Chapitre 4 Modélisation et résolution d’un problème de transport

Chapitre 4 : Modélisation et résolution d’un problème de transport

1. IntroductionPlusieurs problèmes relatifs à l’activité de transport ont été étudiés : le problème de

voyageur de commerce, les problèmes de tournées de véhicules (flotte homogène ou hétérogène, fenêtres de temps, intégration de la gestion des stocks et des entrepôts…), le dimensionnement de la flotte, l’affectation des équipages, etc. Dans ce chapitre, nous présenterons le problème de transport dans sa généralité puis, nous exposerons différentes modélisations et méthodes de résolution adaptées à ce type de problèmes.

2. Présentation du problème de transportEn général, dans un problème de transport classique, il s’agit de trouver un plan permettant d’acheminer, au moindre coût, des quantités disponibles d’un bien (stocké ou fabriqué) à un certain nombre de points où ces quantités seront utilisées ou vendues à un autre ensemble de points.

Nous disposons de m (i = 1, 2, …, m) sources et de n (j = 1, 2, …, n) destinations.Les quantités à transporter se trouvant au point de disponibilité (ou origine ou source) i seront notées ai et les quantités nécessaires, demandées par la destination j seront notées bj.Soit cij, le coût unitaire de transport d’un bien de l’origine i vers la destination j.Le problème consiste à trouver combien d’unités faut-il transporter à partir de chaque origine et vers chacune des destinations (ces quantités peuvent être nulles) en tenant compte des 3 considérations suivantes :

- respect des offres : il n’est pas possible de transporter à partir de l’origine i plus que les ai unités disponibles,

- satisfaction de la demande : il faut au moins satisfaire la demande de bj unités de chaque destination,

- objectif : il faut minimiser le coût total de transport.

Ce problème peut être utilisé pour la formulation de divers autres problèmes tels que :- le problème de plan de commande de divers produits auprès d’un certain nombre de fournisseurs. Les fournisseurs constituent les "origines" avec des quantités maximales qu’ils peuvent fournir, et les besoins en chaque produit constituent les "destinations". Les coûts peuvent être des prix ou même certaines caractéristiques de qualité du produit.- le problème qui consiste à désigner pour chaque usine parmi m, combien d’unités à produire de chaque produit parmi n, les coûts de production pour chaque produit étant différent d’une usine à l’autre.- Le problème qui consiste à trouver une affectation de m tâches à n agents pour les exécuter.

3. Modélisation graphique du problème de transport

Le problème de transport peut être formulé graphiquement ou mathématiquement. A ce niveau, nous traiterons le problème de façon graphique en le modélisant comme un

N. AISSAOUI OMRANE

s2

s3

d3

S

d4

d1

d2

P

BS = infiniBI = 0C = cij

s1

BS = aiBI = 0C = 0

BS = bjBI = bjC = 0

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problème de flot à coût minimum et dans le paragraphe suivant, nous le traiterons de façon mathématique.

3.1. Notation et modèleSoit G (X, U) un graphe orienté avec X l’ensemble des nœuds et U l’ensemble des arcs. A chaque arc, on associe : un coût C, une borne inférieure BI et une borne supérieure BS à quantité de flot. X représente :- un nœud source S,- un nœud puits T,- m nœuds représentant les sources si, i=1..m- n nœuds représentant les destinations dj, j=1..mU regroupe 3 types d’arcs :- m arcs (S, si). Pour chaque arc :

C = 0 BS = ai

BI = 0- arcs (si, dj). Pour chaque arc :

C = cij

BS = infini BI = 0

- n arcs (dj , T). Pour chaque arc : C = 0 BS = bj

BI = bj

Exemple : le graphe correspondant à l’exemple 1 est :

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Remarques :- s’il existe une limitation sur la quantité à transporter de la source si à la destination dj (Iij ≤xij ≤ Sij), l’arc (si, dj) aura une borne inférieure BI= Iij et une borne supérieure BS= min {ai, bj , Sij}- Si on doit épuiser toutes les quantités offertes dans les sources et a>b, alors on ajoute

un nœud fictif (correspondant à une destination fictive) qu’on relie aux nœuds si par des arcs ayant C=0 ; BI=0 ; et BS= ai

au nœud T par un arc ayant C=0 ; BI=a-b ; et BS= a-b- La modélisation graphique permet de considérer de multiples extensions du problème :

un modèle multi-étages, gestion de l’alimentation des entrepôts à partir des usines etc.

3.2. Méthodes de résolutions

Etant modélisé comme un problème de flot à coût minimum, il est possible de résoudre le problème de transport en appliquant les algorithmes polynomiaux relatifs à ce type. Dans la littérature, on distingue principalement 2 méthodes de résolution :

- l’algorithme de Klein (repris par Bennington),- l’algorithme de Busacker et Gowen.

4. Modélisation mathématique du problème de transport4.1. Formulation mathématique

Variables de décision : Soit xij la quantité à transporter de l’origine i vers la destination j.

Fonction Objectif : Minimiser z =∑i=1

m

∑j=1

n

c ij x ij

Contraintes :- contraintes liées à l’offre :

∑j=1

n

x ij ai i = 1, …, m

- contraintes liées à la demande :

∑i=1

m

x ij bj j = 1, …, n

- contraintes de positivité : les quantités à transporter doivent être non-négatives : xij 0 i = 1, …, m j = 1, …, n

On peut cependant, moyennant certaines modifications et hypothèses, mettre le problème sous une forme standard utile pour développer les méthodes de résolution.

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a. en supposant que les coûts de transport sont positifs ou nuls, on peut affirmer qu’il n’est pas économique de transporter vers une destination plus que ce qui est demandé. La considération de minimisation de coût impose naturellement que les contraintes de la demande soient satisfaites à l’égalité :

∑i=1

m

x ij = bj j = 1, …, n

b. le problème ne peut pas avoir de solutions possibles si le total des disponibilités est inférieur au total des demandes, car dans ce cas on ne peut pas satisfaire toutes les contraintes simultanément. Donc il faut avoir :

a = ∑i=1

m

a i

∑j=1

n

b j = b

c. Dans le cas où a = b : il n’y aura jamais d’excès de disponibilités à une origine i donnée et il y aura :

∑j=1

n

x ij = ai i = 1, …, m

Cependant, si a > b : il y aura un excès de disponibilités dans certains centres d’origine. Pour mettre le problème sous forme standard, on crée une destination (la n+1ème) fictive et on suppose que toutes les quantités excédentaires seront transportées vers la destination fictive n+1 avec un coût c i,n+1 = 0 et une demande bn+1 = a - b. Il n’y aura réellement aucune activité de transport, cependant par ce biais, on peut écrire toutes les contraintes sous forme d’égalités.

Ainsi, sans perte de généralité, on peut toujours écrire un problème de transport (en introduisant éventuellement une destination fictive) sous sa forme standard :

min z =∑i=1

m

∑j=1

n

c ij x ij

sc

∑j=1

n

x ij = ai i = 1, …, m

∑i=1

m

x ij = bj j = 1, …, n

xij 0 i = 1, …, m j = 1, …, nsachant que :

∑i=1

m

a i =

∑j=1

n

b j : condition d’équilibre

cij 0 i = 1, …, m j = 1, …, n ai > 0 i = 1, …, m bj > 0 j = 1, …, n

Remarques :- Si certaines activités de transport (ou routes) allant de i à j ne sont pas possibles

physiquement ou économiquement on peut mettre : xij = 0 ou bien cij positif très grand.- On considère dans le problème formulé qu’il n’y a pas de limites de capacité de transport.

C’est à dire que sur toute route (arc) de i à j, on peut transporter n’importe quelle quantité

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désirée. Dans certaines applications réelles, on peut avoir de telles limites de capacité pour diverses raisons. Ces limitations sont formulées comme suit :

Iij xij Sij

où Iij et Sij sont les limites inférieures et supérieures respectivement sur les quantités pouvant être transportées sur une route de i à j. Ce type de problème est appelé problème de transport à capacités limitées.

- Nous avons considéré qu’il n’y a que des frais variables de transport cij. Nous n’avons pas introduit de frais fixes qui seraient subis, par exemple, lorsqu’au moins une unité est transportée sur une route de i à j et non subis si la route n’est pas utilisée. L’introduction de tels coûts est possible mais complique considérablement le problème, qui peut être formulé, par exemple, comme un programme linéaire en nombres entiers.

- Le coût cij introduit dans le modèle peut être un coût monétaire, mais peut être aussi exprimé en termes de temps, de distance, …

Exemple :Nous avons 3 centres de production et 4 centres de distribution. Les données complètes du problème sont présentées par le tableau suivant:

Tab. 4 : problème de transport Usines Centres de distribution Offre

1 2 3 41 8 6 10 9 352 9 12 13 7 503 14 9 16 5 40Demande 45 20 30 30 125

Soit xij = quantité transportée de l’origine i vers la destination j

Le problème s’écrit :Min z = 8 x11 + 6 x12 + 10 x13 + 9 x14 + 9 x21 + 12 x22 + 13 x23 + 7 x24 + 14 x31 + 9 x32 +

16 x33 + 5 x34 Sc

x11 + x12 + x13 + x14 35x21 + x22 + x23 + x24 50x31 + x32 + x33 + x34 40x11 + x21 + x31 45x12 + x22 + x32 20x13 + x23 + x33 30x14 + x24 + x34 30xij 0 i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3, 4

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