Cours Suites

7/17/2019 Cours Suites

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Suites arithmétiques, suites géométriques

1 Définition et génération d’une suite

Il arrive que l’on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compléter "logiquement"

une suite de nombres, comme par exemple :

1,2,4,8,16,.... .. , . . . . . . , . . . . . . etc1,4,9,16,25,......,......,...... etc

−3,1,5,9,...... , . . . . . . , . . . . . . etc

En mathématiques, une suite u est une liste ordonnée de nombres réels : les éléments de cette liste

sont appelés termes de la suite u , et sont tous repérés par leur rang dans la liste ; ainsi le premier terme

de la suite u est souvent noté u 0, le second u 1, le suivant u 2 et ainsi de suite... Le n -ième terme de la

suite u (ou terme de rang n ) est ainsi noté u n , le terme précédent étant u n −1 et le suivant u n +1 .

Les suites sont souvent considérées comme illimitées : on notera u = (u n )n ∈

pour signifier que le rang

d’un terme de la suite u est un entier naturel (sans "fin" de liste). On a donc :

nom de la suite u = (

1er terme u 0 ;

2nd terme u 1 ; u 2 ; . . . ; u n −1 ;

terme de rang n u n ; u n +1 ; . . . )

Une suite peut être engendrée de deux manières :

Définition "explicite" (ou "fonctionnelle") du

terme de rang n ,

du typeu n = f (n )

où f est une fonction définie sur un intervalle du

type [a ;+∞

[ (avec a réel).

Par exemple, on se donneu n =−5+7n pour n 0

(u n = f (n ) avec f définie sur par f (x ) = −5+7x .)

On a ainsi

u 0 = . . . , u 2 = . . . , u 3 = . . . , u 7 = .. ., etc

Avec une calculatrice :

Entrez la suite comme une fonction dans le

menu "Tableau", par exemple Y1=-5+7X

Puis réglez les paramètres du tableau de valeurs :

Start=0, End=20, Pitch=1 (sur Casio)

TblStart=0,∆Tbl=1 (sur TI)

Puis affichez ce tableau de valeurs : vous avez,

dans l’ordre, les termes de cette suite à partir de

u 0.

Définition "par récurrence"

du type

u 0 = a ∈

u n +1 = f (u n )

où f est une fonction définie sur un intervalle I

telle que f (I )⊂ I .

Cette relation de récurrence permet calculer un

terme de la suite à partir du terme précédent.

Par exemple, on se donne

u 0 = 1

u n +1 =−2u n +1On a ainsiu 1 =−2u 0+1=−2×· · ·+1= . . . ,

u 2 =−2u 1+1=−2×· · ·+1= . . . ,

u 3 =−2u 2+1=−2×· · ·+1= ...,etc

Avec une calculatrice :

Tapez la valeur du premier terme, puis tapez sur

(ou )

On utilise la touche de la calculatrice, quiest un rappel du résultat du calcul précédent :

Dans notre exemple −2×

+ 1, puis

(ou )

Vous voyez apparaître la valeur de u 1 ; à chaque

fois que vous appuyez sur , le terme suivant

de la suite apparaît...

TermSTT /4 Cours suites - fonctions exponentielles



2 Suites arithmétiques

Définition :

Dire d’une suite (u n )n ∈

u qu’elle est arithmétique signifie qu’il existe un certain réel r , appelé raison

de la suite, tel que, pour tout n 0, u n +1 =u n +r

Exemple : On passe d’un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombrer

:

prenons par exemple la suite (u n )n ∈

u arithmétique, de premier termeu 0 = 5 et de raison r = −2.

La définition de (u n )n ∈

u par récurrence est

u 0 = . . .

u n +1 = . . . . . . . . .Les premiers termes de cette suite sont u 1 = . . . , u 2 = . . . , u 3 = . . . , u 4 = . . . , u 5 = . . . , u 6 = . . . .

Terme général d’une suite arithmétique :

Soit (u n )n ∈

u une suite arithmétique, de premier terme u 0 et de raison r . Alors on a

Pour tout n ∈ , on a u n =u 0+nr

(et, pour tous n ,p ∈ , on a u n = u p + (n −p )r )

Par exemple :Si (u n )n ∈

u est une suite arithmétique de premier termeu 0 = 5 et de raison r = −2,

alors pour tout n ∈ on a u n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Suites géométriques

Définition :

Dire d’une suite (u n )n ∈

u qu’elle est géométrique signifie qu’il existe un certain réel non nul q , appelé

raison de la suite, tel que, pour tout n 0, u n +1 = q ×u n

Exemple : On passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même réel q :

prenons par exemple la suite (u n )n ∈

u géométrique, de premier termeu 0 = 8 et de raison q = 12

.

La définition de (u n )n ∈

u par récurrence est

u 0 = . . .

u n +1 = . . . . . . . . .Les premiers termes de cette suite sont u 1 = . . . , u 2 = . . . , u 3 = . . . , u 4 = . . . , u 5 = . . . , u 6 = . . . .

Terme général d’une suite géométrique :

Soit (u n )n ∈

u une suite géométrique, de premier terme u 0 et de raison q . Alors on a,

Pour tout n ∈ , on a u n =u 0×q n

(et pour tous n ,p ∈

, on a u n =u p ×q n −p )

Par exemple :

Si (u n )n ∈

u est une suite géométrique de premier termeu 0 = 8 et de raison q = 12 ,

alors pour tout n ∈ on a u n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Fonctions exponentielles

Représentation graphique des termes d’une suite :

On représente les termes d’une suite (u n

)n ∈

dans un repère du plan, en marquant les points de coor-

données (0;u 0), (1;u 1), (2;u 2),(3;u 3), etc. . .

Si on a u n = f (n ), où f est une fonction, alors ces points sont situés sur la courbe représentative de la

fonction f .




Pour une suite arithmétique

Prenons l’exemple de la suite arithmétique de

premier termeu 0 = 5 et de raison−2 ; le terme

général de cette suite est donné par u n = 5−2n = f (n ), avec f (x )= 5−2x . Donc les points

représentant les termes de cette suite sont sur

la droite d’équation y = 5−2x , qui représente la fonction f :

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

Droite d’équation y = 5−2x

(0;u 0)

(1;u 1)

(2;u 2)

(3;u 3)

(4;u 4)

Pour une suite géométrique

Prenons l’exemple de la suite géométrique de

premier termeu 0 = 8 et de raison0,4 ; le terme

général de cette suite est donné par u n = 8×(0,4)n = f (n ),

avec f (x ) = 8× (0,4)x . Donc les points repré-

sentant les termes de cette suite sont sur lacourbe d’équation y = 8× (0,4)x , qui repré-

sente la fonction f :

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

Courbe d’équation y = 8× (0,4)x

(0;u 0)

(1;u 1)

(2;u 2)

(3;u 3)(4;u 4) (5;u 5)

Définition:

Soit a un nombre positif différent de 0 et 1.

Les fonctions du type x −→ a x sont appelées fonctions exponentielles de base a

Variations :

Si 0< a < 1 alors la fonction x −→ a x est décroissante

Si a

>1 alors la fonction x

−→a x est croissante

Propriétés : Pour tous x , y réels, on a

a x ×a y = a x + y

a −x = 1a x

a x

a y = a x − y

Des valeurs particulières : Pour tout a réel positif différent de 0 et 1, on a

a −1

= 1

a a 0 = 1

a 1

=a

a 0.5 = a

Courbes représentatives de quelques fonctions exponentielles




Pour a = 10

0 1 2 3 4−1−2−3−4 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Courbe d’équation

101 = 10

102 = 100

100 = 1

y = 10x

10−1 = 0.1

Pour a = 2

0 1 2 3 4−1−2−3−4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1415

16

17

18

19

20

21


2−2 = 0.252−1 = 0.5

20 = 1

y = 2x

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

Pour a = 0.5

0 1 2 3 4−1−2−3−4 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.81.9

2


0.51 = 0.5

0.52 = 0.25

0.53 = 0.125

y = 0.5x

0.54 = 0.0625

0.50 = 1

0.5−1

=2


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