COURS PHYSIQUE DES VIBRATIONS - perso.univ-st … PV... · Relation entre réponse impulsionnelle...

1

COURS

PHYSIQUE DES VIBRATIONS

Licence Physique Chimie

Licence Physique et Applications

CITSE

Nathalie Destouches

http://portail.univ-st-etienne.fr/index.jsp

2

1- Rappels de mécanique du point

Sommaire

1.1. Trois principes fondamentaux1.2. Système de référence1.3. Travail1.4. Théorème de l’énergie cinétique1.5. Energie potentielle1.6. Energie mécanique totale1.7. Système d ’unité MKS1.8. Etalons1.9. Analogies1.10. Analogies dynamique linéaire / dynamique angulaire2- L’oscillateur élémentaire linéaire (OEL)2.1 Définition2.2 Grandeurs caractéristiques2.3. Autres exemples2.4. Les différents types de comportement du système2.5. Autres notations pour l ’équation (1)

3

Sommaire

3- Le régime libre de l’OEL3.0. Régime libre3.1. REGIME LIBRE CONSERVATIF3.2. REGIME LIBRE DISSIPATIF

4- Le régime permanent harmonique de l’OEL4.1. Régime forcé4.2. Régime permanent harmonique4.3. Equation du mouvement4.4. Notation complexe4.5. Puissance consommée en régime permanent4.6. Autres pulsations4.7. Diagramme de Nyquist

5.2. Série de Fourier5.1. Régime permanent périodique5- Le régime permanent périodique de l’OEL

4

Sommaire

5.3. Série de Fourier sous forme complexe5.4. Exemple : battements en régime permanent périodique

6.2. Utilisation de la transformation de Laplace6.1. Régime forcé

6- Le régime forcé de l’OEL

6.3. Solution du régime forcé6.4. Réponse impulsionnelle6.5. Réponse indicielle6.6. Relation entre réponse impulsionnelle et réponse indicielle6.7. Exemple : utilisation de la transformation de Laplace pour l’étude du régime permanent harmonique

7- Introduction aux équations de Lagrange7.1. Systèmes à un degré de liberté7.1.1. Equations de Lagrange

5

Sommaire

7.1.2. Cas des systèmes conservatifs7.1.3. Cas des forces de frottement dépendant du temps

7bis- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion7.1. Introduction7.2. Réponse de la matière à un champ électrique : le modèle de Lorentz

Fonction de LagrangeFonction dissipation

7.1.4. Cas d’une force extérieure dépendant du temps

7.3. Quelques propriétés de l’indice de réfraction et de la permittivité

6

Sommaire

8.1. Définition8.2. Equations différentielles régissant le mouvement en régime libre

8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté

8.3. Différents modes de couplage8.4. Exemple : oscillateur dissipatif à 2 degrés de liberté sans couplage inertiel

8.5. Régime libre et modes propres du système conservatif sans couplage inertiel8.6. Un cas particulier d’oscillateur conservatif à 2 degrés de liberté sans couplage inertiel8.6.1. Etudes des oscillations longitudinales8.6.2. Etudes des oscillations transversales8.7. Régime forcé

7

Sommaire

9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté9.1. Définition9.2. Détermination de l’équation matricielle du mouvement9.3. Définition des énergies9.4. Formes quadratiques9.5. Solutions en régime libre conservatif9.5.1. Résolution du système par combinaison linéaire de solutions particulières9.5.2. Résolution du système par la méthode de la base modale9.6. Exemple d’application : chaine de pendules9.7. Passage à la limite :systèmes continus9.7.1. Mouvements longitudinaux : Cas de N oscillateurs non-amortis9.7.2. Mouvements transversaux : Cas d’une corde vibrante

Bibliographie

8

Partie 1

Rappels de mécanique du point

9


• Principe d’inertieEn l’absence de toute force un corps matériel conserve sa vitesse initiale

• Identité entre force et quantité de mouvementL’application d’une force F au corps de masse m se traduit par la

variation de sa vitesse

avec

p est la quantité de mouvementLorsque la masse est invariable en fonction du temps (ce qui sera le cas pour nous), on peut écrire :

Connu sous le nom : principe fondamental de la dynamiqueou loi de Newton

1.1. Trois

principes

fondamentaux

dpF

dt

p mv

dvF m

dt

10


• Egalité de l’action et de la réactionEntre deux corps il ne peut y avoir d’action que mutuelle

P mg Action

RéactionR

T

T

Toujours deux forces : même direction, égale norme, sens opposé

Action / Réaction : seul le point de vue et le point d’application changent

11


Tout mouvement est relatif, suppose un système de référence

Système qui nous permet de décrire l’espace et le temps de façon unique

Exemple de repère absolu

repère d’espace : origine = centre de gravité du système solairetrois axes qui joignent le centre de trois étoiles parmi les plus lointaines (étoiles fixes)

Repère de temps : jour sidéral (durée de révolution de la sphère céleste)

Les principes restent vrais dans tout système de repères spatiaux en translation rectiligne uniforme par rapport aux repères spatiaux absolus

Repères liés à la Terre : non galiléenmais erreurs négligeables si on tient compte du poids des corps=> mécanique terrestre

1.2. Système

de référence

12


Produit scalaire de la force et du déplacement

Pour un déplacement de A à B

1.3. Travail

B

Adl.FW

En multipliant la loi de Newton par il vient :

soit

Par définition l’énergie cinétique est :

Donc la variation d’énergie cinétique est égale au travail de la force appliquée

1.4. Théorème

de l’énergie

cinétique

dtvdl dv.vmdl.F

2

21 mvddW

2

21 mvEc

dW F.dl

13


Si on dépense un travail en déformant un corps initialement dans une position d’équilibre et que ce corps est ensuite capable de restituer ce travail pour revenir à sa position initiale on dit qu’il peut emmagasiner de l’énergie potentielle

On ne définit l’énergie potentielle que lorsque le travail ne dépend que des formes intiale et finale et non des formes intermédiaires

Energie potentielle élastique : Ep =kx²/2

x : déplacement par rapport à la position d’équilibre

Energie potentielle de pesanteur : Ep =mgh

1.5. Energie

potentielle

mk

m

h

14


E = Ec + Ep

1.6. Energie

mécanique

totale

1.7. Système

d

’unité

MKS

Grandeurs fondamentales : longueur : mètre (m)masse : kilogramme (kg)temps : seconde (s)

Unités dérivées : force : Newton (N)travail : Joule (J)puissance : watt (W)

1.8. EtalonsLe mètre :

10 000 000è partie du quart du méridienlongueur d’une règle de platine conservée au Bureau des Poids et Mesureslongueur d’onde dans le vide de la raie orange du Kr 86 exempt

d’isotopeprécision 10-8

15


Le kilogramme : masse du litre d’eau à 4°masse d’un objet de platine conservé au Bureau des Poids et

Mesuresprécision : 10-9

La seconde : 86 400è partie du jour solaire moyen (mesures astronomiques)horloge à quartzhorloge atomiqueprécision : 10-11

1.9. AnalogiesLes produits q.Q suivants sont homogènes à un travail

Si q est un déplacement, Q est une force vraieSi q est un angle, Q est un momentSi q est un volume, Q est une pressionSi q est une charge électrique, Q est une tension électrique….

16


1.10. Analogies dynamique

linéaire

/ dynamique

angulaire

Translation Rotation

Masse

m

Moment d’inertie

I

Quantité de mouvement Moment cinétique

p mv

Force Moment de la force

Principe fondamental de la dynamique

Théorème du moment cinétique

ddt

dp

Fdt

F

r F

I. r p

17


Translation Rotation

Travail élémentaire Travail élémentaire

Puissance Puissance

Energie cinétique de translation

Energie cinétique de rotation

mpmvEc 22

1 22

W=F.dl

W= .d

P F.v

P .

22

c1 1

E I.2 2 I

18

Partie 2

L’oscillateur élémentaire linéaire

19

2- L’oscillateur élémentaire linéaire

k : rigidité ou raideur

c : constante d’amortissement visqueux ou résistance

Système à 1 degré de libertéEquation différentielle du second ordre, linéaire, à coefficients constants

2.1 Définition

c

k x(t)

F(t)

Loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique

tFxckxxm

2.2 Grandeurs caractéristiques

m

Equation (1)

20


•Pendule de torsion

2.3. Autres

exemples

Disque de moment d’inertie I qu’on écarte d’un angle

par rapport à sa

position d’équilibre

Moment cinétique :

Tige de constante de torsion C

Couple de rappel :

= -C.

f : constante d’amortissement visqueux

Théorème du moment cinétique

dtd.I

F(t)

F(t)r

2

Z2

d dI C. .e f r F

dtdt

Ze

semblable à (1)

21


•Pendule de gravité

Fil sans masse et indéformable de longueur L

c : constante d’amortissement visqueux

Théorème du moment cinétiqueou loi de Newton

m

L

F(t)T

mg

re

e

semblable à (1)

mL mg cL F

22


•Circuit oscillant : analogie mécanique / électronique

R LC

E(t)

2

2

d q dq qL R E(t)

dt Cdt

semblable à (1)

Analogie

force-tension

Equation fondamentale de la dynamique

Loi d’Ohm généralisée

F 0

e 0

23


•Circuit oscillant : analogie mécanique / électronique

R

L

C

I(t)

21 1

12

d i L diLC i I(t)

R dtdt

semblable à (1)

Analogie

force-courant

Equation fondamentale de la dynamique

Loi de Kirchhoff

F 0

i 0

i1

24Flux Charge qAngle Déplacement xRéaction

1/L1/CConstante de torsion C

Raideur kRappel

Admittance 1/R

Résistance RCoeff de moment de frottement µ

Coefficient de frottement C

Frottement

Capacité CInductance LMoment d’inertie J

Masse mInertie

Courant iTension uCouple Force FAction

Loi

Nb de noeuds indépendants

Nb de mailles indépendantes

Nombre de paramètres

Nombre de paramètres

Degré de liberté

En courantEn tensionEn rotationEn translation

Systèmes électriquesSystèmes mécaniques

0F 0moment 0e 0i

x v.dt q i.dt u.dt

2- L’oscillateur élémentaire linéaireAnalogie

mécanique

/ électronique, tableau récapitulatif

.dt

25

Élement entre 2 nœuds

Élement commun à 2 mailles

Élement entre moment d’inertie

Élément entre masses

Couplage

Tension uCourant iVitesse angulaire

Vitesse vVitesse

En courantEn tensionEn rotationEn translation

Systèmes électriquesSystèmes mécaniques

2- L’oscillateur élémentaire linéaireAnalogie

mécanique

/ électronique, tableau récapitulatif

26


Régime libre : S.G. de l’éq. diff. S.S.M. => F(t)=0

Régime forcé : solution complète avec 2nd membre

Régime permanent : régime forcé après disparition des transitoires. Pas influencé par les conditions initiales.

Correspond à la solution particulière de l’équation différentielle

2.4. Les différents

types de comportement

du système

2.5. Autres

notations pour l

’équation

(1)

tFm1xm2

c2xmkx

tFm1x2xx 2

0

pulsation propre du système conservatif

=c/2m coefficient d’amortissement

=/0 amortissement relatif ou facteur d’amortissement

m/k0

27

Partie 3

Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire

28

3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire

Lâcher initial sans apport ultérieur d’énergieEn t = 0, X0 = x(t=0)F(t) = 0 pour t > 0

3.0. Régime

libre

3.1. REGIME LIBRE CONSERVATIF

Oscillateur

conservatif => Pas d’amortissement : c = 0 = 0

Le comportement

est

décrit

par :

Solution : tsinBtcosA)t(x 00

tcosX 0

où ²B²AX et ABtan

C ’est un mouvement harmonique - de fréquence :

- de période :

00 21f

000 2

f1T

20x x 0

29


Représentation

vectorielle

de x(t) : vecteurs

de Fresnel

Les oscillations libres s’effectuent toujours à des fréquences appelées fréquences propres définissant les modes de l’oscillateur. On a toujours :

nb de fréquences propres=

nb de degrés de liberté (ici 1)

x(t) est la projection sur l’axe du vecteur de Fresnel

30


Vitesse

et accélération

instantanées

Vecteurs

de Fresnel du déplacement, de la vitesse

et de l’accélération

On prend 0 < 1 pour la représentation

0 0 2x t X cos t

20 0x t X cos t

31

Variations du déplacement, de la vitesse

et de l’accélération

en fonction

du temps


32

Conservation de l’énergie

en régime

libre

conservatif

On a

Revenons à l’équation du mouvement :

et introduisons la vitesse xdtdxv

vdxdv

dtdx

dxdv

dtdvx 0 kx

dxdvmvd’où

0 kxdxmvdvet En intégrant, on obtient :

cteEEE²kx²mv mecpc 21

21

Quand v=0, x est maximal et Emec =Ep

Quand x=0, v est maximal et Emec = Ec

kxxm


33

A l’inverse on retrouve l’équation différentielle du mouvement en dérivant l’énergie totale par rapport au temps


E

Ec

Ep

xv

E

Ep

xv 0

34

3.2. REGIME LIBRE DISSIPATIF

Oscillateur

dissipatif => Amortissement non nul

Le comportement

est

décrit

par : 02 20 xxx

Solution :

On distingue trois cas :

Equation caractéristique : 02 20 r²r

202

201

²r

²r

• Amortissement

fort :

> 0

ou

>1

soit

204

²²

trtr BeAetx 21

On pose :

ttt BeAeetx

Le mouvement est apériodique


35

Soient les conditions initiales : x(0)=X0 ,On montre que la solution s’écrit :

Cette fonction présente un point d’inflexion à :

qui disparaît lorsque la vitesse initiale est comprise dans l’intervalle :

D’où la courbe de x(t) pour X0 fixe et différentes valeurs de V0 :

tshVX

tchXetx t 000

20 0

20 0

12inf lex

X Vt ln .

X V

20

0 0 0 2X V X

00 Vx


36

Avec les mêmes conditions initiales X0 et V0 , la solution s’écrit :

• Amortissement

critique :

= 0

ou

= 1

Solution double : r = -0 =- teBtAtx 0

Le mouvement est apériodique.

L’amortissement critique est celui qui permet d ’atteindre la solution d’équilibre au plus vite

tetVXXtx 00000

Cette fonction présente un point d’inflexion à : 0 0 0

0 0 0 0

2inf lex

X Vt

X V

qui disparaît lorsque la vitesse initiale est comprise dans l’intervalle :

0 00 0 0 2

XX V

D’où une représentation graphique de la forme :


37

jrjr

2

1

• Amortissement

faible

:

< 0

ou

<1

tsinBtcosAetx t

²²

204

On pose maintenant :

Les racines sont complexes :

ou tcosCetx t

Et en fonction des conditions initiales X0 et V0 :

tsinVXtcosXetx t 000

Ce qui peut encore s’écrire : tcosXetx t

Avec et 2

2 0 00

X VX X

0 0

0

X Vtan

X


38

mouvement pseudo-périodique avec une amplitude qui décroît de manière exponentielle

Le graphe a l’allure suivante :

: pseudo-pulsation pseudo-période : 0

22

T

temps de relaxation

= 1/

= 2m/c > 1/0

Du fait des frottements il y a dissipation d’énergie mécanique. Cette dissipation est caractérisée par un facteur de qualité :

0 12 2

Q


39

Décrément logarithmique : T)nTt(x

)t(xlnn

1

grandeur indépendante de n, utile pour l’exploitation des mesures. Elle n’est fonction que de l’amortissement relatif :

².T

12

00

Représentation

du vecteur

tournant

dans

le cas

de l’amortissement

faible

Evolution du vecteur de Fresnel de x(t) en fonction du temps.En reprenant l’expression

on a :

tcosXetx t


40

Energie

en régime

libre

dissipatif

C’est une fonction décroissante en raison de la puissance dissipée dans l’amortisseur

Dans le cas d’un amortissement faible on a :

²xm²kxE 21

21

D’où :

tcosXetx t tsintcosXetx t

tsine²²X t

avec ²

tan

1

et comme : et 0 ² 10 tsinXe)t(x t0

t²sine²Xmt²cose²kXE tt 220

2

21

21

t²sint²cose²kXE t2

21


41

221

21 2 tsin.sine²kXE t

Or sin= tsin.e²kXE t 2121 2

Ainsi l’énergie oscille à la pulsation 2

autour d’une valeur moyenne décroissante :

Puissance dissipée dans l’amortisseur = force dissipative x vitesse

t²sine²Xcx.xc)t(p t220

Energie perdue entre 0 et t : dt²xcEt

t 0

0


42

Diagramme

du plan de phase

Soit l’énergie totale

a la même dimension que x², soit le carré d’une longueur,

²xm²kxE 21

21

Quand l’amortissement est nul cette longueur est une constante et l’équation devient :

20

2

²v

²xkE

kE²R 2

20

20

²v²xR

C’est l’équation d’un cercle dans le plan (x,v/0 ), appelé « plan de phase »Le cercle est parcouru dans le sens des aiguilles d’une montre car le déplacement augmente si la vitesse est positiveAvec un amortissement non nul, le rayon R diminue avec le temps et le cercle se transforme en spirale qui tend vers l’origine

on pose :


43

Exemple

: élément

de suspension pour véhicule

• Le poids d’une masse de 350 kg (le 1/4 de celle du véhicule) provoque un déplacement statique =28 cm.• Les oscillations autour de la position d’équilibre ont une fréquence f=0,835 Hz

Calculer les caractéristiques de l’élément de suspension : k (rigidité du ressort), 0 et

(pulsations propres sans/avec amortissement),

et . Quelle est

l’amplitude de la 5ème oscillation par rapport à la 1ère ? (g=9,81 m/s²)

m

x(t)

c

k


44

Partie 4

Le régime permanent harmonique

45

4- Le régime permanent harmonique

comportement de l’oscillateur soumis à une force extérieure4.1. Régime

forcé

4.2. Régime

permanent harmoniqueCas particulier de régime forcé : force extérieure harmonique pure, après disparition des transitoires

4.3. Equation du mouvement

tcosFxckxxm

Régime permanent => solution particulièreRégime transitoire => solution générale de l’ESSM

On cherche donc une solution particulière de la forme : tsinBtcosAx

En remplaçant x et ses dérivées dans l’équation différentielle on obtient facilement :

²c²²m²kcFB

²c²²m²km²k

FA

46

En combinant les deux fonctions harmoniques, la solution s’écrit aussi :

)tcos(Xx

avec : ²B²AX et ABtan

que l’on peut écrire :2

0

22

0

2

411

²

X

²k²c²

km²

kFX S

pulsation propre du système libre conservatif

amortissement relatif

Facteur d’amplification dynamique

: ²²²X

X

S

41

12

avec XS =F/k : déplacement statique dû à une force constante F

où est la pulsation relative de la force extérieure0

m²kctan


47Facteur d’amplification dynamique et déphasage en fonction de la pulsation

relative pour différentes valeurs de l’amortissement relatif


48

Si =1 max et 0 proches quand <<1

Résonance d’amplitude : quand X ou

est maximal

²²² 41 2

041 2

²²²dd

² 21

²max

121

21

0

Facteur de qualité : 021

Q

Résonance de phase : quand =/2²m²k

ctan

12

, la force extérieure et le déplacement sont- en phase (=0) si 0 ( 0)- en quadrature de phase (=/2) si = 0 (

=1)(résonance de phase)

- en opposition de phase (=) si

( )

est minimal


49

Impédance complexe :

Force et déplacement peuvent être considérés comme la partie réelle de grandeurs complexes

4.4. Notation complexe

tsinjtcosFReFeRef~

Ref tj

jtj

XeRex~Rex

tcosFxckxxm f~

x~cj²mk

jec²mkcj²mkZ~ 22

Admittance complexe : 22

11

c²mk

ecj²mkZ

~Y~ j

m²kctan

D’où la solution :

2 2

j tj tFe Fex Yf

k m ² j c k m ² c


50

Réponse complexe en fréquence : Y~

kH~

je

j²cj²mkkH~

211

Facteur d’amplification dynamique

tjSeXH

~x~

4.5. Puissance consommée

en régime

permanent

Puissance instantanée : force extérieure x vitesse de déplacement

t²cossinXFtsintcoscosXF)t(p

tsinX.tcosF)t(x).t(f)t(p

Puissance réactive

énergie nulle

Puissance active

effectivement consommée par

l’amortisseur

Perte d’énergie : sinXFdt)t(pET

d0


51

avec

²tantan

sin1 ²c²²mk

²cFEd

2

Puissance moyenne consommée ou puissance efficace :

2dd E

TE

p ²c²²mk

²cF²

22

Puissance consommée quand = 0 (amortissement critique) :0

0 4

m²F

p

Puissance relative : ²c²²mk

c²mpp

2

0

0

2

Résonance de puissance :

maximalse produit pour = 0 comme la résonance de phase et max =1/


52

4.6. Autres

pulsationsRésonance de vitesse :

pour lequel la vitesse est maximale. C’est = 0

Résonance d’accélération: 00

21

²

² 101 pulsation propre avec amortissement

² 2102 pulsation de résonance d’amplitude

²

210

3 pulsation de résonance d’accélération

3012

4.7. Diagramme

de Nyquist

Représentation graphique : en fonction de pour

variant de 0 à l’infini à

constant et

pour

variant de 0 à l’infini à

constant

H~

Im H~

Re


53

jbaej²

H~ j

211

²²²b

²²²

²a

41

241

1

2

2

²tan

12

²²²

41

12

Diagramme de Nyquist H() pour =0,4


54

Diagramme de Nyquist H() pour

fixe

décrit un demi-cercle de rayon RH~

²R

²R²bRa

121

2


55

Diagramme de Nyquist complet


56

Partie 5

Le régime permanent périodique

57

5.2. Série

de Fourier

Si f(t) est paire tous les Bn sont nulsSi f(t) est impaire tous les An sont nuls

5.1. Régime

permanent périodiqueCas particulier de régime forcé : régime qui se maintient après disparition des transitoiresforce extérieure périodique quelconque

Tout signal périodique f(t) de période T=2/

peut être décomposé en série de Fourier :

n

nn tnsinBtncosAF)t(f 021

avec des coefficients donnés par :

T

n

T

n

T

tdtnsin)t(fT

B

tdtncos)t(fT

A

dt)t(fT

F

0

0

00

2

2

2

5- Le régime permanent périodique

58

On a aussi :

n

nn tncosFF)t(f 021

avec :

n

nn

nnn

ABtan

BAF

22 11 tcosF fondamentale de la force ext.

nn tcosF harmoniques pour n>1

Equation du mouvement

)t(fxckxxm

Equation différentielle linéaire

on fait la somme des solutions particulières correspondant à chaque n.

D ’où :

n

nnn tncosXFk

)t(x 021


n

n n2

F n cX ;tan

k n² ²mk n² ²m n² ²c²

59

5.3. Série

de Fourier sous

forme

complexe

En utilisant les fonctions d’Euler liant les fonctions trigonométriques aux exponentielles complexes, la série de Fourier de f(t) peut s’écrire sous la forme :

Xn peut aussi s’écrire :

x(t) est une fonction périodique de même période que f(t)

régime permanent périodique

snnn XX avec : ²²n²²²n

n

41

12

kFX n

sn

On a aussi : ²²n

ntan

1

2

quand n ,

nnn ntan,

²²n21

tjnneC

T)t(f 1


60

où les Cn sont des coefficients complexes donnés par :

Etudier le déplacement x(t) provoqué par deux forces harmoniques d’amplitudes et pulsations voisines

tcosFtcosF)t(f 2211

5.4. Exemple

: battements en régime

permanent périodique


Tjn t

n0

1C f(t)e dt, n

T

61

Partie 6

Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire

62

6.2. Utilisation de la transformation de Laplace

6.1. Régime

forcéIl correspond à la solution complète de l’éq diff

solution particulière de l’eq avec 2nd membre+

solution générale de l’éq sans 2nd membre

But : transformer un problème différentiel en un problème algébrique

)t(fxckxxm

Transformation de Laplace

Définition :

6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire

stF(s) e f (t)dt

63


64


65

Transformées de Laplace élémentaires

Solution du régime

forcé


66


67

où X(s) et F(s) sont les transformées de x(t) et f(t) et X0 =x(0) et V0 = )0(x

Impédance opérationnelle :

La transformée de Laplace de la solution est :

)s(FXssXcskXVsXsX²sm 000

mVcmsX)s(Fkcs²mssX 00

20s2²smkcs²ms)s(Z

20

00

s2²sV2sX

)s(Z)s(FsX

D’où la solution : x(t)=xa (t)+ xb (t)

Pour calculer x(t) il faut distinguer 3 cas :


En prenant la transformée de Laplace de l’eq diff régissant le mouvement en régime forcé, on obtient :

6.3. Solution du régime

forcé

68

• Amortissement fort :

> 0 ou

>1

20²² On pose :

alors 2120 rsrss2²s avec


1

2

rr

et on montre facilement que

est la transformée de

Le calcul de xa (t) se fait par celui de l’intégrale de convolution

dans laquelle il faut exprimer y(t)=1/z(t)

21

00

21

0

20

00b rsrs

VXrsrs

sXs2²s

V2sXsX

tshVXtchXe)t(x 000

tb

t

0a du)ut(f)u(y)t(x

69

ce qui conduit au résultat suivant :

d’où en utilisant la table des transformées :

2120 rsrsm

1s2²sm

1sY

tshme)t(y

t

tshVXtchXedu)ut(f.ush.em1)t(x 00

0t

t

0

u


70

L’admittance Y devient :

• Amortissement critique :

= 0 ou

=1

20200 sm

1s2²sm

1sY

et d’après la table : t0emt)t(y

d’où la solution : t0000

t

0

u 00 etVXXdu)ut(f.uem1)t(x

• Amortissement faible :

< 0 ou

<1

On pose : 20² ²


22 20 0

2

1 1 1Y s

mm s² 2 s s ²

1Y s

m s ²

71

La solution s’obtient en ajoutant la fonction xb (t) correspondant au régime libre

d’où en utilisant la table des transformées :

Rem : plutôt que de calculer l’intégrale de convolution, on peut aussi effectuer l’inversion directe du produit Y(s)F(s) à l’aide des tables

6.4. Réponse

impulsionnelle

Solution du régime forcé provoqué par une impulsion de force ou de déplacement

On suppose les conditions initiales nulles

Force extérieure impulsionnelle = Distribution de Dirac

6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéairete

y(t) sin tm

t

u t

0

1x(t) e sin u.f(t u)du Xe cos t

m

22 0 00

X VX X

0 0

0

X Vtan

X

72

=> la réponse X que l’on notera D ici est particulièrement simple puisqu’elle vaut : D(s)=Y(s).1

soit d(t)=y(t)


> 0 ou

>1


= 0 ou

=1


< 0 ou

<1


f(t) (t) F(s) 1

ted(t) sh t

m

0ttd(t) e

m

ted(t) sin t

m

73

m1)0(d

en m/s

la vitesse de la masse passe brusquement de 0 à 1/m. Cette discontinuité de la vitesse nécessite une accélération infinie et donc une force infinie, ce qui est le cas avec l’impulsion de Dirac (dans un intervalle du durée nulle)


1d(0)

m

74

Par conséquent, la réponse indicielle que l’on notera e(t) est donnée par :E(s)=Y(s)/s

et en reprenant les calculs précédents, on a :

L’énergie fournie initialement au système est uniquement sous forme cinétique :

6.5. Réponse

indicielle

Solution du régime forcé provoqué par un échelon de force ou de déplacement

On suppose les conditions initiales nullesEchelon de force :

m21)0²(dm2

1)0(E

En résumé : la réponse impulsionnelle d(t) correspond à l’admittance temporelle y(t) ou au régime libre avec les conditions initiales X0 =0 et V0 =1/m


0, t 0 1f(t) F(s)

s1, t 0

75


> 0 ou

>1

Fonction non périodique qui tend vers une asymptote horizontale correspondant au déplacement statique Es =1/k


1 2 1 2

1 1 1E s

m s s r s r m s s r s r

21 2 0

1 1 2

2 1 2

1 1 mr r k

1 1r r r 2

1 1r r r 2

1 2r t r t1e(t) e e

m

t t t

t

1 e e ee(t)

k 2m

1e(t) 1 e ch t sh t

k

76


= 0 ou

=1


< 0 ou

<1


2 2 2

0 0 0

1 1 1 sE s

m m ss s s s

20

0

20

1

2

1

0 0t t0

1e(t) te 1 t e

m

0t0

1e(t) 1 e 1 t

k

22

2 2

1 1 1 sE s

m m s s ²s s ²

1 sE s

m s s ² s ²

77

Oscillations décroissantes autour de la position d’équilibre Es =1/k


20

20

1 mk

21

t t1e(t) e cos t e sin t

m

t1e(t) 1 e cos t sin t

k

78

D(s)=s.E(s)

6.6. Relation entre réponse

impulsionnelle

et réponse

indicielle

6.7. Exemple

: utilisation de la transformation de Laplace pour l’étude

du régime

permanent harmonique

F(t)=Fcos tX0 =0, V0 =0

Déterminer l’équation du mouvement x(t) en utilisant la transformation de Laplace

Travail fourni au système par la force extérieure après un temps infini : 1.Es =1/k

Energie potentielle accumulée : Ep =kEs ²/2=1/2kSeule la moitié du travail fourni est accumulée l’autre moitié est dissipée par la résistance c.


d(t) e(t)

00

79

Partie 7

Introduction aux équations de Lagrange

80

7- Introduction aux équations de Lagrange

7.1.Systèmes à

un degré

de liberté

7.1.1. Equations de Lagrange

Considérons une particule de masse m se déplaçant sans frottement sur une courbe plane comprise dans le plan (xOy) et dont les coordonnées vérifient les relations :

z=0

f(x,y)=0

Cette particule possède 1 degré de liberté

On choisit une variable q, appelée coordonnée généralisée, pour repérer sa position

Le vecteur position de la particule s’exprime en fonction de q :

Soit la résultante de toutes les forces s’exerçant sur la particule, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :

où est la vitesse de la particule

r

r r q

F

dv

F mdt

drv

dt

81


Soit le travail fourni par la force lors d’un déplacement infinitésimal :

Le déplacement peut s’écrire en fonction de la variation dq de la coordonnée généralisée :

Dans ce cas le travail peut se mettre sous la forme :

On appelle force généralisée conjuguée de q, ou q-composante de la force, la quantité Fq définie par :

F rd

qr.Fdq

dWFq

rd

dW F.dr

rdr dq

q

r

dW F. dqq

82


Par conséquent le travail s’écrit aussi :

En tenant compte du PFD cette expression peut s’écrire :

D’autre part :

Sachant que :

On obtient :

qdW F .dq

dv r

dW m . dqdt q

d r dv r d rv. . v.

dt q dt q dt q

d r dr vdt q q dt q

dv r d r v

. v. v.dt q dt q q

83


Et en écrivant le vecteur vitesse sous la forme :

On obtient :

Et :

Sachant que :

Et que :

On obtient :

dr r q rv . .q

dt q t q

r vq q

dv r d v v

. v. v.dt q dt q q

21 1 v

v v.v v.q 2 q 2 q

21 1 vv v.v v.

q 2 q 2 q

2 2dv r d 1 1

. v vdt q dt q 2 q 2

84


L’expression du travail peut alors s’écrire :

Si on note l’énergie cinétique de la masse m on obtient finalement :

D’où :

On en déduit l’équation de Lagrange pour un système à un degré de liberté :

2 2d 1 1

dW m v v dqdt q 2 q 2

2c

1E mv

2

c cE EddW m dq

dt q q

c cq

E Edm dq F .dq

dt q q

c cq

E EdF

dt q q

85


Dans les systèmes conservatifs, la force appliquée au système dérive d’un potentiel et s’écrit :

L’équation de Lagrange devient alors :

Généralement l’énergie potentielle ne dépend pas de la vitesse cad que :

L’équation de Lagrange peut alors s’écrire :

7.1.2. Cas

des systèmes

conservatifs

p

q

EF

q

pc c

EE Eddt q q q

pE

0q

c p c pE E E Ed0

dt q q

86


On introduit la fonction de Lagrange (ou Lagrangien du système) qui est la différence de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :

D’où la forme de l’équation de Lagrange dns le cas d’un système conservatif :

c pL E E

d L L0

dt q q

7.1.3. Cas

des forces de frottement

dépendant

de la vitesse

Fonction

de Lagrange

Considérons des forces de frottement visqueux de la forme :

La force généralisée s’écrit :

f v

2 2

qr r q r

f f. qq q t q

87


Si en plus des forces qui dérivent d’un potentiel il existe des forces de frottement visqueux, l’équation de Lagrange s’écrit :

D’où :

Fonction

dissipation

Calculons le travail fourni dWf par la force de frottement pendant un intervalle de temps dt pour un déplacement

La quantité de chaleur gagnée par le système en interaction avec la particule est telle que :

pc cq

EE Edf

dt q q q

2d L L r

qdt q q q

rd

2fdW f.dr .v .dt

2dQ .v .dt

88


Soit la puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de chaleur :

Cette puissance dissipée peut être exprimée en fonction de par :

Par définition, la fonction dissipation est égale à la demi puissance dissipée :

La q-composante fq de la force de frottement peut alors s’écrire :

ddQ

Pdt

2dP .v

q

2 2 2

2d

r r q rP . . . . q

t q t q

2

2d

1 1 rD P . q

2 2 q

qD

fq

89


L’équation de Lagrange s’écrit alors :

d L L D0

dt q q q

7.1.4. Cas

d’une

force extérieure

dépendant

du temps

Considérons le cas plus général d’une force extérieure dépendant du temps agissant sur un système qui est le siège de forces de frottement qui dérivent d’une fonction dissipation D. Soit Feq la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l’équation de Lagrange peut s’écrire sous l’une des deux formes équivalentes suivantes :

2

eqd L L r

F qdt q q q

eq

d L L DF

dt q q q

90

Partie 7 bis

L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion

91

7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion

L’indice de réfraction n n’est pas une constanteEléments dispersifs, aberrations chromatiques

7.1.Introduction

7.2.Réponse de la matière

à

un champ électrique

: le modèle

de Lorentz

Origine de la dispersion : réponse de la matière à un champ électrique

Lorentz : théorie classique des propriétés optiques => résultats formellement identiques à ceux donnés par la mécanique quantique

Les électrons et les ions de la matière sont traités comme de simples oscillateurs harmoniques.

On considère un ens. d’oscillateurs harmoniques, isotropes, indépendants et identiques

92


Soit un oscillateur, de masse m et de charge e, il est soumis à : -force de rappel –kx-force d’amortissement-force d’excitation due au champ électrique

cx

eq. du mvt :

On suppose le champ harmonique :

On s’intéresse au régime permanent, la solution est :

Avec et

Si 0 déplacement et champ non en phaseOn écrit aussi :

Avec et

localmx cx kx eE

0j t

localE E e 0

2 20

j teE e

mxj

20

km

cm

0j j t j

loce e

x Ae E e Ae Em m

2 22 2

0

1A

2 20

tan

93

Allure de l’amplitude et de la phase

A max pour 0

Si <<0 Amax inv prop à 0°

aux BF => l’oscillateur répond en phase à la force d’excitation

180°

aux HF => il répond en opposition de phase

Varie de 180°

au voisinage de 0


94

Pour un oscillateur, le moment dipolaire induit est :

Pour N oscillateurs par unité de volume, le moment dipolaire induit par unité de volume = la polarisation est :

Avec fréquence plasma

Or P s’écrit généralement sous la forme :

Avec

susceptibilité électrique, donc :


p ex

P Np Nex

2

02 20

plocP E

j

2

0p

Ne²m

0 locP E

2

2 20

p

j

95

Et la permittivité relative s’écrit :

D’où :

courbes :

7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion2

2 20

1 1 p jj

2 2 20

2 22 20

2

2 22 20

1 1 p

p

96

On en déduit les variations des parties réelle et imaginaire de l’indice :

Et celles du coefficient de réflexion en incidence normale :


22 n jk j

2 2

2 2

2

2

n

k

2 22

2 2

1

1

n kR r

n k

97

7.3.Quelques propriétés

de l’indice

de réfraction

et de la permittivité


Région de forte absorption autour de 0 => forte réflexion si k>>1

Des deux côtés de la zone de résonance, n

lorsque

:

dispersion normale

n ne

lorsque

(dispersion anormale) qu’au voisinage de la résonance

dispersion anormale => corriger les aberrations chromatiques ?

Non elle n’apparaît que dans les zones de forte absorption => la lumière ne passe pas

98


’’ maximum autour de 0 si << 0

Approximation au voisinage de 0 :

Largeur à mi-hauteur du pic de résonance: =

2

0

pmax

20 0

2 20

20

2 20

21

2

4

2

p

p

pour =0 -/2

pour =0 +/2

Lorentzienne

Un milieu peut avoir plusieurs populations de dipôles ayant leurs fréquences de résonance propres, par ex dans l’UV, l’IR …

12

12

maxmin

maxmax

99

Partie 8

Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté

100

Le mouvement du système est décrit par deux fonctions du tempsx1 (t) et x2 (t)

Un tel système peut être la réunion de 2 sous-systèmes à 1 degré de liberté couplés

8.1.Définition

8.2.Equations différentielles

régissant

le mouvement

en régime

libre

Pour un système linéaire dont les grandeurs caractéristiques sont constantes

Termes propres

inertielrésistif

élastique

Termes de couplage

Sous forme matricielle :


11 1 11 1 11 1 12 2 12 2 12 2

22 2 22 2 22 2 21 1 21 1 21 1

m x c x k x m x c x k x 0m x c x k x m x c x k x 0

11 12 1 11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2 21 22 2

m m x c c x k k x0

m m x c c x k k x

101

Ou :

8.3.Différents modes de couplageCouplage par élasticité : liaison par un ressort (en mécanique) ou un condensateur (en électricité)

kij 0 et mij =cij =0 pour i j

Couplage par viscosité : liaison par un frottement visqueux (en mécanique) ou une résistance (en électricité)

cij 0 et mij =kij =0 pour i j

Couplage par inertie : liaison par une masse (en mécanique) ou une inductance mutuelle (en électricité)

mij 0 et cij =kij =0 pour i j

[M] : matrice des masses[C] : matrice d’amortissement[K] : matrice de rigidité


M x C x K x 0

Matrices symétriques pour un oscillateur linéaire discret

102

8.4.Exemple : oscillateur

dissipatif

à

2 degrés

de liberté

sans couplage inertiel

c1

k1x1 (t)

m1

k3x2 (t)

m2

c3 c2

k2

Déterminer les termes des matrices [M], [C] et [K]


103

8.5.Régime libre

et modes propres

du système

conservatif

sans couplage inertiel

Système conservatif : ci =0

iSans couplage inertiel : mij = 0

i

j

Les équations différentielles deviennent :

On cherche des solutions de la forme


1 1 1 3 1 3 2

2 2 2 3 2 3 1

m x k k x k x 0

m x k k x k x 0

pt1 1

pt2 2

x A e

x A e

A1 et A2 doivent donc satisfaire le système :

(S1)

21 1 1 3 3 2

23 1 2 2 2 3

A m p k k k A 0

k A A m p k k 0

p complexe

104

Ce système d ’équations n’admet de solutions non nulles que si son déterminant est nul =>

Cette équation est appelée : Equation caractéristiqueou Equation aux valeurs propres

Les solutions de cette équation sont les pulsations propres du système

Si on l’écrit : p4+Bp2+C=0

Les solutions sont de la forme :

avec

donc est réel


21 1 3 3

23 2 2 3

m p k k k0

k m p k k

4 2 2 3 1 3 1 2 2 3 3 1

2 1 1 2

k k k k k k k k k kp p 0

m m m m

22 B B 4C

p2

2 22 2 3 1 3 3

2 1 1 2

k k k k 4kB 4C 0

m m m m

2B 4C

105

Et B > car C > 0 donc les 2 solutions p2 sont réelles et négatives

4 solutions imaginaires pures :

1 et 2 : pulsations propres du système

Déterminons maintenant les amplitudes A1 et A2 . (S1) est un système homogène => seul le rapport A2 / A1 peut être calculé :

Nombre réel qui peut prendre deux valeurs selon que p2= -12 ou p2= -2

2


2B 4C

2

1 / 2 1

2

3 / 4 2

B B 4Cp j

2

B B 4Cp j

2

21 1 3 32

21 3 2 2 3

m p k k kAA k m p k k

106

D ’où l’ensemble de solutions particulières suivant :

Les solutions générales sont obtenues par C.L. des solutions particulières

Système qui peut aussi s’écrire


21 1 1 3 321

211 3 2 1 2 3

21 2 1 3 322

212 3 2 2 2 3

m k k kAA k m k k

m k k kAA k m k k

1 1 2 2

1 1 2 2

j t j t j t j t11 11 12 12

j t j t j t j t21 21 22 22

A e ;A e ;A e ;A e

A e ;A e ;A e ;A e

1 1 2 2

1 1 2 2

j t j t j t j t1 11 1 1 12 2 2

j t j t j t j t2 21 1 1 22 2 2

x A C e D e A C e D e

x A C e D e A C e D e

1 1 1 1 2 2 2

2 21 1 1 1 22 2 2 2

x X cos t X cos t

x X cos t X cos t

107

On peut choisir les conditions initiales tq X2 =0 (resp. X1 =0)

Le système oscille selon le 1er (resp. 2nd) mode seulement

Les modes propres sont orthogonaux : ils oscillent simultanément et n’ont pas d’influence réciproque : ils n’échangent pas d’énergie

nb de fréquences propres = nb de degrés de liberté (ici 2)


2 modes propres Mvts du système liés à chacune des pulsations propres

1 1 1 1

2 21 1 1 1

x X cos t

x X cos t

1 2 2 2

2 22 2 2 2

x X cos t

x X cos t

108

8.6.Un cas

particulier

d’oscillateur

conservatif

à

2 degrés

de liberté

sans couplage

inertiel

On pose m1 = m2 = M et k1 = k2 = K


8.6.1. Etudes des oscillations longitudinales

y

xx1 x2

l0l0 l0

K KKM M

109

Cherchons l’expression des 2 pulsations propres et des modes propres associés :

Ceci peut être résolu en appliquant les résultats du 7.5 à ce cas particulier.

Nous allons plutôt reprendre les calculs en utilisant les propriétés de symétrie du système.

PFD :


21

1 22

22

1 22

d xM 2Kx Kx

dtd x

M Kx 2Kx dt

21

1 2 12

22

2 2 12

d xM Kx K x x

dtd x

M Kx K x x dt

Ce système d’équations couplées peut se ramener à un système d’équations indépendantes en posant :

1 2 1 2S x x et D x x

110

Il vient alors :


Qui a pour solutions :

2

1 2 1 2 1 22

2

1 2 1 2 1 22

2

2

2

2

dM x x Kx Kx =-K x x

dtd

M x x 3Kx 3Kx =-3K x xdt

d SM KS

dt d D

M 3KD dt

21

1 1 1 1

22 2 2 22

KS t A cos t B sin t MavecD t A cos t B sin t 3K

M

Ou encore :

1 1 1

2 2 2

S t A cos t

D t A cos t

111


Les constantes A1 , B1 , A2 et B2 (ou A1 , 1 , A2 et 2 ) sont déterminées à l’aide des conditions initiales. On abandonne généralement le système dans une position quelconque et sans vitesse.

1 2

1 2

à t 0 x 0 =A x 0 =B

x 0 =0 x 0 =0

1 1 1 2 2 1 1 2 2

2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 21 2

2 1 1 2 2

1 21 1 2

1 22 1

S t D t 1x t A cos t A cos t B sin t B sin t

2 2S t D t 1

x t A cos t A cos t B sin t B sin t2 2

x 0 0 B B 0B B 0

x 0 0 B B 0

A Ax t cos t cos t

2 2A A

x t cos t2 2

2cos t

112


Si par exemple on écarte de la même grandeur les deux masses on obtient :

Dans le cas opposé, on écarte les masses M1 et M2 de quantité opposées à t=0 .

Le mouvement des deux masses est

uniquement décrit par la pulsation 1

On excite dans ce cas uniquement la

pulsation 2

1 21

1

21 22

1 1

2 1

A Ax 0 A A A A2

A 0A Ax 0 A A

2A

x t cos t2A

x t cos t2

1 21

1

21 22

1 2

2 2

A Ax 0 A A A 02

A AA Ax 0 A A

2A

x t cos t2A

x t cos t2

113


Représentation graphique des 2 solutions :

Mode 1:

Mode 2:

Ces deux modes propres représentent une base permettant de décrire toutes les oscillations possibles du système. Chacun d’eux est associé à une pulsation propre.

221

KM

222

3KM

114


8.6.2. Etudes des oscillations transversales

Pas de mouvement suivant l’axe x’x, donc des mouvements purement transversaux. Ceci peut être obtenu facilement en faisant un trou dans chaque masse et en mettant un axe pour empêcher le déplacement horizontal.

y

x

y1 y2

ll l

T0 T0T0M1 M2

A l’équilibre les ressorts ont tous la même tension : 0 0T K l l

115


y1 y2

l l

l 1l2

T2T1

PFD :

l

T3T4

21

1 22

22

4 32

d yM T cos T cos

dtd y

M T cos T cosdt

l3

1 1 0

2 2 0 3

4 3 0

T K l l

T K l l T

T K l l

avec

222 2 21 1 1 2

1 0 2 1 02

222 2 22 2 1 2

2 0 2 1 02

d y y y yM K y l l K y y l l

l ldtd y y y y

M K y l l K y y l ll ldt

116


Approximation des petites oscillations : l’angle est petit ou longueur du ressort lors du mouvement est très voisine de l.

21 1 1 2

0 02

22 2 1 2

0 02

d y y y yM K l l K l l

l ldtd y y y y

M K l l K l ll ldt

21 1 2

02

22 1 2

02

d y 2y yM T

ldtd y y 2y

M Tldt

ou

Les solutions sont :

2 01 21 1 2 1

21 2 02 1 2 2

TA Ay t cos t cos t

2 2 Ml avec A A 3T

y t cos t cos t2 2 Ml

117


Représentation graphique des 2 solutions :

Mode 1 :

Mode 2 :

2 01

TMl

2 02

3TMl

118

8.7.Régime forcé

Considérons le cas des oscillations longitudinales en régime forcéOn applique une force F0 cost selon x à la première masse


y

xx1 x2

l0l0 l0

K KKM M

F0 cost

119

Le système d’équations différentielles s’écrit :


201

1 22

22

1 22

Fd x K K2 x x + cos t

M M Mdtd x K K

x 2 x M Mdt

La solution complète : solution de l’équation homogène + une solution particulière.Equation homogène déjà déterminéeIl faut juste déterminer une solution particulière

On cherche des solutions de la forme :

1 10 1 2 20 2x t x cos t et x t x cos t

120


Pour simplifier les calculs, on peut utiliser la notation complexe :

La force excitatrice s’écrit :

1

2

j t j t1 10 10

j t j t2 20 20

x t x e X e

x t x e X e

j t0FF t e M

Le système devient :

avec

2 22 j t j t j t j t010 0 10 0 20

2 22 j t j t j t20 0 20 0 10

FX e 2 X e X e = e

MX e 2 X e X e =0

20

K=

M

2 22 00 10 0 20

2 2 20 10 0 20

F2 X X

M

X 2 X 0

121


D ’où pour 2202

2 22 20 00 0

10 12 2 2 22 2 2 20 0 0 0

2 20 0 0 0

20 22 2 2 22 2 2 20 0 0 0

2 2F FX = x t cos t

M M3 3

F FX = x t cos t

M M3 3

pour

Les amplitudes deviennent infinies pour les pulsations propres 2 20 0et 3

2202

10

020 2

0

X =0

FX =-

M

122

Partie 9

Systèmes linéaires à n degrés de liberté

123

9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté

Le mouvement du système est régi par l’éq :

9.1.Définition

Composantes xi du vecteur x : coordonnées généralisées généralement de différentes dimensions

où x, et sont les vecteurs déplacement, vitesse et accélération et f(t) est un vecteur qui représente les forces extérieures agissant sur le système.

[M] : matrice des masses[C] : matrice d’amortissement[K] : matrice de rigidité

M x C x K x f t

x x

Matrices symétriques définies positives

Det(M) et de tous les mineurs diagonaux sont positifs :

11 1 11 1 111 12

1121 22

1 1 1 1 1

0 0 0 0n ,n

n nn n , n ,n

m m m mm m

, , ,mm m

m m m m

124

9.2.Détermination de l’équation

matricielle

du mouvement

Application du PFDouUtilisation des équations de Lagrange

pc ck

k k k k

EE Ed Df t

dt x x x xk=1,…,n

Dans le calcul de et de , on considère les et

comme des variables indépendantes entre elles

Quand on procède au calcul de toutes les fonctions et

doivent être considérées comme fonctions du temps

c

k

Ex

c

k

Ex

kx kx

c

k

Eddt x

kx kx


125

9.3.Définition des énergies

Energie cinétique :

Energie potentielle :

Fonction de dissipation :

Tc

1E x M x

2

Tp

1E x K x

2

T1D x C x

2

Ceci ne s’applique qu’aux petits mouvements autour d’une position d’équilibre stable

Position d’équilibre : dEp =0 (extremum de Ep )Stable : minimum strict de Ep


126

9.4.Formes quadratiquesEc est une forme quadratique symétrique définie positive des vitesses généraliséesforme quadratique 2Q : application de IRn dans IRn qui se met sous la forme d'un polynôme homogène de degré 2 des coordonnées du vecteur de IRn

i et j variant indépendamment

définie positive : IRn, Ec ( )

0

IRn, Ec ( )=0

=0

x x

xx

Tij i j

i,j

2Q x K x k x x

YQ ' GradQ K x

Ep est une forme quadratique symétrique semi-définie positive des déplacements généralises

Semi-définie positive : peut être nulle pour une valeur de x

0

D est une forme quadratique symétrique semi-définie positive des vitesses généralisées


x

127

9.5.Solutions en régime

libre

conservatif

[C]=0 et f(t)= 0

Le comportement

est

décrit

par :

Prémultiplions cette éq par [M]-1 :

est le noyau du système

Cette équation matricielle correspond à un système de n eq diff du 2nd

ordre que l’on peut résoudre de 2 manières différentes

-combinaison linéaires de solutions particulières-méthode de la base modale


M x K x 0

1x M K x 0

1M K A

128

On cherche des solutions de la forme

9.5.1.Résolution du système

par combinaison

linéaire

de solutions particulières

ou sous forme vectorielle :

En reportant dans l’eq matricielle :

En posant :

= ²

Et en simplifiant par le cosinus, on a :

Système d’eq homogènes qui n’admet de sol non nulles que si :

C’est l’équation aux pulsation propres oul’équation caractéristique

Les scalaires

sont les valeurs propres de [A]


i ix t X cos t

x X cos t

2A I X cos t 0

A I X 0

A I 0

129

Elle s’écrit aussi

Il s’agit d’un polynôme en

d’ordre n qui possède n racinesPour des raisons physiques ses racines sont >0On suppose ces racines toutes distinctes et on les classe par ordre croissant:

1 < 2 < …< p < …< n

Soit en revenant aux pulsations propres : 1 < 2 < …< p < …< n

A chaque pulsation propre p correspond une solution particulière :

: représente le vecteur xP: mode propre de rang p


11 12 1n

21 22

n1 n2 nn

a a aa a

0

a a a

1p 1p p p

ip ip p p

np np p p

x X cos t

x X cos t

x X cos t

130

Le vecteur Xp donne les amplitudes de xp

Xp est la forme propre de rang p

On obtient Xp en résolvant le système :

Il faut donc résoudre n systèmes d’éq homogènesComme ces formes propres ne peuvent être connues qu’à un facteur près, on les norme souvent par rapport à une forme propre de référence choisie arbitrairement.

La solution générale est obtenue par C.L. des modes propres du système (solutions particulières) :


pA I X 0

n n

p p p p p pp 1 p 1

x x X cos t

131

9.5.2.Résolution du système

par la méthode

de la base modale

est un système de n eq différentielles couplées.On va chercher un nouvel ensemble de coordonnées généralisées qp p=1,…,n tel qu’on ait un système de n eq diff découplées i.e. tel que chaque equation p ne dépende que de qp et

Il faut diagonaliser [A]

On cherche la matrice de changement de base [B] telle que :

et Matrice diagonale

Les termes de [] sont les valeurs propres de [A]. Les colonnes de [B] sont les vecteurs propres de [A]


x A x 0

pq

et comme les coeff de B sont indépendants du temps

x B q

x B q

1B A B

132

Le système d’ eq diff découplées s’écrit donc :

qp : coordonnées normales ou modalesCe sont aussi les modes propres du système

En tenant compte du changement de coordonnées, l’énergie cinétique s’écrit :

Et l’énergie potentielle :

L’intégration de ce système est immédiate!


q q 0

TTc

1E q B M B q

2

TTp

1E q B K B q

2

133


m m m

1

2 3

k k

9.6.Exemple d’application

: chaine

de pendules

2- Déterminer les pulsations propres de ce système.3- Déterminer les matrices de raideur et d’inertie du système. Et montrer que

et que

4- Déterminer les rapports des amplitudes angulaires et pour chacun des modes propres.

Trois pendules de longueur L. A l’équilibre ces trois pendules sont verticaux, les trois masses sont équidistantes sur une même horizontale et les ressorts ont leur longueur naturelle.

On pose 02=k/m et 0

2=g/l

1- Ecrire l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système et utiliser les equations de Lagrange pour déterminer le système d’équations différentielles vérifiées par les élongations angulaires i pour de petites oscillations.

Tc

1E M

2 T

p1

E K2

3m

1m

2m

1m

134


9.7.Passage à

la limite

:systèmes

continus

9.7.1.Mouvements longitudinaux

: Cas

de N oscillateurs

non-amortis

xxn-1

K KMn-1 Mn Mn+1

xn+1xn

Intéressons nous au mouvement de la masse Mn

PFD 2

1 12

22 2 2 2

0 1 0 0 1 02 2

nn n n n

nn n n

d xM K x x K x x

dtd x K

x x x avec Mdt

135


Supposons maintenant que les différentes masses sont soumises à de faibles oscillations, c’est-à-dire que le mouvement de chaque masse est petit

La distance entre les différentes masses est pratiquement constante et égale à celle au repos l0 .

On peut donc poser :

L’équation différentielle devient

1 0

1 0

n

n

n

x t u x, t

x t u x l , t

x t u x l , t

2

2 2 20 0 0 0 02 2

u x, tu x l , t u x, t u x l , t

t

136


l0 étant petit on peut utiliser un développement limité pour exprimer

0 0u x l , t et u x l , t

2 20

0 0 2

2 20

0 0 2

2

2

lu uu x l , t u x, t l

x xlu u

u x l , t u x, t lx x

Finalement :

Cette équation est dite de d’Alembert ou équation de propagation.

On peut voir que le terme est homogène à une vitesse.

En posant , on peut écrire l’équation de propagation unidimensionnelle de la grandeur u(x,t) à la vitesse c .

2 22 2

0 02 2

u x, t u x, tl

t x

2 20 0l

2 220 0c l

2 22

2 2

u x, t u x, tc

t x

137


9.7.2.Mouvements transversaux

: Cas

d’une

corde

vibrante

Prenons comme exemple une corde faiblement extensible de longueur l et de masse linéique . Elle est tendue par une force appliquée à son extrémité droite.

y

y(x,t)

équilibre

F

Pour déterminer l’équation du mouvement des différents points de la corde au voisinage de l’équilibre. On négligera le poids de la corde devant . On se limite à des petits mouvements transversaux.

F

F

138


Considérons un élément infinitésimal de la corde :

y

x

A

B

-T(x,t)

T(x+dx,t)

x x+dx

y(x+dx,t)

y(x,t) (x,t)

Le point d’abscisse x (A) subit l’action de la partie gauche de la corde :

Le point d’abscisse x+dx(B) subit l’action de la partie droite de la corde :

PFD :

T x, t

T x dx, t

2

2

y x, tdx y T x dx, t T x, t

tT

dxx

139


En projetant sur les axes on a :

La 1ère éq. montre que T est indépendant de x : Donc la valeur de la tension est calculée en se plaçant à l’extrémité droite de la corde :

On sait que

Equation de d’Alembert ou de propagation

2 2

2 2

0 0x

y

T cosT T

x x xy x, t T sin T y x, tT

x x xt t

T x, t T t

T t F

2

2

y x, tT F

x xt

ytg

x

2 2

2 2

y x, t y x, tFt x

140

BibliographieOndes mécaniques et sonores, problèmes résolus, Lumbroso : 534 LUM

Physique des ondes, exercices corrigés, Frère, 534.01 FRE

Physique des ondes, cours et exercices, Frère, 534.01 FRE

Mécanique vibratoire, Del Pedro, 534 DEL

Cours de physique vol 3 Berkeley ondes, collection U, 53 UNI

Cours de physique de Feynman, Electromagnétisme 2, 53 [022] FEY

Mécanique physique de Pérez, 534 PER

Les vibrations mécaniques Tome 1 de Salles et Lesueur, 534 SAL

Cours de H. Djelouah, Faculté de Physique Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne Alger, Algérie

COURS PHYSIQUE DES VIBRATIONS - perso.univ-st … PV... · Relation entre réponse impulsionnelle...

Documents

Transcript of COURS PHYSIQUE DES VIBRATIONS - perso.univ-st … PV... · Relation entre réponse impulsionnelle...