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Suites - exercices corrigés
4.1. Je connais mon cours
Définition d’une suite numérique : on peut définir les suites comme des fonctions de vers , n
u f n
(par exemple 1
nu
n
) ou par des relations inernes (récurrence) : 1 2, 0, ...,
n n nu f u u u comme par exemple
la suite de Fibonacci : 0 1 2 1
1, 1,n n n
u u u u u .
Une suite est croissante (décroissante) lorsque : tous ses termes vont en augmentant (diminuant), pour tout
n, on a 1n n
u u ; décroissante lorsque 1n n
u u .
Algorithme de calcul des n premiers termes d’une suite définie par 1n n
u f u et la donnée de 0
u :
Données :
f, u0, n
Variables
locales : k, X
0 k
0u X
Tant que k n
Faire ( )f X X
Fin tant que
Afficher X
Algorithme de calcul de la somme des premiers termes (de u0 à un) d’une suite définie par 1n n
u f u et la
donnée de 0
u :
Données :
f, u0, n
Variables
locales : k, X, S
0u S
0 k
0u X
Tant que k n
Faire ( )f X X , S X S
Fin tant que
Afficher X, afficher S
2 http://laroche.lycee.free.fr
Remarque : il n’est pas nécessaire de passer par X, on peut faire juste ( )S f X S .
Comportement à l’infini : on considère qu’une suite n n
u
converge vers une limite l si et seulement si
lorsqu’on choisit n’importe quel entier p alors on peut trouver un rang N à partir duquel tous les termes sont
à une distance moindre qu’un nombre de la forme 10p
de l, soit 10p
Nu l
.
Par exemple la suite 1
1n
u
n
tend vers 1 car 1
1n
u
n
peut devenir aussi petit que l’on veut.
Algorithme permettant de dire si une suite un converge probablement vers une limite l :
Données :
f, u0, n
Variables
locales :
p, X, k, nmax, N
0 k
0u X
Tant que 10p
X l
et k nmax faire
( )f X X
1k k
Fin tant que
k N
Tant que 10p
X l
et k nmax faire
( )f X X
1k k
Fin tant que
Si k nmax alors afficher « limite probable = l au rang N » sinon afficher k.
Remarque : nmax est le nombre de boucles maximal que l’on puisse faire ; si dans la
première boucle k atteint nmax la limite n’est pas bonne ; si c’est dans la deuxième
boucle la limite semble bonne à partir du rang N (et pour la valeur de p testée).
Suites arithmétiques
1er terme u0 ; 1n n
u u a d’où 0n
u u na ou ( )n p
u u n p a .
Sens de variation : si 0a , croissante ; si 0a , décroissante.
Limites : toutes les suites arithmétiques divergent vers ou .
Méthode de calcul de la
somme des n premiers
nombres entiers :
S = 1 + 2 + 3 + … + n.
On écrit la somme dans les deux sens puis on ajoute terme à terme :
1 2 ... 1
1 ... 2 1
2 1
S n n
S n n
S n n
, soit
1
2
n n
S
.
Somme des termes d’une suite arithmétique :
3 http://laroche.lycee.free.fr
0 1 0 0 0 0
... ... 1 1 2 ...n n
S u u u u u a u na n u n a , soit
0 0 01 1
2 2
n
n
u u na u u
S n n
,
ce que l’on résume avec (nbre de termes)(1 terme+dernier terme)
2
nS
.
Suites géométriques
1er terme u0 ; 1n n
u qu ; 0
n
nu u q ou
n p
n pu u q
. Sens de variation : si
00u ,
nu est croissante si 1q ,
décroissante si 0 1q , stationnaire si 1q . Dans le cas où 0q , n
u oscille en permanence.
Limites : converge vers 0 si 1q ; si 1q , tend vers suivant les cas.
Méthode de calcul de la somme 2 3 1
1 ...n n
S q q q q q : on multiplie des deux côtés par 1 q , ce
qui donne 11 1
nS q q
, soit
11
1
nq
S
q
.
Somme des termes d’une suite géométrique ; même démarche :
1
2
0 0 0 0 0
1
... 1 ...
1
n
n n
n
q
S u u q u q u q q q u
q
Si 1q , 0( 1)
nS u n .
lim 0n
n
u
lorsque
nu est géométrique de raison q telle que 1q et lim
n
n
q
si 1q .
On utilise l’inégalité 1 1n
t nt : lorsque 0t (donc 1 1t q ) et n tend vers , 1 nt tend vers
d’où 1n
t tend vers .
En passant à l’inverse, on a
1 1 10 0
11n n
ntq t
donc lim 0n
n
u
lorsque 1q .
On tient des raisonnements semblables lorsque 0t . Lorsque 1q ,
1
0 0
1 1
1 1
n
n
q
S u u
q q
.
Pour une suite récurrente du
type 1n n
u f u , donner la
valeur de 0
n à partir de laquelle la
distance entre deux termes
consécutifs devient inférieure à
une précision P donnée ;
Données : f, 0
u , P (la précision cherchée), Nmax (le nombre maximum
d’itérations pour le cas où la suite ne convergerait pas).
0n N ,
0n N
u u , f X Y
Tant que Y X P et max
N N faire
Y X
4 http://laroche.lycee.free.fr
l’algorithme donnera alors les
valeurs de 0
n et de la limite l.
f X Y
1N N
Fin tant que
Sortie : N, Y.
Représentation graphique d’une suite de la forme 1n n
u f u dont on connaît le premier terme u0 et
interprétation.
Exemple : 1
1f x
x
; u0=0,5.
Instructions
f(x)=1+1/x n=20 u_0=0.5 y=x
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GeoGebra (ligne de
saisie)
Les sont là pour
séparer les instructions
(ne pas saisir)
U=ItérationListe[f(x),u_0,n]
P=Séquence[Segment[(Elément[U,k],Elément[U,k+1]),
(Elément[U,k],Elément[U,k])],k,1,n]
Q=Séquence[Segment[(Elément[U,k],Elément[U,k+1]),
(Elément[U,k+1],Elément[U,k+1])],k,1,n]
P_0=(u_0,0) Q_0=Segment[P_0,(u_0,u_0)]
4.2. Exercices de base
4.2.1. Calculs simples
1. n
u désigne une suite arithmétique de premier terme u0 = –10 et de raison 4.
a. Calculer u1, u2, u3.
110 4 6u ,
26 4 2u ,
32 4 2u .
b. Donner l’expression de un en fonction de n et calculer u19.
010 4
nu u nr n ;
1910 19 4 66u .
c. Calculer la somme des termes de la suite n
u depuis u10 jusqu’à u50.
Il y a 41 termes : 10 50
10 50
30 190... 41 41 41 110 4510
2 2
u u
u u
.
d. Préciser le sens de variation de n
u ainsi que sa limite.
Comme on ajoute 4 à chaque fois que l’on passe d’un terme au suivant, la suite est croissante (support =
droite de pente 4, soit croissante).
2. n
v désigne une suite géométrique de premier terme v0 = 81 et de raison –1/3.
a. Calculer v1, v2, v3.
1 0
181 27
3
v v q
; 2 1
9v v q ; 3 2
3v v q .
b. Donner l’expression de vn en fonction de n et calculer v10.
0
181
3
n
n
nv v q
;
10 4
1010 10 6
1 81 3 1 181
3 7293 3 3
v
.
c. Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite n
v .
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10 10 1010
0 9 0
1 1 / 3 1 1 / 31 243 1... 81 81 1
1 1 1 / 3 4 / 3 4 3
q
v v v
q
.
d. Préciser le sens de variation de n
v ainsi que sa limite.
La suite n’est pas monotone à cause de la raison négative (un coup positif, un coup négatif). Pour la limite,
comme 1
1
3
, la suite tend vers 0.
4.2.2. Calculs moins simples
1. a. Si n
u est arithmétique, on aura
0 0
0
0 0
0 00
10 3210000
23 5000 10000 6000 1375 13752 422 17 3,51723
23 16 23 23 17
60005 202 375 25 3,517 143,542 2516 3000
162
u r u r
u rr r
u r u ru uu r
.
b. Si n
u est géométrique, on aura
23 23
10
10 0
16 16
5
5 0
1 1
5000 5000
1 1
1 1
3000 3000
1 1
q q
u u q
q q
q q
u u q
q q
.
En faisant le quotient des deux expressions, on a
23
5 5 28 16 28 16 5
16
1 53 3 5 5 3 5 3 5 0
31
q
q q q q q q q
q
.
Si on peut trouver des solutions à l’équation et en déduire 0
u , ceci nous donnerait bienn les caractéristiques
d’une suite géométrique… malheureusement l’équation ne semble pas avoir de solutions (à part 1 mais ce
n’est pas vraiment une solution intéressante) !
2. On a 2
115 15
1 1 5921 1000 1 15 1000 1015 0
2 4 4 4
n
n n n n n
.
Il y a deux racines dont aucune n’est entière, ce n’est donc pas possible !
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3. Une suite géométrique dont la raison q est telle que 1q a une somme qui converge vers 0
1
u
q qui
vaudrait ici 8 : si on prend par exemple 0
1u , on aurait 1 9
8 1 8 8
1 8
q q
q
ce qui ne
convient pas. Prenons plutôt 1
2
q par exemple, alors 0
08 4
1 1 / 2
u
u
.
4.2.3. Fastoche…
n
u est la suite géométrique de premier terme u0 = 8 et de raison q = 1
2
.
1. Calculer les termes u1, u2, u20.
2. Montrer que la somme 0 1 20
...S u u u est égale à
21
17
2 1
2
.
4.2.4. Suite arithmétique
1.
5 0
16 0 0
11 48 125 77 7125 5
48 16 48 16 7 160
r ru u r
u u r u
.
2. 160 7n
u n .
3. 160 7 127 7 287 41n
u n n n .
4. 160 7 250 7 410 58,.. 59n
u n n n n .
5. Il y a 2007 – 1789+1=219 termes dans la somme qui vaut donc 1789 2007
219 ...
2
u u
S
.
4.2.5. Somme de termes
5 1 4 9 4n
u n n ;
25
1 2 25 1 2 25
1
1 2 ... 25 ... 1 2 ... 25k
k
S u k u u u u u u
, soit en utilisant les
formules : 1 25
1 2525 25 25 43 25 13 1400
2 2
u u
S
.
4.2.6. Location de machines
On peut dépenser 60 65 70 75 ... ?S de sorte que le total fasse 3570. Comme on a une suite
arithmétique de premier terme 0
60u et de raison 5, on a en notant n le nombre de termes de la somme :
2060 60 5
1 1 3570 1 120 5 7140 5 125 7020 0
2 2
nu u n
S n n n n n n
,
soit encore 2
25 1404 0n n d’où 27n : on peut donc louer la machine 28 jours.
4.2.7. Entretien de machines
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Un chef d’entreprise paie 60 000 € par an pour l’entretien de ses machines.
Lors du renouvellement du contrat pour les dix prochaines années, une société lui propose deux formules :
Partie A
1. Contrat A : le contrat augmente de 5 % par an : suite géométrique de raison 5
1 1,05
100
(on a
1
51,05
100n n n n
u u u u ). On a donc 0
1,05 1,05 60000n n
nu u .
2. Attention, la dixième année correspond à 9
91,05 60000 93079,69u .
3. Il faut trouver n pour que 1,05 60000 120000 1,05 2n n
nu . On fait ça à la machine et on trouve
n=15.
0 1 9 1,55132822
1 1,05 10 1,62889463
2 1,1025 11 1,71033936
3 1,157625 12 1,79585633
4 1,21550625 13 1,88564914
5 1,27628156 14 1,9799316
6 1,34009564 15 2,07892818
7 1,40710042
8 1,47745544
4. On calcule
10
0 1 9 0
1
... 754673,55
1
q
u u u u
q
.
Partie B
1. Contrat B : le contrat augmente de 3500 € par an, la suite est arithmétique, 60000 3500n
v n .
2. 9
60000 3500 9 91500v .
3. 0 9
0 1 9... 10 757500
2
v v
v v v
.
4. Le contrat A est le plus avantageux sur 10 ans mais B est le plus intéressant par la suite (faire un
graphique).
4.2.8. Water Lily
Au pays des plantes géantes, les nénuphars poussent en doublant chaque jour leur surface. Un matin un
nénuphar éclôt au centre d’un étang circulaire d’un rayon de 100 m ; le nénuphar mesure alors 1 cm de rayon.
1. 2
0 1et 2 1 2 2
n
n
n n nS S S S
en cm
2.
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2. Résoudre 10000n
S , soit ici n=15.
3. Raison 2 puisque 2
21 2 2
n
n
n nS r
.
4. 2 2000 cmn n
S S .
4.2.9. The Pine Tree
1. 16 22 0,4 22,4h et 17 22 2 0,4 22,8h (attention aux unités).
2. Comme les termes augmentent de manière constante, la suite est arithmétique :
15 15 0,4h n h n .
3. 30 15 30 15 0,4 17 6 23h h .
4. 28 28 15 28 15 0,4 15 28 5,2 22,8h h h .
5. La représentation est un segment de droite qui passe par 15 ; 20 de pente 0,4.
4.2.11. The Mathematical Times
correction ici : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Corrige_2002_04_Pondichery-2.pdf
4.3. Exercices intermédiaires
4.3.1. The Boss
Une entreprise propose, pour recruter un nouvel employé, deux types de rémunération :
Type 1 : Salaire initial de 1 200 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 100 €.
Type 2 : Salaire initial de 1 100 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 8 %.
1. 0 1 2
1200, 1200 100 1300, 1300 100 1400u u u ;
2. 2
0 1 2
81100, 1100 1100 1,08 1100, 1,08 1,08 1100 1,08 1100
100
v v u .
3. un est arithmétique de premier terme 1200, de raison 100 : 1200 100n
u n ;
vn est géométrique de premier terme 1100, de raison 1,08 : 1100 1,08n
nv .
4. Il faut faire les sommes sur 15 ans, de 0n à 14n :
0 141200 1200 14
15 15 15 1200 7
2 2n
u u nU n
.
15 15
15
0
1 1 1,08 11001100 1,08 1
1 1 1,08 0,08n
q
V v
q
.
10 http://laroche.lycee.free.fr
4.3.6. Suite homographique
Soit la suite n
u définie par u0 = 1 et 1
2
2 3
n
n
n
u
u
u
.
1. 0
1
0
2 2
2 3 5
u
u
u
, 1
2
1
2 4 / 5 4 1
2 3 2 6 / 5 16 4
u
u
u
.
2. 1 0
3
5
u u , 2 1
3
20
u u donc n
u n’est pas arithmétique.
21
0 1
2 5,
5 8
uu
u u
donc pas géométrique non plus.
3.
Instruction GeoGebra : L=Séquence[(k,Itération[2*x/(2+3*x),1,k]),k,0,20]
Conjectures : la suite est décroissante et tend vers 0.
4. 2
1n
n
v
u
.
a. 0
21 3
1
v , 1
1
2 21 1 1 5 6
2 / 5
v
u
,
2
2
21 1 8 9v
u
.
La suite v semble arithmétique de raison 3.
b.
1
1
2 2 3 32 2 21 1 3
2
n n
n n
n n n n n
u u
v v
u u u u u
.
11 http://laroche.lycee.free.fr
c. 0
3 3 3n
v v n n et 2 2 2
1 3 3 3 2
3 2n
n n
n n u
u u n
ce que vous pouvez vérifier.
d. On calcule
1
2 2 6 4 6 10 60
3 1 2 3 2 3 5 3 2 3 5 3 2n n
n nu u
n n n n n n
et losrque n tend
vers , 3 2n tend également vers l’infini et 2
3 2n devient très petit et tend vers 0.
4.3.7. Ouaip, c’est une suite mon gars !
1. 1
2
1 4 5
1 1 2
u
u
,
2
3
2 4 9
2 1 3
u
u
,
3
4
3 4 13
3 1 4
u
u
.
2. Calculons 1
4
1 1 4 4
1
n
n n n n n n n
nu
v v n u nu n nu nu nu
n
. La différence est constante,
la suite est arithmétique de raison 4.
3. On a donc 1 1
4 1 1. 4 4 4 3n
v v n u n n , soit 4 3
n
n
v nu
n n
.
4. Calculons
1
4 1 3 4 1 4 3 14 3 3
1 1 1n n
n n n n nnu u
n n n n n n
qui est positif puisuqe
tous les termes le sont.
Par ailleurs on voit sur la calculatrice que 4n
u : 4 3
4 4 3 4 3 0n
n n
n
, c’est donc vrai.
Quand n tend vers , 4 3 3
4 4n
nu
n n
qui tend vers 0 donc
nu tend vers 4.
4.3.10. Y fait chô
1. a. 0
1
20 80 2050
2 2
T
T
,
2
50 2035
2
T
et 3
35 2017,5
2
T
.
b. 1
20 110
2 2
n
n n
T
T T
.
2. a. 1 1
20
20 12
20 20 2
n
n n
n n n
T
u T
u T T
donc
nu est une suite géométrique de raison
1
2
et de premier terme
0 020 60u T .
b, c. 1
60
2
n
nu
et donc
120 20 60
2
n
n nT u
.
d. A 5n on a 5
21,88T et à 6t , 6
20,938T donc à partir du rang 6, on a 21n
T . Si n représente des
heures par exemple la température du récipient sera pratiquement égale à la température de la pièce au bout
de 6 heures… (à tester…).
12 http://laroche.lycee.free.fr
4.3.11. Centre de gravité ?
1. 1 1 1
1 1 13 2 2 3 5 5
5 5 5n n n n n n n n n n n n
u a b a b a b a b a b u .
un est constante et vaut
0 0 05u a b .
2. 1 1 1
1 1 1 13 2 2 3
5 5 5 5n n n n n n n n n n
v a b a b a b a b v .
vn est une suite géométrique de raison
1
5
et de premier terme 0 0 0
1v a b . On a donc 0
1
5
n
nn
v v q
.
3. On a
1 15
2 2 52
2 1 15
2 2 5
n n
nn n
n n n n n n
n n n n n n n n
n nn
u vaa
u a b u v a
v a b u v b u v
b b
.
Comme 1
5n
tend vers 0 à l’infini, 5
lim lim
2n n
n n
a b
.
On vérifie avec le tableur par exemple :
n an bn n an bn
0 2 3 7 2,4999936 2,5000064
1 2,4 2,6 8 2,49999872 2,50000128
2 2,48 2,52 9 2,49999974 2,50000026
3 2,496 2,504 10 2,49999995 2,50000005
4 2,4992 2,5008 11 2,49999999 2,50000001
5 2,49984 2,50016 12 2,5 2,5
6 2,499968 2,500032 13 2,5 2,5
4.3.12. The Show Must Go On
1. La perte de 23 % correspond à 1 0 0 0
230,77
100
I I I I .
2. a. A chaque passage l’intensité est multipliée par 0,77 : 1
0,77n n
I I .
b. n
I est une suite géométrique de raison 0,77. On a 0 00,77
n n
nI I q I .
c. Comme 1 1
0,77n n n
I I I , n
I est décroissante.
13 http://laroche.lycee.free.fr
3. On cherche 0
I sachant que 4
15I : 4
4 0 04
1515 0,77 42,67
0,77
I I I .
4. On cherche n pour que 0 0 0
10,77 0,25 0,77 0,25
4
n n
nI I I I . A la machine on a les résultats
suivants :
n In n In
0 1 9 0,09515169
1 0,77 10 0,0732668
2 0,5929 11 0,05641544
3 0,456533 12 0,04343989
4 0,35153041 13 0,03344871
5 0,27067842 14 0,02575551
6 0,20842238 15 0,01983174
7 0,16048523 16 0,01527044
8 0,12357363 17 0,01175824
Pour n=6 on est en dessous de 1/4.
4.3.13. Jumpin’ Monkey
1. Le nombre 4 est atteignable car 1 + 2 – 3 + 4 = 4.
2. Le singe n’a pas le choix : 1 + 2 – 3 + 4 et … il est bloqué !
3. Le nombre 9 est atteignable car on a 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9 = 9, sans jamais sortir de l’intervalle
[0 ; 9].
4. Les exemples précédents traitent les carrés 4 et 9. Le cas échéant la recherche pour 16 peut donner
1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 + 10 – 11 + 12 – 13 + 14 – 15 + 16,
en remarquant que l’on ne sort jamais de l’intervalle [0 ; 16]. L’observation des sommes produites peut
amener la solution générale :
2 21 2 3 ..... ( 1) ( 2) ( 3) ( 4).......... ( 1)n n n n n n n
2
2( 1) ( 1)
1 1 1 .................. 1
2 2 2
n n n n n nn
,
d’où n2 est atteignable.
Les seules difficultés sont le comptage des termes valant 1 et la vérification du fait que l’on reste bien dans [0 ;
n2].
14 http://laroche.lycee.free.fr
5. Si le nombre n est atteignable, il existe des ai valant 1 ou –1 tels que 2 3 1
1 2 3 ...... ( 1) 0n
a a n a .
Dans cette somme on sépare les termes positifs dont on note la somme S+ des termes négatifs dont on note la
somme S–. On a alors : S+=S–.
On calcule ensuite 1 2 3 ....... ( 1) 2n S S S , on en déduit que ( 1)
2
2
n nS
soit ( 1) 4n n S
et donc 4 divise le produit 1n n . n est donc de la forme 4k ou 4k+1 : par exemple 18 n’est pas atteignable.
La réciproque est fausse puisque 5 n’est pas atteignable.
6. L’idée est de transformer une configuration de signes + – en – +, cela va ajouter 2 au nombre N.
Ensuite on complète par la suite –(N+1) + (N+2) – (N+3) + (N+4) et on trouve N+4.
On note S(i) la somme partielle des i premiers termes.
Remarquons que la séquence donnant N se termine par –(N–1)+N. La séquence commence par 1+2+3 et le
premier signe – apparaît en position i+1.
Alors 1S i i car 3 4S . On change alors la sous-séquence 1i i en 1i i , ce qui est
possible.
On ajoute alors la séquence –(N+1) + (N+2) – (N+3) + (N+4), ce qui assure que N+4 est atteignable.
4. 5. Vrai - Faux
4.5.1. Fesic 2000, Exercice 11
a0 = 2, b0 = 4 ,1
1( 3 )
4n n n
a a b et 1
1(3 )
4n n n
b a b .
a. Vrai : On a 1 1 1
14 4
4n n n n n n n n
U a b a b a b U . Donc la suite est stationnaire et vaut
U0 = a0+b0 = 6.
b. Vrai : On a 1 1 1
1 1 12 2
4 2 2n n n n n n n n
V a b a b a b V .
Donc n n
V
est une suite géométrique de raison 1
2
et de premier terme 0
2 4 2V qui converge car
11
2
. De plus 1
2
2
n
nV
.
c. Vrai : Le milieu des segments [AnBn] a pour abscisse 0
1 1 1 12 4 3
2 2 2 2n n n
a b U U . Donc pour
tout n , les segments [AnBn] ont le même milieu I, qui est le point de (Ox) d'abscisse 3.
15 http://laroche.lycee.free.fr
d. Faux : Pour tout n ,
0 06
12
2
n n n
n
n n n
U a b a b
V a b
alors
12 6 2
2
12 6 2
2
n
n
n
n
a
b
donc
13
2
13
2
n
n
n
n
a
b
.
4.5.2. Fesic 2000, Exercice 12
(un) suite géométrique de raison 1
3
et de premier terme u1 = 2, n n
v u .
a. Faux : On a
1
1
1 22
3 3
n
nn
u
.
Attention au décalage de rang dû au fait que un commence à u1.
b. Vrai : On a
1 1
2 2
33
nn n
v
. Donc la suite n n
v est une suite arithmétique de raison
1
3
et de
premier terme 1
2v .
c. Faux : Pour tout 1n , on a 1
1
11
3 1 132 1 3 1
1 2 3 31
3
n
k n n
kn
k
u u
.
d. Faux : La somme des racines n’est pas égale à la racine de la somme…
4.5.3. Fesic 2001, Exercice 10
2 2 2 2
1
1 2S ...
n
n
k
k n
n n n n
.
a. Vrai : Pour tout entier n>0, 2 2
1 1 1
1S or
n n n
n
k k k
kk k
n n
est la somme d’une suite arithmétique de
raison 1 d’où
1
1
2
n
k
n n
k
et
2
11 1S
2 2n
n n n
nn
.
b. Faux : Pour tout entier n>0 , 1
S 0
2n
n
n
. De plus
1
2 1
2( 1) 2n n
n nS S
n n
10
4 ( 1)n n
donc la
suite est décroissante. Elle est majorée par 1
1S par conséquent pour tout entier n>0 , on a : 0 S 1n
.
c. Faux :
11
1lim lim
2 2n
nn
n
nS
n
.
16 http://laroche.lycee.free.fr
d. Faux : D’après b) la suite est décroissante.
4.5.4. Fesic 2002, Exercice 9
Pour tout entier naturel 2n , on considère la fonction n
f définie sur par 32 1
nf x x nx .
a. Pour tout 2n , la fonction n
f est strictement décroissante sur l’intervalle [0, 1]. Vrai Faux
b. Pour tout 2n , l’équation 0n
f x admet une unique solution dans . Vrai Faux
On note n
u l’unique solution dans l’intervalle [0, 1] de l’équation 0n
f x .
c. Pour tout 2n , on a : 1
0n
u
n
. Vrai Faux
d. On a : lim 0n
n
u
.
Vrai Faux
3( ) 2 1
nf x x nx .
a. Vrai : Calculons 2'( ) 3 2 0 ] , 2 / 3] [ 2 / 3, [
nf x x n x n n , or
21
3
n pour n supérieur à 2
donc la fonction est décroissante sur [0, 1].
Attention au « piège » et à ne pas faire 2
3 2 0 2 / 3x n x n …
b. Faux : Calculons les ordonnées des extremum :
2 2 2 2 4 22 1 1
3 3 3 3 3 3n
n n n n n nf n
qui est négatif si n vaut au moins 3 et
2 2 2 2 4 22 1 1
3 3 3 3 3 3n
n n n n n nf n
qui est positif ; on a donc le tableau de variation :
et ( ) 0n
f x a deux solutions dans les réels positifs.
x
f(x)
– + 2 / 3n
+
0 2 / 3n
–
1
1
2–2n
17 http://laroche.lycee.free.fr
c. Vrai : Si 1
0n
u
n
, comme n
f est décroissante sur [0, 1], 1
(0) ( ) ( )n n n n
f f u f
n
, soit
3
3 3
1 11 0 2 1
n
n n
, ce qui est vrai.
Il faut toujours avoir présent à l’esprit les propriétés des fonctions croissantes ou décroissantes.
d. Vrai : C’est plus simple…comme 1
n
tend vers 0, on a bien lim 0.n
n
u
4.5.5. Fesic 2002, Exercice 10
00u ,
11u ,
2 1
1 2
3 3n n n
u u u , 1n n n
v u u , 1
2
3n n n
w u u .
Il y a assez peu de choses à savoir sur les suites, c’est plutôt des questions de méthode ; les deux sont
nécessaires voire indispensables (connaître très bien le cours et connaître les méthodes).
a. Faux : Si la suite n
v est arithmétique, 1n n
v v .est constante :
1 2 1 1 1 1 1
1 2 5 5 5( ) ( ) 2
3 3 3 3 3n n n n n n n n n n n n n
v v u u u u u u u u u u v ;
c’est donc faux, mais nous gagnons une information intéressante : 1
8
3n n
v v et n
v est géométrique de raison
8
3
et de premier terme 0
1 0 1v d’où 8
3
n
nv
.
b. Vrai : Recommençons :
1 2 1 1 1 1 1
2 2 1 2 2 20
3 3 3 3 3 3n n n n n n n n n n n
w w u u u u u u u u u donc c’est vrai. En plus on a
0 1 0
21
3n
w w u u .
c. Vrai : 1 1
3 3 2 3 5
5 5 3 5 3n n n n n n n n
w v u u u u u u
. Ok !
d. Vrai : Remplaçons pour calculer n
u : 3 8
1
5 3
n
nu
dont la limite est –.
4.5.8. Fesic 2005, Exercice 10
nu = nombre de diagonales d’un polygone convexe ayant n côtés.
18 http://laroche.lycee.free.fr
D
C
B
A
E
F
D
C
B
A
E
a. Faux : 5
5u et 6
9u ; lorsqu’on rajoute le point F on rajoute 3 diagonales et un côté devient une
diagonale….
b. Vrai : Lorsqu’on rajoute un point au polygone à n sommets, on rajoute 2 côtés et n − 2 diagonales, par
ailleurs un côté devient une diagonale donc : 1
2 1 1n n n
u u n u n .
c. Faux : Une suite arithmétique a une raison constante !
d. Vrai : Par récurrence : 3
0u , ok ; 4
42
2
u , 5
5.25
2
u , 6
6.39
2
u , ok ; ( 3)
2n
n nu
donc
1
( 1)( 2)
2n
n nu
; a-t-on
11
n nu u n ?
2 2( 1)( 2) ( 3) 2 3 2 2
1
2 2 2 2
n n n n n n n n nn
.
4.5.9. Fesic 2005, Exercice 11
0 0 1 1
2
1, 2, ,
2 1 2
n n n n
n n
u v u v
u v u v
.
a. Vrai : le calcul n’est pas très marrant…
1 1 1
2 2 2 2 (1 2) (1 2)
21 2 2(1 2)
(1 2) ( 2 1) ( 2 1)( 2 1)2 1 3 2 2 32 .
2(2 1) 22(1 2) 2(1 2) 2(1 2)( 2 1)
n n n n n n n n
n n n
n n
n n n n n
u v u v u v u v
w v u
u v
v u w w w
b.
Vrai : On a 0
32 1 2
2
n
n
nw w q
; la raison est positive ( 2 1,414 ) de même que le premier
terme, donc 0n n n
w u v .
19 http://laroche.lycee.free.fr
c. Vrai : Au pif, on peut penser que les deux suites sont adjacentes puisque n
w tend évidemment vers 0 ; il
faut donc que la suite v soit décroissante.
Plus sérieusement 1
2 2 2
0
1 2 1 2 1 2 1 2
n n n n n n n n n
n n n
u v u v v v u v w
v v v
.
d. Vrai : Suites adjacentes et tutti-quanti ; les deux suites u et v convergent vers une même limite (que vous
vous ferez une joie de trouver…en partant par exemple sur l’expression de 1n n
u u puis…).
4.5.10. Fesic 2006, Exercice 12
On considère la suite u définie pour *
n par : 1
1u et 1
2
1 1
n nu u
n n
.
a. Vrai : si c’est vrai on a 1
!n
nu
n
; or
1
2 2
1 1 1 1
1 ! 1 ! !n n
n n n n nu u
n n n nn n
.
b. Faux : 1
2
11
n
n
u n
u n
, donc décroissante.
c. Vrai :
2
2 termes
1 1 1 1 1 1 3 3 3 3... 2 ... 2
! 1 2 2 1 4 4 4 4
n
n
n
n nu
n n n n
car
1 11 2
n
n n
.
d. Vrai : la factorielle du dénominateur grossit très vite…
4.5.11. Fesic 2007, Exercice 10
0
1
0
3 2
5
n n
n
u
u v
u
,
0
1
5
2 3
5
n n
n
v
u v
v
et n n n
w v u .
a. Vrai : 1 1 1
2 3 3 2 1 1
5 5 5 5
n n n n
n n n n n n
u v u v
w v u v u w
. Premier terme :
0 0 05w v u .
b. Vrai : 1
3 2 2 2 2
5 5 5
n n n n
n n n n
u v u v
u u u w
qui est positif donc la suite u est croissante.
c. Vrai : Les suites u et v sont adjacentes et convergent vers une limite commune.
d. Vrai : La première inégalité est vraie (u croissante), la deuxième également :
1
3 2 30
5 5
n n
n n n n n
u v
u v v u v
.
4.5.12. Fesic 2007, Exercice 11
a. Vrai : si on a 1 1 2 2
1 2 2 3 1 1 1 2
2 3 2 3n n
n n
u u
u u
. C’est vrai tout le temps.
20 http://laroche.lycee.free.fr
b. Vrai :
2
1
1 22 3
0
3 3
n nn n
n n
n n
u uu u
u u
u u
donc un est décroissante ; comme elle est bornée,
elle converge.
c. Vrai : 1
1
1
22
2 3 2 2 6 2 4
2
21 2 3 11
3
n n n n
n n
n n n
n
u u u u
v v
u u u
u
; 0
0
0
2
1
1
u
v
u
.
d. Vrai : On a 2n
nv et
2 2 2 22 1 2
1 1 2 1
n
n n
n n n n n n n n nn
n n
u v
v v u v u u v v u
u v
, soit
le résultat demandé : 1
1
1 2
nn
u
.
4.5.13. Fesic 2008, Exercice 11
4
3
2
f x
x
;
0
1
4
n n
u
u f u
.
a. Vrai :
2
4' 0
2
f x
x
donc f est croissante sur
.
b. Faux : 1
4 2 73 3 4
4 2 3 3
u
. Comme f est croissante, par récurrence cette inégalité est conservée :
1 1 2 1n n n n n n
u u f u f u u u … donc u est décroissante.
c. Vrai : Si 2n
u , alors 1
2n
u : 4 4
3 2 1 2 4 2
2 2n n
n n
u u
u u
.
d. Vrai : u est décroissante et minorée donc convergente.
4.5.14. Fesic 2008, Exercice 12
4
3
2
f x
x
;
0
1
4
n n
u
u f u
et
1
2
n
n
n
u
v
u
.
a. Vrai : 1
4 8 443 1
2 2 1
4 4
4 2 4 23 2
2 2
n
n n n
n n
n n
n n
u
u u u
v v
u u
u u
donc v est géométrique de raison 4.
b. Faux : 15 11 11
2 9 10
5 5 5
5
4 1 4 11 ...
4 1 3k
k
v v q q q q v v
.
21 http://laroche.lycee.free.fr
c. Vrai :
1 2 1
2 1 2 1
2 1
n n
n n n n n n n n n n
n n
u v
v u v v u u v u v u
u v
.
d. Faux :
12
2 1
111
n n
n
n
n
v v
u
v
v
; comme v tend vers , la suite u converge vers 2.
4.6. Algorithmes & Programmes
4.6.1. Les lettres de Gaston
1.
2. 800n n
v u . 1 1
3 3 3800 200 800 800 600
4 4 4n n n n n
v u u v v .
On a 0 0
800 2000 800 1200v u et 3
1200
4
n
nv
puis
3800 1200 800
4
n
n nu v
.
n un n un
22 http://laroche.lycee.free.fr
0 2000 9 890,1016235
1 1700 10 867,5762177
2 1475 11 850,6821632
3 1306,25 12 838,0116224
4 1179,6875 13 828,5087168
5 1084,765625 14 821,3815376
6 1013,574219 15 816,0361532
7 960,1806641 16 812,0271149
8 920,135498 17 809,0203362
A n = 17 on a 810n
u .
3. Le pauvre Gaston L. n’arrivera jamais à éliminer son courrier en retard… : il en restera toujours au moins
800. Et m’oiselle Jeanne sera bien déçue…
4. a. Remarquons que : 0
0
...
... 1
1
n
n n n
x x
y x x n y
n
; cherchons
1ny :
10 1 1
1
1...
2 2
n nn n
n
n y xx x x x
y
n n
.
Si n
y est croissante on a 1n n
y y d’où
1
1 1
1
1 2
2
n n
n n n n n n
n y x
y n y x n y x y
n
.
Comme ( )n
x est croissante, on a 0 1 1 1 1 1
... ... 1n n n n n
x x x x x x n x donc
10 1
1
1...
1 1
nn
n n
n xx x x
y x
n n
.
En fait on avait
0 1
1
... ... 1
1
n
n n n n n n n
n x
x x x x x x n x y x
n
.
Voici un exemple sur une suite décroissante : 1
0,9n n
x x .
n xn
0
n
k
k
x
0
1
1
n
k
k
x
n
0 10 10 10
1 9 19 9,5
2 8,1 27,1 9,03333333
23 http://laroche.lycee.free.fr
3 7,29 34,39 8,5975
4 6,561 40,951 8,1902
5 5,9049 46,8559 7,80931667
6 5,31441 52,17031 7,45290143
7 4,782969 56,953279 7,11915988
8 4,3046721 61,2579511 6,80643901
9 3,87420489 65,132156 6,5132156
10 3,4867844 68,6189404 6,23808549
11 3,13810596 71,7570464 5,97975386
12 2,82429536 74,5813417 5,73702629
13 2,54186583 77,1232075 5,50880054
14 2,28767925 79,4108868 5,29405912
15 2,05891132 81,4697981 5,09186238
16 1,85302019 83,3228183 4,90134225
17 1,66771817 84,9905365 4,72169647
18 1,50094635 86,4914828 4,55218331
19 1,35085172 87,8423345 4,39211673
20 1,21576655 89,0581011 4,24086196
21 1,09418989 90,152291 4,09783141
22 0,9847709 91,1370619 3,96248095
La suite n
y semble également décroissante. On peut remarquer simplement que n
y est la moyenne
arithmétique des termes de n
x .
b.
0 1 0 1 0 1
800 1... 800 800 ... 800 ...
1 1 1 1
n n n
n
nu u u v v v v v v
M
n n n n
;
or n
v est géométrique donc
11 1
0 1 0
1 1 (3 / 4) 3... 1200 4800 1
1 1 / 4 4
nn n
n
q
v v v v
q
d’où
11 0,75
4800 800
1
n
nM
n
.
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Comme n
u est décroissante, n
M doit être également décroissante. La suite converge également : le terme
11 0,75
n tend vers 1,
11 0,75
1
n
n
tend vers 0 donc
nM tend vers 800.