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1

Chapitre 3: Pièces soumises à la

flexion simple

Module Béton Armé - 2AGC - ENIT

2

I. Introduction

II. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELUR II.1. Sections rectangulaires sans aciers comprimés

II.2. Sections rectangulaires avec aciers comprimés

II.3. Sections en T

III. Dimensionnement à l’ELS III.1. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELS.

III.2. Limitation des contraintes normales

III.3 Limitation de la flèche

Plan du Cours

3

V

M

Sollicitations de la flexion simple

I. Introduction

On se limitera dans ce chapitre à l’étude de l’effet du moment

fléchissant sur une section en B.A. Le chapitre suivant sera consacré

à l’étude de l’effort tranchant.

4

M(x) Mmax(L/2)=ql2/8

x

Poutre isostatique sur deux appuis simples uniformément

chargée

5

A ?

En pratique, les aciers longitudinaux se terminent par de crochets pour

améliorer leur l’adhérence au béton

6

• Il faut justifier qu’aucun état-limite ultime ou de

service n’est atteint. • Dans de nombreux cas, il est possible de connaître à

l’avance l’état-limite qui sera déterminant, ce qui rend

inutile toute vérification ultérieure vis-à-vis d’autres

états-limites.

• Dans le cas de la flexion simple, l’état-limite

déterminant est :

— l’ELUR, si la fissuration est peu préjudiciable ;

— l’ELS (d’ouverture des fissures), si la fissuration est

très préjudiciable.

Dimensionnement calcul de la

section A d’aciers longitudinaux

7

II. Calcul de la section d’acier

longitudinal à l’ELUR

Schéma d’équilibre limite d’une section de poutre sollicitée à la flexion simple

8

II.1. Calcul à l’ELUR d’une section rectangulaire

dY uu

b

c28bu

γθ

f0,85f

b d 0,8fb Y 0,8fF buubub u

A.N.

eb fbu Fb

b

0,8 Yu

es ss

Yu

h d

ss Fs=Au ss Au

Zu Mu

Mu : moment sollicitant calculé à l’ELUR

)0,4-d(10,4Y-dZuu u

En général, on suppose que: d=0,9h

On

pose:

Mu

s s e

y y y y y

z

F

9

ubu

sub

ZFM

AFFsection la de ultime équilibred' Equations

ss

)]0,4-b)[d(1 d 0,8f(M buu uu

)]0,4-(1)[0,8 bd f(M 2

buu uu

réduit ultime Moment : ; )0,4-(10,8bd f

Mu2

bu

u uuu

Z

MA

su

uu

s

)21-(125,1 uu

)0,4-d(1Zu u

Zu

ss ?

10

Dimensionnement • Règlement BAEL limite la hauteur du béton

comprimé en flexion simple (pour limiter la

compression du béton)

• En général, Ylim 0,4h=> lim 0,44 => ulim

0,3 (Fe 400) et ulim 0,27 (Fe 500)

-Si lim=>u ulim et Mu Mulim =

ulim bd2 fbu => Pas besoin d’armatures comprimées

(A’=0)

- Si > lim => u > ulim et M > Mulim => Besoin d’armatures comprimées (A’ 0)

11

Choix du Pivot de calcul ss

0

h d

A

ebu=3,5‰

esu=10‰ A

B 0

1

2

YAB

Calcul autour du Pivot A (Région 1): Mu MAB Calcul autour du Pivot B (Région 2): :MAB Mu MBC

C Mu MAB

MAB Mu MBC

y

Diagrammes des

déformations

limites de la section

3/7h

ebu=2‰ y

12

Moments Frontières

3,5‰ B 0

d

186,0

259,0d259,0Y

AB

ABAB

493,0

1,11,1dhY

BC

BCBC

Moment frontière MAB

Moment frontière MBC

10‰ A

0

h Mu < MAB 2

YAB=0,259d

C

MAB Mu MBC

2‰

1

13

Dimensionnement

suse

sase

s2

bu

u

s

esussus2

bu

u

f si

E si

-1‰5,3BPivot

bd f

M186,0

ff‰10APivot 186,0

bd f

M

see

esee

e

see

s

s

u

uu

u

Ea = 200 GPa

e

s

s

e

su

ff

10‰ -10‰

ee

sa

e

eγE

fe

s

e

su

ff

Bpivot

Apivot

259,0

259,0

AB

AB

Comparer est équivalent à comparer 186.0àu

259,0AB à

14

• Pour les sections rectangulaires:

bdf

f23,0A

e

t28min

Ferraillage minimal: condition de

non fragilité

15

dy uu .

uu ydZ .4,0

lim2 u

bu

uu

fbd

M NON

186,0u

Redimensionnement de la section du

béton ou ajout d’armatures

comprimées OUI

Pivot A OUI

Pivot B NON

su

uu

Z

MA

s.

uu 21125,1

bd

f

f23,0A,max

e

t28minuucalcul AA

‰10se

sus fs

u

u

e

-1‰5,3s

Eγ

f si εEε

Eγ

fε si f

ss

ess

s

essu

s

Récapitulatif: Calcul d’une section rectangulaire sans aciers comprimés

16

Exemple 1

35 cm

60 c

m

8 m

1

1 1-1

54 c

m

17

Exemple 1 • Poutre uniformément chargée

– Charges permanentes y compris poids propre

poutre: g=12,5 kN/m

– Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/m

– Durée d’application des charges > 24h

• Béton: fc28 = 25 MPa

• Acier: HA FeE 400

• ulim = 0,3

Calculer la section d’acier nécessaire à l’ELUR

au niveau de la section médiane de la poutre.

18

Exemple 1

• Mg = gl2/8 =100 kN.m

• Mq = ql2/8 =137,6 kN.m

• Mu = 1,35 Mg + 1,5Mq = 341,4 kN.m

= 0,3414 MN.m

• fbu = 0,85 (25)/1,5 = 14,17 MPa

• ft28=0,6+0,06*25=2,1 MPa

• fsu = 400/1,15 = 348 MPa

19

Exemple 1 • Moment ultime réduit u = Mu/(bd2fbu) = 0,235

< ulim => Pas besoin d’armatures comprimées

(A’=0)

• u > 0,186 => Pivot B

• u = 0,34 => es = 3,5‰ (1- u)/ u = 6,8‰

• es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =

348 MPa

• Zu = d (1-0,4 u) = 0,54*(1-0,4*0,34)=0,466m

• Au = Mu / (Zu ss) = 0,002102 m2 = 21,02 cm2

• Amin=0,23bdft28/fe =2,28 cm2 < Au

=> Aucalcul = 21,02 cm2

20

Sections rectangulaires avec armatures

comprimées

A.N.

0,8 ulimd

eb=3,5‰

es

ulimd

d

ss

fbu

Au

b

A’u d’ esc

Fb=0,8 ulimdbfbu

Fs1=Au1 ss Zu1=d(1-0,4ulim)

+

Fsc=A’ussc

Fs2=Au2 ss

d-d’

ssc

Mu

Mu1 Mu2=Mu-Mu1

Mu

Yulim

=

u2u1u AAA

21

• et

• Mu1 = ulim b d2 fbu

• Mu2 = Mu – Mu1

)21-(125,1 ulimulim

)0.4-d(1

MA

edulim

u1u1

F

)d-(d

MA

ed

'

u2u2

F

u2

'

u AA

u1bu1

su1b

ZFM

AF ultime équilibred' Equations

s

)d'-(dFM

AA'FEt

scu2

su2scuscss

)0.4-d(1Z ulimu1

u2u1u AAA u2u1u

MMM

22

Dimensionnement

• Économie => Mu2 ≤ 0,4 Mu

• Flambement des armatures comprimées

=> maintenir les armatures comprimées

par des armatures transversales dont

l’espacement st ≤ 15 Fc

23

Exemple 2 • b = 70cm

• h = 110cm

• d = 101cm

• d’ = 9cm


• Acier: FeE 400 HA

• Mu = 3,8 MN.m

• ulim = 0,3

• Calculer la section d’acier à l’ELU

24

Exemple 2 • fbu = 0,85 (27)/1,5 = 15,3 MPa

• fsu = 400/1,15 = 348 MPa

• Moment réduit : u = Mu/(bd2fbu) = 0,347 > ulim

=> armatures comprimées nécessaires

• ulim = 0,4594 > 0,259=> calcul autour du pivot

B=> es = 3,5‰ (1-ulim)/ulim = 4,12‰

• es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =348

MPa

• esc = 3,5‰ (ulimd-d’)/(ulimd) = 2,82‰ > ee =

1,74‰ => ssc = 348 MPa

• Mu1 = ulim b d2 fbu = 3,277MN.m

• Mu2 = Mu – Mu1 = 0,522 MN.m< 0,4Mu=1,52MN.m

25

22

sulim

u1

u1cm2,114m01142,0

)0.4-d(1

MA

s

22

s

'

u2

u2cm3,16m001632,0

)d-(d

MA

s

2

u2

'

u cm3,16AA

2

min

2

u2u1u cm02,9cm5,1303,162,114AAA A

Exemple 2

26

Section en T • Planchers nervurés en béton armé (à corps creux):

succession des nervures portant dans un seul sens

1m

Table de

compression

hourdis

7cm

16 cm

33cm

5cm

Table de compression et dalle de répartition

Ame

(ou 19+6cm)

nervure

33 cm

27

• Modélisation des poutres supports des dalles pleines: Section

en T (en travée uniquement)

2

l

10

L

Min2

bb

t

0

Coupe 1-1

b0 lt

b

L

Dalle

pleine

1 1

Largeur b de la table de compression en travée:

28

• Détermination du moment résistant MTu équilibré

par la table de compression: on suppose que Yu=h0/0,8

Dimensionnement

]2

h-)[d bh f(M 0

0buTu

h0

b0

b

Zu = d-h0/2

fbu

Fs=Au ss Au

0bubc bh fF

h0/0,8

MTu

A.N.

29

Comparer Mu à MTu

- Mu ≤ MTu => Yu h0/0,8 => Dimensionnement en Section

rectangulaire (b, d)

- Mu > MTu => Yu > h0/0,8 => Dimensionnement Section en T

Dimensionnement

A.N.

Mu>MTu

b

Mu<MTu

h0

b0

Au

Yu

h0

b0

Au

Yu

d

A.N.

b

30

• Mu > MT,u

Dimensionnement en section en T

b

Mu2

Mu = Mu1 + Mu2

Au = Au1 + Au2

h0

b0

Au

= +

Au1 Au2

Mu1

Yu

b0

b-b0

Zu2 = d-h0/2 Zu1

31

]2

h-[d )hb-(b fM 0

00buu2

ed0

u2u2

)2

h-(d

MA

F

u2uu1 M - MM

)0.4-d(1

MA

edu1

u1u1

F Au = Au1 + Au2

Dimensionnement en section en T

bu

uuuu

fdb

M2

0

1111 ;211(25,1

32

• Section en T:

Ferraillage minimal: condition de

non fragilité

e

t28

0

Gzmin

f

f

)v3

h-(d

IA

000

2

00

2

0'

h)bb(hb2

h)bb(hbv

'v-hv

2'

000

30

0

3

0Gz v)hb(bhb3

h)bb(

3

hbI

33

Exemple 3

• Mu=0.0062 MN.m



• ulim = 0,3

Déterminer Au

5cm

33cm

Au

7cm

16cm

18.9cm

Données:

34

Exemple 3

0.0383MN.m ]2

h-)[d bh f(M 0

0buTu

• Mu = 0,0062 MN.m < MTu => Section

rectangulaire (b=0,33m;d= 0.189m)

• Moment réduit: u = Mu/(bd2fbu) = 0,037 < ulim

= 0,3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0

• u < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss =fsu=

348 MPa

• u = 0,047 => Zu = d (1-0,4 u) = 0,185m

• Au = Mu / (Zu ss) = 0,96 cm2 => 1HA12

(Aréel=1,13cm2)

35

Exemple 3

• Schéma de ferraillage:

Armatures d’âme 1 Étrier RL 6

Armatures tendues 1HA12

Armatures constructives 1HA10

36

Exemple 4

1,2m

0,7m

4,8m

1,65

m 1

1

0,4m

0,21m

Coupe 1-1

• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml

• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml

• Charge concentrée

– Permanente: G=79T

– Exploitation: Q=23T



• Calculer Au à l’ELU au niveau de la section où s’applique la charge

concentrée

37

Exemple 4

a b

P

L

M(a) = Pab/L

x

L

M(x) = pLx/2 – px2/2

p

+

+

a b

P

L

p

=

38

Exemple 4

• Mg= 3x4,8x1,65/2 – 3x1,652/2=7,79625T.m

• MG= 79x1,65x3,15/4,8 = 85,54218 T.m

• Mq= 0,8x4,8x1,65/2 – 0,8x1,652/2=2,079T.m

• MQ= 23x1,65x3,15/4,8 = 24,90468 T.m

• Mu = 1,35x(7,79625 + 85,54218) +1,5x(2,079 +

24,90468) = 166,48T.m = 1,6648MN.m

• fbu = 0,85 (20)/1,5 = 11,33MPa

• fsu = 400/1,15 = 348 MPa

39

Exemple 4

1,653MN.m ]2

h-)[d bh f(M 0

0buTu

• Mu > MTu => calcul en section en T

• Mu2= 0,71MN.m => Mu1=Mu- Mu2= 0,954MN.m

• Moment réduit: u1 = Mu1/(b0d2fbu) = 0,174 < ulim

=0.3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0

• u1 < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss = 348MPa

• u1 = 0,24 => Zu1 = d (1-0,4 u1) = 0,994 m

• Au1 = Mu1 / (Zu1 ss) = 0,002758 m2 = 27,58 cm2

• Au2 = Mu2 / ( d-h0/2)ss= 0,002050 m2 = 20,5 cm2

Au = 48,08 cm2

40

Exemple 4

10 HA20

5 HA16 + 5 HA14 => A=48,9cm2

Vérification: dréel=(114,2*31,42+ 108,9*10,05+107,4*7,70)/48,9

dréel=112,051 > dcalcul=1,1 => A réel > A calcul =>OK

Schéma de ferraillage proposé:

Aciers constructifs

Aciers de peau

Armatures de peau: pour les poutres de grande hauteur, il faut prévoir des armatures

de peau (non fragilité) de section au moins égale à 3cm2 par mètre linéaire de

parement en cas de FP ou FPP, et 5cm2 en FTP

41

États Limites de Service

• Sollicitations de calcul => Combinaisons Rares

• Béton et acier: Comportement élastique linéaire

• Es/Ebv = 15 ; Ebv: module de déformation longitudinale

vrai du béton (différé)

• ELS de compression du béton:

• ELS d’ouverture de fissures:

i

i

iQQGG

1

01minmax

ss ss

Contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS : ss

28bcbc6,0

cfss

42

• Fissurations préjudiciables (FP)

– Pièces exposées aux intempéries ou à des

condensations

Contraintes limites de traction de l’acier à

l’ELS

(MPa))f110 ;(0,5fMax

f3

2

Min

tje

e

s

s

6mm HA filset HA barrespour 1,6

6mmHA filspour 1,3

lisse rondspour 1

Coefficient de fissuration

)MPa(f06.06.0f cjtj

• Fissurations peu préjudiciables (FPP)

es fs

43

• Fissurations très préjudiciables (FTP)

– Pièces placées en milieu agressif

F.P. la de cas le dans limite contrainte:

)(8,0s

s MPa

Contraintes limites de traction de l’acier à

l’ELS

44

Dimensionnement Moment résistant du béton Mrb: moment de service

pour lequel l’état limite de compression du béton et

l’état limite d’ouverture des fissures sont atteints

simultanément

d

y

b

A.N.

h d

Aser

y

bce

se

)y-d(εyεy

ε

y-d

εbcs

bcs

bcs

bc

εε

ε

b

bcbc

E

σε

b

s

s

ss

15E

σ

E

σε

Mrb

45

Dimensionnement

bcs

bc

b

bc

b

s

b

bc

bcs

bc

15

15

E15E

E

εε

ε

ss

s

s

s

s

A.N.

h d

Aser

b

Z

ybcs

ss

bcF

ssers AF s

bce

seMrb Mrb Mrb

46

Dimensionnement

b d 2/1b y 2/1F bcbcbc ss

)3

-d(13

d-d

3

y-dZ

ZFM

AFF élastique équilibred' Equations

bcrb

ssersbcs

2

bcrb bd )3

-(1 2

M s

47

Dimensionnement

Si Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées

2

bcser bd )3

-(1 2

M s

h d

Aser

b

Z

dy

bcs

ss

bcF

ssers AF s

bce

se

15

ss

Mser Mser

Z

MA

s

serser

s

Mser

48

Dimensionnement

115

sbc

ss 2s

ser bd 115

)3

-(1 2

M

s

22

sser bd )

3-(1

1

30M

s

)d

Z1(3

3-1

d

Z)

3-d(1Z

d

Zd

Z

d

Z

bd

M2

s

ser

)1(31

)1(

10

32

s

49

0.78

0.82

0.86

0.9

0.94

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

bd

M2

s

ser

s

d

Z

50

Dimensionnement

Si Mser > Mrb =>

Armatures comprimées nécessaires

Mser = Mrb + M2

bcbc ss

h d

Ase

r

b

Z

bcs

ss

bcF

ssers AF s

bce

se

A’ser

dy d’

scsscser

'A sscF

d-d’ Mser Mser Mser

51

Dimensionnement

d

d avec 15

''

'

bcsc

ss

)d'(d

MMA

sc

rbser'

sers

s

sc'

ser

s

rbser A

)3

-d(1

MA

s

s

s

52

Exemple 5

35 cm

60 c

m

8 m

1

1 1-1

54 c

m

53

Exemple5 • Poutre uniformément chargée

– Charges permanentes y compris poids propre:

g=12,5 kN/ml

– Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/ml



• Fissuration préjudiciable

• Calculer la section d’acier à l’ELS au niveau

de la section médiane de la poutre

54

Exemple 5 • Mg = gl2/8 =100 kN.m

• Mq = ql2/8 =137,6 kN.m

• Mser = Mg + Mq = 237,6 kN.m

5MPa1bc s

527,0

MPa6,201s s

kN.m330Mrb

Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées

0,0115 bd

M2

s

ser s

845,0d

Z => Z=0,456m

55

Exemple 5

2

ser cmA 8,25

2

ELU cm4,21A

2

ELUsers cm8,25)A,Asup(A

Z

MA

s

serser

s

(voir exemple 1)

)3

-d(1Z

Ou prendre

56

Vérification des contraintes à l’ELS • Les conditions d’utilisation d’un ouvrage peuvent changer au cours de son

exploitation (variation de la charge d’exploitation, la nuisibilité des fissures, etc.)

=> il faut vérifier les contraintes aux ELS.

y I

M)(

Gzh

serys

Section homogène en béton (de module Ebv) :

Bh= B + 15 (As + A’s )

y

s

e

sc

ss

bcbc

f

s

ss

ss

)d'-(y I

15M

)y-(d I

15M

y I

M

1Gz

h

ser

1Gz

h

ser

1Gz

h

ser

15

scs

15

ss

bcs

As

A’s

b

d

G

z

Béton comprimé :

d’ ssc

ss

y1

Mser Mser

y

57

Vérification des contraintes à

l’ELS

0)y-(d15A)'('152/b 1s111 dyAyy s

0)'A'dA(15)'(512/by ss12

1 dyAA ss

b 0

i

iGihG SyBy

15As

h d

As

1y-d

2/y11yA’s

d’ 15A’s

d'-y1

b G

y

z

2

1

2

1s

3

1Gzh )'('15)y-(dA513/byI dyA

s

y1

58

Exemple 6

35 cm

60 c

m

8 m

1

1 1-1

54 c

m

2

ELU cm4,21A

Mser = 237,6 kN.m

• Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration préjudiciable

59

Exemple 6

0544,2115y4,21152/y350Ad51yA512/by 12

112

1

cm6,23y1

421

31Gz m0045,0)y-A(d513/byI

OK MPa1512,5MPa0,0045

236,06,372

I

yMbc

Gz

1serbc

ss

ELUAssGz

1sers AMPa6,201,8MPa402

I

)y-(dM15 ss

=>

60

Exemple 7 • b = 70cm

• h = 110cm

• d = 101cm

• d’ = 9cm



• Mser = 2,5 MN.m

• A’=16 cm2 ; A= 128,7cm2

• Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration

préjudiciable

61

Exemple 7

cm2,50y1

bcGz

1serbc MPa15

0,0834

502,05,2

I

yMss

teinsuffisancmA 2

sGz

1sers

7.128

8,4MPa220,0834

)0,502-2,5(1,0115

I

)y-(dM15

ss

15;0)dAn(Ady)nAnA(2/by ''1

'21 n

2'1

'21

31Gz )d(ynA)y-nA(d3/byI 44

Gz m0834,0cm8341118I

MPa2,16f6,0 c28bc s MPa3,207s s

scGz

'1ser

sc MPa3,1850,0834

)09,02,5(0,50215

I

)d(yM15 ss

MPa8,347sc s

62

• Calcul de MTser:

• Si Mser ≤ MTser => Section rectangulaire (b,d)

• Si Mser > MTser => Section en T

– Bâtiments: Z=d-0,5ho

– Ponts: Z=0,93d

Calcul à l’ELS: Section en T

2

0

0

0

sTser bh

hd

3

hd

30

M

s

Z

MA

s

serser

s

63

• Axe neutre dans la table de compression:

y1h0

Axe neutre dans la nervure: y1>h0

Vérification des contraintes à

l’ELS: Section en T

2

1

'2

1

3

01

0

3

1

2

0

0001

2

1

0

)'()(3

)()(

3

0)]''(2

h)b-[(b-)]A'n(A)hb-[(by

2

yb

dynAydnAhy

bby

bI

dAAdn

Gzh

I

yM

Gzh

sers

Calcul des contraintes d’une section rectangulaire

(b, d)

(n=15)

64

Exemple 8

1,2m

0,7m

4,8m

1,65

m 1

1

0,4m

0,21

m

Coupe 1-1

• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml

• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml

• Charge concentrée

– Permanente: G=79T

– Exploitation: Q=23T



• Au = 48,9cm2

• Fissurations préjudiciables

65

Exemple 8

• Mg: 3x4,8x1,65/2 – 3x1,652/2=7,796T.m

• MG: 79x1,65x3,15/4,8 = 85,542 T.m

• Mq: 0,8x4,8x1,65/2 – 0,8x1,652/2=2,079T.m

• MQ: 23x1,65x3,15/4,8 = 24,905 T.m

• Mser = (7,796 + 85,542) +(2,079 + 24,905) =

120,32 = 1,203MN.m

• MTser =0,239MN.m

MPa12f6,0 c28bc s MPa200s s

• Mser > MTser => Section en T=> y1>h0

66

• Axe neutre dans la nervure

cm76,39y0)y-nA(d2

)h-(yb)

2

h-(ybh 11

201

00

10

421

301020

1030Gz m048,0)y-nA(d

3

)hy(b)

2

hy(bhbh

12

1I

Exemple 8

MPa12MPa93,9 I

yMbc

Gz

1serbc ss

MPa2005,67MPa52 I

)y-(dM15 s

Gz

1sers ss

teinsuffisancmAu29.48

67

ELS de déformation: Limitation de la flèche • Les déformations des éléments fléchis doivent rester suffisamment faibles

pour :

- ne pas nuire à láspect et à lútilisation de la construction

- ne pas occasionner des désordres dans les éléments porteurs.

- ne pas endommager les revêtements, les faux plafonds ou les autres

ouvrages supportés.

=> Il faut limiter la flèche

• Pour les éléments supports reposant sur deux appuis, la valeur de la

flèche admissible dans le cas où les ouvrages supportés (cloisons et

revêtements), sont fragiles est limitée à:

500

lfadm

10005.0

lfadm

si l £ 5m (avec l en cm)

si l > 5m (avec l en cm)

• Pour les éléments en console, la valeur de la flèche admissible de léxtrémité

de la console, dans le cas où les ouvrages supportés sont fragiles, est limitée

à: si la portée l est au plus égale à 2m. 250

)(cmlfadm

• Quand les ouvrages supportés ne sont pas fragiles, la flèche admissible est

égale au double de celle obtenue dans le cas d’ouvrages supportés fragiles.

68

• Pour tenir compte de léxistence éventuelle de fissures dans les zones

tendues, on substitue dans les calculs, au moment dínertie I0 de la section

totale rendue homogène, un moment dínertie fictif If évalué empiriquement.

• Dans le cas des poutres simplement appuyées isostatiques ou continues et

des bandes de dalles isostatiques ou continues, dirigées dans le sens de la

petite portée, soumises à des charges uniformément réparties, les flèches

sont déterminées selon le BAEL comme suit :

fii

iIE

Mlf

10

2

fvv

vIE

Mlf

10

2

avec1

1,1et 1

1,1 00

vfv

ifi

II

II

;

)32(

05,0

0

28

b

b

fti

5

2 iv

;

4

75,11

28

28

ts

t

f

f

s

:0db

A

M : le moment fléchissant maximal à l’ELS produit dans la travée considérée par le cas de charge envisagé;

L: portée de la travée considérée comptée entre nus d’appuis.

Ei : module d’élasticité instantané du béton et Ev : module différé du béton ; Ev=Ei/3;

Ifi : Moment d’inertie fictif instantané et Ifv : Moment d’inertie fictif différé;

I0: désigne le moment dínertie de la section totale en béton armé rendue homogène (n = 15) ;

- la flèche fi correspond aux déformations instantanées:

- la flèche fv correspond aux déformations différées:

ss: la contrainte de l’acier à l’ELS;

b0 : la largeur de la nervure et b celle de la table de compression

rapport de láire A de la section de lármature tendue à láire de la section utile de la nervure

69

• Pour les consoles soumises à des charges uniformément réparties, on peut

admettre que les flèches fi et fv de l´extrémité de la console correspondant aux

déformations instantanées et de longue durée, ont respectivement pour

valeurs:

fvvv

fiii

IE

Mlf

IE

Mlf

4et

4

22

70

Exemple 9

35 cm

60 c

m

8 m

1

1 1-1

54 c

m

2

ELU cm4,21A

g= 20,7KN/m

q= 9 KN/m

• Vérifier l’ELS de déformation

• Plancher à usage de salle de réunion

• Ouvrages supportés (revêtement) supposés non fragiles

• Fissuration peu préjudiciable



71

Exemple 9

6) exemple(voir 240,8MPaet m 0045,0I s4

0 s

• Vérification de la flèche instantanée fi

Mser-rare= Mg + Mq= 237,6 KN.m

MPa32130 2511000E 3i

858,10113,0*)1*32(

1,2*05,0

i

0113,054,0*35,0

10*4,21 4

717,01,28,240*0113,0*4

1,2*75,11

400212,0 717,0*858,11

0045,01,1 mI fi

OK 6,2)1000

8005,0(*22,2022,0

00212,0*32130*10

8*2376,0 2

cmfcmmf admi

72

Exemple 9 • Vérification de la flèche différée fv

Mser-quasi-permanent= Mg + 2Mq =Mg + 0,4Mq= 194,4 KN.m;

0,4Mq est la part des charges d’exploitation d’une salle de réunion considérée comme

permanente à prendre en compte dans l’évaluation des déformations différées dues au

fluage du béton

MPa107103

32130Ev

743,0858,1*5

2v

717,0

400323,0 717,0*743,01

0045,01,1 mI fv

cmfcmmfadmv

6,2)1000

8005,0(*25,3035,0

00323,0*10710*10

8*1944,0 2

=> ELS de déformation non vérifié !

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