Physique. Devoir surveillé N°1. -...

PCSI. 00/01.

Physique.Devoir surveillé N°1.

Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentationclaire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le

vecteur sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.

Exercice I. Cinématique du point.Un point M se déplace sur une courbe définie par :

tt

ebzt

2de)t(r

1. Déterminer, en fonction de t, l’expression du vecteur vitesse en coordonnéescylindriques. En déduire sa norme.

2. Montrer que le vecteur vitesse fait un angle constant avec le vecteur position.3. Déterminer, en fonction de t, l’expression du vecteur accélération en coordonnées

cylindriques. En déduire sa norme.

On considère maintenant que le point M se déplace dans le plan horizontal z = 0.

4. Déterminer l’expression de l’abscisse curviligne s en fonction de . On posera s = 0 en

= 0.

5. Déterminer de deux manières différentes l’expression du vecteur T de la base de Frenetdans la base cylindrique.

6. Déterminer le vecteur N tel que (T, N, k ) soit orthonormé.

7. Déterminer les expressions des composantes tangentielle et normale de l’accélération.8. Déterminer, en fonction de t, et de deux manières différentes le rayon de courbure Rc de

la trajectoire.

Exercice II. Conduction métallique.Un fil de cuivre de diamètre D =2 mm et de longueur l = 10 m est traversé par un courantélectrique d'intensité I = 5 A. La résistivité du cuivre, supposé à 60 °C, vaut environ

= 2.10-8 .m. La concentration en électrons libres vaut n = 1029 m-3. La charge élémentaire estnotée e, e = 1,6.10-19C.

1. Calculer la résistance R du fil.

2. Calculer la vitesse vP de déplacement d'ensemble des électrons libres.

3. Calculer la tension appliquée entre les extrémités du fil et le champ électrique (supposéuniforme) dans le fil.

On suppose que l'action du réseau sur les électrons libres de masse m équivaut à une force de

frottement fluide de valeur proportionnelle à la vitesse v , de la forme f = -k v, avec k constant et

v vitesse acquise sous l'action d'un champ électrique.

4. Les électrons étant supposés immobiles, on établit le champ électrique E.Par application de la relation fondamentale de la dynamique établir l'équation

différentielle en v qui régit le mouvement des électrons.

5. Donner l'expression de la vitesse limite vp atteinte par les électrons en régime

permanent. Exprimer sa norme.

6. Exprimer la conductivité k en fonction de e, n et . Calculer k.

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Exercice 1. Utilisation du théorème de Thévenin.On considère le réseau suivant :

On désire déterminer la tension UCD et pour cela on utilise le théorème de Thévenin.

1. Déterminer la résistance équivalente Req entre C et D.

2. Déterminer la f.é.m équivalente Eeq du générateur de Thévenin pour le circuit ouvert

entre C et D. Pour déterminer cette grandeur on demande d'appliquer le théorème deMillman successivement aux points A et C.

3. Déterminer l'expression de la tension UCD.

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Exercice 2. Lois de composition.Soit une plaque carrée ABCD, de côté a. On suspend la plaque par deux fils, de même longueur l,

inextensibles, souples, attachés en A et O1 pour le premier et en B et O2 pour le second. O1 et O2

sont situés sur une même horizontale, distants de a, fixes dans le repère O1x, O1y, O1z noté R.

On considère des petites oscillations, de période T, de la plaque, dans le plan vertical contenant

O1O2 caractérisées par l'angle variable = (O1z, O1A) = ocost avec = 2/T.

On définit un repère « tournant » de base ur, u, avec :

ur = O1A/O1A, u orthogonal à O1A tel que le trièdre (ur, u, uy) soit direct ( uy unitaire suivant

O1y)

On appelle R1 le trièdre direct (Ax1, Ay1, Az1) lié à la plaque.

1. Donner l'expression de vA/R dans la base de projection (ur, u).

A quels instants tk son module est-il maximal ?

2. Caractériser le mouvement du repère R1 par rapport à R.

En déduire l'expression de vC/R.

3. A l'instant t = 0, un insecte I part du point C et décrit le segment CB avec une vitesse

constante V = -Vuz1 par rapport à la plaque.

Comparer les accélérations a(A) et a(I) par rapport à R.

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Exercice 3.Conductivité des semi-conducteurs.1. Mise en évidence de quelques ordres de grandeur.Pour réaliser du silicium de "type N", on a incorporé à du silicium pur, du phosphore, à raison de

Nn=1,5.1021 atomes de phosphore par m3 de silicium; pour réaliser du silicium de "type P", on a

incorporé à du silicium pur, du bore, à raison de Np = 3,0.1023 atomes de bore par m3 de

silicium; on suppose que les atomes de phosphore ou de bore sont régulièrement répartis dans lecristal de silicium.Déterminer :

1.1.Pour le silicium pur le nombre d'atomes par m3.1.2.Pour un volume donné de silicium de type N le rapport r du nombre d'atomes de

silicium au nombre d'atomes de phosphore.1.3.La masse m’ de phosphore à incorporer à m = 1 kg de silicium pour obtenir la

concentration Nn, indiquée pour le silicium de type N.

Données :

les masses atomiques du silicium et du phosphore en g/mol :Msi = 28 MP = 31

la masse volumique du silicium = 2 330 kg.m-3

le nombre d'Avogadro NA = 6,02.1023 mol-1

2. Calculs de conductivités.On considère un milieu conducteur homogène dans lequel coexistent 2 types de porteurs decharge régulièrement répartis :

des porteurs de charge positive +q à raison de p porteurs par m3

des porteurs de charge négative -q à raison de n porteurs par m3.

Dans ces conditions, V étant le vecteur vitesse moyenne d'un porteur de charge soumis à un

champ électrique E, on définit la mobilité P des porteurs positifs par VP = P E et la mobilité n

des porteurs négatifs par Vn = n E.

2.1.Exprimer la densité de courant j en un point quelconque de ce milieu homogène soumisà un champ électrique uniforme d'intensité E : en déduire l'expression de la

conductivité de ce milieu en fonction de q, n, p et des mobilités.Interpréter.

2.2.Calculer numériquement:

2.2.1. La conductivité n et la résistivité n du silicium de type N en considérant que le

phénomène de conduction y est dû uniquement à la présence de n = Nn électrons par

m3 ,ces électrons ayant une charge - q = - 1,6.10- 19 C et une mobilité

n = - 0,15 m2.V-1.s-1.

2.2.2. La conductivité p et la résistivité p du silicium de type P en considérant que le

phénomène de conduction y est dû uniquement à la présence de p = Np porteurs positifs

par m3 ,ces porteurs ayant une charge q = 1,6.10- 19 C et une mobilité p = 0,05 m2.V-

1.s-1.

2.2.3. La conductivité i et la résistivité i du silicium à l'état pur en considérant que le

phénomène de conduction y est dû à la fois à la présence de n = ni électrons par m3 et

de p = ni porteurs positifs par m3, tous ces porteurs ayant les caractéristiques

précédemment indiquées.

On donne ni =1 ,5.1016 m-3.

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Exercice 1. Etude de différents régimes d'un circuit.La partie C est totalement indépendante de A et B ; la partie B est pour une grande partindépendante de A.

A. On considère le circuit ci-dessous composé de deux branches de même résistance Rcomportant en outre l'une une self pure L et l'autre un condensateur de capacité C. Elles sontalimentées par un générateur de tension continue de f.é.m. E et de résistance interne

négligeable. On pose : = RC = L/R.

Le condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t =0 l'interrupteur K.On désignera respectivement par i1 et i2 les intensités dans la branche contenant la self et dansla branche contenant le condensateur.

A.1 Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i1 (t) et tracer l'allure de lacourbe correspondante.

A.2 Déterminer de même le régime transitoire i2 (t) et tracer l'allure de la courbecorrespondante.

A.3 A quel instant aura-t-on i1= i2 ?

Application numérique L = 1,0 H ; C = 1,0 F ; R = 1,0.103

B. On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur.K étant fermé, le régime permanent est établi. A un instant que l'on choisira comme nouvelleorigine des temps, on ouvre l'interrupteur K.

B.1 Etablir les équations différentielles du second ordre relatives à la charge q ducondensateur d'une part, à l'intensité i du courant d'autre part.

B.2 Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i.B.3 En déduire en fonction du temps l'expression, en régime transitoire, de la charge q(t).

On discutera des différents cas possibles suivant les valeurs de R, L et C mais on necherchera pas à déterminer les constantes d'intégration. Donner, dans chaque cas,l'allure de la courbe q(t).

B.4 Application numérique L = 1,0 H ; C = 1,0 F ; R = 1,0.103 ; E = 10 V.Déterminer complètement q(t).

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C. On consid ère toujours le m ême circuit, mais le g én é rateur est remplac é par un

g én é rateur de tension alternative de f. é .m e = Emcost dont la r é sistance interne esttoujours n égligeable. Le condensateur étant d écharg é, on ferme l'interrupteur K à l'instantt = 0. On ne consid érera plus maintenant que le r égime sinuso ïdal forc é .

C.1 D éterminer l'expression de l'amplitude Im1 et du d éphasage 1 du courant i1(t) parrapport à la tension e(t).

C.2 D éterminer l'expression de l'amplitude Im2 et du d éphasage 2 du courant i2(t) parrapport à la tension e(t).

C.3 Quelle relation doit-on avoir entre R, L et C pour que i2 soit en quadrature avance parà i1 et cela quelle que soit la fr équence ?

C.4 La condition établie en C.3 étant r éalis ée, d éterminer quelle est la valeur del'amplitude Vm de la tension VA-VB (voir sch é ma).D épend-elle de la fr é quence ?

Exercice 2. Etude du mouvement d'un point dans un cylindre creux, avec et sansfrottement.Du point le plus bas Mo d'un cylindre creux, de rayon R et d'axe horizontal, est lanc é une

particule de masse m avec une vitesse horizontale vo perpendiculaire à la g én é ratrice

passant par Mo.Cette particule M, qui se d éplace dans le plan de section droite du cylindre de centre O, est

rep ér é e à chaque instant par l'angle = (OMo, OM). On d ésigne par g le module du champde pesanteur suppos é uniforme.

A. Le point M glisse sans frottement à l'int ér ieur du cylindre.

A.1 Exprimer en fonction de m, R, vo et g, le carr é de la vitesse angulaire 2 de M en

fonction de son élongation angulaire . Remarque :

d

d

dt

d

d

d

dt

d.

A.2 D éterminer de m ême la r éaction N() du cylindre sur la particule M.

A.3 Calculer l'amplitude m des oscillations pour gRvo et pour gRvo5

7 .

A.4 Pour quelles valeurs de la vitesse initiale vo ( exprim ées en fonction de g et de R ), la

particule M sera-t-elle anim ée d'un mouvement r évolutif dans le mê me sens?

B. Le point M glisse avec frottement solide à l'int érieur du cylindre avec un coefficient defrottement f= T/N, o ù T et N sont les modules des composantes tangentielle et normale de lar éaction du cylindre sur M.

B.1 Etablir l' équation diffé rentielle du second ordre en (t), qui fait intervenir les seulesdonn ées f, g et R.

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Exercice 3. Amplificateur inverseur-non inverseur à gain réglable. Résistance d’entrée.

Dans le montage ci-dessous, on supposera l’amplificateur op érationnel id éal. La position du

curseur C, mobile entre O et N, d éfinit les r é sistances r et R1- r. On posera X = Ro + R1.

1. Calculer le gain en tension G =E

S

U

Ude cet amplificateur en fonction de R2, X et du

param ètreXR

rR

.

2. On veut que ce montage fonctionne en amplificateur inverseur-non inverseur, de gainr églable entre –3 et +0,5 par d éplacement du curseur sur la totalité de la

r ésistance comprise entre les points N et O. On pose R2 = 5 X = 20 k .

Calculer les r ésistances Ro, R1 et R qu’il faut adopter dans ces conditions.

3. Calculer la r ésistance d’entr ée Re de cet amplificateur en fonction de X, R et .

4. Entre quelles limites varie Re dans les conditions de la deuxi ème question ?

5. On se place dans les conditions o ù est minimal (curseur en O). D é terminer lar ésistance R qu’il faut adopter pour que le montage ait le m ême gain en modulelorsque M est mis à la masse ou lorsque N est mis à la masse.

Application num érique : Ro = 1 k, R1 = 3 k, R2 =5 X = 20 k.

Calculer la r ésistance R et le module du gain.

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Problème 1. Etude de circuits électriques.Le circuit ci-dessous (figure 1) est composé d'une résistance R et d'un condensateur decapacité C et alimente la résistance de charge R'. On note ue la tension d'entrée et us la tensionde sortie.

Figure 1

1.a Le circuit est alimenté par une tension continue ue = E. Etablir l'équation différentielle

vérifiée par us . On posera :RR'

RR'Cτ

.

1.b. Résoudre cette équation dans le cas où le circuit est alimenté à l'instant t = 0 .

1.c. Représenter us (t)

1.d. Exprimer la tension aux bornes de R et représenter ses variations en fonction du temps.

2.a. Le circuit est alimenté par une tension sinusoïdale ue = E cos (t).

On pose :

1o et

ox

.

Calculer la fonction de transfert. Montrer qu’elle est de la forme :

jx1Ho)jx(H

Déterminer l’expression de Ho.

2.b.Déterminer le gain en dB du montage. Déterminer le comportement asymptotique etévaluer la qualité de cette représentation.Représenter la courbe de réponse en gain en fonction de X = logx.Déterminer la bande passante du montage

2.c. Etudier les variations de l’argument de la fonction de transfert en fonction de X.Représenter la courbe de réponse en phase en fonction de X.

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3.Le montage es remplacé par le suivant (figure 2) où l'amplificateur opérationnel est supposéidéal (i+ = i- = 0) et fonctionne en régime linéaire pour lequel V+ = V- .

Figure 2

Calculer la nouvelle fonction de transfert. Etudier le comportement asymptotique(intégateur, dérivateur ….) Quel est l'avantage du montage par rapport au précédent ?

4.a.On alimente le montage de la figure 2 par une tension créneaux , de période T :ue(t) = - E pour p.T- T/2 < t < p.T où p est un entier relatifue(t) = E pour p < t < T/2 + p.T

Calculer la décomposition en série de Fourier de ue.

On rappelle que ue =2a0 + ( an cos(nt) + bn sin(nt))

avec an =T2

2T

2T

ue cos(nt) dt et bn = T2

2T

2T

ue sin(nt) dt et =T2

4.b.En déduire la tension de sortie us(t).

4.c.Comment choisir R et C pour que la sortie soit quasiment triangulaire ?

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Problème 2. Exemple de bifurcation en mécanique.On appelle bifurcation d’un système mécanique le changement du nombre de positionsd’équilibre, de la position d’équilibre stableUn point matériel A, de masse m, évolue sans frottement sur un guide circulaire C, vertical,de centre O et de rayon r. Le contact se maintient au cours du mouvement: concrètement, Apeut être représenté par une perle enfilée sur C. Ce guide tourne uniformément, à la vitesseangulaire = ez, ( > 0), autour de son diamètre BH. Ce dernier est dirigé suivant l'axevertical ascendant Oz d'un référentiel terrestre R supposé galiléen.On caractérise la position de A sur C par le paramètre angulaire = (OB,OA). En outre, onnote g le champ de pesanteur terrestre.

1. Exprimer, en fonction de , l'énergie cinétique de A, par rapport au référentiel tournantlié au guide R' = Ox'y'z.

2. Trouver l'énergie potentielle de pesanteur en fonction de . On prendra comme origine lavaleur à = /2.

3. Montrer que la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle. En prenant,là aussi, comme origine la valeur à = /2, donner l'expression de cette énergiepotentielle en fonction de .

4. On poserg2

c . Déduire de ce qui précède que l'énergie potentielle totale peut se mettre

sous la forme :

cos2

1cosmgrEp

où est une grandeur non dimensionnée que l’on déterminera en fonction de et c.5. Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait en fonction de , c, et des

dérivées temporelles adéquates de .6. Trouver les positions d'équilibre de A dans R'.7. Que peut-on dire de la stabilité de ces positions d'équilibre? On basera l’étude sur

l’énergie potentielle du système.8. Tracer le graphe donnant la position d'équilibre stable e 0 en fonction de . On

précisera les valeurs de la pente de/d pour = c et >> c. Le pointcorrespondant à = c, est appelé point de "bifurcation".

Quelles sont les positions d'équilibre stable pour = c/ 2 et pour = c 2 .

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Problème 3. Mouvement d’une masse sur un axe en rotation uniforme.Le référentiel terrestre o est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère(O, exo, eyo, ezo ). Un point matériel M, de poids P = -mg ezo, glisse sans frottement sur un axe0x2. L'axe 0x2 fait un angle constant avec l'axe Oz0 et est en mouvement de rotation

uniforme ( = constante) autour de l'axe Oz0 par rapport au référentiel o. On notera 1 leréférentiel rapporté au repère orthonormé direct (O, ex1, ey1, ez1 ) tel que ez1 = ezo.

Le repère (O, ex1, ey1, ez1 ) se déduit à chaque instant de (O, exo, eyo, ezo ) par une rotationd'angle autour de l'axe Oz0.L'axe Ox2 reste continuellement dans le plan Ox1y1 et se déduit à chaque instant de Oz0 parune rotation d'angle autour de l'axe Oy1.On notera 2 le repère orthonormé direct (O, ex2, ey2, ez2 ) tel que ey2 = ey1 .On définit le vecteur suivant : OM = x ex2. L'action exercée par l’axe Ox2 sur le point M seranotée R = Ry ey2 + Rz ez2.

1. Déterminer la vitesse v(M /o) du point M par rapport à o et exprimer la dans 2.

2. Déterminer l’accélération a(M /o) du point M par rapport à o et exprimer la dans 2.

3. Ecrire sous forme vectorielle la relation fondamentale de la dynamique appliquée au pointM.

4. Projeter la relation trouvée à la question 3 sur l'axe Ox2. En déduire l'équation différentielledu mouvement.

5. Déterminer la position d'équilibre relatif du point M.

6. Projeter la relation trouvée à la question 3 sur les axes Oy2 et Oz2. En déduire lescomposantes Ry et Rz. de la réaction R de l'axe Ox2 sur le point M.

7. Que représente la composante Ry ? Que devient-elle lorsque l'équilibre relatif est atteint ?

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Problème 1. TIR D’UN OBUS VERS LE ZÉNITH. (extrait 99. Mines Alès, Douai, Albi)Au 17ème siècle, le Père Mersenne, ami et correspondant de Descartes, se livra à un tir d’obus, le canonétant pointé vers le zénith. Le résultat ne fut pas du tout celui escompté.On se propose d’étudier l’influence de différents facteurs physiques sur la trajectoire de l’obus.En un lieu A de latitude = 48°N, un canon tire un obus à la vitesse v0 = 100 m.s1 suivant la verticaleascendante Az. On désigne par Axyz un repère orthonormé lié à la Terre, Ax étant dirigé vers le Sud.On assimile la Terre à une sphère homogène, tournant autour de l’axe des pôles à la vitesse angulaire0 = 7,3 105 rad.s1.On note

g 0 le champ de pesanteur terrestre, de module g0 supposé constant égal à 10 m.s2.

1. On considère le référentiel lié à la Terre galiléen1.1. On néglige la résistance de l’air.

a) Donner l’expression de la vitesse v de l’obus à un instant quelconque.

b) Exprimer l’énergie mécanique de l’obus. Varie-t-elle au cours du temps ? Calculer l’altitude

maximale zmax atteinte par l’obus.c) En quel point et au bout de combien de temps l’obus retombe- t-il ?

1.2. La résistance de l’air sur l’obus, de forme sphérique de rayon r0 = 5 cm et animé d’une vitesse v, setraduit par une force de module f = kr0

2 v2. Au voisinage des conditions normales, k = 0,25 S.I. L’obusest en plomb de masse volumique = 11,3 g.cm3.

a) Préciser l’unité de k.b) Comparer la force de frottement au poids. Que penser ?c) On prend en compte cette force de frottement fluide.

On pose u = v2. Montrer que, dans la phase ascendante, u vérifie l’équation :

dzdu = - 2g0 - 2

km

rO2u

On posera d =m

2k rO2

.

Déterminer la fonction z(u) en fonction de de vo, go, d et z puis en fonction de , ro, k, go et vo.En déduire l’altitude maximale atteinte par l’obus. Faire l’application numérique.

Dans la suite du problème, on ne prend pas en compte les frottements de l’air sur l’obus.

2. On considère que le référentiel lié à la Terre ( A , x , y , z ) est non galiléen2.1. Ecrire, en négligeant la résistance de l’air, l’équation du mouvement de l’obus. Pourquoi la

force d’inertie d’entraînement n’intervient pas explicitement dans l’équation du mouvement ?2.2. Soit (

i j k, , ) la base orthonormée associée au repère ( Axyz ). M repérant la position de

l’obus, on pose A

Mxiyjzk .

Déterminer les composantes du vecteur accélération de l’obus dans cette base.On évalue la force d’inertie de Coriolis en utilisant la loi de vitesse obtenue au 1.1.a. Justifiercette méthode de calcul et montrer que :

y – 20 (v0 – g0t ) cos.

En déduire une expression approchée de l’ordonnée y de l’obus. Évaluer y au moment oùl’obus tombe sur le sol. La déviation se fait-elle vers l’Ouest ou vers l’Est ?Etudier ensuite le cas où t .

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Problème 2 : Microscope à force atomique. ( Extrait E3A 00 )Ces dernières années, de nouvelles techniques dites de "microscopies à champ proche" se sontdéveloppées pour étudier les surfaces. Parmi ces techniques, le microscope à force atomique permet dedéterminer les caractéristiques topographiques, électriques ou magnétiques de la surface étudiée enmesurant la force exercée sur une fine pointe fixée à l'extrémité d'un levier élastique et placée à unedistance comprise entre une fraction et quelques dizaines de nanomètres de la surface. Ce problème étudiele comportement mécanique de l'ensemble levier-pointe dans deux modes de fonctionnement classiquesdu microscope à force atomique. Les deux parties sont largement indépendantes.Dans tout le problème, en modélise le système levier-pointe par une masse ponctuelle m fixée à un ressortsans masse, de longueur à vide nulle et de raideur k. La position instantanée de la pointe est notée z(t),l'origine des ordonnées étant prise sur la surface à étudier. On note d la distance entre la surface etl'extrémité du ressort. On suppose de plus que l'interaction pointe-surface est décrite par une énergiepotentielle notée U(z). La force correspondante sera notée F(z). On néglige la force de pesanteur.

Partie A: Mode contact.En mode dit "contact", lorsque la pointe est approchée de la surface, elle est soumise à une forceatomique qui induit une déflexion du levier que l'on peut mesurer optiquement avec une grandesensibilité. On s'intéresse ici à quelques aspects de ce mode de fonctionnement liés à la stabilité despositions d'équilibre de la pointe.

1. En supposant d fixée, et en notant z0 une position d'équilibre de la pointe, écrire la conditiond'équilibre de la pointe.

2. Etablir l’équation différentielle du mouvement de la pointe.En posant z = z0 + avec << z0, montrer que la condition de stabilité de cet équilibre est :

0

2

2

z z

d Uk 0

dz

On suppose dans toute la suite de cette partie que U(z) a pour expression:

7

A BU z

z zavec 88 7A 10 Jm et 29B 10 Jm .

3.a Représenter précisément les graphes de U(z) et F(z). Préciser les extremum et faire lesapplications numériques. Commenter.

3.b Proposer une méthode graphique pour déterminer les positions d'équilibre de la pointe lorsqued est fixée.

4. On suppose que la pointe est à l'équilibre à une distance z0 de la surface telle qu'elle se trouvedans la partie répulsive de la courbe d'interaction (F(z0) > 0). Cet équilibre est-il stable ?Montrer qu'une variation d de la distance d entraîne une variation z de la distance pointe

surface donnée par:

0

1

z

1 dFz d 1

k dz

En déduire que dans de telles conditions, une mesure de l'allongement du ressort lorsqu'ondéplace la pointe au dessus de la surface donne directement la topographie de celle-ci.

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Partie B : Mode Résonnant.En mode résonnant, la pointe est à quelques dizaines de nanomètres de la surface et le levier est excitémécaniquement par une force oscillante d'amplitude F0 et de pulsation . On étudie comment lespropriétés dynamiques du levier sont modifiées par l'interaction pointe-surface. On suppose qu'il existe

entre la pointe et son environnement une force de frottement dont l'expression est: dz

dt5. On suppose dans cette question que la pointe est à une distance de la surface suffisamment

grande pour qu'elle ne soit soumise à aucune force.5.a. Ecrire l'équation du mouvement de la pointe et montrer que l'amplitude de ses oscillations a

pour expression :

2

2222

02

o

mm

F)(A

avec 0

k

m.

Dans toute la suite, on suppose que la force de frottement subie par la pointe est faible de sorte que :

1m 0

b. On pose Q =

0met x =

0

.

Exprimer l’amplitude A des oscillations en fonction de Fo, m, x et Q.

Montrer que l'amplitude des oscillations de la pointe présente une résonance à une pulsation que l'on déterminera.Préciser l'amplitude au maximum A0.

Montrer que la mi-hauteur ( A() = Ao/2 ) de la courbe de résonance correspond à :

m2

30

.

Montrer également qu'à mi-hauteur de la courbe de résonance, la variation avec la fréquence del'amplitude de vibration est bien décrite par:

0

2 20

FA

m

6. On suppose maintenant que la pointe est soumise à l'interaction avec la surface décrite parl'énergie potentielle U(z) et la force F(z).

6.a. Ecrire l'équation du mouvement de la pointe.6.b. En effectuant un développement limité autour de la position d'équilibre de la pointe z0, montrer

que la présence d'une interaction est équivalente à une modification de la raideur du ressort etqu'elle induit un changement de fréquence de résonance donné par:

0

00

z z

dF

2k dz

lorsque

Ozzdz

dFk

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Problème 3. Traitement d’un signal électrique : filtrage.Le signal issu d’un microphone (tensionV1) est envoyé sur le circuit représenté ci-contre.Les composants notés Yi avec i = 1,2,3,4,5sont des admittances réalisées par desrésistances ou des condensateurs. Onrappelle que l'admittance d'un dipôle estl'inverse de son impédance.

1. Démontrer que la fonction de transfertpeut être mise sous la forme :

S.YY.Y

Y.Y

V

VjT

543

31

1

2

Déterminer S en fonction des admittances Yi.

2.Les admittances Y1, Y3 et Y4 sont réalisées par des résistances toutes égales à R tandis que lesadmittances Y2 et Y5 sont réalisées par des condensateurs de capacités respectivement égales à C2 et C1.

Déterminer l'expression de la fonction de transfert 1

2

V

VjT en fonction de R, C1 et C2.

2.2. Mettre cette fonction de transfert sous la forme : 2

00

1

2

jjm21

AV

VjT

en déterminant

les expressions de A, 0 et m en fonction de R, C1 et C2.

2.3.Déterminer, à partir des équations précédentes, les expressions de C1 et C2 en fonction de R, met 0.

2.4. Tracer la courbe de réponse en gain en fonction de X = log x avec x = /o. Discuter durésultat en fonction de la valeur de m.

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PCSI. 00/01.


Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire etlisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le vecteur

AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.

Problème 1. Satellite Hipparcos. ( extrait concours commun 2000 des écoles des mines d'Albi,Alès, Douai, Nantes )

Le satellite Hipparcos lancé le 8 Août 1987 était constitué principalement d'un télescope de 30 cm dediamètre. Celui-ci a permis d'établir un catalogue des positions, distances et éclats de plus de 118 000étoiles avec une précision jamais atteinte.Ce satellite devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H = 36 000 km. Un problème demise à feu du moteur d'apogée a laissé Hipparcos sur son orbite de transfert son altitude variant entre h etH. Après utilisation des moteurs de positionnement, l'altitude minimale a été portée à h = 500 km. Uneprogrammation du satellite a permis de s'affranchir des problèmes liés à cette orbite.Au cours d'une révolution, il passe dans la ceinture de Van Hallen. On supposera que cette ceinture est

comprise entre deux sphères de rayon r1 = 8 400 km, r2 = 28 000 km et de centre celui de la Terre. Laceinture de Van Hallen est constituée de particules chargées piégées dans le champ magnétique terrestre.Ces particules aveuglent les détecteurs d'Hipparcos interrompant les mesures des positions des étoiles.On assimile la Terre à une sphère de centre O, de rayon R = 6 400 km et de masse M et le satellite à unpoint matériel (S, m). On suppose le référentiel géocentrique Rgc galiléen. La période de rotation de laTerre dans ce référentiel appelée jour sidéral vaut T = 86 164 s. On note G la constante de gravitation, savaleur numérique n'est pas utile dans ce problème.

1. Exprimer la force qui s’exerce sur S.Montrer que le moment cinétique L en O du satellite est une constante du mouvement.En déduire que le mouvement du satellite est plan.

2. On pose que le mouvement s’effectue dans le plan perpendiculaire à l’axe Oz et on utilise les

coordonnées cylindriques (O, ur , u, uz). Exprimer la quantité 2r en fonction de Lz et m.Quelle est le nom de cette grandeur ?

3. Montrer que le vecteur excentricité e = uGMm

LZ v est une constante du mouvement ( v étant

la vitesse du satellite).

4. On choisit l'origine de l'angle polaire pour avoir = (e, u). Montrer que l'équation de la

trajectoire peut se mettre sous la forme

cos1

)(e

pr où e est la norme de e.

En déduire la trajectoire du satellite.

5. Exprimer et calculer e et p en fonction de h, H et R.

6. Exprimer et calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.

7. Enoncer sans démonstration la troisième loi de Kepler.

8. Exprimer la période Th de révolution d'Hipparcos en fonction de T, R, H et h.Calculer Th en heure.

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9. Déterminer les valeurs numériques des angles 1, 2 d'entrée et de sortie de la ceinture de VanHallen du satellite. On donnera les valeurs comprises entre 0 et 180°.

10. Représenter sur un schéma clair la trajectoire du satellite et l'aire A balayée par OS lors d'unpassage dans la ceinture de Van Hallen et correspondant à la période d’inactivité de S.

Pour la question suivante, on prendra une valeur approchée de A = 200.106

km2.

11. Déterminer le rapportTh

tO en fonction de A et Ae (aire de l'ellipse) où to est la durée totale

d'inactivité d'Hipparcos sur une période. Application numérique.

On donne l'aire de l'ellipse: 2

32

2

1 e

pAe

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Problème 2. Convertisseur tension – fréquence. Signaux en dent de scie et créneau.Les amplificateurs opérationnels A1 et A2 sont supposés parfaits et sont caractérisés par leur tension de

saturation VM = 13V.1. Dans le montage ci-dessous l'amplificateur A1 n'atteint jamais la saturation.

Etablir l'équation différentielle liant les tensions v1(t) , v2 (t) et v (t) .

On considère maintenant le montage suivant :

La tension d’entrée ve est continue. On posera :21

1

RR

Ra

et

65

5

RR

Rb

2. Etablir les expressions de la tension v (t) à la sortie de A1a) lorsque l'interrupteur K est ouvert ;b) lorsque l'interrupteur K est fermé.On désignera v (0) la valeur de v (t) à l'instant t = 0.On essayera d’utiliser au mieux la relation déterminée en 1).

En pratique l’interrupteur est réalisé par un montage qui provoque l’ouverture ou la fermeture du circuitau niveau de K suivant le sens de la bascule de la tension de sortie vsA l'instant t = 0, la tension de sortie vs = -VM , bascule de la valeur - VM à la valeur + VM etdemeure égale à + VM jusqu'à l'instant t = T1 puis rebascule à la valeur - VM et conservecette valeur jusqu'à l'instant t = T1 + T2. On négligera les durées de basculement (ou decommutation).

3. Déterminer la valeur v (0) de la tension v(t) à l'instant t = 0 , en fonction de VM et duparamètre b.

Représenter la fonction vs = f(v).

4. Calculer les durées T1 et T2 en fonction de a, b, C, R3, R4 , VM et ve. On pensera à préciserl’état de l’interrupteur K sur ces durées.

5. Quelle condition doivent vérifier les résistances R1, R2, R3 et R4 pour obtenir T1 = T2 ?

6. Tracer les graphes vs (v) , v (t) et vs (t).

7. Vérifier que la fréquence f du signal de sortie vs (t) est proportionnelle à la tension

d'entrée ve : f = Kve. Conclusion ?

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PCSI. 00/01. Physique. Devoir surveillé N°7.

Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire etlisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.

Problème 1. Dispositifs de mesure du champ de pesanteur.1. Pendule de Holweck-Leiay

Une masse ponctuelle m est placée à l'extrémité A d'une tige demasse négligeable, de longueur l = OA, articulée en un pointfixe O et mobile dans un plan vertical ; un ressort spiral exercesur cette tige un couple de rappel -C, où désigne l'angle quefait la tige avec la verticale ascendante Oz. On désigne par gl'intensité du champ de pesanteur.

1.1. Le système étant conservatif et à un degré de liberté ,former l'expression de l'énergie mécanique totale du système.L'expression précédente est une constante du mouvement ouintégrale première.1.2. En déduire l'équation du mouvement.1.3. En considérant comme petit, à quelle condition la position = 0 correspond-elle à un équilibre stabled'un oscillateur harmonique ?1.4. Cette condition étant supposée réalisée, calculer la période T des petites oscillations que l'on écrira sousla forme :

gA

lT

2 en donnant l'expression de A.

1.5. Calculer la variation relative de la période T/T correspondant à une petite variation g de l'intensité duchamp de pesanteur. Montrer que cet appareil peut être rendu plus sensible qu'un pendule simple, dont onappellera To/To la précision sur la mesure de la période To des petites oscillations.

2. Système masse-ressortUn ressort à spires jointives de raideur k et de masse m0 est suspendu verticalement par son extrémité A, enun lieu où l'accélération de la pesanteur est g. Sa longueur au repos est l0. On donne: k = 33 N.m-1 ;l0=0,35m ; m0 = 0,105 kgA l'autre extrémité B on accroche une masse quasiponctuelle m. Le ressort s'allonge de la quantité htelle que BO = h. La longueur du ressort est alorsAO = l.

Etude statique négligeant la masse m0

2.1. Exprimer g en fonction de h.2.2. Application numérique : pour m = 0,200 kg,on mesure h = 59,5 ± 0,1 mm ; déterminer g et saprécision relative en sachant que m et k sontconnus au millième près.

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Etude dynamique négligeant la masse m0

A partir de la position d'équilibre O prise comme origine, on écarte la masse m d'une quantité x et on lalâche sans vitesse initiale au temps t = 0.

2.3. Ecrire l'équation du mouvement de la masse m en lui appliquant le principe fondamental de ladynamique.2.4. En supposant le mouvement harmonique de la forme x = xo sin (0t), où x0 représente l'amplitude desoscillations et 0 leur pulsation, donner 0² en fonction des paramètres du système.2.5. Exprimer g en fonction de h et 0² .

2.6. Application numérique: pour m = 0,200 kg, on compte 113 oscillations par minute; calculer g.

Méthode de Rayleigh

Le résultat précédent est erroné car on n'a pas tenu compte de la masse m0 du ressort dans l'étude dumouvement. Ceci peut être fait grâce à la méthode de l'énergie dite de Rayleigh (1880). Le mouvement del'oscillateur harmonique est conservatif :T + V = constante T est l'énergie cinétique, V est l'énergie potentielle totale.

2.7. En prenant comme référence pour l’énergie potentielle la position B, et en négligeant la masse mo du

ressort, montrer que la relation ci-dessus se réduit ici à : T + V' = constante où 2

2

1' kxV est une partie de V.

2.8. Dans le cas précédent (masse du ressort négligée et x = xo sin (0t)). Déterminer, en fonction de xo et0 :- le maximum de T ; que vaut alors V' ?- le maximum de V' ; que vaut alors T ?

On peut donc écrire le principe de conservation de l'énergie mécanique sous la forme Tmax = V'max et obtenirfacilement la pulsation 0.On applique cette méthode à l'ensemble masse-ressort de la façon suivante :Tmax(m0)+Tmax(m)=V'max(ressort)On ignore comment se déplace le ressort, mais on fait une hypothèse raisonnable sur la déformationdynamique, en supposant qu'elle est très proche de la déformation statique. L'extrémité se déplaçant de x0,on postule que tous les points d'abscisse x du ressort entre 0 et l (l'origine des x est prise en A dans ce cas)se déplacent proportionnellement suivant le rapport x/lSi est la masse linéique du ressort (m0=l), un élément de masse dx, à la cote x, se déplace suivant:(x/l) x0 sin (0t)

2.9. Exprimer l'énergie cinétique élémentaire maximale : dTmax.2.10. Calculer l'énergie cinétique maximale du ressort Tmax(m0), en fonction de m0 et de 0², par intégrationde 0 à l.2.11. A partir des expressions de Tmax (m), Tmax (m0), et V'max (m) déduire la nouvelle expression de 0².2.12. Comparer ce résultat avec le cas où la masse du ressort n'est pas prise en compte.2.13. Exprimer de nouveau g en fonction de h et 0², avec intervention des masses.2.14. Calculer g dans les mêmes conditions que la question 2.6. et conclure.

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Problème 2. A propos de l’oscillateur à pont de Wien.

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PCSI. 00/01.


Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire etlisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le vecteur

AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.

Problème 1. Mouvements verticaux de masses d’air. ( X 2000. PC. Extrait )Nous nous intéresserons aux mouvements verticaux d'air sec.

On supposera le champ de pesanteur g localement uniforme. Le vecteur unitaire ez est dirigé selon laverticale ascendante.Constantes et données numériques.Constante des gaz parfaits R = 8, 3 J/K.mol

Accélération de la pesanteur g = 9, 8 m.s-2

Masse molaire moyenne de l’air M = 29 g.mol-1

Les mouvements d'air dans l'atmosphère peuvent se présenter sous forme d'oscillations verticales. Nouscherchons à en déterminer les principales caractéristiques.

1. Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique », les différentes grandeurs physiques qui lacaractérisent ne dépendent que de l'altitude z.

1.a. Donner l'équation qui relie à l'équilibre la pression p(z), la masse volumique (z) et g.1.b. On considère l'air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l'atmosphère isotherme de

température To. Déterminer p(z) et (z) à l'aide de p(0), (0), M, g, R et To.1.c. Calculer la hauteur caractéristique H correspondante pour une température de 10°C.

2. Pour étudier la stabilité de l'équilibre, on considère une petite masse d'air m que l'on déplaceverticalement dans l'atmosphère supposé être en équilibre hydrostatique mais non isotherme a priori. Onpeut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une fine enveloppe du type « bulle desavon » d'effet négligeable. La pression dans la bulle est supposée être à tout instant égale à la pressionextérieure correspondant à l'altitude où se trouve la bulle.

Avant d'être déplacée, la bulle de volume Vo est en équilibre à l'altitude zo et sa température et sa

pression sont égales à celles de l'air environnant, soit T(zo) et p(zo).

2.a. La bulle est déplacée à la hauteur zo + h. En supposant les variations assez petites pour être

traitées linéairement, déterminer la variation V de volume en fonction de Vo, (zo), g, h et du

coefficient de compressibilité isentropique s défini par :S

sp

V

V

1

.

2.b. Montrer, qu’à la hauteur zo + h , la poussée d'Archimède exercée par l'atmosphère sur la bulle

s’écrit : = ]h))z(gz)z(

1(1[gV)z( os

zzo

oo

o

ez .

2.c. En déduire l'équation du mouvement de la bulle.

2.d. Quelle condition, doit vérifier le gradient relatif de masse volumique

z)z(

1pour que

l'équilibre de l'air en zo soit stable? On exprimera cette condition en fonction de s , g et (zo).

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Déterminer dans ce cas la pulsation (zo) des oscillations d'une bulle autour de l'altitude zo.

Cette pulsation (zo) est appelée « pulsation de Väisälä-Brunt ».

3. On considère l'air comme un gaz parfait. Compte tenu de son évolution adiabatique réversible l’air

vérifie la relation pV

= Cte où est une constante.

3.a. Expliciter s à l'aide du coefficient et de la pression p.A partir de l’équation d’état du gaz parfait dont on calcule la différentielle logarithmique,

déterminer l’expression du gradient relatif de masse volumique

z)z(

1en fonction de p et

de T.Traduire alors la condition de stabilité sur le gradient relatif de masse volumique sous la formed'une condition relative au gradient de température dT/dz et cela en fonction de g, , T, p et .

3.b. Montrer alors q’une atmosphère isotherme est stable.

Déterminer dans ce cas la pulsation (zo) en fonction de , , s et g.

Problème 2. Forces de pression s’exerçant sur la paroi d’un barrage-poids.

Un barrage-poids a une coupe transversale rectangulaire. On note h la hauteur du barrage, L sa largeur debase, l sa largeur et par he la hauteur moyenne de l'eau retenue en amont. (On a évidemment he < h).

L’ouvrage construit en béton, subit trois forces réparties, les forces de pression exercées par l'eau et parl’air, le poids du barrage et la réaction que le sol exerce sur l'ouvrage. On admettra que ces actions sontéquivalentes à une force F appliquée en C, le poids P appliqué en G et une réaction R appliquée en M.L'eau est considérée comme un fluide incompressible de masse volumique . Le béton a une massevolumique égale à b.

L’air est à la pression po.

On considérera une base ux et uz et les vecteurs seront toujours déterminés dans cette base.

1. Les forces de pression que l'eau exerce sur la face amont en un point M sont notées dF, larésultante de cette force répartie sera notée F et on définit son centre de poussée C par larelation

OC F = S

OMi dF

(le point O est quelconque dans cette question on prendra par exemple O en A).Déterminer F et le centre de poussée C. (On précisera les composantes et les coordonnées.) Lepoint C est un point appartenant au parement amont (face côté eau).La forme proposée du barrage est-elle adaptée à la situation compte tenu du résultat concernantla position du point C ?

2. Déterminer le poids de l'ouvrage et indiquer la position de son centre de gravité G. (Onprécisera les composantes et les coordonnées.)

3. En écrivant les conditions d'équilibre, trouver alors la résultante des actions que le sol exerce surle barrage et déterminer la position M où s'exerce cette résultante.

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Problème 3. Etude d’une distribution cylindrique de charge.On considère un cylindre de rayon R et de longueur infinie, uniformément chargé en volume avec unedensité volumique > 0.

1. Quelle est la direction du champ électrostatique E en tout point M de l’espace ?2. Montrer que la valeur de E ne dépend que de la distance entre M et l’axe du cylindre.3. En utilisant le théorème de Gauss que l’on énoncera et en précisant la surface utilisée,

déterminer le champ E dans les deux cas :a. r Rb. r RTracer l'allure de E (r) en fonction de r.

4. Calculer le potentiel électrique à l'extérieur et à l'intérieur du cylindre. On impose la conditionV = 0 quand r = 0.

La densité volumique de charge du cylindre n’est plus uniforme mais à symétrie cylindrique

( est une fonction de r). On donne =R

ro pour r R et avec o = constante.

5. Déterminer E dans le cas où r R.

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PCSI. 00/01.


Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et lisibleest recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.

Premier problème. L’EXTINCTION DES DINOSAURES.Les données numériques nécessaires à la résolution du problème sont présentées au fur et à mesure de l’exposédes questions ; la lecture de la totalité des questions qui précèdent est donc nécessaire à la résolution de chacunedes questions posées. Cependant, de nombreuses questions sont indépendantes les unes des autres : il est possiblede répondre à certaines questions sans avoir nécessairement résolu toutes celles qui les précèdent.

Il y a de cela environ 65 millions d’années, les dinosaures et de nombreuses autres espèces vivantes, terrestres etaquatiques, animales et végétales, ont été victimes d’une extinction massive et brutale événement K/T, à la limitedes périodes crétacée (K) et tertiaire (T). Parmi les diverses hypothèses proposées, celle qui recueille à l’heureactuelle le plus de suffrages dans la communauté scientifique est celle de l’impact d’une comète à la surface de laTerre. Ce problème examine quelques-uns des aspects de la description mécanique et énergétique d’un tel impact.

Première partie – Les mouvements cométaires

Un ensemble d’astéroïdes de faible dimension se trouve vraisemblablement réparti, dans le système solaire, àgrande distance du Soleil (au-delà de l’orbite de Pluton). La masse totale de ces astéroïdes (nuage de Oort)représente environ le tiers de la masse totale des neuf planètes et de leurs satellites.Lorsqu’un de ces astéroïdes est suffisamment dévié de sa trajectoire quasi-circulaire par l’effet gravitationneld’autres astéroïdes et planètes pour s’approcher à très courte distance du Soleil, il prend le nom de comète.Nous étudions ici les caractéristiques du mouvement d’une comète hypothétique, qui pourrait, à certainségards, ressembler à celle qui fut peut-être responsable de l’événement K/T.

Cette comète C, de masse m = 2,5 1015

kg, est considérée comme sphérique, de rayon rc = 104

m ; sa

trajectoire autour du Soleil est une ellipse très allongée.

La comète C est aussi caractérisée par une distance maximale au Soleil dmax = 5.104

a, où a = 1,5.1011

mest le rayon de la trajectoire (supposée circulaire) terrestre autour du Soleil (a est appelé unité astronomique).Elle est enfin caractérisée par une période de mouvement notée T. On note To = 365,25 jours la période dumouvement terrestre autour du Soleil.

1. Déterminer numériquement la vitesse vo de la Terre sur son orbite circulaire autour du Soleil.2. On note G la constante de la gravitation universelle et MS la masse du Soleil. Exprimer le produit G MS

en fonction de vo et a.

3. La distance minimale de C au Soleil est notée dmin. Exprimer, en fonction de dmax, dmin, a et vo, les

vitesses maximale vmax et minimale vmin de C sur son orbite. On pourra utiliser des relations deconservation.

4. Quelle relation doivent vérifier dmin et a pour qu’un impact de C sur la surface de la Terre puisse êtreenvisagé ?

En déduire une évaluation numérique de la plus petite valeur possible pour vmax.

5. On choisira dans la suite dmin a. Quelles sont les valeurs extrêmes possibles de la vitesse relative de laTerre et de C (vitesse d’impact) au moment du choc de C sur la Terre ?

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Deuxième partie – L’impact

L’hypothèse d’un impact de comète a été avancée pour la première fois à la suite de la mise en évidence d’une

couche, déposée sur toute la surface de la Terre (considérée comme une sphère de rayon RT = 6,4.106

m)d’épaisseur e = 3mm, contenant de l’Iridium (métal lourd et non radioactif) en proportion anormale. La couche(dite K/T) ainsi mise en évidence est actuellement enfouie sous des sédiments plus récents. Elle contient une masse

totale d’Iridium estimée à mI = 5.108

kg. La proportion usuelle d’Iridium en masse dans la croûte terrestre est de

l’ordre de 10-10

.

6. La masse volumique moyenne de la terre est T = 5,5.103

kg.m-3

. Comparer les proportions d’Iridium

dans la couche K/T et dans le reste de la croûte terrestre. Conclure, sachant que la proportion d’Iridiumen masse dans les astéroïdes et les comètes est quelques dizaines à quelques centaines de fois plus élevéeque dans la croûte terrestre.

Au moment de l’impact, nous considérerons que la trajectoire de la comète C parvient sur la Terre selon une

trajectoire verticale, avec une vitesse (relativement au sol terrestre) égale à v1 = 2.104

m.s-1

, qui reste pratiquementconstante pendant la traversée de l’atmosphère, au-dessus de la mer où l’impact a eu lieu.Lors de sa descente dans l’atmosphère, la comète expulse la totalité de

l’atmosphère dans une colonne cylindrique de rayon rc.

7. Déterminer la masse mair de cette colonne d’air, sur lahauteur totale de l’atmosphère. La pression atmosphérique

au sol est Po = 105

Pa et l’accélération de la pesanteur au sol

est g = 9,8 m.s-2

. La hauteur totale de l’atmosphère, h, est de

l’ordre de la centaine de kilomètres (h 6.104

m). Onconsidérera que l’intensité et la direction du champ depesanteur sont constants sur cette distance.

8. La variation relative de la vitesse de la comète à l’issue de satraversée de l’atmosphère est inférieure de 1 % à ce qu’elleserait en l’absence d’atmosphère. Comparer la variation del’énergie cinétique de la comète, lors de cette même traversée, et la variation de son énergie potentiellede pesanteur.En déduire, en considérant le transfert d’énergie de la comète à l’air expulsé au cours de sa descente,l’ordre de grandeur de la vitesse des molécules d’air au moment où elles quittent cette colonnecylindrique.

9. Comparer l’énergie cinétique communiquée par la comète à l’atmosphère à l’énergie cinétique initiale dela comète. Conclure.

Deuxième problème. UNE APPROCHE DE LA RÉVERSIBILITÉ.

La mole de gaz parfait considérée dans cette partie est caractérisée par son coefficient , rapport des chaleursmassiques à pression et à volume constant, supposé indépendant de la température. La constante des gaz parfaitsest notée R. Pour chacune des évolutions du gaz, l’état initial sera l’état d’équilibre, caractérisé par les grandeurs

(P0,V0,T0) = (pression, volume, température) ; on cherchera chaque fois à limiter la production d’entropie associéeà l’évolution.

1. Étude d’une transformation monotherme.1. Le gaz parfait est placé dans un récipient à parois fixes. Une des parois

est mise en contact avec un thermostat dont la température est notée TT.

Les autres parois sont calorifugées. Déterminer l’état final (Pf ,Vf ,Tf) dugaz quand, à l’issue de la transformation, l’équilibre est atteint. Effectuerun bilan d’entropie. La transformation est-elle thermiquement réversible?

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2. On réalise la transformation précédente en mettant la paroi non calorifugée du récipient contenant le gazavec une succession de N sources dont les températures respectives )1( NkTk sont

)1(11

)(

kT

N

TNTk

N

TTT o

TooTk (ce qui définit ). On a de la sorte oTT 1 et TN TT . Définir

l’état final du gaz à l’issue de cet ensemble de transformations.Effectuer un bilan entropique pour la transformation élémentaire kk TT 1 . En déduire, pour la

transformation totale, l’expression de la quantité d’entropie liée à une éventuelle irréversibilité thermiquede la transformation.

3. Cette quantité d’entropie peut-elle s’annuler lorsque N est assez grand (en toute rigueur N tendant vers

l’infini ) ? On rappelle que ln 2

)1(2

2. Étude d’une transformation monobare.

4. Le gaz parfait est initialement en contact avec une source à la

température T0, dans un récipient dont les autres parois sont calorifugées.Une de ces parois, initialement bloquée, peut se déplacer sans frottement.

On libère la paroi mobile, la pression extérieure, constante, est notée PT.Déterminer l’état final ( Pf ,Vf ,Tf ) du gaz quand, à l’issue de latransformation, l’équilibre est atteint. Effectuer un bilan d’entropie. La transformation est-ellethermiquement réversible ?

5. On réalise la transformation précédente en déplaçant la paroi mobile par étapes successives. À l’étape k,

la pression du gaz est Pk )1( kPo , de sorte que P1 = Po et PN = PT . Avec Nk 1 , cela définit

l’incrément de pression . Définir l’état final du gaz à l’issue de la transformation complète. Effectuer unbilan entropique pour la transformation élémentaire kk PP 1 . En déduire, pour la transformation totale,

la quantité d’entropie liée à une éventuelle irréversibilité mécanique de la transformation.6. Cette quantité d’entropie peut-elle s’annuler ?

3. Au-delà du gaz parfait...

Un ressort élastique de raideur k est chargé en N étapes par une masse M ; à chacune des étapes,

une masseN

Mm est ajoutée au système, et la longueur du ressort augmente de h. Au total, la

longueur du ressort a augmenté de H = Nh . On rappelle la formule sommatoire :

2

)1(321

NNN .

7. Calculer la variation d’énergie potentielle associée au chargement progressif du ressort,calculer la variation d’énergie élastique et en déduire l’expression de l’énergie dissipéesous forme thermique.

8. La température du milieu est constante, calculer la variation d’entropie associée au processus.

Une mole de gaz parfait en contact avec un thermostat à la température T estcomprimée de la pression Pi à la pression Pf, son volume varie de Vi à Vf.Lorsque la transformation est soudaine, comme c’est le cas parexemple si l’on pose sur le piston un objet de masse appropriée, le système sestabilise après quelques oscillationsamorties. L’énergie thermique dissipée dans le milieu extérieur est Q = Pf (Vi –Vf).

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9. Exprimer la variation d’entropie du thermostat, TS et celle du gaz, GS . Exprimer la variation totale

d’entropie en fonction de R et des pressions initiale et finale.10. Exprimer la variation totale d’entropie lorsque le processus est réalisé en N étapes.

11. Dans le cas où 1

Pi

PfPisimplifier l’expression de la variation d’entropie établie à la question 10.

Troisième problème. TELESCOPE DU SATELLITE HIPPARCOS.

On propose de modéliser le télescope d’Hipparcospar un miroir concave Mc de rayon R = 2800 mmavec un miroir plan Mp de renvoi. On note S lesommet du miroir concave et qui est pris pourorigine. La lumière subit deux réflexions et passe parun orifice dans le miroir concave pour atteindre ledétecteur. Il est constitué d’une grille et de cellulesCCD permettant de repérer la position de l’image. Lagrille comporte N = 2688 fentes équidistantes de l = 8,2 m.

On considère une étoile E visée dans la direction Sx. L’axe Sx est orienté vers l’étoile.1. Déterminer l’abscisse x1 de l’image E1 de l’étoile E par le miroir Mc.2. On note a la distance séparant le miroir plan et le sommet du miroir concave. Déterminer une condition

sur a pour que l’image finale E2 se forme sur le détecteur placé à l’arrière du miroir concave.

3. Déterminer la largeur angulaire c, du champ observé. Calculer c en degré.

En réalité Hipparcos réalise une mesure de positionrelative des étoiles. Le télescope vise deux directionssymétriques par rapport à Sx présentant un angle =58°. Ainsi on obtient avec une grande précisionl’angle entre deux étoiles. C’est un système de deuxmiroirs plans M1, M2 qui permet d’obtenir lesimages des deux étoiles sur le détecteur. Letélescope tourne autour d’un axe de direction Szavec une période T = 128 minutes. On supposera quela direction Sz est fixe bien que cet axe se déplacelentement afin de viser toute la sphère céleste.

4. Déterminer l’angle 0 des miroirs M1 etM2 avec l’axe Sx du télescope.

5. Déterminer le déplacement angulaire 1 d’un rayon lumineux réfléchi par le miroir M1 lorsque le satellite

tourne d’un angle . Préciser le sens de déplacement des rayons réfléchis par M1 et M2.6. Quelle est la norme V de la vitesse de déplacement des images sur le détecteur?

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Physique. Devoir surveillé N°1. -...

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