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Base raisonn´ ee d’exerci ces de math´ ematiq ues (Braise ) Fonctions de R dans R El´ ement de cours des exercices Bor ne sup´ erieur e, borne inf´ er ieur e 1 Borne sup´ erieure, borne inf´ erie ure D´ efinition (Borne sup´ eri eur e) . Si l’ensemble des majorants de A admet un plus petit ´ el ´ ement M, on dit que M est la bor ne sup´ erieure de A et on note M = sup R (A) (ou M = sup (A) s’il n’y a aucune confusion possible). Cette borne sup´ erieure est unique. D´ efinition. La borne i nf´ erieur e s e d´ e fini t d e l a mˆ eme mani` ere que la borne sup´ erie ure et pos s` ede tout es les propri´ et´ es corresp onda ntes pour une partie non vide et minor´ ee de R. Si on d´ esig ne par -A l’e nsemb le des oppos´ es des ´ el´ ement s de A, on peut ´ egalement d´ efin ir la bor ne inf´ eri eur e par inf A = − sup(−A) Rappel s : Soient A une partie de R et x ∈ R. – La d´ efinition mathématique de x est un majorant de A (respectivement un minorant) dans R est : ∀a ∈ A, a ≤ x (respectiveme nt ∀a ∈ A, x ≤ a). On note qu’une partie non vide de R n’a pas n´ ecessairement de majorant, mais si elle en admet un, elle en admet une infinit´ e. – A est major´ ee (resp. minor´ ee) dans R si A admet au moins un majorant (resp. un minorant) dans R, c’es t-à-dire si ∃x ∈ R, ∀ a ∈ A, a ≤ x (resp. ∃x ∈ R, ∀ a ∈ A, x ≤ a). – On dit que A est b or n´ ee si ell e est ` a la foi s maj or´ ee et minor´ ee. 1

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