois en 1919 par Eddington : celui-ci a montré, lors d'une éclipse totale de

Soleil, que la position apparente d'une étoile derrière le Soleil pendant l'éclipse n'était pas la même que sa

position habituelle.

Sir Arthur Eddington Illustration de l’éclipse de 1919

Je vous propose de comprendre ce phénomène à travers un modèle simplifié et de tenter d'observer l'effet de

lentille gravitationnelle à l'aide d'une lunette astronomique.

Partie A : Déviation d'un rayon lumineux par le Soleil

La déviation d'un rayon lumineux par le Soleil peut se comprendre en dressant une analogie avec l'optique.

En effet, tout se passe comme si le Soleil modifiait autour de lui l'indice optique du « vide » interstellaire.

Cet indice optique « effectif » est non uniforme et il faudrait donc utiliser les lois de l'optique géométrique dans

les milieux non-homogènes pour étudier précisément la déviation.

Pour simplifier l'étude, on suppose qu'il existe une zone sphérique de rayon a centrée autour du Soleil (mais

DEVOIR SURVEILLÉ N°2

hors du Soleil) dans laquelle l'indice optique n est uniforme et différent de l'indice optique dans le vide n0 = 1.

L'indice n est toutefois proche de 1 et est donné par la formule provenant de la théorie de la relativité générale :

n=1+2GM S

ac2

On donnera une interprétation physique du rayon a par la suite.

On note c la vitesse de la lumière dans le vide et G la constante de la gravitation universelle.

Données : MS = 2,00.1030 kg , RS = 7,00.108 m , c = 3,00.108 m.s−1 , G = 6, 67.10−11 SI

La déviation s'explique donc comme le résultat de la réfraction aux points I et J du rayon lumineux comme

schématisé sur la figure 1.

Figure 1 : La déviation du rayon lumineux s'explique par la présence d'une zone d'indice n centrée autour du

Soleil S. En dehors de cette zone, l'indice n0 vaut 1. Un rayon provenant d'une étoile « à gauche » subit deux

réfractions (en I et en J) avant d'être observé sur la Terre T. Les normales aux dioptres apparaissent en

pointillés.

Je vous propose alors de calculer l'angle de déviation (non-orienté) α entre le rayon incident (à gauche du

Soleil) et le rayon émergent (à droite du Soleil).

1.1. Rappeler la loi de Snell-Descartes relative à la réfraction.

1.2. Reproduire le schéma de la figure 1 et y faire apparaître l'angle d'incidence i et l'angle de réfraction r au

point I ainsi que l'angle d'incidence i' et l'angle de réfraction r' au point J.

1.3. Calculer l'angle de déviation α en fonction de ces angles et en déduire que : α=2(i−r)

1.4. Calculer n lorsque a est de l'ordre de grandeur du rayon solaire Rs.

En déduire que l'angle de réfraction r est nécessairement très proche de l'angle d'incidence i.

1.5. On cherche alors l'angle de réfraction r sous la forme r=i+ϵ où ϵ=GM S

ac2et ϵ≪i .

En reportant l'expression de ε dans la loi de la réfraction au point I et en ne conservant que les termes d'ordre 1

en ϵ , montrer que : ϵ=−2GM S

ac2sin icos i

1.6. En déduire l'expression de l'angle de déviation α en fonction de l'angle i en particulier.

1.7. Le paramètre d'impact p est défini comme la distance la plus courte entre le centre du Soleil et le rayon

lumineux. Faire un schéma clair de la situation faisant apparaître le paramètre d'impact p.

Exprimer p en fonction de α et de l'angle i en considérant le rayon qui traverse la sphère fictive.

1.8. En partant de la théorie de la gravitation d'Einstein, on trouve que l'angle de déviation est donnée par :

α=4GM S

pc2

où p est le paramètre d'impact. Quelle relation doivent satisfaire a et p pour que le modèle géométrique

reproduise le résultat précédent ? Cette relation est-elle réaliste ?

Comment pourrait-on modifier le modèle simplifié pour se rapprocher du résultat issu de la théorie de la

gravitation ?

1.9. Calculer numériquement l'angle de déviation α lorsque p=1,5 RS .

1.10. Pourquoi Eddington a-t-il attendu une éclipse de Soleil pour observer cet effet ?

Partie B : Étude de l'effet de Lentille gravitationnelle

La présence d'un astre massif sur le trajet d’un faisceau de lumière parallèle provoque une déviation des rayons

lumineux formant ce faisceau.

Pour un rayon lumineux arrivant au voisinage du Soleil avec un paramètre d’impact noté p, on rappelle que

l’angle de déviation α dépend de la distance entre le rayon étudié et l’astre, et s'écrit : α=4GM S

pc2

2.1. Montrer que la déviation gravitationnelle de la lumière par le Soleil se comporte, pour un rayon passant

à la distance p de l’astre (cf. figure 2), comme une lentille convergente dont on exprimera la distance focale f '

en fonction de p, c, G et MS.

Figure 2 : Déviation d'un faisceau de lumière parallèle par le Soleil

2.2. Calculer numériquement la distance focale f ' lorsque p=1,5 RS et exprimer le résultat en années-lumière

(une année-lumière est la distance parcourue par la lumière pendant une année).

2.3. L’observation des astres très lointains et peu lumineux est parfois améliorée lorsque s’interpose, sur le trajet

de la lumière entre ces astres et la Terre, une galaxie massive. Pouvez-vous expliquer ce fait ?

Soleil

p

α

Partie C : Mesure de l'angle de déviation par une lunette astronomique

Compte tenu de la valeur de l'angle α et de la faible luminosité du phénomène, il est nécessaire d'utiliser un

instrument d'optique pour réaliser l'observation. On suppose ainsi qu'on effectue l'observation avec une lunette

astronomique dont on va étudier quelques caractéristiques.

La lunette astronomique est formée de deux lentilles minces convergentes :

➢ une lentille (L1) de centre O1 et de distance focale image f '1

➢ une lentille (L2) de centre O2 et de distance focale image f '2

Une telle lunette est modélisée sur la figure 3.

Figure 3 : Modélisation d'une lunette astronomique

3.1. La lunette astronomique est un système afocal : elle donne d'un objet situé à l'infini, une image rejetée à

l'infini. Pourquoi est-il intéressant qu'une lunette astronomique soit afocale ?

3.2. Déterminer alors l'encombrement de la lunette, à savoir la distance d=O1O2 en fonction des distances

focales images des deux lentilles.

3.3. Rappeler les conditions de Gauss.

3.4. Réaliser un schéma, sans respecter les échelles, montrant le devenir d'un rayon incident faisant un angle θ

avec l'axe optique et émergeant sous un angle θ' dans les conditions de Gauss. Justifier la construction.

3.5. Déterminer l'expression du grossissement de la lunette G=θ 'θ

en fonction de f '1 et f '2.

On désire alors mesurer l'angle de déviation α du rayon lumineux en utilisant cette lunette astronomique.

Pour cela on règle la lunette de telle sorte que son axe optique soit confondu avec l'axe passant par le Soleil et

l'étoile d'où provient le rayon lumineux.

3.6. Dans ce cas, quelle est la valeur absolue de l'angle θ que font les rayons, provenant de l'étoile après la

déviation, avec l'axe optique ? Effectuer un schéma clair de la situation.

3.7. Déterminer alors la valeur absolue de l'angle θ' et faire l'application numérique en prenant p=1,5 RS ,

f '1 = 1 m et f '2 = 5 cm. Peut-on observer un tel angle à l’œil nu ?

L'un des problèmes majeurs dans l'observation de cet effet par la lunette est le manque éventuel de luminosité.

Pour limiter ce problème, l'observateur doit placer son œil dans les meilleures conditions à la sortie de lunette.

Pour observer une image nette de l'étoile, on dit que l’œil doit être placé au niveau du cercle oculaire.

3.8. Le diaphragme d'ouverture de la lunette astronomique est la lentille (L1) ou (L2) qui limite la quantité de

lumière qui entre dans l'instrument. Quelle lentille joue alors le rôle de diaphragme d'ouverture en supposant

que les deux lentilles ont le même diamètre ?

3.9. Le cercle oculaire est défini comme le conjugué image du diaphragme d'ouverture par la lunette.

Déterminer alors la position O2C du centre du cercle oculaire en fonction de f '1 et f '2..

Simplifier l'expression obtenue compte tenu des valeurs numériques fournies à la question 3.7.

3.10. Déterminer également le diamètre d du cercle oculaire en fonction de G et du diamètre D du diaphragme

d'ouverture et montrer que le cercle oculaire permet d'obtenir une concentration plus importante de la lumière.

En guise de conclusion, soulignons que le phénomène de lentille gravitationnelle est l'une des prédictions

fondamentales de la théorie de la relativité générale.

Il permet aujourd'hui de cartographier la distribution de la matière dans l'Univers, mais aussi de détecter des

galaxies lointaines qui autrement échapperaient à nos télescopes.

Paradoxalement, au lieu d'étudier l'objet dont on observe l'image, on en étudie les déformations pour

reconstruire les propriétés de la lentille. Tout corps massif agissant comme une lentille, il s'agit dès lors d'un

outil de choix pour traquer la matière noire.

Les effets de lentille faible permettent de cartographier la distribution de la matière noire aux échelles

cosmologiques. Cette application est une des plus prometteuses de l'astrophysique contemporaine !!

Problème 2 : « Face à la mer... »

Par temps dégagé, vous vous tenez debout sur la plage de Malo-les-bains (!!) et vous regardez l’horizon.

Déterminer la distance à laquelle se trouve l’horizon.

On détaillera le raisonnement ainsi que le modèle utilisé.

On pourra s'aider d'une construction géométrique faisant apparaître la grandeur recherchée ainsi que les

données du problème.