c Christophe Bertault - MPSI

Intgrales doubles

Les rsultats de ce chapitre seront tous noncs sans dmonstration aucune. Les lettres a, b, c, d dsignent des rels tels quea 6 b et c 6 d.

1 Intgrale double sur un rectangle

Thorme (Intgrale double sur un rectangle) On peut associer toute fonction f C([a, b] [c, d],R) un rel not[a,b][c,d]

f ou

[a,b][c,d]

f(x, y) dx dy jouissant des proprits suivantes. Pour tous f, g C([a, b] [c, d],R) : Linarit : Pour tous , R :

[a,b][c,d]

(f + g) =

[a,b][c,d]

f +

[a,b][c,d]

g.

Positivit : Si f > 0, alors

[a,b][c,d]f > 0. Croissance : Si f 6 g, alors

[a,b][c,d]

f 6

[a,b][c,d]

g.

Ingalit triangulaire :

[a,b][c,d]f

6

[a,b][c,d]|f |.

Thorme de Fubini :

[a,b][c,d]f =

ba

( dc

f(x, y) dy

)dx =

dc

( ba

f(x, y) dx

)dy.

Additivit par rapport au domaine dintgration : Si u [a, b] et v [c, d] :[a,b][c,d]

f =

[a,u][c,d]

f +

[u,b][c,d]

f et

[a,b][c,d]

f =

[a,b][c,v]

f +

[a,b][v,d]

f .

Explication

La proprit dadditivit par rapport au domaine dintgration est lanalogue deux variables de la relation de Chasles.

Le thorme de Fubini sous-entend, pour avoir un sens, que les applications x 7 dc

f(x, y) dy et y 7 ba

f(x, y) dx

dfinies sur [a, b] et [c, d] respectivement sont continues.

En pratique La proprit la plus importante pour le calcul effectif des intgrales doubles est le thorme de Fubiniselon lequel toute intgrale double nest quun empilement de deux intgrales simples.

Exemple

[0,1][0,2pi]

(x+ sin y) dx dy = pi.

En effet Calculons cette intgrale de deux faons pour illustrer la validit du thorme de Fubini.[0,1][0,2pi]

(x+ sin y) dx dyFubini=

10

( 2pi0

(x+ sin y) dy

)dx =

10

[xy cos y]y=2pi

y=0dx =

10

2pix dx = pi

et

[0,1][0,2pi]

(x+ sin y) dx dyFubini=

2pi0

( 10

(x+ sin y) dx

)dy =

2pi0

(1

2+ sin y

)dy = pi.

Exemple Soient C([a, b],R) et C([c, d],R). On pose, pour tout (x, y) [a, b] [c, d] : f(x, y) = (x)(y). Noussavons que f C([a, b] [c, d],R). Alors :

[a,b][c,d]f =

[a,b][c,d]

(x)(y) dx dy =

( ba

)( dc

).

En effet

[a,b][c,d]

f =

[a,b][c,d]

(x)(y) dx dyFubini=

ba

( dc

(x)(y) dy

)dx

=

ba

(x)

( dc

(y) dy

)dx

(x) ne dpend pas de y

=

( dc

(y) dy

)

scalaire

ba

(x)dx =

( ba

)( dc

).

1

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Exemple

10

x 1ln x

dx = ln 2.

En effet

La fonction x 7 x 1ln x

est continue sur ]0, 1[, prolongeable par continuit en 0 par la valeur 0 car

limx0

x 1ln x

= 0 et prolongeable galement en 1 par la valeur 1 car ln x x1

x 1. Ceci justifie lexistence de

lintgrale

10

x 1ln x

dx.

Nous allons calculer cette intgrale au moyen dune intgrale double qui en apparence na aucun rapport.Soit ]0, 1]. La fonction (x, y) 7 xy = ey lnx est clairement continue sur [, 1] [0, 1].

[,1][0,1]xy dx dy

Fubini=

1

( 10

ey lnx dy

)dx =

1

[ey lnx

ln x

]y=1y=0

dx =

1

x 1ln x

dx

Fubini=

10

( 1

xy dx

)dy =

10

[xy+1

y + 1

]x=1x=

dy =

10

dy

y + 1 10

y+1

y + 1dy

=[ln(y + 1)

]y=1y=0

10

y+1

y + 1dy = ln 2

10

y+1

y + 1dy.

Nous venons donc de montrer la formule :

1

x 1lnx

dx = ln 2 10

y+1

y + 1dy.

Or : 0 6 10

y+1

y + 1dy 6

10

dy

y + 1= ln 2. Daprs le thorme dencadrement : lim

0

10

y+1

y + 1dy = 0,

ce qui nous donne aussitt le rsultat.

2 Intgrales doubles sur un domaine born

dfini par des conditions simples

Pour le moment, nous avons seulement dfini lintgrale double dune fonction de deux variables sur un rectangle. Mais enralit on peut intgrer une telle fonction sur bien dautres domaines : disques, ellipses, triangles, patates gentilles, etc. Notreobjectif nest pas ici de donner une dfinition prcise des domaines autoriss : la dfinition suivante, quoique restreinte, nousfournira dj un lot suffisant dexercices.

Thorme (Intgrale double sur un domaine dfini par des conditions simples) Soient , C([a, b],R) tellesque 6 . On note D lensemble

{(x, y) R2/ a 6 x 6 b et (x) 6 y 6 (x)

}.

On peut associer toute fonction f C(D,R) un rel notDf ou

Df(x, y) dx dy jouissant des proprits

suivantes. Pour tous f, g C(D,R) :

Linarit : Pour tous , R :D(f + g) =

Df +

Dg.

Positivit : Si f > 0, alorsDf > 0. Croissance : Si f 6 g, alors

Df 6

Dg.

Ingalit triangulaire :Df

6D|f |.

Thorme de Fubini :Df =

ba

( (x)(x)

f(x, y) dy

)dx.

Additivit par rapport au domaine dintgration : Si D est dcompos en deux domaines disjoints E et Fsur lesquels lintgrale double de f est dfinie, alors :

Df =

Ef +

Ff .

On dispose dune dfinition et de rsultats analogues dans le cas o , C([c, d],R) avec 6 et o D est lensemble{(x, y) R2/ c 6 y 6 d et (y) 6 x 6 (y)

}.

En pratique La proprit la plus importante pour le calcul effectif des intgrales doubles est le thorme de Fubiniselon lequel toute intgrale double nest quun empilement de deux intgrales simples.

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Exemple On pose D ={(x, y) R2/ x2 + y2 6 1

} le disque trigonomtrique .

Alors :

Dx dx dy = 0.

Ce rsultat parat naturel sur la figure ci-contre car la portion positive du volumeconsidr est annule exactement par sa portion ngative .

x

y

z

z

D

z = x

En effet Tout dabord : D ={(x, y) R2/ 1 6 y 6 1 et

1 y2 6 x 6

1 y2

}. Du coup :

Dx dx dy

Fubini=

11

( 1y2

1y2x dx

)dy =

11

0 dx = 0 par imparit de la fonction x 7 x.

Exemple On pose D ={(x, y) R2/ 0 6 x 6 1 et 0 6 y 6 1x

}. Alors :

D(x+2y) dx dy =

1

2.

D

z = x+ 2y

xy

z

En effet

D(x+ 2y) dx dy

Fubini=

10

( 1x0

(x+ 2y) dy

)dx

=

10

[xy + y2

]y=1xy=0

dx =

10

(1 x) dx =[ (1 x)

2

2

]x=1x=0

=1

2.

3 Changement de variables

Il existe une formule gnrale du changement de variables pour les intgrales doubles, mais elle ne figure pas notre pro-gramme. Cela dit, pour vous aider comprendre les deux cas particuliers tudis ci-aprs, nonons sans ses hypothses prcisescette formule :

(D)f(x, y) dx dy =

Df((u, v)

) J(u, v) du dv.Dans cette formule, D est une partie de R2. Quant , cest une application de D dans R2 et si (u, v) = (x(u, v), y(u, v)),

alors par dfinition le jacobien J de est le dterminant : J =

x

u

x

v

y

u

y

v

. Enfin, f est une application de (D) dansR. Notez bien que, dans la formule du changement de variables,

J est la valeur absolue du dterminant J et non cedterminant lui-mme.

Nous ne donnerons quun seul exemple explicite de changement de variables : celui consistant passer des coordonnescartsiennes aux coordonnes polaires.

Thorme (Changement de variables coordonnes cartsiennes/coordonnes polaires) Soient D une partieborne de R2 dfinie par des conditions simples et f C(D,R). Alors :

Df(x, y) dx dy =

Ef(r cos , r sin ) r dr d,

o E est une partie de R+ R telle que lapplication (r, ) 7 (x, y) = (r cos , r sin ) soit bijective de E sur D.

Explication Cest bien la formule gnrale du changement de variables, avec : (r, ) 7 (r cos , r sin ). Pour tout(r, ) E : J(r, ) =

cos r sin sin r cos = r, de sorte que : J(r, ) = |r| = r car E R+ R.

3

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Exemple

ex2

dx =pi Cette intgrale est appele lintgrale de Gauss.

En effet Lastuce de cet exemple consiste tudier lintgrale

[R,R]2

e(x2+y2) dx dy pour tout R R+,

puis faire tendre R vers .

Soit R R+. Alors :

[R,R]2e(x

2+y2) dx dy =

[R,R]2

ex2

ey2

dx dyFubini=

( RR

ex2

dx

)2.

Or on a linclusion : BF (O,R) [R,R]2 BF (O,R2). La fonction (x, y) 7 e(x2+y2) tantpositive, la proprit dadditivit par rapport au domaine dintgration nous donne alors lingalit :

BF (O,R)

e(x2+y2) dx dy 6

[R,R]2

e(x2+y2) dx dy 6

BF (O,R

2)

e(x2+y2) dx dy .

b

O

R

Utilisons prsent la formule de changement de variables coordonnes cartsiennes/coordonnes polaires.Lapplication (r, ) 7 (r cos , r sin ) transforme [0, R] [0, 2pi] en BF (O,R).

BF (O,R)

e(x2+y2) dx dy =

[0,R][0,2pi]

er2

r dr dFubini=

( 2pi0

d

)( R0

rer2

dr

)= 2pi

[ e

r2

2

]r=Rr=0

= pi(1er2

).

Par consquent : limR

BF (O,R)

e(x2+y2) dx dy = pi. De mme pour lim

R

BF (O,R

2)

e(x2+y2) dx dy.

Finalement, le thorme dencadrement appliqu montre que : limR

[0,R]2

e(x2+y2) dx dy = pi.

Avec nous obtenons le rsultat voulu : limR

( RR

ex2

dx

)2= pi.

Exemple On pose D ={(x, y) R2/ y > 0 et 1 6 x2 + y2 6 4

}. Alors :

D(x+ y) dx dy =

14

3.

En effet Notons E = [1, 2] [0, pi]. Alors lapplication (r, ) 7 (r cos , r sin ) est bijective de E sur D.D(x+ y) dx dy =

[1,2][0,pi]

(r cos + r sin ) r dr d =

( 21

r2 dr

)( pi0

(cos + sin ) d

)

=

[r3

3

]r=2r=1

[ sin cos ]=pi=0

=7

3 2 = 14

3.

z

y

x

D

z = x+ y

4