Devoir Fourier Laplace Quinquies
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Devoir de math´ emati ques - BTS Formul aire de mat h´ ematiques aut ori s´ e. Exercice 1 Session 2003 10 point s Le but de cet exercice est de d´ eterminer les pr emiers c oe fficients de Fourier et les princip ales har- moniques d’un signal. Partie A Pour tout entier naturel n, on consid`ere les int´ egr ale s : I n = π π 2 cos(nx) dx e t J n = π 2 0 x cos(nx) dx 1. Mon trer que I n = − 1 n sin n π 2 . 2. ` A l’aide d’une int´ egration par partie, montrer que : J n = π 2n sin n π 2 + 1 n 2 co s n π 2 − 1 n 2 3. D´ ete rmin er I 1 , I 2 et I 3 , puis J 1 , J 2 et J 3 . Partie B Soit f l a fon cti on num´ eri que d´ efin ie sur I R, pai re, p´ eri od ique de p´ eri od e 2 π, telle que : si 0 t π 2 , f (t) = 2E π t si π 2 < t π, f (t) = E o` u E est un nombre r´ eel donn´e, stric tement pos itif. 1. T racer, dans un rep` ere orthogonal, la repr´ esentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−π ; +π] (on prendra E = 2 uniquement pour construire la courbe repr´ esentant f ). 2. Soit a 0 et pour tout entier naturel sup´ erieur ou ´ egal ` a 1, a n et b n les coefficients de Fourier as so ci´ es ` a f . (a) Calculer a 0 . (b) Pour tout n 1, donner la valeur de b n . (c) En utilisant la partie A, v´ erifier que pour tout n 1, a n = 2E π 2 (2J n + πI n ). Calculer a 4k pour tout entier k 1. Partie C 1. D´ eterminer l es co efficients a 1 , a 2 , a 3 . 2. Calcul er F 2 , ca rr´ e de la valeur efficace de la f onction f su r une p´ eriod e. On rappelle que dans le cas o` u f e st pai re, p´ eri od ique de p´ eri od e T , on a : F 2 = 2 T T 2 0 f 2 (t) dt 3. On sait par ailleurs que la formul e de Bessel-P arsev al donne : F 2 = a 2 0 + +∞ n=1 a 2 n + b 2 n 2 Soit P le nombre d´ efini par P = a 2 0 + 1 2 ( a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 ). Calculer P , puis donner la v aleur d´ ecimale arrondie au milli` eme du rapport P F 2 . Ce der nie r r´ esultat tr` es proche de 1, justifie que dans la pr atique , on pe ut n´ eglige r les harmo- niques d’ordre sup´ erieur ` a 3. Devoir de math´ ematiques - BTS 1/ 4
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Devoir de mathematiques - BTS
Formulaire de mathematiques autorise.
Exercice 1 Session 2003 10 points
Le but de cet exercice est de determiner les premiers coefficients de Fourier et les principales har-
moniques dun signal.
Partie A
Pour tout entier naturel n, on conside`re les integrales :
In =
pipi
2
cos(nx) dx et Jn =
pi2
0
x cos(nx) dx
1. Montrer que In = 1
nsinn
pi
2.
2. A` laide dune integration par partie, montrer que : Jn =pi
2nsin(npi
2
)+
1
n2cos(npi
2
)
1
n2
3. Determiner I1, I2 et I3, puis J1, J2 et J3.
Partie B
Soit f la fonction numerique definie sur IR, paire, periodique de periode 2pi, telle que : si 0 6 t 6
pi
2, f(t) =
2E
pit
sipi
2< t 6 pi, f(t) = E
ou` E est un nombre reel donne, strictement positif.
1. Tracer, dans un repe`re orthogonal, la representation graphique de la fonction f sur lintervalle[pi ; +pi] (on prendra E = 2 uniquement pour construire la courbe representant f).
2. Soit a0 et pour tout entier naturel superieur ou egal a` 1, an et bn les coefficients de Fourierassocies a` f .
(a) Calculer a0.
(b) Pour tout n > 1, donner la valeur de bn.
(c) En utilisant la partie A, verifier que pour tout n > 1, an =2E
pi2(2Jn + piIn).
Calculer a4k pour tout entier k > 1.
Partie C
1. Determiner les coefficients a1, a2, a3.
2. Calculer F 2, carre de la valeur efficace de la fonction f sur une periode.
On rappelle que dans le cas ou` f est paire, periodique de periode T , on a :
F 2 =2
T
T2
0
f 2(t) dt
3. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :
F 2 = a20 ++n=1
a2n + b2n
2
Soit P le nombre defini par P = a20 +1
2(a21 + a
22 + a
23).
Calculer P , puis donner la valeur decimale arrondie au millie`me du rapportP
F 2.
Ce dernier resultat tre`s proche de 1, justifie que dans la pratique, on peut negliger les harmo-niques dordre superieur a` 3.
Devoir de mathematiques - BTS 1/4
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Exercice 2 Session 2007 10 points
On sinteresse a` un syste`me entree-sortie susceptible detre controle.Dans la partie A, on etudie le syste`me en labsence de controle.Dans la partie B, on etudie le syste`me soumis a` un controle.Les parties A, B et C sont independantes dans leurs resolutions respectives.
Partie A
On conside`re lequation differentielle (E1) suivante :
1
2y(t) + y(t) = 10 (E1)
ou` y designe une fonction derivable de la variable reelle t et une constante reelle.
1. Montrer que la fonction h definie pour tout nombre reel t par h(t) = 10 est solution delequation differentielle (E1).
2. Resoudre lequation differentielle (E1).
3. Montrer que la fonction f , solution de lequation differentielle (E1) et qui verifie f(0) = 10 estdefinie sur IR par f(t) = e2t + 10 .
4. Calculer limt+
f(t) que lon note f.
Partie B
On rappelle que la fonction echelon unite U est definie par :{U(t) = 0 si t < 0
U(t) = 1 si t 0
et quune fonction definie sur IR est dite causale si elle est nulle pour tout nombre reel strictementnegatif.
On conside`re la fonction causale g qui verifie la relation (E2) suivante :
1
2g(t) + g(t) = 13
t0
[10U(u) g(u)] du+ (10 )U(t) (E2)
et la condition g(0) = 10.
On admet que la fonction g admet une transformee de Laplace notee G.
1. Montrer que la transformee de Laplace I de la fonction i definie par :
i(t) = 13
t0
[10U(u) g(u)] du
est telle que
I(p) =130
p2 13
G(p)
p.
Indication : On pourra utiliser la transformee de Laplace dune integrale : L
( t0
f(t) dt
)2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E2), determiner
une expression de G(p).
3. Verifier que G(p) =10
p
2
(p+ 1)2 + 52.
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4. Dans cette question, on va determiner limt+
g(t), que lon note g et qui est la valeur finale du
signal represente par la fonction g.On rappelle que, dapre`s le theore`me de la valeur finale, g = lim
p0+pG(p).
Determiner g.
5. (a) Determiner la transformee de Laplace de la fonction qui a` tout nombre reel t associeet sin(5t)U(t).
(b) En deduire lexpression de g(t).
Partie C
Dans cette partie, on prend = 5.
En annexe 1, a` rendre avec la copie, on a represente, sur lintervalle [0 ; +[, les courbes Cfet Cg representatives des fonctions f et g definies dans les parties A et B avec = 5.
On admet ici que pour tout nombre reel t positif ou nul : f(t) = 5e2t+5 et g(t) = 102et sin(5t).
On rappelle que f et g sont les limites respectives des fonctions f et g en +.On a donc : f = 5 et g = 10.
1. (a) Verifier que pour tout nombre reel t positif ou nul on a :f(t) f
f= e2t.
(b) Soit t1 le nombre reel tel que :
f(t) ff
6 0, 02 pour tout t t1.
Calculer la valeur exacte de t1, puis une valeur approchee de t1 arrondie au dixie`me.
2. Soit t2 le nombre reel tel que :
0, 02 6g(t) g
g6 0, 02 pour tout t > t2.
Graphiquement, determiner une valeur approchee de t2, arrondie au dixie`me.
Dans ce proble`me, on a etudie un syste`me entree-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement,
puis dans la partie B controle par une commande integrale.
On a montre que grace a` cette commande on peut stabiliser la sortie a` la valeur 10 independamment
de la perturbation , au prix dune deterioration du temps de reponse du syste`me et de lapparition
doscillations amorties.
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Annexe 1
Document reponse a` rendre avec la copie
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
1 2 3 41 0
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