CTCQ1 n°9 Les fondements de la mécanique quantique

On donne les solutions de l’équation de Schrödinger pour une particule de masse m se

déplaçant sur un segment de longueur L :

𝜓𝑛 𝑥 = 2

𝐿𝑠𝑖𝑛

𝑛𝜋𝑥

𝐿 𝑛 > 0 𝐸𝑛 =

ℎ2

8𝑚𝐿2𝑛2

On considère un rectangle de cotés 𝐿1 𝑒𝑡 𝐿2, dans le plan xOy, symbolisant de manière

exagérée une molécule plane. 𝐿1 = 4Ǻ , 𝐿2 = 10Ǻ

On donne l’expression quantifiée des fonctions d’onde et des énergies associées pour une

particule de masse m, confinée dans ce rectangle. On notera les 2 nombres quantiques n et p

strictement positifs.

𝜓𝑛𝑝 𝑥,𝑦 = 𝜓𝑛 𝑥 𝜓𝑝 𝑦 𝑒𝑡 𝐸𝑛𝑝 = 𝐸𝑛 + 𝐸𝑝 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝐸𝑛𝑝 =ℎ2

8𝑚 𝑛2

𝐿12 +

𝑝2

𝐿22

On donne 𝑚 = 9,1. 10−31𝑘𝑔 ℎ = 6,626. 10−34𝐽. 𝑠 𝑒 = 1,602. 10−19 𝐶

1) La particule est un électron de cette molécule. Donner en électron-Volt l’expression des

niveaux d’énergie quantifiés de cette particule. Identifier les nombres quantiques des 2

premiers états quantiques (ordre énergétique). Calculer la valeur des deux premiers niveaux

d’énergie.

2) Définir la densité de probabilité surfacique de l’électron. Dans l’état fondamental, quelle

est la position la plus probable de l’électron ?

3) Calculer en nm la longueur d’onde du photon absorbé lorsque la particule passe de l’état

fondamental au premier état excité.

4) Donner la ou les positions les plus probables de l’électron dans l’état excité. En déduire

l’effet de l’absorption du photon sur la densité électronique (direction du déplacement des

maxima). On représentera de façon qualitative pour ce faire l’allure des surfaces de densité de

probabilité des deux états sur le rectangle.

5) On définit l’opérateur quantité de mouvement en x par 𝑝𝑥 = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑥. Montrer que la valeur

moyenne de 𝑝𝑥 dans les états 𝜓𝑛𝑝 𝑥,𝑦 = 𝜓𝑛 𝑥 𝜓𝑝 𝑦 est nulle. Interpréter ce résultat.

On donne : 2 sin 𝑎 cos 𝑏 = sin 𝑎 + 𝑏 + sin(𝑎 − 𝑏)