GESTION DE PORTEFEUILLEUNE APPROCHE QUANTITATIVEPierre ClaussMars - juin 2010Essec - Cnam2OBJECTIF DE LENSEIGNEMENTCe cours de 25h est compos de 10 sances de 2h30 dont 4 sances de cours magistral, 5 sances dateliersur des projets en groupe, et pour nir 1 sance de bilan des projets et dvaluation via un quiz.Ce cours de Gestion de Portefeuille a pour objectif de donner les cls pour comprendre et assimiler lesoutils quantitatifs daide la gestion de portefeuille. Pour cela, 5 projets seront proposs pour des groupesde4tudiantsappliquantpourlamajoritdestechniquesquantitativessurdesdonnesrelleslaidedu logiciel Excel et de la programmation en Visual Basic for Applications (VBA). Le but est donc trsoprationnel et permettra aux tudiants dhorizons divers (Essec, Cnam) de postuler des mtiers de grantsde fonds, analystes produits, sales en Asset Management mais aussi dans les Banques de Financement etdInvestissement.Laspect quantitatif est essentiel aujourdhui en nance de march. Ce cours prsentera les fondements pourgrer un portefeuille laide de modles quantitatifs mais naura pas la prtention de former des ingnieursquantitatifs. Nanmoins, les connaissances dveloppes pendant ce cours permettront dutiliser certaines deleurs techniques pour grer les actifs nanciers plus efcacement.TABLE DES MATIRESINTRODUCTION 41 RISQUES FINANCIERS ET PERFORMANCE DINVESTISSEMENT 51.1 Capitalisme nancier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 volution dans les annes 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 La culture du risque dans nos socits contemporaines . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Mesurer les risques nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 valuation dune action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Modles facteurs de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Mesure synthtique du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Mesurer la performance dinvestissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.1 Une premire mesure synthtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.2 Mesures de rentabilit ajuste du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 ALLOCATION 352.1 Allocation efciente de Markowitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.1 Critres de rentabilit et de risque pour la slection dun portefeuille. . . . . . . . 352.1.2 Principe de la diversication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.3 Construction dun portefeuille optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Allocation tactique Black-Litterman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.1 Principe gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.2 Mise en place pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3 Allocation dun portefeuille par simulations Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.1 Principe de lallocation Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.2 Modlisations probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 STRATGIES DINVESTISSEMENT 523.1 Stratgies buy-and-hold et constant mix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.1 Stratgies buy-and-hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.2 Stratgies constant mix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Stratgies de couverture du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.1 Produits drivs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.2 Couverture en delta statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.3 Assurance de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3 Stratgies de cration de performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.1 Stratgies actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2 Stratgies sur dautres classes dactifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.3 Hedge funds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67CONCLUSION 713INTRODUCTIONCe cours de Gestion de Portefeuille sadresse des tudiants ayant des backgrounds quantitatifs diversis.Pour intresser autant les tudiants ayant des connaissances basiques en statistiques que ceux ayant uneformation en mathmatiques pousse, nous avons pris le parti de dvelopper un cours faisant appel bienentendu la thorie mais sacriant ses hypothses scientiques rigoureuses, pour gagner, nous lesprons,en intuition pratique.Le plan du cours rete aussi cette exigence. Nous allons ainsi commencer par des rexions globales surla gestion de lpargne nancire et la nance contemporaine pour en comprendre les enjeux, pour terminerpar ouvrir la bote noire des problmatiques du grant pour crer son portefeuille. Ce cheminement ne suivrapas toujours la chronologie des dcouvertes de la recherche scientique : par exemple, nous expliciteronsle Capital Asset Pricing Model (CAPM) avant les dcouvertes de Markowitz posant les bases du CAPM.Le cours sera compos de 3 parties.Lapremiretenteradefaireacqurirlesfondementslvaluationdurisqueetdelaperformancedesportefeuilles grs. A la n de cette partie, il sera possible de grer un portefeuille, dactions plus spci-quement, laide doutils simples mais trs fortement utiliss en pratique. Outre cette premire mise enpratique, nous initierons la premire partie en dveloppant succinctement les enjeux de la nance moderneet lintrt toujours grandissant pour grer efcacement les actifs nanciers.Aprs avoir compris comment valuer un portefeuille, il va falloir tudier la manire dont on le cre. Toutdabord, il sera ncessaire de dterminer comment on alloue notre investissement aux diffrentes classesdactifs notre disposition. La deuxime partie exposera rigoureusement certaines mthodes quantitativespour allouer une richesse de manire efciente. Trois mthodes seront prsentes : lallocation originelle deMarkowitz, lallocation de Black et Litterman et lallocation par simulations Monte Carlo.Aprs avoir dni une allocation optimale, il faudra rchir la stratgie nancire que le grant pourradvelopper, savoir si linvestisseur souhaite couvrir le risque pris ou au contraire faire le plus de per-formance possible. Nous introduirons les techniques dassurance de portefeuille ainsi que de cration deperformance via des stratgies quantitatives dans la troisime et dernire partie.Enn, la plupart des sections donnera lieu un conseil pratique de gestion de portefeuille.4CHAPITRE 1RISQUES FINANCIERS ETPERFORMANCE DINVESTISSEMENT1.1 Capitalisme nancierCette premire section prsente les volutions du capitalisme nancier depuis les annes 70 partir de troisaxes principaux : linstabilit des marchs et lutilisation de produits drivs ; lapparition des investisseursinstitutionnels et dimportants montants dpargne collective grer ; et le dveloppement dune culture durisque dans toutes les sphres de notre socit, et en particulier la sphre nancire.Nous entendonspar capitalisme nancierlvolution du capitalisme dans nos socits actuelles et dontAgliettaetRebrioux[2]prcisentlesdrives. Depuislemilieudesannes70, nombreuxsaccordentdirequelesmarchsnanciersontfortementvoluavecuneliquiditdeplusenplusabondanteetdes marchs de plus en plus englobants, ainsi que lapparition de fonds dinvestissement dont le pouvoirnancier na cess de crotre. La nanciarisation actuelle de lconomie a de grandes consquences sur lasocit elle-mme.Avant den dcrire les grandes lignes, explicitons succinctement la dnition classique dun march nan-cier : on considre souvent les marchs nanciers comme le lieu de rencontre entre capacits de nancementet besoins de nancement. Traditionnellement, on rduit ce lien celui liant pargne et investissement. Eneffet, si les agents conomiques assuraient entirement leurs besoins de nancement laide de leurs res-sources propres, les marchs nanciers nauraient aucune utilit.Voici un point de vue paru dans Ouest France le 17 octobre 2008."Bon" et "mauvais" capitalismeNicolas Sarkozysest levplusieurs re-prises contre le capitalisme nancier, composde "spculateurs" et de "rentiers" pour se fairele dfenseur du capitalisme d"entrepreneurs".Quest cequesignievouloir ennir avecla capitalisme nancier ? Est-ce raliste ?Quelles en seraient les consquences ?Il faut se rappeler quen aot 2007, le chef delEtat tait lorigine de la loi vote en faveurdu travail, de lemploi et du pouvoir dachat(TEPA). Celle-ci a supprim les droits de suc-cessionpour exonrer lamajoritdeshri-tages, si ce nest tous, laide des diffrentesdonations possibles. Or supprimer ces droitspeut favoriser la formation dune socit blo-que de rentiers. Les milliardaires amricains,telsGeorgesSoros, WarrenBuffet, leshri-tiersRockefellerentreautres, lavaient biencompris en 2001 en sopposant Georges W.Bush, qui alorsvoulait supprimer lesdroitsdesuccession. Cesmilliardaires, ayant pourbeaucoupconstruitleurfortunesurlesmar-56 Risques Financiers et Performance dInvestissementchsnanciers, afrmaient par leurptitionque lenrichissement ne doit pas tenir de lh-rdit mais du mrite.Le dbat entre les pourfendeurs et les admira-teurs du capitalisme nancier nest pas rcent.Lesdnonciateursdelaspculation, lori-gine de la dstabilisation des marchs nan-ciers et ensuite de lconomie relle, nont pasattendu cette crise pour slever. Les chantresdes marchs nanciers et delaspculationqui optimise les changes non plus. Alors quepenser ?Un grand conomiste qui a vcu lautre grandecrise, celle de 1929, peut nous clairer. En ef-fet, Keynes dveloppe une analyse subtile dela spculation dans le chapitre 12 de la Tho-rieGnraledelEmploi, delIntrt et dela Monnaie. Outre le fait dtre lun des plusgrands conomistes du XXme sicle, Keynestait aussi un n spculateur. Son analyse dela spculation et de son impact sur lconomienen est que plus intressante. Il dnit cetteactivitdemanirepeuglorieuse. Quelquesextraitssufsent pour nousenconvaincre:"[Les spculateurs] se proccupent, non de lavaleur vritable dun investissement pour unhomme qui lacquiert an de le mettre en por-tefeuille, mais de la valeur que le march, souslinuence de la psychologie de masse, lui at-tribueratroismoisouunanplustard. [...]Telle est la consquence invitable de lexis-tence de marchs nanciers conus en vue dece quon est convenu dappeler la "liquidit"(Payot)."Pourtant Keynes ajoute que cette liquiditest ncessaire auxmarchs nanciers pourquils puissent exister et drainer des investis-sementsnouveaux. Liquiditsignieuiditdes changes. Ainsi il faut bien des acheteurslorsque tout le monde vend. Et ces acheteursne peuvent tre que des spculateurs, ces in-vestisseurs"clairs"qui, selonKeynes, ontpour objectif de"prvoir lapsychologiedumarch". Lattrait des marchs nanciers se-rait rduit nant si lpargnant ne pouvait re-tirer son argent quand il le souhaite, car dansce cas, il le placerait ailleurs.Opposer deux capitalismes nest donc pas unesolution. Laspculationmalgrses aspectschoquants, peut savrertrsutileauxmar-chs nanciers. La considrer comme un auserait contre-productif. Cela reviendrait ban-nir les marchs nanciers, tout de mme utilesaux investissements de nos conomies.En revanche, dnir un code thique du sp-culateur au niveau mondial qui lobligerait reverser une partie de ses bnces la luttecontredautres auxcommelafaimdansle monde, les maladies, la pollution ne seraitpeut-tre pas inutile... en vitant de supprimerla sacro-sainte liquidit, ce que la taxe Tobinsur les transactions montaires est malheureu-sement susceptible de dtruire.1.1.1 volution dans les annes 70Croissance de la liquidit et des transferts de risqueLes annes 70 sont caractrises par lapparition de fortes incertitudes nancires : lination saccrt, enmme temps que le dveloppement de la volatilit des taux, ainsi quune importante instabilit des taux dechange et des produits nergtiques avec les deux chocs ptroliers, et enn lendettement croissant des paysen voie de dveloppement. Ces vnements se sont accompagns dune croissance des marchs nancierspour faciliter les transferts de risques entre entreprises ou tats. Ces derniers ont eu pour consquence uneaugmentation de la liquidit, via la multiplication des marchs de drivs.Remarquons que ce mouvement est inverse celui daprs la crise de 1929, qui avait vu Roosevelt suppri-mer les marchs de drivs. Comment expliquer cette volution ? Il faut rappeler que les crises nanciresaboutissent en majorit des crises de liquidit. Cela est appuy par limage dpinal des pargnants prisde panique allant retirer leur argent en faisant la queue devant les banques lors de crises comme celle de1929 par exemple. Une crise nancire peut avoir de multiples causes, qui sont souvent des bulles spcu-latives, mais se termine toujours par un dfaut de liquidit et donc la faillite de rmes, dtats ou encorede mnages. Le fait de faciliter les transferts de liquidit via les produits drivs permet dviter la conta-gion toutes les entreprises dune mme place nancire. Et les outils dvelopps dans les annes 70 ontpermis aussi de faciliter leur change : valuation dun call par Black et Scholes et amlioration des outilsCapitalisme nancier 7informatiques entre autres.Il en est ainsi galement de la crise des subprimes de lt 2007 : suite la faillite de mnages amricainssur-endetts dont les emprunts se retrouvaient dans des portefeuilles de crdit sophistiqus dans les banquesinternationales, il devint difcile de trouver des acheteurs de ces produits devenus alors illiquides. Sanslutilisation de produits assurantiels et lintervention des banques centrales ajoutant de la liquidit sur lesmarchs nanciers, peut-tre que la crise aurait eu, en tout cas au dbut, des consquences encore plusgraves.Mais cette remarque en implique une autre sur lautre face de Janus des marchs nanciers autrement moinssouriante : la facilitation des transferts de risque a t favorise par des produits drivs et des innovationsnancires complexes contigus, augmentant les apptits des spculateurs y trouvant des sources de protsimples et rapides. Ces produits drivs ont ainsi certes permis une croissance de la liquidit ncessairepour viter la faillite, mais lopacit les accompagnant a augment les risques sous-jacents, en facilitantla spculation et linstabilit nancire. La crise de 2007-2008 est entre autres cause par un manque deconance dans les produits de crdit complexes, innovants mais difciles valuer. La bulle spculative surles prix des matires premires du printemps 2008 est aussi rvlatrice de lapptit des spculateurs fairedes prots rapides. Ceci explique certainement pourquoi Roosevelt avait voulu la suppression des marchsde drivs dans les annes 1930.Sur la crise des subprimes, voici un point de vue paru dans Ouest France le 3 octobre 2008.Un an aprs la crise des subprimesAvec le recul de lanne passe, peut-on fairelanalyse de la crise nancire des "sub-primes", ces crdits immobiliers accords auxmnages amricains modestes et peu sol-vables ? Et comprendre comment on a puaboutir lImplosionducapitalisme nan-cierquedcrit Paul Jorion(Fayard), et queconrme la mise en faillite de Lehman Bro-thers ?Tout dabord, laconjonctureconomiqueat, auxEtats-Unisenparticulier, trsfavo-rable ces dernire annes : un taux dempruntbas et un march de limmobilier en trs fortehausse. Et commesouvent danscecas, lesgens perdent la mmoire et pensent que si amonte, avacontinuer demonter. Lorsquelonajouteuneculturedefort endettement,propre aux amricains notamment, les chosesse compliquent. En effet, un amricain, lors-quilreoit100,dpense101:dunepartilnpargne pas et dautre part il emprunte.Cest ici quintervient laresponsabilitdesbanques et des instituts prteurs qui ont abusdunepart deprtsdesmnagesnonsol-vables et dautre part sen sont dcharg surdautres investisseurs, via la sophistication dela titrisation. Une technique qui consiste transfrerdesinvestisseursdesactifs, telsque des crances, en les transformant en titresnanciers. Ainsi sest opre une dissociationentre la distribution du crdit et la gestion deson nancement.Manque de transparencePrsentonscemcanismecomplexedema-nire plus simple. Une banque amricaine vaprter chacun de ses 100 clients 100 milledollarspour acheter unemaison. Parmi ces100 mnages, certains ont achet une maisonavec piscine de 300 m2en Californie avec desrevenus insufsants : ce sont ces mnages quelonappellelesemprunteurs"subprimes",(littralement "endessous"desemprunteurssolvables dits "prime"). Mais comme ils ont lapossibilit de rembourser seulement les int-rts, variables la plupart du temps, pendant lapriode du prt et le capital in ne, la lourdeurde lemprunt est amoindrie. En outre, avec unbien qui ne perd pas de sa valeur, lemprun-teur pourra rembourser laide de la reventede sa maison. Cette logique est viable lorsqueles taux sont faibles et que le march de lim-mobilier ne chute pas.Mais revenons la banque amricaine. Elle aune crance de 10 millions de dollars. Au lieudesupportercepoidsdedette, ellevadon-ner la "patate chaude" dautres investisseurs(lesfondsdepension, lesfondsspculatifs,voire mme le gestionnaire dune SICAV mo-8 Risques Financiers et Performance dInvestissementntaire dune banque franaise). Ainsi, le prtfait ces100mnages, dont certains"sub-primes", se retrouve tre support non plus parlabanqueamricainemaispardemultiplesacteurs dissmins partout dans le monde. Ladilutiondes 10millions de dollars sembletre la garantie la non-perte de ce capi-tal. Lavantage pour les investisseurs est quilsperoiventalorsuntauxdintrtlev. Carlorsque lon prte des individus sans fort ca-pital, on leur demande un taux dintrt pluslev. Ce systme satisfaisait tout le monde.Seulement lorsque les taux ont mont et que lemarch de limmobilier a chut, les mnagesamricains qui se croyaient tre devenus pro-pritaires se sont retrouvs la rue.Le problme non rsolu ce jour est lemanquedetransparencedesmarchsnan-ciers. Eneffet, cestsurleuropacitquesesont fait lavaleurdescontratstitrissrali-sscesderniresannes. Leurvaleurauraitdue tre beaucoup plus faible si lvaluationavait prisencomptelerisquedebaissedelimmobilier. Il faut donc viter de penser quelepireest toujoursderrirenouslorsquelaconjoncture samliore. Cela vitera peut-trede croire que lon peut faire de largent sanscrer de valeur.Capitalisme actionnarial et apparition des "zinzins"Outre la croissance de la liquidit et des transferts de risque, les annes 70 voient lapparition dune nouvelleforme de gouvernance des entreprises. Le capitalisme managrial va ainsi tre dtrn par un capitalismeo le contrle et la proprit (Berle et Means [4]) ne sont plus spars, o le principal, lactionnaire, vapouvoir avoir un contrle sur lagent, le manager. Ainsi, la capitalisme va devenir actionnarial et loutsiderquest lactionnaire va avoir un impact trs important sur la gouvernance dentreprise et sur linsider quereprsente le manager. Le capitalisme actionnarial a transform en profondeur nos entreprises en rduisantlasymtrie dinformation existant par dnition entre le propritaire de la rme et son dirigeant.Cette volution de lactionnariat est favorise par lapparition de nouveaux acteurs collectant une pargne deplus en plus importante : les investisseurs institutionnels ou "zinzins". Ce nouvel actionnariat va prendre denombreux visages : fonds de pension, mutual funds (fonds communs de placement), hedge funds, assureursou encore les fonds souverains, dont les activits font lactualit rcente.Lesconsquencessontautantsocialesquconomiques. Lapresserelateeneffettrsrgulirementlesdcisions des actionnaires dlocalisant les industries par exemple pour diminuer les cots et augmenterla valeur actionnariale de lentreprise. Nous tudierons plus bas la dnition de laction comme instrumentnancier et nous comprendrons la relation proportionnelle entre la valeur de laction et les bnces pouvanttre retirs dune rme : plus les bnces anticips seront importants, plus laction augmentera sa valeur.Nous comprenons donc pourquoi lorsque des licenciements sont annoncs, la valeur de laction augmente.Et ceci nest pas d la malveillance des actionnaires mais leur volont de maximiser leur investissementdans la rme : une vague de licenciements rduira les cots et augmentera les bnces futurs. Tout le dbatest alors de savoir si ces cots court-terme nauraient pas pu tre aussi des bnces long-terme... Maisaujourdhui le bnce social nest pas intgr dans la valeur actionnariale.Mais revenons aux "zinzins". Ils ont aujourdhui une pargne considrable grer. Ce besoin ncessite uneprofessionnalisation de plus en plus importante des techniques de gestion. Lintermdiation est alors renduencessaire par lasymtrie dinformation qui existe entre un particulier ou un fonds de pension et le grantprofessionnel. Et cette gestion doit intgrer deux objectifs paradoxaux : ne rien perdre tout en gagnant leplus possible ! Cette double exigence va demander, outre un contrle de plus en plus accru sur la gouver-nance dune entreprise, le dveloppement doutils quantitatifs aidant la gestion efcace de cette pargnesatisfaisant au mieux le client, qui vit dans une socit de plus en plus imprgne par la matrise du risque.Voici un point de vue paru dans Ouest France le 3 novembre 2008.Les fonds, nouveau visage du capitalisme nancierDepuisledbut delacrisenancire, ona voqu des prises de position hasardeuses desCapitalisme nancier 9banques qui leur ont fait perdre des sommesgigantesques. Une des raisons ces droutesest lloignement des banques de leur m-tier historique, qui est de nancer lconomie,verscelui dinvestisseursplusagressifs, quisont souvent appels "fonds". Or cette dno-mination englobe une diversit dacteurs.Un fonds est une socit ayant du capital -nancier grer pour le compte dautres indi-vidus ou institutions. Ces socits crent alorsunouplusieursfondsquivontinvestirdansune entreprise ou dans des titres nanciers. Parabus de langage, on dnomme le tout, la so-cit de gestion, par sa partie, le ou les fonds.Toutdabord, les fonds de pensionlesplusdcris, dtruisant ici des emplois, rapportantl-bas(cest moinsvrai) debellespensionsaux retraits. Ces socits sont des collecteursdpargnepourlaretraitedeleurclient. EnFrance, laretraiteest enmajoritissueduprincipe de rpartition, cest--dire que la g-nration au travail paye la retraite des plus de60 ans. Aux tats-Unis, la ralit est autre :chacun pargne durant son travail pour sa re-traite. Et cette pargne est collecte par des so-cits travaillant faire fructier le plus pos-siblesansperdrelargentdeleursfutursre-traits. Lasommedtenueparcesfondsestcolossale. Le problme est que dans 20 ans, cause du papy boom, il y aura plus de retraitsdargent que dentres ce qui pousse ces fonds demander une performance de leurs investis-sements plus importante.Les nouveaux agressifsPour crer de la performance, plusieurs soci-ts proposent leur service, les fonds de pen-sion dlguant la gestion active de leur argent.Tout dabord, les fonds mutuels sont les plustraditionnels : ils investissent sur les marchsavec les outils classiques (actions, obligations)et une certaine expertise mais un contrle desrisques les amenant ne pas faire nimportequoi. En France, ce sont les SICAV (SocitsdInvestissement CApital Variable)ouen-core les FCP (Fonds Communs de Placement)queles banques proposent par exempleausein dun PEA (Plan dpargne en Actions).Leur gestion classique subit de plus en plus laconcurrence de gestionnaires plus agressifs.Lesfondsdeprivateequity1ont fait leurspremier pas en France avec par exemplelachat duPSGpar ColonyCapital, ouen-core Legrand par KKR et la famille franaiseWendel. Ces fonds vont investir dans des en-treprises non cotes ou des entreprises cotesquils retirent de la Bourse. Ils deviennent lespropritaires de ces entreprises et leur objectifest de rationaliser la gestion, lamliorer, pourles revendre avec une plus-value importante.Pourendevenirpropritaire, cesfondsfontappel des emprunts colossaux. Les fonds depension peuvent faire partie alors des prteurspotentiels ce type dachat, appel LBO : Le-verage Buy-Out. En misant peu de sous et enralisantunelargeplus-value, cesfondsontattir de nombreux investisseurs avides de ren-dementsimportants. Lenqutepassionnantede Godeluck et Escande Les pirates du Capi-talisme(AlbinMichel, 2008)enexpliquelefonctionnement.Les seconds fonds "agressifs" sont les fondsspculatifsqui nevont pasagir horsdelaBourse, mais au contraire utiliser les anoma-lies de prix des actifs nanciers pour crer dela performance. Ils peuvent aussi sintresser rendre plus performant le management duneentreprise en achetant une minorit dactionset en poussant de manire agressive le mana-gement se transformer lors des assemblesgnrales.Dernire catgorie de fonds, les fonds souve-rains : ils ont lapparence de fonds de pensionmais sont beaucoup plus opaques sur leurs in-tentions. Ilssesont dveloppslaidedesfortesrservesdargentquelestatsexpor-tateurs ont pu accumuler, soit par le ptrole,comme la Norvge oules mirats ArabesUnis, soit par les biens de consommationexportset lesrservesdechangeinduites,comme la Chine. Ils ont t ces derniers moisde grands pourvoyeurs de liquidit en inves-tissant dans les banques affaiblies par la crise.Et Nicolas Sarkozy vient de lancer la crationdun fonds franais.Ledveloppement decesnouveauxacteursest lilacrisequelonvit actuellement :une pargne excessive investie dans des actifsexistants et non innovants, comme limmobi-1"Private equity" soppose en anglais "public equity" qui signie "capital issu de la Bourse", donc public par la large informationdiffuse sur les entreprises cotes.10 Risques Financiers et Performance dInvestissementlier, crant alors une bulle. Et les banques quiont vouluparticipercetteeuphorieenco-piant les fonds spculatifs par exemple ont puperdre normment.Ces nouveaux acteurs du capitalisme peuventpeser sur nos conomies de faon parfois d-sastreuse. Non pas parce que ces acteurs sontptris de mauvaises intentions mais parce quilmanquedescontre-pouvoirscesfondsquiviteraient de les rendre trop puissants. AquandlamiseenplaceduneOrganisationMondiale des Marchs Financiers ?1.1.2 La culture du risque dans nos socits contemporainesEn nance, les crises boursires ne viennent pas juste dapparatre. Les deux prcdents sicles en sontemplis. La considration du risque sur les marchs nanciers et sa modlisation, sa mesure et sa gestionsont pourtant plus rcents. Les crises des annes 90 (Barings, NatWest, LTCM) pourraient expliquer lebesoin qui sest fait ressentir ce moment-l de sintresser plus rigoureusement depuis 20 ans au risqueavec notamment la mise en place du Comit de Ble permettant de rguler les activits des institutionsnancires.Une autre raison peut tre aussi chercher dans les progrs accomplis dans la puissance des outils informa-tiques ainsi que ceux faits en mathmatiques commencer par le pricing du call europen de Black-Scholes.Nanmoins, nous ne pensons pas quil ny ait que cela. Il faut pour le comprendre ne pas se concentrerseulement sur la sphre nancire mais tudier les volutions de la socit dans sa globalit. En effet, lamutation de nos socits occidentales ces 20 dernires annes peuvent aussi tre un lment dexplicationquil ne faudrait pas ngliger. Et cette mutation, facteur essentiel de lvolution actuelle des marchs nan-ciers, est lmergence dune socit du risque.Le mot risque a pour tymologie le latin resecum signiant "ce qui coupe" et caractrisant donc une menace.Ce mot est apparu dans son sens actuel au XIV sicle dans les assurances maritimes italiennes. Aujourdhui,ce terme se retrouve dans presque tous les vnements qui touchent nos socits allant des risques techno-logiques, cologiques, sanitaires la circulation automobile et linscurit de nos villes.Pour apprhender ces risques, les experts chiffrent leur danger. Patrick Peretti-Watel [29] illustre cela laide de lpisode de lexplosion dun racteur chimique produisant des herbicides Seveso en Italie le 10juillet 1976. Les dangers sur les femmes enceintes ntant pas ngligeables, les habitants voulurent alorsabsolument savoir quel tait le pourcentage de femmes pouvant avoir des squelles. Des situations similairesdans le pass nexistant pas, il savrait impossible de quantier ce danger. Or les habitants demandaient demanire insistante un chiffre, qua ni par leur donner un expert avec le pourcentage 30%. Malgr le peude fondement que reprsentait ce chiffre, il rassura les habitants.Ainsi, pour maitriser un danger, le fait de le quantier permet de le grer mme si dans certains cas le chiffredonn ne signie rien car la situation nest pas probabilisable. Peretti-Watel dcrit lexemple du patron de lamarque de whisky Cutty Stark qui avait propos une norme rcompense celui qui dcouvrirait le monstredu Loch Ness. Bien sr celui-ci nexiste pas. Mais certainement par paranoa, il se couvrit de la dcouvertede ce monstre en souscrivant une assurance chez Lloyds. La prime de cette assurance a d tre difcile dterminer sachant quelle se fondait sur un vnement impossible.Enn, pourgrerlesrisques, ilfautfairedeschoixpolitiques. Eneffet, denombreuxseuilsvonttredterminspoursavoirsiunesituationprsenteundangeroupas. Ilenestainsideladtectiondelatrisomie par amniocentse qui demande des examens trs lourds pour la femme enceinte et assez risqus :des mthodes de dpistage sanguin ont pu tre dvelopps mais avec une incertitude. Le seuil dni estdonc issu dun choix politique dune responsabilit importante. A la n des annes 80, ce principe du seuil,sous-jacent au principe de prcaution, a connu un fort succs. Et ce principe a t fortement dvelopp dansde nombreux domaines comme la sant, lenvironnement, la gntique, la scurit au travail ou encore lanance : ainsi le comit de Ble a dni les premiers accords de rglementations bancaires Ble I en 1988 laide dun ratio dterminant un montant de rserve permettant aux institutions nancires de se couvrircontre un risque de perte leve. La difcult fut alors de dnir ce montant ou ce seuil de perte potentielle.Capitalisme nancier 11Ces diffrentes rglementations sont donc difciles quantier scientiquement car fondes sur des proba-bilits extrmes. Le ratio du comit de Ble subit une incertitude relativement importante. Et ces rgulationsne permettent pas dviter toutes les crises : durant lt 2007, la crise des subprimes na pas pu tre vitemalgr les prcautions normalement dictes. Mais comme la ncessit de la mesure, nous lavons vu, estessentielle dun point de vue socitale, il faut en accepter les limites. La science a tout de mme progresset applique aujourdhui les rsultats de thories probabilistes (thorie des valeurs extrmes, thorie des co-pules) pour obtenir des mesures des risques extrmes plus prcises. Malheureusement, ces techniques nesont pas encore assez dveloppes.Nos socits contemporaines ont donc dvelopp une importante culture du risque. Selon Giddens [14],lerisqueestmobilispartoutindividucommemodedereprsentationduquotidien. Lasocitesteneffet davantage oriente vers le futur et moins ancre dans le pass et les individus mettent en oeuvre unerationalit probabiliste pour valuer les consquences de leurs actions. Le futur devient donc un territoire coloniser.Beck [3], un autre sociologue travaillant sur ces problmatiques, a montr les volutions de lindividu denos socits : il doit se projeter dans le futur en essayant de le contrler et en refusant le dterminisme.La socit industrielle traditionnelle tait caractrise par le lutte souvent collective contre la pauvret et ledclin. Aujourdhui, lindividu est livr lui-mme faisant face une multitude de risques.Les marchs nanciers sont aussi le miroir de cette culture du risque imprgnant nos socits contempo-raines. Les krachs boursiers font peur et peuvent affecter lexistence de tout un chacun. En outre, les agentsde ces marchs "crent le futur quils tentent de coloniser" selon Peretti-Watel : effectivement, entretenanteux-mmes la volatilit des marchs nanciers, ils crent les risques nanciers imprvisibles quil leur fau-dra valuer et grer.Voici un point de vue paru dans Ouest France le 16 dcembre 2008.Climat, nance, mme combatEn attendant lengagement de lquipe Obamadanslaluttecontrelerchauffement clima-tique, la confrence de Poznan a montr queles bases dun accord international taient dif-cile runir.Or les erreurs lorigine de la crise nanciredoivent nous convaincre de lurgence mettreenplacedesmesurescourageusescontrelechangement climatique. Ces erreurs ont djt nonces : dsengagement de lEtat provi-dence, laisser-aller sur les marchs nanciers,excs dinnovations nancires ne crant pasou peu de valeur, endettement excessif, spcu-lation non rgule. Une ide relie ces volu-tions : celle dune faible perception du risque.Si par exemple les responsables ont laisslEtat providence disparatre peu peu, cestentre autres cause dune perception de lave-nir sans embches : sinon, pourquoi se doterdunsystmederedistributiondesrichessesperformant, car lapauvretserait unrisqueloign ? Autre exemple : si les prteurs am-ricains ont t gnreux avec les mnages sub-primes, cest parce-que le risque de baisse dela valeurde limmobilier taitperu commeimprobable. Aujourdhui, ces deuxpercep-tions se sont inverses.Pourtant, nos socits avaient dvelopps de-puislandesannes80(lelivredeBeckpublien1986Lasocitdurisque: surlavoieduneautremodernitesttrsclai-rant)uneperceptionrelledurisquecollec-tif la suite de drames, comme Tchernobyl,ou, dun point de vue nancier, aprs le krachdoctobre 1987. Les politiques avaient mis enplace de rgulations.Dansledomainenancier, lespremiersac-cordsdeBleont vulejour en1988aveclobjectif afch dviter la contagion defaillites bancaires tout le systme nancier,en contraignantles banques conserverunepartie de leurs fonds propres en rserve. Mal-heureusement, on constate lchec de ce sys-tme de rgulations. Pourquoi ? Car la percep-tion aige du risque dveloppe dans les an-nes80atdlaisseauprot desrende-12 Risques Financiers et Performance dInvestissementments court-terme, proposs par les innova-tions nancires des annes 90, ainsi que ceuxdesbullestechnologiqueet immobiliredesannes 2000.Ce qui empche de percevoir le risque, cestla rentabilit attendue. En nance, on a lha-bitudedeparlerdecouplerendement-risquepour dire que le risque volue avec le rende-ment. Le problme, trs bien dcrit par Fr-dricLordondanssondernierlivreJusququand ?Pourenniraveclescrisesnan-cires, est que le risque se mesure seulementaprs quon a ralis linvestissement : il estdifcile en effet de prvoir le risque encouru.Lauteur va jusqu afrmer que "le contrledes risques est une chimre".Dans les banques, valuer le risque engag estcomplexe ; cest nanmoinspossiblesi loncomprend que risque et rendement sont deuxnotions non relies dans le temps : le rende-ment est une notion de court-terme et le risqueune notion de long-terme. Admettre cela per-met de poser des rgles : augmenter la rservede fonds propres des banques lorsque lenvi-ronnement conomique est favorable (rende-ment bon et perception faible du risque) pourpouvoir la diminuer dans le cas contraire (ren-dement mauvais et perception forte du risque).De telles rgles auraient permis aux banquesde moins participer la bulle et de pouvoir r-pondre aux pertes actuelles sans faire appel lEtat.Revenons au changement climatique. La per-ception des risques est encore faible, alors queles rendements retirs de la consommation duptrole par exemple sont levs pour nos so-cits. Il apparat urgent que les politiques d-nissent des rgles plus volontaires dcono-mies dnergie, certes contraignantes aujour-dhui, maisqui nouspermettront dviterlepire dans quelques annes. Forcer les banques moins investir dargent pendant la bulle au-rait t salvateur... Et cest le rle du Politiquedednirlesconditionsncessairesaujour-dhui pour bien vivre ensemble.Conseil pratique de gestionCette introduction aux enjeux de la nance contemporaine permet de mettre en vidence la ncessit degrer efcacement lpargne collective en insistant sur le risque pris. Le premier conseil de gestion estdonc dtudier rigoureusement le contexte conomique et avoir un recul sur les diffrents acteurs de lanance, les outils disposition, et lincertitude inhrente tout projet dinvestissement.Mesurer les risques nanciers 131.2 Mesurer les risques nanciersNous allons dans cette section nous intresser la mesure du risque et plus prcisment le risque de march.Trois risques principaux peuvent tre distinguer en nance de march : le risque de variation dun actifnancier (risque de march), le risque de dfaillance dun metteur de dette (risque de crdit), et le risqueinduit par des oprations de march comme les erreurs de saisie, les fraudes, etc. (risque oprationnel).Cette section sera ddie la mesure du risque de variation du prix dun actif et plus prcisment, pourdes raisons pdagogiques, celui de laction. Nous dnirons laction et dterminerons lvaluation de sonprix. Notre intrt se portera alors sur la prime de risque associe au prix de laction. Deux voies serontalors explores pour mesurer le risque de variation : les sensibilits de la prime de risque des facteurs derisque et les mesures synthtiques du risque de variation du prix dune action.1.2.1 valuation dune actionUne action est un titre de proprit reprsentant une fraction du capital dune socit. Gnralement, cettevaleur mobilire est cote en Bourse et a une liquidit normalement assure. En outre, elle confre sonacqureur des droits sur lentreprise, tant donn quil en devient propritaire. Une action donne droit unvote au sein de lassemble gnrale des actionnaires. Lors de cette assemble, il est discut de la gestionde lentreprise pour laquelle les actionnaires sont responsables.Nous pouvons distinguer pour un actionnaire ses droits montaires de ses droits non montaires. Pour lespremiers, nous avons principalement :Le droit au dividende : le solde bnciaire des comptes annuels dune entreprise, gal aux recettes aux-quelles on soustrait les charges, est rparti entre les rserves de la socit, servant son autonancement,etlesdividendes,affectsauxactionnaires.Ceux-cisontvariablespuisquilsdpendentdesrsultatsdune rme. Ce dividende peut soit tre pay lactionnaire soit transform en actions nouvelles gratuites.Le payout ratio correspondant au ratio entre les dividendes et les bnces nets est variable suivant lessocits : celles de secteurs mtures vont distribuer des dividendes plus importants que celles de secteursen croissance, qui veulent crotre plus rapidement et allouer donc plus de capitaux linvestissement.Le droit sur lactif social : les actionnaires ont un droit proportionnel la quantit dactions quils pos-sdent sur le patrimoine de lentreprise, dduction faite des dettes2. Ainsi, lors dune augmentation decapital, les actionnaires ont une priorit sur les actions nouvellement mises.Pour les seconds, nous pouvons distinguer :Le droit linformation : ils ont accs tous les documents relatifs lactivit et aux rsultats de lasocit.Le droit de vote, permettant lors de lassemble gnrale annuelle de xer les dividendes, prendre desdcisions de gestion, dlibrer sur les comptes de la socit.Le droit dexerceren justice : les actionnairesmcontentsde la gouvernancede lentreprise peuventpoursuivre les administrateurs en justice. Prcisons que ces derniers, lus par les actionnaires lors delassemble gnrale, nomment le directeur gnral qui a en charge la gestion de la socit.valuation comptablePour valuer une action, nous avons tout dabord la valeur comptable simple, appele valeur boursire oude march :Action =Capitalisation BoursireNombre total dactions existantesCette valeur est value sur le march par les diffrents acteurs qui estiment la valeur de lactif net de larme.2Lors dune faillite, les actionnaires ne sont ddommags quaprs remboursement des cranciers qui sont prioritaires.14 Risques Financiers et Performance dInvestissementComment ces derniers estiment la valeur de la rme ? Le processus dvaluation peut tre modlis laidede la thorie de lefcience des marchs que nous dcrivons ici.Efcience des marchs nanciersLa thorie des marchs efcients a atteint son point dacm dans la recherche nancire autour des annes70. Cest au mme moment la prdominance de la thorie des anticipations rationnelles en conomie. Cettedernire est en partie ne de linsatisfaction croissante ressentie par de nombreux conomistes lgard desanticipations adaptatives dveloppes par Milton Friedman.En 1960, John Muth avance que la prvision des agents est "parfaite", sans tre forcment exacte ; elleest fonde sur des lois de probabilit effectivement suivies par les phnomnes tudis. Si des erreurs seproduisent, elles ne peuvent pas tre systmatiques car sinon les agents rationnels sen apercevraient etlintgreraient dans leurs calculs.Les anticipations rationnelles supposent lquilibre permanent et lautoralisation de la croyance des agents.Le concept dautoralisation signie que lagent reprsente lconomie sous la forme dun modle, ce der-nier tant lorigine dactions qui engendrent les situations quil dcrit. Ainsi, les croyances des agents, detype walrassiens, sont-elles considres comme un paramtre que se donne a priori le modlisateur.Robert Lucas introduit lhypothse des anticipations rationnelles au dbut des annes 70. Les grands cou-rants de pense conomique, les nouveaux classiques, les montaristes et quelques keynsiens ont adoptcette thorie.Cette revue rapide de la thorie conomique de cette priode est importante pour comprendre lengouementde lintroduction des mathmatiques (cest en effet ce moment aussi que Black et Scholes, en 1973 plusprcisment, font lhypothse que les volutions des prix des actifs suivent une marche alatoire) et desprvisions parfaites en thorie nancire, sur lesquelles se fonde la thorie de lefcience.En effet, lHypothse dEfcience des Marchs (HEM) nanciers nonce lide que les prix spculatifsdes actifs (comme les actions) incorporent toujours et sans friction la meilleure information des valeursfondamentales (prvision de bnces, etc.) et les volutions des prix ne sont dues qu des changementsdans cette information. Linformation peut prendre diffrentes formes (srie des prix passs, informationpublique ou prive), mais dans tous les cas, elle est entirement et instantanment intgre par les prix.Dans les annes 80 et 90, des doutes ont commenc poindre sur lhypothse defcience et les modles tra-ditionnels dvaluation des actifs, tels le Capital Asset Pricing Model (cf. section 1.2.2). Mais, les chantresde cette dernire avanaient et avancent toujours que cette thorie a certes, comme toute thorie, des hypo-thses restrictives mais elle permet dapprhender au mieux lunivers des marchs nanciers ; les carts cette thorie ne sont que des anomalies. Parmi ces anomalies, nous pouvons citer la prsence sur les marchsactions dautocorrlations positives et stables entre les rentabilits daujourdhui et celles du pass proche(phnomne de momentum), ainsi que des autocorrlations ngatives dans le long terme (phnomnes deretour la moyenne des prix).Fama [12], auteur dun modle plus rafn dvaluation des actifs dans le cadre de lefcience (modlede Fama-French [13], cf. section 1.2.2), nonce bien lenjeu : "Suivant la loi traditionnelle de la Science,lefcience des marchs peut tre seulement remplace par un meilleur modle". Et ce dernier doit satisfairedes critres rigoureux : "il doit spcier ce qui dans la psychologie de linvestisseur permet dexpliquersimultanment les causes de sous-raction certains types dvnements et de sur-raction dautres. [...]Et la thorie alternative doit avoir des hypothses rigoureusement dnies, elles-mmes potentiellementrejetables par des tests empiriques".Des auteurs sont ainsi parvenus llaboration de cadres thoriques o les anomalies de lefcience desmarchs y sont les fondements, comme les phnomnes de sous et sur-raction la diffusion de linforma-tion par exemple. Nous nallons pas les tudier ici mais utiliser leurs rsultats pour crer de la performancedans la section 3.3.Mesurer les risques nanciers 15Valeur fondamentale dune actionLHEM stipule que le prix observ dun titre nancier, quel quil soit, est gal sa valeur fondamentale,dnie comme le ux des revenus futurs actualiss auquel le titre donne droit. Ainsi, en supposant que lesdividendes intgrent toute linformation sur les fondamentaux conomiques du cours des actions, la valeurVi0du titre de la socit i est dnie par la somme actualise de ses ux futurs gnrs, les dividendes Dt,jusqu la n de sa vie (considre comme innie) :Vi0=+

t=1Dt(1 +rf+i)tavec rfle taux sans risque et ila prime de risque ncessite par la rme i : cette dernire est gale en fait la rentabilit de laction laquelle on soustrait le taux sans risque.Nous verrons dans la section 1.2.2 quelle peut tre explique par des facteurs de risque valus sur lemarch sur lequel est traite laction correspondante. Si lefcience des marchs est vrie, ces derniersexpliqueront totalement la prime de risque de laction et la valeur Vi0dnira le juste prix ou fair price delaction.En effet, si la prime de risque est intgralement explique par les facteurs de risque, le march lvaluera demanire juste. Dans le cas chant, la vraie prime de risque sera soit plus faible soit plus leve que celleprice par le march, ce qui signiera que la valeur fondamentale sera soit plus leve soit plus faible etdonc laction sera soit sous-value soit sur-value.Et dans ces cas, des possibilits darbitrage et de crer de la performance se prsenteront donc. Nous re-viendrons plus prcisment sur ces mcanismes darbitrage dans la suite du cours.Une prcision importante est faire sur ce point. Il faut en effet souligner que la prime de risque est quiva-lente (au taux sans risque prs) au cot issu de la dtention du capital. Ce cot est ex-ante, et donc pas encoreralis. Si le cot observ obsse rvle sur-valu par les acteurs du march par rapport au cot thoriqueth, alors il va diminuer pour tendre vers th, ce qui va faire augmenter la valeur de laction et donc la ren-tabilit ex-post. Le cot du capital sassimile donc (au taux sans risque prs) une prime de risque ex-anteet la rentabilit de laction (au taux sans risque prs) une prime de risque ex-post. Malheureusement, dansla pratique, les deux primes de risque sont confondues car le cot du capital ex-ante est difcile estimer(cf. modles facteurs de risque, section 1.2.2). On suppose donc que la rentabilit historique rvle aussile comportement futur du cot du capital. Si aujourdhui, la prime de risque ex-post est sur-value, le cotdu capital ex-ante appliqu pour lactualisation sera sur-valu, diminuera donc pour obtenir une rentabilitleve, ce qui est cohrent avec la prvision pralable dune prime de risque ex-post importante.Ratio nancier dvaluationPour apprcier lcart la valeur fondamentale, nous pouvons utiliser un ratio nancier dvaluation. Clas-siquement, il est utilis soit le Dividend-Price Ratio, soit le Price-Earning Ratio PER. Ce dernier va treprfr car le Dividend-Price Ratio est trs inuenc par les politiques nancires des entreprises (rachatdactions par exemple augmentant les dividendes distribus). Le PER dun actif nancier se dnit commele rapport du cours de lactif au bnce annuel quil rapporte. Il exprime donc le dlai de rcupration decet actif, cest--dire le nombre dannes de bnces sur lesquelles on valorise lactif. Le prix dun titresera alors le produit du PER avec les bnces. Cest un indice tout dabord danticipation de croissancedune socit : plus les anticipations de croissance forte sont leves, plus le PER sera important. Et, cestun indicateur de chert dune socit au sein dun mme secteur : en effet, une socit ayant un PER plusfaible que le PER moyen du mme secteur sera considre comme peu chre. Cest donc un indicateur devalorisation : nous pouvons alors savoir si le PER dune socit est lgitime ou non par rapport un PERjuste. Le processus des PER est souvent caractris par un phnomne de retour la moyenne.Modle de Gordon-ShapiroEnn, il faut remarquer quil est difcile de calculer un prix partir du modle dactualisation des di-videndes : effectivement, il se fonde sur des ux de revenus futurs alatoires et difciles estimer. Les16 Risques Financiers et Performance dInvestissementinvestisseurs doivent en consquences les anticiper sur la base des informations dont ils disposent. Le cal-cul de la valeur fondamentale va donc supposer des hypothses rductrices. Le modle le plus clbre estcelui de croissance perptuelle dni par Gordon et Shapiro en 1956.Ils supposent que le taux de croissance annuel des dividendesg est constant, ainsi que le cot des fondspropres, ou cost of equity CE de la socit,r. Ce dernier est la rentabilit minimum que les actionnairespensent pouvoir retirer de leur investissement dans laction de la socit. En outre, g< r pour viter que lavaleur de lentreprise soit innie. En consquence, nous avons :V0=+

t=1Dt(1 +r)t= D0+

t=1_1 +g1 +r_t= D01+g1+r1 1+g1+rconvergence dune srie gomtrique de raison |q| < 1= D01 +gr g=D1r gDaprs ce modle, laction a une valeur fondamentale dautant plus leve que la part du bnce distribuest importante et que le cot du capital est faible, toutes choses gales par ailleurs. Ce modle est nanmoinsirraliste : nous allons alors utiliser non plus des modles dvaluation partir de lactualisation des divi-dendes mais partir du cot du capital. Ce dernier rsume en effet lincertitude concernant la distributiondes dividendes : plus le cot des fonds propres est lev, plus lincertitude est importante et plus la valeurfondamentale est faible. Les nanciers vont alors sattacher apprcier si le march value sa juste valeurle CE, et plus prcisment la prime de risque de laction gale au CE auquel on soustrait le taux sans risque.Le problme de lvaluation de la valeur fondamentale dune action va se dplacer sur celui de lvaluationde la prime de risque.Conseil pratique de gestionCette introduction lvaluation du prix dune action donne quelques indications quantitatives pour g-rer un portefeuille actions en pratique : laide par exemple du PER, il est possible dacheter dans sonportefeuille des actions sous-values et de vendre des actions sur-values.Mesurer les risques nanciers 171.2.2 Modles facteurs de risqueLes modles facteurs vont permettre dvaluer la prime de risque dune action. La mesure du risque induitpar la possession dune action va alors se prciser.Capital Asset Pricing ModelLe Capital Asset Pricing Model (CAPM) ou Modle dquilibre des Actifs Financiers (MEDAF) a tdvelopp par Sharpe en 1964 [32], Lintner en 1965 [23] et Mossin en 1966 [27]. Les hypothses de cemodle sont les suivantes :1. les investisseurs exigent une rentabilit dautant plus forte que le risque est lev : il existe donc unerelation croissante entre rendement et risque,2. un actif sans risque est disponible,3. les anticipations sont identiques pour tous les investisseurs.Daprs ces hypothses, nous pouvons exprimer lesprance de la rentabilit Ri dun portefeuille ou dunactif risqu i en fonction de celle de lactif sans risque rf et de celle du portefeuille de march RM, qui estcelui que tous les investisseurs possdent :E(Ri) = rf+i[E(RM) rf] avec i=cov(Ri, RM)2(RM)avec (.) la volatilit de lactif correspondant et cov(.,.) la fonction covariance. Pour des raisons pdago-giques, nous nentrons pas dans la dmonstration de ce modle mais expliquons les consquences empi-riques et pratiques de cette modlisation de la prime de risque.Nous pouvons aussi rcrire ce modle de la manire suivante :i= E(Ri) rf= i[E(RM) rf] (1.1)pour faire apparatre la prime de risquei. Ainsi, plus les investisseurs seront exposs au portefeuille demarch, plus ils prendront de risque et plus leur rmunration conscutive potentielle sera thoriquementleve.Ce modle explique donc la prime de risque dun actif ou dun portefeuille dactifs i par sa sensibilit ipar rapport au portefeuille de march. Cette dernire dnote le caractre plus ou moins agressif dun actifrelativement au portefeuille de march. Ainsi, sii>1, lactif est dit "offensif", et sii 0, a pu battre son benchmark de rentabilit RB. Le ratio de Black-Treynoriipermet decomparer des investissements de benchmarks diffrents.2. Le ratio dinformation sapparente un ratio de Sharpe sur les rentabilit et risque rsiduels en excsdu benchmark : IRi=E(Ri) E(RB)(RiRB). Le dnominateur est appel tracking-error volatility et parabus de langage tracking-error ou TE : une valeur faible de la tracking-error signie que le risquede linvestissement est proche de celui de son benchmark. Lobjectif pour un grant benchmark estbien entendu davoir un IR lev, ce qui signie prendre des risques similaires au benchmark tout enayant une rentabilit plus leve. Tout le problme est de savoir si le benchmark est efcient : dans lecas contraire, le battre serait relativement ais !Ces diffrents ratios peuvent avoir des insufsances comme le fait dtre dpendants pour certains du CAPMdont nous avons vu les limites plus haut. Nanmoins, ils restent trs utiliss par les grants pour dterminerla performance de leurs investissements.34 Risques Financiers et Performance dInvestissementConseil pratique de gestionLe ratio de Sharpe et la ratio dinformation sont les mesures les plus utilises par les grants. Avoir unratio de Sharpe par exemple de 1 signie une performance du portefeuille importante.Cette partie sur le risque et la performance a ainsi pu dvelopper certaines techniques de style de gestion,et de mesure du risque et de la performance. A ce stade des connaissances, il est possible de grer unportefeuille de manire relativement efcace. Nanmoins, pour amliorer cette gestion, il va falloir porterun intrt non ngligeable la construction de lallocation.CHAPITRE 2ALLOCATION2.1 Allocation efciente de MarkowitzBernstein [5] afrme que "lintuition la plus clbre de lhistoire moderne de la nance et de linvestisse-ment se trouve dans un court article intitul Portfolio Selection". Cet article [25] est crit par Markowitz en1952. Il pose les bases de la Thorie Moderne du Portefeuille (cf. Aftalion, Poncet et Portait [1], Viviani[33], et Fabozzi, Focardi et Kolm [11] pour une revue de la TMP).Nous allons dans cette section tudier de manire assez quantitative mais claire, en donnant chaque foistoutes les tapes des dmonstrations mathmatiques, la construction de portefeuilles suivant les prceptesde Markowitz. Avant dentrer dans le calcul proprement dit de lallocation optimale, nous allons introduireles principes essentiels daversion au risque et de diversication.2.1.1 Critres de rentabilit et de risque pour la slection dun portefeuilleLa thorie de Markowitz est une thorie normative, cest--dire quelle dcrit le comportement que devraitsuivre sous certaines hypothses un investisseur rationnel pour construire un portefeuille dans un universincertain. Il conclut quun investisseur optimise le couple rentabilit-risque de son portefeuille.Pourtant, la premire intuition est de choisir un portefeuille dactifs qui a lesprance de rentabilit la plusleve : ce principe est appel le critre de Pascal. Une telle hypothse est en ralit trop simpliste car lerisque de perte dun portefeuille est primordial dans le choix de linvestisseur. Ceci a dj t introduit dansla section 1.3.2 sur les mesures de performance.Mais nous pouvons lillustrer aussi par le clbre paradoxe de Saint-Ptersbourg imagin par Bernoulli au18imesicle. Une pice non truque est lance autant de foisi quil est ncessaire pour que le ct faceapparaisse. Lorsque le ct face sort, le jeu sarrte et le joueur reoit 2ieuros. Quelle est la mise initialepour que le jeu soit quitable ? Si nous calculons ce droit dentre sur la seule esprance E de gain du jeu,alors la participation devient prohibitive puisquelle est innie.Eneffet, lejeuestcomposdunnombreinnidnombrabledegainsx =[2, 22, . . . , 2i, . . .]quiontles probabilits doccurrence correspondantes =_12,122, . . . ,12i, . . ._. Selon le critre de Pascal, le cotdentre serait gal lesprance de gain du jeu :E =+

i=1ixi=+

i=112i2i=+

i=11 = +Personne naccepterait de donner cette somme innie ! Or, le droit dentre la plupart du temps proposcejeuestunepetitesomme.Celasigniequedautresfacteurs,autrequelesprancederentabilit,interviennent dans la dcision du joueur.3536 AllocationNous avons recours alors la notion de fonction dutilit, intgrant la dcroissance de lutilit marginale(fonction dutilit concave) : 1000 euros de plus lorsque lon possde dj 1000 euros nest pas 2 fois plusutile au joueur et donc il ne sera pas prt sacrier en droit dentre la mme somme plus le jeu progressera.Laversion au risque est une notion essentielle pour comprendre la dcision du joueur.Ainsi, il en est de mme pour un investisseur qui slectionnera le portefeuille qui lui procurera lesprancedutilit la plus leve. Cette esprance dutilit sera une fonction de lesprance de rentabilit et du risqueinduit par le portefeuille.2.1.2 Principe de la diversicationLe principe de la diversication dans la slection dun portefeuille relve du vieil adage : "Ne jamais mettretous ses oeufs dans le mme panier". Un exemple simple mais rducteur des bienfaits de la diversicationpeut tre donn lorsque nous calculons la variance dun portefeuille compos dactifs indpendants. SoitRPla rentabilit dun portefeuille qui-pondr compos de N actifs risqus de rentabilit Ri non corrls.Nous avons RP=1NN

i=1Ri. La variance V(RP) du portefeuille, que nous utiliserons comme mesure durisque1, a pour expression daprs le Thorme Central Limite :V(RP) =1N2N

i=1V(Ri) =1N2N2=2N0 pour N +.Plus le nombre dactifs crot, plus la variance du portefeuille diminue. Le risque dcrot avec la diversica-tion. Nanmoins, dtenir un nombre inni dactifs non corrls est irraliste.Mais tant donn que leur corrlation nest souvent pas parfaite (cest--dire gale 1), il est possible dediminuer son risque en diversiant son investissement. En effet, soient X et Y2 variables alatoires dontle coefcient de corrlation linaire est (1 1). Si nous mesurons le risque par la volatilit, nousavons :2X+Y= 2X+2Y+ 2XY= (X+Y )2+ 2( 1)XYAinsi, X+Y X+ Y . Si les actifs varient trs diffremment suivant les volutions des marchs, il estpossible de construire un portefeuille de risque plus faible que la somme des risques des actifs le composant.Nous allons voir dans la suite comment dterminer le portefeuille optimal avec un nombre ni N dactifs partir de lesprance de rentabilit et du risque (critre moyenne-variance).2.1.3 Construction dun portefeuille optimalDans la multiplicit de choix proposs linvestisseur en termes de rentabilit et variance de portefeuille,Markowitzintroduitlanotiondeportefeuilleefcient. "Quinerisqueriennarien":pourobteniruneesprance de rentabilit plus leve, il faut accepter un risque plus important. Le risque est leffort ncessaire lobtention dune rentabilit. Un portefeuille efcient est celui qui offre la rentabilit attendue la plus fortepour un niveau de risque donn,ou qui a le risque le plus faible pour une rentabilit attendue donne.Lensemble des portefeuilles efcients de lunivers dactifs considr forme la Frontire Efciente.Nous allons distinguer deux cas pour dterminer la frontire efciente suivant la prsence ou non dunactif sans risque. Nous nous inspirons de larticle de Merton [26] de 1972 pour les dmonstrations qui vontsuivre.1Nous avons vu prcdemment que la variance ntait pas une bonne mesure des risques extrmes. Le dveloppement de slectionde portefeuille partir de la VaR est envisageable mais nest pas lobjet de cette section.Allocation efciente de Markowitz 37Avant tout voici quelques brefs rappels mathmatiques :V(AX) = AV(X)AV(A+X) = V(X)XAX= AXAXX= 2AX si A est symtrique(AB)= BAD= D si D est un scalaireAB= C A1AB= A1C B= A1C si A est inversibleAbsence dun actif sans risqueFrontire efcienteLa dtermination des poids optimaux se fait suivant la minimisation de la variance du portefeuille sous lacontrainte dune rentabilit objectif p et le fait que la somme des poids est gale 1. Formellement, nousavons :minsous les contraintes : = pe = 1avec le vecteur de poids des actifs composant le portefeuille, le vecteur des rentabilits des actifs, lamatrice de variance-covariance des rentabilits des actifs, symtrique et dnie positive2, et e = [1 1. . . 1].Rsoudre ce problme de minimisation nous permet de dnir lquation de la frontire efciente dniepar Markowitz. Nous dterminons pour cela le lagrangien :L = +1(p) +2(1 e)avec 1 et 2 les multiplicateurs de Lagrange. La condition doptimalit du premier ordre scrit :L= 2 1 2e = 0 =121 +221e (2.1)En combinant avec les 2 contraintes, nous avons :_ = pe = 1_ = pe = 1_11 +21e = 2p1e1 +2e1e = 2Nous posons les constantes suivantes :A = e1 = 1e, B= 1, et C= e1e.Le systme rsoudre en 1 et 2 devient :_1B +2A = 2p1A+2C = 2Nous obtenons nalement les expressions des multiplicateurs de Lagrange suivants :BC1A21= 2Cp2A 1= 2CpADA22BC2= 2Ap2B 2= 2B ApD2 est dnie positive signie que xRn,xx0 etxx=0x=0. Comme elle est en outre symtrique, nouspouvons rduire cette dnition au fait que toutes ses valeurs propres doivent tre strictement positives.38 Allocationavec D=BC A2. Enn, en substituant les expressions des multiplicateurs dans lquation (2.1), nousobtenons les poids du portefeuille de variance minimum p suivants :p= g +hpavec g=1D[B(1e) A(1)] et h =1D[C(1) A(1e)].Il est commode de reprsenter la frontire efciente, cest--dire lensemble des portefeuilles efcients,dans le plan (p, p) avec (cf. Figure 2.13) :p=_pp=_121+22e1_p=_12p +22ep=_12p +22=_ 1D_C2p2Ap +B_La partie de la frontire efciente situe en-dessous du point o lcart-type est minimum (correspondant,nous le verrons dans le paragraphe suivant, au portefeuille GMV) nest bien entendu pas optimale puisquilest possible dobtenir, pour un mme risque, une rentabilit plus leve.Portefeuille global de variance minimumOutre cette quation dnissant lensemble des portefeuilles efcients, nous pouvons dterminer le porte-feuille ayant la variance la plus faible. Nous lappelons le portefeuille global de variance minimum (GlobalMinimum Variance ou GMV). Il se calcule partir du programme doptimisation suivant :minsous la seule contrainte :e = 1Le lagrangien scrit alors :L = +(1 e)La premire condition doptimalit nous donne la relation suivante :L= 2 e = 0 =21e (2.2)En la combinant avec la contrainte, nous obtenons :2e1e = 1 =2CAinsi, nous avons les poids du portefeuille GMV g suivants :g=1C1eNous avons aussi les expressions de la rentabilit moyenne g et de lcart-type g du portefeuille GMVsuivantes :g= g=ACg=_gg=_1C3Les frontires efcientes de la Figure 2.1 sont dtermines laide dun cas particulier issu de loptimisation dun portefeuillecompos de 3 indices actions.Allocation efciente de Markowitz 39Prsence dun actif sans risqueFrontire efcienteAvec la prsence dun actif sans risque, la contrainte de somme des poids gale 1 nest plus ncessairepuisquil sera investi (1 e) dans lactif sans risque. Le programme doptimisation dterminant le porte-feuille de variance minimum avec comme rentabilit objectif p est dni de la manire suivante :minsous la contrainte : + (1 e)rf= pavec rfla rentabilit de lactif sans risque. Le lagrangien scrit :L = +(p (1 e)rf)Nous diffrencions L par rapport et annulons cette drive 0 :L= 2 ( rfe) = 0 =21( rfe) (2.3)En combinant avec la contrainte, nous avons : + (1 e)rf= p21( rfe) 2e1( rfe)rf= prf2=prf( rfe)1( rfe)Ainsi, nous avons daprs lquation (2.3) les poids du portefeuille de variance minimum p gaux :p=prf( rfe)1( rfe)1( rfe) = cp1( rfe)Et si nous dnissons les notations suivantes : = rfe,A = e1 ,B= 1 , nous obtenons :p= pB1 (2.4)avec cp= pB.Lcart-type de ce portefeuille a pour expression :p=_pp= 2pB=_ 1B| p|ce qui nous donne lquation de la frontire efciente. Nous remarquons que cette dernire est une droitecroissante lorsque p> rfet dcroissante lorsque p< rf. Ce second cas nest bien entendu pas optimalpuisque pour un mme risque, nous pouvons obtenir un rendement plus lev.La frontire efciente (cf. Figure 2.1) se rduit ainsi la tangente croissante la frontire efciente desactifs risqus et ayant pour origine le taux sans risque. Nous appelons cette droite la Capital Market Line.Nous pouvons observer que lintroduction de lactif sans risque amliore sensiblement le ratio de Sharpedes portefeuilles puisque pour un mme risque, il est possible dobtenir un rendement plus lev.40 AllocationPortefeuille tangentDans lensemble des portefeuilles efcients avec la prsence dun actif sans risque, il existe un portefeuilleuniquement compos dactifs risqus. Ce portefeuille est lintersection de la frontire efciente dtermineavec labsence dun actif sans risque avec celle dtermine prcdemment avec la prsence dun actif sansrisque. tant donn que cette dernire est une droite, le portefeuille compos uniquement dactifs risqus,appel portefeuille de march, est le portefeuille tangent. Nous ajoutons lquation (2.4) donc la contraintede somme des poids gale 1 pour obtenir lexpression de ses poids.Ainsi, ses poids q sont tels que :qe = 1 eq= 1 cqe1 = 1 cq=1AAinsi,q=1A1 Et lesprance de rentabilit en excs du taux sans risque et lcart-type du portefeuille tangent ont pourexpression : q= q=BAq=_qq=BA2Il est intressant de prciser pour conclure que ce portefeuille tangent est celui qui a le ratio de Sharpemaximum, parmi les portefeuilles composs uniquement dactifs risqus, gal :Sq= qq=_BEn effet, le portefeuille tangent appartient bien la droite la plus pentue, parmi celles issues de lorigine rfet coupant la frontire efciente des actifs risqus.0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.000.050.100.150.20EcarttypeEspranceGMVTangentRfSans actif sans risqueAvec actif sans risqueFIG. 2.1 Frontires efcientesAllocation efciente de Markowitz 41Frontire efciente avec un paramtre daversion au risqueIl est possible aussi de construire la frontire efciente des actifs risqus laide dune formulation diff-rente mais trs utilise en pratique. Nous allons alors tenter de maximiser lutilit dun investisseur rationnelqui sera caractris par un paramtre daversion au risque >04.Le portefeuille ainsi obtenu est le portefeuille optimal qui maximise lesprance de lutilit de linvestisseurE[U(W)] avecWla richesse de linvestisseur. Dans le cadre thorique de Markowitz, il est utilis unefonction dutilit quadratique. Maximiser cette fonction objectif revient maximiser, par rapport , lafonction doptimisation de moyenne-variance :maxE[U(W)]max_ 2_Nous remarquons que plus lindividu est averse au risque ( crot), plus le risque du portefeuille optimalpnalise son esprance de rentabilit : le portefeuille maximis est donc moins risqu. La maximisation sanscontraintes de cette fonction a pour solution les poids optimaux :=11 Cesdernierssontdterminslaidedelarsolutiondeloptimisationdunefonctionquadratiquequiannule la drive premire en et a une drive seconde ngative, ce qui implique sa maximisation.Le portefeuille tangent est dtermin pour une aversion au risque : =A = e1 .Descontraintespeuventtreajoutesetlespoidsoptimauxsonalorsobtenuslaidedemthodesdemaximisation numriques de lutilit. Des exemples de contraintes sont linterdiction de vente dcouvert,les poids ne peuvent alors pas tre ngatifs, ou encore limpossibilit de recourir leffet de levier, cest--dire que linvestissement est auto-nanc et le poids dans lactif sans risque ne doit donc pas tre ngatif(pas demprunt).Limites de loptimisation de MarkowitzNous allons prsenter 4 limites loptimisation de portefeuille suivant Markowitz qui nous semblent essen-tielles :1. La premire concerne la modlisation statistique sous-jacente loptimisation moyenne-variance :effectivement, rduire les actifs leur moments dordre 1 (moyenne) et 2 (variance) revient mod-liser les actifs du portefeuille optimal par une loi gaussienne. Or certains actifs ne sont pas gaussienset peuvent avoir des prols de distribution trs diffrents : loptimisation de Markowitz fournira alorsdes rsultats peu cohrents avec la ralit. Nous pensons aux actions risques mais aussi aux titres decrances qui devraient tre modlises plus prcisment.2. La deuxime est la dpendance de loptimisation de Markowitz lestimation des rendements moyens.Ces rendements estims pour une priode dallocation peuvent voluer court-terme : or un change-ment trs faible de la moyenne des rendements aura des consquences dmesurment importantes surlallocation, ce qui semble ennuyeux dans la pratique. Loptimisation est donc relativement instable.3. La troisime survient lorsque le nombre dactifs prols similaires est trs importants. Alors la ca-ractristique dnie positive de la matrice de variance-covariance peut tre mise mal. Des mthodesdextraction de facteurs communs (ACP) ou de shrinkage peuvent alors dterminer une matrice devariance-covariance plus facile utiliser. LAPT (section 1.2.2) peut ainsi tre utilise pour dter-miner les facteurs latents et calculer une matrice de variance-covariance sur ces facteurs de risqueorthogonaux.4La calibration de cette aversion nest pas vidente. Elle diffre fortement entre les individus. Nous pouvons nanmoins dterminerun coefcient moyen. Considrons le portefeuille de march de rentabilit en excs du taux sans risque RMrfet de volatilit M.Alors, nous dnissons =RMrf2M.42 Allocation4. La dernire limite est oprationnelle : en effet, les optimisations tudies prcdemment donnent dessolutions simples mais dans la ralit les contraintes sur les poids sont plus nombreuses et rendentloptimisation difcile. En effet, rgulirement, un investisseur peut vouloir mettre des limites dachatou de vente sur certaines classes dactifs (on peut penser par exemple aux actions des pays mergentsqui sont plus risques et dont on peut vouloir limiter lallocation). Les contraintes vont alors inuencerfortement les allocations qui ne seront alors plus si optimales que prvues...Nous allons prsenter dans la suite deux mthodes dallocation innovantes permettant de dpasser ces li-mites de loptimisation de Markowitz.Lapremirevapermettredviterladeuximelimitededpendancedelallocationlestimationdesrendements moyens : Black et Litterman ont ainsi propos une modlisation plus robuste lestimation desrendements, que nous prsentons en section 2.2.La deuxime mthode est une mthode probabiliste dont nous allons prsenter succinctement les enjeux ensection 2.3. Nous pourrons alors amliorer loptimisation en ralisant des simulations Monte Carlo laidede modlisations des actifs du portefeuille optimiser plus adquates que la loi gaussienne.Conseil pratique de gestionLa mthodologie de Markowitz, dans des conditions de normalit des actifs, permet au grant de xer lespoids de son portefeuille selon la contrainte quil sest xe dobjectif de rentabilit par exemple. Ainsi, ilest possible de combiner les connaissances pratiques de la premire partie avec lallocation efciente deMarkowitz : dans la gestion stylise par exemple dactions dfensives, nous allons pouvoir dterminer lespoids optimaux entre toutes les actions ayant un infrieurs 1 qui ont t slectionnes. Cette allocationque lon appelle stratgique, dtermine sur un horizon de moyen-terme, sera certainement ajuste suivantles conditions de march : ce sera lallocation tactique, dont nous allons prsenter un outil quantitatif dansla section suivante.Allocation tactique Black-Litterman 432.2 Allocation tactique Black-LittermanTout dabord, dnissons lallocation tactique relativement lallocation stratgique. La diffrence entreces deux types dallocation est dordre temporel. Plus prcisment, lallocation stratgique va tre dniepour un horizon de temps relativement long (1 3 ans) et lallocation tactique pour un horizon plus court (1 3 mois). Cette dernire sera donc un ajustement de lallocation stratgique aux conditions conjoncturellesdu march.LoptimisationdeMarkowitztanttrssensibleauxvolutionsmmesfaiblesdesestimationsdesren-dementsmoyens, BlacketLittermanontproposuneversionplusrobustedeloptimisationmoyenne-variance.2.2.1 Principe gnralBlacket Littermanont dveloppen1990unmodledallocationquantitatifexiblesurlequel nouspouvons affecter des vues de sur ou sous-valuation sur les actifs. Les poids optimaux qui en ressortentconjuguent donc le portefeuille stratgique original (considr comme portefeuille dquilibre) et le porte-feuille issu des vues.Lapproche Black-Litterman dallocation tactique est intressante diffrents niveaux :1. cest une approche originale, exible et scientiquement robuste dallocation tactique, qui conjugueportefeuille stratgique et vues tactiques.2. il est possible de la complter par des contraintes propres au processus dallocation tactique.Les inputs principaux ncessaires la dtermination du portefeuille tactique sont les vues (issues des cono-mistes ou de modles quantitatifs de prvision) sur les actifs composant le portefeuille stratgique ainsi quelallocation stratgique du portefeuille. A partir de cette dernire, nous calculons les rentabilits implicites correspondantes, en excs du taux sans risque : = avec le paramtre daversion au risque, la matrice de variance-covariance des actifs, et les allocationsstratgiques du portefeuille.Les vues que nous obtenons sur les diffrents actifs vont faire dvier les rentabilits implicites dans le sensappropri. Ceci dtermine alors ce que nous appelons les rentabilits mixtes de Black-Litterman, qui ontpour expression5: =_()1+P1P1_()1 +P1PQ =AA+B +BA+BQest un paramtre de conance dans les vues : plus est faible, plus nous aurons conance dans le por-tefeuille stratgique et moins dans les vues. La matrice Pdtermine la prsence dune vue sur un actif etnous dcidons de la dnir comme une matrice identit : nous faisons donc lhypothse que nous avonspour chaque actif une vue, et que cette dernire peut-tre neutre. contient les incertitudes attaches auxnotes (homogne la variance de lactif) etQ les rentabilits espres des vues. Les rentabilits mixtesrsultent ainsi dune moyenne pondre entre les rentabilits dquilibre et celles associes aux vues Q.Cest partir de ces esprances de rentabilits que nous dterminons un portefeuille optimis, sous diff-rentes contraintes. Le fait de pondrer le portefeuille stratgique et le portefeuille issu des vues permet derendre plus robustes les allocations dtermines, que nous contrlons alors plus prcisment, relativement linstabilit de loptimisation de Markowitz.Les poidstactiques se dduisent de loptimisation de la fonction dutilit quadratiqueUdont nousrappelons lexpression :U(W) = 25Nous ne donnons pas ici la dmonstration de ce calcul qui peut tre dtermin partir par exemple dune application des MoindresCarrs Gnraliss (cf. [11]).44 Allocation2.2.2 Mise en place pratiqueParamtre daversion au risqueNous pouvons calibrer le paramtre daversion au risque partir de la formulation suivante := Paramtre de conance dans les vuesLe paramtre de conance des vues est appliqu la matrice de variance-covariance des actifs risqus.Les rentabilits mixtes sont distribues autour des rentabilits implicites dquilibre avec une matricede variance-covariance proportionnelle la matrice de variance-covariance initiale . Le facteur de propor-tionnalit est . Plus est faible, plus nous aurons conance dans lallocation stratgique et non dans lesvues. Dans le cas particulier o =0, les rentabilits espres ne sont plus alatoires et sont gales auxrentabilits implicites : = .Nous calibrons ce paramtre en recherchant un compromis entre lincertitude des vues et celle du march,donc entre et :=tr()ePPeNous conseillons nanmoins dajuster ce paramtre de conance entre 5% et 10%.Obtenir les rentabilits des vues partir de notesIl peut arriver que les vues associes chaque actifi ne soient pas sous la forme dune rentabilit maisdune note ni {2; 1; 0; +1; +2}.Il faut alors transformer les notes des vues sur les actifs en rentabilits pour obtenir le vecteur Q. Pour cela,nous dterminons une relation linaire entre la rentabilit de la vue Qi et celle implicite i de la maniresuivante :Qi= i +nii avec un facteur multiplicatif correspondant la probabilit derreur de dispersion des rentabilits parrapport lincertitude associe la vue quantie par nii. Nous xons souvent entre 0.3 et 0.5.La contrainte de risque btaIl est possible dajouter des contraintes loptimisation tactique. Une des contraintes que nous privilgionsdanscecoursestcelledobtenirunbtasimilaireentrelallocationstratgiqueetlallocationtactique,cest--dire la mme exposition au facteur de march, ce qui est assez usit dans la pratique.Nous dnissons alors le bta BLsuivant :BL=Rappelons que sont les poids de lallocation tactique et les poids de lallocation stratgique. Et nouscalculons les nouveaux poids pour lesquels BL= 1.Conseil pratique de gestionLa mthodologie de Black et Litterman permet de proposer un outil dallocation tactique quantitatif trsutile et pouvant fortement aid la dcision de gestion dun portefeuille. Il sera ainsi possible de faire d-vier les allocations stratgiques suivant les vues du grant (aid dun conomiste ou dun modle conom-trique) partir dun modle quantitatif robuste et pouvant intgrer des contraintes de gestion intressantescomme une exposition similaire au facteur de march.Allocation dun portefeuille par simulations Monte Carlo 452.3 Allocation dun portefeuille par simulations Monte CarloLallocation optimale de Markowitz rduit les actifs, composant le portefeuille, ses deux premiers mo-ments statistiques. Or les actifs nanciers peuvent avoir des prols de distribution trs diffrents de la loigaussienne et donc ne pas tre rduits leurs deux premiers moments. Lutilisation de simulations MonteCarlo va permettre dajouter de la exibilit dans la modlisation des actifs et amliorer leur prcision.Cette approche peut avoir de nombreuses applications et peut proposer une multitude de modlisations desactifs ainsi que de leur dpendance6. Nous allons cependant nous concentrer sur une application simplemais pdagogiquement intressante et qui pourra tre dveloppe souhait.Un atout supplmentaire de cette approche par simulations Monte Carlo est la slection de portefeuillesoptimaux laide dindicateurs de risque plus prcis comme la VaR tudie dans la section 1.2.3.2.3.1 Principe de lallocation Monte CarloLeprincipedelallocationMonteCarloestrelativementsimpleetconcret. Nousdiffusonsdemanirestochastique les probables trajectoires des diffrents actifs nanciers composant le portefeuille dans le fu-tur. Cela demande des prvisions sur les actifs mais aussi des modlisations probabilistes prcises. Nousconstruisons alorsNtrajectoires simules dun portefeuille dont nous avons x les poids au pralable.Puis nous dterminons certains indicateurs (rentabilit, volatilit, VaR, ratio de Sharpe, etc.) sur chaquetrajectoire simule du portefeuille et nous en calculons la moyenne. Nous diffusons pour un autre porte-feuille poids xs ses Ntrajectoires simules partir desquelles nous calculons nouveau la moyennedes indicateurs. Nous ralisons cela pour plusieurs portefeuilles, suivant nos contraintes dallocation, etnous dterminons au nal le portefeuille ayant par exemple la meilleure moyenne de ratios de Sharpe.Pour dcider quel sera le meilleur portefeuille, nous avons donc dtermin la moyenne, sur les multiplestrajectoires du portefeuille, de diffrents indicateurs de risque et de performance. Ces moyennes ont en faitdes proprits intressantes : en effet, elles convergent vers les vraies moyennes (Loi des Grands Nombres)et les erreurs sont asymptotiquement gaussiennes (Thorme Central Limite).Nous allons nous concentrer dans la suite sur lallocation Monte Carlo pour un portefeuille diversi simplecontenant un indice actions, un indice obligataire et un indice montaire. Nous prsentons donc dans ce quisuit une modlisation possible pour chacun de ces trois actifs.2.3.2 Modlisations probabilistesNous allons dans ce paragraphe proposer des modlisations probabilistes simples et fondamentales pourles 3 actifs nanciers suivants : action, obligation et taux montaire ; ainsi quune mthode classique decalibration des paramtres des modles : le Maximum de Vraisemblance.Indice actionsModleDaprs les rsultats noncs prcdemment, la caractre gaussien peut tre rejet pour les actions mais nesemble tout de mme pas absurde tant donn le prol de distribution dun indice actions (cf. Figure 1.5pour le CAC 40). Certes, il serait ncessaire dutiliser des modles plus prcis mais la loi gaussienne sembletout de mme un bon arbitrage entre ladquation aux rentabilits dun indice actions et la simplicit de samodlisation.Nous allons donc utiliser comme modle probabiliste le mouvement Brownien gomtrique de type Blacket Scholes (moyenne et volatilit constantes). Son quation diffrentielle stochastique (EDS) scrit de lamanire suivante :dSt= St(dt +dWt) (2.5)6Nous pouvons en effet modliser la dpendance, parfois extrme, entre les actifs par des outils probabilistes complexes et robustes :les copules.46 Allocationavec la moyenne etla volatilit des rentabilits de lindice actions, etWtun mouvement Brownienstandard.La ralisation pratique de simulations ncessite la discrtisation de ce processus. Pour simuler une trajec-toire, nous utilisons la discrtisation exacte suivante :St+t= St exp__ 22_t +t_avec t le pas de temps de discrtisation retenu et une variable alatoire de loi normale centre rduite.NouspouvonsaussiutiliserunediscrtisationapproximativelaidedunschmadEuler. LeschmadEuler scrit alors :St+t=St(1 +t +t)avecS la discrtisation approximative de lindice actions.Concrtement, nous gnrons des nombres alatoires tire dune loi Normale centre rduite et partir deces derniers, nous appliquons la formule de discrtisation pour obtenir un chemin particulier de lindiceactions. Il nous faut maintenant estimer les valeurs et .CalibrationNous utilisons la mthode du Maximum de Vraisemblance.Tout dabord rappelons que les rentabilits Rt|t+t=St+tSt1 de lindice actions suivent la loi Normalesuivante :Rt|t+t N__ 22_t ; 2t_La log-vraisemblance scrit alors :lt(Rt|t+t ; , ) = 12_ln(2) + ln S2+_Rt|t+tM_2S2_1 t Tavec Tlhorizon de lchantillon de donnes, S2= 2t et M=_ 22_t.La log-vraisemblance peut tre considre comme la probabilit dobservation de lchantillon. Lestima-tion va alors avoir pour objectif la maximisation de cette probabilit dobservation : en effet, puisque nousavons observ lchantillon, cest que sa probabilit dapparition est forte. Nous pouvons estimer alors levecteur des paramtres =(, )par Maximum de Vraisemblance. Lestimateur du Maximum de Vrai-semblance se dnit comme : = argmaxT

t=1lt()Nous obtenons les estimateurs suivants :M =1TT

t=1Rt|t+tS2=1TT

t=1_Rt|t+tM_2Allocation dun portefeuille par simulations Monte Carlo 47Modlisation de lindice obligataireAvant tout dnissons une obligation pour comprendre les enjeux de la modlisation qui suivra.Dnition dune obligationLes obligations sont des titres de dette pour les entreprises et de crances pour les souscripteurs. Les obliga-tions sont mises sur un march primaire un taux xe gnralement et ngocies sur un march secondaireavec un prix voluant en fonction des taux mis sur le march primaire. La socit sengage rembourser lecapital emprunt une chance dtermine et verser un intrt annuel. Les droits sont donc moins levsque pour les actions mais les cranciers seront prioritaires lors du remboursement suite un dfaut de lasocit.Lobligation est caractrise par neuf lments :1. la valeur nominale ou faciale Vdnie lmission et partir de laquelle sont calculs les intrtsou coupons verss,2. la maturit T, dnissant la date de remboursement de lemprunt obligataire,3. la valeur dmission qui peut tre gale la valeur nominale, lmission est alors au pair, ou en-dessous caractrisant une prime lmission,4. la valeur de remboursement, gal ou suprieur la valeur nominale, et dans ce dernier cas, il existedonc une prime de remboursement,5. le coupon C, dnissant le montant des intrts verss,6. le taux nominal ou facial, il dnit la valeur du coupon et donc le revenu de lobligation. Il peut trexe ou variable,7. le taux de rendement actuarielrt, dnissant le rendement rel suite aux variations de taux sur lemarch secondaire au temps t,8. la date de jouissance : date partir de laquelle les intrts son calculs,9. la date de rglement : date laquelle lemprunt est liquid.La valorisation Vt dune obligation en t va tre gale la somme actualise de ses ux futurs Fcompossdes coupons et du remboursement nal :Vt=T

=t+1F(1 +rt)t=T1

=t+1C(1 +rt)t+V(1 +rt)TtLa valeur de lobligation va voluer de manire oppose celle du taux de rendement actuariel : si lestauxmontent(baissent), lavaleurdelobligationsurlemarchsecondairevadiminuer(monter). Pourquantier cette sensibilit de la valeur de lobligation la variation des taux, nous allons utiliser un conceptfondamental : la duration.La duration a t introduite par Macaulay en 1938 qui cherchait comparer lvolution des taux longs aveccelle des taux courts. Rduire la diffrence entre ces taux la maturit ne lui semblait pas adquat car ctaitrduire la dure de lchancier son dernier ux. Par exemple, la dure dun zro-coupon de maturit 10ans est simple estimer puisque donnant lieu un ux unique, la dure de lchancier est 10 ans. Or pourune obligation de mme maturit mais donnant droit un coupon annuel, ceci ne semble pas tre juste :puisque des remboursements sont faits avant la maturit, la duration de lchancier des ux nanciersdevra tre infrieure celle du zro-coupon. Macaulay va alors pondrer les diffrentes maturits des uxnanciers de lobligation pour dterminer la duration. Hicks en 1946 va exprimer cette dernire en fonctionde la sensibilit dun titre obligataire au taux de rendement actuariel. Nous obtenons lexpression suivantede la sensibilit S de la valeur de lobligation Vau taux r, en t = 0, en drivant la variation relative de cettevaleur Vconscutive la variation du taux r :S=dVV1dr= 11 +rT

=1FV (1 +r) = 11 +rT

=1 = D1 +r48 AllocationNous obtenons ainsi lexpression de la duration D comme une moyenne pondre des maturits des uxnanciers. La somme des poids est bien gale 1.La duration peut enn tre vue comme la dure de vie moyenne actuarielle dun titre obligataire. A la n decette dure de vie moyenne, et sous lhypothse dune structure par termes plate et ne pouvant se dformerque paralllement, linvestisseur est immunis contre la variation de taux : le rendement de lobligation est partir de cette date au minimum gal au rendement actuariel initial. Ceci sexplique par la compensationavec le temps de la dvalorisation de lobligation, par exemple, cause de la hausse des taux, par le place-ment des taux plus levs des coupons rcuprs.La duration fait lhypothse sous-jacente que tous les taux ayant des maturits diffrentes voluent de ma-nire uniforme. Or la structure par termes des taux rvle que sa dformation nest pas seulement uniformemais intgre deux autres facteurs dvolution : un facteur de pentication de la courbe de la structure partermes, ainsi quun facteur de courbure. Ltude des co-mouvements de la structure par termes laide parexemple dune Analyse en Composantes Principales met en exergue ces deux autres facteurs de dforma-tion et permet damliorer la gestion du risque de taux.ModleNous pouvons maintenant proposer une modlisation adquate. En fait, nous pouvons dnir la rentabilitdun indice obligataire, investissant dans une obligation de duration D, comme laddition de la capitalisationdes coupons perus et de la variation de la valorisation de lobligation suivant celle des taux. Un indiceobligataire Ot de duration D a donc pour diffusion discrte7:Ot+t= Ot__1 +rlongt_tD1 +rlongt_rlongt+trlongt__avec rlongtle taux long gal :rlongt= spt +rcourttavec spt le spread ou cart entre le taux long et le taux court.Il va falloir alors sintresser la modlisation de ce spread. Sur la Figure 2.2, nous pouvons observer quele prol dun spread semble intgrer un phnomne de retour la moyenne. Nous allons donc proposer unemodlisation correspondant ce phnomne via un processus de Vasicek qui suit lEDS suivante :dspt= k( spt)dt +dWtavec k la force de rappel, la moyenne de long terme des spreads vers laquelle ils tendent, la volatilitdes spreads et Wt un mouvement Brownien standard.Il existe une discrtisation exacte qui est :spt+t= sptekt+(1 ekt) +_1 e2kt2kavec un nombre alatoire issu dune loi normale centre rduite.La discrtisation dtermine par le schma dEuler scrit : spt+t= spt +k( spt)t +t7Nous avons utilis la discrtisation capitalise du taux et non son approximation :rlongtt_1 + rlongt_t 1 avecrlongtletaux en base annuelle dni classiquement sur les marchs nanciers.Allocation dun portefeuille par simulations Monte Carlo 49 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 199619982000200220042006Spread en %FIG. 2.2 Spread entre lindice taux composite corporate 10 ans US et le zro-coupon 3 mois US entreavril 1996 et juin 2007Enn, il est ncessaire de corrler les indices actions et obligataire. Pour cela, nous allons simuler les rsidus (dni prcdemment pour les actions) et de la faon suivante := +_1 2zavec le coefcient de corrlation linaire entre les rentabilits de lindice actions et celles de lindiceobligataire, et z une ralisation dune loi normale centre rduite indpendante8.CalibrationPour calibrer le processus de Vasicek des spreads, observons que :spt N__1 ekdt_+ekdtspt1;22k_1 e2kdt__Le caractre gaussien explique le fait que le modle de Vasicek soit trs rpandu, car plus simple manipu-ler.Ainsi, nouspouvonsdterminerlalog-vraisemblancedelchantillondtude, tantdonnquechaqueobservation de la srie temporelle des spreads est issue de la loi Normale prcdemment dcrite. Elle scrit :lt(sp ; k, , ) = 12_ln(2) + ln S2+(spt+1M)2S2_1 t T 1avec S2=22k_1 e2kt_, M= _1 ekt_+ektspt.Nous pouvons estimer alors le vecteur des paramtres =(k, , )par Maximum de Vraisemblance.Lestimateur du Maximum de Vraisemblance se dnit comme : = argmaxT1

t=1lt()8Cettefaondecorrleraenfaitpourhypothsesous-jacentelamodlisationdelastructurededpendanceentreactionsetobligations par une copule gaussienne.50 AllocationLes expressions exactes des estimateurs sen dduisent, avec = ekt(cf. Brigo et Mercurio [7]) : =(T 1)T1

t=1sptspt1T1

t=1sptT1

t=1spt1(T 1)T1

t=1sp2t _T1

t=1spt1_2 =1(T 1)(1 )T1

t=1(spt spt1)S2=1T 1T1

t=1[spt spt1 (1 )]2Il est possible aussi de les dterminer par des mthodes numriques doptimisation de la log-vraisemblance.Modlisation de lindice montaireNous appelons indice montaire un indice capitalisant un taux de courte maturitrcourtt. Ce dernier est la