Cours_334_Serie_4.pdf

(1; 2)

exponentiellebase 2

(0; 1)

(-1; 2)

exponentiellebase 1/2)

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

Enseignement à distance

REMÉDIATION MATHÉMATIQUE

INTÉGRALES,FONCTIONS EXPONENTIELLES

ET LOGARITHMES

Module 334 . 4

Administration générale de l'Enseignement et de la Recherche scientifique

Direction de l'Enseignement à distance

Intégrales, fonctions exponentielles et logarithmes Module 334 – Série 04 – Leçon 1

© Enseignement à distance – Communauté française de Belgique

L.1 : LES FONCTIONS EXPONENTIELLES

1. La fonction exponentielle de base a ....................................................................................1 2. Règles de calcul des fonctions exponentielles ....................................................................3

2.1 Exponentielle d'une somme ........................................................................................3 2.2 Exponentielle d'une différence ....................................................................................3 2.3 Exponentielle d'un produit ...........................................................................................3

3. Équations exponentielles.....................................................................................................4 4. Dérivée d’une fonction exponentielle...................................................................................5 5. Graphiques des fonctions exponentielles ............................................................................7 6. Primitives des fonctions exponentielles ...............................................................................8

Devoir à envoyer ....................................................................................................................10 Corrigé des TAC.....................................................................................................................11

Intégrales, fonctions exponentielles et logarithmes Module 334 – Série 04 – Leçon 1 1


LES FONCTIONS EXPONENTIELLES

OBJECTIF Après cette leçon, vous serez capable:

- de définir la fonction exponentielle de base a,

- d'énoncer, de démontrer et utiliser ses propriétés,

- de résoudre des équations avec exponentielles,

- de calculer des dérivées et des primitives de fonctions comportant des exponentielles

de base a,

- d'établir le graphe d'une fonction comportant des exponentielles de base a

Nous avons vu que toute bijection possède une bijection réciproque. Cette propriété va nous

permettre de définir les fonctions exponentielles à partir des fonctions logarithmes.

1. LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE a

La fonction logarithme de base a, loga, est une bijection de 0+R vers R . Sa réciproque est

donc aussi une bijection de R vers 0+R , appelée fonction exponentielle de base a, et notée

expa.

Par définition : { }( )+a a 0 exp est la réciproque de log a \ 1∈ R

a 0 aexp : : x exp x+→ →R R

0 a a x , y : y exp x x log y+∀ ∈ ∀ ∈ = ⇔ =

Exemples : exp2 3 = 8 car log2 8 = 3

( )1

3

exp 2 9− = car 13

log 9 2=

loga

expa

x =

logay y =

expax

R0+R



Remarque : 23 = 8 et -21 9

3 =

Généralisons : ( )x xa a a x : exp x a , car log a x log a x∀ ∈ = = ⋅ =

On écrira dès lors, en étendant cette propriété aux exposants réels : x

ax : exp x a∀ ∈ =R

On utilisera donc la notation xa pour désigner l’image de a par la fonction exponentielle de

base a. La définition peut s’écrire :

x0 a x , y : a y log y x+∀ ∈ ∀ ∈ = ⇔ =

Remarquez que la fonction exponentielle et la fonction logarithme sont dans la même base

{ }0a \ 1+∈ R .

Ainsi ( )x3− n’est pas une fonction exponentielle !

De la dernière équivalence, on déduit les deux propriétés suivantes :

alog yxa 0 x : log a x et y : a y +∀ ∈ = ∀ ∈ =R R

Exemple : 3log 23 2= ; log1610 16=

Si nous utilisons la base e = 2,71…, on peut écrire :

x0 x , y : e y ln y x+∀ ∈ ∀ ∈ = ⇔ =

Exemple : 22 ln 5 ln 5 2e e 5 25= = =

TAC 1

Calculez : 4

5

2

log 5ln3

ln42 log 72

log 3

1) e 4) 2

2) e 5) 5

3) 4

−

−

TAC 2 Simplifiez l’expression suivante :

ln x ln x xe e 2lne−+ −



2. RÈGLES DE CALCUL DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

On les déduit des règles de calcul des fonctions logarithmes :

2.1 Exponentielle d'une somme

x,y :∀ ∈ R

( ) ( )( )

( ) ( )

x y xa a

x ya a

x ya

log a x y propriété : log a x

ˆlog a log a meme propriété

log a a logarithme d 'un produit

+ = + =

= +

= ⋅

D’où : x y x y a a a + = ⋅

2.2 Exponentielle d'une différence

x,y :∀ ∈ R

( ) ( )( )

( )

x y xa a

x ya a

x

a y

log a x y propriété : log a x

ˆlog a log a meme propriété

alog logarithme d 'un quotienta

− = − =

= −

=

D’où : x

x yy

a a a

− =

2.3 Exponentielle d'un produit

x,y :∀ ∈ R ( )yx y x a a ⋅ =

TAC 3 Résolvez les équations suivantes :

x x 2x

x x x3

x x x

1) 2 16 4) 10 0,01 7) e e

2) 5 1 5) 2 4 8) e 213) 3 3 6) 8 2 9) e3

−

= = =

= = =

= = =



3. ÉQUATIONS EXPONENTIELLES

Ce sont des équations dans lesquelles l’inconnue apparaît comme exposant dans une

fonction exponentielle. Le TAC 3 propose des exemples d’équations exponentielles

élémentaires. En voici d’autres :

1) x 2 x2 3 2 −− =

Le but est de transformer l’équation pour tout exprimer en fonction d’une seule exponentielle

(ici 2x). En vertu des règles de calcul, l’équation peut s’écrire : 2

xx

xx

22 3242 32

− =

⇔ − =

En posant 2x = y, l’équation devient :

2

2

x x

4y 3y

y 3y 4

y 3y 4 0y 1 ou y 4

2 -1 ou 2 4

− =

⇔ − =

⇔ − − =⇔ = − =

⇔ = =

2x = –1 n’a pas de solution, puisqu’une exponentielle est toujours positive (fonction de R

vers +0R ) :

x x 22 4 2 2 x 2= ⇔ = ⇔ =

Donc : Sol = { 2 }

Remarque : L’équation x 2 x2 3 2 −− = est exponentielle.

Ne pas confondre avec ( )22x 3 2 x− = − qui n’est pas exponentielle car l’inconnue

n’apparaît pas comme exposant.



2) 2x x2e 3 7e+ =

On sait que ( )22x xe e= ; en posant ex = y, l’équation devient :

( )

2

2

x x

2y 3 7y

2y 7y 3 01y 3 ou y2

1e 3 ou e2

1x ln 3 ou x ln ln est la réciproque le l ' exp onentielle de base e2

+ =

⇔ − + =

⇔ = =

⇔ = =

⇔ = =

D’où : 1Sol = ln 3, ln 2


1) x x 13 3 4++ =

2) x 3 x 15 5 3000+ +− =

3) 4x 2xe 13e 36 0− + =

4) 2x 2xe 15e 2−− =

5) x x 19 2 3 ++ =

4. DÉRIVÉE D’UNE FONCTION EXPONENTIELLE

La fonction exponentielle de base a étant définie comme la fonction réciproque de la fonction

logarithme de base a, il est possible de calculer la dérivée de l’exponentielle, connaissant la

dérivée du logarithme.

Nous savons que :

( )0 a x : log x 1+ ′∀ ∈ = (1)

et x0 a x , y : y a x log y+∀ ∈ ∀ ∈ = ⇔ = (2)



On a donc :

( )( )

xa

a

y a x log y (2)

x log y (en dérivant les deux membres)11 y (1) et dérivation d 'une fonction composée

y ln ay y ln a

= ⇔ =

′′⇔ =

′⇔ = ⋅⋅

′⇔ =

Ce qui s’écrit, en vertu de (2) :

( )x x a a lna ′ = ⋅

Généralisation :

Si l’exposant est une fonction de ( ) ( ) ( )f x f xx : a a lna f x′ ′= ⋅ ⋅

Cette formule fournit la dérivée de la fonction exponentielle de base a.

En particulier, si a = e : ( )x xe e lne′ = ⋅

et puisque ln e = 1, ( )x x e e ′ =

Généralisation :

( ) ( ) ( )f x f xe e f x′ ′= ⋅

La fonction exponentielle de base e est donc égale à sa dérivée !

TAC 5 Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

( )

2

1x

2x x x

2x x

1) e 3) e 5) 2

2) e 4) e 6) 3

−



5. GRAPHIQUES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

Nous avons vu dans le leçon sur les fonctions réciproques que les graphiques de deux

fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la première bissectrice des axes (dans

un repère orthonormé).

Le graphique de la fonction exponentielle de base a est donc le symétrique du graphique de

la fonction logarithme de base a.

Deux cas sont à envisager, selon que ] [a 0,1 ∈ ou ] [a 1, +∈ ∞ , puisque { }0a \ 1+∈ R .

0 a 1< <

(par exemple 1a2

= )

a 1>

(par exemple a 2= )

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

Retenons que :

si 0 < a < 1 : la fonction ax est décroissante

( )x

lim a 0+ ∞

= et ( )xlim a−∞

= +∞

si a > 1 : la fonction ax est croissante

( )x

lim a+ ∞

= +∞ et ( )x

- lim a = 0

∞

(C’est le cas de la fonction ex, puisque e = 2,7…)

x1

2

12

log x

x2

2log x



TAC 6 Résolvez les inéquations suivantes :

1) xe 1> 3) x1 4

2 >

2) x 133

< 4) 2xe 1− ≤

6. PRIMITIVES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

De la formule de dérivation :

( )x xa a ln a′ = ⋅

on déduit :

x

xa aln a

′ =

donc xa

ln a est une primitive de ax.

et l’on peut écrire :

x

x a a dx C ln a

= +∫

En particulier, si a = e :

x x e dx e C = +∫ puisque ( )x xe e′ =

TAC 7 Calculez :

1) 3xe dx∫

2) ( )2xe 1 dx−∫

3) ( )1 x x0

e 2 e dx+ ⋅∫



TAC 8 Déterminez les dérivées des fonctions suivantes :

1) xx e⋅

2) x

xe 1e 1

+−

3) 2 xx e−⋅

4) 2xe

x

.



DEVOIR À ENVOYER

1. Calculez :

10

3

log 34ln2

3 log 22

1) e 3) 100

2) ln e 4) 3−

2. Résolvez les équations suivantes :

2

x x 1 x x

x 5x 1 x 1 1 x

151) 9 2 3 27 3) e e4

12) 2 4) 5 3 2 3 332

+ −

− + − −

− ⋅ = − =

= ⋅ − ⋅ =

3. Faites le graphique de la fonction exponentielle de base 3 : x3 .

4. Résolvez l’inéquation : 2x x 13 27+ + <

5. Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

2

1 x xx

x xx

x e e1) 2) x e 3)e ee

−

−−⋅+

6. Calculez les intégrales :

2x x 3 xx

11) 3 dx 2) dx 3) (e 1) e dx2

+ ⋅∫ ∫ ∫



CORRIGÉ DES TAC

TAC 1

( )

12

222 2 2 2

124 2

122 2

25 5 5

1lnln3 3

ln 4ln4ln 4 ln22

log 3log 3 2log 3 log 3 log 92

log 5log 5 2 2 24 2

2 2

log 5 log 5

2 log 7 log 5 log 7 l

11) e e3

2) e e e e 2

3) 4 2 2 2 2 9

log 5 log 5 log 54) 2 2 car log 5

log 4 2log 2

2 2 5

5) 5 5 5

−

− −

= =

= = = =

= = = = =

= = = =

= = =

= = 55 5

25logog 25 log 7 7 2557

− = =

TAC 2 1ln ln x ln x x ln x xx

2

e e 2lne e e 2lne1x 2xx

1 xx1 x

x

−+ − = + −

= + −

= −

−=

TAC 3

1) x x 42 16 2 2 x 4= ⇔ = ⇔ =

Sol = { 4 }

ou bien :

x 42 22 16 x log 16 x log 2 x 4= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

2) x x 05 1 5 5 x 0= ⇔ = ⇔ =

Sol = { 0 }



3) 1

x x 2 13 3 3 3 x2

= ⇔ = ⇔ =

Sol = 12

4) x x x 2110 0,01 10 10 10 x 2100

−= ⇔ = ⇔ = ⇔ = −

Sol = { –2 }

5) 2

3x x 2 x3 3 22 4 3 2 2 2 x3

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Sol = 23

6) x8 3

ln 2 ln 2 ln 2 18 2 x log 2 x x x xln 8 3 ln 2 3ln 2

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Sol = 13

Remarquons que ce type d’équation peut se résoudre de deux manières :

soit en transformant l’équation pour la mettre sous forme d’une égalité entre deux fonctions

exponentielles de même base :

ax = ab ⇔ x = b.

soit en utilisant la propriété de réciprocité des fonctions exponentielles et logarithmes : x

aa k x log k= ⇔ =

(C’est cette deuxième méthode qui a été utilisée dans l’équation x8 2= , où il n’était pas

évident que 132 8= !).

7) 2x 2x 1 1e e e e 2x 1 x2

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Sol = 12

8) xee = 2 x = log 2 x = ln 2⇔ ⇔

Sol = { }ln 2

9) x 1 1e -x ln -x ln3 x ln33 3

− = ⇔ = ⇔ = − ⇔ =

Sol = { }ln 3



TAC 4 Remarquons que la présence d’une fonction exponentielle dans une équation n’entraîne pas

une restriction sur le domaine de la variable, puisque la fonction exponentielle est définie

dans R (contrairement à la fonction logarithme, qui est définie dans +oR , ce qui implique une

restriction du domaine !)

1)

{ }

x x 1

x x 1

x x

x

x

3

3 3 4 (le domaine de cette équation est )

3 3 3 4

3 3 3 4

4 3 4

3 1x log 1x 0 Sol 2

++ =

⇔ + ⋅ =

⇔ + ⋅ =

⇔ ⋅ =

⇔ =⇔ =

⇔ = =

R

2)

{ }

x 3 x 1

x 3 x 1

x x

x

x

x 2

5 5 3000

5 5 5 5 3000

5 125 5 5 3000

120 5 3000

5 25

5 5x 2 Sol 2

+ +− =

⇔ ⋅ − ⋅ =

⇔ ⋅ − ⋅ =

⇔ ⋅ =

⇔ =

⇔ =⇔ = =

3)

( )4x 2x

22x 2x

e 13e 36 0

e 13 e 36 0

− + =

⇔ − ⋅ + =

En posant 2x2 y= ,l'équation s'écrit :

{ }

2

2x 2x

y 13y 36 0y 4 ou y 9e 4 ou e 92x ln4 ou 2x ln9

1 1x ln4 ou x ln92 2

x ln2 ou x ln3 Sol ln2, ln3

− + =⇔ = =⇔ = =⇔ = =

⇔ = =

⇔ = = =



4)

( )2x 2x

12x 2x 2x2x 2x

e 15e 215 1e 2 e ee e

−

−−

− =

⇔ − = = =

En posant 2xe y= , l'équation s'écrit :

{ }

2

2

2x 2x

2x 2x0

2x

15y 2y

y 15 2yy 2y 15 0y 3 ou y 5e 3 ou e 5

e 3 n'a pas de solution (e )1e 5 2x ln5 x ln5 x ln 5 Sol ln 52

+

− =

⇔ − =⇔ − − =⇔ = − =⇔ = − =

= − ∈

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = =

5)

( )( )

x x 1

x x 1

x2 x

2x x

9 2 3

9 2 3

3 2 3 3

3 2 3 3

+

+

+ =

⇔ + =

⇔ + = ⋅

⇔ + = ⋅

En posant x3 y= , l'équation s'écrit :

{ }

2

2

x x

3 3

3 3

y 2 3yy 3y 2 0y 1 ou y 23 1 ou 3 2x log 1 ou x log 2x 0 ou x log 2 Sol 0, log 2

+ =⇔ − + =⇔ = =⇔ = =⇔ = =

⇔ = = =

TAC 5

( ) ( )2x 2x 2x1) e e 2x 2 e′ ′= ⋅ =

( ) ( )x

x x e2) e e x2 x

′ ′= =

( ) ( )2 2 2x x 2 x3) e e x 2x e′ ′= ⋅ =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 12x x x

x x

2 2x x 2x

4) e 2 e e car f x 2 f x f x

2 e e

2 e remarquons que e e

−′ ′′ ′ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= =

( )x x x5) 2 2 ln2 ( x) 2 ln2− − −′ ′= ⋅ ⋅ − = − ⋅

11 1 1 xx x x

2 21 1 3 ln36) 3 3 ln3 3 ln3x x x

′′ − − ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

TAC 6

1)

( )

] [

x

x 0 0

e 1

e e car 1 e

x 0 (car e 1 fonction croissante)Sol , 1

>

⇔ > =

⇔ > > ⇒

= −∞ −

2)

( )] [

x

x 1 1

133

13 3 car 33

x 1 3 1 fonction croissante

Sol , 1

− −

<

⇔ < =

⇔ < − > ⇒

= −∞ −

3)

( )

] [

x

x 2 2

1 214 2

1 42

1 1 1 1 1car 42 2 2

1x 2 1 fonction décroissante2

Sol , 2

− −

>

⇔ > = = =

⇔ < − < ⇒

= −∞ −



4)

( )( )

[ [

2x

2x 0 0

e 1

e e car 1 e

2x 0 e 1 fonction croissantex 0

Sol 0,

−

−

+

≤

⇔ ≤ =

⇔ − ≤ > ⇒

⇔ ≥

= +∞ =R

TAC 7

1) ( ) ( ) ( )3x

3x 3x 3x 3xee dx C car e e 3x 3 e3

′ ′= + = ⋅ = ⋅

∫

2) ( ) ( ) ( )2 2x x x 2x x

2xx

e 1 dx e 2e 1 dx e 2e 1 dx

e 2e x C2

− = − + = − +

= − + +

∫ ∫ ∫

( ) ( )( )

( )

21 1x x x x0 0

1 2x x0

12xx

02 0

0

20

3) e 2 e dx e 2e dx

e 2e dx

e 2e2

e e2e 2e2 2e 52e car e 12 2

+ ⋅ = +

= +

= +

= + − −

= + − =

∫ ∫

∫

TAC 8

1) ( ) ( )

( )

x x x

x x

x

x e x e x e

1 e x e

1 x e

′ ′′⋅ = ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= +

2) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

x x x xx

x 2x

x x x x x

2 2x x

e 1 e 1 e 1 e 1e 1e 1 e 1

e e 1 e 1 e 2e

e 1 e 1

′ ′′ + − − + − + = − −

− − + ⋅ −= =− −



3) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 x 2 x 2 x

x 2 x

x

x

x e x e x e

2x e x e x

x e 2 x

x 2 x e

− − −

− −

−

−

′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅

′= ⋅ + ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

= −

4) ( )

( )

( ) ( )

2 22

2 2

2 2

x xx

2

x 2 x

2

x 2 2 x

2 2

e x e xex x

e x x e

x

e 2x 1 2x 1 e

x x

′′ ′⋅ − ⋅ =

′⋅ ⋅ −=

⋅ − −= =



L.2 : SYNTHÈSE ET APPLICATIONS RÉCAPITULATIVES

1. Synthèse..............................................................................................................................1 1.1 Fonctions logarithmes ..............................................................................................1 1.2 Fonctions exponentielles ..........................................................................................2

2. Primitives .............................................................................................................................4 3. Intégrale d’une fonction rationnelle......................................................................................5 4. Une application courante des fonctions log. et exp. ............................................................7

4.1 Les placements à intérêts composés .......................................................................7 4.2 Les phénomènes à taux d’accroissement constant..................................................8

5. Exercices récapitulatifs ........................................................................................................9

Devoir à envoyer ....................................................................................................................11 Corrigé des TAC.....................................................................................................................12


1


SYNTHÈSE ET APPLICATIONS RÉCAPITULATIVES

OBJECTIF

Après cette leçon, vous serez capable :

- de faire une synthèse des propriétés des fonctions logarithmes et exponentielles,

- de formuler et d'utiliser les relations entre ces fonctions,

- d'appliquer ces propriétés au calcul de primitives,

- de résoudre des problèmes pratiques utilisant ces fonctions.

1. SYNTHÈSE

1.1 Fonctions logarithmes

Définitions : 0x :+∀ ∈ x

1

1ln x dtt

= ∫

( )lne 1 e 2,718...= =

{ }( )a 0ln xlog x a \ 1lna

+= ∈ R

Règles de calcul : a alog 1 0 et log a 1= =

0 x, y :+∀ ∈ R a a alog (x y) log x log y⋅ = +

a a a

xlog log x log yy

= −

( )ra alog x r log x= ⋅

Formule du changement de base :

{ }+ +b0 a 0

b

log xx : log x a et b \ 1

log a∀ ∈ = ∈R R


2


Dérivées et primitives :

0x :+∀ ∈ R ( ) 1ln x

x′ =

( )a1log x

x lna′ =

1 dx ln x Cx

= +∫

Limites :

si 0 < a < 1 si a > 1

( )a0lim log x

+= +∞ ( )a

0lim log x

+= −∞

( )a lim log x+ ∞

= −∞ ( )a lim log x+ ∞

= +∞

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

1.2 Fonctions exponentielles

Définitions : 0 x et y :+∀ ∈ ∀ ∈R R yaa x log x y= ⇔ =

En particulier : ye x ln x y= ⇔ =

Règles de calcul : 0 1a 1 et a a= =

x, y :∀ ∈ R x y x ya a a+ = ⋅

xx y

yaaa

− =

( )yx y xa a⋅ =


3


Dérivées et primitives : x :∀ ∈ ( )x xa a lna′ = ⋅

( )x xe e′ =

xx aa dx C

lna= +∫

x xe dx e C= +∫

( ) ( ) ( )f x f xa a ln a f x′ ′= ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )f x f xe e f x′ ′= ⋅

Limites :

si 0 < a < 1 si a > 1

( )x

lim a− ∞

= +∞ ( )x

lim a 0− ∞

=

( )x

lim a 0+ ∞

= ( )x+ lim a

∞= +∞

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y


4


2. PRIMITIVES

Nous pouvons reprendre et compléter notre tableau des primitives élémentaires

( ∈c et k R ) :

= +∫k dx kx C ( )n 1

n xx dx n 1n 1

+= ≠ −

+∫

cos x dx sin x C= +∫ sin x dx cos x C= − +∫

21 dx tgx C

cos x= +∫

21 dx cotgx C

sin x= − +∫

2

1 dx Arc sin x C1 x

= +−∫

21 dx Arctgx C

1 x= +

+∫

1 dx ln x Cx

= +∫ ( )( ) ( )f ' x

dx ln f x Cf x

= +∫

xx aa dx C

lna= +∫ x xe dx e C= +∫

Appliquons ces dernières formules au calcul d’intégrales :

1

21

2x 3I dxx 3x 4−

+=+ +∫

En remarquant que 2x + 3 est la dérivée de x2 + 3x + 4, on a :

( )21

21

12

1

x 3x 4I dx

x 3x 4

ln x 3x 4

ln8 ln28ln2

ln4

−

−

′+ +=

+ +

= + + = −

=

=

∫

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

x x 2 2

x x 2 x

1I x e dx e x dx car x 2x2

1 e C car e x est la dérivée de e2

′ ′= ⋅ = ⋅ = ′= + ⋅

∫ ∫


5


TAC 1 Calculez les intégrales suivantes :

1) tgx dx∫ 4) 2

x 1 dxx 2x 3

++ −∫

2) 3

12 x

0x e dx⋅∫ 5)

3

2

1 dx2x 3−∫

3) x

xe dx

e 1+∫ 6) xe dxx∫

Attachons-nous plus spécialement à un type particulier d’intégrales :

3. INTÉGRALE D’UNE FONCTION RATIONNELLE

Considérons une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) dont le dénominateur est factorisable en produit de facteurs du premier degré :

3 2

2x x 1x 5x 6

+ −+ +

Le degré du numérateur (3) étant supérieur ou égal au degré du dénominateur (2), on peut

effectuer la division :

x³ + x² + 0x – 1 x² + 5x + 6

– (x³ + 5x + 6x) x – 4

– 4x² – 6x – 1

– (– 4x² – 20x – 24)

14x + 23

On a donc :

( ) ( )3 2 2x x 1 x 5x 6 x 4 14x 23+ − = + + ⋅ − + +

D’où :

3 2

2 2x x 1 14x 23x 4x 5x 6 x 5x 6

+ − += − ++ + + +

Il est donc possible d’écrire la fraction 214x 23

x 5x 6+

+ + sous la forme :

214x 23 A B

x 2 x 3x 5x 6+ = +

+ ++ + (*)

A et B étant deux réels à déterminer.


6


Réduisons (*) au même dénominateur, et identifions les deux numérateurs ; il vient :

( ) ( )14x 23 A x 3 B x 2+ = + + +

Cette relation doit être vérifiée pour toute valeur de x, donc :

Si x = –2 : –5 = A ⇒ A = –5

Si x = –3 : –19 = –B ⇒ B = 19

On peut donc finalement écrire :

3 2

2x x 1 5 19 x 4

x 2 x 3x 5x 6+ − = − − +

+ ++ +

Dès lors :

( )

3 2

2

2

x x 1 5 19 dx x 4 dxx 2 x 3x 5x 6

1 1x 4 dx 5 dx 19 dxx 2 x 3

x 4x 5 ln x 2 19 ln x 3 C2

+ − = − − + + ++ +

= − − ++ +

= − − + + + +

∫ ∫∫ ∫ ∫

En décomposant la fraction donnée en somme de fractions rationnelles simples, on peut

donc calculer sa primitive.

TAC 2 Calculez :

1) 4 2

3

3x 7x 1 dxx 2− +−∫

2) 2

2x 3x 1 dx

x 1− −

−∫

3) 2

3x 1 dx

x 4x+

−∫


7


4. UNE APPLICATION COURANTE DES FONCTIONS LOG. ET EXP.

Examinons quelques situations concrètes :

4.1 Les placements à intérêts composés

Imaginons un placement à intérêts composés au taux de 8% l’an. Cela signifie qu’un

capital placé pendant un an rapporte 8% d’intérêts, qui s’additionnent au capital pour

rapporter eux-mêmes des intérêts durant la deuxième année, et ainsi de suite au cours

des années suivantes.

Mathématisons cette situation :

soit C0 le capital de départ :

après 1 an, ce capital s’est accru de 8% d’intérêts, et devient donc :

( )1 0 0 0C C 0,08 C C 1 0,08= + ⋅ = ⋅ +

A l’issue de la deuxième année, ce capital C1 s’est accru de 8% d’intérêts, et devient

donc :

( ) ( )22 1 1 1 0C C 0,08 C C 1 0,08 C 1 0,08= + ⋅ = ⋅ + = ⋅ +

Et ainsi de suite …

A l’issue de la nième année, le capital accumulé est donc :

( )nn 0C C 1 0,08= ⋅ +

Retenons la formule suivante :

Le capital Cn accumulé après n années de placement à intérêts composés au taux T d’un

capital de départ C0 est donné par :

( )nn 0C C 1 T= ⋅ +

Quelques calculs concrets :

1) Quel est le capital accumulé après 10 ans d’un tel placement à 8% d’un capital de

10 000 € ?

( )1010 0C C 1 T= ⋅ +

C0 = 10 000, et T = 0,08, d’où :

( )( )

1010C 10 000 1,08

21 589 € en arrondissant à l 'unité inférieure= ⋅=


8


2) Après combien d’années (entières) un capital placé à 6% aura-t-il doublé ?

On recherche donc le nombre n d’années tel que :

n 0C 2 C= ⋅

Or ( ) ( )n nn 0 0C C 1 T C 1,06= ⋅ + = ⋅

D’où :

( )( ) ( )

( )( )

n0 0

n

1,06 1,06

a

C 1,06 2 C

1,06 2 fonction exponentielle de base 1,06n log 2 fonction réciproque : log

ln 2n définition de la fonction logln 1,06

n 11,89...

⋅ = ⋅

⇔ =⇔ =

⇔ =

⇔ =

On en conclut que le capital aura doublé après 12 ans.

Remarquons que cette durée est indépendante du capital placé.

TAC 3 Dans un placement à intérêts composés au taux annuel de 7%,

1) Quel capital de départ vaudra 50 000 € après 5 ans ?

2) Après combien d’années un capital donné aura-t-il triplé ?

4.2 Les phénomènes à taux d’accroissement constant

Le placement d’un capital à intérêts composés n’est qu’un cas particulier d’un type de

situations où une grandeur y varie dans le temps selon un taux de variation constant.

Exemples :

1) Une population de bactéries augmente suivant un taux d’accroissement par heure

de 12% :

Si P0 est la population initiale,

Pn est la population après n heures,

on a : ( )nn 0P P 1 0,12= ⋅ +

2) Une voiture se déprécie de 20% chaque année :

Si V0 est le prix initial de la voiture,

Vn est le prix après n années,

on a : ( )nn 0V V 1 0,20= ⋅ −

Le taux est dans ce cas négatif, puisqu’il y a diminution.


9


Tous ces problèmes conduisent donc à des fonctions exponentielles, et les propriétés

vues dans les leçons précédentes permettent de résoudre les questions s’y rapportant.

TAC 4 1) La population d’une ville croît de manières exponentielle : elle était de 100 000 h en

1970 et de 180.000 h en 1980. Quelle population avait-on prévue en 1995 ?

2) La monnaie d’un certain pays se déprécie de 5% par an. Dans combien de temps la

valeur de l’unité monétaire de ce pays ne vaudra-t-elle plus que le dixième de sa valeur

actuelle ?

5. EXERCICES RÉCAPITULATIFS

TAC 5

Calculez l’aire de la surface limitée par les graphiques des fonctions 2x, x1

2

et les

droites d’équations x = 0 et x = 2.


1) ( )x 1log 5x 9 2− − =

2) 3x 1 4x 2 x 1e 2 e e 0+ + +− + =

TAC 7 Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

1) ( )2ln x 1 x+ +

2) 3x

2ex

TAC 8 Calculez l’intégrale :

22

20

x x 2I dxx x 2

+ +=+ −∫


10


TAC 9

Une population bactérienne augmente de manière exponentielle. Quel est le taux

d’accroissement par heure, sachant que cette population a été décuplée en trois

heures ?


11


DEVOIR À ENVOYER

1. Calculez les intégrales suivantes :

22

30

x dxx + 1∫

2-x 3x . e dx∫

2

2x + 3 dxx - 3x + 2∫

31

2-2

x dxx + x - 6∫

2. Un capital de 100.000 FB est placé à intérêts composés au taux annuel de 6%.

Dans combien de temps ce capital :

1) aura-t-il décuplé ?

2) vaudra-t-il 580.000 FB ?

3. La population d’une ville double tous les 15 ans.

Si cette ville comptait un million d’habitants en 1989 :

1) combien en compte-t-elle en 2000 ?

2) combien en comptait-elle en 1950 ?

4. 1) Calculez la dérivée de f : x x ln x - x→

2) Calculez la mesure de la surface comprise entre le graphique de la fonction ln x, l’axe

0x, et les droites 1xe

= et x = e. (Faites le graphique).

5. Calculez (avec graphique) le volume du solide de révolution engendré par la rotation

autour de l’axe 0x de la surface du plan 0xy limitée par le graphique de la fonction 3x,

l’axe 0x, et les droites x = 0, x = 1.


12


CORRIGÉ DES TAC

TAC 1

1)

( ) ( )( )

sin xI tgx dx dxcos x

cos xdx car cos x sin x

cos xln cos x C

= =

′− ′= = −

= − +

∫ ∫∫

2) ( )

( )

( ) ( )

3

3

3

3

12 x 3 2

01

2 x

01

3 x

01

x 1 0

0

I x e dx on a : x 3x

1 3x e dx3

1 x e dx3

1 1 1e e e e 13 3 3

′= ⋅ =

= ⋅

′= ⋅

= = − = −

∫∫∫

3)

( ) ( )

x

x

xx x

x

x

eI dxe 1

e 1dx car e 1 e

e 1

ln e 1 C

=+

′+ ′= + = +

= + +

∫

∫

4)

( ) ( ) ( )

( )

2

22

2

2

2

x 1I dxx 2x 3

2 x 11 dx car x 2x 3 2 x 12 x 2x 3

x 2x 31 dx2 x 2x 31 ln x 2x 3 C2

+=+ −

+ ′= + − = + + − ′+ −

=+ −

= + − +

∫∫

∫


13


5)

( )( )( )

3

23

2

3

2

1I dx2x 3

1 2 dx car 2x 3 22 2x 3

2x 31 dx2 2x 31 ln 2x 3 C2

=−

′= − =−

′−=

−

= − +

∫∫∫

6)

( )

( )

x

x

x

x

eI dxx

e 12 dx car x2 x 2 x

2 x e dx

2e C

=

′= =

′= ⋅

= +

∫∫∫

TAC 2

1) 4 2

3

3x 7x 1I dxx 2− +=−∫

Effectuons tout d'abord la division :

3x² – 7x + 1 x – 2

– (3x² – 6x) 3x – 1

– x + 1

– (–x + 2)

– 1

D'où : 2

2

3x 7x 1 (x 2) (3x 1) 1

3x 7x 1 13x 1x 2 x 2

− + = − ⋅ − −

− + = − −− −

Et l'intégrale s'écrit :

4

3

42

3

1I 3x 1 dxx 2

3x x ln x 22

16 93 4 ln2 3 3 ln12 2

27 1923 ln2 ln22 2

= − − −

= − − −

= ⋅ − − − ⋅ + +

= − − = −

∫


14


2) 2

2x 3x 1I dx

x 1− −=

−∫

Effectuons tout d'abord la division :

x² – 3x – 1 x² – 1

– (x² – 1) 1

– 3x D'où : 2 2

2

2 2

x 3x 1 (x 1) 3x

x 3x 1 3x1x 1 x 1

− − = − −

− − = −− −

Et l'intégrale s'écrit :

23xI 1 dx

x 1 = − − ∫

x² – 1 se décompose en ( ) ( )x 1 x 1− ⋅ + . Recherchons les réels A et B tels que :

23x A B

x 1 x 1x 1= +

− +−

En identifiant les deux numérateurs, après réduction de la somme au même

dénominateur, on a :

3x = A(x + 1) + B(x – 1)

si x = 1 : 3 = 2A 3A2

⇒ =

si x = –1 : –3 = –2B 3B2

⇒ =

L'intégrale s'écrit donc finalement :

3 32 2I 1 dx

x 1 x 1

3 3x ln x 1 ln x 1 C2 2

= − − − +

= − − − + +

∫

3) 2

3x +1I dxx -4x

= ∫

La division n'est pas possible ici (degré de N <degré de D).

Décomposons le dénominateur :

3 2x 4x x (x 4) x (x 2)(x 2)− = ⋅ − = ⋅ − +


15


On pourra donc écrire la fraction sous la forme :

2

3x 1 A B C

x x 2 x 2x 4x+ = + +

− +−

Par identification des deux membres, on a :

2x 1 A(x 2)(x 2) Bx(x 2) Cx(x 2)+ = − + + + + −

si x = 0 : 1 = – 4A 1A3

⇒ = −

si x = 2 : 5 = 8B 5B8

⇒ =

si x = – 2 : 5 = 8C 5C8

⇒ =

On a donc : 5 518 84I dx

x x 2 x 2

1 1 5 1 5 1dx dx dx4 x 8 x 2 8 x 21 5 5ln x ln x 2 ln x 2 C4 8 8

−= + + − +

= − + +− +

= − + − + + +

∫

∫ ∫ ∫

TAC 3 Le taux est de 7% l’an : T = 0,07

On recherche le capital C0 tel que C5 = 50 000 :

( )( )

( )

55 0

50

0 05

C C 1 T

50 000 C 1,0750 000C C 35 649,30897..1,07

= ⋅ +

⇔ = ⋅

⇔ = ⇔ =

Il faut donc placer un capital de 35 649 €.

2) Si C0 est le capital de départ, on recherche le nombre n d'années tel que Cn = 3 . C0.

On a donc : ( )( )

( )

nn 0

n0 0

n

1,07

C C 1 T

3 C C 1,07

1,07 3n = log 3

ln3nln1,07

n 16,237...

= ⋅ +

⇔ ⋅ = ⋅

⇔ =

⇔

⇔ =

⇔ =


16


La capitalisation se faisant par années entières, il faut donc 17 ans pour qu’un capital

triple !

TAC 4 1) Si P0 désigne la population en 1970, on a :

( )0

10

P 100 000et P 180 000 population 10 ans plus tard, donc en 1980

==

Le taux d’accroissement T est inconnu, mais on peut le déterminer puisque :

( )

( )

1010 0

10 10

01

1010

01

10

P P 1 TP

1 TP

P1 T

P

181 T10

1 T 1,0605... T 0,0605...

= ⋅ +

⇔ + =

⇔ + =

⇔ + =

⇔ + = ⇔ =

Le taux d’accroissement de la population est donc d’environ 6%.

Calculons maintenant la population prévue en 1995, c’est-à-dire 25 ans après 1970 :

( )( )

2525 0

2525

25

P P 1 T

P 100 000 1,0605...P 434 691,6...

= ⋅ +

⇔ = ⋅⇔ =

La population en 1995 serait donc de 434 692 habitants.

2) Le taux d’accroissement est négatif dans ce cas-ci, puisqu’il y a dépréciation de la

monnaie :

T 0,05= −

On recherche le nombre n d’années après lesquelles la valeur de la monnaie ne sera plus

que le dixième de sa valeur actuelle. On a donc :

0 n1C 1 et C

10= =


17


D’où :

( )( )

( )

nn 0

n

n

0,95

0,95

C C . 1 T1 1 1 0,05

101 0,95

101n log

10n log 10

ln10nln0,95

n 44,89...

= +

⇔ = ⋅ −

⇔ =

⇔ =

⇔ = −−⇔ =

⇔ =

La réponse est donc : 45 ans.

TAC 5

Représentons graphiquement les fonctions x

x 12 et2

.

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y

x2x1

2


18


x2x

0

2x

x

12

02x

x0

1S 2 dx2

12 2ln2 ln

2 1 1car ln ln2ln2 22 ln24 1 1 1

ln2 4ln2 ln2 ln21 14 1 1

ln2 4

94ln2

= −

= −

= + = − ⋅

= + − −

= + − −

=

∫

TAC 6

1) ( )x 1log 5x 9 2− − =

{ }car la base a \0

dom éq. x 5x 9 0 et x 1 0 et x 1 1

1

9x x et x 1 et x 25

9 ,5

+∈

= ∈ ξ − > − > − ≠ = ∈ ξ > > ≠ = +∞

R

{ }2

Transformons l'équation en exprimant x 1log (5x 9)− − en fonction de ln :

{ } ( )x 1

2

2

2

9 x , \ 2 :log 5x 9 25

ln(5x 9) 2ln(x 1)

ln(5x 9) 2 ln(x 1)

ln(5x 9) ln(x 1)

(5x 9) (x 1)

x 7x 10 0x 2 ou x 5

− ∀ ∈ +∞ − =

−⇔ =−

⇔ − = ⋅ −

⇔ − = −

⇔ − = −

⇔ − + =⇔ = =

2 n’appartient pas au domaine de l'équation, d’où :

Sol = { }5 .


19


( ) ( )( )

( )

3x 1 4x 2 x 1

3x 1 2x 1 x 1

3 2x x x

2x x x

2x x

x x

xx

2) e 2 e e 0

e 2e e 0

e e 2 e e e e 0

e e e 2e 1 0

e e e 1 0

e 0 ou e 1

e 0 est impossible : une exponentielle este 1toujours positive

x 0

+ + +

+ + +

− + =

⇔ − + =

⇔ ⋅ − ⋅ + ⋅ =

⇔ ⋅ ⋅ − + =

⇔ ⋅ ⋅ − =

⇔ = =

=⇔ =

⇔ =

Sol = {0}

TAC 7

( ) ( )

( )

2

22

2

2 2

2 2

2

2 2

2

x 1 x1) ln x 1 x

x 1 x

1 x1 1x 1 x 2 1 x

1 2x1x 1 x 2 1 x

1 1 x x

x 1 x 1 x

1

1 x

′+ +′ + + = + +

′+ = ⋅ +

+ + +

= ⋅ + + + + + + = ⋅ + + +

=+

( ) ( )( )

( )

( )

3 33

3 3

3

3

x 2 x 2x

2 22

x 2 2 x

4

x 3

4

x 3

3

e x e xe2)x x

e 3x x e 2xx

x e 3x 2

x

e 3x 2

x

′ ′′ ⋅ − ⋅ =

⋅ ⋅ − ⋅=

⋅ −=

−=


20


TAC 8 22

20

x x 2I dxx x 2

+ +=+ −∫

Divisons car : degré du numérateur = degré du dénominateur.

2 2

2 2 2x x 2 x x 2 4 41x x 2 x x 2 x x 2

+ + + − += = ++ − + − + −

x² + x – 2 se décompose en (x – 1)(x – 2), d'où :

24 A B

x 1 x 2x x 2= +

− ++ −

En identifiant les deux membres, il vient :

4 A(x 2) B(x 1)= + + −

si x = 1 : 4 = 3A 4A3

⇒ =

si x = –2 : 4 = –3B 4B3

⇒ = −

On a donc :

( )

4 423 3

0

2

0

I 1 dxx 1 x 2

4 4x ln x 1 ln x 23 3

4 4 4 4 4 42 ln1 ln 4 ln1 ln2 2 ln 4 ln23 3 3 3 3 38 42 ln2 ln2 car ln 4 2ln23 342 ln23

= + − − +

= + − − +

= + − − + = − +

= − + =

= −

∫

TAC 9

Si P0 est la population initiale, on a, après 3 heures, 3 0P =10 P⋅

D’où :

( )( )

30 0

3

13

P 1 T 10 P

1 T 10

1 T 101 T 2,154...T 1,154...

⋅ + = ⋅

⇔ + =

⇔ + =⇔ + =⇔ =

Le taux d’accroissement de cette population est donc de 115% par heure.

Intégrales, fonctions exponentielles et logarithmes Module 334 – Série 04 – Corrigé 1

1


LES FONCTIONS EXPONENTIELLES

1.

( )

23

21010 10 10

1log3 23

44ln2 ln2 4

3 2

log 3log 3 2log 3 log 32 2

log 2

1) e e 2 16

22) ln e ln e3

3) 100 10 10 10 3 9

14) 3 32

−

= = =

= =

= = = = =

= =

2.

( )( )

( )

{ }

x x 1

x2 x 1

2x x

x

2

x x

x x0

x x 2

1) 9 2 3 27

3 2 3 3 27

3 6 3 27 0

En posant 3 y :

y 6y 27 0y 9 ou y 3

3 9 ou 3 3

3 3 n'a pas de solution 3

3 9 3 3 x 2

D'où : Sol 2

+

+

− ⋅ =

⇔ − ⋅ ⋅ =

⇔ − ⋅ − =

=

− − =⇔ = = −

⇔ = = −

= − ∈

= ⇔ = ⇔ =

=

R

{ }

2

2

x 5x 1

x 5x 1 5

2

2

12) 232

2 2

x 5x 1 5

x 5x 6 0

x 2 ou x 3 Sol 2,3

− +

− + −

=

⇔ =

⇔ − + = −

⇔ − + =

⇔ = = =


2


( ){ }

x x

xx

x

2

x x

x x0

x

153) e e4

1 15e4e

En posant e y, l'équation devient :1 15yy 415y y 1 041y ou y 44

1e ou e 44

1e n'a pas de solution e4

e 4 x ln4, d'ou Sol ln4

−

+

− =

⇔ − =

=

− =

⇔ − − =

⇔ = − =

⇔ = − =

= − ∈

= ⇔ = =

R

{ }

x 1 1 x

x

x

x

2

2

x x

x x 1

x

4) 5 3 2 3 3

3 35 2 33 3

En posant 3 y, l'équation s'écrit :y 35 2 33 y

5y 18 9y

5y 9y 18 06y 3 ou y5

63 3 ou 35

3 3 3 3 x 163 n'a pas de solution 5

d'où : Sol= 1

− −⋅ − ⋅ =

⇔ ⋅ − ⋅ =

=

⇔ ⋅ − ⋅ =

⇔ − =

⇔ − − =

⇔ = = −

⇔ = = −

= ⇔ = ⇔ =

= −


3


3. xf : x 3→

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

4.

] [

2

2

x x 1

x x 1 3

2

2

3 27

3 3

x x 1 3 car la fonction exponentielle de base 3 est croissante

x x 2 02 x 1

Donc : Sol 2,1

+ +

+ +

<

⇔ <

⇔ + + <

⇔ + − <⇔ − < <

= −

5. ( )

( )( )

( )

2 2 2 2

2 22

2

2 2

x x x x 2

2x 2xx

x 2 2

2x x

x e x e e x e xx1)e ee

e 1 2x 1 2x

e e

′ ′′′ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = =

− −= =


4


1 1 1x x x

1 1x x

1 1x x

2

1x

2) x e x e x e

1e x ex

1e x ex

1e 1x

′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅

′ = + ⋅ ⋅

−= + ⋅ ⋅

= ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

x x x x x x x xx x

x x 2x x

x x x x x x x x

2x x

2 2x x x x

2x x

2x x x 2x 2x x x 2x

2x x

x x

2x x

x x2x x

e e e e e e e ee e3)e e e e

e e e e e e e e

e e

e e e e

e e

e 2e e e e 2e e e

e e

4e e

e e

4 en effet : e ee e

− − − −−

− −

− − − −

−

− −

−

− − − −

−

−

−

−

−

′ ′′ − ⋅ + − − ⋅ + − = + +

+ ⋅ + − − ⋅ −=

+

+ − −=

+

+ ⋅ + − + ⋅ −=+

⋅=+

= ⋅+

( )x x 0e e 1−= = =


5


6.

( ) ( )

2x2x

2x 2x 2x

31) 3 dx C2ln3

car : 3 3 ln3 2x 2ln3 3

= +

′ ′= ⋅ ⋅ = ⋅

∫

x

x

x x

11 1 1 122) dx dx C C car ln ln2

12 22 ln2 2ln2

− = = + = + = − ⋅ ∫ ∫

( )( )

( )( )

x 3 x 3x 2x x x

4x 3x 2x x

4x 2x3x x

x 3 x x 3 x

x 4

x 4

3) (e 1) e dx e 3e 3e 1 e dx

e 3e 3e e dx

e ee 3 e C4 2

On pourrait aussi écrire :

(e 1) e dx (e 1) e 1 dx

(e 1) C primitive d'une puissance4

En développant (e 1) , on

+ ⋅ = + + + ⋅

= + + +

= + + + +

′+ ⋅ = + ⋅ +

+= +

+

∫ ∫∫

∫ ∫

retrouve l'expression précédenteà une constante près.


1


SYNTHÈSE ET APPLICATIONS RÉCAPITULATIVES

1. ( )

( ) ( )

32 22 2 2

3 3 30 0 0

23

0

x 1x 1 3x 11) dx dx dx3 3x 1 x 1 x 11 1 1 2ln x 1 ln9 ln1 ln9 ln33 3 3 3

′+= =

+ + +

= + = − = =

∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 2 2x x 2 x x3 3 32) 3x e dx 2x e dx x e dx e C2 2 2

− − − −′⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ = − +∫ ∫ ∫

22x 33) I dx

x 3x 2+=

− +∫

Décomposons le dénominateur : ( ) ( )2x 3x 2 x 1 x 2− + = − −

Recherchons A et B tels que 22x 3 A B

x 1 x 2x 3x 2+ = +

− −− +

On a donc : ( ) ( )2x 3 A x 2) B x 1si x 1: 5 A A 5si x 2 : 7 B B 7D'où :

5 7I dx 5ln x 1 7ln x 2 Cx 1 x 2

+ = ⋅ − + ⋅ −

= = − ⇔ = −= = ⇔ =

− = + = − − + − + − − ∫

31

22

x4) I dxx x 6−

=+ −∫

Division : 3 2

3 2

2

2

x x x 6

(x x 6x) x 1

x 6x

( x x 6)

7x 6

+ −

− + − −

− +

− − − +

−

D'où : 3

2 2x 7x 6x 1

x x 6 x x 6−= − +

+ − + −

( ) ( )2x x 6 se décompose en x 2 x 3 .+ − − +


2


On peut donc écrire : 27x 6 A B

x 2 x 3x x 6− = +

− ++ −

On en déduit : ( ) ( )7x 6 A x 3 B x 2− = + + −

8si x 2 : 8 5A A527si x 2 : 27 5B B5

= = ⇔ =

= − = − ⇔ =

L'intégrale devient donc :

8 2715 5

2

12

2

I x 1 dxx 2 x 3

x 8 27x ln x 2 ln x 32 5 5

1 8 27 4 8 271 ln1 ln4 2 ln4 ln12 5 5 2 5 5

1 27 8 9 19ln4 4 ln4 ln42 5 5 2 5

−

−

= − + + − +

= − + − + +

= − + + − + + +

= − + − − = − +

∫

2. Capital de départ : C0 = 100 000

Taux annuel : T = 0,06

1) On recherche n tel que n 0C 10 C=

( )( )

( )

nn 0

n0 0

n

1,06

C C 1 T

10 C C 1,06

1,06 10n log 10

ln10n 39,51...ln1,06

= ⋅ +

⇔ = ⋅

⇔ =

⇔ =

⇔ = =

Le capital aura donc décuplé en 40 ans.


3


2) On recherche n tel que nC 580 000=

( )( )

( )( )

nn 0

n

n

1,06

C C 1 T

580 000 100 000 1,06581,0610

n log 5,8ln5,8n 30,168...ln1,06

= ⋅ +

⇔ = ⋅

⇔ =

⇔ =

⇔ = =

Le capital vaudra 580 000 € après 31 ans. 3. Recherchons d'abord le taux d'accroissement.

Si la population double tous les 15 ans, on a :

( )( )

115

15 015

0 015

C 2 C

C 1 T 2 C

1 T 2

1 T 21 T 1,04729...

T 0,04729...

= ⋅

⇔ ⋅ + = ⋅

⇔ + =

⇔ + =⇔ + =

⇔ =

1) On connaît le nombre d'habitants en 1989 : C0 = 106.

On recherche le nombre d'habitants en 2000, c'est-à-dire 11ans plus tard :

( )( )

1111

11 0116

11

11

C ?

C C 1 T

C 10 1,04729...C 1 662 475,8...

=

⇔ = ⋅ +

⇔ = ⋅

⇔ =

Cette ville comptait donc 1 662 476 habitants en 2000.

3) Si C0 est le nombre d'habitants en 1950, on a :

( )( )

( )

639

3960

3960

6

0 39

0

C 10 (1 million d'habitants en 1989)

D'où 10 C 1 T

10 C 1,04729...

10C1,04729...

C 164 938,49...

=

= ⋅ +

⇔ = ⋅

⇔ =

⇔ =

Cette ville comptait donc 164 938 habitants en 1950.


4


4. 1) ( ) 1x ln x - x ln x x 1 ln xx

′ = + ⋅ − =

La fonction x ln x – x est donc une primitive de ln x.

2)

ln

S2

-S1

e

1/e

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y

La surface colorée est la somme des surfaces S1 et S2 :

[ ] [ ]

( )

( )

11 ee

1 e 1 e1 2 11

S S S ln x dx ln x dx x ln x x x ln x x

1 1 1ln1 1 ln elne e ln1 1e e e

1 1 11 e e 1 car lne 1 et ln 1e e e

2 21 1 2e e

= + = − + = − − + −

= − − − + + − − + = − − + + + − + = = −

= − + = −

∫ ∫

5.

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2x

y

La mesure du volume de révolution engendré par la

rotation de la surface colorée est donnée par :

( )1 1 12x 2x x

0 0 01x

0

V 3 dx 3 dx 9 dx

9 9 1 8ln9 ln9 ln9 ln9

= π = π = π

π = π = π − =

∫ ∫ ∫

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