Cours Filtre Num

ObjectifsFiltre Linéaire Invariant Discret

Caractérisation des filtres numérique

Cours de Traitement Du Signal - Filtragenumérique

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ESTACA

29 novembre 2007

Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Filtrage numérique 1/20



Plan du cours

1 Objectifs

2 Filtre Linéaire Invariant DiscretDéfinitionConvolution discrèteTransformée en Z

3 Caractérisation des filtres numériqueFiltres ARMAStabilité des filtresSynthèse des filtres numériques




Objectifs

Définition des FLIDReprésentations mathématiques des FLIDRéalisation des FLID (AR/ARMA)Etude des filtres classiquesStabilité des filtres numériquesSynthèse numérique des filtres analytiques




DéfinitionConvolution discrèteTransformée en Z

Notion de système discret

Caractérisé par sa loi E/S :y (n) = f [x (n)]

LinéaritéLe système est linéaire! "x1, x2,"!, " # R :

f (!.x1 [n] + ".x2 [n]) = !.f (x1 [n]) + ".f (x2 [n])





InvarianceLe système est invariant! "p # Z :

y [n] = f (x [n])& f (x [n % p]) = y [n % p]

CausalitéLe système est causal ! "x [n] signal causal , alors la réponse

y [n] = f (x [n]) est causale.

Filtre linéaireUn filtre numérique est un Filtre Linéaire Invariant DiscretPour les signaux fonction du temps, seuls les filtrescausaux sont implémentables en temps réel.





Convolution : rappel

Définition

x [n] $ y [n] =!

k!Z

x [k ] .y [n % k ]

PropriétésCommutativité : (x $ y) [n] = (y $ x) [n]

Distributivité :x [n] $ (y1 [n] + y2 [n]) = x [n] $ y1 [n] + x [n] $ y2 [n]

Elément neutre : x [n] $ # [n] = x [n]

Décalage : x [n] $ # [n % n0] = x [n % n0]

Transformée en z :TZ (x [n] $ y [n]) = TZ (x [n]) .TZ (y [n])





Convolution et filtrage

Réponse impulsionnelleDéfinition : signal réponse d’un système discret à uneimpulsion unitaire (Dirac numérique)

h [n] = f (# [n])

Système de convolutionRelation entre l’entrée causale d’un système et sa sortie sousforme d’un produit de convolution :

y [n] = (x $ h) [n] = (h $ x) [n]





Fonction de transfertCalcul de la TZ de part et d’autre du système :

TZ (y [n]) = TZ (x $ h [n])

Application des propriétés de la TZ et de la convolution :Y (z) = H (z) .X (z)

H (z) = Fonction de Transfert en Z du systèmeApplication : calcul de fonction de transfert globale

Gain complexeCalcul de la TF de part et d’autre du système :

Y (f ) = H (f ) .X (f )Caractérisation fréquentielle de la réponse du filtreCalcul de H (f ) à partir de H (z) pour z = ej.Te.2.!.f




Filtres ARMAStabilité des filtresSynthèse des filtres numériques

Représentation d’un filtre numériqueUn filtre numérique peut être représenté par :

son EDF liant son entrée et sa sortiesa Réponse Impulsionnellesa Fonction de Transfert en zson gain complexe

Classes de filtres numériquesOn classe les filtres suivant leur caractère récursif

Non récursif : Réponse Impulsionnelle Finie' Modèle MA

Récursif : Réponse Impulsionnelle Infinie' Modèle AR(MA)





Filtre ARMA

Définition

H (z) =

"Ni=0 bi .z"i

1%"M

j=1 aj .z"j

PropriétésNumérateur & moyenne mobile (Moving Average)Dénominateur & partie autorégressive (AR)Ordre du filtre = MAX(M,N)

EDF du filtrey [n] = b0.x [n] + b1.x [n % 1] + ... + bN .x [n % N] +

a1.y [n % 1] + ... + aMy [n %M]





Représentation schématique





Filtre ARMA équivalence des représentation

PropriétésLes différentes représentations (TZ, EDF ,RI...) sontéquivalentesUne seule représentation suffit pour caractériser le filtreDifférentes techniques permettent de passer d’unereprésentation à l’autre

Détermination de la RIMéthode directe : résolution de l’EDF pour x [k ] = # [k ]

Détermination de la FT en z en utilisant la TZ puisinversion de la FTExemple : déterminer la RI du filtre vérifiant :

y [n]% a.y [n % 1] = x [n]





Représentation par pôles et zéros

H(z) =

"Ni=0(1% zi .z"1)

"Mj=1(1% pj .z"1)

Exemples de filtresDifférentiateur y [n] = x [n]% x [n % 1] (MA d’horizon 1)Intégrateur y [n] = y [n % 1] + x [n] (AR d’ordre 1)y [n]% ay [n % 1] = x [n] avec |a| < 1...





DéfinitionDomaine "temporel" : stabilité EBSBCondition nécessaire et suffisante sur la réponseimpulsionnelle :

"+#n="# |h [n] | < +(

A vérifier uniquement pour les AR(MA)

Conséquences sur la FTSi on connait H (z), fonction de transfert en z : le systèmeest stable ! disque unité appartient au domaine deconvergenceSi le système est causal : système stable! les pôles deH (z) sont de module strictement inférieur à 1 (domaine destabilité = disque unité)





Etude du plan de Nyquist (systèmes causaux





Comment choisir entre un filtre MA et AR

ProblèmatiqueCahier des charges sous forme de gabarit analogiquePour un gabarit donné, deux choix possibles :

filtre MA (RIF)filtre AR(MA) (RII)

Souvent, choix en fonction du critère de phase linéairesi phase linéaire nécessaire & choix MAsinon choix d’un filtre récursif (RII)

Critères de comparaisonRessources (temps de calcul) : les RIF demandent plus deressource que les RII (facteur 10)Phase : les RIF sont à phase linéaire, les RII ont une phasequi introduit des distorsions dans le temps de propagation





Autres critèresSensibilité aux perturbationsStabilitéBruit numérique

Passage entre filtre MA et ARFiltre MA à déphasage minimal (i.e., zéros à l’intérieur dudisque unité)! filtre AR d’ordre infini tronquéFiltre AR stable et d’ordre fini! filtre MA infini tronquéDémarche basée sur l’identification et la combinaison desséries de Laurent

Exemple

y [n] = x [n] + a.x [n % 1] , avec |a| < 1





Quelques filtres analytiques classiques

DémarcheChoix d’un type de filtreDétermination de l’ordre du filtre analytiqueDétermination de H (p) (table...)Détermination du filtre numérique par transformation p & z

ExempleFiltre de Butterworth d’ordre N :

|H ($) |2 =1

1 +%

""c

&2.N





Transformations p & z

Solutions pour filtres RII (récursifs)Invariance impulsionnelle

z = ep.Te : équivalence avec TL échantillonnéeValable pour f #

#%Fe

2Fe2

$

Suppose que la fonction de transfert du filtre n’a pas decomposantes hors de cette bande de fréquencePeu utilisé sauf si signal bande limité et fc ) fe

2

Transformée Bi-Linéaire(TBL)p = k . 1!z!1

1+z!1

Bijection entre le demi plan gauche des p et le disque unitédes zTransformation de gabarit : correspondance entre la droitep = j .! et le cercle z = ej.2.!.f/fe

! = k .tan (!.f/fe)En pratique on choisit k = 2

Te ! ! " 2.!.f pour f << fe/2





Solutions pour filtres RIF (non récursifs)Méthode des fenêtres

Première étape : calcul de la RI idéale infinie du filtre àpartir du gabarit simplifié (intégration de fonction porte etHeaviside)Deuxième étape : tronquer la RI en la multipliant par unefenêtre (RIF). La fenêtre doit être symétrique (cf phaselinéaire)La méthode est sous-optimale et donne des ordressurévalués

Méthode de RemezMéthode la plus utilisée (cf matlab)Donne un filtre d’ordre minimal satisfaisant un gabaritEn pratique, on utilise un logiciel (méthode itérative)


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