Devoir maison - Fonctions hyperboliques

Les fonctions hyperboliques sont les fonctions cosinus, sinus et tangentes hyperboliques notées respectivement ch, sh et th définies sur ℝ par :

𝑐ℎ(𝑥) =𝑒! + 𝑒!!

2                                𝑠ℎ(𝑥) =𝑒! − 𝑒!!

2                              𝑡ℎ(𝑥) =𝑠ℎ𝑥𝑐ℎ𝑥  

1) Déterminer leurs dérivées en fonction de ch et sh. 2) Montrer que ch est à valeurs dans 1;+∞ et th est à valeurs dans −1; 1 . 3) Calculer 𝑡ℎ𝑥 en fonction de : a) 𝑒! et 𝑒!! b) 𝑒!! c) 𝑒!!!. 4) Montrer que, pour tout réel x et tout réel y :

a) 𝑐ℎ! 𝑥 − 𝑠ℎ! 𝑥 = 1 Remarque : comme pour les fonctions cos, sin et tan, on note : 𝑐ℎ(𝑥) ! = 𝑐ℎ! 𝑥

b) 𝑐ℎ 𝑥 + 𝑦 = 𝑐ℎ 𝑥 𝑐ℎ 𝑦 + 𝑠ℎ 𝑥 𝑠ℎ(𝑦) c) 𝑠ℎ 𝑥 + 𝑦 = 𝑠ℎ 𝑥 𝑐ℎ 𝑦 + 𝑐ℎ 𝑥 𝑠ℎ(𝑦)

d) 𝑡ℎ 𝑥 + 𝑦 = !! ! !!!(!)!!!! ! !!(!)

5) On pose, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 = 𝑡ℎ !!. Montrer que 𝑐ℎ 𝑥 =

!!!!

!!!! et 𝑠ℎ 𝑥 =

!!!!!!

.

6) Résoudre dans ℝ l’équation 5𝑐ℎ 𝑥 − 4𝑠ℎ 𝑥 = 3. 7) Soit 𝑦 ∈ ℝ. Comparer 𝑠ℎ(𝑦) et y. 8) Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑠ℎ 2𝑥 = 2𝑠ℎ 𝑥 𝑐ℎ(𝑥).

9) Dans cette question, on va étudier la fonction f définie pour tout réel x non nul par : 𝑓 𝑥 = !! !!

. a) Etude de la parité de f : pour tout réel x non nul, comparer 𝑓 𝑥 et 𝑓 −𝑥 . Que pouvez-vous

conclure pour la fonction f ? Quelle(s) interprétation(s) graphique(s) pouvez-vous en déduire ?  b) Etudier le sens de variation de la fonction f sur 0;+∞ , puis dressez son tableau de variation en le

complétant sur ℝ.  c) Sur une feuille de papier millimétré, représenter f dans un repère orthogonal 𝑂; 𝚤, 𝚥 avec les unités

graphiques suivantes : 1 cm pour 5 en abscisse et 1 cm pour 0,5 en ordonnée.  

 

Remarque : ch est l’abréviation de cosinus hyperbolique et sh de sinus hyperbolique. Les points de coordonnées (cos(𝑡) ; sin  (𝑡)) pour 𝑡 ∈ ℝ appartiennent à un cercle : la trigonométrie étudiée depuis la classe de 3ème est aussi appelée trigonométrie circulaire. Les points de coordonnées (ch(𝑡) ; sh  (𝑡)) pour 𝑡 ∈ ℝ appartiennent à une hyperbole et on parle alors de trigonométrie hyperbolique.