Ssi

Rsistance des Matriaux (RdM)

Synthse

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1. Introduction, but de la RdM

La rsistance des matriaux a trois objectifs principaux : la connaissance des caractristiques mcaniques des matriaux. (comportement sous leffet dune

action mcanique) l'tude de la rsistance des pices mcaniques.(rsistance ou rupture) l'tude de la dformation des pices mcaniques.

Ces tudes permettent de choisir le matriau et les dimensions d'une pice mcanique en fonction des conditions de dformation et de rsistance requises. 2. Hypothse de la RdM, champ dapplication

2-1) Le matriaux :

Il est homogne : Structure continue et identique dans toues les directions; Cette hypothse est fausse pour tous les matriaux granuleux ou fibreux (bton, pierre, bois, composites,...)

Il est isotrope : Mme proprits mcaniques dans toutes les directions. Cette hypothse est fausse pour tous les matriaux granuleux ou fibreux.

2-2) Disposition de la matire, dfinition dune poutre :

La RDM tudie des pices dont les formes sont relativement simples. Ces pices sont dsignes sous le terme de poutres .

Les caractristiques de la poutre sont : - Ligne moyenne droite ou grand rayon de courbure. - Section droite (S) constante ou variant progressivement. - Grande longueur par rapport aux dimensions transversales. - Existence d'un plan de symtrie.

F1Mc

CA B

D E

p

2-3) Les forces extrieures :

2 types d'actions mcaniques extrieures peuvent s'exercer sur la poutre : - Charges concentres ( ou moment )

rF1

rMC

- Charges rparties p sur DE. (exprimes en N/m).

2-4) Les dformations :

Les dformations tant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerant sur celle-ci seront calcules partir du principe fondamental de la statique.

Les supports des forces seront eux considrs comme constants. On nglige le dcalage.

Navier & Bernoulli : Les sections planes normales aux fibres avant dformation demeurent planes et normales aux fibres aprs dformation.

Barr de St Venan : Les rsultats obtenus par la RDM ne s'appliquent valablement qu' une distance suffisamment loigne de la rgion d'application des efforts concentrs.

Poutre : on appelle poutre (voir fig.) un solide engendr par une surface plane (S) dont le centre de surface G dcrit une courbe plane (C) appele ligne moyenne.

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x

y

F

x

y F

F

0

0rrrr

=

T

N

0

0rr

rr

==

f

t

M

M

X

Y 3. Efforts de cohsion

Soit une poutre (E) en quilibre sous l'action de plusieurs actions extrieures. Pour tudier ce solide dformable, il faut modliser ce qui se passe au sein de la matire. Pour se faire, on ralise une coupure fictive de la poutre situe l'abscisse x qui la spare en 2 tronons E1 et E2.

G

x

E1 E2

ZLes efforts de cohsion traduisent les actions de contact

de (E2) sur (E1).Ces efforts de cohsion permettent la poutre de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions extrieures.

On note les efforts de cohsion de la faon suivante :

Rsultante : Moment :

rR

NTyTz

R

rM

MtMfyMfz

G

R

4. Sollicitations simples

LA TRACTION COMPRESSION :

Si N > 0 : Traction Si N < 0 : Compression

0

0rrrr

==

T

N

0

0rr

rr

=

f

t

M

M

x

y

F

F F

a t r s p e t i t

LA TORSION : LE CI ILLEMENT :SA

x

y

F

0

0rr

rr

==

T

N

0

0rr

rr

=

f

t

M

M

0

0rrrr

=

T

N0

0rr

rr

==

f

t

M

M En rsum :

LA FLEXION SIMPLE : Composantes Sollicitation

N > 0 Traction < 0 Compression

Ty Cisaillement Tz

Mt Torsion

Mfy Flexion Mfz

N : effort normal

Ty et Tz : efforts tranchants MT : moment de torsion

Mfy et Mfz : moments de flexion

Remarque : Nous avons des sollicitations composes chaque fois qu'il y a, pour une mme poutre, addition de sollicitations simples.

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5. Notion de contraintes

5-1) Dfinition :

Les efforts de cohsion induisent des contraintes lintrieur de la pice qui caractrisent les actions mcaniques de cohsion interne au matriau qui existent entre les grains de matire.

Remarque : Une contrainte est assimilable une pression. Cest un effort par unit de surface.

5-2) Contrainte NORMALE Contrainte TANGENTIELLE :

Suivant lorientation de la contrainte par rapport la normale de la section, on dfinie 2 types de contraintes :

Contrainte normale :

.n =r rLa contrainte normale es normale la section droite (S) t

nr

(S)

Contrainte tangentielle :

. . .y zt y z = = +rr r r La contrainte tangentielle est situe dans le plan tangent la section droite (S)

6. Sollicitations de TRACTION - COMPRESSION

6-1) Dtermination de la contrainte normale:

Soit une pice sollicite ses 2 extrmits par deux efforts F parallles laxe longitudinal de la pice. La rpartition des contraintes dans la section (S) est uniforme et normale la surface :

> 0 : Traction Les efforts extrieurs tendent allonger la pice : Allongement

< 0 : Compression Les efforts extrieurs tendent raccourcir la pice : Raccourcissement

6-2) Loi de Hooke :

Lessai de traction consiste soumettre une prouvette normalise un effort de traction progressivement croissant, jusqu la rupture de lprouvette. La machine mesure les efforts appliqus et les dformations de lprouvette.

Fr

Fe

F = k.l

F

L (mm)

Zone lastique

Zone plastique

O

A

O

A

Rr

Re

= E.

SF=

(N/mm)

Charge au moment de la rupture

LL=

E =

nr(S)

X

F La contrainte normale de traction vaut :

avec

.n =r r

SN=

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Loi de HOOKE :

E correspond la pente de la droite du domaine lastique de lessai de traction. Il sappelle aussi Module dYoung.

Quelques valeurs de E :

Matriau Fontes Aciers Cuivre Aluminium Tungstne E (MPa) 60000160000 200000 120000 70000 400000

6-3) Expression de la dformation lastique :

Lallongement lastique L dune pice en traction dpend de la force de traction N, de la section S et de la longueur au repos de la pice L.

6-4) Condition de rsistance :

Pour qu'une pice rsiste aux efforts de traction sans subir de dformation permanente il faut que la contrainte interne ne dpasse pas la limite lastique Re du matriau.

Pour des raisons de scurit et compte tenu des hypothses faites avec les modlisations, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique l'extension Rpe (aussi not pe). On considre que cest la contrainte maximale admissible.

sRpe Re=

Avec s: coefficient de scurit >1

s = 1,5 3 pour des structures courantes. s = 8 10 pour des structures prsentant un danger pour l'homme et son environnement

Rpe

.

Condition de rsistance :

Concentration de contraintes :

On a vu que la RdM s'appliquait dans le cadre d'hypothses strictes et pour des solides de type poutre. En ralit, les structures tudies non pas des formes idales et prsentent des singularits de forme (perage, filetage, gorge, paulement).

Pour prendre en compte ces singularits, on majore les contraintes par des coefficients de concentration de contraintes kt (ou k) tels que :

tk Rpe Cd : s * kt * < Re

SELFL

.

.= F : norme de la force (N)

L : longueur au repos de la pice (mm)

E : module de Young (Mpa)

S : aire de la section de la pice (mm)

Avec :

= E . : contrainte normale de traction (Mpa) E : Module d'lasticit longitudinal (Mpa) : allongement unitaire (dformation. par unit de longueur)

Avec :

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Application : Soit un arbre cylindrique possdant une gorge fond

demi-circulaire Cet arbre est sollicit en traction tel que N= 50000 daN.

La gorge provoque une concentration de contrainte.

On donne : D = 100 mm d = 64 mm r = 5 mm Rsistance lastique : Re=1000Mpa Coefficient de scurit : s=2

Le coefficient Kt, de concentration de contrainte peut se trouver sur l'abaque ci-dessous. Ce coefficient s'applique la section de diamtre d = 64 mm.

1/ Calculer la contrainte dans le plus petit diamtre de l'arbre

2/ Dterminer le facteur de concentrations de contraintes Kt partir de l'abaque fourni.

3/ Calculer la contrainte maximale relle = Ktrelle .

4/ Vrifier la condition de rsistance Rperelle . 7. Sollicitation de FLEXION simple

7-1) Contraintes :

La loi de Hooke a permis de mettre en vidence que la contrainte est proportionnelle allongement relatif. Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se rduisent essentiellement des contraintes normales.

.

Mf yIz

=

M : contrainte normale au point M due la flexion (en MPa)

Mfz : moment de flexion selon (G, rz

IGz : moment quadratique de la section droite (S) / son axe neutre (en mm4)

y : ordonne du point M dans (G,

) dans (S) (en N.mm)

r r rx y z, , ) (en mm)

Avec :

r Max (S)

Ordonne du point M (ici y>0)

Fibre neutre

xr

Zone de compression

Zone de traction

M

S1 r Max

M. xr (Contrainte en M)

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Remarque : - La contrainte normale maximale se trouve sur le point le plus loign de laxe neutre (fibre moyenne).

- La condition de rsistance en flexion est la mme que en traction en prenant la valeur maximale de la contrainte.

7-2) Moment quadratique :

Le moment quadratique caractrise la raideur de la poutre au flchissement. Exemple du rglet :

Un rglet flchira facilement si il est plat mais beaucoup moins si il est sur la tranche. Forme de

la section Moment quadratique des sections simples : 8. Sollicitation de CISAILLEMENT

8-1) Contrainte dans la section droite :

Les contraintes tangentielles sont sensiblement uniformment rparties dans une section droite. On dfinit une contrainte moyenne moy gale si la rpartition des contraintes tangentielles tait uniforme.

r

: contrainte tangentielle de cisaillement (Mpa)

T : norme de leffort tranchant (N)

S : aire de la section droite (mm)

Avec :

Re gRpgs

=

T = Tr

= 2z2y TT +

moy = ST

Rpartition de la contrainte dans la section droite : G

8-2) Condition de rsistance :

La condition de rsistance pour une sollicitation de cisaillement est la mme que pour la traction en prenant en compte la rsistance pratique au cisaillement (ou glissement) Rpg :

Avec : Reg : Rsistance lastique au glissement (MPa) moy Rpg Condition de rsistance :

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9. Sollicitation de TORSION

9-1) Dformation :

Comme langle varie proportionnellement la distance x, on peut crire :

: angle de torsion unitaire (rad/mm).

9-2) Contrainte dans la section droite :

Aprs analyse, nous remarquons que la valeur de la contrainte tangentielle en un point M est proportionnelle la distance de ce point au centre de la section. Do la rpartition des contraintes tangentielles dans la section droite :

Ce qui amne cette relation liant le rayon la contrainte tangentielle :

Dans le domaine lastique, le moment de torsion Mt est proportionnel l'angle unitaire de torsion .

torsion (2), on obtient directement la contrainte tangentielle en fonction du moment de torsion :

La condition de rsistance en flexion est la mme que en traction en prenant la valeur maximale de la contrainte.

MM G=

En combinant la relation de la contrainte / dformation (1) avec la relation de la contrainte / moment de

M : Contrainte tangentielle dans le matriau.(Mpa) G : module dlasticit transversale du matriau

(ou module de Coulomb) (Mpa)

M : rayon considr pour lanalyse (mm)

Avec :

=

M

0

tM I

M

Mt : Moment de torsion (N.mm)

G : Module d'lasticit transversale (MPa)

: Angle unitaire de torsion (rad/mm)

Io : Moment quadratique de (S) par rapport (O, rx ) (mm4)Mt = G..Io Avec :

1GMr

G1 G0 G

x

A0 A A1

A A1

(S0) (S) (S1)

xr

x=