1

Définition 1 :Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .

On dit que f est dérivable en a s’il existe un nombre réel ℓ tel que : ℓ=−+→ h

)a(f)ha(flim

0h ou encore

ℓ=−−

→ ax

)a(f)x(flim

ax

Le réel ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f en a , il noté )a('f

(*) Si f est dérivable en a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une tangente T

d’équation : y = )a('f (x – a ) + f(a)

Le vecteur directeur de cette tangente : est

)a('f

1u

Exemple : Soit 3xx:f ֏ . Montrer que f est dérivable en a où a est réel quelconque.

=−−

→ ax

)a(f)x(flim

ax=

−−

→ ax

axlim

33

ax=

−++−

→ ax

)ax²a²x)(ax(lim

ax²a3)ax²a²x(lim

ax=++

→

alors f est dérivable en a et on a : ²a3)a('f =

Définition 2 :Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme:]a-h ,a (h >0)

On dit que f est dérivable à gauche en a s’il existe un nombre réel 'ℓ tel que : 'h

)a(f)ha(flim

0hℓ=−+

−→ ou

encore 'ax

)a(f)x(flim

axℓ=

−−

−→

Le réel 'ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à gauche en a , il noté )a('f g .

Définition 3Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme:[a ,h+a[ ( h>0)

On dit que f est dérivable à droite en x0 s’il existe un nombre réel ''ℓ tel que : ''h

)a(f)ha(flim

0hℓ=−+

+→ ou

encore ''ax

)a(f)x(flim

axℓ=

−−

+→

Le réel ''ℓ , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à droite en a , il noté )a('f d

Conséquences :

1°) f est dérivable en a si et seulement si )a('f g = )a('f d nombre fini

2°)Si f est dérivable à droite de a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une demi

tangente Td d’équation : )a(f)ax)(a('fy:T dd +−= et x a≥

3°)Si f est dérivable à gauche de a alors la courbe représentative de f admet au point ( ))a(f,aM une demi

tangente Tg d’équation : )a(f)ax)(a('fy:T gg +−= et x a≤

Interprétation graphiques : ∞=−−

→ ax

)a(f)x(flim

ax ou encore ∞=−+

→ h

)a(f)ha(flim

0h

Si : Interprétation graphique :

+∞=−−

+→ ax

)a(f)x(flim

ax ou −∞=

−−

−→ ax

)a(f)x(flim

ax

Cf admet en point ( ))a(f,aM un demi tangente

verticale dirigé vers le haut d’équation : x = a

et y ≥ f(a)

+∞=−−

−→ ax

)a(f)x(flim

axou −∞=

−−

+→ ax

)a(f)x(flim

ax

alors Cf admet en point ( ))a(f,aM un demi

tangente verticale dirigé vers le bas

d’équation : x = a et y ≤ f(a)

Exemple :

Etudier la dérivabilité de f à droite de point d’abscisse x = 0 et interpréter la résultat tel que : f(x) = x

=−−

+→ 0x

)0(f)x(flim

0x=

+→ x

xlim

0x+∞=

+→ x

1lim

0x

alors la courbe alors Cf admet en point ( )0,0M un demi tangente verticale dirigé vers le haut d’équation : x =

0 et y ≥ 0

Fiche de cours 4ème sciences

DerivabilitesDerivabilitesDerivabilitesDerivabilites

Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR

Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/

2

Approximation affine : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .

Si f est dérivable en a, alors : h)a('f)a(f)ha(f +≈+

On dit que h)a('f)a(f + est une approximation affine de )ha(f + , pour h voisin de zéro.

Exemple :Trouver une valeur approchée de 3)98.3(

Soit 3xx:f ֏ , a = 4 et h = -0.02 alors 100

)4('f2)4(f)02.04(f −≈− alors 04,63)98.3( 3 ≈

( le calculatrice donne : 044792,63 )

Fonction composée Si f est dérivable sur un intervalle I et g dérivable sur un intervalle )I(fJ ⊂ alors fg � est dérivable sur I et

on a pour tout x de I : ( ) ( ) )x(fg)x(f)x(fg �� ′×′=′

Théorème de Rolle Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et vérifiant f(a) = f(b) .

Si f est dérivable sur ]a,b[ alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = 0 .

Théorème des accroissements finis Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

Alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = ab

)a(f)b(f

−−

Sens de variation : Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sue ]a,b[ Si f’(x) ≥ 0 sur ]a,b[ alors f est croissante sur [a,b] Si f’(x) >0 sur ]a,b[ alors f est strictement croissante sur [a,b]

Si f’(x) ≤ 0 sur ]a,b[ alors f est décroissante sur [a,b] Si f’(x) <0 sur ]a,b[ alors f est strictement décroissante sur [a,b]

Si f’(x) = 0 sur ]a,b[ alors f est constante sur [a,b]

Inégalités des accroissements finis Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

Si : existe deux réels m et M tels que : m ≤≤≤≤ f’(x) ≤≤≤≤ M pour tout x de ]a,b[ alors : m ≤≤≤≤ab

)a(f)b(f

−− ≤M

Si pour tout x de ]a,b[ : k)x('f ≤ alors abk)x(f)b(f −≤−

Point d’inflexion : Soit x0 un réel et f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x0. Si f’ s’annule en 0x sans changer de signe alors le point I(x0 , f(x0)) est un point d’inflexion.

Si f’’ s’annule en 0x , en changeant de signe , alors le point I(x0 , f(x0)) est un point d’inflexion.

Extremum *)Si f admet un extremum local en 0x alors 0)x(f 0 =′

*)Si f ′ s’annule en 0x en changeant de signe alors f admet un extremum local en 0x .

Tableau de dérivé : Fonction f Fonction dérivée f’ Domaine de définition de f’

F(x)= k ( constante) F’(x) = 0 R

F(x)= x F’(x) = 1 R

F(x)=ax+b F’(x) = a R

F(x) = xn ( n *Z∈ ) F’(x) = nxn-1 R si n>0 ; R* si n <0

F(x) = x F’(x) = x2

1

R*+

F(x) = x

1 F’(x) = -

²x

1

R*

F(x) = cos(x) F’(x) = - sin(x) R

F(x) = sin(x) F’(x) = cos(x) R

F(x) = tan(x) F’(x) = 1 + tan²(x) =

)x²(cos

1 R-

∈Zk;

2kπ

F(x) = cos(ax+b) F’(x) = - a sin(ax+b) R

F(x)=sin(ax+b) F’(x) = a cos(ax+b) R

F(x)=tan(ax+b) F’(x) = a(1 + tan²(ax+b)

R-

∈−

Zk;a

b2k

π

3

Opérations sur les dérives Lorsque u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I

Fonction

Dérivée Conditions

u + v u’ + v’

k.u ( k =constante) k.u’

u.v u’.v + u.v’

v

1

²v

'v− 0v ≠ sur I

v

u

²v

'v.uv'.u −

0v ≠ sur I

un ( n *Z∈ ) n.u’.un-1 u > 0 sur I si n 0≤

u

u2

'u

u > 0 sur I

uv � ( )u'v'u �×