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1. INCLUSION ET EGALITE

Un ensemble F est inclus dans un ensemble E, lorsque tout élément de F appartient à E et on

écrit F E. Si F E et E F on dit que l’inclusion est stricte ou que F est une partie propre

de E.

Lorsqu’il existe au moins un élément de F n’appartenant pas à E alors F n’est pas inclus dans

E et on écrit F E. d’autre part, deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si l’un est

inclus dans l’autre, c’est-à-dire

Fig 1. A est inclus dans B

Ensemble de nombres

En mathématiques, un ensemble de nombres est l'un des ensembles classiques construits à

partir de l'ensemble des entiers naturels et munis d'opérations arithmétiques, apparaissant

dans la suite d'inclusions.

Symbole Appellation

Ensemble des entiers naturels

Ensemble des entiers relatifs

Ensemble des rationnels

Ensemble des réels

Ensemble des complexes

E = F ⟺ E F et F E

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2. REUNION ET INTERSECTION

2.1.Réunion de deux ensemble

L'ensemble réunion de A et de B, noté « A B » est l'ensemble des éléments appartenant

à A ou à B :

(A B) C = (B C) A

Et on note A B C cet ensemble

Commutativité: la réunion de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces

deux ensembles sont pris :

A B = B A

Idempotence: la réunion d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet

ensemble :

A A = A

est neutre : la réunion de l'ensemble vide avec un ensemble quelconque redonne cet

ensemble :

A = A

U est absorbant : U A = U.

A A B, B A B et C [ ].

Par conséquent l'inclusion se définit à partir de la réunion :

A B si et seulement si A B = B.

2.2.Intersection de deux ensembles

L'ensemble intersection de A et de B, noté « A ∩ B » est l'ensemble des éléments

de A qui sont également éléments de B, soit :

A B = { }

C'est-à-dire que :

x ∈ A ∩ B si et seulement si x ∈ A et x ∈ B.

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Fig 3. L'intersection de deux ensembles : A ∩ B.

Les propriétés de l'intersection sont similaires à celles de la réunion. On dit qu'elles sont

duales de celles-ci, car on les obtient en remplaçant le signe de réunion par celui

d'intersection, et si nécessaire en échangeant et U, l'inclusion et sa réciproque. Pour tous

sous-ensembles A, B, C de U on a les propriétés suivantes :

Associativité: le résultat de l'intersection de plusieurs ensembles ne dépend pas de l'ordre

dans lequel les opérations sont faites :

(A B) C = (B C) A

Commutativité: l'intersection de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces

deux ensembles sont pris

A B = B A

Idempotence: l'intersection d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet

ensemble

A A = A

Ø absorbant: l'intersection de l'ensemble vide et d'un ensemble quelconque est vide

U est neutre : U ∩ A = A.

A B , A B B et C [ ].

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Fig 4. A ∩ B ∩ C.

2.3. Distributivité

Les deux opérations de réunion et d'intersection sont distributives l'une par rapport à l'autre,

c'est-à-dire que l'on a les deux propriétés suivantes, pour tous ensembles A, B, C :

Distributivité de l'intersection par rapport à la réunion : l'intersection de la réunion de

deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à la réunion de l'intersection de

chacun des deux premiers ensembles avec le troisième :

A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

Fig 5. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

Distributivité de la réunion par rapport à l'intersection: la réunion de l'intersection de

deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à l'intersection de la réunion de

chacun des deux premiers ensembles avec le troisième :

A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

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Fig 6. A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

3. DIFFERENCE ET DIFFERENCE SYMETRIQUE

3.1.Différence

La différence ensembliste de A et B notée « A \ B » est l'ensemble des éléments de A qui

n'appartiennent pas à B, soit : A { ∈ }

Fig 7. La différence A \ B = A ∩ Bc.

La différence de A et B dans U se définit à partir du complémentaire par A ∩ B c, et alors

(A ∩ B c)c = A

c B.

Si B est inclus dans A, alors A \ B se note aussi « A - B », et

s'appelle complémentaire de B dans A (ou relativement à A). On retrouve la notion de

complémentaire ci-dessus, qui est le complémentaire relativement à U :

A A – B = CAB = { ∈ }

3.2.Propriétés de la différence

On a :

x ∈ A \ B si et seulement si x ∈ A et x B

x A \ B si et seulement si x ∈ A x ∈ B

Et donc :

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A \ B = si et seulement si A B.

Les propriétés de la différence s'obtiennent à partir de sa définition et de celles de la réunion

de l'intersection et du complémentaire. Par exemple la première qui suit est une suite

d'intersections, alors que la seconde utilise une loi de De Morgan et la distributivité de

l'intersection sur la réunion.

(A B)\C=A (B\C) = (A\C) (B\C)

A\(B

3.3.Différence symétrique

La différence symétrique de A et de B, notée « A Δ B » est l'ensemble des éléments qui

appartiennent soit à A, soit à B, mais pas aux deux à la fois. C'est la différence de A B et

de A ∩ B. . On peut l'écrire sous diverses formes :

= (A B)\(A B) = (A\B) (B\A) = (Ac B) (A Bc

)

Fig 8. La différence symétrique (Ac B) (A Bc)

On a :

x ∈ A Δ B si et seulement si ou bien x ∈ A ou bien x ∈ B (ou exclusif)

x A Δ B si et seulement si x ∈ A ⇔ x ∈ B

Ainsi la différence symétrique de deux ensembles est vide si et seulement si les deux

ensembles sont égaux :

A Δ B = si et seulement si A = B.

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3.4.1. Propriétés de la différence symétrique

L'ensemble des parties de U muni de l'opération de différence symétrique est un groupe

commutatif, avec pour élément neutre, et où chaque sous-ensemble de U est son propre

opposé, c'est-à-dire que pour tous sous-ensembles A, B, C de U, on a :

associativité: la différence symétrique de trois ensembles ne dépend pas de l'ordre dans

lequel les opérations sont effectuées :

(AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)

Fig 9. (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)

commutativité: la différence symétrique de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans

lequel ces ensembles sont pris :

A Δ B= B Δ A

Ø est élément neutre : la différence symétrique de l'ensemble vide et d'un autre ensemble

redonne cet ensemble :

A Δ Ø = A

Chaque sous-ensemble est son propre opposé : la différence symétrique de tout ensemble

avec lui-même donne l'ensemble vide :

A Δ A = Ø

Une conséquence est la régularité : si A Δ B = A Δ C, alors B = C.

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Fonctions injectives, surjectives et bijectives

1. Injection

Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l’image correspond au plus à

un seul réel du domaine de définition. En notation mathématique, on a

1 , 2 ∈ 𝑑𝑜𝑚 (𝑔) ∶ 𝑔 ( 1)= 𝑔( 2) 1 = 2

Exemples de fonctions injectives

(𝑎 impair)

√

2. Surjection

Une fonction f est dite surjective si et seulement si tout réel de l’image correspond à au

moins un réel du domaine de définition. En notation mathématique, on a

𝑦 ∈ 𝑖𝑚 ( ) (∃ | ( ) = 𝑦)

Exemples de fonctions surjectives sur Y =

(𝑎 impair)

= 1 / 2 ⁵ + 1 / 5 ³ + 3 ² − 1

3. Bijection

Une fonction h est dite bijective si et seulement si elle est et injective et surjective. En

notation mathématique, on a

1, x2 ∈ 𝑑𝑜𝑚 (h) ∶ h( 1) = h( 2) 1 = 2

ET 𝑦 ∈ 𝑖𝑚 (h) (∃ | h( ) = 𝑦)

(𝑎 impair)

√

(𝑎 impair)

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Relation d’ordre, Relation d’équivalence

1. Relation binaire

Soit une relation binaire sur E. pour tous x,y, z ∈ E, on dit que est :

Réflexive si

Symétrique si

Transitive si

Anti-symétrique si

2. Relation d'ordre

Soit E un ensemble, on nomme relation d'ordre sur E toute relation binaire réflexive,

antisymétrique et transitive sur E.

3. relation d'équivalence

Soit E un ensemble, on nomme relation d'équivalence sur E toute relation binaire

réflexive, symétrique, transitive.

4. Classe d’équivalence

On appelle classe d’équivalence d’un élément x de E, l’ensemble des éléments de E en

relation avec x par , notée

𝑥 𝑥

𝑥 𝑦 𝑦 𝑥

[ 𝑥 𝑦 𝑒𝑡 𝑦 𝑧 ] 𝑥 𝑧

[ 𝑥 𝑦 𝑒𝑡 𝑦 𝑥 ] 𝑥 𝑦

𝒞 𝑥 {𝑦 𝜖 𝐸 ∶ 𝑦 𝑥}