Dépannage du 12 mars 2007

Exercice 1

Selon les analystes financiers, les taux d'intérêt pour les prochains mois sont très incertains; ils pourront se situer entre 4 % et 11 % avec de bonnes chances de demeurer entre 6 % et 9 %.

Exercice 3.1 (suite)

En fait, après plusieurs rencontres avec ces analystes, vous estimez la densité de probabilité comme suit :

où X dénote la variable aléatoire représentant le taux d'intérêt d'une

journée donnée au cours des prochains mois.

Exercice 1 (suite)

Afin de caractériser davantage les taux d'intérêt, on vous demande :

a) de déterminer la hauteur h dans le graphique ci-haut;

b) de trouver l'expression analytique de fx(x); c) d'estimer le taux d'intérêt espéré ainsi que le taux

modal;d) le fractile d'ordre 20 %;e) la probabilité que le taux d'intérêt en vigueur le 23

mars prochain soit inférieur à 8 %.

1 a) Déterminer la hauteur h dans le graphique

Pour déterminer la hauteur h, on sait que l’aire de la figure doit être égale à 1.

Nous savons 1 = aire du triangle 1 + aire du rectangle 2 + l’aire du triangle 3

Exercice 1 a) (suite)

Alors:

5

1 h

1 5h

1 h 3h h

1 2

h * 2 3h

2

h * 2

1 2

h *b h *b

2

h *b 32

1

1 b) Trouver l'expression analytique de fX(x)

Commençons par trouver l’équation mathématique permettant de représenter la densité entre 4 et 6:

y = mx + b où m = pente de la droite b = ordonnée à l’origine

Trouvons m:

Trouvons b: y2 – m x2 =1/5 – (1/10) * 6 = -4/10

Donc, y = (1/10)x – (4/10) pour X entre 4 et 6.

10/146

05/1

xx

yym

12

12

Exercice 1 b) (suite)

De la même manière, on obtient:

y = (-1/10)x + (11/10) pour X entre 9 et 11

y = 1/5 pour X entre 6 et 9.

Exercice 1 b) (suite)

L’expression analytique est donc:

11 Si 0

119 10/1110/196 5/1

64 10/410/1

4 0

)(

x

xSixxSi

xSix

xSi

Xf X

1 c) Estimer le taux d'intérêt espéré ainsi que le taux modal

i) Taux d’intérêt espéré:

Quand une distribution est symétrique, la moyenne est égale à la médiane.

Dans ce cas-ci, médiane = (11-4)/2 + 4 = 7.5

Alors, la moyenne est égale à 7.5.

ii) Pour ce qui est du taux modal, il est évident, en regardant le graphique, que la classe modale

est [6, 9]

1 d) Déterminer le fractile d'ordre 20 %

On cherche le X pour lequel l’aire à gauche de ce X sera de 0,2.

… Essais et erreurs…

Nous obtenons finalement, avec x = 6:

A = (b*h)/2 = (2*0,2)/2 = 0,2

Donc, le fractile d’ordre a = 0,20 est 6.

1 e) Déterminer la probabilité que le taux d'intérêt en vigueur le 23 mars prochain soit inférieur à 8 %

On cherche donc l’aire sous la courbe pour X < 8:

Premier triangle: Aire = 0,2 = 1/5 (voir en d)) Rectangle de X = 6 à X = 8:

Aire = (1/5) * (8-6) = 2/5

Le total de ces deux parties est donc: 1/5 + 2/5 = 3/5

Exercice 2

Une compagnie se demande si elle doit acheter une certaine machine qui lui permettrait de sauver plusieurs heures de travail. Cette machine coûterait 100 000$ et serait utilisée durant une année à un coût horaire d’opération de 50$ et pourrait être revendue à la fin de l’année pour 28 000$. Le directeur de la production estime qu’il pourrait sauver 2 800 heures de travail durant l’année avec cette machine et que chaque heure sauvée permettrait d’économiser 80$. Selon lui, le nombre d’heures sauvées suit une distribution normale de moyenne 2800 et qu’il y a 90% de chances que ce nombre soit entre 2600 et 3000.

2 a) Déterminer les paramètres de la distribution du nombre d’heures sauvées.

X ~ N ( = 2800, ² = ? ) Puisque la variance est inconnue, il faut la déterminer à partir

des informations fournies. Nous savons que:

Puisque la distribution normale centrée réduite est symétrique, nous pouvons affirmer que:

9,02002002800300028002600

ZPZP

05,02

9,01200

ZP

Exercice 2 a) (suite)

En cherchant dans la table de la loi normale centrée réduite, on trouve que la valeur de z qui correspond à

P(z>Z) = 0,05 est z = 1,645 et ainsi:

Donc

Alors, X ~ N ( = 2800, ² = 14781,8 )

645,1200

8,14781²

95,121

Exercice 2 b)

Après réflexion, le directeur décide d’acheter la machine. Selon lui, si le nombre d’heures épargnées est supérieur à 2400, il aura pris la bonne décision.

Calculez la probabilité qu’il n’ait pas pris la bonne décision.

2 b) Calculez la probabilité qu’il n’ait pas pris la bonne décision.

Risque = P(X < 2400)

Le risque est relativement faible

001,029,395,121

28002400

ZPZP

Exercice 3

Dans une entreprise, 200 machines de même puissance fonctionnent indépendamment. La probabilité qu’une machine soit en opération à un moment donné est de 60%. On s’intéresse au nombre de machines en opération à un moment donné.X = nombre de machine en opérationX ~ Bin(n=200, p=0,6)

Exercice 3 (Théorie)

Théorème central limite:

Si X~Bin(n,p) et que: - p < 0,5 et np > 5

- p > 5 et nq > 5

Alors, X ~ N(np, npq)

(Convergence de la binomiale vers la normale)

Nous pouvons donc affirmer que:

X ~ N(np = 120, npq = 48)

3 a) Trouver la valeur maximale du nombre n de machines en opération qui est telle qu’on ait 99% des chances d’atteindre cette valeur n?

On cherche donc la valeur de x telle que P(x < X)= 0,99. Ainsi:

Il faut aller dans la table de la loi normale afin de trouver à quelle valeur de z correspond la probabilité de 0,99.

Nous trouvons Z = 2,326.

De là,

En isolant, nous obtenons x = 135,60 donc 136 machines.

99,048

120

x

ZP

326,248

120

x

3 b) Calculer la probabilité que le nombre de machines en opération un moment donné soit supérieur à 120.

On cherche P(X>120). Puisqu’on utilise > et que c’est un cas discret

(nombre de machines), nous devons donc appliquer le facteur de correction de la continuité (p.294 du livre).

Ainsi, P(X>120,5)

472,00722,048

1205,120

ZPZP

3 c) Calculer la probabilité que le nombre de machines en opération un moment donné soit entre 113 et 127 inclusivement.

688,0

)156,0(21

)01,1(21

01,101,1

48

120127

48

120113127113

ZP

ZP

ZPxP

Dans ce cas-ci, nous n’avons pas besoin d’utiliser le facteur de correction de la continuité étant donné que nous utilisons « ≤ » (le 113 et le 127 sont inclus).