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LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE

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MATHEMATIQUES Série ESNº : 22002

Fiche Cours

Plan de la ficheI - Asymptote verticale en aII - Asymptote horizontale et obliqueIII - Courbe asymptotique en l’infini

On notera fC (ou C sur les figures suivantes, quand il n’est question que d’une seule fonction) la courbe représentative d’une fonction donnée f.

I - Asymptote verticale en a

a étant une valeur « interdite » (n’appartenant pas à l’ensemble de définition fE ), il arrive assez souvent que ax

lim→

f (x) = ∞ (si, par exemple, a est une racine du seul dénominateur). On dit alors que fC admet la droite d’équation x = a comme asymptote « verticale » (en fait parallèle à l’axe des ordonnées).

Quand on établit que ∞+=−−→

)x(lim3x

f (résultat r1) et que ∞−=+−→

)x(lim3x

f (résultat r2), ceci est représenté graphiquement par ( figure 1) :

Fig. 1 Asymptote verticale, en x = – 3

Où l’asymptote verticale est la droite d’équation x = – 3.

II - Asymptote horizontale et oblique

Tout ce qui suit n’a lieu que quand x tend vers ∞± :

• Quand on a ∞→x

lim f (x) = l (réel), on dit que fC admet la droite d’équation y = l comme asymptote « horizontale » (en fait parallèle à l’axe des abscisses).

Thème : Limites, asymptotes, nombre dérivé, fonction dérivéeFiche 2 : Asymptotes à une courbe

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Exemple : 3x1x2lim

x +−

∞±→ = 2 : la droite d’équation y = 2 est donc une asymptote horizontale à fC .

Ceci est représenté graphiquement par (figure 2) :

Fig. 2 Asymptote horizontale d’équation y = 2

• S’il existe deux réels a et b, a≠ 0, tels que ∞→x

lim [ f (x) – (ax + b) ] = 0 , on dit que la droite d’équation y = ax + b est une asymptote « oblique » à fC .

Exemple : Considérons la fonction f définie par f (x) = 1x

4x2

+−

; on vérifie aisément que, pour tout x différent de – 1, f (x) = 1x

31x+

−− ,

de sorte que : ∞→x

lim [ f (x) – (x – 3) ] = ∞→x

lim 1x3+− = 0 ; donc la droite d’équation y = x – 1 est une asymptote oblique à fC , aux

voisinages de ± ∞. Ceci est graphiquement représenté par (figure 3) :

Fig. 3 Asymptote oblique (y = x – 1)

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On voit que l’écart (ici négatif) MP = f (a) – (a – 1) entre les deux courbes tend vers zéro au fur et à mesure que |a| grandit ; c’est précisément ce que signifie la notation

∞→xlim [ f (x) – (x – 3) ] = 0.

► À SAVOIR• On aura compris qu’il n’est intéressant de chercher l’existence d’une éventuelle asymptote oblique à fC que si, au moins, on a au préalable :

∞→xlim f (x) = ∞. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante (on peut avoir

∞→xlim f (x) = ∞, sans qu’il y ait d’asymptote oblique à fC : exemple f (x) = x2…)

• Une courbe peut fort bien recouper ses asymptotes horizontales et obliques tant que |x| n’est pas suffisamment grand. Par exemple, pour f (x) =

1x1x3x2 2 +

−+− (asymptote oblique (Δ) : y = 2x – 3) , fC et (Δ) se coupent au point

dont l’abscisse est solution de l’équation f (x) –( 2x – 3) = 0 1x1x

2 +−⇔ = 0 , soit x = 1.

III - Courbe asymptotique en l’infini

D’une façon plus générale, si l’on a f (x) = g (x) + ε (x), pour tout x de fE , avec ∞→x

lim ε (x) = 0 ,on dit alors que la courbe gC , de g, est une « courbe asymptotique » à fC .

Exemple : f (x) )x1)x(,x)x(g(0x,x

1xx1x 22

3

=ε=≠+=+

= . Comme 0)x1(lim

x=

∞→, alors la parabole (P) d’équation 2xy =

est une courbe asymptotique à fC , aux voisinages de ± ∞. Ceci se représente graphiquement comme (figure 4) :

Fig. 4 Courbe asymptotique (Parabole (p))