1ELECTROMAGNETISME

Licence Sciences et TechnologiesPHYSIQUE ET CHIMIE,

parcours Sciences Physiques

L1-S2ÉlectromagnétismeDominique Bolmont

2

•From the Greek “elektra” meaning amber

A - ELECTROSTATIQUE

3

A-I Les charges électriques

Les charges électriques :

Sont portées par des particules matérielles : électrons, protons pour les plus courantes

Sont indestructibles (algébriquement)

Sont de deux signes: positif (proton) et négatif (électron)

L’unité de charge électrique est le Coulomb

La plus petite quantité d’électricité est ± e, - e étant la charge de l’électron : e = 1,602 10-19 Coulomb

Toute quantité d’électricité Q est un multiple de ± e

n entier

Les quarks, éléments à partir desquels sont fabriquées les particules élémentaires, peuvent avoir des charges fractionnaires de e, mais comme ils n’existent pas à l’état isolé, ils ne peuvent intervenir dans les lois de l’électricité avec de telles charges

(quark up: q = 2/3e ; quark down:q = -1/3e)

neQ

A-I.1 Propriétés des charges électriques

Proton Neutron

4

A-I.2 Triboélectricité

Historiquement première mise en évidence de l’électrisation des corps par frottement

Matériaux donnant des charges positives :

Mains humaines, Amiante, Peau de Lapin, Verre, Mica, Papier, Cheveux humains, Nylon, Laine, Fourrure, Plomb, Soie, Aluminium…

Matériaux donnant des charges négatives :

Acier, Bois, Ambre, Cire, Caoutchouc, Nickel, Cuivre, Laiton, Argent, Or, Platine, Acétate de soufre, Rayonne, Polyester, PVC, Silicium, Téflon….

Peau de Lapin

Ébonite

Charge par contact.

Il n’y a pas de charge par influence,

contrairement à ce qui est souvent dit.

Ébonite

Métal

Isolant

5

Électrification en cas d’orageA-I.3 Phénomènes et Expériences

6

Production d’une étincelle à partir du nez d’un jeune garçon, électriquement isolé du sol et chargé par un bâton d’ébonite manœuvré par l’Abbé Nollet. Avant l’étincelle, décharge électrique, le jeune garçon peut attirer de petits morceaux de papier.

7

Électroscope

Non chargé

Chargé par contact

Apport de

charges

8

A-I.4 Machines électrostatiques

Générateur construit par

Francis Hauksbee 1719

Générateur italien de 1740

9

Générateur Van de Graaff

10

A-I.5 Distributions de charges

Il est fréquent que les quantités de charges produites sur des corps électrisés soient constituées d’un très grand nombre de charges élémentaires. Ces charges, très proches les unes des autres, peuvent être considérées comme des distributions qui, à l’échelle du laboratoire, apparaîtront comme des continuums.

Domaine volumique – 3D : densité de charges par unité de volume : Cm-

3Élément de volume δτ contenant la charge )r(q

)r(

Domaine surfacique – 2D :

densité de charges par unité de surface : Cm-2

)r(

Élément de surface δS contenant la charge S)r(q

Domaine linéique – 1D :

densité de charges par unité de longueur : Cm-1 )r(

Élément de longueur δl contenant la charge )r(q

La charge totale du domaine électrisé est la somme algébrique de toutes les charges. Pour des distributions continues il faut procéder à des intégrations

r

O

S

C

r

r

S

11

Exercices: Calculs de densités de charges électriques

Exemple 1:

Soit un proton de charge +e = 1,6 10-19 C et de diamètre d = 10-14 m

La densité volumique de charge électrique est donnée par, si la charge est uniformément répartie,

Valeur numérique 3.1023 Cm-3

Exemple 2:

Un condensateur plan (voir plus loin) de capacité C = 1μF, de distance entre les armatures de d = 0,01 mm, est chargé sous une tension V = 100 V. Nous verrons que la capacité du condensateur plan est donnée par

. On en déduit que la surface est S = 1,13 m2. La charge électrique est donnée par Q = CV = 10-4 C

Soit une densité de charges par unité de surface

Exemple 3:

Un fil de cuivre de diamètre 1 mm est non chargé. Combien contient-il d’électrons par unité de longueur? Masse volumique du cuivre = 8900 kgm-3. N° atomique du cuivre 29. Masse atomique du cuivre M=63,54 g. On en déduit une charge par unité de longueur λ = 1,9 1024 Cm-1.

32d

34

e

dS C o

24 Cm 10 0,88 Q/S

12

A-II La Force de Coulomb

C. Coulomb 1736-1806

rr

qq

4

1F

321

oqq 21

rr

qq

4

1F

321

oqq 21

Propriétés de la force de Coulomb

C’est une loi au caractère fondamental, une des quatre interactions fondamentales présentes dans la nature. Elle doit être acceptée comme telle, étant soumise à, et vérifiée par, l’expérience.

Définie entre deux charges ponctuelles (de très petites dimensions propres par rapport à la distance r qui les sépare)

A la direction de la droite qui joint les charges

Attractive si

Répulsive si

Varie en intensité comme l’inverse du carré de la distance qui les joint

Directement proportionnelle à la valeur de chacune des charges

Le facteur résulte du choix des unités

0qq 21

0qq 21

o4/1 9

o 1036

1

A-II.1 Définition

1M

2M

1q

2q21MMr

répulsive

F21 qq

attractive

F21 qq

13

A-II.2 Intensité relative des forces

1M

2M

1q

2q

21MMr

1m

2m

21 qqF

21 mmF

Force de gravitation entre les deux masses

Force de coulomb entre les deux charges

Rapport Force de Coulomb/Force de Gravitation

21 met m

21 qet q

2

21

oc

r

qq

4

1F

221

gr

mmGF

21

21

og

c

mm

qq

G4

1

F

F

G = 6,672 10-11 m3kg-1s-2

Entre proton et électron 40

g

c 10F

F

La force de Coulomb est incommensurablement supérieure à la force de gravitation (à l’échelle des particules)

0qq 21

14

A-II.3 Balance de Coulomb

-- --

r

F

F

q1

q2

15

A-II.4 Forces entre plus de deux charges

1er Principe : La force de Coulomb qui se produit entre deux charges électriques ponctuelles est indépendante de la présence de toute autre charge voisine ou pas.

2éme Principe (dit de superposition) : Si plusieurs charges électriques exercent leurs actions sur une charge donnée, la force totale sur cette dernière est la somme (vectorielle) des forces de Coulomb produites par les différentes charges prises individuellement.

1M

2M

1q

2q

31 qqF

3M 3q

32 qqF

321 qqqF

3113 MMr

3223 MMr

13313

31

oqq

rr

qq

4

1F

31

23323

32

oqq

rr

qq

4

1F

32

233

23

2133

13

1

o

3qqq

rr

qr

r

q

4

qF

321

Pour une distribution discrète de N charges

qui agissent sur la charge (q , M)

N1,i M,q ii

N

1ii3

i

i

oqq

rr

q

4

qF

i

N

1ii3

i

i

oqq

rr

q

4

qF

i

N1,i MMr ii

Pour deux charges sur une troisième

16

Exercice 1:

Soit une charge ponctuelle q placée au point M(x,y,z). Une autre charge ponctuelle q’ est placée au point M’(x’,y’,z’). Expression analytique de la force de q sur q’ dans la base

Le module de la force est donné par

Exercice 2:

Force électrique entre le proton et l’électron de l’atome d’hydrogène distants de d ~ 10 -10 m.

Valeur numérique F = 23. 10-9 N

k)z'z(j)y'y(i)x'x()z'z()y'y()x'x(

'qq4

1 'MM'MM

'qq4

1 F 3/2 222o3

o'qq

)k,j,i;O(

222o

'qq )z'z()y'y()x'x('qq

41 F

2

2

ode

41 F

17

A-II.5 Compléments

Les compléments annoncés comme tels font appel à des notions mathématiques un peu plus évoluées que le cœur du cour. Ils sont souvent utiles pour traiter de problèmes plus généraux leur assimilation peut être reportée à plus tard quand le reste du cours sera bien compris.

Charge totale du domaine 3D

d)r(Q

Charge totale du domaine 2D

S dS)r(Q

Charge totale du domaine 1D

C d)r(Q

r

O

S

C

r

r

S

Charge totale d’une distribution continue

18

Force qu’une distribution continue de charges exerce sur une charge ponctuelle q

Pour traiter de ce problème

*on décompose la distribution en charges élémentaires quasi-ponctuelles dq’

*on utilise la force de Coulomb entre les deux charges ponctuelles q et dq’

*on effectue la sommation (intégrale) sur l’ensemble de la distribution

r

O

'r

q

r

O

'r

q

'rr

dF

'dq'rr)'rr(

4qFd 3

oq'dq

'dq

'rr)'rr(Sommation

4qF 3

oq

'dq

19

r

O

S

C

r

r

S

Force d’une distribution continue sur une charge ponctuelle: les trois cas

'r

'r

'r

q

q

q

d'rr

)'rr)('r(

4

qF

3 o

q

Force de la charge totale du domaine 3D sur la charge ponctuelle q

S 3 o

qS dS'rr

)'rr)('r(

4

qF

Force de la charge totale du domaine 2D sur la charge ponctuelle q

C 3 o

qC d'rr

)'rr)('r(

4

qF

Force de la charge totale du domaine 1D sur la charge ponctuelle q

20

Exercices

Exercice 1:

Force d’un fil chargé très long, de section très petite, sur une charge ponctuelle voisine.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

a

?F

M

q

Soit un fil rectiligne très grand portant une charge par unité de longueur λ. Une charge q ponctuelle est placée à la distance a du fil. On cherche la force que le fil chargé exerce sur la charge ponctuelle.

O

Mqa

z

dq’

M’

r

θ

dz

Au point M’ du fil, à la distance z du point O, projection orthogonale de M sur le fil, on considère une charge élémentaire dq’, portée par l’élément du fil de longueur dz.

La force électrique que cette charge élémentaire dq’ crée sur la charge ponctuelle q est

En utilisant le repère

.dz 'dq

M'MM'M

'dq.q4

1 Fd 3 o

i

j

)j,i;O(

)iajz()az(dz..q

41 Fd 3/2 22

o

21

Pour trouver la force totale il faut procéder à une intégration le long du fil qui est très grand. Une bonne variable d’intégration est θ. Nous avons les correspondances

Pour obtenir la quantité dz, accroissement de la variable de position z, il faut différentier l’expression z(θ) qui donne

Avec ces différentes transformations la force élémentaire peut s’écrire

Après les simplifications d’usage

Il faut définir les bornes d’intégration. Comme le fil est très grand et que la charge q est près du fil il est possible d’intégrer de , intégration élémentaire pour un titulaire du Bac.

Remarques:

*la force est portée par le vecteur donc perpendiculaire au fil

*le module de la force est bien en m-2, bien qu’il n’y ait que a au dénominateur, la charge par unité de longueur étant exprimée en C.m-1.

a.tg z

cosa )z(a r 1/2 22

2cos

da. dz

)iajtg.a()cos

a(

cosd.a..q

41 Fd

3

2

o

d)icosjsin(a

..q4

1 Fdo

2/ 2/

ia

..q2

1 dicosa

..q4

1 d)icosjsin(a

..q4

1 Fo

2/

2/o

2/

2/o

i

22

Exercice 2:

Force exercée par une plaque plane chargée uniformément sur une charge ponctuelle.

La plaque est supposée de grandes dimensions, la charge ponctuelle q est à faible distance a de la plaque.

Un petit élément dS’ de la surface chargée est considéré au point M’ à la distance ρ du point O, projection orthogonale du point M, où se trouve la charge ponctuelle, sur le plan. Ce petit élément de surface porte la charge élémentaire

La force électrique que cette charge élémentaire dq’ crée sur la charge ponctuelle q est

Considérons la charge élémentaire dq’’ symétrique de dq’ par rapport au point O, donc placée en M’’ tel que

La force électrique que cette charge élémentaire dq’’ crée sur la charge ponctuelle q est

.dS' 'dq

M'Mr

'dq.q4

1 M'MM'M

'dq.q4

1 'Fd 3 o

3 o

O

a

q M

Charge σ Cm-2

M’

ρr

θ

dS’

i

M’’dS’’

ρ

' 'OM - 'OM

M''Mr

''dq.q4

1 M''MM''M

''dq.q4

1 ''Fd 3 o

3 o

L’ensemble des deux charges élémentaires dq’ et dq’’ crée une force totale sur la charge ponctuelle

M''M''dq M'M'dqr

.q4

1 ''Fd 'Fd 3 o

23

Si on considère que les deux petites surfaces élémentaires dS’ et dS’’ sont égales avec dS’ = dS’’ = dS, il est possible d’écrire la force précédente sous la forme

Si la plaque est supposée de très grandes dimensions, à toute surface élémentaire dS’ il sera possible de trouver la surface symétrique dS’’. Il en résulte donc que la force totale de la plaque chargée sur la charge ponctuelle est dirigée suivant , donc perpendiculaire à la plaque.

OMr

dS2..q4

1 OM O''M OM O'Mr

dS..q4

1 M''M M'Mr

dS..q4

1 ''Fd 'Fd 3 o

3 o

3 o

OM

Tous les éléments de la couronne circulaire définie par la surface élémentaire dS’ en tournant autour de O à distance constante ρ contribuent par couple à la force totale suivant l’expression ci-dessus. Il est donc possible de remplacer la quantité 2.dS par la surface totale de la couronne donnée par O

a

q M

M’

ρr

θ

dS’

i

dρ

.d2 d

iar

d.2..q4

1 Fd 3 o

En effectuant les changements de variables à l’aide de l’angle θ nous avons a.tg cos

a r 2cos

da. d

id.sin..q21 ia

cosa

cosd.a.tg.a..q

21 Fd

o3

2

o

Pour décrire l’ensemble de la plaque de grandes dimensions vue à faible distance il faut prendre en compte l’ensemble des éléments annulaires depuis le point O (θ = 0) jusqu’à une valeur qui peut être θ = π/2

24

L’intégration donne immédiatement

Remarques:

*la force est bien perpendiculaire au plan

*la force ne dépend pas de la distance au plan

*la force est bien en m-2, puisque σ est en C.m-2.

Exercice 3:

Force exercée par une sphère uniformément chargée en volume sur une charge ponctuelle q extérieure à la sphère.

i.q1 id.sin.q21 F

o

2/

0o

M

q

O

R

Charge uniforme ρ Cm-3

Avant de traiter de ce problème, cherchons la force créée par une sphère uniformément chargée en surface par σ Cm-2 sur une charge ponctuelle placée à l’extérieur .

Pour répondre à cette question, cherchons la force créée par un fil très fin, formant un cercle, et chargé uniformément par λ Cm-

1, sur une charge ponctuelle placée sur son axe. Soit Q la charge totale du fil.

25

O’

Mq

bc

M’dQ’

M’’dQ’’

d

Sur le cercle en question, deux points symétriques M’ et M’’ portant des charges égales dQ’ = dQ’’ = dQ donnent une force totale sur la charge ponctuelle q de l’axe

M''M M'MddQ.q

41 ''Fd 'Fd 3

o

M'Od

dQ2.q4

1 M'O 'O''M M'O 'O'MddQ.q

41 3

o3

o

Pour trouver la force totale il suffit de procéder à la sommation sur toutes les charges dQ du fil, les autres paramètres étant constants.

Revenons à la force créée par une sphère de rayon r chargée en surface. On découpe la surface de la sphère en fils circulaires comme ceux utilisés ci-dessus. Pour trouver la force totale créée par la surface sphérique il faut faire la somme sur tous les fils circulaires. Sur le dessin qui suit sont représentés en coupe les paramètres en question dans ce découpage.

M'Od

Q.q4

1 F 3 o

M

q

O

r

Charge uniforme σ Cm-2

d

O’

c

b

26

M

qO

r

Charge uniforme σ Cm-2

d

O’

c

b

θ

dθ

a

En utilisant la variable θ les paramètres suivants peuvent s’écrire

dS étant la surface découpée par le fil sur la sphère. La force élémentaire créée par le fil circulaire pris sur la surface est

i)r.cos - (a)2a.r.cos- r (a

.dsinr2..q

41 Fd 3/2 22

2

o

i

i)r.cos - (a ib M'O

2a.r.cos- r a d 222 r.sin c .dsinr2 c.r.d2 dS 2

27

La force est donnée par l’expression

Bien que l’expression puisse apparaître comme compliquée, le calcul de l’intégrale ne pose pas de problème si on pose comme variable d’intégration avec et

Il reste à trouver des primitives de u-1/2 et u-3/2. Après quelques calculs on trouve

Q étant la charge totale portée par la sphère sur sa surface. Ce résultat est remarquable à plus d’un titre, tout ce passe comme si la charge de la sphère était concentrée en son centre, à la distance a de la charge ponctuelle. Ce résultat est général pour les distributions à symétrie sphérique, nous reviendrons sur ce résultat par une méthode d’obtention plus directe.

Reste à calculer la force due à la sphère chargée en volume de manière uniforme. Si on décompose cette sphère comme une succession de surfaces sphériques concentriques, d’épaisseurs infinitésimales, comme un oignon, de rayons compris entre 0 et R. Chaque surface sphérique donne une contribution du type de celle qui vient d’être calculée et qui se somment toutes sans difficulté. Il vient pour la force totale de la sphère chargée en volume avec une charge que nous noterons aussi Q

Nous traiterons plus tard le cas où la charge ponctuelle est placée à l’intérieur de la sphère chargée.

0 3/2 22

o

2

i)dr.cos - (a)2a.r.cos- r (a

sin2

r.q F

2a.r.cos- r a u 22 d.2a.r.sin du

2a.rur a

cos22

ia4

Q.q F2o

ia4

Q.q F2o

28

A-II.6 Exercices à faire

N°1- Action de deux charges ponctuelles sur une troisième

OA B

q qq

M

En A et B charges q > 0 , OA = OB = a fixe

En M charge q > 0 , OM = x

1- Donner l’expression de la force F(x) de A+B sur M 2- Tracer F(x) pour toutes valeurs de x. 3- Donner une expression linéarisée de F(x) pour 0<|x|<<a

N°2- Action de quatre charges ponctuelles sur une cinquième

En A,B,C,D sur un carré, centré en O, de côtés 2a parallèles aux axes, quatre charges q > 0 , fixes.

En M, dans le même plan, charge q > 0 , M(x,y)

1- Donner l’expression de la force du carré sur M

2- Donner une expression linéarisée de pour r <<a. On cherchera à écrire k étant une constante à déterminer

rOM

O

A B

q q

qM

D C

q q

x

y

i

j )y,x(F

)r(F

rk)r(F

29

A-III Le Champ Électrique

A-III.1 Définition - Propriétés

Les notions de champ ont été introduites dans les classes du Lycée. Le plus commun est celui de champ de pesanteur créé au voisinage d’un astre.

Par analogie une charge électrique q placée en un point M’ de l’espace va créer ce que l’on appelle un champ électrique en tout autre point M de l’espace.

La valeur de ce champ électrique peut être rattachée rigoureusement à la force de Coulomb de la manière suivante.

La force de Coulomb que la charge q exerce sur q’ est

rr

'qq

4

1F

3o

'qq

Le champ électrique créé par la charge q en M est défini de la manière suivante

3o

'qq

0'qMq

r

rq

4

1'q

FlimE

E

'M

M

'q

q

'qqF

M'Mr

'M

M

q

MqE

M'Mr

30

Une telle définition du champ électrique conduit à la relation

valable pour la force exercée sur une charge ponctuelle q placée là où existe un champ électrique la source du champ n’étant pas précisée.

EqFqE

EqF

qE

E E

M

q

E qE

F

Propriétés du champ électrique

C’est une grandeur physique vectorielle, créée par des charges électriques, et attachée à un point de l’espace. On dit que le champ électrique modifie les propriétés de l’espace. Il serait plus rigoureux de dire que le champ électrique représente les modifications des propriétés de l’espace induites par les charges électriques.

Défini pour une charge ponctuelle (de très petites dimensions propres par rapport à la distance r d’observation)

A la direction de la droite qui joint la charge au point considéré

A un sens donné par le signe de q

Varie en intensité comme l’inverse du carré de la distance à la charge

Intensité directement proportionnelle à la valeur de la charge

L’unité est en : Volt/mètre ; Vm-1

M

0q

MqE

M

0q

MqE

31

Les lignes de champ

Ce sont les courbes mathématiques qui en chaque point de l’espace sont tangentes au vecteur champ électrique.

Propriétés des lignes de champ

Elles ont localement l’orientation du champ

Elles ne peuvent se croiser, condition pour que le champ soit défini univoque partout

En général elles ont le même sens sur toute leur longueur.

Si elles changent de sens cela ce produit en des points particuliers : sur des domaines chargés, ou là où le champ s’annule.

Quelques exemples de spectres

E

EE

E

32

A-III.2 Champ créé par un ensemble de charges

Distribution discrète de charges

La définition retenue plus haut nous permet de passer directement des forces entre charges au champ créé par plusieurs charges

1M

2M

1q

2q

M

Mq2

E

MMr 11

MMr 22

Mq1

E

Mqq 21

E

131

1

oMq

rr

q

4

1E

1

232

2

oMq

rr

q

4

1E

2

23

2

213

1

1

oMqq

rr

qr

r

q

4

1E

21

Pour une distribution discrète de N charges N1,i M,q ii

N

1ii3

i

i

oMq

rr

q

4

1E

i

N

1ii3

i

i

oMq

rr

q

4

1E

i

Pour deux charges

N1,i MMr ii

33

A-III.2 Flux du champ Électrique – Théorème de Gauss

Définition du flux d’un vecteur à travers une surface

Flux élémentaire

Soit un élément de surface, très petit disque, orienté par un vecteur qui lui est perpendiculaire, dans un sens choisi, et dont l’aire est donnée par la norme

Le flux élémentaire du vecteur au travers la surface est donné par

C’est une grandeur algébrique positive ou négative suivant l’orientation de par rapport à .

Flux à travers une surface finie

Pour une surface finie S, la définition du flux du champ de vecteur qui la traverse n’échappe pas à une formulation intégrale, avec laquelle il faudra se familiariser, mais que l’on se rassure, les calculs mis en œuvre à ce niveau du cours seront toujours simples, de par la haute symétrie des surfaces utilisées.

S

SE

S

SS

E

E

S

S

E

S

SE

cosSES.E

SSE

dS.E

SSE

dS.E

34

Flux élémentaire issu d’une charge ponctuelle

Soit en O une charge ponctuelle q (prise positive pour les besoins du dessin). Elle crée en M un champ . On place en M une surface élémentaire . Il est possible de calculer explicitement le flux élémentaire du champ au travers de cette surface . S

E

E

S

3o r

S.r

4

qS.E

La quantité purement géométrique

s’est vue honorée d’une attention très particulière en théorie physique, l’une des grandeurs bêtes noires des étudiants en sciences. Cette quantité sans dimension, comme celle jouée par les angles en géométrie plane, s’appelle : l’angle solide sous lequel du point O est vue la surface placée en M, tel que

3r

S.r

S

M

0q

MqE

O

S

OMr

OMr

Cône s’appuyant sur différentes surfaces élémentaires définissant le même angle solide en valeur absolue. Parmi ces différentes surfaces celle correspondant à la sphère de rayon unité centrée en O donne directement

S

S

O

'SS

"S

'''S

1r Sphère de rayon unité

35

Propriétés de l’angle solide

C’est une grandeur sans dimension

Mais qui a une unité : le stéradian

C’est une grandeur algébrique, donc positive ou négative, au même titre que le flux.

Pour estimer l’angle solide sous lequel d’un point O est vue une surface finie S il faut procéder à un calcul d’intégration.

S

S

O

S 3SOr

dS.r

Deux cas particuliers importants

Surface fermée S vue d’un point intérieur O. L’angle solide est donné par la surface de la sphère de rayon unité centrée en O, soit

Surface fermée S vue d’un point O extérieur. Pour tout angle solide élémentaire

les surfaces découpées sur S entrante et sortante donnent des angles solides égaux en module mais de signes contraires, soit au total zéro. Pour l’ensemble de la surface fermée

SO

Surface fermée

Sphère de centre O de rayon unité

Point intérieur

SO

Surface ferméeeS

sS

eS

sS

0ferméeext SO

4 ferméeSintO

36

Calculs d’angles solides

1- Angle solide sous lequel est vu un disque depuis un point de sont axe

Ma

R

O

θ

Soit un disque de rayon R de centre O vu depuis un point M de son axe, OM = a, sous un demi-angle au sommet θ.

Calculer l’angle solide Ω sous lequel le disque est vu du point M.

2- Angle solide sous lequel est vu le demi-espace

De l’exemple précédent déduire l’angle solide sous lequel est vu le demi-espace.

3- Angle solide sous laquelle est vue une plaque carrée depuis un point de son axe

MaO

2c

2c Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O, vue d’un point M de son axe à la distance a de O.

Calculer l’angle solide Ω sous laquelle la plaque est vue du point M.

En déduire l’angle solide sous lequel est vu le demi-espace.

37

Théorème de Gauss

Flux du champ électrique créé par des charges.

Nous avons vu que le flux élémentaire pouvait s’écrire grâce à l’angle solide

M

0q

MqE

O

S

OMr

o4

qS.E

Pour une surface fermée S deux cas se présentent

La charge est placée à l’intérieur de S. L’angle solide sous lequel la surface est vue est 4π. Il en résulte que le flux est

La charge est placée à l’extérieur de S. L’angle solide sous lequel la surface est vue est nul. Il en résulte que le flux est

Sq

Surface fermée

Charge intérieure

oSq

q

int

S

q

Surface fermée

Charge extérieure

0Sqext

38

Théorème de Gauss (suite)

Généralisation à une distribution quelconque de charges, discrète comme continue

Les deux cas précédemment cités nous permettent de présenter les deux volets du théorème de Gauss

Pour les charges placées à l’intérieur de S. L’angle solide sous lequel la surface est vue est 4π pour chaque charge. Il en résulte que le flux total du au champ créé par toutes les charges intérieures est

étant la charge totale intérieure à S

Pour les charges placées à l’extérieur de S. L’angle solide sous lequel la surface est vue est nul pour chaque charge. Il en résulte que le flux total dû au champ créé par toutes les charges extérieures est

o

intSQ

Q

int

0SQext

intQ

Sintiq

intNq

int1q

int2q

int3q

intjq

ext1q

ext2q

ext3q

extiq

extjq

extNq

Remarque sur l’application du Théorème de Gauss

Comme méthode pour déterminer le champ électrique, le théorème de Gauss ne s’applique qu’aux systèmes à haute symétrie : sphérique, cylindrique, plane.

39

Tubes de flux

Cette notion nous sera très utile pour l’étude des systèmes de conducteurs à l’équilibre.

Un tube de flux est une sorte de tube à section en général variable dont la surface latérale est constituée par des lignes de champ et qui ne renferme pas de charge en son intérieur.

Soit une surface de Gauss formée par les deux sections du tube de flux et et la surface latérale du tube compris entre ces deux sections.

Sans charge dans le volume ainsi défini le flux à travers cette surface de Gauss est nul. Comme le champ est tangent à la surface latérale il y induit un flux nul.

Il en résulte

Comme les normales sur les deux bases sont opposées on en déduit la conservation du flux le long du tube.

Pour toutes sections S, S’, ……

Le flux le long d’un tube de flux se conserve.

BSAS

0BSAS

BS

Sections du tube de flux

Lignes de champ

AS

E

E

Dessins en coupe

AS BS

n n

E

E

BSAS

S 'S'n

n

E

E

'SS

40

A-III.3 Compléments

a- Champ d’une distribution continue de charges

d'rr

)'rr)('r(

4

1)r(E

3 o

Le champ de la charge totale du domaine 3D est donné au point M par

S 3 o

dS'rr

)'rr)('r(

4

1)r(E

C 3 o

d'rr

)'rr)('r(

4

1)r(E

r

O

S

C

r

r

S

'r

'r

'r

M

M

M

Le champ de la charge totale du domaine 2D est donné au point M par

Le champ de la charge totale du domaine 1D est donné au point M par

Les calculs du champ électrique en un point M sont valables que le point M soit situé hors ou dans le domaine de la distribution de charges (résultat admis, il n’est pas interdit de réfléchir sur sa démonstration)

41

b- Formulation générale du théorème de Gauss

Domaine de distribution de charges

Surface de Gauss fermée limitant le

volume τ

S

d1

dS.Eo

S

c- Théorème d’Ostrogradski

S

Soit un volume τ limité par une surface S (donc fermée).

Soit un champ de vecteur défini, de même que ses dérivées en chaque point de l’espace.

On a la relation

A

dAdivdS.A

S

Nous avons utilisé l’opérateur divergence div( ) qui appliqué à un vecteur écrit en coordonnées cartésiennes

donne

k)z,y,x(Aj)z,y,x(Ai)z,y,x(A)r(A zyx

zA

y

A

xA

Adiv zyx

zA

y

A

xA

Adiv zyx

42

d- Relation locale issue du théorème de Gauss

A partir de la relation globale du théorème de Gauss

l’utilisation de la relation d’Ostrogradski donne

Comme le volume τ peut être quelconque, le passage à la limite donne une relation locale au point M entre les propriétés de divergence du champ électrique et la densité volumique de charges.

Cette dernière relation est une des quatre relations de l’électromagnétisme (voir cours L2-S2)

En particulier là où la densité de charges est nulle le champ électrique répond à la relation

d1

dS.Eo

S

d

1dEdiv

o

0

o

)M()M(Ediv

o

)M()M(Ediv

0)M(Ediv

0)M(Ediv

43

e- Relation locale issue du théorème de Gauss (suite)

Le champ électrostatique a une autre propriété que l’on peut taxer de fondamentale, puisqu’elle se retrouve sous forme réduite dans une des quatre équations de l’électromagnétisme (voir cours L2-S2). Nous en donnons ici une présentation à titre d’exercice d’analyse vectorielle. Elle ne fait pas partie du corpus de notions à acquérir dès la première année universitaire.

Soit un vecteur écrit en coordonnées cartésiennes

Considérons un nouvel opérateur vectoriel agissant sur ce vecteur noté

défini de la manière suivante

k)z,y,x(Ej)z,y,x(Ei)z,y,x(E)r(E zyx

Erot)E(lrotationne

ky

Ex

Ej

xE

zE

iz

E

yE

Erot xyzxyz

'M

M

q

MqE

M'Mr 3

oMq

r

rq

4

1E

Pour le champ créé par une charge ponctuelle

Le calcul de donne Erot

0r

rrot

4

q

r

rq

4

1rot 3

o3

o

0Erot

0Erot

Calculons la première composante à titre d’exercice

3/2 2223/2 222o

yz

zyx

yzzyx

zy4

qz

E

yE

0

zyx

yz3

zyx

zy3

4

q5/2 2225/2 222

o

44

A-III.4 Méthodes de calcul du Champ Électrique

On peut distinguer trois méthodes

Calcul direct à partir de la définition (ici à 3D)

Calcul à partir du théorème de Gauss

Calcul à partir du potentiel électrique scalaire (voir plus loin)

d'rr

)'rr)('r(

4

1)r(E

3 o

d1

dS.Eo

S

z

R

L

Plan

Cylindre

Sphère

45

A-III.5 Exercices à faire

Soit un fil rectiligne très très grand, de section négligeable, portant une charge par unité de longueur λ constante.

1- Calculer par une méthode directe le champ électrique en un point M à la distance a du fil.

2- Retrouver ce résultat en appliquant le théorème de Gauss.

N°2- Champ créé par un disque chargé

N°1- Champ créé par un fil rectiligne+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

a

?E

M

Ma

+ + + + + + + + + + + + + +

+ + + +

+ + +

+ + + +

+

R

?E

Soit un disque de rayon R portant une charge par unité de surface σ uniforme

1- Calculer par une méthode directe le champ électrique en un point M de l’axe du disque à la distance a de son centre.

2- Étudier et tracer E(a).

3- Réfléchir sur la valeur du champ au centre du disque correspondant à a = 0

46

N°4- Champ créé par une sphère chargée en volume

Soit une sphère de rayon R portant une charge uniformément répartie dans tout son volume avec une densité ρ constante.

1- Calculer par une méthode directe le champ électrique en un point M à la distance r du centre O de la sphère avec OM = r.

2- Étudier et tracer E(r) pour r variant de 0 à

3- Retrouver l’expression du champ en utilisant le théorème de Gauss.

O

RM

?E

N°3- Champ créé sur son axe par une plaque carrée uniformément chargée

MaO

2c

2c

Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O, portant une charge électrique par unité de surface.

Calculer le champ électrique créé en un point M de l’axe à la distance a = OM.

On pourra utiliser le résultat de l’exemple 3 du calcul d’angles solides proposé plus haut, en ayant avant remarqué que certaines intégrales disparaissent pour des questions de parité.

Le passage de M en O doit redonner le résultat de l’exercice précédent avec le disque chargé.