Cours Supra 3h

2007-02-12 2007, Frdric Sirois 1

ELE4453 Matriaux de llectrotechnique

Matriaux supraconducteurs

Frdric Sirois, ing., Ph.DProfesseur adjointDp. de Gnie lectriquecole Polytechnique de Montral

2007-02-12 2007, Frdric Sirois

ELE4453 Matriaux supraconducteurs 2

Quest-ce que la supraconductivit?

tat trs particulier de certains matriaux ltat solide, dont les 2 caractristiques fondamentales sont: une absence complte de rsistivit

lectrique un diamagntisme parfait (effet Meissner)

Cet tat ne peux exister que si: T < TC (temprature critique) B < BC (champ critique) J < JC (densit de courant critique)



Relation J-B-T

Surfaces critiques dfinissant la frontire de ltat supraconducteur et de ltat normal pour diffrents matriaux



Phnomne rare ou non?

La supraconductivit nest pas si rare, mais elle requiert parfois des conditions trs spcifiques pour tre observe, surtout pour des lments simples du tableau priodique

Source: P. Tixador et Y. Brunet, Techniques de lingnieur, D 2 701.



Un peu dhistoire

Diffrentes thories existant en 1911 sur la rsistivit des mtaux basse temprature




Dcouverte de la supraconductivit

Ceci conduit Kammerlingh Onnesen 1911 observer pour la premire fois le phnomne de supraconductivit(mercure)

Possible suite son succs liqufier lHlium en 1909 (temprature de 4.2 K !)



Dcouverte de la supraconductivit

La rsistivit est tellement faible que les bornes suprieures les plus pessimistes sont de lordre de 10-25 .m !!!(exprience de courant persistant) Cuivre: 1.72 x 10-8



Effet Meissner

Expulsion complte du champ magntique en toutes circonstances (matriaux de type I seulement)

Observ en 1933 par Meissner et Ochsenfeld

Source: C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 1996.



Effet MeissnerRefroidissement dans un champ magntique

a) Conducteur parfait b) Supraconducteur

Effet Meissner



Courants de surface et profondeur de pntration de London

Les frres London ont proposs en 1935 une thorie qui permet de reprsenter leffet Meissner (mais pas de lexpliquer) Ils ont remplac la relation J=E

(devenue inutile puisque = 0) par:




Lorsque utilise avec les quations de Maxwell, cette relation permet de dduire quune densit de courant de surface (js , pour supercourants ) extrmement lev (de lordre de 100 kA/mm2 !) maintient la densit de flux lextrieur du supraconducteur La profondeur sur laquelle ce courant de surface

circule est trs petite et de lordre de L, soit la profondeur de pntration de London Lordre de grandeur de L varies dune dizaine

plusieurs centaines de nanomtres, selon le matriau




Rpartition de linduction magntique et des courants dcrantage dans une plaque supraconductrice




Quest-ce que la supraconductivit?

Les 2 conditions suivantes sont donc essentielles pour dire quun matriau est supraconducteur:

absence complte de rsistivit lectrique diamagntisme parfait (effet Meissner)



Plusieurs dcennies de recherches

Les thories pour expliquer le phnomne progressent trs lentement Des avances

importantes surviennent chaque 20 ans environ



1950: Interaction de Frhlich(interaction lectron-phonon)

Deux lectrons peuvent en apparence sattirer via un mcanisme indirect: linteraction lectron-phonon

Source: E. H. Rhoderick et A. C. Rose-Innes, Introduction to Superconductivity, 1969. Source: http://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/igrant/theory_noflash.html



1957: Thorie BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer)

Premire thorie cohrente pour expliquer la supraconductivit lchelle microscopique

Base sur linteraction de Frhlich et lhypothse que les lectrons ltat supraconducteur forment des paires de Cooper

La thorie BCS leur a valu le prix Nobel de la physique en 1957 Note: ctait un 2e prix Nobel pour John Bardeen, qui avait reu

un premier prix Nobel pour la dcouverte du transistor Cest le seul ceintifique dans toute lhistoire a avoir reu 2 prix

Nobel

Bardeen Cooper Schrieffer



1957: Thorie BCS

Premire thorie cohrente pour expliquer la supraconductivit lchelle microscopique

Base sur linteraction de Frhlich et lhypothse que les lectrons ltat supraconducteur forment des paires de Cooper

Source: Tim Lynch, CEFA

Les paires de Cooper sont en fait une reprsentation pour illustrer un mouvement coordonndes lectrons dans la structure cristalline (une fonction donde qui stend lchelle macroscopique)



Supraconducteurs vs conducteurs normaux

Le mouvement coordonn des lectrons permet un dplacement sans collision, donc SANS PERTES pour un courant continu

Ceci nest possible que lorsque le rseau cristallin est relativement calme , donc basse temprature

Ceci est contraire au modle de Drude (modle des boules de billard ), dans lequel la conductivitest dtermine par le libre parcours moyen entre 2 collisions

Voir:http://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/igrant/bcstheory_noflash.html#bcscurrentpour une comparaison visuelle qualitative



Dautres dcouvertes importantes

1957: Abrikosov prdit lexistence de 2 types de supraconducteurs Type I: tel que dcrit prcdemment Type II: une nouvelle phase: ltat mixte

1963: Effet Josephson Un tension continue au borne dune jonction SNS

(Supra-Normale-Supra) engendre un courant alternatif ! la base de toutes les applications des

supraconducteurs en lectronique: Superconducting Quantum Interference Device (SQUID) Technique de mesure la plus prcise au monde !

Ordinateur quantique



1986: une perce majeure

Dcouverte par Bednordz et Meller (prix Nobel) de matriaux supra 35 K ( Cuprates ) La1.85Ba0.15CuO4 (35 K) auparavant le record de Tc tait de 23 K (Nb3Ge2)

1987: Chu et Wu YBa2Cu3O7 (95 K !!!)

La barre du 77 K (azote liquide pression atmosphrique) est franchie pour la premire fois

Le seuil de lazote liquide est crucial car cela rend la cryognie abordable comparativement lHlium liquide

Cette dcouverte lance une nouvelle branche de recherche: les matriaux supraconducteurs haute temprature critique (HTc)



volution des tempratures critiques avec les annes




Caractristiques des matriaux supraconducteurs HTc

Ces matriaux sont tous de type II (explications venir) Il sagit de cramiques plutt que de

composs mtalliques La nature de la supraconductivit est

diffrentes des matriaux basse temprature (BTc) La thorie BCS nest plus suffisante ce jour, il ny a pas encore de consensus sur une

explication thorique complte Une explication qualitative est prsente sur le

lien suivant:http://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/igrant/hightctheory_noflash.html



Potentiel technique et commercial

Les points forts des matriaux supra HTcsont: Leur aptitude transporter de forts courants avec

trs peu de pertesDO UN TRS GRAND POTENTIEL

DAPPLICATION EN LECTROTECHNIQUE Leur champ critique (Bc2) extrmement lev (>

40 T !!!)Application dans le domaine des champs

magntiques levs imagerie mdicale fusion nuclaire (Tokamak) physique de la haute nergie



Matriaux HTc prometteurs

Principalement 2 familles: YBCOIntressant en couches minces (Ic>106 A/cm2 )

BSCCOmoins performant que YBCO en couches minces 77 Kplus facile mettre en forme de pices massives (tubes, barres)



Exemples de matriaux supra HTc

chantillons de YBaCuO et BiSrCaCuO massifs pour applications

lchelle macroscopique



Exemples de matriaux supra HTc

Maille cristalline dYBaCuO

et lchelle microscopique !



YBaCuO vs HgSrCaCuO (analogue au BiSrCaCuO)


La structure de ces matriaux est de type provskite. Ce sont des oxydes de cuivre (plans CuO2) spars par des atomes dYtrium (ou autre terre rare) ou de calcium, et intercals entre deux blocs identiques dextrmit qui contiennent des mtaux ou des terres rares et de loxygne.



Temprature et champ critique

La supraconductivit disparat au-dessus dune certaine temprature appele: Temprature critique (Tc) De mme, une temprature donne T



Type I vs type II


Effet Meissner (diamagntisme parfait)

prsent en tout temps

Disparition de leffet Meissner

aprs Hc1

sous



Diagramme de phase H-T pour un matriau de type II

Il existe mme un Hc3 (sous certaines conditions), mais ceci est de peu dintrt pratique

De mme, les matriaux de type I on un Hc trop faible pour tre intressants en pratique


Relation approximative:



Quest-ce que ltat mixte?



Quest-ce que ltat mixte?

En haut de HC2, on observe exprimentalement une pntration de flux lintrieur du volume du supraconducteur Abrikosov avait prdit ceci en 1957, avant mme

que lon ait observ le phnomne il reut un prix Nobel en 2003 seulement, soit 46 ans

plus tard !

La pntration du flux rsulte en un phnomne thermodynamique li lnergie de surface lorsque la longueur de cohrence < L (profondeur de pntration de London)



Longueur de cohrence () En gros, reprsente ltendue maximale sur laquelle les

lectrons peuvent former une paire de Cooper Plus est grand, plus la supraconductivit peut

stendre loin une interface Supra-Normale, et moins le matriau sera sensible aux petits dfauts


Ce constat a beaucoup plus de porte quon ne pourrait le croire:Les proprits des supraconducteurs (Jc, Hc) dpendent grandement de !



Caractristiques typiques de certains matriaux dintrt pratique

Source: P. Tixador et Yves Brunet, Techniques de lingnieur, D 2 703.



Type I et type II : Dfinition formelleSource: E. H. Rhoderick et A. C. Rose-Innes, Introduction to Superconductivity, 1969.

Type I : nergie de surface positive Type II : nergie de surface ngative

Type I : > Type II : <



Consquence de lnergie de surface

Tout systme physique tend rduire son nergie totale Une nergie de surface positive (matriaux de type I)

favorise de minimiser linterface Normale-Supra, do leffet Meissner

Avec une nergie de surface ngative (matriaux de type II), il est au contraire avantageux de crer des interfaces Normales-Supra

Cest exactement ce qui se produit: le matriau cre de nombreuses petites zones normales travers le volume supraconducteur, dans lesquels le champ magntique est admis

Il subsiste quand mme un effet Meissner chaque interface, mais comme il existe du flux dans le matriau, le diamagntisme parfait est perdu



Consquence de lnergie de surface

Flux magntique traversant un matriau supraconducteur de type II La configuration en tubes de flux (aussi appele vortex) est celle qui

est le plus favorable nergtiquement, car elle maximise la rduction de lnergie totale du systme

Source: E. H. Rhoderick et A. C. Rose-Innes, Introduction to Superconductivity, 1969.



Structure dun vortex

Leffet Meissner chaque interface Normale-Supra en tube engendre un courant de surface qui sapparente un vortex , do le nom

lintrieur de chaque tube de flux, il passe une unit de flux quantique (1 fluxon), de valeur gale 0=h/2e=2,07x10-15 Wb




Agencement gomtrique des vortex

Les vortex se repoussent mutuellement (comme toute ligne de champ magntique, qui ne peut jamais en croiser une autre)

En absence de dfaut dans le matriau, ils sorganisent en rseau rgulier (prdiction dAbrikosov)

Source: Abrikosov, 1957.



Ltat mixte est-il supraconducteur ?

La prsence de vortex crs par des supercourants indique que le matriau est bel et bien supraconducteur dans ltat mixte Cependant, si fait circuler un courant dans

un matriau ltat mixte sans dfauts, on mesurera des pertes ! Pourquoi ?!?



Origine de la rsistivit dans un supraconducteur de type II

Matriaux de type II : rseau de lignes de flux quantiques

0=GGG

JFLJG

LFG

0G

En prsence dun courant J, apparition dune force de Lorentz, i.e.

Si les vortex ne sont pas retenus par quelque chose, ils vont se mettre en mouvement !




Le mouvement des vortex nest pas souhaitable, car il engendre un champ lectrique E colinaire avec J, doapparition de pertes, selon les quations suivantes:

Cependant, les dfauts prsents dans le matriau, sils sont bien rpartis, permettent dancrer les vortex en place et ainsi dempcher la dissipation

Comme les dfauts peuvent aussi nuire la supraconductivit, tout lart rside dans la faon de crer les bons dfauts pour une application donne

fE B v

P J E

= =

G G GG G




Partant dune configuration de dfaut donne, il peut se produire 3 choses sur application dun courant J (on suppose pour linstant une opration au zro absolu, en absence dagitation thermique):Rgime dancrage: les dfauts retiennent tous les

vortex en place, et le courant circule sans pertestat critique (J=Jc): les vortex sont juste sur le

point dquilibreRgime de fluage : les vortex se mettent en

mouvement et engendrent des pertes, tel que mentionns prcdemment

Jc est dfini comme tant le courant critique dans un supraconducteur de type II

PL FF




Graphiquement, on obtient la situation suivante:Caractristique E-J : modle de fluage linaire

T = 0 K, Bext arbitraire La vitesse des

fluxons est limite par Fv=.vf (une force visqueuse appele force de Magnus) Il y a donc

apparition dune rsistivitde fluage ff



Parenthse: la lvitation magntique

Cest grce lancrage des lignes de flux que le phnomne de lvitation magntique stable est possible, ET NON PAS grce leffet Meissnerhttp://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/igrant/whatis_noflash.html

Source: University of Oslo, Superconductivity Lab




La ralit observe est cependant diffrente

Courbure dans la forme de la courbe E-J :2 facteurs

indissociables:1)Distribution

statistique P(Jc)2)Agitation

thermique

T > 0 K, Bext arbitraire

Caractristique E-J relle : arrondie prs de J=Jc




Nature de la distribution statistique de P(Jc) : Jc diffrent dans chaque section dz

E cc JJP de estatistiquon distributi)( =

diff

J

CC JEJJPJQ ==

/d)()(

J

dEi

2

2

0

1)('d)'()(JEJPJJQJE

ffC

J

ff ==

Relations bases sur le modle de fluage linaire




Exemple illustratif pour une distribution de Ic (courant critique) rduite




Agitation thermique quivalent abaisser la valeur de Jc observe exprimentalement

P(Jc) inclut implicitement les 2 contributions



Dfis de caractrisation et de modlisation

La densit de courant critique (Jc) varie grandement avec:1) le champ magntique2) la temprature

Nb3Sn Nb3Sn




Dfis de caractrisation et de modlisation

De plus, la dpendance en champ est trs anisotrope dans les supraconducteurs HTc

Source: H. D. Ramsbottom et al., 1996.



Surfaces critiques

Des mesures exprimentales sur une vaste plage de conditions exprimentales permettent de dfinir les surfaces critiques en-del desquelles les matriaux sont supraconducteurs



Que doit-on retenir de tout ceci?

La modlisation des matriaux supraconducteurs HTcest complexe

Cependant, en opration normale (rgime nominal), on demeure sous Jc, do des modles plus simples peuvent tre utiliss pour valuer les pertes

Dans un supra HTc, tant donn que la rsistivit(=E/J) nest pas nulle, il ny a pas lieu dutiliser les quations de London, mais simplement une loi dohm modifie, i.e.

E=(J,B,T)J=f(J,B,T) Enfin, on peut aussi montrer que les quations de Maxwell

conventionnelles sappliquent si on moyenne le champ sur une chelle qui englobe plusieurs vortex



Mthodes danalyse

Il est possible danalyser le comportement lectrique, magntique et thermique des supraconducteurs HTc exactement comme on le fait pour des matriaux conventionnels, mais en considrant une rsistivit non linaire (J,B,T) Les logiciels dlments finis sont une bonne faon

dtudier des problmes de gomtrie complexe et permettent de saffranchir de la lourdeur des quations diffrentielles Il faut cependant que les outils de calculs soient

adapts cette nouvelle ralit, i.e (J,B,T), ce qui nest pas toujours simple en pratique



quations diffrentielles rsoudre

Les logiciels doivent pouvoir solutionner:

a) Les quations de Maxwell (electromagntisme)

b) Lquation de chaleur (thermique)

Il sagit dun problme coupl



Pourquoi tous ces calculs?

Afin de rendre la technologie la plus comptitive possible, il est important doptimiser la conception des applications Rduction des pertes Rduction du volume de matriau requis

De plus, la modlisation lectromagntique fine permet dextraire ensuite des modles en termes de circuits quivalents, qui seront fort utiles pour valuer par simulation limpact des applications dans un rseau lectrique



Modles en circuits quivalents

Permettent ensuite dtudier lintgration des appareillages supraconducteurs dans les rseaux lectriques



Exemples dapplications en lectrotechnique

Transformateurs de puissance




Cbles

SumitomoSumitomo




Stockage dnergie magntique (SMES)

AMSCAMSC



Autres applications potentielles

Moteur de navire (49 000 HP !!!)



Applications des supraconducteurs dans dautres domaines

Trains lvitation magntique (MAGLEV)



Applications des supraconducteurs dans dautres domaines

Imagerie mdicale (matriaux BTc)

IRM modIRM modle de 3 Teslale de 3 TeslaSiemens et Oxford InstrumentsSiemens et Oxford Instruments



Applications en lectrotechnique sans quivalent classique

Principe: On se sert de la rsistivit non linaire comme dun

interrupteur , i.e.

Lorsque JJc (en court-circuit), la

rsistance devient trs grande, limitant ainsi le courant de court-circuit, et lnergie de dfaut est absorbe en bonne partie par le limiteur

La limitation est ainsi assure de manire entirement passive (sans systme actif de dtection), ce qui est primordial car la protection des rseaux doit tre dune grande fiabilit



Limiteur de courant supraconducteur

Limiteur de courant de court-circuit

Source: Y. Brunet et P. Tixador, Techniques de lingnieur, D 3 662.




Limiteurs de courant supraconducteursExemple dimplmentation: limiteur effet dcran





Principal intrt des limiteurs en rseau: Rend possible un maillage accru des

rseaux, ce qui en augmente la fiabilitsans dpasser les limites de court-circuit Permet lajout de production distribue de

puissance importante prs des grands centres sans augmenter le niveau de court-circuit



Autres proprits communes aux appareillages supraconducteurs

Plus petits/compacts/lgers puissance gale avec les technologies conventionnelles Une rduction de 50 65% du poids est possible par

rapport un appareil conventionnel Ceci est une option trs intressante pour des

installations rtrofit l o les contraintes despaces sont quasi-insurmontables cot raisonnable

Capacit de surcharge prolonge plus grande: meilleure gestion de la demande de pointe Exemple: un transformateur supra peut-tre surcharg

2 p.u. pendant une priode de plusieurs semaines sans subir aucun vieillissement (mais au dtriment du rendement du systme de refroidissement)



Forecasted Market Penetration Curves

Source: Analysis of Markets and Future Prices for High Temperature Superconductors



Cot des fils supra HTc ($ par mtre)

Source: Analysis of Markets and Future Prices for High Temperature Superconductors



March mondial prvu pour les supraconducteurs

$0

$1,000

$2,000

$3,000

$4,000

$5,000

$6,000

$7,000

1997 2000 2003 2010

New Electronics Applications

New Large Scale Applications

Magnetic Resonance Imaging

Reseach & Technological Development

Millions

Source: Connectus, 2003



Modles simples pour analyser les dispositifs supraconducteurs

Revenons au modle E-J du supra, lorsque J se situe dans le voisinage de Jc (pour B et T constants)



Modles E-J de base

Bean : (i.e. L. P. avec n=)(1 paramtre)

n

cJJEE

= 0

n

c

c

JJJ

EE

= min0

cJJ = ,0

Loi de puissance :(2 paramtres)

Percolation :(3 paramtres)

(explications au tableau)



Ce que lon peut retenir

Les modles en loi de puissance et de type percolation sont plus continus , et sont donc intressants pour des logiciels danalyse numrique Ces modles sont aussi plus ralistes que le

modle de Bean pour des matriaux HTc Cependant, le modle de Bean, en raison de sa

simplicit, se prte bien des calculs la main, ce qui est pratique en premire approximation De plus, le modle de Bean reste encore largement

utilis car il permet de se comparer une rfrence connue (on peut vrifier si lordre de grandeur des calculs plus raffins a du sens)



Modle de ltat critique (ou modle de Bean, 1964)

On suppose Jc constant Sur application dun champ croissant, un

courant de Jc est induit sur la surface du matriau Selon les quations de Maxwell, J=rot(H),

do en 1D: J=-dH/dX Ceci implique que la pente dH/dx=Jc ou 0,

aucune autre valeur On peut solutionner graphiquement des

problme simples



Modle de ltat critique

Exemple classique: le fil cylindrique long

On applique un champ Ha croissant le long de laxe du fil

Les courants se propage vers lintrieur jusqu ce que le flux soit compltement pntr

Ensuite, le flux entre librement de faon uniforme




Ha croissant, suivi dune dcroissance




La modification de la configuration du flux interne requiert un travail W Ce travail sert lutter contre les forces

dancrage, qui nous empche de pousser (tirer) les lignes de flux dans le (hors du) matriau Les pertes se calcule exactement comme on

calcule les pertes hystrtiques dans un noyau de transformateur, i.e.

cyclecycle vol

W HdB= v




Si Jc dpend du champ magntique, lanalyse se complique un peu, mais on peut voir qualitativement le rsultat:



Exemple dapplication

Calcul des pertes en rgime nominal dans un limiteur de courant supraconducteur effet dcran

Exemple dimplmentation: limiteur effet dcran




Calcul plus prcis

Distribution du courant dans un fil supraconducteur en ruban, calcul avec un modle en loi de puissance, laide de mthodes numriques



Dfis relever en recherche

Loptimisation des appareillages supraconducteurs requiert: De bons modles de matriaux (rsistivit) Mesures J, B, T variables sur une grande plage

dopration 0 < B < 5-10 T 65 < T < 110 K 0 < J < 10 000 A/cm2

Implique des dfis de taille au laboratoire Des outils de calcul numrique sophistiqus lments finis pour quations de Maxwell hautement

non linaires Algorithmes spciaux adapts aux supraconducteurs

(maillage adaptif, processeurs parallles, )



Activits en cours Poly

Mesures des proprits des matriaux supraconducteurs en rgime dissipatif




Le conducteur a fondu !




Exp erim ental Setup

a) Applied fieldb) Magnetic responsec) Resultant flux density

Flux diffusion equation:




Techniques numriques de rsolution des quations de Maxwell avec prsence de supraconducteurs

Mthodes semi-analytiques

Calcul sur processeurs parallles



Maillage adaptif autour du front de flux

Maillage fixe Maillage adaptif (front de flux, t1




Mini-limiteur pour validation des modles en dveloppement (stage CRSNG 2006, Dominique Gurette)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Essai du lim iteur avec court-circuit - 45Vcrte , Essai 1

Temps [s]

T

e

n

s

i

o

n

[

V

]

o

u

C

o

u

r

a

n

t

[

A

]

Tension au limiteurCourantTension de source



Modles en circuits quivalents

Permettent ensuite dtudier lintgration des appareillages supraconducteurs dans les rseaux lectriques



Sources des figures

P. Tixador et Y. Brunet, Supraconducteurs: bases thoriques, Techniques de lingnieur, D 2 701.

E. H. Rhoderick et A. C. Rose-Innes, Introduction to Superconductivity, London: Pergamon, 1969, p. 177.

C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, 1996.

P. Tixador et Y. Brunet, Supraconducteurs: environnement et applications, Techniques de lingnieur, D 2 703.

Y. Brunet et P. Tixador, Limiteurs supraconducteurs, Techniques de lingnieur, D 3 662.

B. Dutoit, Cours supraconductivit, cole Polytechnique Fdrale de Lausanne, http://lanoswww.epfl.ch/studinfo/courses/cours_supra/

H. D. Ramsbottom et al. "Study of V-I curves and transport current for Ag sheathed Bi-2223 tapes ", Ottawa, 1996.

F. Sirois, Thse de doctorat, cole Polytechnique de Montral, 2003



Liens web

Texte dintroduction trs abordable sur quest-ce que la supraconductivit http://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/igrant/whatis_noflash.html

Recette pour faire vos propres supraconducteurshttp://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/igrant/making_noflash.html

Vous voulez en acheter? Voici de bonnes adresses!http://superconductors.org/Play.htm



Remerciements

Un merci spcial Claude Girard de lIREQ qui ma fourni de nombreuses rfrences et photographies, ainsi que la prsentation quil a soigneusement prpare pour le compte dHydro-Qubec au sujet des applications grande chelle des appareillages supraconducteurs

Cours Supra 3h

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