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MacXIair:MPSI:Electromagnétisme:Cours EM 6 sans exp Biot et Savart ds - 8 juin 2012 page 1 / 4

Electromagnétisme chapitre 6

Champ magnétostatique

Des expériences nous avons déduit que les sources du champ magnétostatique sont des courants permanents et des aimants. On peut modéliser la source du champ créé par un aimant comme des courants microscopiques circulant dans la matière et donc finalement la description des phénomènes magnétostatiques peut être ramenée à l'action de courants, sources de champ, sur d'autres courants.

La question est maintenant de trouver un modèle mathématique pour

€

B (M) cohérent avec ces

expériences.

Bientôt (prochain TP) nous confronterons ce modèle avec les résultats de mesures du champ magnétostatique dans des espaces proches d'un fil conducteur enroulé en une ou plusieurs spires.

I.Formule de Biot et Savart

Elle exprime le lien entre le champ magnétostatique et ses sources.

I. 1. Cas d'un conducteur filiforme

Soit un conducteur filiforme rectiligne parcouru par un courant d'intensité I. Il crée en tout point M de son voisinage un champ magnétostatique. C'est l'expérience d'Œrsted qui montre que

€

B (M) est :

⇒ perpendiculaire à la direction du fil (on peut préciser : la direction de

€

B est orthoradiale)

⇒ proportionnel à l'intensité du courant dans le circuit

⇒ d'autant plus faible que l'on s'éloigne du fil.

Tout élément de longueur dl autour d'un point P de ce conducteur crée un champ élémentaire

€

d

B P(M) qui possède les mêmes caractéristiques : il est orthoradial, proportionnel à I et d'autant plus faible

que PM est grand.

Pour exprimer le caractère orthoradial du champ

€

d

B P(M) = dBP(M)•e ϑ créé par un élément de fil

€

d

l = dl•e z orienté dans le sens du courant, en un point M repéré par OM

= r•

e r + z•

e z il faut le

produit vectoriel

€

d

l ∧

€

e P→M =

€

d

l ∧ PM

PM.

On exprime que dBP(M) est proportionnel à I et d'autant plus faible que PM est grand par

dBP(M) = K•I• dl ∧ PM

PM3 et on obtient

€

d

B P(M) = K�I�

€

d

l ∧

€

e P→M

PM2 = K�I�dl ∧

€

PMPM3 . B se mesure en

Tesla (T).

La constante K =

€

µ04 ⋅ π

assure la cohérence du système d'unité. µ0 = 4�π�10-7 H�m-1 est la perméabilité

magnétique du vide. Elle est reliée à la permittivité du vide ε0 par µ0�ε0�c2 = 1 où c est la vitesse de la

lumière dans le vide.

On note

€

d

C = I�

€

d

l donc le vecteur

€

d

C caractérise un élément de circuit parcouru par un courant d'intensité I. Le vecteur

€

d

C est appelé vecteur élément de courant (et se mesure en A�m).

La formule de Biot et Savart :

€

d

B P(M) =

€

µ04 ⋅ π

�

€

d

C ∧

€

e P→M

PM2 =

€

µ04 ⋅ π

�

€

d

C ∧

€

PMPM3 .

Par superposition, le champ créé par le fil de longueur L est la somme

€

B L(M) =

€

d

B M( )L∫ des champs

élémentaires.

Mais il est impossible d'isoler un élément de courant. L'équivalent de la charge ponctuelle est ici irréalisable. Nous devons nous contenter d'observer que le calcul du champ créé par un circuit réel à partir de la formule de Biot et Savart, correspond bien aux résultats expérimentaux.

Donc nous calculerons le champ dans des cas réalisables expérimentalement. Nous disposerons de Teslamètres et d'un moyen de visualiser les lignes de champ : la limaille de fer.


I. 2. Autres cas

I.2.1. Distribution volumique de courant

Un circuit filiforme est en réalité un conducteur très faible section. Mais si on le regarde de près, c'est en réalité un cylindre même si son rayon est faible devant sa longueur. Comment dans ce cas exprimer l'intensité qui circule à travers le volume du conducteur.

Il suffit de revenir à sa définition : I =

€

dqdt

.

Soit un courant I parcourant un élément de volume dτ = dx•dy•dz dans la direction

€

e z

La charge dq qui traverse une section s du conducteur, entre t et t + dt, est celle des N électrons de vitesse d'ensemble

€

v = v•

€

e z qui se trouvaient à

t dans un volume dτ = dS�v�dt de section dS = dx•dy et de longueur dz = v�dt. Soit ρm la densité particulaire des charges mobiles → N�q = ρm�dτ et dq = N�q�dS�v�dt = ρm�dS�v�dτ >

0 → I =

€

dqdt

= ρm�dS�v

→ le vecteur élément de courant

€

d

C = I�dz•

€

e z = ρm�dS�v�dz•

€

e z = ρm�dS�

€

v �dz = ρm�

€

v �dτ

Par définition :

€

j = ρm�

€

v = n�q�

€

v est le vecteur "densité volumique de courant" en A�m-2

Dans le cas d'une distribution volumique, le vecteur élément de courant est

€

d

C =

€

j �dτ et

€

j apparaît

comme la densité volumique de

€

d

C .

I.2.2. Courants surfaciques

Soit une distribution de courant aplatie en une plaque d'épaisseur dy, faible à l'échelle macroscopique, nous pouvons assimiler cette plaque à une surface.

Quand dy → 0, le vecteur

€

d

C =

€

j �dτ =

€

j •dx•dy•dz doit tendre vers une valeur finie notée

€

j s qui

est la limite de

€

j •dy quand dy → 0

€

j s est le vecteur densité de courant surfacique (sa norme est en A�m-1).

L'intensité, dI, du courant traversant un élément dx de cette surface est dI = j s�dx�

€

e z .

€

j = ρm�

€

v →

€

j s = ρm�h�

€

v = σm�

€

v où σm apparaît comme une densité surfacique de charges mobiles.

Donc dans le cas d'une distribution surfacique, le vecteur élément de courant est

€

d

C =

€

j s�dS.

Et dans tous les cas la formule de Biot et Savart s'écrit

€

d

B P(M) =

€

µ04 ⋅ π

�

€

d

C ∧

€

PMPM3 .

II.Calcul du champ magnétostatique créé par un circuit filiforme

II. 1. Champ créé par un tronçon rectiligne

II.1.1. Calcul du champ

Soit un segment P1P2 de circuit filiforme, rectiligne, parcouru par un

courant d'intensité I. C'est le dispositif de l'expérience d'Œrsted. Il définit une direction privilégiée de l'espace sur laquelle nous alignerons l'axe Oz d'un repère de coordonnées cylindriques.

Un élément

€

d

l = dz�

€

e z de P1P2 situé autour d'un point P de côte z, crée

en M(r, θ) un champ magnétostatique

€

d

B P(M) =

€

µ04 ⋅ π

�

€

d

C ∧

€

e P→M

PM2

€

d

C = I�dz�

€

e z et

€

e z ∧

€

e P→M = sin (

€

π2

- ϑ)�

€

e ϑ = cos ϑ�

e ϑ donc tous les éléments

€

d

l du tronçon

créent des champs de même direction orthoradiale e ϑ.

z = r�tan ϑ → dz =

€

r ⋅dϑcos 2ϑ

et PM =

€

rcos ϑ

→

€

d

B P(M) =

€

µ04 ⋅ π

�I�

€

r ⋅dϑcos 2ϑ

�cos ϑ�

€

cos 2ϑ

r 2 � e ϑ

e P→M

P1

P2

B

d l

r e r

z

Oθ M

⊗

P

dz•

€

e z =

€

v •dt

€

d

C r

dS

€

e z

dy I

€

d

C r dx

dz


L' ensemble du tronçon crée donc

€

B (M) =

€

ϑ1

ϑ 2∫

€

µ0 ⋅I4 ⋅ π ⋅r

�cos ϑ�dϑ� e ϑ =

€

µ0 ⋅I4 ⋅ π ⋅r

�(sin ϑ2 – sin ϑ1)� e ϑ

Ordre de grandeur : dans l'expérience d'Œrsted, le fil avait environ 20 cm de long et nous avons placé l'aiguille le plus près possible (1 cm) donc tan ϑ2 ≈ 10 et sin ϑ2 ≈ - sin ϑ1 ≈ 1. Avec un courant de 1 A, on

obtient B = 2�10-5 T ce qui est à peu près égal à la composante horizontale du champ magnétique terrestre → l'aiguille tourne de 45 °.

Pour un fil infini, on a ϑ1 → -

€

π2

et ϑ2 → +

€

π2

→

€

B (M) =

€

µ0 ⋅I2 ⋅ π ⋅r

�

€

e ϑ

II. 2. Définition de l'ampère

Supposons deux fils rectilignes infiniment longs, parcourus par des courants identiques et de même sens.

Le fil 1 crée un champ

€

B 1 =

€

µ0 ⋅I2 ⋅ π ⋅r

�

€

e ϑ et un élément

€

d

l du fil 2 subit une force d

€

F = I�

€

d

l ∧

€

B

d'intensité dF =

€

µ0 ⋅I2

2 ⋅ π ⋅r�dl soit par mètre de fil 2 : F =

€

µ0 ⋅I2

2 ⋅ π ⋅r.

Si I = 1 A, r = 1 m on a F = 2�10-7 N�m-1.

L'ampère est l'intensité d'un courant continu qui, parcourant deux fils maintenus à une distance constante égale à 1 m l'un de l'autre, produit entre eux une force de 2�10-7 N par mètre de longueur.

II. 3. Champ créé par une boucle circulaire (ou spire)

Soit une spire circulaire de rayon r, parcourue par un courant d'intensité I. L'axe de la spire, orienté par le sens du courant et la règle du tire bouchon, donne l'axe de vecteur unitaire

€

e z.

Un élément

€

d

l de la spire située autour du point P crée en M(0, 0, z)

le champ

€

d

B P(M) =

€

µ04 ⋅ π

�

€

d

C ∧

€

e P→M

PM2 =

€

µ04 ⋅ π

�

€

d

C ∧

€

PMPM3

avec

€

d

C = I�

€

d

l = I�r�dϑ�

€

e ϑ.

€

PM = - r�

€

e r + z�

€

e z et PM = constante pour tout point de la spire.

→

€

d

B P(M) =

€

µ0 ⋅I4 ⋅ π ⋅PM3 �r�dϑ�

€

e ϑ ∧ (- r�

€

e r + z�

€

e z) =

€

µ0 ⋅I4 ⋅ π ⋅PM3 �(r2�

€

e z + r�z�

€

e r)�dϑ.

Pour l'ensemble de la spire :

€

B (M) =

€

µ0 ⋅I4 ⋅ π ⋅PM3 �

€

0

2⋅π∫ (r2�

€

e z + r�z�

€

e r)�dϑ. Avec r et z constants

€

0

2⋅π∫ r2�

€

e z�dϑ = 2�π�r2�

€

e z et

€

0

2⋅π∫ r�z�

€

e r�dϑ =

0 par symétrie.

→

€

B (M) =

€

µ0 ⋅I4 ⋅ π ⋅PM3 �2�π�r2�

€

e z =

€

µ0 ⋅I ⋅r 2

2 ⋅PM3 � e z.

Au centre de la spire PO = r →

€

B (0) =

€

µ0 ⋅I2 ⋅r

�

€

e z. = 2�π�10-7�

€

Ir

à vérifier en TP

II. 4. Topographie du champ magnétique

• Lignes de champ : équation - visualisation

Le champ magnétique est en tout point tangent à des courbes appelées lignes de champ. Ces lignes de champ sont orientées dans le sens du champ. D'où l'équation d'une ligne de champ :

€

d

l ∧

€

B =

€

0 .

Pour les visualiser on utilise de la limaille de fer : chaque grain est un petit aimant qui aligne sur les lignes de champ.

Lorsque les lignes de champ sont parallèles le champ est uniforme.

• L'ensemble des lignes de champ s'appuyant sur une courbe fermée engendre une surface appelée tube de champ.

• Points singuliers :

Si deux lignes de champ se coupent en un point M,

€

B (M) est nul ou non défini en M et M est appelé

point de champ nul.

€

e z

P

€

d

l

O

M

€

e r

€

e P→M

α


III.Propriétés de symétrie

Sur les exemples déjà vus

III. 1. Invariance par translation et par rotation

• Fil rectiligne illimité : la distribution de courant est invariante par translation le long de

€

e z et

€

B (M) =

€

µ0 ⋅I2 ⋅ π ⋅r

�

€

e ϑ ne dépend que de r et de ϑ.

• Spire : la distribution de courant est invariante par rotation autour de

€

e z et

€

B = B(z)�

€

e z en tout point

de l'axe de la spire.

Dans ces deux cas, le champ a les mêmes propriétés d'invariance que sa source.

III. 2. Symétrie plane

Cas de la spire : elle admet son propre plan comme plan de symétrie : on observe alors que le champ créé en M'(0, 0,-z), symétrique de M(0, 0, z) par rapport au plan de la spire est égal au champ créé en M.

De façon générale, si une distribution admet une symétrie plane, le champ magnétostatique qu'elle crée en M' symétrique de M par rapport à ce plan, est l'opposé du symétrique de

€

B (M).

En un point N du plan de symétrie, cette condition ne peut être réalisée que si

€

B (N) =

€

B (N') est

perpendiculaire au plan de symétrie.

III. 3. Antisymétrie plane

Cas du fil illimité : tout plan perpendiculaire au fil est un plan d'antisymétrie :

€

d

C → -

€

d

C . Le champ créé en un point M du plan d'antisymétrie appartient à ce plan.

Dans le cas de la spire : tout plan contenant l'axe de la spire est un plan d'antisymétrie. Donc le champ créé par la spire en tout point M de l'espace appartient au plan contenant M et l'axe de la spire.

Noter la permutation des comportements par rapport au champ électrostatique. C'est une des conséquences de ce que le champ magnétostatique est un vecteur axial ou pseudo – vecteur. Le symétrique d'un trièdre direct est un trièdre non direct.

€

B (M)

M

M'

€

B (M')

€

B (N)

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