Cours Micro J Berrebeh

7/24/2019 Cours Micro J Berrebeh

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UNIVERSITE DE C RTH GE

F CULTE DE SCIENCES ECONOMIQUES DE N BEUL

COURS DE MICROECONOMIE

Premire anne EconomiE 1 Gestion

Charg de cours

Jalel BERREBEH

nne Universitaire

20121 2013


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Cours de microconomie Jalel BERREBEH ISG de Sousse

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SOMMAIREPARTIE I. LA THEORIE DU CONSOMMATEUR

CHAPITRE 1.LA THEORIE DES CHOIX DU CONSOMMATEURSection 1. La thorie de lutilit marginale

A. Dfinitions : lutilit et la loi de lutilit marginal dcroissanteB. Illustration : Application sur lutilit marginaleC. Formalisation : Calcul de lutilit et reprsentation graphiqueD. lutilit marginale et la dtermination de lquilibre

Section 2. La thorie de la courbe dindiffrenceA. La fonction dutilitB. Hypothses sur les prfrencesC. Illustration : application sur les courbes dindiffrenceD. Dfinition et proprits de la courbe dindiffrenceE. Le Taux Marginal de Substitution (le TMS)F. Interprtation conomique de la pente de la courbe dindiffrence

CHAPITRE 2.LEQUILIBRE DU CONSOMMATEURSection 1. Contrainte budgtaire et dtermination de lquilibre du consommateurA. La contrainte budgtaireB. La dtermination de lquilibre du consommateurC. ApplicationD. Interprtation du multiplicateur de LagrangeE. Tableau synthtique sur la dtermination de lquilibre

Section 2. La thorie du consommateur : Cas particuliers et approfondissementA. Les courbes dindiffrences particulires: les solutions au coinB. Les contraintes budgtaires particulires

CHAPITRE 3.LA THEORIE DE LA DEMANDE

Section 1. La fonction de la demandeA. Dfinition et propritsB. Les courbes de consommatio-revenu et de consommation-prixC. La courbe dEngelD. Le surplus du consommateur

Section 2. Effet de substitution et effet de revenuA. Analyse de leffet de substitution et de leffet de revenuB. Le paradoxe de GiffenC. Mthode de Slutsky et Hicks : application

Section 3. Mesure de llasticitA. Elasticit-prix de la demandeB. Llasticit-revenu

C.

ApplicationsRESUME DE LA PARTIE I

SIX FICHES SYNTHETIQUES

SUJETS DEXAMEN DE LISGDE SOUSSE AVEC DES ELEMENTS DE CORRIGE

SERIES CORRIGEES DE LISGDE SOUSSE AVEC DES ELEMENTS DE CORRIGE

QUINZE EXERCICES DE REVISION AVEC DES ELEMENTS DE CORRIGE

BIBLIOGRAPHIE

TABLE DES MATIERES


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INTRODUCTION GENERALE

La micro-conomie se dfinit comme ltude du comportement des principauxacteurs de la socit que sont les individus, les entreprises et lEtat.

En effet, la thorie micro-conomique ou thorie des prix, tudie lecomportement conomique des centres de dcision composant une conomie demarch, tels que les consommateurs, les propritaires de ressources et lesentreprises 1.

La micro-conomie essaie de savoir comment un consommateur rationnel

dcide-t-il de rpartir la totalit de son revenu entre les diffrents biens demanire avoir le maximum de satisfaction. Cest la thorie du consommateur

qui fera lobjet du premier chapitre.

La thorie du consommateur va nous permettre danalyser la relation et le degrsde sensibilit entre la demande et le prix dun ct et la demande et le revenu de

lautre ct. Cest la thorie de la demande qui fera lobjet du deuximechapitre.

La micro-conomie sintresse aussi au comportement dun autre agentconomique : le producteur.

Lobjectif du producteur est de maximiser son profit. Pour cela il doit maximiser

sa production ou minimiser les cots de production en choisissant la meilleurecombinaison possible des facteurs de production : le travail et le capital. Cest lathorie de la production et des cots qui fera lobjet du troisime chapitre.

Le consommateur demande des biens et services. Le producteur produit et offreces biens et services. Le consommateur et le producteur se rencontrent sur le

march.Un marchest un lieu dans lequel acheteurs et vendeurs achtent et vendent des

biens, des services et des ressources. Il y a un march pour chaque bien, serviceou ressource achets et vendus dans une conomie.

Dans une situation de concurrence la confrontation entre la demande et loffre

dtermine un prix dquilibre. Cest la loi de loffre et de la demande qui fera

lobjet de la quatrime chapitre.

1David BEGG, Stanley FICHER, Rudiger DORNBUSCH, in Micro-conomie, Ed. Ediscience int., 1996, Page63


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PARTIE I.LA THEORIE DU CONSOMMATEUR

Le cadre danalyse de la thorie du consommateur est:

- Le consommateur est rationnel et recherche le maximum dutilit- Linformation est disponible et complte

-

Lutilit est positive- Le consommateur dispose pour des achats dtermins dun revenu limit et

quil ne peut pas emprunter.- La totalit de ce revenu est affect ces achats. Il npargne pas.

Un consommateur rationnel est un consommateur calculateur. Avant dacheter,

il regarde les prix, compare les biens, se renseigne sur les conditions du march.Cet effort nest pas une perte de temps. Il a pour objectif, de dpenser la totalit

de son argent de manire satisfaire le maximum de besoin et obtenir la

meilleure satisfaction possible.

La thorie du consommateur essaie de rpondre la question suivante :comment un individu dcide-t-il de repartir son budget entre les diffrents bienset services disponibles ?

Les conomistes noclassiques de la fin du XIXme sicle (Jevons, Menger,Walras) ont dvelopp une thorie dans laquelle lindividu rationnel estsuppos recherch le maximum de satisfaction ou dutilit. On suppose dabordque lindividu est capable de mesurer par un indice quantitatif prcis lutilitquil retire de la consommation dun bien. Cest lapproche cardinale.


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CHAPITRE I.

LA THEORIE DES CHOIX DU CONSOMMATEUR

Nous analyserons dans ce chapitre la thorie de lutilit marginale puis la thorie de la courbe

dindiffrence.SECTION I.

LA THEORIE DE LUTILITE MARGINALE

A.DEFINITIONS

1. La notion dutilit

Lutilit est la capacit que possde un bien satisfaire un besoin.

Lutilit traduit la satisfaction quune personne retire de la consommation dun bien ou dunservice

Lutilit est un instrument scientifique, utilis par les conomis tes pour comprendre commentles consommateurs rationnels rpartissent leurs ressources limites entre les diffrents biens etservices qui leur procure une certaine satisfaction.

2. la notion dutilit totale

Lutilit totale note U dun bien X mesure la satisfaction globale que lindividu retire de la

consommation de ce bien.

Lutilit totale procure par un bien est celle que retire lindividu du choix une certaine

quantit de ce bien. Lutilit totale dun bien varie en fonction de la quantit qui est choisie.Elle est dfinie pour une quantit fixe du ou des autres biens entrant dans la fonctiondutilit.

3. La fonction dutilit

Le niveau de U dpend de la quantit du bien X : U est fonction de X : U=U(X)

Pour deux biens X et Y, le niveau de satisfaction dpend de la quantit consomme du bien Xet de la quantit consomme du bien Y : U = U ( X , Y )

U = niveau de satisfaction ou dutilit X = quantit consomme du bien XY = quantit consomme du bien Y

4. la notion dutilit marginale

Lutilit marginale dun bien X note Um(X) est lutilit retire de la consommation dune

unit additionnelle dun bien.

Lutilit marginale dun bien est laugmentation de lutilit totale obtenue partir de la

consommation dune unit supplmentaire de ce bien, si la consommation des autres biensreste constante.

Lutilit marginale Um mesure donc lvolution de lutilit totale la marge cest direpour une variation trs petite de la quantit consomme.


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4. La loi des utilits marginales dcroissantes : (la 1re loi de Gossen)

A chaque unit supplmentaire consomme, le dsir du consommateur diminue. Donc chaqueunit supplmentaire possde une utilit infrieure celle de lunit prcdente:

Soit : Utilit marginale(1re unit consomme)> Utilit marginale (2me unit consomme)> > Umn

La loi de lutilit marginale nonce que lutilit marginale dun bien a tendance diminuer,

mesure que lon en accrot la consommation.

Cette loi est purement empirique et na pour fondement que lobservation selon laquelle

lhomme est en gnral trs satisfait de possder une premire tl et beaucoup moins par

lacquisition dun deuxime puis dun troisime

B.ILLUSTRATION

Supposons que lutilit est mesurable et quantifiable. La satisfaction que procure Fethi de la

consommation des pommes est la suivante :Quantit de pomme consomme 0 1 2 3 4 5 6 7

Utilit totale procure 0 10 17 23 27 29 29 27

Travail faire :1) Etablir le barme de lutilit marginale Um, vos conclusions.2) On dduit lUtilit totale U, vos conclusions.3) Tracer les courbes de lUT et lUm et indiquer le point de saturation, analyser, vos conclusions.

Rponses :

a) lutilit marginale et la loi de lutilit marginale dcroissante

Quantit de pommes consomme 0 1 2 3 4 5 6 7Utilit totale procure 0 10 17 23 27 29 29 27

Utilit marginale 0 10 7 6 4 2 0 -2

En passant de la consommation de 1 pomme 2 pommes, la variation de lutilit totale est de (17-10) = 7,

7 tant la lutilit de la dernire pomme consomme. , 7 tant lutilit marginale.

Lutilit marginale est donc le rapport de la variation de lutilit totale la variation de la quantitconsomme dun bien donn X.

Um (X) = U / X = (1710) / (21) = 7

Le comportement de consommation de Fethi respecte la loi de lutilit marginale dcroissante:

Um(1repomme) > Um2 > Um3 > Um4 > Um5 > Um6 > Um710 > 7 > 6 > 4 > 2 > 0 > -2

Fethi nest pas rationnel car il a consomm la 6mepomme qui na pas augment sa satisfaction etla 7mepomme qui, plus grave a rduit son utilit totale. Il aurait d sarrter la 5mepomme.

Si on suppose quil sarrte la 5mepomme et que lUm ne sannule jamais (hypothse de non-saturation), on peut construire une fonction dutilit concave.

Pour vrifier si la fonction est concave, il suffit de dmontrer que la 1revariation est positive et que la2mevariation est ngative.

La 1revariation : U / X = 10, 7, 6, 2, > 0 la fonction est croissante


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La 2mevariation : ( U / X) / X = (710)/(2-1) = -3 , -1, -2, -2 < 0 elle est concave

Pour une fonction continue, la 1revariation nest autre que le driv premier, la 2mevariation nestautre que le driv second. Donc pour montrer que la fonction dutilit est concave, il faut que ledriv premier soit positif et le driv second soit ngatif.

La fonction dutilit doit tre par dfinition deux fois drivable

b) lutilit totale

On remarque que lutilit totale est la somme des niveaux de satisfaction retir de chaque unit debien.

Pour chaque quantit consomme, lutilit totale est gale la somme des utilits marginales.

Par exemple, la consommation de 5 pommes procure une utilit totale de 29.

29 est gale la somme des utilits marginales.

UT(5pommes) = Um(1pomme) + Um(2pommes) + Um(3) + Um(4) + Um(5)29 = 10 + 7 + 6 + 4 + 2

Donc UT = Um1 + Um2 + Um3 +.+ Umnc) Analyse graphiquedu comportement de Fethi dans sa consommation des pommes

UT

Quantit de pomme consomme

Um

Quantit de pomme consomme

C.FORMALISATION

1. Lutilit totale

Lutilit totale U dune consommation est la somme des utilits marginales des units

consommes. Soit Umnlutilit marginale de nme unit consomme

U = Um1+ Um2+ + Umn

2. La notion de la driv et le calcul de lutilit marginale

On distingue un bien parfaitement divisible dun bien partiellement divisible

Quant on a un bien imparfaitement divisible, quon ne peut utiliser que par unit. Parexemple une voiture ne peut tre consomme que par unit. La moiti dune voiture nest

pas utile et ne peut satisfaire le besoin de transport.

Lutilit marginale dun bien X imparfaitement divisibleest la variation totale induite parune unit supplmentaire de ce bien. Soit Um (X) = U / X.

Si on dispose dun bien parfaitement divisible, la variation est infiniment petite. Pourmesurer cette variation, on peut faire appel un outil mathmatique : le driv

Lutilit marginale dun bien X parfaitement divisibleest la variation de lutilit totale pourune variation infiniment petite de la quantit. Cest le concept de driv en mathmatique qui


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permet dapprhender cette dfinition. Soit Um = U(X) Um = dU/dX

Rappel mathmatique

a = une constante x = une variable f, g, des fonctions de xa=Cte ax x xa a/x af f.g f/g

drive 0 a 1 axa- -a/x a f fg+f g (fg-f g)/g Drive dune fonction une seule variable f(x) ou df/dx ou d(fx)/dx

Fonction plusieurs variables, on parle de drive partielle premiref(x,y,z,) f(x) = f/x = f(x,y,z,)/ x

3. Reprsentation graphique de lutilit totale et de lutilit marginale Lutilit totale atteint son maximum aupoint de satit

U cd au point de saturation du consommateur S.Au point S, lutilit marginale est nulle: une unit

S supplmentaire de consommation naugmente plus lasatisfaction.Si la consommation de X est pousse au-del de S,

lutilit

X = Quantit marginale devient ngative et lutilit totale diminue.On suppose quun individuarrte sa consommation au

Um point S.Donc on fait lhypothse que lutilit marginale est

Um = dU/dX normalement dcroissante mais toujours positive.

S XC.LA DETERMINATION DE LEQUILIBRE DU CONSOMMATEUR PAR LE BIAIS DE LUTILITE

MARGINALE

1. Dfinition de la notion de lquilibre du consommateur

Lquilibre du consommateur se ralise quant il demande le choix optimal. Ce choix

correspond la maximisation de son utilit totale

La fonction objective du consommateur est de maximiser son utilit, cest dire sasatisfaction.

Lutilit est une fonction des quantits consommes. Supposons que le consommateur achte

deux biens X et Y.La fonction dutilit scrit: U = U (X,Y) Cest cette fonction que le consommateur rationneldoit maximiser.

2. Illustration

Supposons que lutilit est mesurable et que le consommateur se comporte de la manire suivante danssa consommation de deux biens cinma et thtre :

Nombre de spectacle 1 2 3 4 5 6 7

Utilit totale du thtre 75 144 204 249 285 306 306

Utilit totale du cinma 60 108 145 168 178 180 180Travail faire: Analyser lquilibre du consommateur dans les 3 cas suivants:


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a) dispose dun revenu illimit et le prix dune place de cinma ou de thtre est de 3 dinars

b) dispose dun revenu limit de 30 dinars mais les places de cinma et de thtre sont gratuites

c) Dispose dun revenu limit de 30 dinars avec des prix identiques dune entre au cinma et duneplace au thtre, soit 3 dinars.

d)

Dispose du mme revenu (30 dinars) avec des prix diffrents, cinma : 3 dinars, thtre : 9 dinarsRponses :

Nombre de spectacle 1 2 3 4 5 6 7

Utilit totale du cinma 60 108 145 168 178 180 180

Utilit marginale cinma 60 48 37 23 10 2 0

Utilit marginale par dinar dpens cinma 20 16 12,3 7,7 3,3 0,7 0

Utilit totale du thtre 75 144 204 249 285 306 306

Utilit marginale thtre 75 69 60 45 36 21 0

Utilit marginale par dinar dpens thtre 8,3 7,7 6,7 5 4 2,3 0

a) Si le consommateur dispose dun revenu illimit (absence de contrainte budgtaire), sa demandenest plus influence par les prix. Dans ce cas, il maximise sa satisfaction en allant plusieurs foisau thtre et au cinma jusqu ce qualler au cinma ou au thtre ne lui procure aucunesatisfaction. Autrement dit jusqu ce que lutilit marginale sannule pour le dernier spectacle authtre et pour le dernier spectacle au cinma.

Donc lquilibredu consommateur est atteint quant : Um (cinma) = 0 et lUm(thtre) = 0

Dans notre exemple : la combinaison optimale E(Cinma, thtre) qui donne la meilleure satisfactionau consommateur est : 7 entres au cinma et 7 entres au thtre. Donc le point dquilibre est:

E(7,7)Mme analyse dans le cas ou on dispose dun revenu limit mais les prix du cinma et du thtre sontgratuits.

b) Considrer les prix sont gratuits donne la mme situation que le premier cas avec un revenuillimit. Le consommateur va au cinma sans contrainte de revenu car ceci ne lui cote rien.

Pour raliser son quilibre, il doit aller au cinma et au thtre jusqu ce que lutilit marginale soitnulle. Um (cinma) = Um (Thtre) = 0.

Le point dquilibre est le mme que dans le 1ercas. Soit E ( 7 , 7 )

c) Dans le cas ou le consommateur subi une contrainte budgtaire (revenu limit 30D) et que lesprix sont les mme pour le cinma et le thtre (3D). Il doit dpenser les 30D entre le cinma et lethtre de telle manire davoir le maximum dutilit totale. Il ne tient pas compte des prix dans lacombinaison quil va choisir.

Selon son revenu et selon les prix, le consommateur ne doit pas dpasser les 30D. Pour cela et vue queles prix sont 3D, le consommateur ne peut demander que 10 places en tout entre le cinma et lethtre.

La combinaison de cinma et de thtre qui donne lquilibre du consommateur est celle qui donne lasatisfaction la plus leve.

Le choix du consommateur est le suivant :

Il commence par aller au thtre (Um=75), puis thtre (Um=69), puis au cinma (Um=60), puisthtre (Um=60), puis cinma (Um=48), puis thtre (Um=45), puis cinma (Um=37), puis thtre(Um=36), puis cinma (Um=23) et enfin thtre (Um=21)


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A ce stade, le consommateur doit sarrter daller au cinma et au thtre car il na plus dargent. Il adpens la totalit de son revenu. Les 30D ont t dpens.

La combinaison E qui lui procure la meilleure satisfaction compte tenu de son revenu est E (4cinmas, 6 thtres).

Cette combinaison donne une satisfaction totale de 474 utils.

Lutilit totale est gale la somme des utilits marginales de thtres et de cinmas consomms.

474 = 75 + 69 + 69 + 60 + 60 + 48 + 45 + 37 + 36 + 23 + 21

d)le 4mecas se caractrise par : Revenu = 30, Prix cinma = 3, Prix thtre = 9

Maintenant les prix relatifs des biens ont chang. Le consommateur va toujours chercher acheterlunit de bien disponible pour laquelle lutilit marginale par dinar dpens est la plus lev.

On doit calculer les Um des 2 biens pondrs par les prix pour pouvoir choisir les Um les plus leves.

On calcule les rapports : Um (thtre) / Prix thtre et Um(cinma) / Prix cinma

Um pondr par les prix du 1erspectacle du thtre = Um (T1) / PT = 75 / 9 = 8,3

Um pondr par les prix du 1erspectacle cinma = 60 / 3 = 20

Le choix optimal du consommateur est le suivant :

Premier achat place de cinma : [(Um/Pc) = 20] avec Pc prix du cinma

Deuxime achat place au cinma : [(Um/Pc) = 16]

3meachat cinma=12,3 ; 4meachat thtre=8,3;5meachat thtre=7,7 ;6meachat cinma =7,7

On a donc : C1 + C2 + C3 + T1 + T2 + C4 = 4 fois cinma et 2 fois thtre

Ainsi le consommateur a puis la totalit de son revenu. Il doit arrter ses achats. IL a dpens = 4cinmas 3D la place et 2 thtres 9D la place. Revenu total dpens = 4 x 3 + 2 x 9 = 30

On peut en dduire la formule de la contrainte budgtaireRevenu = Quantit de cinma x Prix du cinma + Qt thtre x Prix du thtre

R = X . Px + Y . Py

30 = 4 . 3 + 2 . 9

Cest la contrainte budgtaire du Consommateur.

Ce choix optimal E(4 cinma, 2 thtres) donne une satisfaction totale de :

UT= Um (C1) + Um (C2) + Um (C3) + Um (C4) + Um (T1) + Um (T2)312 = 60 + 48 + 37 + 23 + 75 + 69

La meilleure satisfaction que peut obtenir le consommateur compte tenu de son revenu et des prix dumarch est donne par le panier E ( 4, 2) qui donne une utilit maximale U = 312. Aucune autrecombinaison ne peut amliorer son utilit.

Ce quil faut retenir de cet exemple cest que :

Les deux conditions dquilibre du consommateur sont:

La contrainte budgtaire est gale : R = X . Px + Y . Py 30 = 4x3 +2x 9

La condition dquilibre est: Um (X) / Px = Um (Y) / Py 23 / 3 = 69 / 9

Limpact dune augmentation du prix du thtre (de 3D 9D), est que le consommateur


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a baiss sa consommation de thtre de 6 2. La consommation de cinma na pas

chang. Il en rsulte que le niveau de vie du consommateur a baiss et le point

dquilibre optimal est pass de E(4,6) E(4,2).

3. Conclusion :

Trois cas se prsente pour un individu rationnel cherchant maximiser sa fonction dutilitU = U (X,Y) :

Dans une situation, avec absence de contrainte budgtaire (revenu illimit), lindividucontinu consommer jusqu ce que lutilit marginale de chaque bien soit nulle :

La condition dquilibredu consommateur est : Um(X)=Um (Y) = 0

Dans une situation avec contrainte budgtaire (revenu limit) mais les prix des biensX et Y sont identiques(Px = Py = 1); consommer X, cest renoncer un autre bien Y. Enconsommant, le bien X, lindividu doit tenir compte du cot dopportunit de cette

consommation cd la satisfaction quil aurait pu obtenir en renonant X et enconsommant un autre bien substituable Y.

Si Um(X) > Um(Y) on doit substitution de Y par X

Si Um(X) < Um(Y) on doit substitution de X par Y

La condition dquilibredu consommateur est : Um(X) = Um(Y)

Dans une situation avec contrainte budgtaire et des prix diffrents des biens , il nesagit plus de savoir si lon doit consommer une unit supplmentaire de X ou de Y, mais

de savoir si lon doit dpenser un dinar supplmentaire en bien X ou en bien Y. Pour avoirle maximum dutilit, lindividu doit toujours galiser les utilits marginales mais il

doit aussi les pondrer par les prix des biens X et Y(Px et Py).

La condition dquilibredu consommateur est Um(X)/Px = Um(Y) / Py

Um(X) / Px mesure lutilit marginale par unit montaire (un dinar) dpense sur le bien X.

La condition fondamentale de maximum de satisfaction ou dutilit est la suivante :

Un consommateur pour un revenu R et des prix de march des biens donns

obtiendra le maximum de satisfaction ou dutilit, quant lutilit marginale du

dernier dinar dpens pour chaque bien est exactement la mme que celle du

dernier dinar dpens pour nimporte quel autre bien

2

Um(X) / Px = Um (Y) / Py = = Utilit marginale par dinar de revenu

Donc la condition dquilibre est lgalit entre les utilits marginales par dinar de

chaque bien

2Paul samuelson, William D. Nordhaus, micro-conomie, Ed. dorganisation, 14medition 1995.


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SECTION II.

LA THEORIE DES COURBES DINDIFFERENCE

Au dbut du XX sicle, Pareto dveloppe la thorie des courbes dindiffrence. Selon cettethorie, on a plus besoin de mesurer et de quantifier lutilit. Pareto adopte une approcheordinale dans laquelle lindividu ne mesure plus le niveau dutilit mais est seulement capabledindiquer un ordre de prfrence.

Pour simplifier lanalyse, on suppose que le consommateur ne consomme que deux biens X etY et quil choisit entre deux paniers A et B. qui contiennent des quantits donnes de X et de

Y.

Un panier de biens est une combinaison des quantits de biens X et Y distingues par leconsommateur. Analytiquement, un panier prend la forme d'un vecteur 2 composantes.

Par exemple A(4,3) : le panier A est compos de 4 units du bien X et 3 units de bien Y.

Lanalyse reste valable pour n biens.

Pour quun individu soit en mesure de dfinir un ordre de prfrence, il nest pas ncessaire

de supposer quil sait mesurer son utilit par un indice quantitatif (en utils). Il suffit que ceshypothses soient runies :

A.LA FONCTION DUTILITE

1.

Dfinition

La fonction dutilit est la relation entre la quantit consomme et la satisfaction gnre parcette consommation.

Pour simplifier la dmonstration, on considre que le consommateur ne retire sa satisfactionque par la consommation de 2 biens X et Y.

La fonction dutilit scrit: U = U (X , Y) avec X > 0 et Y > 0

U : mesure le niveau de satisfaction obtenueX : la quantit consomme de bien XY : la quantit consomme de bien Y

Pour n biens : U = U (Q1, Q2, Q3Qn)

X et Y, les quantits consommes, ne peuvent tre que positifs. Des quantits ngativesnauraient aucune signification conomique.

Les fonctions sont dfinies dans lintervalle ]0, +[

La fonction dutilit tablit un lien entre un panier de consommation compos dune quantit

donne de bien X et dune quantit donne de bien Y et lutilit que ce panier procure auconsommateur.

La fonction dutilit mesure donc la satisfaction du consommateur. Elle varie dune personne une autre. Le comportement de consommation varie selon lindividu.


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2. Proprits

a. Hypothse de la non-saturation :

Selon cette hypothse, le consommateur ne dit jamais non une quantit supplmentaire debien X ou de bien Y. Il ne connat jamais la saturation au niveau de la consommation.

Si les deux paniers A et B contiennent la mme quantit en X et si A contient une quantitplus grande en Y que B, alors A est prfr B.

Par exemple A(3,5) et B(2,5) A est prfr B

Laxiome de la non-saturation impose les conditions suivantes :

En prsence de 2 paniers A et B avec A = (XA,YA) et B = (XB,YB)

Si XAXB XA> XBYA> YB YAYB

On aura A prfr B et B est prfr A si les signes sont inverss

On peut vrifier facilement si une fonction dutilit respecte laxiome de la non -saturation laide de la drive partielle premire de U par rapport X U/X(Y=Cte)

Cette expression nest autre que lutilit marginale de X qui est toujours positive quand X > 0.

b. la fonction dutilit est par hypothse continue

Cette hypothse prsente un intrt conomique. Quelle que soit la combinaison choisie de Xet de Y, la fonction est dfinie. A dfaut, il y a des combinaisons de X et Y indfinies.

Cette hypothse prsente un intrt mathmatique. Elle permet lutilisation de loutilmathmatique : la drive.

La fonction dutilit est par hypothse drivable 2 fois

c. La fonction dutilit est croissante par rapport la quantit consomme

Lhypothse de la non-saturation donne des drives partielles de la fonction dutilitpositives pour le bien X et pour le bien Y.

U/X = lim U/X > 0

X 0Pour n biens les drives partielles sont positives U/Qi > 0 pour i =1n

La fonction dutilit est donc croissante par rapport la quantit consomme.

d. La drive partielle

U/

X est gale lutilit marginale de X

La drive partielle U/XCest gale lutilit marginale qui reprsente laugmentation delutilit provoque par une augmentation infiniment petite de la quantit consomme de X(X 0 )

e.

La fonction dutilit est par hypothse concave, ou au moins quasi-concave

La loi de lutilit marginale dcroissante dit que lorsque la quantit consomme de bien X


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augmente, la satisfaction du consommateur augmente (lutilit marginale est positive) maiselle augmente un taux dcroissant (lutilit marginale est dcroissante).

La variation de la variation est ngative

La drive seconde est donc ngative pour X : (U/X) / X = 2U/X2 < 0

Pour n biens (U/Qi) / Qi = 2U/Qi2 < 0 pour i allant de 1 n

Donc la fonction dutilit est croissante et concave

U

X

Une fonction concave ou quasi-concave est une fonction qui prsente, par dfinition, un

maximum.( de mme une fonction convexe ou quasi-convexe est une fonction qui admet par dfinitionun minimum).

En terme conomique une fonction dutilit concave ou quasi-concave signifie quil existeune combinaison de consommation E (X,Y) telle que la satisfaction du consommateur estmaximale.

3. Conclusion :

En micro-conomie, la fonction dutilit prsente par hypothse, 3 caractristiques:

elle est continueelle est concave ou quasi-concave. Ce qui implique que

elle admet un maximum elle est deux fois drivable

B.HYPOTHESES SUR LES PREFERENCES

1. Le consommateur est capable de faire des choix et peut classer ses prfrences.

Il doit tre capable de classer lensemble des paniers par ordre de prfrence. Ces paniers se

caractrisent par des combinaisons diffrentes de bien X et de bien Y.Entre deux choix A et B, le consommateur est capable de comparer A et B et peut dire sil

prfre A B (A>B) ou sil prfre B A (B>A) ou encore sil est indiffrent entre les deux

(A B).

2. Les choix sont transitifs

Si A > B et B > C A > C

Si le panier A est prfr B et le panier B est prfr C alors A est prfr C. Cettehypothse suppose une cohrence dans la comparabilit des paniers.


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Les hypothses mises sur les prfrences sont donc:

La ncessit de faire un choix et son caractre dlibr

La substituabilit des biens.

La comparabilit,

La transitivit. La non satit:

l'utilit marginale dcroissante

C.ILLUSTRATION

Supposons quun consommateur ne consomme que 2 biens X et Y et se voit prsenter les

paniers de consommation suivant : A(3X,18Y), B(5X,13Y), A(6,18) et B(8,13).

Le consommateur exprime ses prfrences :

Il prfre A A car(selon lhypothse de la non saturation) A contient la mme quantit queA en Y mais elle contient 3 units supplmentaire en X.

Mais le consommateur est indiffrent entre A et B car les 2 paniers lui procurent la mmesatisfaction (100 utils)

Le panier A et B lui donnent la mme satisfaction. Le consommateur est donc indiffrententre A et B.

Le consommateur a pu exprimer ses choix en regroupant les paniers qui lui procurent unniveau de satisfaction donn (100 utils) et ceux qui lui procurent un niveau plus lev (150).

Pour les autres paniers, le consommateur sest exprim ainsi :

Paniers X Y Utilitassocie

TMS Paniers X Y Utilitassocie

TMS

A 3 18 100 - A 6 18 150 -

B 5 13 100 5/2 B 8 13 150 5/2

C 7 10 100 3/2 C 10,5 10 150 3/2,5

D 11 6 100 1 D 16 6 150 4/15,5

E 16 3 100 3/5 E 26 3 150 3/10

On remarque que les paniers A(3,18), B(5,13), C(7,10), D(11,6), E(16,3) lui procure lamme satisfaction soit 100 utils.

Donc U est une constante (U = 100). Quel que soit le panier choisi lutil it retire est uneconstante.

Il est indiffrent entre ces paniers. On peut reprsenter graphiquement ce choixindiffrent des paniers sous forme de courbe quon peut appeler courbe dindiffrence

entre les paniers qui procurent 100 Utils :

On reprsente graphiquement les paniers, puis on lie les points de combinaison on obtient unecourbe qui donne les diffrentes combinaisons de X et de Y qui procurent la mmesatisfaction au consommateur, soit 100 utils.


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20 A

15 B

10 C

5 D

5 10 15 20

Tout au long de cette courbe lutilit ne change pas. Donc dU = 0

Lquation de la courbe est de la forme de Y =f (X) pour U = 100

Cette courbe a une pente ngative. Si X augmente, Y diminue puisque la satisfaction estconstante. Si X augmente et Y augmente ou stagne alors daprs lhypothse de la nonsaturation la satisfaction doit augmenter. Donc sur une mme courbe dindiffrence(mme niveau dutilit) si X augmente Y doit diminuer et si X diminue Y doit augmenter

pour garder la mme satisfaction.

Cette pente de la courbe dindiffrence est mesure par Y/X

la pente de larc AB = (YBYA) / (XBXA) = Y/X = (13-18 ) / (5-3) = - 5/2

La pente de la courbe dindiffrence varie en chaque point de la courbe. Cette pentereprsente un taux dchange de Y par X cd de combien remplacer une perte dunit de

X par des Y pour garder la mme satisfaction. Ce taux sappelle le taux marginal de

remplacement de X par Y (ou de substitution) not TMSy/x Le TMS est de signe ngatif. Par convention on prend la valeur absolue pour faciliter

linterprtation conomique;

Le TMS est dcroissant de A B TMS = 5/2 ; de B C TMS = 3/2

de C D TMS = 1 de D E TMS = 3/5

A mesure que lon descend le long de la courbe dindiffrence, le consommateur est de moins

en moins disposer renoncer Y pour obtenir une unit supplmentaire de X. Ce qui expliqueque le TMS est dcroissant.

En effet moins il y a de Y plus il a de X cd plus le point choisi est proche de lorigine et

plus les units restantes de Y ont tendance se valoriser, alors que celle de X ont au contrairetendance perdre de leur valeur ses yeux. Par consquent, lindividu est de moins en moins

dispos renoncer au bien Y chaque unit supplmentaire de X et le TMS est dcroissant.

Maintenant, on peut reprsenter graphiquement les paniers A, B, C, D, E quiprocurent au consommateur un niveau de satisfaction plus lev. Cette courbedindiffrence donne les diffrentes combinaisons qui procurent au consommateur un

niveau dutilit 150 utils.

Ainsi de suite, on peut obtenir plusieurs courbes dindiffrences classes et hirarchisesselon le niveau de satisfaction.

Lensemble de ces courbes dindiffrence donne une carte dindiffrence.

Courbe dindiffrence qui reprsente lensemble

des combinaisons de X et de Y qui donne la

mme satisfaction (100 Utils)


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D.DEFINITION ET PROPRIESTE DUNE COURBE DINDIFFERENCE

1. Dfinition

Une courbe dindiffrence reprsente lensemble des combinaisons possible de consommation

de deux biens X et Y (La combinaison A ou B par exemple) qui procure au consommateur unniveau dutilit identique.

Une courbe dindiffrence est le lieu des combinaisons de quantits de biens procurant unmme niveau dutilit.

Le niveau dutilit U est le mme quant on se dplace le long dune courbe dindiffrence.

Lutilit augmente quant on passe dune courbe dindiffrence une autre courbe plus leve. Pour un mme individu, il existe une infinit de courbes dindiffrence, chacunecorrespondant un niveau de satisfaction diffrent. Lensemble de ces courbes dindiffrenceest appel carte dindiffrence. Il existe autant de cartes dindiffrence que dindividus.

oyI1 I3 Carte dindiffrence I3A.

B courbe dindiffrence I2ox =Quantit de bien X

2. Proprits :

Les courbes dindiffrence possdent 5 proprits:

- Le long dune courbe, la variation dutilit totale est nulle: dU = 0

-

Une courbe dindiffrence a une pente ngative. Ceci drive de laxiome de comportement

selon lequel le consommateur prfre toujours plus.

- Une courbe dindiffrence est convexe par rapport lorigine.

- Les courbes dindiffrence ne peuvent se couper.

- Plus les courbes dindiffrences sont loignes de lorigine, plus le niveau est lev.

a. Les courbes dindiffrence sont dcroissantes(de gauche droite):

les courbe dindiffrence ont une pente ngative. En effet, sur le long de la courbe, il existeune relation inverse ou dcroissante ou ngative entre X et Y : si X augmente, Y

diminue et inversement. Par consquent la pente X/Y de la courbe dindiffrence estngative.

Pourquoi quant X augmente , Y doit diminuer ? parce que lindividu rationnel ne poussepas sa consommation dun bien jusqu dpasser le point S o lutilit marginale est

ngative, puisque au del de S lutilit totale dcrot (U). Si on admet que leconsommateur rationnel ne dpasse jamais S, on suppose que lutilit marginale esttoujours positive. Donc si Y diminue alors lutilit totale diminue, il faut donc augmenter

X pour garder le mme niveau de satisfaction. Et inversement, si Y augmente, lutilit

totale augmente, il faut alors rduire X pour avoir une utilit totale stable .La dcroissance de la courbe dindiffrence sexplique donc par le fait que les utilits

marginales de X et de Y sont supposes positives en raison de la rationalit descomportements des agents conomiques et en raison de lhypothse de non-satit.


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b. Les courbes dindiffrence sont convexes(par rapport loriginedes axes)

Les courbes dindiffrences ne sont pas droites mais courbes vers le bas: leur inclinationdiminue progressivement de gauche droite.

Y Y

Y

X XX0 X1 X0 X1

Le long dune droite une baisse de Y de Y suppose, pour avoir une utilit inchange, uneaugmentation de X de X. LUm Y/X (la pente) est constante quelque soit le niveau.

Le long dune courbe convexe, une mme diminution de Y (Y) ne peut tre compenseque par une quantit croissante du bien X.( X>Y). Ceci sexplique par la dcroissancede lutilit marginale (Um). Quand on substitue du bien X au bien Y,Y est de plus en plusrare, donc lUm de Y augmente. Seule une quantit croissante de lautre bien pourrait

maintenir la satisfaction inchange, dautant que, X tant de plus en plus abondant, son

Um diminue.

Si les courbes dindiffrence ntaient pas convexes, le consommateur limiterait son choix un seul bien ou son choix serait indtermin.

c. Les courbes dindiffrence ne se coupent pas:

-

Y Si I1et I2se coupent au point E, point dintersection entrela courbe I1et I2, C et D devraient, par dfinition, procurer

E la mme satisfaction que E ;or cest impossible puisque D>CC D I2 (la combinaison D donne une satisfaction suprieure que C)

I1X

Deux courbes dindiffrence ne peuvent se croiser ni se toucher en un ou plusieurs points ;elles ne peuvent avoir un ou plusieurs points en commun.

Supposons que deux courbes dindiffrence aient un point en commun : alors cela signifiequun panier aurait 2 niveaux de satisfaction diffrente. Ce qui est contraire la dfinition de

lutilit o chaque panier correspond un seul niveau de satisfaction. d. Lhypothse de la non-saturationimplique, de plus, que la satisfaction du consommateuraugmente lorsquil passe dune courbe dindiffrence une autre plus loigne de lorigine.

En effet lorsquon sloigne de lorigine, on obtient des paniers de consommation contenantdes quantits de biens plus importantes, ce qui, daprs lhypothse de la pente ngative des

courbe, accrot le niveau de satisfaction.

3.Application

Soit la fonction dutilit suivante: X1/2Y1/2

Donner les caractristiques de la courbe dindiffrence.On pose U = c ( c tant une constante )


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Y = c2/ X Cest lquation de la courbe dindiffrence du niveau c

La courbe dindiffrence est une hyperbole quilatre, dfinie dans chacun des intervalles

]- , 0[ et ]0, +[.La courbe dindiffrence est dcroissante car c>0. Elle na de signification conom ique que

pour X et Y positifs.Elle nest pas dfinie pour X = 0.

On peut dmontrer que cette courbe dindiffrence est dcroissante et convexe par rapport lorigine cd dmontrer quelle rpond bien aux caractristiques admises pour une courbe

dindiffrence, il suffit pour cela dtudier les signes et drives.

dY/dX = - c2 X-2 < 0 la courbe dindiffrence est dcroissante

d2Y/dX2=2 c2 X-3 > 0 la courbe dindiffrence est convexe par rapport lorigine des axes

E.LE TAUX MARGINAL DE SUBSTITUTION:

1. Dfinition:

La substitution consiste remplacer une chose par une autre, sans changement par ailleurs.Dans la thorie de lutilit ordinale, le consommateur, tant indiffrent entre plusieurs paniers,

peut substituer un bien par un autre condition de maintenir identique son niveau desatisfaction.

la forme des courbes dindiffrence est dtermine par le rythme auquel le bien Y et le bien X

sont changs le long de ces courbes. Ce rythme ou taux dchange entre X et Y est appeltaux de substitution.

panier A=(OX0,OY0)A panier B=(OX1,OY1)Y0 si le consommateur veut obtenir X0X1 en plus, il doit

Renoncer Y0Y1 (pour la mme satisfaction)C B Le taux auquelce consommateur est dispos

Y1 substituer Y par X scrit:(OY0-OY1) / (OX1-OX0) = AC/CB = Y/X

X0 X1

TMS = Y/X= Pente

Le taux marginal de substitution est la petite quantit dun bien que lon soit prt sacrifierpour obtenir une unit supplmentaire dun autre bien, lutilit totale demeurant constante.

Le taux marginal de substitution (TMS) entre deux biens Y et X mesure la variation de laquantit consomme du bien Y qui est ncessaire, le long d'une courbe dindiffrence, pourcompenser une variation infiniment petite (infinitsimale) de la quantit consomme du

bien X

Le TMS varie en chaque point et est continuellement dcroissant. Dun point de vue

mathmatique, le TMS est mesur par la drive de Y par rapport X cd la pente en unpoint de la courbe dindiffrence.


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Les caractristiques du TMS sont :

- Le TMS est ngatif. Ce ci dcoule du fait quil est la valeur absolue de la pente dunecourbe dindiffrence.

- Le TMS varie le long dune courbe dindiffrence puisquil est la valeur absolue de la

pente en un point dune telle courbe. . Le TMS est donc variable.- Le TMS est dcroissant

Par convention on dfinit le TMS avec un signe (-) en sorte que le TMS soit positif ou onprend la valeur absolue

TMS = (-) dY/dX ou TMS = dY / dX .

Le TMS = 3 signifie quau point de la courbe dindiffrence o est effectu le calcul, une

augmentation "marginale (tendant vers 0) de X ncessite une diminution de 3 units de laquantit consomme de Y, si lon veut maintenir la satisfaction inchange.

Le TMS est un indicateur psychologique, il montre de quelle manire, lindividu acceptera de

substituer du bien X du bien Y.

Rappel mathmatique :

la pente

Sur cette figure, on suppose une relation linaire (reprsente par unedroite) entre le bien Y et le bien X. La droite D1 a une forte pente ouinclination, et la droite D2 a une trs faible pente. Concrtement celaimplique que Y diminue trs vite le long de D1 et trs lentement lelong de D2 lorsque X augmente

Mesurer la pente de ces droites revient donc mesurer la vitesse laquelle Y varie en raction une variation donne de X. On mesurecette vitesse ou pente en faisant le rapport entre une variation de Yet celle de X, entre deux points quelconques.

Pente = Y/ XOn voit sur la figure que ce rapport est, en valeur absolue, nettementplus lev pour D1 que pour D2

De la pente la drive

Une droite se distingue dune courbe par la constance de sa pente. Le rapport Y/ X est identiqueentre deux points quelconques de la droite.Si on prend deux points tellement proches qu la limite on peut considrer comme pratiquement confondus, on

calcule la pente en un point . Cette pente en un point nest autre que la drive de Y par rapport X. En effet

elle mesure la variation de Y pour une variation infiniment petite de X (X 0)Le long dune droite, la pente en un point (la drive) est constante et identique la pente entre deuxpoints quelconques, ou encore : Y/ X = dY/dX.Ce rsultat nest plus vrifi le long dune courbe. La pente de la courbe varie en chaque point. Lavaleur absolue de la pente diminue le long dune courbe convexe et augmente le long dune courbeconcave. Le calcul de la pente dune courbe na plus de sens. Le seul indicateur de Y est la drive,que lon peut considrer comme la pente en un point de la courbe. Mathmatiquement, on dit lapente de droite tangente la courbe en ce point .

Y

Y

Y/X=pente forte

Y/X = pente faible

D1

D2

XX

Y


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2. Proprits:

a. la proprit de dcroissance du TMS

La convexit des courbes dindiffrence entrane la consquence fondamentale quest la

dcroissance du TMS lorsque la consommation de bien X saccrot.

La valeur absolue du TMS est une fonction dcroissante de la quantit de bien reprsente enabscisse.

Plus forte est la dotation en un bien, plus leve sera la variation donne de ce bien ncessaire compenser une variation donne de lautre bien.Y

C1 TMS1= Y1/X1 TMS2= Y2/X2C2 on constate que Y1> Y2et X1TMS2

C3C4 X

b. relation entre TMS et Um :

La fonction dutilit U = f(X,Y) exprime lide que lUT perue par le consommateur et la

satisfaction qui en dcoule dpendent des consommations.

Les changements de combinaisons de consommation affectent par consquent lUT. Limpact

des changements de consommation sur lUT se mesure par la diffrentielle dU de la fonction

dutilit

dU = U/X . dX + U/Y . dY dU = Um(X) dX + Um(Y) . dY

U/X est la drive partielle de la fonction dutilit par rapport X. elle reprsentelUm de la consommation de bien X

dX reprsente la variation de consommation de bien X

Lorsque les changements de combinaison seffectuent sur la mme courbe dindiffrence,lutilit reste constante de sorte que dU=0 do

U/X . dX = - U/Y . dY TMS = dY/dX = - U/X cd UmX = - dYU/Y UmY dX

Le TMS est gal au rapport des utilits marginales affect de signe-

3. Application

Soit la fonction dutilit: 2 X1/2 Y1/2

Sur U=Cte , on aura

dU = 0 0 = U/X . dX + U/Y . dYU/X = (Y/X)1/2

U/Y = (X/Y)1/2TMSxy = - Y/X


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Rappel mathmatique : Les diffrentielles ; Les drives partiellesLa diffrentielle est un calcul daccroissements. Il ne faut pas confondre avec la drive, qui

est un rapport entre deux accroissements.

1. Soit une fonction une seule variable : y = f(x)

La diffrentielle de y, note dy, est la variation de y due une petite variation de x.La drive premire de la fonction, qui est la limite du rapport y/x lorsque x tend vers 0,scrit: y = dy/dx la diffrentielle est : dy = dy/dx . dx

2. La diffrentielle totale et les drives partiellesLorsquune fonction a deux variables ou plus, par exemple y = f(x,z), la diffrentielle totale

de y est dy qui est la variation de y due de petites variations de x et de z, notes dx et dz.Elle a pour expression /

dy = y/x . dx + y/z . dzo y/x et y/z sont les drives partielles de y par rapport x et z.

Dans une fonction plusieurs variables, la drive partielle mesure la variation dune variable

indpendante, cd x ou z dans la fonction y = f(x,z), les autres variables indpendantesdemeurant constantes.Ainsi, y/x mesure la variation de y, variable dpendant , occasionne par un changementinfinitsimal de x, z restant constant..

3. Interprtation conomique de la pente de la courbe dindiffrence

Soit la fonction dutilit U = U (X,Y)

Si X et Y varie simultanment, la variation totale de lutilit est:

dU = U/X . dX + U/Y . dYdU = Um(X) dX + Um(Y) . dY

U/X = Um(X) et U/Y = Um(Y)sur une courbe dindiffrence lutilit est constante ( U = Uo ). La driv dune constante est 0

dUo = 0 Um(X) dX + Um(Y) . dY = 0

dY/dX U=Uo = - Um (X) / Um (Y)

La pente de la courbe dindiffrence en un point est gale au rapport des utilits marginalesdes deux biens X et Y en ce point multipli par (-1)

La condition dquilibre scrit:

- Px/Py = - Um (X) / Um (Y) ou Um(X) / Px = Um (Y) / Py

A lquilibre, les utilits marginales de la dpense sur chacun des biens sont gales.Cest largle de Gossen.

Tant que le consommateur retire une plus forte utilit marginale de la dpense sur X que sur Y(Um(X) > Um(Y)}, il augmente sa demande de X au dtriment de la demande de Y. Ilsensuit une baisse de lutilit marginale de X et une augmentation de lutilit marginale de Y.

Loptimum est atteint lorsque lutilit marginale de la dpense est la mme pour chacun des

biens ; lutilit du dernier dinar dpens sur chaque bien est la mme.


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CHAPITRE II.

LEQUILIBRE DU CONSOMMATEUR

Le consommateur est dit en quilibre, compte tenu de la contrainte impose par son revenu etles prix des biens, quant il tire de ses dpenses une utilit (ou satisfaction) totale maximale.En dautres termes, un consommateur en quilibre, quand tant donn, sa contrainte

budgtaire, il atteint la courbe dquivalence la plus leve possible.

SECTION I.

CONTRAINTE BUDGETAIRE ET EQUILIBRE DU CONSOMMATEUR

La contrainte de budget indique toutes les diffrentes combinaisons de deux biens quun

consommateur peut acheter, compte tenu de son revenu et du prix des deux biens.Les courbes dindiffrence nindiquent pas la combinaison optimale. Elles expriment lesouhaitable du consommateur mais nintgrant pas les contraintes qui psent sur sa dcision.

A.

LA CONTRAINTE BUDGETAIRE

1. Dfinition :

Le consommateur doit choisir une combinaison parmi lensemble des combinaisons qui sont

possibles compte tenu de son revenu ( R ), et des prix des biens X et Y (Px et Py). Le revenuest dtermin sur le march de travail. Les prix des biens sont dtermins sur le march des

biens et services. R, Px et Py sont des donnes pour le consommateur. Ce sont des variablesexognes, qui simposent au consommateur comme des contraintes au moment des choix.

Concrtement, la contrainte budgtaire signifie que la dpense doit tre gale au revenu :

R = Px.X + Py.Y

Revenu = prix de bien X multipli par la qt de bien X + prix de bien Y multipli par la qt Y

Revenu = dpense sur X + dpenses sur Y

2. Reprsentation graphique :

On peur reprsenter la contrainte graphique : lensemble des combinaisons possibles deconsommation des biens X et Y avec R donn est reprsent par une droite. Il suffit de choisirles deux points extrmes.

Si on ne consomme que X alors R = Px.X X = R/Px Panier A = (R/Px , 0)

Si on ne consomme que Y alors Y=Py.Y Y = R/Py Panier B = (0 , R/Py)X

B = (0 , R/Py)

Y

A = (R/Px , 0)


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Les paniers intermdiaires entre ces deux extrmes, se trouvent sur le segment de droite quirelie ces deux paniers. Ce segment de droite reprsente la contrainte budgtaire. Lensemble

des possibilits de consommation est reprsent par le triangle hachur y compris la frontireoblique.

Y Tous les paniers figurant dans la zone hachurePente = Y/X = - Px/Py ou sur la droite, par exemple A et B peuvent tre

R/Py achete par le consommateur. Mais un panier tel queA B C A ne sera pas choisi, car le revenu ne serait pasLdes possibles intgralement dpens. Les paniers au-dessus de

X la droite, tels que C, ne peuvent non plus treR/Px choisi puisquils ne respectent pas la contrainte

financire

3. Equation:

Equation de la contrainte budgtaire Y = (R/Px)(Px/Py) . XCette quation dcrit comment volue la consommation de Y en fonction de celle de X.

Cette relation, qui exprime la contrainte financire du consommateur, est appele droite debudget.

-(Px/Py) mesure la pente de la droite budgtaire.

4.

Proprits

La pente de la contrainte budgtaire met en vidence un cot dopportunit caractre

objectif, du point de vue du consommateur.

Si le consommateur dsire augmenter X de (X1-X2) il ne pourra le faire que lorsquil renonce une partie de la consommation de Y de (Y2-Y1).

Au dpart on R = Px .X + Py . Y

Y

Y1Y2

X1 X2 XSupposons des variations dX et dY en respectant la contrainte budgtaire, On a :

Px (X + dX) + Py (Y + dY) = R

(Px X + Py Y) + Px dX Py dY = R

= 0 - dY / dX = Px / Py

5.

Effets dune variation du prix et du revenu sur contrainte budgtaire

Si le revenu augmente de R R, la courbe de la contrainte budgtaire se dplace vers le

haut (cas a)


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Si le prix de X augmente, la courbe sincline du ct des X (cas b).

Si le prix de Y augmente la courbe sincline du ct de Y (cas c).

R/Py Py > Py

R/Py R =PxX+P'y.Y

R/Pxcas a cas b cas c

B.DETERMINATION DE LEQUILIBRE DU CONSOMMATEUR

La thorie des choix:

La thorie des choix met en vidence les principes qui dterminent le choix de

consommation. Le consommateur atteint sa consommation dquilibre lorsque la combinaisonde consommation retenue lui procure la plus grande satisfaction quil soit possible dobtenir,

compte tenu des contraintes qui reprsentent le niveau des prix et le budget de consommationdisponible.

On a admis que le consommateur rationnel est celui qui recherchait un maximum desatisfaction. On peut largir lapproche en disant quun agent conomique est rationnel sil

cherche optimiser une fin, compte tenu de moyens donns ou bien raliser une fin donneen optimisant les moyens mettre en uvre pour la raliser.

Lapplication de ces principes au comportement du consommateur donnera deux formulations

de la notion de comportement rationnel :

le consommateur sera rationnel sil cherche obtenir le maximum de satisfaction durevenu dont il dispose

Le consommateur sera rationnel sil cherche rendre minimum le revenu ncessaire pourobtenir un niveau donn de satisfaction.

En dfinissant le comportement du consommateur de lune ou de lautre faon, on est conduit admettre que le comportement rationnel sidentifie la recherche dun optimum sous

contrainte.

Si on connat le revenu disponible de lindividu et les prix unitaires des biens, le

consommateur sera rationnel sil cherche obtenir un maximum de sat isfaction sous lacontrainte de son budget et des prix qui sont donns.

La maximisation sous contrainte:

La recherche de loptimum du consommateur consiste dterminer les quantits maximales

de biens, X* et Y*, qui maximisent lutilit sous contraintebudgtaire. Mathmatiquement, ilsagit de trouver un extremum sous contrainte qui se formule ainsi:

Maximiser U = U(X,Y)Sous contrainte : R = Px.X + Py. Y O R, Px et Py sont des constantes.

R/Py

R/Px R/Px

R/Py

R/Py

R/Px R/Px


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Ce systme peut tre gnralis n biens.

Max U = U (Q1,Q2,,Qn)

Sous contrainte R = P1Q1+ P2Q2++PnQn

1.

La mthode gomtrique

Le consommateur cherche le maximum de satisfaction. Il doit choisir le panier qui se trouvesur la courbe dindiffrence la plus leve et quil est possible de lacqurir compte tenu de

son revenu (respecter la contrainte budgtaire).

Pour cela, il doit identifier la combinaison possible, place sur sa droite budgtaire, quireprsente le niveau de satisfaction la plus lev. Cette combinaison est celle qui se situe surla courbe dindiffrence la plus leve.

Y

R/Py A TMS = Px/PyB

Ye E

X0 Xe R/Px

En consquence, la combinaison optimale est dfinie par le point o une courbedindiffrence est tangente la droite budgtaire (le point E).

Vrifiant que le point E est la combinaison maximale :

Supposons que le consommateur choisit le panier A.

Ce panier respecte la contrainte budgtaire puisquil est situ sur la droite budgtaire mais il

se situe sur une courbe dindiffrence plus proche de lorigine et moins leve que celle de E.

Le point A utilise le mme revenu que E mais rapporte moins de satisfaction. Donc leconsommateur rationnel rejette A et prfre avoir E E = ( X* , Y* )

Supposons que le consommateur choisit B. Ce point est-il optimum ?

Ce point donne une satisfaction meilleure que le point E mais ce niveau de vie dpasse lerevenu du consommateur.

Le panier B se trouve sur une courbe dindiffrence plus leve mais il est irralisable.

Donc le point E de tangence entre la droite du budget et une courbe dindiffrence est le point

optimal. Tout point diffrent de E sur la droite du budget nest pas optimal, car lutilit du

consommateur pourrait amliorer compte tenu de son revenu.


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Au point E, le consommateur maximise son utilit en demandant les quantits (X*,Y*). Lepoint E est le point optimum. On dit aussi quil est le point dquilibre du consommateur.

Sur ce point, la pente de la courbe dindiffrence (dY/dX) et cel le de la droite budgtaire (-Px/Py) sont confondues.

Au point dquilibre, on a donc:

Pente de la droite du budget = Pente de la courbe dindiffrence- Px/Py = dY/dX

La pente de la droite de budget reprsente le taux auquel le consommateur peut changer dubien X contre du bien Y dans son panier. Ce taux est constant.

La pente de la courbe dindiffrence reprsente le taux auquel le consommateur peut

substituer du bien Y au bien X sans changer son utilit. Ce taux est variable. Il dpend de la

quantit de (X,Y) possde par le consommateur. Cest le TMS.

A lquilibre les deux taux sont gaux.

A lquilibre le taux auquel le consommateur est prt substituer du bien Y pour du bien X,

est gal au taux auquel le march lui permet deffectuer cette substitution.

En dehors de lquilibre, les deux taux diffrent

Donc par dfinition le TMS=-dY/dX alors TMS = Px/Py

Ce rsultat est compatible avec celui de la thorie de lutilit marginale. En effet au point dquilibre du consommateur E, on a:

TMS = UmX/UmY = Px/Py alors UmX/Px = UmY/Py

On retrouve la loi dgalisation des utilits marginales pondres par les prix.

Cette relation correspond lide que la satisfaction du consommateur est maximale lorsquela dernire unit montaire consacre lachat de chacun des biens lui procure le mme

supplment dutilit.

En effet, si laffectation de la dernire unit montaire suppose le choix entre 2 achats

dutilits diffrentes, le consommateur rationnel privilgie le bien dont lutilit est suprieure.

Donc lutilit est maximale lorsquaucune opportunit nest laisse inexploite. Cest lide

de la deuxime loi de Gossen.

2. La mthode de substitution

Le problme qui est pos est celui de la maximisation d'une fonction d'utilit sous contraintebudgtaire.

Il sagit de trouver X* et Y* qui maximise U = U (X , Y )Sous contrainte R = Px.X + Py.Y

Il est possible de transformer un problme de maximisation dune fonction sous contrainte en


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un problme de maximisation dune fonction sans contrainte en procdant ainsi :

A partir de lquation de la contrainte budgtaire, on obtient Y quon remplace dans U. On

exprime ainsi U en fonction de X seulement. On drive U par rapport X pour obtenir lepoint maximal :

A partir de la contrainte budgtaire : (R = Px X + Py Y), on extrait Y en fonction de X :Y = -Px/Py . X + R/Py

Puis on remplace la valeur de Y dans la fonction dutilit:

U = U (X , -Px/Py. X + R/Py) = U (X, f(X))

Cette fonction dpend dune seule variable X

On cherche le maximum de la fonction dutilit obtenue en annulant la drive totale de Upar rapport X :

On annule la drive totale de U par rapport X : dU/dX = 0 E ( X* , Y*)

3. La mthode du Lagrangien

Rappel mathmatique : les multiplicateurs de LagrangeLes multiplicateurs de Lagrange sont une mthode qui permet de transformer un problmedextremum sous contrainte (ou li) en un extremum sans contrainte (libre).Soit une fonction F(x1,x2) maximiser sous la contrainte G(x1,x2).Il est possible de former une nouvelle fonction en posant la contrainte gale 0, de la multiplier par ,constante indtermine appele multiplicateur de Lagrange, et en ajoutant (ou la retranchant) lafonction initiale. On forma ainsi la fonction de Lagrange : (x1,x2, ) = F(x1, x2) + G (x1, x2) = 0ou plus simplement = F(x1, x2) + G (x1, x2)La fonction objective maximiser F(x1, x2) nest modifie par lajout de G (x1, x2) puisque lacontrainte est suppose nulle. Ds lors, la maximisation F(x1, x2)est obtenue en annulant les drivespartielles de premier ordre de par rapport x1, x2et puis en rsolvant pour x1, x2et :/x1 = F1 + .G1 = 0/x2 = F2 + .G2 = 0/= G(x1 + x2)= 0o F1et F2sont respectivement les drives partielles de F par rapport x1 et x2. La rsolution de cestrois quations simultanes fournit les valeurs de x1 et x2 qui maximisent la fonction objectif F sous lacontrainte G(x1,x2) = 0

a . Mthode de Lagrange pour deux biens

Le problme est une maximisation sous contrainte :U = U(X,Y)

Sous contrainte R = Px.X+Py.Y

Ce qui nous permet d'crire une nouvelle fonction, en posant la contrainte budgtaire gale zro, en la multipliant ensuite par , multiplicateur de Lagrange, et en l'ajoutant enfin lafonction initiale. On obtient alors une nouvelle fonction dit ( fonction de Lagrange.

Poser la contrainte budgtaire comme tant gale zro revient crire : (Px X +PyY = R

La fonction de Lagrange, , est alors gale :


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= U(X,Y) + (Px.X+Py.Y)R)

Cette fonction admet un extremum si d = 0, la diffrentielle totale nulle, cd si les drivespartielles par rapport aux variables X, Y et sont nulles.Lannulation des drives partielles est une opration appele recherche des conditions de

premire ordre ou recherche des conditions doptimum

Lextremum sera un maximum si d2


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s'annulent, conditions dites de premier ordre. Nous aurons alors

/X1 = U/X1+ .P1 = 0/X2 = U/X2+ .P2 = 0

/Xn = U/Xn+ .Pn = 0/= (X1.P1+X2.P2++Xn.Pn)R = 0Soit encore : U/X1 = U/X2 = = U/Xn et X1P1+ X2P2+ + XnPn = R

P1 P2 Pn

4. Interprtation du multiplicateur de Lagrange

On peut dmontrer que le multiplicateur de Lagrange, not reprsente l'utilit marginale durevenu.

L'utilit marginale du revenu se dfinit comme la variation d'utilit gnre par la variation dubudget de consommation, et se note dU/dR.

L'expression du revenu est donne par la contrainte de budget : R = Px.X + Py.Y

Donc la variation du revenu s'crit dR = dPx.X + Px.dX +dPy.Y + Py.dY

soit, Si on considre les prix comme donns : dR = Px.dX + Py.dY

Les variations des quantits dX et dY sont dtermines par les conditions d'quilibre duconsommateur, soit notamment (d'aprs la condition du premier ordre):

U/X = .PxU/Y = .Py

de Sorte que les prix se rcrivent :Px = U/X . 1/Py = U/Y . 1/

Donc la variation du revenu se rcrit

dR = U/X . 1/. dX + U/Y . 1/. dY = 1/(U/X ..dX + U/Y . dY)

soit encore, puisque le terme entre parenthses n'est autre que la diffrentielle dU de lafonction d'utilit :

dR = 1/. dU doen dfinitive dU/dR = Ainsi, le multiplicateur de Lagrange est gal l'utilit marginale du revenu, c'est--dire lavariation de l'utilit du consommateur susceptible d'tre entrane par une variation d'uneunit de son revenu, prix des deux biens donns.

4. Application

On suppose que la fonction dutilit dun individu est de la forme : U = 2 X YAvec R=10, Px=2, Py=1

Travail demand : Calculer, selon les deux mthodes, les quantits de biens X et Y demandes

par lindividu rationnel.? Quel sera lindice de satisfaction correspondant celle de lademande optimale ?


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Un agent rationnel maximise sa satisfaction tout en respectant les contraintes qui psent surlui (R, Px, et Py des donns)

* Mthode de substitution

Systme Maximiser U = 2 X Y (1)Sous contrainte 10 = 2.X + Y (2)

- On tire Y de (2) : 10=2X+Y Y = 10-2X Cest lquation de la CB

- On remplace Y dans U U = 2XY = 2X (10-2X) U = 20X-4X2

La FU ainsi obtenue dpend dune seule variable X. On peut calculer le maximum (une

quation 1 inconnu)

La condition ncessaire pour que la satisfaction admette un maximum est que la drivepremire puisse sannuler. La condition suffisante, est que la drive seconde soit ngative.

dU/dX = 208 X = 0 X = 5/2

La fonction admet un extremum pour X=5/2. Cet extremum est un maximum si drivesecond est ngative.

d2U/dX2 = -8 < 0

- Les variables X et Y sont lies par la contrainte budgtaire (CB). Pour calculer Y, onremplace la valeur de X dans lquation de la CB:

Y=10-2X = 10-2(5/2) Y = 5

- Le panier E qui maximisera la satisfaction de lindividu est E(X=5/2 , Y=5)

- E donne le maximum de satisfaction. On remplace la valeur de X et Y dans U.

U=2XY=2.(5/2).5.= 25

U=25 est lindice de satisfaction correspondant la courbe dindiffrence la plus levepossible compte tenu du revenu et des prix.

* Mthode de Lagrange

La fonction de Lagrange obtenue partir du programme : = U(X,Y) + (R - Px.X - Py.Y)

Cette fonction admet un extremum si d = 0 Condition de premier ordre

Lextremum est un maximum si d2 < 0 Condition de second ordre

Condition de premier ordre :/X = 2 Y - 2 .= 0 X = 5/2/Y= 2 X - .= 0 Y = 5/= 10 - 2.X -.Y = 0 = 5

Le dterminant second est ngatif U = 25


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RESUME SUR LA DETERMINATION DE LEQUILIBRE DU CONSOMMATEUR

Cest un problme de maximisation de la fonction dutilit U = U (X , Y)Sous contrainte R = Px.X + Py.Y

Mthode geomtrique Mthode de substitution Myhode du Lagangien

Pente de la Pente de la

Courbe = contrainteDindifference budgtaire

Um (X) = PxUm (Y) Py

R = Px X + Py Y

U

U = U [X, Y(X)]Y(X) est tir de R = Px X + Py Y

dU/dX = Um (X) + Um(Y) dY/dX

Um (X) + Um (Y) (-Px/Py)

R = Px X + Py Y

= U(X,Y) + (R - Px.X-Py.Y)

/X = Um (X) - .Px = 0

/Y = Um Y) - .PY = 0

/= R - Px.X - Py.Y = 0

Systme 2 quations et 2 inconnues

X = X (Px , Py , R)Y = Y (Px , Py , R)

X et Y conduisant Systme de 3 quations 3 inconnuesX, Y, conduisant

X = X (Px , Py , R)Y = Y (Px, Py , R)


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G.LA FONCTION DE COBB-DOUGLAS

La fonction de Cobb-Douglas a t propose en 1928. Elle appartient la famille des fonctions lasticit de substitution constante, ou fonctions CES (pour Constant Elasticity 0f Substitution).

1. Dfinition :

Sous sa forme la plus gnrale, la fonction Cobb-Douglas s'crit :

Q = A.LK. avec A > 0, 0 < < l , et 0 < < let o A est un paramtre de dimension ou paramtre d'efficience : plus A est lev, plus l'extrantest lev. et sont des paramtres d'intensit des facteurs.

2. Proprits :

La fonction Cobb- Douglas prsente cinq proprits fondamentales.

La productivit marginale dun facteur est gale au produit de la productivit moyenne de cefacteur par son paramtre d'intensit

PmL = Q/L = A L -1K = Q/L = .PML et PmK = Q/K = Q/K = .PMK

le TMST est une fonction croissante de l'intensit capitalistique

TMST = dK/dL = = - ( Q/L) / (Q/K) = - ( . Q/L) / (.Q/K) = - (/).(K/L) = -(/).k

le paramtre d'intensit d'un facteur est gal l'lasticit de l'extrant par rapport ce facteur

eQL = Q/L . L/Q = .(Q/L).(L/Q) = et eQK = Q/K . K/Q = .(Q/K).(K/Q) =

la fonction Cobb-Douglas est homogne de degr + .

F(aL,aK) = A.(aL).(aK) = a(+ ).f(L,K)Donc la fonction Cobb Douglass est une fonction homogne de degrs +

On distingue 3 cas :+= 1 rendements dchelle constants+> 1 rendements dchelle croissants+< 1 rendements dchelle dcroissants

l'lasticit de substitution de la fonction Cobb-Douglas est gale 1

= d(K/L) / (K/L) = dk . TMST Or TMST = (/).(K/L) d(TMST) = /

d(TMST) / (TMST) d(TMST) k d(K/L)et d(K/L) / d(TMST) = / = / (/) . (K/L) = 1

K/L

Donc la fonction Cobb Douglas est une fonction CES

3. Applications sur la fonction Cobb Douglas

a. 1re Application sur la fonction Cobb Douglas

Q = L

K avec et > 0

Questions :

1)calculer les productivits marginales


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1)en dduire la valeur du taux marginal de substitution technique entre le travail et le capital2)discuter la convexit;3)estimer l'lasticit de substitution4)caractriser la nature des rendements

Corrig

1)Drives premires partielles de la fonction de production, les productivits marginales desfacteurs s'tablissent comme suit:

Q/L = L-1K= Q/L = PML PmL = PML

Q/K = LK-1 = Q/K = PMK PmK = PMK

1) Le TMST, dfini comme le rapport des productivits marginales, dcoule immdiatementdes critures prcdentes :

TMST = - (Q/L) / (Q/K) = - (/).(K/L)

TMST = - K / L = (/). Ic (Ic : intensit capitalistique)

La TMST en valeur absolue est une fonction croissante de lintensit capitalistique

2) Pour que la fonction soit convexe, il faut et il suffit que le TMST - que l'on dsigne par la

lettre s - soit dcroissant. Il vient alors d(TMST) / dL = ds/dL < 0

ds = /[(L.dKK.dL) / L2] ds/dL = -/[(L.dK/dLK) / L2] =- /[(L.s - K) / L2] 1 rendements croissants+< 1 rendements dcroissants


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4) den estimer llasticit de substitution

5) den caractriser la nature des rendements

Corrig :

1)

les productivits marginales des facteurs sont dduites des drives premires partielles de lafonction de production :

Q/L = L-3/4. K3/4 = Q/LQ/K = 3/4 L1/4. K-1/4 = Q/K

2) Le TMST, dfini comme le rapport des productivits marginales, dcoule immdiatement descritures prcdentes :

TMSTLK= | -K/3L | = |-((1/4) / (3/4)) . (K/L) = (/) / (K/L)

Les proprits du TMST : . ngatif et positif en valeur absolue

variable dcroissant en valeur absolue

3) Pour que la fonction soit convexe, il faut et il suffit que le TMST (dsign par la lettre T) soitdcroissant :

d(TMST)/dL < 0 d(K/3L) / dL < 0 d(K/3L) / dL = 1/3 dK/ dL . LK . dL/dLL2

1/3 (K/3L) . LK . (1) = 1/3 . (K/3K)/3 = (K-3K) / 3 = K 3K = - 2 K < 0L2 L2 9 L2 9 L2 9L2

la fonction Q est convexe

4)

llasticit de substitution = [d (K/L) / K/L] / dTMST /TMST= (-3). (-K/3L) / (K/L) = 1

La fonction de production Q admet une lasticit de substitution constante et gal 1. Cest unefonction de type Cobb-Douglas homogne de degrs 1.

5) On dit quune fonction est homogne de degr k lorsquelle vrifie lquation: k. Q = f(L ; K) 0 Et on dduit :

une constance des rendements lchelle si k = 1 une croissance des rendements lchelle si k > 1 une dcroissance des rendements lchelle si k < 0

(L)1/4. (K)3/4= (L1/4. K3/4) = Q les rendements sont constants (k=1)


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SECTION II.


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CHAPITRE III.

LA THEORIE DE LA DEMANDE

La thorie des courbes d'indiffrence va nous permettre prsent de dduire les deux lois decomportement de la demande : la demande d'un bien normal est une fonction dcroissantede son prix ; elle est une fonction croissante du revenu. Nous pourrons construire aussi lacourbe d offre de travail. En effet, si l'individu est demandeur sur le march des biens, il estoffreur (de son temps et du ses qualifications) sur le march du travail. Cette offre refltant unarbitrage entre le loisir et les biens que l'individu peut se procurer grce au travail, elle neconstitue qu'un cas particulier de la thorie de la demande.

Les lois voques ci-dessus donnent le sens de la relation tablie entre la demande, dune part,

et le revenu et les prix, d'autre part, mais elles n'indiquent pas lintensit de cette relation. Pourmesurer cette intensit, on utilise le concept d'lasticit : lasticit-prix , lasticit-revenu , lasticit croise , Les valeurs prises par ces paramtres amnent distinguer diffrentescatgories de biens : normaux, infrieurs, suprieurs, substituables, complmentaires.

SECTION I.

LA FONCTION DE DEMANDE

A.LA FONCTIONS DE DEMANDE INDIVIDUELLE

1. Dfinition :

Daprs lanalyse sur lquilibre du consommateur, il apparat que la quantit demande de chaquebien dpend en gnral en plus des prfrences des individus

du budget de lindividu

du prix du bien X

du prix du bien Y

Donc Xd = fx ( Px , Py , R ) et Yd = fy ( Px , Py , R )

Chaque fonction est propre chaque individu car elle dpend de ses gots

La fonction de demande exprime la relation entre variation des prix et des revenus d'une part, etvariation de la demande dautre part, lorsque le consommateur se maintient l'quilibre.

Sous sa forme la plus gnrale, la fonction de demande f s'crit

Xi= f (p1, p2, ,pn, R) Xi reprsente la demande du bien i l'quilibre

les p1 pnreprsentent les prix des n biens de l'ensemble des biens, dont pi, le prix du bien i R, le budget de consommation.


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Ainsi formule, f prend le nom de fonction de demande gnralise du bien i, ou encore defonction de demande rationnelle

2.

Proprit : la fonction de demande est une fonction homogne de degr zro :

Lorsque, partir de la situation d'quilibre, tous les prix et le budget varient du mmepourcentage. la quantit de bien i demande par le consommateur ne varie pas et reste gale xi.

En effet. l'quilibre initial. pixi= R.

supposer une variation de pourcentage t, la nouvelle situation d'quilibre est telle que

n n n(1+t) pixi= (1+t)R (1+t) pixi= (1+t)R pixi= Ri=1 i=1 i=1

Par consquent. en comparant l'quilibre initial et l'quilibre final, on voit que : xi= x

On conclut que la fonction de demande d'un bien par rapport au prix et au budget est une fonctionhomogne de degr O. En d'autres termes, la fonction de demande est telle. que lorsque les prix etles revenus varient dans la mme proportion, les quantits demandes n'en sont pas affectes.

Autrement si R, Px et Py sont multiplis par le mme coefficient, la droite de budget resteinchange et par consquent le point dquilibre reste le mme

Rappel mathmatique : dfinition de lhomognit dune fonctionUne fonction de plusieurs variables f (x1, x2,, xn) est homogne de degr k si, pour tout a>0,

f (ax1, ax2, axn) = a

k

. f (x1, x2, , xn)On note que si k = O, akf (x1, x2, , xn) = f (x1, x2, , xn)

3.

Application

Soit la fonction dutilit suivante: X3/4Y1/4

et une contrainte budgtaire : R = Px X + Py Y

Questions :

1) Dterminer lexpression des fonctions de demande rationnelle de X et de Y

2) Etudier la forme des fonctions de demande obtenues

Rponse :

1) Les fonctions de demande rationnelles desbiens X et Y sont obtenues partir desconditionsdu premier ordre. Elles donnent les quantits optimales demandes pour chaque prix et chaquevaleur de revenu.

On peut crire :

= X3/4Y1/4 + (R - Px.X - Py.Y)

Condition de premier ordre :/X = 3/4 (Y/X)1/4 - . Px = 0 (1)

/Y= 1/4 (Y/X)3/4

- . Py = 0 (2)/= RPx XPy Y = 0 (3)


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En rsolvant le systme on aura :

3Y/X = Px/Py X = (3 Y Py ) / Px

En remplaant X par son expression dans (3) on aura :

R = Px (3 Y Py / Px) + Py Y Yd= R / 4Py Cestla fonction de demande de X

Puisque X = (3 Y Py ) / Px Xd= 3R / 4Px Cestla fonction de demande de Y

2) Les fonctions de demande de X et de Y sont des fonctions 2 variables R et P. La demandedun biendpend du revenu de lindividu et du prix du bien.

Lanalyse de la forme des fonctions de demande consiste voir lvolution de la fonction en ne

retenant quune seule variable (lautre est suppos constant).

* Si les prix sont constants

Si Py = Py = Cte Y= R/4Py et dY/dR = 1 / 4 Py > 0

Px = Px = Cte X= 3R/4Px et dX/dR = 3 / 4 Px > 0

Dans les deux cas, si le prix du bien ne change pas, la demande varie dans le mmesens que le revenu.

Les X et Y obtenus Y= R/4Py et X= 3R/4Px sont les courbes dEngel

* Si le revenu est constant :

R = R = Cte

Y= R/4Py avec dY/dPy = - R / 4 P2y < 0 et d2Y/dP2y = R / 2 P3y > 0

X= 3R/4Px avec dX/dPx = - 3R / 4 P2x < 0 et d2X/dP2x = 3R / 2 P3x > 0

dY/dPy 0 et d2X/dP2x > 0 La demande individuelle du bien en fonction de son prix estconvexe par rapport lorigine

B.LA COURBE DE CONSOMMATION-PRIX ET LA COURBE DE CONSOMMATION-REVENU

1.

La courbe de consommation prix :

La courbe de consommation-prix montre comment la consommation dun bien varie pour unindividu, lorsque le prix de ce bien varie (toutes choses gales par ailleurs).

La courbe prix-consommation est la liaison entre la variation du prix dun bien et les quantitsconsommes de ce bien, le revenu et le prix des autres biens tant constants.


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YCourbe de consommation-prix

X

Px

XCet exemple montre un cas particulier dune fonction de demande linaire. Ce qui explique que la

fonction de demande est reprsente par une droite et non par une courbe.

Sachant que lquation dune droite est de la forme Y = a X + b

a reprsente la pente a = Y/X

b est une constante, elle reprsente le niveau minimum de Y et est indpendante de X

Par analogie lquation de droite du bien X scrit: X = a Px + b

La courbe de consommation-prix reprsente lensemble despoints optimum de consommation

lorsque seul le prix varie.

2. La courbe de consommation-revenu

La courbe revenu-consommation est la liaison entre la variation du revenu et les quantitsconsommes, les prix des biens tant constants.

La courbe de consommation-revenu est le lieu des combinaisons de consommation dquilibre,lorsque le budget de consommation varie.

Elle se distingue de la courbe dEngel en ce quelle identifie limpact des variations du revenu sur

lensemble du panier de consommation, et non sur la demande dun bien donn.

La courbe de consommation-revenu stablit partir de la carte dindiffrence.Y

Courbe de consommation-revenu

X

La courbe revenu-consommation est lensemble des points optimum de consommation lorsque

seul le revenu varie

Fonction de demande


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La courbe de consommation-revenu selon la nature du bien

La courbe consommation-revenu permet de reprer les comportements de consommation face des modifications de revenu et de classifier les biens en deux catgories : les biens normaux et les

biens infrieurs.

Un bien normal est un bien dont la consommation augmente lorsque le revenu saccrot (etinversement), toutes choses gales par ailleurs.

Un bien infrieur est un bien dont la quantit consomme diminue lorsque le revenu crot (etinversement), toutes choses gales par ailleurs

Y Y Y

Y1 E1 U1Y1 E1

U1 Y0 E0 E1Y0 E0 U1 Y0 E0 Y1

U0 U0 U0

X0 X1 X X1 X0 X X0 X1 XQuant R augmente Quant R augmente Quant R augmente

X augmente X diminue X augmenteY augmente Y augmente Y diminue

X et Y deux biens normaux X bien infrieur et Y bien normal X bien normal et Y bien infrieur

Cas 1 Cas 2 Cas 3

3.Application

Soit la fonction dutilitU = (Y-1) X

Dterminer la courbe consommation-revenu et la courbe consommation-prix

1) la courbe consommation-revenu

La courbe consommation-revenu est le lieu des points reprsentatifs de combinaisons optimales deX et Y lorsque les prix sont constant mais que le budget varie

La condition doptimalit:

(U/X) / (U/Y) = Px / Py (Y-1) / X = Px/Py Y = (Px/Py) X + 1

La courbe de consommation-revenu dans le cas prsent est une droite

2)

La courbe consommation-prix

* La courbe consommation-prix de X est le lieu des points reprsentatifs de combinaisonoptimales de X lorsque le revenu et le prix de Y sont constants (R et Py sont constants) mais quele prix de X varie (Px varie).

Par dfinition les conditions dquilibre sont:

(U/X) / (U/Y) = Px / Py (Y-1) / X = Px / Py Y = (Px/Py).X - 1

R = Px X + Py Y R = Px X + Py [(Px/Py) X1]Xd= (RPy) / 2Px


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La demande de X varie en fonction de Px (Py et R sont constants)

Cette quation reprsente la courbe de la consommation-prix de X

* La courbe consommation-prix de Y est le lieu des points reprsentatifs de combinaisonsoptimales de Y lorsque le prix de X et le revenu sont constants (Px et R constants) mais que le prix

de X varie (Px varie)On remplace X obtenue dans Y Y = (Px/Py). [(R+Py) / 2Px] - 1

Y = (R + Py) /PY

Cette quation reprsente la courbe de la consommation-prix de Y

Les relations de X et Y ainsi obtenus ne sont en fait que la fonction de demande de X et celle deY.

On dfinit la demande comme tant une relation fonctionnelle entre des prix et des quantits touteschoses tant gales par ailleurs.

Cet exemple est un cas particulier puisque les courbes sont reprsentes par une droite.

C.LA COURBE DENGEL

1. Dfinition

Une courbe dEngle pour un bien est une relation entre le revenu du consommateur et les quantits

consommes de ce bien, toutes choses gales par ailleurs.

La courbe d'Engel, issue des travaux du statisticien allemand Ernst Engel (1821-1896), peut tretrace partir de la courbe revenu-consommation.

La courbe d'Engel d'un bien i reprsente la variation de demande du bien qui rsulte d'unevariation du budget du consommateur, partir d'une situation dquilibre.

R

R2R1R0

X0X1 X2 X

En fait, la courbe d'Engel est croissante lorsque le bien est normal, et dcroissante lorsque le bienest infrieur.

Courbe dEngel pour X

X bien normal

Courbe consommation-revenu


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R R

Bien normal X Bien infrieur X

C'est en utilisant des donnes en valeur qu'Engel, la suite de ses tudes sur les budgets defamille, nona quelques grands principes connus aujourd'hui sous le nom de lois d'Engel. Lestrois principales d'entre elles sont

la part des dpenses d'alimentation diminue avec l'accroissement du revenu

la part des dpenses d'habillement et de logement est constante

la part des dpenses sur les autres biens augmente avec l'accroissement du revenu.

D.LE SURPLUS DU CONSOMMATEUR

Le surplus du consommateur est une extension de la thorie de la demande, car il montre que lesconsommateurs peuvent bnficier dun gain dutilit sils sont disposs payer plus cher que le

prix du march.

On suppose que la droite D est la demande du march dun bien X et que le prix de ce bien

effectivement pay sur le march est P0 . pour une quantit x1, les consommateurs auraient tprts payer un prix P1et leur dpense se serait leve OP1EH. Cependant le prix rellementpay nest que P0, si bien que la dpense effective pour x1 est OBGH. La diffrence entre les airesOP1EH et OBGH, cd le rectangle pointill BP1EG est appel surplus du consommateur.

PxA

P1 EP2 J

B C P0

G K

x1 x2 x3

Dfinition: Le surplus du consommateur est la diffrence entre ce quon est dispos payer et cequon paie effectivement pour une quantit donne dun bien.

Pour la quantit x2, le surplus est GFJK etc. Si les quantits prsentent des variationsinfinitsimales, le surplus total maximum est le triangle ABC. Il indique que si le prix du bien Xest P0, les consommateurs ont un gain d'utilit gal ABC car ils taient prts payer plus cher.

Le surplus du consommateur est un concept micro-conomique trs important.

F

H L


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SECTION II.

EFFET DE SUBSTITUTION ET EFFET DE REVENU

A.ANALYSE DE LEFFET DE SUBSTITUTION ET DE LEFFET DE REVENU

1. Prsentation du mcanisme

On dcompose en deux mcanismes distincts le processus au terme duquel la validation du prixd'un bien entrane une variation de la demande de ce bien. Ces mcanismes sont dsigns sous lesnoms d'effet de substitution et effet de revenu

La baisse de Px incite le consommateur substituer du bien X au bien Y. Cest leffet desubstitution. Mais pour un revenu nominal inchang, la baisse du prix augmente le pouvoirdachat. Le pouvoir dachat change entrane un changement de la contrainte budgtaire. Cela

constitue une raison supplmentaire dacheter non seulement plus de X mais aussi plus de Y. Cest

leffet de revenu.

La question consiste donc dcomposer leffet total (ET) en effet de substitution (ES) et effet de

revenu (ER)

La dmarche consiste raisonner d'abord comme si la variation de prix n'affectait pas lasatisfaction du consommateur. La modification de consommation alors observable est considrecomme imputable la substitution, par le consommateur, de bien relativement moins cher du

bien relativement plus cher, On peut alors identifier l'impact de l'augmentation de satisfaction, pardiffrence entre impact total de la variation du prix et impact de la substitution.

Soit une baisse de Px en Px avec (Px < Px) pour analyser les deux mcanismes, on considre

dabord que le revenu rel, le pouvoir dachat reste inchang cd le niveau de satisfaction resteinchang. Le point dquilibre du consommateur reste sur la mme courbe dindiffrence et on

passe de E E

Y En passant du point E E, le revenu rel est constant Puisque lon reste sur la mme courbe dindiffrence,

R/Py Seule le prix relatif des deux biens a chang,On mesure leffet substitution qui est gal

la variation de lquilibre entre E et E.En passant de E E, onmesure limpact

de laugmentation du pouvoir dachat conscutive la baissede Px et seulement cet effet. En effet seul le niveau de revenurel change mais le rapport des prix est maintenu constant

puisque la pente est la mme en E et E.Il apparat que leffet total dune baisse de Px sur X rsulte

bien dun double mcanisme.

E

ER/Px R/Px X


46/76


46

Y

Effet total Y0 E

en terme Y Y1 E EY2Effet revenu

XX0 X2 X1

Effet total en terme de X

L'effet total de la variation de prix est donn par le passage de la combinaison d'quilibre initiale E la nouvelle combinaison d'quilibre E'

en termes de bien X, l'effet total est donc gal l'augmentation

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