cours_MATH_SF h

8/12/2019 cours_MATH_SF h

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Ecole suprieure de TechnologieEcole suprieure de TechnologieDpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie ElectriqueEcole suprieure de TechnologieEcole suprieure de Technologie

Dpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie Electrique

COURS DE MATHEMATIQUESCOURS DE MATHEMATIQUES

KHALID SBAIKHALID SBAI

KhalidKhalid SBAISBAI COURSCOURS DEDE MATHEMATIQUEMATHEMATIQUE APPLIQUEESAPPLIQUEES

Ecole Suprieure de TechnologieEcole Suprieure de TechnologieDpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie Electrique

[email protected]@yahoo.fr

Universit Moulay IsmalUniversit Moulay Ismal

EnseignantEnseignant ChercheurChercheur


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CHAPITRE IVCHAPITRE IV



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DeuxDeux typestypes dede reprsentationreprsentation :: domainedomaine temporeltemporel

domainedomaine frquentielfrquentiel == spectrespectre dudu signalsignal

I. INTRODUCTIONI. INTRODUCTION

UneUne reprsentation frquentiellereprsentation frquentielle de l'information est souventde l'information est souvent+ facile interprter que la reprsentation temporelle+ facile interprter que la reprsentation temporelle


es repr sen a ons un s gna armon queses repr sen a ons un s gna armon ques

reprsentationreprsentation frquentiellefrquentielle unun signalsignal deuxdeux harmoniquesharmoniques::

ff11==10001000Hz,Hz, ff22==15001500HzHz


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LaLa transformetransforme dede FourierFourier estest loprationlopration mathmatiquemathmatique quiqui vavanousnous permettrepermettre dede passerpasser dede lespacelespace TempsTemps (t)(t) lespacelespace frquencefrquence

(( ouou f)f).. CeciCeci pourpour nimportenimporte quelquel signalsignal..x(t)x(t) X(X())

II. DEFINITION: Transforme de FourierII. DEFINITION: Transforme de Fourier

T.F


empsemps r quencesr quencesPour tout signal x(t) nergie finie, on dfinit alors la transformePour tout signal x(t) nergie finie, on dfinit alors la transformede Fourier de x, note X(de Fourier de x, note X() ou TF[x(t)], par :) ou TF[x(t)], par :

[ ]( ) ( ) ( ) exp( .2 . )X TF x t x t j t dt

= = o jo j22 == --1.1.

X(X() indique la "quantit" de frquence) indique la "quantit" de frquence prsente dans le signalprsente dans le signalx(t) sur l'intervalle ]x(t) sur l'intervalle ] --, + [ . X(, + [ . X() donne des informations) donne des informations

frquentielles sur x(t).frquentielles sur x(t).


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LeLe spectrespectre d'und'un signalsignal x(t)x(t) estest constituconstitu parpar lele tractrac dede X(X()) enenfonctionfonction dede lala frquencefrquence.. C'estC'est unun spectrespectre continucontinu dansdans lele senssens ooilil estest dfinidfini pourpour toutestoutes lesles valeursvaleurs dede .. EnEn gnralgnral X(X()) estest

complexe,complexe, onon peutpeut l'exprimerl'exprimer soussous lala formeforme ::

II.1 Reprsentation Spectrale :II.1 Reprsentation Spectrale :

( )( ) ( ) jX X e =


spectrespectre damplitudedamplitude (quon(quon appelleappelle

spectrespectre parpar abusabus dede langage)langage)::( ) ( )S X =

spectre de phase dfini :spectre de phase dfini :

( ) arg( ( ))X =

Le spectre est alors constitu d'un:Le spectre est alors constitu d'un:

Im ( ( ) )( ) a r

R e ( ( ) )

Xc t g

X

=

ou

,,dans le domaine frquentiel, de .dans le domaine frquentiel, de .


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Les catgories de spectresLes catgories de spectres

DesDes spectresspectres oo lesles composantescomposantes sontsont trstrs nettementnettement sparesspares:: cecesontsont desdes spectresspectres dede raiesraies caractristiquescaractristiques desdes signauxsignaux

priodiquespriodiques.. DesDes spectresspectres oo lesles raiesraies sontsont infinimentinfiniment voisinesvoisines lesles unesunes desdes

autresautres cece quiqui donnedonne desdes bandesbandes dede frquences,frquences, cestcest lele cascas lele plusplus

Nous trouvons deux grandes catgories de spectres :Nous trouvons deux grandes catgories de spectres :


..

Un spectre de "Raie"Un spectre de "Raie"

Frquence en (Hz)Frquence en (Hz)

Un spectre de BandesUn spectre de Bandes

Frquence en (Hz)Frquence en (Hz)


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Le signal x(t) est bande limite si :Le signal x(t) est bande limite si :

II.2 Remarques :II.2 Remarques :

max max, ( ) 0tel que X pour = > = > = > = >

Condition d'existence :Condition d'existence :

Pour qu'un signal x(t) possde une transforme dePour qu'un signal x(t) possde une transforme de


Four er l aut et l su t que:Four er l aut et l su t que: x(t) soit borne.x(t) soit borne.

les discontinuits de x(t) soient en nombre fini.les discontinuits de x(t) soient en nombre fini.

( )x t dt++++

< < < <

Une grande partie des signaux tudis rpondent ces conditions.Une grande partie des signaux tudis rpondent ces conditions.

Ceci est d, en partie, au fait quils sont observs sur une dure finie.Ceci est d, en partie, au fait quils sont observs sur une dure finie.


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II.3 Cas particuliers:1.1. Pour x est paire on aPour x est paire on a::

Or les fonctions t x(t) cos(Or les fonctions t x(t) cos(22tt) et t x(t) sin() et t x(t) sin(22tt) sont) sontrespectivement paire et impaire . Donc:respectivement paire et impaire . Donc:

[ ]( ( ))( ) ( ) cos(2 ) ( ) sin(2 )TF x t x t t jx t t dt

=


Donc:Donc: Si x(t) est paire , TF(x(t))(Si x(t) est paire , TF(x(t))() est un nombre rel et) est un nombre rel et

0cos cosx x

=s nx t t t

=et

0

( ( ))( ) 2 ( ) co s ( 2 )T F x t x t t d t

=

La TF dun signal rel etLa TF dun signal rel et

pair est relle et pairepair est relle et paire

2. Si x est impaire alors on a de la mme faon:2. Si x est impaire alors on a de la mme faon:

0( ( ))( ) 2 ( ) s in ( 2 )T F x t j x t t d t

=

La TF dun signal rel etLa TF dun signal rel etimpair est imaginaire etimpair est imaginaire etimpaireimpaire


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III. DEFINITION: Transforme de Fourier inverseIII. DEFINITION: Transforme de Fourier inverseDeDe mme,mme, pourpour touttout signalsignal x(t)x(t) nergienergie finie,finie, lala relationrelationdonnantdonnant lala transformetransforme dede FourierFourier dede xx estest inversibleinversible etet elleelle estestdfinitdfinit parpar::

( ) ( ) exp( .2 . )x t X j t d

=


L op rat onL op rat on correspondantecorrespondante estest appel eappel e trans ormat ontrans ormat on dedeFourierFourier inverseinverse:: elleelle permetpermet dede revenirrevenir auau signalsignal temporeltemporel xx partirpartir dede sonson contenucontenu frquentielfrquentiel..

Ces deux dfinitions permettent de disposer de deux manires pourCes deux dfinitions permettent de disposer de deux manires pourreprsenter un signal:reprsenter un signal:

soit par sa reprsentation temporelle ;soit par sa reprsentation temporelle ;

soit par sa reprsentation frquentielle.soit par sa reprsentation frquentielle.

Remarque:Remarque:


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Inversion de Dirichlet :Inversion de Dirichlet :LesLes conditionsconditions dede DirichletDirichlet reprsententreprsentent uneune gnralisationgnralisation dedelala transformetransforme dede FourierFourier inverseinverse pourpour prendreprendre enen comptecompte lesles

discontinuitsdiscontinuits dundun signalsignal nergienergie finiefinie ..

PourPour unun signalsignal nergienergie finiefinie onon aa ::


( )1 ( ) ( )TF X x t =

Pour un point o x(t) est continue on aura bien :Pour un point o x(t) est continue on aura bien :

Pour une discontinuit de premire espce en t=tPour une discontinuit de premire espce en t=t00 ::

( )1 0 01

( ) ( ) ( )

2

TF X x t x t + = +


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IV. PROPRITSIV. PROPRITSIV.1 LinaritIV.1 LinaritLaLa transformationtransformation dede FourierFourier estest uneune transformationtransformation linairelinaire..

Si:Si: ( ) ( )x t X

( ) ( )y t Y


AlorsAlors etet CC..

( ) ( ) ( ) ( )x t y t X Y + +

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )TF x t y t TF x t TF y t + = +

[ ] [ ]( ) ( )TF x t TF y t = +


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IV.2 Translation temporelleIV.2 Translation temporelle--Thorme du retardThorme du retardSoit tSoit t00 un rel et calculons TF[x(tun rel et calculons TF[x(t -- tt00)].)].x(tx(t--tt00) est le signal x retard de t) est le signal x retard de t00 (si t(si t00 > 0) . Pour tout rel t> 0) . Pour tout rel t00 ,on a :,on a :

On effectue le changement de variable u = tOn effectue le changement de variable u = t --tt00, et il vient :, et il vient :

20 0( ( )) ( )

j tT F x t t x t t e d t +

=


02 ( )

0( ( )) ( ) j u t

T F x t t x u e d u

+

=

Do:Do:02 2

0( ( )) ( )

j t j uT F x t t e x u e d u

+

=

020

( ( )) ( )j tT F x t t e X =

Cette proprit permet de donner la transforme de FOURIERCette proprit permet de donner la transforme de FOURIERdun signal retard en fonction de la transforme de FOURIERdun signal retard en fonction de la transforme de FOURIER

du signal initial et dun terme de retard.du signal initial et dun terme de retard.


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Translation dans le domaine temporelTranslation dans le domaine temporel

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 81

0

1

2

.

2

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 81

0

1

2

.

2

SignalSignaltemporeltemporel

Module de laModule de la

0( ) ( )y t x t t= 02( ) ( )

j tY e X

=

tt tt


Dphasage linaire proportionnel la frquence et auDphasage linaire proportionnel la frquence et au

retard pas de modification du module de la T.F.retard pas de modification du module de la T.F.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 81

0

1

.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 84

0

4

.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 81

0

1

.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 84

0

4

.

trans orm etrans orm ede Fourierde Fourier(inchang)(inchang)

Phase de laPhase de la

transformetransformede Fourierde Fourier


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IV.3 Modulation :IV.3 Modulation :PourPour 00R :R : ( )0 02 2 2( ) ( ) ( )j t j t j tT F e x t e x t e d t

+

=

( )02

0

( ) ( )j t

x t e dt X

+

= =

CestCest uneune applicationapplication fondamentalefondamentale dansdans lele domainedomainedede lala tlcommunicationtlcommunication quonquon appelleappelle modulationmodulation..


( )0( ) ( ). exp 2y t x t j t =

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 81

0

1

2

.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 81

0

1

2

3

.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 81.5

0

1.5

.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 81

0

1

2

3

.

tempstemps frquencefrquence

( )0( )Y X =

00000000

x(t)x(t)

y(t)y(t)

X(X())

Y(Y())


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0 02 2

0

1cos(2 )

2

j t j tt e e

= +

DunDun pointpoint dede vuevue pratique,pratique, lala modulationmodulation temporelletemporelle estest raliseralisenonnon paspas parpar uneune exponentielleexponentielle maismais parpar uneune fonctionfonction sinussinus ououcosinuscosinus.. EnEn traitementtraitement dede signalsignal lele thormethorme dede lala modulationmodulation estestainsiainsi souventsouvent reformulreformul grcegrce auxaux formulesformules dEulerdEuler ::


( ) ( ) ( ){ }0 0 01cos 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2TF t x t TF x t TF x t = + +

{ }0 01

( ) ( )2

X X = + +

CetteCette propritproprit estest analogueanalogue (ou(ou pluttplutt dualeduale de)de) lala propritpropritdudu retardretard temporeltemporel :: onon effectueeffectue uneune "modulation""modulation" dudu signalsignaltemporel,temporel, lala frquencefrquence00,, cettecette modulationmodulation entranantentranant alorsalors unun

dplacementdplacement dansdans lele domainedomaine frquentielfrquentiel


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IV.4 Transforme dune driveIV.4 Transforme dune driveSoit un signal x(t) de transforme de Fourier X(Soit un signal x(t) de transforme de Fourier X(), on se propose), on se proposede calculer la transforme de Fourier dede calculer la transforme de Fourier de dxdx(t)/(t)/dtdt..

Par dfinition de la transforme de Fourier, on obtient :Par dfinition de la transforme de Fourier, on obtient :2

2 2( ) ( )( ) ( ). ( )j t

j t j tdx t dx t deTF e dt x t e x t dt

dt dt dt

+ ++

= =


( )( ) 2 ( ( ))( )

d x tT F j T F x t

d t

=

Ce rsultat se gnralise pour la drivation lordre n :Ce rsultat se gnralise pour la drivation lordre n :

( )( )

( ) 2 ( ( ))( )n

n

n

d x tT F j T F x t

d t

=

si x(t)si x(t) 0 pour t0 pour t , ce qui est toujours le cas pour les signaux, ce qui est toujours le cas pour les signauxphysiques d'nergie finie on a:physiques d'nergie finie on a:


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IV.5 Drivation de la transforme de Fourier :IV.5 Drivation de la transforme de Fourier :

Si les signaux x(t) et tSi les signaux x(t) et t txtx(t) sont sommables alors on a :(t) sont sommables alors on a :

( ) ( )22( ( )) ( ) ( ) ( )j t

j t d ed TF x t dx t e dt x t dt

d d d

+ +

= =

+


( )( )( ) 2 ( ( ))( )

d T F x t j T F tx t

d

=

La gnralisation lordre n est immdiate :La gnralisation lordre n est immdiate :

( )( )

( )( ) 2 ( ( ))( )

nn n

n

d T F x t j T F t x t

d

=

2 ( )j t x t e d t

=

Do:Do:


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IV.6 Changement dchelle (Similitude) .IV.6 Changement dchelle (Similitude) .

Soit a un rel 0 .Soit a un rel 0 .( ) ( )

1( ) ( ) ( )T F x a t T F x t

a a

=

Une dilatation dans le domaine temporel correspond uneUne dilatation dans le domaine temporel correspond unecontraction dans le domaine frquentiel.contraction dans le domaine frquentiel.


CetteCette propritproprit indiqueindique queque plusplus lele supportsupport temporeltemporel dundun signalsignal estesttroittroit plusplus lele supportsupport frquentielfrquentiel dede sasa transformationtransformation dede FourierFourier estestlargelarge..

IV.7 Inversion temporelleIV.7 Inversion temporelle

( )( )x t X

Obtenue pour a =Obtenue pour a = --1.1.


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IV.8 Principe de la DualitIV.8 Principe de la DualitLes dfinitions symtriques de la TF et de la TF inverse permettentLes dfinitions symtriques de la TF et de la TF inverse permettentde mettre en avant une proprit de la TF appele Dualit de la TF.de mettre en avant une proprit de la TF appele Dualit de la TF.

Soit x(t) , une fonction quelconque dont la TF est bien dfinieSoit x(t) , une fonction quelconque dont la TF est bien dfinie

2( ) ( ) j tX x t e dt+

=

2( ) ( ) j tx t X e d +

= etet


x(t)x(t) X(X()) X(t)X(t) x(x(--))

En intervertissant les variables temporelles et frquentielles, onEn intervertissant les variables temporelles et frquentielles, on

obtient :obtient :

On a donc:On a donc: 2( ) ( ) j tx t X e d +

=

[ ]2( ) ( ) ( )j tx X t e dt TF X t+

= =

alorsalorsSiSi


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IV.9 Symtrie et conjugaison complexe :IV.9 Symtrie et conjugaison complexe :

a) symtrie :a) symtrie :

[ ] [ ]2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j t j u

TF x t x t e dt x u e du TF x t

+ +

= = = ( ) ( )x t X


b) conjugaison complexe :b) conjugaison complexe :

Lorsque x(t) est un signal Lorsque x(t) est un signal valeurs complexes, on a:valeurs complexes, on a:

* *

( ) ( )x t X

* *( ) ( )x t X

Une faon dassocier les deux thormes prcdents trsUne faon dassocier les deux thormes prcdents trsutilise pratiquement :utilise pratiquement :

c) conjugaison complexe et symtrie :c) conjugaison complexe et symtrie :


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x(t)=(t)V.1V.1 Impulsion de Dirac:Impulsion de Dirac:

2 2

0

( ) ( ) 1j t j t

t

X t e d t e

=

= = =

V. TRANSFORMEES DE FOURIER USUELLESV. TRANSFORMEES DE FOURIER USUELLES

[ ]( ) 1T F t =1111


CeCe rsultatrsultat estest fondamentalfondamental enen traitementtraitement dudu signal,signal, ilil montremontrequ'unequ'une impulsionimpulsion dede DiracDirac comprendcomprend toutestoutes lesles frquencesfrquences avecavecuneune galegale amplitudeamplitude.. EnEn consquenceconsquence connatreconnatre lala rponserponse d'und'unsystmesystme uneune excitationexcitation dede Dirac,Dirac, c'estc'est connatreconnatre lala rponserponse dudu

systmesystme toutestoutes lesles excitationsexcitations..

t

0


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Transforme de FOURIER dun signal continu:

t

x(t)=x(t)=11

On recherche la transformeOn recherche la transforme

de FOURIER dun signalde FOURIER dun signalconstant, cestconstant, cest----dire dundire dunsignal continu (au senssignal continu (au sens lectroni ue as au sens lectroni ue as au sens

11

X(X()=)=(())


[ ]1 ( ) ( )TF = =

mathmatique).mathmatique).

Nous avons vu queNous avons vu que [ ]( ) 1T F t =

En utilisant la proprit de dualit on a:En utilisant la proprit de dualit on a:

La transforme de FOURIER dun signal constant est donc une raie,La transforme de FOURIER dun signal constant est donc une raie,ou une masse, la frquence nulle.ou une masse, la frquence nulle.

0


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V.2 Signal porteV.2 Signal porte

A

T/2-T/2 t

2

( )0

2

TA pour t

x t Tpour t

= >


2 2/22 2 2 2

/2( ) ( )

2

j T j TTj t j t

T

AX x t e dt Ae dt e ej

= = =

( ) sin( )A

X T

=


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ReprsentationReprsentationSPECTRALE :SPECTRALE :

Si lon pose :Si lon pose :

CetteCette fonctionfonction sappellesappelle sinussinus cardinalcardinal..

sin( )sin ( ) xc xx

= ( ) sin( ) sin ( )AX T AT c T

= =

|X(|X()|)|A.TA.T TT22


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V.3V.3 -- La transforme de Fourier dLa transforme de Fourier d un cosinus :un cosinus :

[ ]20 0 0( ) cos(2 ) ( ) ( )2

j t AX A v t e dt

= = + +

x(t)=A.cos(2x(t)=A.cos(2..00000000.t).t)


dansdans lespacelespace frquentielfrquentiel (amplitude(amplitude--frquence)frquence)..

|X(|X()|)|

--00

A/2A/2

00


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V.4. Fonction exponentielleV.4. Fonction exponentielleLa fonction exponentielle est dfinie par:La fonction exponentielle est dfinie par: avec a > 0 .avec a > 0 .( ) a tx t e =

De manire plus explicite, on peut encore l'crire sous la formeDe manire plus explicite, on peut encore l'crire sous la forme

( ) ( ) ( )a t a t x t e H t e H t+ = +


0( ) at j t at j t

X e e dt e e dt

+

= +

2 2 2

2( )( )

4

a t aT F e

a

=

+

( )

1 0 0 1( )

2 2X

a j a j

= +

+d'o :d'o :

On remarquera que x(t) tant pair, sa transforme est relle.On remarquera que x(t) tant pair, sa transforme est relle.


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Spectre damplitudeSignal x(t)


Spectre de phase

E l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l iE l i d T h l i


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En particulier pour un signal exponentielle dcroissante de la forme:En particulier pour un signal exponentielle dcroissante de la forme: 0

( )0 0

ate pour t

x tpour t

=


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V.5. Saut UnitV.5. Saut UnitLeLe calculcalcul dede lala TFTF d'und'un sautsaut unitunit H(t)H(t) ncessitencessite galementgalementquelquesquelques prcautions,prcautions, carcar cece signalsignal n'estn'est paspas intgrableintgrable enen valeurvaleurabsolueabsolue.. Mais,Mais, onon peutpeut crirecrire::

1 ( ) ( )H t H t= + et dsignant la TF de H(t) par L(et dsignant la TF de H(t) par L(), il vient :), il vient :

*


Lr() = ()/2.

Pour la partie imaginaire de L(Pour la partie imaginaire de L(), on peut remarquer H(t) peut s'crire), on peut remarquer H(t) peut s'criresous la forme :sous la forme :

dont la transforme est purement imaginaire et vaut 1/(dont la transforme est purement imaginaire et vaut 1/(2j2j).).).).).).).).

r

= = + =

0

0 0( )

lim 0

a t

a

Si tH t

e Si t


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Spectre damplitudeSignal x(t)


Spectre de phase

Ecole suprieure de TechnologieEcole suprieure de TechnologieEcole suprieure de TechnologieEcole suprieure de Technologie


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V.6. Signal complexeV.6. Signal complexe

Pour calculer sa TF, considrons le fait que x(t) de frquencePour calculer sa TF, considrons le fait que x(t) de frquence 00peut s'crire comme suit :peut s'crire comme suit :

''

0 02 2

0( ) lim

a tj t j t

ax t e e e

+ +

= =

02( ) j tx t e +=


de modulation, on a :de modulation, on a :

La TF est donc une impulsion de Dirac situe enLa TF est donc une impulsion de Dirac situe en == 00 ::

( )

0

2200

0

02( ) lim

2a

S iaX

Sia

= =

= +

( )02 0( )( )j t

TF e + =



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V.7. Impulsion sinusodaleV.7. Impulsion sinusodaleune impulsion sinusodale de dureune impulsion sinusodale de dure tt peut tre formulepeut tre formulecomme suite:comme suite:

Ce si nal est uivalent la multi lication d'une sinusodeCe si nal est uivalent la multi lication d'une sinusode

0cos(2 )

2

( )0

2

tt S i t

x t tS i t


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etet queque lala convolutionconvolution entreentre uneune fonctionfonction etet uneune impulsionimpulsion dede DiracDirac

ParmiParmi lesles propritsproprits dede lala transformationtransformation dede FourierFourier queque nousnousallonsallons voirvoir estest qu'qu' unun produitproduit simplesimple dansdans lele domainedomaine temporeltemporelcorrespondcorrespond unun produitproduit dede convolutionconvolution dansdans lele domainedomaine complexecomplexe::

( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( )y t m t x t Y M X = =


repro urepro u aa onc ononc on en roen ro oo sese s ues ue mpu s on,mpu s on, onon vovo queque

lele spectrespectre dede l'impulsionl'impulsion sinusodalesinusodale vautvaut

( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) sin ( ) sin ( )2

A tY M X c t c t

= = + +

OnOn constateconstate ainsiainsi queque lele spectrespectre d'uned'une impulsionimpulsion sinusodalesinusodale dededuredurett estest constituconstitu dede deuxdeux sinussinus cardinauxcardinaux situssitus enen ++00 etet 00



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x(t)x(t) X(X())

m(t)m(t)


M(M())

y(t)y(t) Y(Y())



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V.8 Peine de Dirac (ou suite dimpulsions de DiracV.8 Peine de Dirac (ou suite dimpulsions de DiracLe peigne de DiracLe peigne de Dirac TT (t) est constitu dune suite dimpulsions(t) est constitu dune suite dimpulsionsrgulirement espaces.rgulirement espaces.

0 0 0( ) ( )T T

n

t t nT +

=

=

Il peut donc tre considr comme un signal priodique, Que lonIl peut donc tre considr comme un signal priodique, Que lonpeut crire suivant une dcomposition en srie de Fourier :peut crire suivant une dcomposition en srie de Fourier :


oo 00 = 1/T= 1/T0000

2( ) j n tT nn

t C e +

=

= 0

0

0

/22

/20 0

1 1( )

Tj n t

n T

C t e dt T T

= =

Avec:Avec:

nn

0

0

2

0

1( )

j n t

T

n

t eT

+

=

=



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p gp gDpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie Electrique

p gp gDpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie ElectriqueDo:

0 0

0

2 2

0 0

1 1( ) ( )

j n t j n t

T

n n

T F t T F e T F eT T

+ +

= =

= =

( )00

1

nnT

+

= =

1 n+ =


Ainsi le spectre dun peigne de Dirac est compose de raies de mmeAinsi le spectre dun peigne de Dirac est compose de raies de mmeamplitude spares deamplitude spares de 00 = 1/T= 1/T00. Cest donc aussi un peigne de Dirac.. Cest donc aussi un peigne de Dirac.

0 0nT T

=

0 0

0

1( ) ( ) ( )TT F t T

=

Plus les dents du peigne sont espaces dans le domaine temporel, plusPlus les dents du peigne sont espaces dans le domaine temporel, pluselles sont rapproches dans le domaine frquentiel et rciproquement.elles sont rapproches dans le domaine frquentiel et rciproquement.



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V.9 TF d'un signal priodiqueV.9 TF d'un signal priodiqueDSFDSF:: Toute fonction priodique x(t) de priode T peut s'crire commeToute fonction priodique x(t) de priode T peut s'crire comme

une somme infinie de cos et sin.une somme infinie de cos et sin.

La TF d'un signal priodique est divergente, mais on peut dfinir uneLa TF d'un signal priodique est divergente, mais on peut dfinir uneTF au sens des distributions en utilisant la dcomposition en SF.TF au sens des distributions en utilisant la dcomposition en SF.

01

2 2

( ) c o s s inn nnx t a a n t b n tT T

=

= + +


En utilisant la proprit de linarit de la TF on obtient :En utilisant la proprit de linarit de la TF on obtient :

Remarque:Remarque:

Conclusion : On retrouve bien le rsultat de la DSF; la TF est bienConclusion : On retrouve bien le rsultat de la DSF; la TF est bien

une gnralisation de la DSFune gnralisation de la DSF

( ) ( )01 1

[ ( )] ( )2 2

n n n n

n n

a jb a jbTF x t a nF nF

= =

+= + + +

2( ) exp

n

n

x t C jn tT

=

=

[ ] ( )( ) nn

TF x t C nF

=

= Proprit deProprit deLinarit de la TFLinarit de la TF



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Dpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie ElectriqueDpartement de Gnie Electrique

VI.1 Conservation de l'nergie :Relation deVI.1 Conservation de l'nergie :Relation de ParsevalParsevalIlIl exprimeexprime lala conservationconservation dede lnergielnergie dudu signal,signal, quellequelle soitsoitcalculecalcule partirpartir dudu signalsignal temporeltemporel ouou partirpartir dudu spectrespectre enen

frquencesfrquences..2 2

( ) ( )E x t dt X d + +

= =

VI. TF ET NERGIE DES SIGNAUXVI. TF ET NERGIE DES SIGNAUX


'*

* 2 ' 2 '( ). ( ) ( ) ( )j t j tE x t x t dt X e d X e d dt + + + +

= =

( )1 ( ) ( )TF X x t = ( )*1 *( ) ( )TF X x t =

( )'2* ' '( ) ( )

j tE X X e dt d d

+ + +

=



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Or:Or: ( ) ( )'

2 'j te dt +

=

( )* ' ' '

( ) ( )E X X d d + +

=

2*( ) ( ) ( )E X X d X d + +

= =

Do:Do:


nerg energ e o a eo a e unun s gnas gna nene penpen paspas ee aa repr sen a onrepr sen a on

choisiechoisie :: frquentiellefrquentielle ouou temporelletemporelle..VI.2 Corrlation et relation de ParsevalVI.2 Corrlation et relation de Parseval

a) Corrlationa) Corrlation

Dfinition :Dfinition : On appelle fonction d'On appelle fonction d'intercorrlationintercorrlation de deux signauxde deux signauxrels x et y de carr sommable la fonction dfinie par:rels x et y de carr sommable la fonction dfinie par:

( ) ( ) ( )xyC x t y t d t +

= +



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et fonction d'et fonction d'autocorrlationautocorrlation ::

( ) ( ) ( )xx

C x t x t dt +

= +

Remarques :Remarques : La fonction dLa fonction dautocorrlationautocorrlation est paireest paire


La valeur lorigine (t=0) de la fonction dLa valeur lorigine (t=0) de la fonction dautocorrlationautocorrlation

est gale lnergie du signal :est gale lnergie du signal :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx xxC x t x t dt x u x u du C + +

= = + =

2(0) ( ) ( ) ( )xxC x t x t dt x t dt E

+ +

= = =

Ecole suprieure de TechnologieEcole suprieure de TechnologieD d G i El iD d G i El iEcole suprieure de TechnologieEcole suprieure de Technologie

D d G i El iD d G i El i


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b) Densit spectrale dnergieb) Densit spectrale dnergieLa densit spectrale dnergie dun signal est dfinie commeLa densit spectrale dnergie dun signal est dfinie commetant le carr du module de sa transforme de Fourier.tant le carr du module de sa transforme de Fourier.

2

( ) ( )xxS X = (nergie par unit de frquence ) = DSE.(nergie par unit de frquence ) = DSE.

Energie dans une bande de frquence:Energie dans une bande de frquence:


0

0

/2

/2( )xxE S d

+

=

LaLa densit spectrale dnergie Sdensit spectrale dnergie Sxxxx(n)(n) dun signal x(t) estdun signal x(t) estla TF de sa fonction dautocorrlation:la TF de sa fonction dautocorrlation:

2( ) ( ) j txx xx

S C t e dt +

=

Ou encore:Ou encore:

Ecole suprieure de TechnologieEcole suprieure de TechnologieD t t d G i El t iD t t d G i El t iEcole suprieure de TechnologieEcole suprieure de Technologie

D t t d G i El t iD t t d G i El t i


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Relation de Parseval :Relation de Parseval : Pour tous signaux x nergie finie :Pour tous signaux x nergie finie :

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )* ( ) ( ) . ( )xx xxS TF C TF x x TF x TF x = = =

[ ] [ ] [ ]2 2

( ) . ( ) ( ) ( )TF x TF x TF x X = = =

2 2+ + +


xx

Remarques :Remarques : Lnergie totale du signal se calcule soit en intgrant sa distributionLnergie totale du signal se calcule soit en intgrant sa distribution

temporelle |x(t)| ou en intgrant sa densit spectrale dnergie:temporelle |x(t)| ou en intgrant sa densit spectrale dnergie: SSxxxx(())

La densit spectrale est une fonction positiveLa densit spectrale est une fonction positive

La fonction dLa fonction dautocorrlationautocorrlation est paire par consquent la densitest paire par consquent la densitspectrale dnergie est aussi une fonction relle paire.spectrale dnergie est aussi une fonction relle paire.




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Pour illustrer le thorme de l'nergie, calculons l'nergie duPour illustrer le thorme de l'nergie, calculons l'nergie dusignal exponentielle est dfinie par :signal exponentielle est dfinie par :

2 2

0

1( )

2

atE x t dt e dta

+ +

= = =

avec a > 0 .avec a > 0 .( ) a tx t e =

Exemple:Exemple:

Dans le domaine temporel :Dans le domaine temporel :


Dans le domaine frquentiel :Dans le domaine frquentiel :

On retrouve bien entendu le mme rsultat dans les deux cas.On retrouve bien entendu le mme rsultat dans les deux cas.

( )

2

22( )

2

dE X d

a

+ +

= =

+

1 2 1arc tan

2 2a a a

+

= =




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VII.1 Dfinition dun systmeVII.1 Dfinition dun systmeVII. ConvolutionVII. Convolution

UnUn systmesystme estest unun ensembleensemble dlmentsdlments fonctionnelsfonctionnels interagissantinteragissantentreentre euxeux etet quiqui tablittablit unun lienlien dede causecause aa effeteffet entreentre sesses signauxsignaux

d'entresd'entres etet sesses signauxsignaux dede sortiesortie..

signal "d'entre" signal "de sortie"


S = est un systme physique dlivrant un signalS = est un systme physique dlivrant un signaly(t)y(t) en rponse en rponse une stimulationune stimulationx(t).x(t).

S= Toute systme qui effectue une transformation sur un signal.S= Toute systme qui effectue une transformation sur un signal.

S= systme conu pour raliser une opration spcifique sur leS= systme conu pour raliser une opration spcifique sur lesignal :signal : filtrage, chantillonnage, amplification, modulationfiltrage, chantillonnage, amplification, modulation

Systme:

PSyst me = S

ou excitation ou rponse




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VII.2 Systmes linaires et invariants (VII.2 Systmes linaires et invariants (SLISLI)) Linarit:Linarit:

x(t) y(t)Systme linaireSL

UnUn systmesystme estest linairelinaire silsil justifiejustifie dudu principeprincipe dedesuperpositionsuperposition :: lala rponserponse uneune sommesomme pondrepondredexcitationsdexcitations estest galegale lala sommesomme pondrepondre desdes

rponsesrponses auxaux excitationsexcitations individuellesindividuelles ::

N1

( ) ( )N

i i

i

y t a y t=

=


InvarianceInvariancetemporelletemporelle

Dans la suite, nous supposerons que le systme S est linaire et invariant.Dans la suite, nous supposerons que le systme S est linaire et invariant.

Systme InvariantSI

Le systme est invariant dans le temps si la rponseLe systme est invariant dans le temps si la rponsene dpend pas de linstant dapplication .ne dpend pas de linstant dapplication .

1

( ) ( )i ii

t a x t

=

= i ia v e c y x=

0 ( ) ( )x t x t = 0 ( ) ( )y t y t =

[ ]

[ ]

0 0

0 0

si ( ) ( )

alors ( ) ( )

y t S x t

y t S x t

=

=

( )x t ( )y t




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CausalitCausalit

La rponse du systme ne peut pas se produire avant l'excitationLa rponse du systme ne peut pas se produire avant l'excitationqui l'engendre.qui l'engendre.

Consquence :Consquence : ( ) 0 pour t


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VII.3 Rponse impulsionnelle d'un systmeVII.3 Rponse impulsionnelle d'un systmeOnOn appelleappelle rponserponse impulsionnelleimpulsionnelle dundun systmesystme linaire,linaire, souventsouventnotenote h(t),h(t), lala rponserponse y(t)y(t) dudu systmesystme soussous lactionlaction dunedune impulsionimpulsiondede DIRACDIRAC (t)(t) ::

signal "d'entre"signal "d'entre" signal "de sortie"signal "de sortie"

Systme = SSystme = S


(t)(t) y t = ty t = tyst meP(t)

Un systme est dit causal lorsque h(t


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pa G qpa G qpa G qpa G q

Avantages de la rponse impulsionnelle :Avantages de la rponse impulsionnelle : CaractrisationCaractrisation compltecomplte dudu systmesystme

" ' "" ' " si nal "de sortie"si nal "de sortie"Systme = SSystme = S

Permet de calculer la sortie du systme (linaire invariant)Permet de calculer la sortie du systme (linaire invariant)

pour dautres signaux dentre !pour dautres signaux dentre !


x(t)x(t)y(t)y(t)

SystmeSystmePP

h(t)h(t)

( ) ( ) ( )y t x h t d

+

= Opration mathmatique reliant la sortie,Opration mathmatique reliant la sortie,l'entre et la rponse impulsionnelle d'un systmel'entre et la rponse impulsionnelle d'un systme




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p qp qp qp q

VII.3.1 Illustration de loprateur convolutionVII.3.1 Illustration de loprateur convolutionLe signal dentre x(t) peut tre considr comme une sommeLe signal dentre x(t) peut tre considr comme une sommedimpulsions rectangulairesdimpulsions rectangulaires de largeurde largeur tt etet damplitudedamplitude x(kx(k.. tt):): ( )x t

sisi tt est suffisamment petitest suffisamment petit x(t)x(t)

( )x t

( ) ( )t

t k tx t x k t rect t

t

++++

= = = =

Lentre peut ainsiLentre peut ainsitre approche par:tre approche par:


[ ]( ) ( ).k

y t x k t h t k t t+

=

=

En notant par la rponse duEn notant par la rponse dusystme limpulsion . Alors, lasystme limpulsion . Alors, lasortie, linstant t, scrit comme lasortie, linstant t, scrit comme lasuperposition de toutes les rponses :superposition de toutes les rponses :

( )th t

( )trect t

tt

x(t)( )tx~




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( ) y(t)y t 1 rect (t)tt t

En faisant enfin tendreEn faisant enfin tendre tt vers 0 (vers 0 (tt dtdt' ):' ):

( ) h(t)h t

( ) x(t)et x t

..... .... d t' et k t t't+ +

Par suite:Par suite:


k

=

[ ] [ ]( ) ( ') ( ')dt' = * ( ) = * ( )y t x t h t t x h t h x t+

=

On retrouve alors la relation de convolution prcdente :On retrouve alors la relation de convolution prcdente :

Un systme est stableUn systme est stable ssissi sa rponse impulsionnelle est absolumentsa rponse impulsionnelle est absolumentintgrable.intgrable.

Remarque 1 :Remarque 1 :




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systme tant linaire et invariant:systme tant linaire et invariant: ( ) ( ) ( ) ( )x t x h t Remarque 2 :Remarque 2 :

x(t) = somme infinie de "composantes" sur une base dimpulsions dex(t) = somme infinie de "composantes" sur une base dimpulsions de

DIRAC.DIRAC.( ) ( ) ( )x t x t d

+

=


EnEn tenanttenant comptecompte dede lala linaritlinarit etet dede l'invariance,l'invariance, oonn enen dduitdduitalorsalors queque lala rponserponse globaleglobale dudu systmesystme estest uneune suitesuite dede rponsesrponsesimpulsionnellesimpulsionnelles d'amplituded'amplitude variablevariable etet dcalesdcales dansdans lele tempstempsscritscrit::

[ ]( ) ( ) ( ) * ( )y t x h t d x h t

+

= =IntgraleIntgrale dede convolutionconvolution permettantpermettant dassocierdassocier toutetoute entreentre x(t)x(t) dudusystme,systme, caractriscaractris parpar sasa rponserponse impulsionnelleimpulsionnelle h(t),h(t), lala sortiesortie y(t)y(t)..




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VII.3.2 Interprtation GomtriqueVII.3.2 Interprtation Gomtrique

??tt tt

x(t)x(t)y(t)y(t)

Systme = SSystme = S

h(t)h(t)


y(t)




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VII.3.3 Exemple de calcul de convolutionVII.3.3 Exemple de calcul de convolution

1

2

( )x t

t

( ) ( )* ( )y t x t h t=


4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121

.

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.5

0

0.5

1

1.5

.

( )h t

t

( ) ( )

a>0

ath t e t

= = = =




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4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121

0

1

2

.

A

1

1.5

pourt fix

( ) ( ) ( )y t x h t d

= )(x

th

t1 t2

( )( ) ( ) ( )a ty t x e t d

=


54

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.5

0

0.5

.

00

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.5

0

0.5

1

1.5

.

)( th

t

t

0

( ) ( ) ( )t

a ty t x e d

=

( ) 0 pour


55/62

On distingue 3 cas :On distingue 3 cas : t


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Convolution dun signal avec un peigne de DiracConvolution dun signal avec un peigne de Dirac

Daprs la Linarit de la convolutionDaprs la Linarit de la convolution

( )( )Tk

p t t kT+

=

=

( )( ) * ( ) ( ) *Tx t p t x t t kT+

= ( )* ( ) ( )Tx t p t x t kT+

=


On obtient un signal priodique forme par la recopie de xOn obtient un signal priodique forme par la recopie de x

autour de chaque dent.autour de chaque dent.

k=

convolution avec Dirac retardconvolution avec Dirac retard

k=




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x(t) y(t)h(t)

VIII. SYSTMES ET TRANSFORME DE FOURIERVIII. SYSTMES ET TRANSFORME DE FOURIER

Soit le systme de rponse impulsionnelleSoit le systme de rponse impulsionnellehh

Soit le signal d'entre:Soit le signal d'entre:Que vaut la sortie y(t) ?Que vaut la sortie y(t) ?

Rponse frquentielle des systmes LTIRponse frquentielle des systmes LTI

2( ) j vtx t Ae =


( ) ( )* ( )y t x t h t= ( )* ( ) ( ) ( )h t x t h x t d

+

= 2 2 ( ) ( )* ( )j vt j v th t Ae h Ae d

+

=

2 2 2 ( )* ( )j vt j vt j vh t Ae Ae h e d +

=

H(H() TF de la rponse impulsionnelle) TF de la rponse impulsionnelle




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LaLa rponserponse d'und'un systmesystme LTILTI uneune exponentielleexponentielle complexecomplexe ((respresp..

signalsignal sinusodal)sinusodal) estest uneune exponentielleexponentielle complexecomplexe ((respresp.. signalsignalsinusodal)sinusodal) multipliemultiplie parpar lele gaingain complexecomplexe H(H())

2 2 2

( )* ( ).j vt j vt j vt

S Ae h t Ae H v Ae

= =

Si le si nal d'entre est uelcon ue, on eut l'ex rimer sousSi le si nal d'entre est uelcon ue, on eut l'ex rimer sous


la forme d'une somme infinie d'exponentielles complexes :la forme d'une somme infinie d'exponentielles complexes :c'est la TF inversec'est la TF inverse

2( ) ( ) j vtx t X v e dv+

=

[ ] 2( ) ( ) y(t) ( ) j vty t S x t S X v e dv+

= = (Linarit du systme)(Linarit du systme)

En vertu du rsultat prcdentEn vertu du rsultat prcdent 2 2( ) ( ). ( ).j vt j vtS X v e H v X v e =




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Or:Or: ( ) ( )'2 'j te dt

+

=

( )* ' ' '

( ) ( )E X X d d

+ +

=


L'nergieL'nergie totaletotale d'und'un signalsignal nene dpenddpend paspas dede lalareprsentationreprsentation choisiechoisie :: frquentiellefrquentielle ouou temporelletemporelle..

estest appeleappele densitdensit spectralespectrale dnergiednergie ouou parfois,parfois,abusivement,abusivement, densitdensit spectralespectrale dede puissancepuissance..

*( ) ( ) ( )E X X d X d

= =

2( )X

o :o :




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(dfinition de la TF inverse de(dfinition de la TF inverse de Y)Y)

(TF de la sortie(TF de la sortiey)y)Donc siDonc si

H(H(): fonction de transfert): fonction de transfert

2

y(t) ( ). ( ) j vt

H v X v e dv

+

=

( ) ( )* ( )y t h t x t= alorsalors Y( ) ( ) ( )X v H v =


x(t) y =xh(t)

X() Y()=X().()).()).()).()H()

TF TF TF

H (H () : reprsentation frquentielle du systme) : reprsentation frquentielle du systme Simplicit de la relation entre/sortie en frquentielSimplicit de la relation entre/sortie en frquentiel La reprsentation frquentielle illustre l'aptitude du systme a faireLa reprsentation frquentielle illustre l'aptitude du systme a faire

passer une composante frquentielle prsente dans le signal d'entrepasser une composante frquentielle prsente dans le signal d'entre




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LaLa descriptiondescription temporelle,temporelle, enen termeterme dede produitproduit dede convolution,convolution, sesetransformetransforme enen unun produitproduit simplesimple dansdans lele domainedomaine dede FOURIERFOURIER..

TF[x(t)*h(t)]() = X().()).()).()).()

La transforme de Fourier dun produit de convolutionLa transforme de Fourier dun produit de convolutionDo le Thorme de Plancherel :Do le Thorme de Plancherel :


( )* ( ) X( ).Y( )x t y t v v

( ). ( ) X( )*Y( )x t y t v v

Attention : la TF d'un signal n'est pas toujours dfinie !Attention : la TF d'un signal n'est pas toujours dfinie !Comment faire lorsque x(t) n'a pas de TF ?Comment faire lorsque x(t) n'a pas de TF ?

=> Introduction de la transforme de Laplace=> Introduction de la transforme de Laplace

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