Devoir de contrle n1 4me Maths 2012-2013 Page 1

Le devoir comporte 3 pages Numrotes de 1/3 3/3 La page 3/3 est rendre avec la copie Exercice 1 ( voir annexe ) Exercice 2

Dans la figure de lannexe ci-jointe est reprsente, dans un repre orthonorm ( O , , ) La courbe () dune fonction dfinie, continue et drivable sur ], +[. la droite dquation = est une asymptote la courbe () La courbe () admet une branche parabolique de direction (O, ) au voisinage de + 1) a) Dresser le tableau de variation de sur ], +[. b) Rsoudre graphiquement lquation () = c) Etudier la position de () par rapport la droite : y = x .

2) On considre les suites () et () dfiniessur IN par :

= = () , ; = = () ,

Reprsenter sur laxe des abscisses : ,,, , 3) a) Montrer par rcurrence que 1

b) En dduire que () est convergente et dterminer sa limite. 4) a) Montrer par rcurrence que 3

b) En dduire que () est convergente et dterminer sa limite. 5) Montrer que les suites ()et () sont adjacentes. Exercice 3

Soit f la fonction dfinie sur] 0,2[ par f(x)= . On dsigne par (C) sa courbe reprsentative dans un

repre orthonorm ( O , , )

1) a) Dresser le tableau de variation de f.

b) Construire la courbe (C).

2) Soit g la restriction de f l'intervalle [1,2[.

a) Montrer que g ralise une bijection de [1,2[sur un intervalle J prciser.

Lyce : Feriana & Thelepte Hamdi-M & Mhamdi -A

Devoir de contrle N1 Mathmatiques 12-11-2012 Dure : 2heures

Devoir de contrle n1 4me Maths 2012-2013 Page 2

b) Tracer dans le mme repre la courbe (C') de ( la bijection rciproque de g) c) Expliciter (x) pour tout x J. 3) Soit H une fonction drivable sur]0,2[telle que pour tout x ];[ H(x) = f(x) et H(1)=0. On dsigne par () la suite relle dfinie sur \{} par = H(1+ ) - H(1+ ). a) Dterminer la limite de ()

b) Montrer que \{} () f() () f( )

c) En dduire la limite de (n ).

Exercice 4

Le plan tant rapport un repre orthonorm direct ( O , , )

I) Soit lquation (E) : + = avec m est un paramtre complexe non nul. On pose M(m) , M(z) et M (z) ou z et z sont les solutions de lquation (E). Sans calculer z et z montrer que :

1) M est le milieu du segment[]. 2) arg(z) + arg(z) [] et que [OI) est la bissectrice de ( , ) avec I (1)

II) Soit ,

1) Rsoudre dans lquation + + =0. 2) On dsigne ( ) , ( + ) et I (1)

a) Montrer que () = ( la symtrie centrale de centre I). b) Montrer que , et O sont situs sur le cercle de rayon 1 et de centre que

lon dterminera c) En dduire que le triangle O est rectangle en O . d) Dterminer la valeur de pour que le triangle O soit isocle.

BON TRAVAIL

Devoir de contrle n1 4me Maths 2012-2013 Page 3

2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

2

3

4

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

Annexe rendre avec la copie Exercice 1 Rpondre par vrai ou faux sans aucunes justifications

ABCD est un rectangle ,I et J sont les milieux respectifs des segments [ ] et[ ]. 1) ( ) () = 2) ( )() = 3) est une isomtrie qui envoie A sur D et B sur C alor ( J ) = I 4) Si g est une isomtrie tels que g (C) =D et g(D) = C alors :

i) g(J) = J ii) g g = Idp iii) g =

Exercice 2

Devoir de contrle n1 4me Maths 2012-2013 Page 4

Exercice 1 : 1).Faux. 2). Faux. 3). Faux. 4).i).Vrai ii). Faux. iii).Vrai.

Exercice 2 : 1).a).

.b).f(x)=x signifie x=1 ou x=3.

c).

2). Voir annexe

3).a). Pour n=0 on a 1 3 (vrai)

.Supposons que 1 3 et montrons que 1 3

On a 1 3 et f est croissante sur [1 ;3] donc f(1) () () (3) Donc 1 3 .Do 1 3 nIN

b).On a , nIN, donc () est croissante or () est majore par 3 donc () est convergente vers un rel [1 ;3] qui vrifie f()= (car on a : = () et () est convergente vers un rel . [1 ;3] et f est continue en (car f est continue sur [1 ;3]))

on a f()= signifie =1 ou =3 or donc alors 1 do =3. 4).a). Pour n=0 on a 3 5 (vrai)

.Supposons que 3 5 et montrons que 3 5

On a 3 5 et f est croissante sur [3 ;5] donc f(3) () () (5) Donc 3 5.Do 3 5 nIN

Lyce : Thelepte Mhamdi Abderrazek

Correction du Devoir de contrle N1 Mathmatiques

X 0 + f (x) + f + - X 0 1 3 + f(x)-x - 0 + 0 - position ()est en dessous de ()est en dessus de ()est en dessous de

Devoir de contrle n1 4me Maths 2012-2013 Page 5

b).On a , nIN, donc () est dcroissante or () est minore par 3 donc () est . . convergente vers un rel [3 ;5] qui vrifie f()= (car on a : = () et () est convergente vers un rel . [3 ;5] et f est continue en (car f est continue sur [3 ;5]))

on a f()=signifie =1 ou =3 or 1 [ ;] alors 1 do =3=. 5). , nIN, (car 3 et 3) et () est croissante et () est dcroissante et ( ) converge vers 3-3=0.

Exercice 3: 1).a).La fonction x2x-x est drivable sur ]0 ;2[ et 2x-x> 0 , ]0 ;2[, donc la fonction x est drivable sur ]0 ;2[ ,or 0 , ]0 ;2[,alors f est drivable sur ]0 ;2[ et on a : f (x)=()() = () do

b).

2).a).g est continue et strictement croissante sur ]0 ;2[ donc g ralise une bijection de ]0 ;2[

sur g( ]0 ;2[) )=[1 ;+[ =J.

b).Voir figure.

c). () =

[ ; +[ signifie () = ] ;[ on a () = signifie xy-2xy+1= 0 =-x=x(x-1)0 donc y=() =1- [ ; +[ ou y=() =1+ [ ; +[

X 0 1 2 f (x) - 0 + f + +

1

(C) (C))

Devoir de contrle n1 4me Maths 2012-2013 Page 6

()=1+

[ ; +[. 3).a). = ( + ) ( + ) =0-0=0(car ( + ) =1etH(x)=H(1)=0 De mme

( +

) =0)

b).H(x)=f(x) , ]0 ;2[,et f est strictement croissante sur [1 ;2[ or 1 + + +

Devoir de contrle n1 4me Maths 2012-2013 Page 7