M2 de Physique Stage 2006-2007

École normale supérieure de Lyon RUEF ClémentUniversité Claude Bernard Lyon 1

Des trous noirs, anneaux noirs et supertubesen théorie des cordes

Résumé

Dans ce rapport, nous étudions les trous noirs en supergravité à 10 dimensions, vue comme théorie de basse

énergie de la théorie des cordes. On s'intéresse en particulier aux trous noirs à cinq dimensions transverses. Le

théorème de la calvitie ne s'appliquant plus, ils peuvent avoir un horizon sphérique S3 ou annulaire S1 × S2 ; ces

derniers sont appelés anneaux noirs, et nous intéressent particulièrement. On montre comment tester de tels solutions

de supergravité à l'aide de congurations de D-branes appelées supertubes, qui préservent autant de supersymétrie

que les solutions. L'intérêt de ces tests est qu'ils nous permettent de vérier que les trous noirs respectent un certain

nombre de propriétés physiques attendues, et qu'ils nous aident par là à mieux comprendre ces objets.

Mots clés : trou noir, anneau noir, supertube, supergravité, cordes

Service de Physique Théorique, CEA Saclay

Maître de stage : Iosif BENAAvril-Juillet 2007

2 TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

Introduction 3

1 Trous noirs en relativité générale 3

1.1 Trou noir de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Généralisation et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Supergravité 5

2.1 Action de supergravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Objets de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Action de supergravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Quelques solutions de supergravité, dualités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Solutions BPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Dualités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Tester les trous noirs 9

3.1 Action d'une D-Brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Les supertubes, un outil ecace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Passons aux choses sérieuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3.1 Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2 Trou noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Anneaux noirs 14

4.1 Retour sur l'action de supergravité, couplages électriques et magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Test de l'anneau noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.1 Supertube à deux charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.2 Supertube à trois charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Conclusion et perspectives 19

Références 21

Annexe 21

3

Introduction

La relativité générale, vieille maintenant de près d'un siècle, a jusqu'à présent été remarquablement bien vériéeexpérimentalement. Aucune expérience n'a pu à l'heure actuelle la mettre en défaut. Toutefois, on sait théoriquementqu'il faut aller plus loin car elle est incompatible avec la mécanique quantique. C'est pourquoi d'autres théories degravitation se sont développées, dans le but d'arriver à une théorie de gravité quantique. La théorie des cordes est uneapproche possible, et fournit déjà de nombreux résultats intéressants. En particulier, en théorie de supergravité à dixdimensions, qui est une limite de basse énergie de la théorie des cordes, il est possible de construire des objets tels que,après compactication de six dimensions, deviennent des trous noirs à quatre dimensions1. On peut alors retrouver lespropriétés de ceux de relativité générale et fournir une interprétation microscopique de leur entropie. Mais la théoriepermet aussi de construire de nouveaux trous noirs, à cinq dimensions (au même sens que précédemment). Ceux-ci nesont pas fondamentalement diérents de ceux à quatre dimensions, et donc leur étude nous aide à mieux comprendrela physique des trous noirs en général.

L'un des points très intéressants à cinq dimensions est que le théorème de la calvitie, ou théorème d'unicité des trousnoirs, ne s'applique plus, et en particulier il est possible de construire des trous noirs dont l'horizon a une topologieS1×S2, appelés anneaux noirs. Ces anneaux noirs sont tout nouveaux et n'ont donc pour l'heure pas encore été aussibien étudiés que les trous noirs ponctuels. En particulier, on sait déjà qu'ils n'ont pas de courbes timelike fermées,donc qu'ils respectent la causalité mais on voudrait vérier que l'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter oude manière équivalente qu'on ne peut pas créer des courbes timelike fermées en plongeant de la matière dans l'anneau.Ce sont ces points qui ont été traités pendant le stage, après avoir intégrer tous les outils nécessaires à ce travail.

Nous faisons dans une première partie quelques rappels de relativité générale. Le but est de faire comprendre l'intérêtqu'il y a à étudier les trous noirs et en particulier comment c'est dans ces objets que la relativité générale atteint seslimites. Dans une deuxième partie, nous introduisons le contexte dans lequel nous allons travailler, la supergravité, ainsique les objets qu'elle contient : les cordes et les D-branes. Nous voyons aussi comment les dualités nous permettent decomprendre que ces objets sont tous physiquement équivalent, et qu'on peut alors passer d'une solution de supergravitéà une autre pour travailler dans le contexte le plus simple possible. En troisième partie nous introduisons les outilsnécéssaires pour tester un fond de supergravité à l'aide d'une D-brane. Nous présentons en particulier le supertube,une conguration branaire stable qui nous intéresse car elle préserve une partie de la supersymétrie de la théorie. Nousne le discuterons pas ici, mais ce sont ces supertubes qui ont conduits à la solution anneau noir, et on peut aussi s'enservir pour construire des "états microscopiques" de trou noir. A l'aide du supertube, nous voyons comment tester unesolution de supergravité sur deux exemples : l'espace vide, puis le trou noir sphérique. Sur ces exemples nous verronscomment on peut extraire des informations physiques sur le système. Enn, en dernière partie nous appliquons ce quenous avons appris à l'anneau noir, et voyons encore quelles informations nous pouvons en retirer.

Tout le travail eectué ici s'inscrit dans le contexte de la théorie des cordes, et utilise des concepts et des résultatsdont les motivations sont bien plus profondes que ce que nous expliquons ici. Malheureusement nous n'avons ni le tempsni les compétences pour tout réintroduire de la façon la plus claire possible, car cela nous obligerait à remonter de labase de la théorie des cordes à certains de ses développements les plus récents. Nous partirons donc de la supergravitécomme point de départ, en essayant quand c'est possible de motiver les objets rencontrés du mieux possible.

1 Trous noirs en relativité générale

Le but de cette partie n'est pas de faire un cours de relativité générale, mais simplement de faire quelques rappelset remarques sur les trous noirs pour rappeler leur intérêt et comment ils illustrent les limites de la théorie. J'utiliseraiici les notations habituelles de relativité générales sans les redénir. Pour une discussion plus complète sur les trousnoirs en relativité générale, on pourra par exemple se référer à [1] ou [2].

1.1 Trou noir de Schwarzschild

La première apparition des trous noirs date de la n du 18ème siècle, quand Laplace se demanda s'il pouvaitexister un astre si lourd que la vitesse de libération d'une particule à sa surface soit supérieure à celle de la lumière,

1Par abus de language, on appelera dans la suite trous noirs à quatre dimensions leur antécédent dans la théorie à dix dimensions ouonze dimensions.

4 1 TROUS NOIRS EN RELATIVITÉ GÉNÉRALE

ce qui impliquerait que cet astre soit vu complètement noir de l'extérieur. Puis les choses sérieuses commencèrent en1916, quand Schwarzschild, quelques mois à peine après qu'Einstein aie publié l'équation reliant l'espace-temps et soncontenu énergétique, en trouvait une solution décrivant une masse ponctuelle :

ds2 = −(

1− 2GMr c2

)dt2 +

(1− 2GM

r c2

)−1

dr2 + r2dΩ2, (1)

où l'on voit apparaître le rayon de Schwarzschild RS = 2GM/c2, qui joue un rôle bien particulier. En eet, pour ce rayongtt s'annule, et grr diverge, et surtout, pour r < RS , les signes de ces deux coecients sont inversés. Physiquement, lamasse ponctuelle plie tellement l'espace-temps que le temps et l'espace ne sont "inversés"'. Si la divergence de grr enRS n'est due qu'à un mauvais choix de coordonnées, cette inversion de signe dans la métrique est elle bien physiqueet a des eets pour le moins déroutant : pour r < RS , le futur est dirigé dans le sens des r décroissants, et donc toutobjet ou photon passant cette limite ne peut plus rien faire pour éviter la singularité en r = 0, d'où la dénominationde trou noir. Ce comportement est si peu naturel que jusque dans les années 60, on ne le pensait tout simplementpas physique, on le voyait uniquement comme un artefact mathématique ne pouvant apparaître dans la nature. Ilest vrai qu'un trou noir est loin des ordres de grandeur auquels nous sommes habitués : le rayon de Schwarzschildassocié à la masse du soleil par exemple est de l'ordre du kilomètre, et donc bien plus petit que le rayon de celui-ci.L'approximation de masse ponctuelle n'est alors plus valable, et donc la solution de Schwarzschild n'est pas valabledans cette zone de l'espace-temps. Pour qu'elle le soit, il faudrait une concentration de masse supérieure à ce qu'onpensait alors possible. Mais l'amélioration des techniques de détection a permis d'une part d'observer des pulsars etd'autres part de préciser notre vision du centre de la galaxie, et l'un comme l'autre ont conrmé l'hypothèse d'objetsassez denses pour être des trous noirs.

1.2 Généralisation et discussion

D'autres solutions de trous noirs ont ensuite été trouvées : la métrique de Reisner-Nordström décrivant un trou noirchargé, puis plus tard celle de Kerr pour un trou noir en rotation. Pourrait-on en trouver d'autres ? Non, le théorèmed'unicité, aussi appelé théorème de la calvitie, nous assure qu'il ne peut pas y avoir d'autres solutions : un trou noirdans un espace asymptotiquement plat est uniquement caractérisé par sa charge, sa masse et son moment cinétique. Cethéorème est un résultat très fort ; quel autre objet astrophysique peut de même être donné par seulement un nombreni de paramètres, et à une surface exactement sphérique ? Mais c'est ce même théorème qui est à l'origine d'un desprincipaux paradoxes de la relativité générale.

Le théorème de la calvitie nous dit entre autres qu'une fois un trou noir formé, on ne voit plus de ce qu'on y a misau départ. On a donc une perte d'information, ou tout du moins une information caché par l'horizon. Parallèlement,on remarque que quand on lance de la matière dans le trou noir, l'entropie de l'univers décroît, car à plusieurs étatsinitiaux de la matière entrante n'est associé qu'un état nal du trou noir. Le seul moyen de préserver la seconde loi dela thermodynamique est alors d'associer aussi une entropie au trou noir, proportionelle à l'aire de son horizon. Maisquel sens physique lui donner ? Et si c'est réellement une entropie physique, peut-on lui trouver une interprétationmicroscopique ?1

Cela se complique encore quand on essaie de faire un traitement semi-classique, comme l'a fait Hawking en 1973.En considérant de la matière quantique dans un espace-temps classique, il a montré que les uctuations du videpouvaient conduire à l'évaporation du trou noir. Or si le trou noir est eectivement évaporé, alors il y a réellementperte d'information. Ce paradoxe est encore globalement incompris aujourd'hui, et est un des points noirs de la théorie.

Le deuxième problème principal de la relativité générale que nous n'avons pas encore relevé malgré son importanceest que la théorie prédit une singularité de l'espace-temps au centre du trou noir. Cela paraît plus être un signe de lalimite de validité de la théorie et de notre modèle (masse ponctuelle) plutôt qu'une réelle divergence de l'espace temps.Mais si toute la matière se regroupe au centre du trou noir, alors on arrive dans un régime où une forte masse estlocalisée dans un très petit volume, et il faudrait faire un traitement quantique du problème. Or l'espace-temps étantdevenu une quantité dynamique, on se doit de le quantier, au même titre que la matière, ce qui n'est pas possibledirectement.

Ce sont ces problèmes qui nous poussent à chercher une nouvelle théorie, capable donc :

1Pour une étude récente de la thermodynamique des trous noirs, voir par exemple [3].

5

de donner une interprétation microscopique à l'entropie des trous noirs, de résoudre le paradoxe de perte d'information, et surtout d'allier de façon cohérente gravitation et mécanique quantique.C'est dans ce contexte que s'inscrit ce travail, où nous étudions des trous noirs formés d'objets issus de la théorie

des cordes, vue ici comme une possible théorie de gravité quantique.

2 Supergravité

La supergravité à 10 dimensions est une théorie de basse énergie de celle des supercordes. Dans le cadre de cerapport, on la prendra comme point de départ. La motiver nous emmènerait bien trop loin1. Le fait que nous sachionsque notre théorie est une limite de basse énergie de celle des cordes nous dit déjà que notre théorie ne sera plusphysiquement valable pour de trop grandes courbures.

Nous étudions ici une théorie supersymétrique, ce qui implique d'avoir autant de champs fermioniques que boso-niques, mais seuls les champs bosoniques nous intéressent. Nous n'écrirons donc dans la suite que la partie bosoniquedes actions entrant en jeu. Les solutions trouvées seront des solutions qui annulent tous les champs fermioniques, etdonc toutes les variations supersymétriques des champs bosoniques. Tout ceci pour dire que, bien que travaillant dansun cadre supersymétrique, nous ne considèrerons plus que des champs bosoniques.

2.1 Action de supergravité

2.1.1 Objets de la théorie

L'idée de base de la théorie des cordes est de remplacer les particules ponctuelles par de petites cordes. C'est donc àla dynamique de ces cordes que nous nous intéressons. Mais en développant la théorie, on peut voir apparaître d'autresobjets que les cordes : les branes. Une manière d'y rééchir est de se dire qu'après avoir remplacé des objets sansdimensions par d'autres unidimentionnels, il est assez naturel d'envisager ensuite des objets multidimentionnels. Enfait, ceux-ci s'invitent tous seuls au bal : les cordes peuvent être ouvertes ou fermées, et si les cordes fermées peuventse propager seules dans l'espace-temps, les cordes ouvertes, elles, ont des bords qu'il nous faut prendre en compte.Ils sont contraints à se déplacer sur des surfaces p-dimensionnelles, les Dp-branes (D pour Dirichlet). Lors de ces dixdernières années, les progrès de la théorie nous ont permis de comprendre que les D-branes sont en fait des objetsdynamiques au même titre que les cordes, comme nous allons le voir dans la suite (partie 2.2.2).

La théorie contient aussi d'autres types de branes, mais qui sont actuellement encore très mal compris, par exempledes membranes à cinq dimensions appelées NS5-branes. On sait qu'elles sont diérentes des D-branes, leur tensionspar exemple est diérente, et elles ne peuvent pas être intégrées facilement dans une théorie de basse énergie. Dans lasuite, nous étudierons principalement les cordes fondamentales et les D-branes.

2.1.2 Action de supergravité

La théorie des cordes supersymétriques se présente sous plusieurs aspects, qui sont reliés entre eux par des dualités.Les deux cadres dont nous aurons besoin ici sont les théories de supergravité dites de types IIA et IIB, toutes deux à10 dimensions. Elles sont en pratique très similaires, ne diérant que par leur contenu en matière. Elles contiennent

un champ de gravitation Gµν , symétrique à deux indices, un champ antisymétrique2 B(2). On notera H(3) = dB(2), un champ scalaire Φ, appelé dilaton. Ces trois champs sont appelés champs Neveu-Schwarz Neveu-Schwarz, des champs Ramond Ramond C(p), pour p = 1, 3, 5, 7 pour la théorie de type IIA et pour p = 0, 2, 4, 6, 8 pour lathéorie de type IIB. On notera F (p+1) = dC(p).

Le champ de gravitation représente l'espace-temps, B(2) le contenu en cordes (appelées cordes fondamentales etnotées F1) et C(p+1) celui en Dp-branes. Le dilaton traduit la force de couplage gs dont dépendent les interactionsentre les objets cordistes. Les champs de Ramond sont la généralisation du champ de Maxwell Aµ, auquel se couplentles particules ponctuelles. Les branes p-dimensionnelles se couplent naturellement à une (p + 1)-forme, le champ deRamond. Elles sont donc caractérisées d'une part par leur tension Tp et d'autre part par leur "charge électrique" par

1Le lecteur interessé pourra consulter un bon livre de théorie des cordes, comme celui de Polchinski [4], très complet, ou celui moinsrécent mais aussi moins aride de Green, Schwarz et Witten [5].

2De manière plus générale, on notera M(n) une n-forme

6 2 SUPERGRAVITÉ

laquelle s'eectue ce couplage. Nous verrons dans la partie 4.1 qu'elles peuvent aussi se coupler "magnétiquement" àd'autres champs C(q).

L'action de la théorie de type IIA s'écrit :

SIIA = SNS + SR + SCS, (2)

avec

SNS =1

2κ210

∫d10x

√−G e−2Φ (R+ 4∂µΦ∂µΦ)− 1

4κ210

∫e−2ΦH(3) ∧ ∗H(3), (3)

SR = − 14κ2

10

∫F (2) ∧ ∗F (2) + F (4) ∧ ∗F (4) (4)

et

SCS = − 14κ2

10

∫B(2) ∧ F (4) ∧ F (4), (5)

où F (p) = F (p) −H(3) ∧ C(p−3).

Dans SNS Le premier terme est une généralisation de l'action purement gravitationnelle∫ √

−gR, puis nous voyonsapparaître le terme cinétique du dilaton, puis celui de B(2) (H(3) ∧ ∗H(3) = HµνρH

µνρ). On peut remarquer que lecouplage des champs de Neveu-Schwarz au dilaton sont compliqués, à cause du terme e−2Φ. Il est toutefois possible dele réabsorber dans des redénitions des champs. L'action SR nous donne les termes cinétiques des champs de Ramond,plus un premier terme d'interaction car c'est F (4) qui intervient et non F (4). Enn, la dernière partie de l'action SCS

est un terme uniquement d'interaction, requis par la supersymétrie.

L'action pour la théorie de type IIB a la même forme. Seuls les contenus en champs de Ramond sont diérents dela théorie IIA et donc SNS est identique. SR et SCS sont données par :

SR = − 14κ2

10

∫F (1) ∧ ∗F (1) + F (3) ∧ ∗F (3) +

12F (5) ∧ ∗F (5) (6)

et

SCS = − 14κ2

10

∫C(4) ∧H(3) ∧ F (3), (7)

Il est utile de noter que l'action de la théorie IIA peut se voir naturellement comme découlant de la réductiondimensionnelle, ou réduction de Kaluza-Klein, d'une action de supergravité à 11 dimensions décrivant des membranesà 2 et 5 dimensions, appelées M2 et M5-branes. les champs intervenants sont Gµν la métrique, et A(3) pour les champsmatériels (on note encore F (4) =dA(3), mais le contexte lève l'ambiguïté possible) :

S11 =1

2κ211

(∫d11x

√−GR−

∫12F (4) ∧ ∗F (4) +

16A(3) ∧ F (4) ∧ F (4)

). (8)

Cette action est plus simple que les précédentes, et décrit un plus petit nombre de champ. Il est donc souvent plusfacile de trouver une solution de cette action, puis d'en déduire celle de type IIA. Le mécanisme de Kaluza-Kleinpermettant de la faire n'est pas compliqué à étudier mais nous n'avons malheureusement pas le temps de le faire ici.On pourra se référer au chapitre 12 de [4] pour une approche claire, et la recette pratique est donnée en partie 2.2.2.

2.2 Quelques solutions de supergravité, dualités 7

2.2 Quelques solutions de supergravité, dualités

La recherche de solutions aux équations du mouvement associées aux actions de type IIA, IIB, ou de supergravité à11 dimensions est un problème compliqué, et il n'existe pas de méthode générale de résolution. Malgré tout, quelquesapproches au cas par cas s'avèrent ecaces, et permettent de trouver une ou une classe de solutions. On peut ensuiteà partir d'une solution en générer de nouvelles par dualité, qui sont alors physiquement équivalentes. Nous présentonsdans ce paragraphe une classe de solutions, les solutions BPS, associées aux D-branes, puis nous présentons commenten former d'autres par T- et S-dualité et par réduction dimensionnelle. On peut se référer à l'article de revue [6] pourune discussion un peu plus complète.

2.2.1 Solutions BPS

Comme on l'a déjà vu, une D-brane est caractérisée par sa masse, ou sa tension Tp, et sa charge électrique, parlaquelle elle se couple au champ C(p+1). Lorsqu'on met deux branes côte à côte, deux eets s'opposent : leur masse atendance à vouloir les rapprocher alors que leur charge veut les éloigner l'une de l'autre. On peut équilibrer ces forcesen égalant leur masse et leur charge (dans un système d'unité adapté), alors cela annulera les interactions et donc lesplacer n'importe où les unes vis à vis des autres. De telles branes sont appelées états BPS (des noms de Bogomolny,Prasad et Sommerfeld), et sont donc particulièrement intéressants à étudier. Dans la suite, nous n'étudierons plus quede tels états BPS.

On donne ici la solution associée à une distribution de Np Dp-branes selon (t, ~x‖) (~x‖ a p dimensions), et àl'origine dans les coordonnées transverses x⊥ (on paramétrise l'espace transverse par les coordonnées sphériques à9− p dimensions) [6] :

ds2 = Zp(r)−1/2

(−dt2 + dx2

‖

)+ Z

1/2p dx2

⊥,

eΦ = Zp(r)3−p4 ,

C(p+1) = (1− Zp(r)−1)dt ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxp,

(9)

où Zp(r) est une fonction harmonique en les coordonnées transverses seulement :

Zp = 1 +Apr7−p

, (10)

avec Ap une constante proportionnelle au nombre Np de branes. L'importance de cette solution tient dans le fait quec'est à partir d'elle que vont se construire les solutions plus complexes que nous allons étudier par la suite : les trousnoirs et les anneaux noirs. On peut déjà remarquer que du point de vue de l'espace transverse, nous avons ici unesolution décrivant une masse ponctuelle à l'origine d'un espace asymptotiquement plat.

Règle de superposition harmonique Une solution très similaire est obtenue en distribuant continuement lesbranes dans un direction de l'espace transverse. La solution associée a exactement la même forme que (9), mais où Zpn'est cette fois plus une fonction harmonique que des directions transverses d'où l'on voit une distribution ponctuellede branes, la dépendance en la coordonnée où les branes sont étalées disparaît. Ce raisonnement peut directementse généraliser à plus d'une dimension. L'intérêt de cette propriété est qu'alors on peut obtenir la solution associée àplusieurs D-branes selon diérentes directions : on dénit un espace interne et un espace transverse à toutes les branes ;dans l'espace interne, les branes sont étalées dans les directions transverses à leur volume d'univers. Alors les solutionssimples se "superposent" [6][7]. Le plus simple est de xer les idées par un exemple : la solution de type IIA décrivantune D2-brane selon x1et x2, étalée selon x3 et x4 et une D2-brane selon x3et x4, étalée selon x1 et x2 est

ds2 = −Z−1/2

1 Z−1/22 dt2 + Z

−1/21 Z

1/22

(dx2

1 + dx22

)+ Z

1/21 Z

−1/22

(dx2

3 + dx24

)+ Z

1/21 Z

1/22 dx2

⊥,

e2Φ = Z121 Z

122 ,

C(3) = (1− Z−11 ) dt ∧ dx1 ∧ dx2 + (1− Z−1

2 ) dt ∧ dx3 ∧ dx4.

(11)

Cette classe de solutions a de plus l'avantage de faire un lien assez direct entre la forme de la solution et son contenuen matière. On peut facilement "lire" la solution.

8 2 SUPERGRAVITÉ

2.2.2 Dualités

Les dualités sont nombreuses en théorie des cordes, elles permettent de faire le lien entre plusieurs domaines de lathéorie a priori disjoints. Le point important à comprendre est que, si elles lient diérentes solutions, c'est que celles-ci,bien qu'explicitement parfois très diérentes, sont physiquement équivalentes. Elles décrivent la même physique sousdes aspects diérents. Ainsi, si on se pose un problème précis, les dualités permettent de se placer dans le contexte leplus simple possible pour le résoudre, quitte à re-dualiser ensuite pour l'interpréter plus facilement. Nous allons voirici la réduction de Kaluza-Klein, reliant une solution de supergravité à 11 dimensions à une de type IIA, la T-dualitécouple les théories IIA et IIB, et enn la S-dualité interne au type IIB.

Réduction dimensionnelle Comme on l'a mentionné rapidement en partie 2.1.2, la théorie IIA peut être vuecomme la réduction selon une direction de la théorie de supergravité à 11 dimensions. L'intérêt principal de cetteréduction est que trouver une solution à 11 dimensions s'avère souvent plus facile, et on peut ensuite la transformeren type IIA (ou IIB par T-dualité ensuite), car c'est dans ce contexte que nous nous posons notre problème physique,et c'est donc aussi dans ce contexte que l'on peut comprendre le plus facilement la solution.

En pratique, si on note ds2p la métrique à p dimensions, et que l'on réduit selon x10, on a [7] :

ds211 = e4Φ/3((dx10 + C(1)

µ dxµ)2 + e−2Φds210), (12)

ce qui dénit le dilaton, la métrique à dix dimensions et le champ C(1). Le champ A(3) dénit C(3) et B(2), suivants'il est dans la direction de compactication :

A(3)ijk

KK→ C(3)ijk ∀i, j, k 6= 10,

A(3)ij10

KK→ B(2)ij . (13)

Remarquons, même si cela reste d'un intérêt limité, que le chemin inverse peut aussi être suivi, ie qu'on peut avoirla solution à 11D depuis celle de type IIA.

T-dualité La T-dualité permet de relier une solution de type IIA à une de type IIB et réciproquement, si l'une desdimensions est compactiée. Si l'on T-dualise selon y, on a les règles suivantes1 [8] :

Gyy = G−1yy , e2eΦ = e2Φ

Gyy,

Gµν = Gµν −GµyGνy−B(2)

µy B(2)νy

Gyy, Gµy = B(2)

µy

Gyy,

B(2)µν = B

(2)µν −

B(2)µy Gνy−GµyB

(2)νy

Gyy, B

(2)µy = Gµy

Gyy,

(14)

pour les champs Neveu-Schwarz Neveu-Schwarz, et

C(p)µ···ναy = C

(p−1)µ···να − (p− 1)

C(p−1)[µ···ν|yG|α]y

Gyy,

C(p)µ···ναβ = C

(p+1)µ···ναβy + pC

(p−1)[µ···ναB

(2)|β]y + p(p− 1)

C(p−1)[µ···ν|yB

(2)|α|yG|β]y

Gyy.

(15)

pour les champs Ramond Ramond.

Ces règles ont une interprétation physique directe : l'échange de B(2)µy et Gµy correspond, dans la direction de

T-dualité, à une transformation des cordes en modes d'impulsions et réciproquement. Pour les D-branes, le plus simplepour comprendre la transformation est de l'appliquer à la solution BPS (9). On voit alors que la T-dualité transformeune Dp-brane en D(p-1) ou D(p+1)-brane suivant si elle est selon la direction de dualité ou non.

1Ce n'est pas la façon la plus élégante d'écrire les règles de T-dualité, mais celle-ci est pratique à utiliser.

9

Nous avons déjà dit que les dualités nous montrent plusieurs facettes d'une même physique. En appliquant plusieursfois la T-dualité, on comprend donc que la dimension d'une brane n'est pas physiquement importante. Toute brane estéquivalente à une autre. Par contre, si on a un système de plusieurs branes dans diérentes directions, leur orientationrelative et leur diérence de dimensions va être importante, et leurs interactions vont être préservées par T-dualité.

S-dualité Dans notre théorie (IIB), nous avons deux sortes d'objets unidimensionnels : les cordes fondamentales F1et les D1-branes (ou D1-cordes). Il est assez naturel de se demander quelle diérence il y a entre ces deux objets, etsi les cordes fondamentales sont vraiment de objets plus "fondamentaux" de la théorie que les D1-branes. En fait,on peut échanger les deux par ce qu'on appelle la S-dualité, dont les règles sont simples et montrent clairement cetéchange (B(2) ↔ C(2)) :

Φ = −Φ,Gµν = e−ΦGµν ,

B(2) = C(2),

C(2) = −B(2),

(16)

les autres champs restant invariants. Un mot sur la transformation du dilaton : la principale diérence entre les cordesD1 et F1 est que leur tension est diérente, on a TF1/TD1 = gs = eΦ. En inversant les cordes D1 et F1, on doit doncaussi redénir le dilaton en son opposé, et on comprends mieux l'action de la S-dualité, elle ne fait que transformergs en 1/gs. C'est donc une dualité couplage fort - couplage faible. La connaissance actuelle de la théorie n'étantprincipalement que perturbative, on ne peut voir cette dualité qu'au niveau des solutions, et non de l'action, qui n'estvalable que dans un domaine limité. Notons que ce n'est pas le cas de la réduction dimensionnelle ou de la T-dualité,qui peuvent se voir au niveau de l'action aussi bien qu'à celui des solutions.

Pour résumer, la S-dualité lie les cordes F1 et D1, et la T-dualité lie toutes les Dp-branes entre elles. Avec lesdeux, on voit donc que les D-branes ont fondamentalement le même rôle que les cordes fondamentales, elles sontdes objets dynamiques exactement au même titre. Une autre façon de constater cela est contenu dans la réductiondimensionnelle : les M2-branes sont réduites en D2-branes ou en cordes fondamentales suivant leur direction, et doncces derniers ne sont que les images après réduction d'un même objet, donc doivent être considérés de la même façon1.

3 Tester les trous noirs

Nous introduisons ici le dernier outil nécessaire à notre étude des trous noirs et des anneaux noirs : l'action d'uneD-brane. On pourra alors mettre dans les solutions de supergravité, dans le fond, des branes tests qui vont nouspermettrent de retirer des informations et de vérier la cohérence de notre étude. Notons que bien qu'on ne sache pasà l'heure actuelle quantier l'action des D-branes, il est déjà remarquable d'en avoir une.

3.1 Action d'une D-Brane

L'action d'une Dp-brane s'écrit

S = SDBI + SWZ (17)

avec

SDBI = −Tp∫

dp+1ξ e−Φ√−det(G+B + F ) (18)

et

1Malheureusement, alors que la quantication de la corde est à la base de la théorie, on ne sait pas à l'heure actuelle quantier l'actiondes D-branes.

10 3 TESTER LES TROUS NOIRS

SWZ = −Tp∫

eB(2)+F (2)

∧ ⊕nC(n). (19)

Le volume d'univers de la brane est paramétrisé par les coordonnées ξa. L'action fait apparaître un nouveau champ,une 2-forme F (2) vivant uniquement sur le volume d'univers de la brane, et non dans l'espace-temps entier. Les champsGµν , B

(2) et C(p) intervenants sont aussi à comprendre comme les pullbacks sur le volume d'univers de la brane deschamps correspondants vivants dans l'espace temps :

Gab = Gµν∂xµ

∂ξa∂ν

∂ξb, (20)

de même pour B(2) et C(p). On note de la même façon les champs vivants dans l'espace-temps et sur la brane, le contextelevant l'ambiguïté. det(G+B+F ) correspond au déterminant de la matrice de taille (p+1)× (p+1) de terme général

Gab +Bab + Fab. Enn eB(2)+F (2) ∧ ⊕nC(n) est une façon synthétique de noter C(p+1) + (B(2) + F (2)) ∧ C(p−1) + . . .,

la sélection étant fait par le fait que la forme à intégrer doit être de dimension p+1.

Physiquement, SDBI , ou action de Dirac-Born-Infeld, est l'action intrinsèque à la brane alors que SWZ , ou actionde Wess-Zumino, traduit le couplage au champs de Ramond, l'énergie potentielle électrique de la brane. On peutremarquer que dans cette action, les champs C(n) et B(2) jouent des rôles complètement diérents, alors que B(2) etF (2) n'apparaissent qu'à travers leur somme, et donc, bien que d'origines diérentes, jouent le même rôle.

Le champ F (2) mérite une explication, et la façon la plus simple d'obtenir celle-ci est de regarder SWZ . Une branep-dimensionnelle se couple naturellement au champ C(p+1) par le terme

∫C(p+1). Si on a un champ F (2) non nul,

il permet un couplage aux formes plus petites C(p−1), C(p−3), . . ., qui normalement se couplent respectivement à desD(p-2) branes, D(p-4)-branes, etc. On peut donc interpréter ce champ F (2) comme traduisant la présence de pluspetites branes "dissoutes" dans la grande. Nous dirons alors que la brane est chargée : par exemple, si on a une

D3-brane dans les directions (x1, x2, x3) avec F(2)23 non nul, cela traduit une charge de D1-brane selon x1. Le nombre

N1 de D1-branes dissoutes est alors donné par l'égalité

T3

∫F (2) ∧ C(1) = N1T1

∫C(1).

Plutôt que de travailler avec le nombre Np de Dp-branes dissoutes, on dénira souvent pour des raisons pratiquesQp, au cas par cas, la charge de branes dissoutes ou parfois densité de charge par unité de volume (encore appeléecharge par abus de language), qui ne dièrera de Np que d'un coecient multiplicatif.

Enn, le champ B(2) présent dans l'action ne peut pas s'expliquer physiquement aussi simplement, mais sa présencepeut tout de même se justier. En eet, il existe une transformation de jauge transformant B(2) en F (2) et cela apour conséquence que la quantité physique est la combinaison B(2) + F (2) [4]. C'est donc seulement à l'intérieur decette combinaison que peuvent intervenir B(2) et F (2). Jouant le même rôle que F (2), on pourrait penser qu'il faudraitaussi associer à B(2)une charge de branes dissoutes, de la même façon que nous l'avons fait pour F (2). Ce n'est pas lecas, une étude plus poussée [9] montre que de tels termes de charges venant de B(2) sont toujours compensés par uncontreterme présent dans l'action de supergravité, annulant sa contribution.

3.2 Les supertubes, un outil ecace

Nous avons désormais tous les outils nécessaires pour étudier la dynamique d'une D-brane test chargée de formequelconque dans une solution de supergravité donnée. Mais une conguration arbitraire ne sera pas forcément intéres-sante. Nous demanderions bien en plus que celle-ci soit stable, et qu'elle préserve la même supersymétrie que le fond.C'est tout l'intérêt des supertubes, découvert par Mateos et Townsend [10].

Le premier exemple de supertube trouvé est une D2-brane ayant une direction étendue et une direction refermée. Ila donc une forme de cylindre, ou de tube, mais pas forcément circulaire. La base du tube peut être quelconque, pourvuque ce soit une courbe fermée [11]. Une telle brane est instable et s'eondre sur elle-même sauf si on elle porte descharges D0 et F1, des D0-branes réparties sur la surface, et des cordes le long du tube. Cela crée un champ électrique

3.3 Passons aux choses sérieuses 11

et un champ magnétique dont l'eet croisé crée un moment cinétique qui stabilise la brane. On peut montrer aussiqu'elle préserve une partie de la supersymétrie du fond. La brane étant enroulée sur elle-même, elle ne porte pas decharge nette de D2, c'est-à-dire que de l'inni, on ne voit pas cette D2-brane, mais seulement les D0 et F1 à l'intérieur.Les charges Q0 et Q1 sont des charges nettes (ou charges tout court) alors que la charge d2 de D2-brane est une chargedipolaire. Au lieu de mettre une unique D2-brane, on peut en superposer plusieurs, ce qui revient juste à augmentercette charge dipolaire d2.

Pour résumer, notre supertube à une charge dipolaire d2 et deux charges nettes Q0 et Q1. Toutefois, les dualités nouspermettent de voir ce supertube de plusieurs manières diérentes. Etant physiquement équivalents, nous appelleronstoujours supertube tout dual du précédent, qui portera toujours une charge dipolaire et deux charges nettes. Mais endualisant, nous pouvons aussi en proter pour l'enrichir. Par exemple, par quatre T-dualités nous pouvons voir notresupertube comme une D6-brane munie de charges D4 et F1, et pouvons lui rajouter une troisième charge nette enD0-brane, avec laquelle vient aussi une charge dipolaire en D2. On peut aussi voir ce supertube à trois charges commeune superposition de deux supertubes à deux charges, l'un D6 portant des charges en D4 et F1 et l'autre étant notresupertube initial. rappelons qu'il n'est par contre pas possible de rajouter des charges nettes sans mettre en mêmetemps des charges dipolaires, car cela conduirait à un état non physique.

Les supertubes sont aujourd'hui très utilisés, car par construction ce sont des congurations supersymétriques.Nous allons les utiliser ici pour tester des fonds de supergravité, mais ils peuvent aussi servir à construire des solutionsde supergravité, comme ce fut le cas pour la solution anneau noir, que nous verrons en partie 4. Ils peuvent aussi êtreutile dans le cadre d'une interprétation microscopique des trous noirs.

3.3 Passons aux choses sérieuses

3.3.1 Un exemple simple

Avant d'étudier les trous noirs proprement dits, il est utile de comprendre ce que nous allons faire et les résultatsauquels nous pouvons nous attendre sur un exemple simple. Nous allons donc pour commencer mettre un supertubedans l'espace-temps vide (gµν = ηµν , B

(2) = 0, Φ = 0, C(p) = 0). Le supertube est ici une D2-brane circulaire de rayonr, paramétrisée par (z, θ), à deux charges, ce qui correspond à prendre Fzθ 6= 0 pour la charge de D0 et Ftz 6= 0 pourla charge F1. Comme nous allons le voir juste en dessous, Ftz n'est pas exactement la charge F1, mais elle y est reliée.La métrique induite sur le tube est

g =

−1 0 00 1 00 0 r2

. (21)

Dans l'espace-temps vide, SWZ = 0, donc S = SDBI ,

S = −T2

∫dtdzdθ

√−det(g + F )

= −T2

∫dtdzdθ

√r2(1− F 2

tz) + F 2zθ. (22)

Pour la valeur particulière de Ftz = 1, l'expression se simplie, et on obtient

S = −T2

∫dtdzdθ Fzθ ≡ −

∫dtdz Q0 (23)

si bien que la densité d'énergie par unité de longueur et de temps est

HcFtz=1 =∫

dθ(∂L∂Ftz

Ftz − L)Ftz=1

= Q0 +Q1. (24)

avec Q1 =∫

dθ ∂L∂Ftz

Ftz, pour Ftz=1. C'est cette expression de H qui nous assure que nous avons une congurationsupersymétrique, l'énergie du système est égale à la somme des charges portées par le supertube. Les charges sont

12 3 TESTER LES TROUS NOIRS

constantes, donc le lagrangien comme l'hamiltonien sont constants et le supertube n'est soumis à aucune force. C'estici évident car nous sommes dans l'espace-temps vide, mais ce sera une propriété des congurations supersymétriquesqui nous intéresserons.

L'expression explicite de Q1 nous fournit une égalité :

Q0Q1 = (2πT2)2r2 (25)

On retrouve ici une équation liant le rayon du tube avec les charges qu'il porte, ce qui est une autre façon de voirque les charges l'empêchent de s'eondrer sur lui-même. C'est encore de l'expression de Q1 que nous tirerons desinformations intéressantes dans les cas plus complexes qui vont suivre.

3.3.2 Trou noir

Maintenant que nous avons bien compris comment procéder, voyons les résultats que nous avons dans le cas d'untrou noir à cinq dimensions. Nous motiverons plus précisement son étude dans la prochaine partie. Nous reproduisonsici pour une grande partie les résultats de [12].

La solution de supergravité de type IIA correspondant à un trou noir à cinq dimensions portant des charges D0,D4 et F1 est

ds2 = −(Z4Z0)−1/2Z−1

1 (dt+ k(1))2 + Z−1/24 Z

1/20 ds2I + (Z4Z0)1/2Z−1

1 Z1/2p dx2

5 + (Z4Z0)1/2ds2E ,e2Φ = Z

−1/24 Z

3/20 Z−1

1 ,B(2) = (−1 + Z−1

1 )dt ∧ dx5 + Z−11 k(1) ∧ dx5,

(26)

pour les champs Neveu-Schwarz Neveu-Schwarz, et

C(1) = (1− Z−1

0 )dt− Z−10 k(1),

C(3) = −Z−11 (dt+ k(1)) ∧ dx5 ∧ k(1) + (Z4 − 1)r2 cosϑdx5 ∧ dθ1 ∧ dθ2.

(27)

pour les champs Ramond Ramond. C'est la superposition harmonique des solutions BPS simples associées aux D0, D4et F1 séparement. Les fonctions Z0, Z4 et Z1 sont les fonctions harmoniques engendrées respectivement par les D0, D4et F1, Zi = 1 +Ai/r

2 ; l'espace transverse est paramétrisé par les coordonnées sphériques ~y = (r, ϑ, θ1, θ2) ; k(1) est la

1-forme moment cinétique du trou noir k(1) = k(1)1 dθ1 + k

(1)2 dθ2, k

(1)1 = K sin2 ϑ/2r2, k(1)

1 = −K cos2 ϑ/2r2, avec Kune constante.

Dans ces coordonnées, le trou noir est situé en r = 0. Notons que dans la métrique complète à dix dimensions,r = 0 n'est plus un point de l'espace, mais bien une surface d'aire non nulle. Il a été "goné" par l'inclusion de matièredans l'espace-temps. Le système de coordonnées choisi ne paramétrise alors que l'extérieur du trou noir, et doit êtreprolongé si l'on veut décrire son intérieur.

Nous plaçons dans ce fond un supertube D2 à deux charges D0 et F1. On paramétrise encore son volume d'universpar (t, z, θ). Les deux charges correspondent à Fzθ 6= 0, Ftz 6= 0, tous eux pour l'instant fonction de θ. Pour espéreravoir une conguration supersymétrique, nous alignons les cordes fondamentales de la brane test avec celles du fond.cela correspond à mettre le supertube selon z = x5, et sa direction compactiée est pour l'instant laissée arbitrairedans l'espace transverse, paramétrisée par ~y(θ).

L'action pour le supertube est alors

S = SDBI + SWZ (28)

avec

3.3 Passons aux choses sérieuses 13

SDBI = −T2

∫dtdzdθ e−Φ ×

√− (gttgzzgθθ + gtt(Bzθ + Fzθ)2 + gθθ(Btz + Ftz)2 + 2gtθ(Bzθ + Fzθ)(Btz + Ftz)− gzzg2

tθ)

= −T2

∫dtdzdθ

√Z4Z

−10

(Z−1

1 − Z1(Ftz − 1 + Z−11 )2

) (∂~y∂θ

)2

+(Fzθ + ~k(1).∂~y∂θ (Ftz − 1)

)2

(29)

et

SWZ = −T2

∫C(3) + (B(2) + F (2)) ∧ C(1)

= −T2

∫dtdzdθ

[−Z−1

0

(Fzθ + ~k(1).

∂~y

∂θ(Ftz − 1)

)+ Fzθ

]. (30)

On prend encore Ftz = 1, pour obtenir une conguration supersymétrique et l'action se simplie en

S = −T2

∫dtdzdθ Fzθ = −

∫dtdz Q0p (31)

et

HcFtz=1 =∫

dθ(∂L∂Ftz

Ftz − L)Ftz=1

= Q0p +Q1p. (32)

Cela nous assure que le résultat est bien supersymétrique, et que le supertube peut être placé n'importe où, qu'il nesubit pas de forces1. N'importe où ? Pas tout à fait. Il ne subit eectivement pas de forces, mais la valeur explicite deQ1p nous impose une contrainte à remplir :

(∂L∂Ftz

)Ftz=1

= T2Z4

Fzθ

(∂~y

∂θ

)2

. (33)

Nous allons intégrer cette condition pour faciliter son interprétation. Prenons désormais une courbe particulière ~y(θ) =θ1, et Fzθ constant (densité uniforme de D0 branes). Alors

Q0pQ1p = (2πT2)2r2 cos2 ϑZ4. (34)

On peut alors utiliser l'expression explicite de Z4, et en remplaçant les charges par le nombre de branes associé (onrappelle qu'elles sont égales à une constante multiplicative près), on a nalement

N0pN1p = (2πT2)2r2 cos2 ϑ+N4BH cos2 ϑ. (35)

Cette condition nous dit que l'on peut amener le supertube à entrer dans le trou noir, en r = 0, à la conditionque N1pN0p ≤ N4BH , et la relation (35) nous donne en même temps l'angle d'entrée du tube dans le trou noir :cos2 ϑ = N1pN0p/N4BH .

Les conditions obtenues ici nous permettent de vérier que l'entrée du supertube dans le trou noir ne peut pasl'amener à violer les contraintes auxquelles il est soumis. Tout d'abord, il se pourrait que le supertube puisse àun moment être partiellement dedans et partiellement sorti. Même si le théorème de la calvitie ne s'applique plus,l'intuition que nous avons des trous noirs nous pousse à penser que ceci n'est pas possible. Et eectivement,c'est bieninterdit par (33), car la fonction Z4 étant en 1/r2, ∂r/∂θ doit être nul en r = 0 (sinon Z4(∂~y/∂θ)2 diverge).

1Nous notons désormais les charges du supertube Qip pour ne pas les confondre avec celles du trou noir, notées QiBH

14 4 ANNEAUX NOIRS

La deuxième condition importante à vérier est que l'entropie du trou noir augmente à l'introduction du supertube.L'entropie du trou noir est donnée par

S ∝√N0N1N4 − J2 ≡

√M, (36)

avec J le moment cinétique du trou noir, et où la deuxième égalité dénieM. L'entropie est bien dénie à la conditionque J2 ≤ N0N1N4, qui est en même temps la condition nous assurant qu'il n'existe pas de courbes timelike fermées. Sinous vérions que ∆S ≥ 0, ou de manière équivalente que ∆M≥ 0, alors cela assurera bien la protection chronologique.

Pour le supertube, J = N0N1, et donc on peut écrire (NiBH = Ni, Nip = ∆Ni)

(N1 + ∆N1)(N0 + ∆N0)N4 − (J + ∆J)2 = M+ (N1∆N0 +N0∆N1)N4 + ∆N1∆N0N4 − 2J∆J −∆J2

≥ M+ 2N4

√N1∆N0N0∆N1 + ∆J(N4 −∆J)− 2J∆J

≥ M+ ∆J(N4 −∆J) + 2√N0N1N4

√N4∆N0∆N1 − 2J∆J

≥ M+ ∆J(N4 −∆J) + 2J(√N4∆J −∆J), (37)

où nous avons utilisé l'inégalité arithmético-géométrique pour la première inégalité et la condition de protectionchronologque initiale pour la troisième. La condition d'entrée du tube dans le trou noir est ∆J ≤ N4, donc

√N4∆J ≥

∆J et on vérie bien nalement que ∆S ≥ S.

On peut regarder des courbes plus compliquées pour ~y(θ), les propriétés physiques de trou noir sont toujourspréservées. remarquons aussi que tous les calcus précédents sont encore valable pour Fzθ = f(θ), c'est à dire pour unedistribution non uniforme de D0-branes. Mais passons plutôt au cas de l'anneau noir.

4 Anneaux noirs

L'un des résultats importants sur les trous noirs cordistes est qu'en formant des trous noirs supersymétriques àpartir de congurations branaires, on a souvent un horizon de taille nul. Les seuls objets noirs supersymétriques ayantun horizon de taille nie sont les trous noirs à quatre dimensions et quatre charges, et ceux à cinq dimensions et troischarges1. Si nous sommes naturellement plus intéressé par les trous noirs à quatre dimensions, ceux à cinq dimensionsne sont pas fondamentalement diérents, et les résultats qu'on peut obtenir sur eux nous aide à comprendre la physiquedes trous noirs. C'est cela qui motive notre étude des trous noirs à cinq dimensions. Comme on l'a déjà vu, le théorèmede la calvitie ne s'applique plus, et on peut en avoir avec un horizon de topologie S1 × S2, appelés anneaux noirs.

La recherche de la solution de supergravité correspondant à un anneau noir est assez récente et s'est fait pas à pas.Iosif Bena a tout d'abord exhibé une solution correspondant à la limite de rayon inni de l'anneau [13], puis Elvang etal ont trouvé la solution correspondant à l'anneau ayant toutes ses charges égales [14]. Enn la solution générale a éténalement trouvé à peu près simultanément par Bena et Warner [15], Elvang et al [16] et Gauntlett et Gutowski [17].Il est intéressant à noter est que cette solution a été trouvée par des approches diérentes : Bena et Warner se sontbasés sur les équations découlant des contraintes de supersymétrie alors que Elvang et al ont résolus directement leséquation du mouvement. L'anneau noir dépend de sept paramètres : trois charges nettes Qi, trois charges dipolairesqi2, ainsi que soit son rayon R soit son moment cinétiqe JT . Rappelons que le trou noir sphérique ne dépend lui que

de quatre paramètres, ses trois charges nettes et son moment cinétique. La résolution a été possible grâce à un choixjudicieux de coordonnées de l'espace transverse (à quatre dimensions) adapté à la solution cherchée ~y = (y, θ1, x, θ2),et la métrique correspondante est

ds2E =R2

(x− y)2

(dy2

y2 − 1+ (y2 − 1)dθ21 +

dx2

1− x2+ (1− x2)dθ22

), (38)

1On parle ici de charges au même sens que celles introduits pour les supertubes, et la dimension donnée fait toujours référence à l'espacetransverse.

2Chaque charge dipolaire est naturellement associée à une charge nette. Il sera donc pratique de noter q0 ou d6 la charge dipolaireassociée aux D6-branes, q4 ou d2 pour les D2-branes et q1 ou dNS5 pour les NS5-branes, suivant ce sur quoi on veut insister.

4.1 Retour sur l'action de supergravité, couplages électriques et magnétiques 15

où −∞ < y ≤< −1 et −1 ≤ x ≤ 1[14]. Ce n'est qu'une paramétrisation de l'espace plat habituel, mais celle-ci étantadaptée à un anneau de rayon R dans le plan (y, θ1), les équations sont alors plus simples à résoudre, et les solutionss'expriment facilement.

On introduit aussi l'espace à quatre dimensions interne, paramétrisé par les coordonnées cartésiennes :

ds2I = dx21 + dx2

2 + dx23 + dx2

4. (39)

Les solutions trouvées dans ces diérents articles se placent tous dans le contexte de la supergravité à onze dimen-sions, car cela permet d'avoir une symétrie entre les diérentes charges de l'anneau : ce sont des charges de M2-branesselon des directions diérents, disons (x1, x2), (x3, x4) et (x5, x6). Mais pour travailler avec les supertubes comme onveut le faire, le contexte le plus simple est la théorie IIA où les charges de l'anneau sont en D0- et D4-branes et encordes fondamentales F1. Pour l'obtenir de la solution à onze dimensions, il nous faut donc compactier selon unedirection ayant une brane, ici x6, après quoi nous avons une charge F1 selon x5 et deux charges D2 selon (x1, x2) et(x3, x4) ; on T-dualise enn selon x3 puis x4 an de transformer ensuite les D2-branes en D0- et D4-branes. On obtientalors la solution correspondant à un anneau noir dans le plan (y, θ1)) :

ds2 = −(Z4Z0)−1/2Z−1

1 (dt+ k(1))2 + Z−1/24 Z

1/20 ds2I + (Z4Z0)1/2Z−1

1 dx25 + (Z4Z0)1/2ds2E ,

e2Φ = Z−1/24 Z

3/20 Z−1

1 ,B(2) = (−1 + Z−1

1 )dt ∧ dx5 + Z−11 k(1) ∧ dx5 − 2a(1) ∧ dx5,

(40)

pour les champs Neveu-Schwarz Neveu-Schwarz, et

C(1) = (1− Z−1

0 )dt− Z−10 k(1) + 2a(0),

C(3) = −Z−11 dt ∧ dx5 ∧ k(1) + 2Z−1

1 a(0) ∧ (dt+ k(1)) ∧ dx5 + 2a(1) ∧ dt ∧ dx5 + f(x, y)dx5 ∧ dθ1 ∧ dθ2,(41)

pour les champs Ramond Ramond. On utilise les mêmes notations que pour le trou noir. Les fonctions Zi intervenantne sont plus harmoniques,

Z4 = 1 +Q4

R(x− y)− 4

q0q1R2

(x2 − y2), (42)

de même pour Z0 et Z1 en permutant les charges, le moment cinétique est donné par

k(1)1 = (y2 − 1) (C(x+ y) +B)−A(y + 1),

k(1)2 = (x2 − 1) (C(x+ y) +B) , (43)

avec A = 2(q1 + q2 + q3), B = (q1Q1 + q2Q2 + q3Q3)/R et C = −8q1q2q3/R2. Les fonctions a(i) sont données par

a(i) = qi ((x+ 1)dθ2 − (y + 1)dθ1) , (44)

pour i valant 0,1 et 4. Enn, la fonction f(x, y) apparaissant dans C(3) est une fonction uniquement de x et y dontnous n'aurons jamais besoin de l'expression.

Dans ce système de coordonnées, l'anneau est situé en y = −∞, et on peut voir que la topologie de l'horizon estS1 × S2 en posant x = − cosψ, en en regardant la métrique induite en y = −∞. Comme dans le cas du trou noirsphérique, l'anneau en y = −∞ initialement sans volume, est "goné" en un anneau de volume ni dans la solutioncomplète. Alors notre système de coordonnées ne paramétrise que l'extérieur de l'anneau noir, et peut être prolongéau besoin à l'intérieur.

4.1 Retour sur l'action de supergravité, couplages électriques et magnétiques

Avant d'aller plus avant dans notre discussion, il nous faut revenir sur l'action de supergravité pour développer unpoint qui ne nous avait pas été utile d'exposer jusqu'à présent. Nous avons vu en section 2.1.2 que les actions de type

16 4 ANNEAUX NOIRS

IIA et IIB ne faisait intervenir que les champs C(p) pour p < 5. Or il y a aussi dans la théorie des champs C(p) pourp > 5, associés aux branes plus grandes. S'ils n'interviennent explicitement, c'est qu'ils sont duaux aux autres, au sensque l'on peut expliquer sur un exemple : l'équation du mouvement de C(3) découlant de l'action IIA est

d(∗F (4) −H(3) ∧ C(3)

)= 0, (45)

c'est-à-dire qu'il existe une 5-forme C(5) dont la dérivée est ∗F (4)−H(3)∧C(3). De la même façon, toute C(p) est dualeà une C(8−p). Il existe toutefois une subtilité en IIB, où nous savons par ailleurs qu'il n'existe qu'un seul champ C(4). Ilfaut donc imposer, en plus des équations du mouvement, que la forme C(4) soit autoduale1. L'existence de ces formesduales est importante car une Dp-brane peut se coupler électriquement à une (p+1)-forme, ou magnétiquement à uneautre forme. Dans la solution anneau noir ci-dessus, par exemple, la charge en D4-brane crée un champ C(5) que nousn'avons pas écrit, et le champ C(3) apparaissant est son dual. Son expression a été calculée à partir de l'équation dumouvement de C(5). Si on place une autre D4-brane test, elle se couplera à C(5) mais aussi à C(3).

4.2 Test de l'anneau noir

4.2.1 Supertube à deux charges

Nous pouvons donc désormais placer un supertube test dans un champ créé par un anneau noir, et voir se qui enrésulte. Nous plaçons le supertube, paramétrisé par (z, θ) selon

x5 = z, ~y = ~y(θ). (46)

Encore une fois, la direction étendue du supertube est selon x5, de façon à avoir une situation supersymétrique vis àvis des cordes fondamentales, alors que la direction fermée est pour l'instant quelconque dans l'espace transverse. Onprend cette fois directement une charge dipolaire d2 de supertube, plutôt qu'un seul. Son action s'écrit

S = SDBI + SWZ (47)

avec

SDBI = −d2T2

∫dtdzdθ e−Φ ×

√− (gttgzzgθθ + gtt(Bzθ + Fzθ)2 + gθθ(Btz + Ftz)2 + 2gtθ(Bzθ + Fzθ)(Btz + Ftz)− gzzg2

tθ)

= −d2T2

∫dtdzdθ Z−1

0

√Z4Z0

(Z−1

1 − Z1(Btz + Ftz)2) (

∂~y∂θ

)2

+(Bzθ + Fzθ + ~k.∂~y∂θ (Btz + Ftz)

)2

(48)

et

SWZ = −d2T2

∫C(3) + (B(2) + F (2)) ∧ C(1)

= −d2T2

∫dtdzdθ

[−Z−1

0

(Bzθ + Fzθ + ~k.

∂~y

∂θ(Btz + Ftz)

)+ 2~a(0).

∂~y

∂θ(Ftz − 1) + Fzθ

]. (49)

On prend encore Ftz = 1, pour obtenir une conguration supersymétrique, et on a alors

S = −d2T2

∫dtdzdθ Fzθ = −

∫dtdz Q0p (50)

1Il est possible de traiter toutes les formes sur le même pied dans ce qu'on appelle le formalisme démocratique, où tous les champsinterviennent dans l'action, et les équations du mouvements sont alors redondantes avec les identités de Bianchi.

4.2 Test de l'anneau noir 17

et

HcFtz=1 =∫

dθ(∂L∂Ftz

Ftz − L)Ftz=1

= Q0p +Q1p, (51)

ce qui nous assure que notre supertube est bien indiérent au fond. Comme dans le cas du trou noir, la valeur de Q1p

impose une condition à remplir pour que le tube puisse être placé là où l'on veut. Tous calculs faits, on a

((∂L∂Ftz

)Ftz=1

+ 2d2T2~a(0).∂~y

∂θ

)(Fzθ + 2~a(1).

∂~y

∂θ

)= d2T2Z4

(∂~y

∂θ

)2

. (52)

Nous avons là une condition qui généralise celle obtenue pour le trou noir. La principale nouveauté est l'apparitiondans l'expression des fonctions a(i). Celles-ci ne dépendent que des charges dipolaires, et n'ont donc pas d'équivalentdans le cas du trou noir. L'anneau dépendant de ses charges dipolaires au même titre que de ses charges nettes, il estnalement assez logique que ces fonctions a(i) apparaissent dans la contrainte. Toutefois la façon explicite dont ellesinterviennent dans la condition ne pouvait pas être donner par un argument de cette sorte, et ne sort que du calculcomplet.

Prenons alors le cas le plus simple où les densités de charges de dépendent pas de θ, et où le supertube est placéau-dessus de l'anneau, ie pour θ = θ1. Alors la condition devient

(Q1p + 4πd2T2~a(0)1

) (Q0p + 4πd2T2~a(1)1

)= (2πd2T2)2Z4

R4(y2 − 1)2

(x− y)4. (53)

On remarque que, comme dans le cas du trou noir, cette contrainte est symétrique en les charges, ce qui est requis parla T-dualité.

La première question intéressante à se poser alors est : à quelle condition sur les charges du supertube et de l'anneaunoir peut-on faire rentrer le premier dans le deuxième ? Cela nous permet-il de respecter les conditions de l'existencede l'anneau noir ? Avec l'expression explicite des a(i) et de Z4 qu'on réinjecte dans la condition (53), on doit imposer

(Q1pq1 +Q0pq0) + 2d2q0q1 cos2ψ

2= d2Q4BR (54)

pour qu'elle soit valable à y →∞. On a déni ici ψ par x = − cosψ (x est compris entre -1 et 1), et on a redéni lescharges du supertube an d'avoir les mêmes conventions que pour l'anneau noir. Une condition nécessaire à l'entréedu tube est donc

(Q1pq1 +Q0pq0) ≥ d2Q4BR, (55)

Nous avons aussi une inégalité dans l'autre sens, en utilisant cos2(ψ/2) ≤ 1, mais nous ne l'utiliserons pas. Ces deuxinégalités se comprennent géométriquement, en s'aidant de [15] : l'anneau à une topologie S1 × S2, et ψ est un desangles paramétrisant S2. Une étude précise montre alors que, si d2Q4BR− (Q1pq1 +Q0pq0) ≥ 2, c'est que le supertubeest trop n et passe à l'intérieur de l'anneau noir. Si au contraire d2Q4BR − (Q1pq1 + Q0pq0) ≤ 0 alors le tube esttrop large et passe autour de l'anneau sans rentrer dedans. Entre les deux, le tube rentre et ψ nous donne l'angle aveclequel il le fait.

Comme dans le cas du trou noir, nous aimerions vérier que les conditions obtenues ici préservent un certain nombrede propriétés physiques. Tout d'abord, voyons comment le supertube ne peut pas être seulement partiellement rentrédans l'anneau : pour cela, on prend un contour quelconque pour ~y(θ). L'équation (52) peut se réécrire en développant,et en notant Q1 = (∂L/∂Ftz)/d2T2 et Q0 = Fzθ

((Q1 + 2q0(x+ 1)∂θ2 − 2q0∂θ1)− 2q0∂θ1y) ((Q0 + 2q1(x+ 1)∂θ2 − 2q1∂θ1)− 2q1∂θ1y) (x− y)2

= R2

((1 +

Q4BR

Rx− 4q0q1

R2x2

)− Q4BR

Ry +

4q0q1R2

y2

)((∂y)2

y2 − 1+ (y2 − 1)(∂θ1)2 +

(∂x)2

1− x2+ (1− x2)(∂θ2)2

). (56)

18 4 ANNEAUX NOIRS

On a noté ici ∂yi pour ∂yi/∂θ. La condition d'entrée du tube, qui est d'annuler le terme le plus haut en y n'imposerien sur ∂y, car nous ne sommes pas dans les bonnes coordonnées, l'anneau dans ces coordonnées est à l'inni. Si onpose u = 1/y alors ∂y = ∂u/u2 et donc annuler l'ordre le plus bas en u impose bien à la condition ∂u = 0, ce quinous garantit que le supertube ne peut être partiellement dans et partiellement en dehors de l'anneau noir. Le premiertest physique faisable est donc bien concluant. Remarquons qu'une fois que ∂u = 0, travailler avec les variables u ouy revient au même. Nous resterons donc dans notre système de coordonnées initial.

Nous voudrions pouvoir vérier maintenant directement que l'introduction du supertube augmente l'entropie del'anneau, et ne crée pas de courbes timelikes fermées. Malheureusement les expressions intervenants sont plus compli-quées que dans le cas du trou noir et un calcul complet, quand bien même il serait possible, ne nous éclairerait quepeu. En eet, l'entropie est proportionnelle à

√M1, avec

M = −q20Q20 − q21Q2

1 − q24Q24 + 2q0q1Q0Q1 + 2q0q4Q0Q4 + 2q1q4Q1Q4 − 16q1q2q3(q1 + q2 + q3). (57)

Il est plus intéressant pour nous d'étudier des cas particuliers, qui sont plus tractable et où l'on comprend tout demême bien la physique du problème : si une des charges dipolaire de l'anneau est nulle prenons par exemple q1 =0 nous voyons que l'entropie est nulle, et en plus nous avons la condition q0Q0 = q4Q4. Alors l'introduction d'unsupertube, qui a aussi q1 = 0 doit preserver cette condition. C'est bien le cas, car si q1 est nulle, notre inégalité (55)est en fait une égalité, et, avec les notations Qip = ∆Qi, ..., et d2 = ∆q4

q0(Q0 + ∆Q0)− (q4 + ∆q4)Q4 = (q0Q0 − q4Q4) + (q0∆Q0 −∆q4Q4) = 0, (58)

où la contrainte d'entrée du supertube est exactement celle qu'il faut pour annuler le dernier terme.

Le deuxième cas particulier intéressant et vériable est le cas où les charges sont égales : q1 = q2 = q3 = q, Q1 =Q2 = Q3 = Q, ∆q1 = ∆q et ∆Q2 = ∆Q3 = ∆Q. Alors l'entropie de l'anneau initial se simplie enM = 3q2(Q2−16q2),nous avons donc la condition d'existence Q2 ≥ 16q2. La condition d'entrée du tube dans l'anneau (55) se simplie en2q∆Q ≥ ∆qQ, et après l'introduction du supertube, on a donc

M+ ∆M = −(q + ∆q)2Q2 − 2q2(Q+ ∆Q)2 + 4(q + ∆q)qQ(Q+ ∆Q) + 2q2(Q+ ∆Q)2 − 16(q + ∆q)q2(3q + ∆q)= M+ 4q2Q∆Q+ 4q∆qQ∆Q+ 2q∆qQ2 −∆q2Q2 − 16q2(4q∆q + ∆q2)≥ M+ 2q∆qQ2 + 2∆q2Q2 + 2q∆qQ2 −∆q2Q2 − 16q2(4q∆q + ∆q2)≥ M+ (Q2 − 16q2)(4q∆q + ∆q2) (59)

et l'entropie nale est donc bien plus grande que l'entropie initiale. Il est satisfaisant de voir ici que nous retrouvons endiscutant l'entropie de l'anneau les contraintes obtenues dans [13] par protection chronologique. Plutôt que de vérierla croissance de l'entropie dans des cas plus compliqués, intéressons nous maintenant à un tube à trois charges.

4.2.2 Supertube à trois charges

L'anneau noir ayant trois charges, il est intéressant d'y mettre un supertube à trois charges, même si l'essentiel dela physique du problème a été compris dans le test à deux charges.

Le supertube (avec une charge dipolaire d6 de D6-branes) est placé selon les directions (x1, x2, x3, x4, x5 = z, ~y(θ)).Les calculs étant essentiellement les mêmes que précedemment, bien que sensiblement plus compliqués, nous ne lesreproduisons qu'en annexe, et nous passons directement aux résultats. On utilise aussi les mêmes notations sans lesredénir. Le calcul complet montre que notre supertube à trois charges est bien supersymétrique, ie qu'on a

HcFtz=1 = Q0p +Q1p +Q4p, (60)

Et encore une fois la physique du problème va sortir de la contrainte donnée par la valeur de Q1p, qui est cette foisplus compliquée :

1Rappelons que l'entropie S est égale à A/4G10, où A est l'aire de l'horizon de l'anneau et G10 est la constante de gravitation à 10dimensions. S étant croissante avecM, nous ne regarderons queM dans la suite de notre raisonnement.

4.2 Test de l'anneau noir 19

(Q1p + 4πT6

(d6~a(4).

∂~y

∂θ+ d2~a(0).

∂~y

∂θ

))(Q0pQ4p + 4πT6d6Q0p~a(1).

∂~y

∂θ

)= 4π2T 2

6 d2d6(Z0Q4p + Z4Q0p)(∂~y

∂θ

)2

. (61)

Nous avons ici une symétrie entre les charges de D0 et D4-branes, mais pas de F1. Cela s'explique par le fait quenotre supertube à seulement deux charges dipolaires. Par rapport à l'anneau noir, il lui manque la charge dipolaire enNS5-brane, associée à la charge nette en F1. Il est donc normal de ne pas avoir de symétrie complète entre les troischarges.

De même que pour le supertube à deux charges, cela impose pour que le tube rentre dans l'anneau que

−(dNS5BRQ1p + d2BRQ4p + d6BRQ0p) + 2 cos2 ψ2 dNS5BR(d2BRd6p + d6BRd2p) + (d6pQ0BR + d2pQ4BR) = 0, (62)

où l'on a encore homogénéisé les conventions. Le supertube à trois charges n'ayant pas de charge dipolaire q1, on peutessayer de vérier, comme dans le cas du supertube à deux charges, que son introduction dans un anneau ayant aussiq1 = 0 préserve la condition q0Q0 = q4Q4. On voit déjà que sur le supertube seul, cette condition est bien vériée. Parle même raisonnement que précedemment, il faut alors juste vérier que ∆q0Q0 + q0∆Q0 −∆q4Q4 − q4∆Q4 = 0. Orpour q1 = 0 notre contrainte devient ∆q0Q0 − q0∆Q0 + ∆q4Q4 − q4∆Q4 = 0, qui malgré son air sympathique n'estpas la bonne. Toutefois, en réutilisant q0Q0 = q4Q4, on peut montrer que ces deux égalités sont équivalentes, et lacondition est bien vériée.

Regardons ici aussi le cas ou toutes les charges sont égales (q1 = q4 = q0 = q, Q1 = Q4 = Q0 = Q, ∆Q0 = ∆Q1 =∆Q4 = ∆Q et ∆q0 = ∆q1 = ∆q). La positivité de l'entropie initiale se réécrit toujours Q2 ≥ 16q2 et notre conditiond'entrée du supertube devient 3q∆Q ≥ 2∆qQ. On a alors

M+ ∆M = M+ 3q2∆Q2 + 6q2Q∆Q+ 4q∆qQ2 + 8q∆qQ∆Q+ 4q∆q∆Q2 − 16q2(8q∆q + 7∆q2 + 2∆q3

q)

≥ M+ 8q∆q(Q2 − 16q2) + ∆q2(203Q2 − 7× 16q2) +

∆q3

q(169Q2 − 2× 16q2). (63)

Cette fois, la condition initiale Q2 ≥ 16q2 ne sut pas à conclure, et aucune astuce ne pourra resoudre le problème.Notons tout de même que la condition qu'il nous faut 16

9 Q2 ≥ 2 × 16q2 (qui implique les autres) reste étonnamment

proche de celle que nous avons. Le fait que nous ne puissions vérier ici la croissance de l'entropie est selon toute vrai-semblance une limitation de notre approche. En eet, nous avons mis un supertube test dans un fond de supergravité,nous avons donc supposé que l'introduction du supertube ne modiait pas l'environnement. C'est une approximation,qui est valide dans la limite où l'eet du tube est négligeable devant celui l'anneau, ie que les charges du premier sontpetites par rapport à celles du second. Ceci rappelé, nous voyons que le résultat ci-dessus est en fait écrit ordre parordre en la perturbation ∆q, que l'entropie croit bien au premier ordre et que c'est en montant dans les ordres que lacondition à remplir devient plus restrictive. Nous pouvons donc raisonnablement penser que, dans la limite de notremodèle, l'entropie est croissante à l'introduction du supertube.

Conclusion et perspectives

Après avoir introduit les cordes fondamentales et les D-branes, nous avons vu dans ce rapport comment, dansun contexte de supergravité à 10 dimensions, tester une solution de supergravité. Ceci se fait à l'aide de supertubes,car ils préservent les mêmes supersymétries que les solutions. On a vu que l'on pouvait choisir des congurationssupersymétriques, et qu'ainsi le supertube était indiérent au fond dans lequel il était placé. C'est alors de la valeurde la charge Q1 du tube en cordes fondamentales que l'on peut extraire des informations physiques, en particulierla condition à laquelle on peut faire rentrer le supertube dans le trou ou l'anneau noir. Dans le cas du trou noir,on a rappelé ici comment cette condition nous assurait que l'introduction du tube augmentait l'entropie totale dusystème, ou de façon équivalente que l'on ne créait pas de courbes timelike fermées. Pour l'anneau noir la conditionest plus compliquée, car elle fait intervenir les charges nettes ainsi que les charges dipolaire de l'anneau et du tube.Nous avons tout de même pu vérier que les cas les plus simples assurent la croissance de l'entropie. Pour le casgénéral, tout ne marche pas aussi bien et la croissance de l'entropie n'est pas assurée. S'il s'avère que celle-ci peut

20 RÉFÉRENCES

eectivement décroître, c'est sûrement que notre approche ne capte pas toute la physique du problème ; en particulier,nous travaillons avec un supertube test, c'est à dire que nous supposons que celui-ci n'inuence pas l'environnement.

Dans la suite, il sera donc intéressant de trouver de nouvelles solutions de supergravité, ce qui permettrait dedépasser la limitation intrinsèque à notre approche. Bena et Warner ont déjà exhibé une solution correspondantà un anneau noir avec un trou noir en son centre [15], puis suivant l'axe de l'anneau, et Gauntlett et Gutowskicelle correspondant à plusieurs anneaux concentriques. D'autres solutions plus générales ont ensuite étés trouvées,notamment par Bena et Warner [18], qui incluent les anneaux noirs concentriques coplanaires. Les méthodes pourtrouver des solutions de supergravité ont faits des gros progrès ces dernières années, mais actuellement la solutionayant un anneau et un trou noir placé arbitrairement l'un par rapport à l'autre n'est pas connue. La diculté résidedans le fait qu'alors le système de coordonnées (y, θ1, x, θ2) n'est plus adapté et donc la résolution des équations s'encomplique grandement. Cette solution pourrait permettre de regarder ce qui se passe à la collision de l'anneau et dutrou noir, dans quels cas elle conduit à un anneau et das quels cas elle conduit à un trou noir. Enn, le processus decollision lui-même est important à comprendre car le théorème de la calvitie, même élargi, ne permet pas d'envisagerun processus de collision continu comme pour les objets habituels.

Dans l'optique d'une recherche de gravitation quantique, la direction la plus pertinente à suivre ensuite est d'essayerde comprendre au mieux comment fabriquer des microétats de trous noirs et ainsi s'en donner une interprétationmicroscopique. Après les premiers travaux de Strominger et Vafa allant dans ce sens [19], d'importants progrès ontété faits, résumés par exemple dans [20, 21]. C'est dans ce cadre qu'il est important d'avoir trouvé le plus possible desolutions ayant les mêmes charges conservées, ie qui donne le même état macroscopique. Gauntlett et Gutowski [17] ontpar exemple montré qu'une congurations à deux anneaux noirs peut avoir les mêmes charges qu'un trou noir sphérique.Mentionnons aussi qu'à l'aide de la correspondance AdS/CFT, on peut avoir un point de vue complémentaire trèsinstructif [22]. En eet, cette correspondance fait le parallèle entre une théorie de supergravité et une théorie conformesans gravitation. Passer à la théorie conforme duale de notre théorie de supergravité fournit de nombreuses informationset permet de trouver par cet autre point de vue des "candidats" microétats de trous noirs.

Références

[1] S.Caroll. Spacetime and Geometry, an Introduction to General Relativity. Pearson Higher Education, 2004.

[2] R.Wald. General Relativity. Chicago, 1984.

[3] R.M.Wald. The thermodynamics of black holes, 1999. arXiv :hep-th/9912119.

[4] Joseph Polschinski. String Theory. Cambridge University Press, 1998.

[5] M.Green, J.Schwarz, E.Witten. Superstring theory. Cambridge University Press, 1987.

[6] A.Peet. Tasi lectures on black holes in string theory. Physical Review Letters. arXiv :hep-th/0008241.

[7] A.A.Tseytlin. Harmonic superpositions of m-branes. Nuclear Physics B 475(149), 1996. arXiv :hep-th/9604035.

[8] R.C.Myers. Dielectric-branes. arXiv :hep-th/9910053.

[9] W.Taylor. D2-branes in b elds, 2000. arXiv :hep-th/0004141.

[10] D. Mateos, P. K. Townsend. Supertubes. Physical Review Letters 87(011602), 2001. arXiv :hep-th/0103030.

[11] D.Mateos, S.Ng, P.K.Townsend. Tachyons, supertubes and brane/anti-brane systems. JHEP 0203(016), 2002.arXiv :hep-th/0112054.

[12] I.Bena, P.Kraus. Three charge supertubes and black holes hair. Physical Review D 70(046003), 2004. arXiv :hep-th/0402144.

[13] I.Bena. Splitting hairs of the three charge black hole. Phys. Rev. D 70(105018).

[14] H.Elvang, R.Emparan, D.Mateos, H.S.Reall. A supersymmetric black ring. Phys. Rev. Lett. 93(211302), 2004.arXiv :hep-th/0407065.

[15] N.P.Warner I.Bena. One ring to rule them all... and in the darkness bind them? Adv. Theor. Math. Phys.

9(667-701), 2005. arXiv :hep-th/0408106.

[16] H.Elvang, R.Emparan, D.Mateos, H.S.Reall. Supersymmetric balck rings and three-charge supertubes. Phys.

Rev. D 71(024033), 2005. arXiv :hep-th/0408120.

RÉFÉRENCES 21

[17] J.P.Gauntlett, J.B.Gutowski. General concentric black rings. Phys. Rev. D 71(045002), 2005. arXiv :hep-th/0408122.

[18] I.Bena, C.-W. Wang, N.P.Warner. Plumbing the abyss : Black ring microstates, 2007. arXiv :hep-th/0706.3786.

[19] A.Strominger, C.Vafa. Microscopic origin of the beckenstein-hawking entropy. Physical Review B 379(99), 1996.arXiv :hep-th/9601029.

[20] S.D.Mathur. The quantum structure of black holes, 2005. arXiv :hep-th/0510180.

[21] S.D.Mathur. The fuzzball proposal for black holes : an elementary review, 2005. arXiv :hep-th/0502050.

[22] I.Bena, N.P.Warner. Black holes, black rings and their microstates, 2007. arXiv :hep-th/0701216.

Annexe

On développe ici le calcul pour le supertube à trois charges. Nous aurons besoin de l'expression de C(5) :

C(5) =[(1− Z−1

4 )dt− Z−14 k(1) + 2a(4)

]∧ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4. (64)

La méthode expliquée en partie 4.1 ne nous permet pas de calculer C(7), mais nous verrons que nous n'en aurons pasbesoin.

Le supertube (avec une charge dipolaire d6 de D6-branes) est placé selon les directions (x1, x2, x3, x4, x5 = z, ~y(θ)).On a alors

SDBI = −d6T6

∫d7ξ e−Φ

√(g11g22 + F 2

12) (g33g44 + F 234)×

√− (gttgzzgθθ + gtt(Bzθ + Fzθ)2 + gθθ(Btz + Ftz)2 + 2gtθ(Bzθ + Fzθ)(Btz + Ftz)− gzzg2

tθ)

= −d6T6

∫d7ξ Z−1

0

√Z4Z0

(Z−1

1 − Z1(Btz + Ftz)2) (

∂~y∂θ

)2

+(Bzθ + Fzθ + ~k.∂~y∂θ (Btz + Ftz)

)2

×

√(Z−1

1 Z0 + F 212

) (Z−1

1 Z0 + F 234

)(65)

SWZ = −d6T6

∫C(7) + (B(2) + F (2)) ∧ C(5) +

12(B(2) + F (2)) ∧ (B(2) + F (2)) ∧ C(3)

+16(B(2) + F (2)) ∧ (B(2) + F (2)) ∧ (B(2) + F (2)) ∧ C(1)

= −d6T6

∫C(7) − d6T6

∫d7ξ (1− Z−1

4 )(Bzθ + Fzθ)− Z−14~k(1).

∂~y

∂θ(Btz + Ftz) + 2~a(4).

∂~y

∂θ(Btz + Ftz)

+(Z−1

1~k(1).

∂~y

∂θ− 2Z−1

1 ~a(0).∂~y

∂θ− 2~a(1).

∂~y

∂θ

)F12F34

+(1− Z−10 )(Bzθ + Fzθ)F12F34 −

(Z−1

0~k(1).

∂~y

∂θ− 2~a(0).

∂~y

∂θ

)(Btz + Ftz)F12F34. (66)

La conguration supersymétrique est obtenue pour Ftz = 1 et F12 = F34 :

S = −d6T6

∫C(7) − d6T6

∫d7ξ

(Fzθ + FzθF

212

)+ Z−1

1~k(1).

∂~y

∂θ+ 2~a(1).

∂~y

∂θ+ 2Z−1

1 ~a(4).∂~y

∂θ

= −∫

d6ξ (Q4p +Q0p) + autres termes. (67)

22 RÉFÉRENCES

Nous avons presque ce que nous voulons, avec une incertitude due au fait que nous ne connaissons pas C(7). Mais nouspouvons tout de même conclure, car nous avons le résultat pour le supertube à deux charges. Celui-ci est invariantpar T-dualité, c'est à dire que nous savons que tout T-dual de notre tube à deux charges est bien une congurationsupersymétrique par rapport au fond. Or un de ces duaux est justement une D6-brane comme celle que nous avons ici,à la diérence que F12 = F34 = 0 (il a donc une charge en cordes F1 et une en D4-branes, la charge en D0-brane estnulle). Le fait de savoir qu'elle est supersymétrique nous assure que C(7) annule bien tous les termes qui nous restent.On peut donc bien continuer le raisonnement, et on a

HcFtz=1 = Q0p +Q1p +Q4p. (68)

La contrainte donnée par la valeur de Q1p est cette fois plus compliquée :

((∂L∂Ftz

)SUSY

+ 2d6T6

(~a(4).

∂~y

∂θ+ ~a(0).

∂~y

∂θF 2

12

))(Fzθ + 2~a(1).

∂~y

∂θ

)= d6T6

(∂~y

∂θ

)2

(Z0 + Z4F212). (69)

Sous cette forme on ne voit pas la symétrie entre les diérentes charges. Pour cela, on prend encore le cas où les chargessont constantes et où le tube est posé au-dessus de l'anneau. En dénissant d2 = d6F

212 la charge dipolaire du tube en

D2-branes on peut réécrire

(Q1p + 4πT6

(d6~a(4).

∂~y

∂θ+ d2~a(0).

∂~y

∂θ

))(Q0pQ4p + 4πT6d6Q0p~a(1).

∂~y

∂θ

)= 4π2T 2

6 d2d6(Z0Q4p + Z4Q0p)(∂~y

∂θ

)2

. (70)

On a ici utilisé le fait que F 212 = Q0/Q4 = d2/d6.