PCSI 1 – 2018-2019

Samedi 18 janvier 2020

I. Dispositifs de communication RFID :

Pour transmettre des informations à un interrogateur appelé aussi

« lecteur », une étiquette RFID est munie d’une puce électronique

associée à une antenne ; l’ensemble ainsi formé est appelé

« étiquette ».

La puce électronique de l’étiquette ne possède pas d’alimentation propre (pile ou batterie) car,

dans bon nombre d’applications, l'étiquette serait alors trop volumineuse, trop onéreuse et une

maintenance deviendrait nécessaire pour recharger la batterie ou changer la pile.

Les étiquettes RFID tirent donc leur énergie d’une autre source et c’est l’interrogateur qui va la

leur fournir. L’antenne de l'étiquette sert à communiquer avec le lecteur et à capter l’énergie

radiofréquence issue de ce dernier. On parle alors de téléalimentation ou d’alimentation à

distance. En effet, grâce au phénomène d’induction [cf. cours F1 à F5 de PCSI], l’onde

électromagnétique envoyée par l’interrogateur (fréquence f0 = 866 MHz) provoque l’apparition

d’une tension aux bornes de l’antenne spirale de l’étiquette RFID qui constitue alors un générateur

de tension sinusoïdale de valeur efficace et d'impédance interne ZG :

= +

1. RG est la résistance de l’impédance interne et est positive. Quel est le nom de XG et quel est

son signe probable [justifier en une courte phrase] ?

DEVOIR SURVEILLE N°4 PHYSIQUE

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La puce est équivalente à une impédance de charge : = + .

Le circuit équivaut alors à celui de la figure ci-contre :

On cherche les conditions pour lesquelles la puissance transférée par le générateur à la puce est

maximale : on parle alors d'adaptation d'impédance.

2.a. Démontrer l’expression de la puissance moyenne reçue par un dipôle d’impédance Z en

régime sinusoïdal établi. Exprimer la réponse en fonction de Ueff , Ieff et du déphasage Δϕ entre

u(t) et i(t) (Δϕ = ϕu – ϕi).

2.b. Rappeler la définition de l’impédance d’un dipôle en régime sinusoïdal et établir la relation

entre Ueff, Ieff et |Z| puis entre Δϕ et arg(Z).

2.c. Montrer que cos(Δϕ) = Re(Z)/|Z|.

2.d. En déduire que la puissance moyenne reçue, en régime sinusoïdal forcé, par un dipôle

d'impédance = + parcouru par un courant d'intensité efficace s'écrit :

= R ²

2.e. Montrer que la puissance moyenne fournie à la puce Pa est maximale lorsque Z =Z∗ (où

Z∗ est le complexe conjugué de ZG ).

2.f. On suppose que l'adaptation d'impédance est réalisée. Exprimer la puissance moyenne

reçue par la puce Pp en fonction de et .

2.g. Le fonctionnement de l'étiquette nécessite une puissance de Pp = 10 μW. En déduire alors

l'ordre de grandeur de l'intensité efficace du courant circulant dans le circuit électrique de

l'étiquette RFID sachant que RG = 132 Ω.

Z i

u

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II. Accordeur de guitare (d’après concours Centrale TSI 2019) :

Nous allons étudier quelques aspects d’un accordeur électronique de guitare.

La guitare comporte six cordes correspondant aux 6 notes suivantes Mi grave, La, Ré, Sol, Si, Mi

aigu dont les fréquences fondamentales de référence sont les suivantes :

Corde Fréquence (Hz)

Mi grave 82,4

La 110

Ré 146,8

Sol 196

Si 246,9

Mi aigu 329,6

On souhaite accorder une corde légèrement désaccordée : on notera f1 la fréquence fondamentale

de vibration de la corde en question.

Le principe général est d’extraire la fréquence fondamentale f1 du signal émis par la corde de la

guitare et de la comparer à la fréquence f0 de référence.

Dans les accordeurs récents le traitement est numérique : un calculateur numérique calcule l’écart

de fréquence (f1 – f0) et indique à l’utilisateur quand la corde est accordée, c’est-à-dire quand

f1 = f0. Nous allons nous intéresser à la mise en forme du signal capté par le micro avant sa

numérisation.

1. La figure ci-dessous montre le signal électrique ue à la sortie du micro de la guitare

électrique.

1.a. Donner une valeur approchée de la valeur moyenne et de l’amplitude de ce signal.

1.b. Donner une estimation de la valeur de la fréquence de ce signal (on peut supposer qu’en

première approximation le signal est périodique). De quelle corde de la guitare s’agit-il ?

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2. La figure ci-dessous donne le spectre en fréquence du signal ue précédent.

Donner deux arguments montrant la cohérence entre le signal et le spectre.

3. Avant toute chose, le signal électrique ue provenant du micro de la guitare est envoyé sur

le filtre F1 de la figure ci-contre.

3.a. Déterminer qualitativement la nature de ce filtre.

3.b. Établir l’expression de la fonction de transfert H =u/u de ce filtre.

3.c. Déterminer l’expression de la fréquence de coupure notée f1 à l’aide de la forme canonique

de ce type de filtre. Faire l’A.N. pour R1 = 100 kΩ et C1 = 100 nF.

3.d. Déterminer les équations des asymptotes du diagramme de Bode du gain en dB.

Déterminer leur point d’intersection. Est-ce cohérent avec la réponse à la question précédente ?

3.e. Déterminer le déphasage ϕ en fonction de ω puis les équations des asymptotes du

diagramme de Bode de la phase ϕ.

3.f. Tracer l’allure du diagramme de Bode du gain de ce filtre sur la copie en fonction de la

fréquence et indiquer le rôle de ce premier filtre.

R1

C1

u1 ue

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4. Les amplificateurs opérationnels sont idéaux (i+ = i– = 0) et fonctionnent en régime linéaire

(ε = V+ - V– = 0).

4.a. Montrer que la fonction de transfert H = s/e du filtre ci-dessous est :

= 1 +

4.b. Rappeler la définition de l’impédance d’entrée d’un filtre. Quelle est l’impédance d’entrée

Ze de ce filtre ?

4.c. Rappeler la définition de l’impédance de sortie d’un filtre. Justifier que l’impédance de

sortie ZS de ce filtre vaut Z2.

4.d. Que devient H si Z1 et Z2 sont des résistances (Z1 = R1 et Z2 = R2). Quel est dans ce cas

l’intérêt de ce filtre ?

5. En sortie du filtre F1, le signal u1 est envoyé sur un deuxième filtre noté F2 :

5.a. En remarquant que ce filtre est de structure identique au filtre de la question 4, montrer

que sa fonction de transfert est de la forme ci-dessous en donnant les expressions de A0 et ω2.

=

= 1 + !

1 + "/"

5.b. Déterminer les limites du gain en dB de ce filtre en basse fréquence et en haute fréquence.

5.c. Calculer la valeur de A0 et la fréquence caractéristique f2 correspondant à ω2 si R2 = 680 kΩ,

R3 = 6 kΩ et C2 = 470 pF. Expliquer le rôle de ce filtre après avoir tracé l’allure de sa courbe de gain

en dB.

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6. La figure suivante représente 4 spectres fréquentiels.

6.a. En le justifiant soigneusement, dire quel spectre correspond à la sortie u1 du filtre F1 (filtre

de la question 3) alimenté par le signal ue provenant du micro de la guitare.

6.b. Même question pour le spectre du signal u2 à la sortie du filtre F2 (question 5) alimenté par

le signal u1 provenant de la sortie du filtre F1.

7. On souhaite maintenant sélectionner la fréquence fondamentale f1 du signal u2 dont la

valeur est a priori voisine de celle de la fréquence fondamentale théorique de vibration de la corde

sélectionnée sur l’accordeur (f0) : on suppose que la corde est légèrement désaccordée.

On suppose pour la suite que c’est la corde du Mi aigu que l’on souhaite accorder (f0 = 329,6 Hz).

Le signal u2 est envoyé sur un troisième filtre, noté F3 dont le schéma est donné sur la figure

suivante.

R

C u3 u2 L

Spectre a Spectre b

Spectre c Spectre d

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7.a. Étudier le comportement asymptotique de ce filtre.

7.b. Déterminer l’expression de la fonction de transfert # =#/ de ce filtre et la mettre

sous sa forme canonique en indiquant les expressions des paramètres introduits : H0, ω0 et Q.

7.c. Établir l’équation des asymptotes BF et HF du gain en dB en fonction de la pulsation réduite

x = ω/ω0. Déterminer les pentes et les coordonnées du point d’intersection des asymptotes.

7.d. En prenant Q = 3, déterminer les valeurs numériques x1 et x2 limitant la bande passante.

7.e. Tracer les asymptotes précédentes sur le diagramme fourni en annexe en prenant Q = 3 et

tracer le diagramme réel après avoir ajouté trois points exacts.

8. Les figures suivantes représentent le diagramme de Bode relatif au gain en dB du filtre F3 à

diverses échelles.

8.a. Déterminer sa fréquence propre f0 avec précision [expliquer en une ligne la méthode de

lecture].

8.b. Déterminer, par deux méthodes indépendantes, son facteur de qualité Q [valeur

différente de celle utilisée à la question 7.d pour le tracé].

8.c. Si la corde est désaccordée à f1 = 315 Hz, estimer, en le justifiant, par quel facteur est

multiplié sa composante spectrale fondamentale en sortie de ce filtre.

9. Le montage en cascade de ces trois filtres ne conduit à Htot = u3/ue = H1×H2×H3 qu’à

certaines conditions sur les impédances d’entrée et de sortie de ces filtres.

9.a. Donner le schéma équivalent à un filtre en faisant apparaitre son impédance d’entrée Ze,

son impédance de sortie ZS et sa fonction de transfert à vide Hvide.

9.b. Établir les conditions que doivent vérifier les impédances pour que Htot = H1×H2×H3.

9.c. Ces conditions sont-elles vérifiées pour ces trois filtres à toutes fréquences ?

9.d. Dans le cas où ces conditions ne seraient pas vérifiées entre deux filtres, indiquer une

solution utilisant un amplificateur opérationnel.

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III. Filtre électrique du premier ordre :

On étudie le filtre ci-dessous en régime sinusoïdal forcé :

La tension d’entrée est sinusoïdale de pulsation ω :

ue = em cos(ωt).

1. Déterminer le comportement asymptotique de ce filtre.

2.a Établir sa fonction de transfert H = uS/ue en fonction de R1, R2, C et ω.

2.b. Mettre H sous la forme ci-dessous et expliciter H0, ω1 et ω2.

= !1 + "/"

1 + "/"

Pour toute la suite, on prendra H0 = 0,1 , f1 = 400 Hz et f2 = 4,0 kHz.

3.a. Tracer le diagramme de Bode asymptotique du gain en décibels GdB sur la copie.

3.b. Ajouter deux points exacts sur le tracé précédent et tracer le diagramme réel de GdB.

4.a. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la phase ϕ sur la feuille annexe.

4.b. Ajouter deux points exacts sur le tracé précédent et tracer le diagramme réel de la phase.

5. Déterminer l’expression de us pour les expressions suivantes de ue :

5.a. ue = U0

5.b. ue = U1 cos(ω1 t)

5.c ue = U2 cos(ω2 t)

5.d. ue = U3 cos(10ω2 t)

5.e. Si ue = U0 + U1 cos(ω1 t) + U2 cos(ω2 t) + U3 cos(10ω2 t), donner us(t) puis sa valeur efficace.

6.a. Déterminer l’impédance d’entrée Ze de ce filtre.

6.b. Déterminer l’impédance de sortie Zs de ce filtre.

6.c. On souhaite utiliser un GBF d’impédance interne Rint = 50 Ω pour fournir la tension d’entrée

ue. A quelle condition sur Ze le signal observé en entrée du filtre sera-t-il bien conforme au signal

programmé en façade du GBF ? Cette condition peut-elle être vérifiée à toute fréquence ?

6.d. On souhaite observer la tension uS à l’aide d’un oscilloscope dont l’impédance d’entrée est

l’association en dérivation d’un résistor de résistance Rosc = 1 MΩ et d’un condensateur de

capacité Cosc = 12 pF. A quelle condition sur Zs peut-on considérer que le filtre est étudié à vide ?

Cette condition peut-elle être vérifiée à toute fréquence ?

R1

C R2

ue us

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ANNEXE pour la question II.7.d :