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Cours M1

Cinématique

David Malka

MPSI – 2014-2015 – Lycée Saint-Exupéry

http://www.mpsi-lycee-saint-exupery.fr


Table des matières

I Cinématique du point 1

1 Position d’un point : systèmes de coordonnées usuels 11.1 Base et coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Coordonnées et vecteurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Vecteur-position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Base et coordonnées cylindriques (ou polaires à 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Coordonnées et vecteurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Vecteur-position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Base et coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Coordonnées et vecteurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Vecteur-position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Comment choisir la base et le système de coordonnées adaptés ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Trajectoire, vitesse et accélération d’un point 32.1 Trajectoire d’un point dans un référentiel donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Déplacement élémentaire d’un point dans un référentiel donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Expressions dans les différentes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Vitesse instantanée d’un point dans un référentiel donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Expressions dans les différentes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Accélération d’un point dans un référentiel donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.2 Expressions dans les différentes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Très important : ne pas confondre système de coordonnées et référentiel ! ! ! . . . . . . . . . . . . 7

3 Etude cinématique de quelques mouvements simples 83.1 Mouvement uniformément accéléré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Mouvement rectiligne sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II Très brève introduction à la cinématique du solide 8

1 Solide indéformable 8

2 Mouvement de translation 8

3 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe 9

Table des figures1 Base et coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Base et coordonnées cylindriques (ou polaires à 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Base cylindrique : plans de coupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Base et coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Déplacement élémentaire en coordonnées cylindrique (polaire sur la figure) . . . . . . . . . . . . . 57 Déplacement élémentaire en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Capacités exigibles1. Réaliser et exploiter quantitativement un enregistrement vidéo d’un mouvement : évolution

temporelle des vecteurs vitesse et accélération.2. Établir les expressions des composantes du vecteur-position, du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération

dans le seul cas des coordonnées cartésiennes et cylindriques.3. Exprimer à partir d’un schéma le déplacement élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées,

construire le trièdre local associé et en déduire les composantes du vecteur-vitesse en coordonnées carté-siennes et cylindriques.

4. Choisir un système de coordonnées adapté au problème posé.5. Mouvement de vecteur-accélération constant : exprimer la vitesse et la position en fonction du temps ;

obtenir la trajectoire en coordonnées cartésiennes.6. Mouvement circulaire uniforme et non uniforme : exprimer les composantes du vecteur-position, du

vecteur-vitesse et du vecteur-accélération en coordonnées polaires planes ; identifier les liens entre lescomposantes du vecteur-accélération, la courbure de la trajectoire, la norme du vecteur-vitesse et sa va-riation temporelle ; situer qualitativement la direction du vecteur-accélération dans la concavité d’unetrajectoire plane.

7. Différencier un solide d’un système déformable.8. Reconnaître et décrire une translation rectiligne, une translation circulaire.9. Décrire la trajectoire d’un point quelconque du solide et exprimer sa vitesse en fonction de sa distance à

l’axe et de la vitesse angulaire.

MPSI – 2013-2014 – Lycée Saint-Exupéry D.Malka Cours M1 – Cinématique

Dans tous le cours, le système de coordonnées cartésien sera attaché au référentiel R de l’étude.

Première partie

Cinématique du point1 Position d’un point : systèmes de coordonnées usuels1.1 Base et coordonnées cartésiennes1.1.1 Coordonnées et vecteurs de base

Voir Fig.1.

Coordonnées : (x, y, z)Base : (~ex, ~ey, ~ez)

Oex

ey

ez

z

x

y

M

H

xM

zM

yM

OM = xex+ yey+ zezOM = xex+ yey+ zez

ezezez

Figure 1 – Base et coordonnées cartésiennes

1.1.2 Vecteur-position

Vecteur-position en coordonnées cartésiennes

−−→OM(t) = x~ex + y~ey + z~ez

1.2 Base et coordonnées cylindriques (ou polaires à 2D)1.2.1 Coordonnées et vecteurs de base

Voir Fig.2 et 3.

Coordonnées : (ρ, θ, z)Base : (~eρ, ~eθ, ~ez)

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Oex ey

ez

z

x

y

M

z

ρθ

eρ

ezeθ

H

Figure 2 – Base et coordonnées cylindriques (ou polaires à 2D)

y

xx

ex

ey

θ

eρ

eθ

ρ

H

M

O

z

H

eρ

ez

ρ

ez

.ez Oeθ

Figure 3 – Base cylindrique : plans de coupe

P Application-1

Exprimer les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindriques d’un point M de l’espace.

Réponse : x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z.

Exprimer les coordonnées cylindriques en fonction des coordonnées cartésiennes d’un point M de l’espace.

Réponse : ρ =√x2 + y2, cos θ = x√

x2 + y2et sin θ = y√

x2 + y2, z = z.


Vecteur-position en coordonnées cylindriques

−−→OM(t) = ρ~eρ + z~ez




1.3 Base et coordonnées sphériques1.3.1 Coordonnées et vecteurs de base

Voir Fig.1.

Coordonnées : (r, θ, φ)Base : (~er, ~eθ, ~eϕ)

Oex

ey

ez

z

x

y

M

H

ezezez

φ

θ

eφ

ez

eθ

eφer

r

Figure 4 – Base et coordonnées sphériques


Position en coordonnées sphériques

−−→OM(t) = r~er

1.4 Comment choisir la base et le système de coordonnées adaptés ?On choisit par défaut un système de coordonnées cartésien aux axes judicieusement choisis. On préfère

les systèmes de coordonnées cylindriques ou sphériques si le problème présente les mêmes symétries que cessystèmes de coordonnées.

2 Trajectoire, vitesse et accélération d’un point2.1 Trajectoire d’un point dans un référentiel donné

La trajectoire d’un point M est la courbe définie par l’ensemble des positions spatiales occupées à chaqueinstant par le point M dans un référentiel donné.




2.2 Déplacement élémentaire d’un point dans un référentiel donné2.2.1 Définition

Déplacement élémentaire – Définition

Soit M et M ′ deux positions occupées successivement par un point M dans un référentiel donné R. On définitle vecteur déplacement élémentaire d−−→OM ou (d

−→l ) par :

d−−→OM = lim

M→M ′

−−−→MM ′

2.2.2 Expressions dans les différentes bases

Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes

Voir fig.5).

d−−→OM = dx~ex + dy~ey + dz~ez

O

exey

ez

z

x

y

M

H

ezezez

dz

dy

dx

dOM

Figure 5 – Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes

Déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques

Voir fig.6.d−−→OM = dρ~eρ + ρdθ~eθ + dz~ez

Déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques

Voir fig.7).d−−→OM = dr~er + rdθ~eθ + r sin θ~eϕ

2.3 Vitesse instantanée d’un point dans un référentiel donnéPhysiquement, la vitesse instantanée, à l’instant t est la variation par unité de temps du vecteur position

sur une durée infiniment courte dt.




dθθ

dOMM

M'

ex

ey

ρ

dρρdθ

eρ

eθ

Figure 6 – Déplacement élémentaire en coordonnées cylindrique (polaire sur la figure)

2.3.1 Définition

Vitesse instantanée – Définition

Soit M et M ′ deux positions occupées par un point M dans un référentiel donné R, respectivement à l’instantt et à l’instant t′. Le vecteur-vitesse instantanée ~v(M)|R du point M dans le référentiel R est définie par :

~v(M)|R = limt7→t′

−−−→MM ′

t′ − t

soit encore

~v(M)|R =(d−−→OM

dt

)R

R Par définition, les vecteurs déplacement élémentaire et vitesse sont tangents à la trajectoire et orientésdans le sens du mouvement.


Les expressions de la vitesse s’obtiennent soit par dérivation du vecteur position, soit en utilisant l’expressiondu vecteur déplacement élémentaire.

En coordonnées cartésiennes

Vitesse en coordonnées cartésiennes

~v(M) = x~ex + y~ey + z~ez




Oex

ey

ez

z

x

y

M

ezezez

φ

θ

ez

eθ

eφ

er

r

M'θ+dθ

φ + dφ

dOMdr rdθ

rsin(θ)dφ

Figure 7 – Déplacement élémentaire en coordonnées sphériques

En coordonnées cylindriques

Vitesse en coordonnées cylindriques

~v(M) = ρ~eρ + ρθ~eθ + z~ez

En coordonnées sphériques

Vitesse en coordonnées sphériques

~v(M) = r~er + rθ~eθ + r sin θ ϕ~eϕ

2.4 Accélération d’un point dans un référentiel donnéPhysiquement, l’accélération (instantanée) à l’instant t est la variation par unité de temps du vecteur vitesse

sur une durée infiniment courte dt.




2.4.1 Définition

Accélération – Définition

Soit M et M ′ deux positions occupées par un point M dans un référentiel donné R respectivement à l’instantt et à l’instant t′. Le vecteur-accélération instantanée ~a(M)|R du point M dans le référentiel R est définie par :

~a(M)|R = limt 7→t′

~v(M, t′)− ~v(M, t)t′ − t

soit encore

~a(M)|R =(d~v(M)dt

)R

=(d2−−→OMdt2

)R


En coordonnées cartésiennes

Accélération en coordonnées cartésiennes

~a(M) = x~ex + y~ey + z~ez

En coordonnées cylindriques

Accélération en coordonnées cylindriques

~a(M) = (ρ− ρθ2)~eρ + (2ρθ + ρθ)~eθ + z~ez

En coordonnées sphériques

Accélération en coordonnées cylindriques

~a(M) = ar~er + aθ~eθ + aϕ~eϕ

avec :

ar = r − rθ2 − r sin2 θϕ2

aθ = 2rθ + rθ − rϕ2 sin θ cos θaϕ = 2rϕθ cos θ + 2rϕ sin θ + r sin θϕ

2.5 Très important : ne pas confondre système de coordonnées et référentiel ! ! !En effet, on peut tout à fait exprimer une vitesse ou une accélération par rapport à un référentiel dans une

base mobile par rapport à ce référentiel.Réciproquement, ce n’est pas parce qu’on écrit une vitesse dans une base que cette vitesse est évaluée par

rapport à un référentiel fixe par rapport au système de coordonnés associé à cette base.




3 Etude cinématique de quelques mouvements simples3.1 Mouvement uniformément accéléré

P Application-2

Soit un point M dont l’accélération vaut a = a~ex (a et ~ex constants) à chaque instant et dont la vitesse initialevaut V0, et ayant pour position x0 = 0 à t = 0. Déterminer la position x(t) de M à chaque instant.

Réponse : x(t) = 12a.t

2 + v0.t

3.2 Mouvement rectiligne sinusoïdal

P Application-3

Soit un point M se déplaçant le long d’un axe Ox. Sa position est donnée à chaque instant par x(t) = a cos(ωt)où ω et a sont des constantes positives. Déterminer sa vitesse v(t) puis son accélération a(t).

Réponse : v(t) = −aω sin(ωt), a(t) = −aω2 cos(ωt)

3.3 Mouvement circulaire

P Application-4

Soit un point M décrivant de façon uniforme un cercle de rayon R à la vitesse angulaire ω. On se place dans labase polaire (~er, ~eθ). Montrer que la vitesse v(t) et l’accélération a(t) du point M vérifie :

a(t) = v2(t)R

Sur le WebPour visualiser les systèmes de coordonnées dans l’espace :http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Cinematique/Index_Cinema.html

Deuxième partie

Très brève introduction à la cinématique dusolide1 Solide indéformable

Solide indéformable

On appelle solide indéformable (S), un système tels que ∀ (M,N) ∈ (S), MN est indépendant du temps.

2 Mouvement de translation

Solide en translation

Un solide (S) est en translation par rapport aux référentiel R si ∀ t, ∀M ∈ (S), ~v(M)|R = cste c’est-à-dire quele champ des vitesses est uniforme dans le solide. Tous les points décrivent la même trajectoire.

Cas particuliers :


http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Cinematique/Index_Cinema.html



– si la trajectoire des points M de (S) est une droite, la translation est rectiligne ;– si la trajectoire des points M de (S) est un cercle, la translation est circulaire.

3 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe

Solide en rotation

Soit une droite ∆ fixe dans le référentiel R. Si chaque pointM du solide (S) est en mouvement circulaire autourde ∆ dans R alors le solide (S) est en rotation autour de ∆.

Champ des vitesses

Pour tout point M ∈ (S), la vitesse de ce point dans R peut s’écrire :

~v(M)|R = rω~eθ

avec r la distance M à ∆, ω = θ la vitesse angulaire de rotation du solide (S) autour ∆ et ~eθ le vecteurorthoradial de la base polaire.

A chaque instant t, l’ensemble des points M de (S) a même vitesse angulaire.



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