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Christian Guilié Janvier 2018

DEFINITIONS GENERALES DE L’ENERGETIQUE FORMULAIRE ET BILAN THERMIQUE

I DEFINITIONS GENERALES ET FORMULAIRE

Dans ce paragraphe nous allons rappeler les diverses notations et définitions communes aux différents cours d’énergétique : thermodynamique, moteurs, turbomachines, machines à froid, échangeurs, économies d’énergie… afin d’uniformiser les notations utilisées en TP de thermique. I-1 Travaux et puissances, chaleurs et flux. Les travaux (cycliques ou massiques) sont liés aux puissances par les relations ci-dessous, leurs qualificatifs sont identiques : nous parlerons indifféremment par exemple de puissance indiquée ou de travail indiqué massique ou cyclique. Cela nous permettra de donner les définitions sous une forme de puissance ou de travail sans alourdir le texte. Nous saurons nous adapter facilement à la forme correspondant le mieux au problème à traiter :

P=n.Nc.W=qm.w

Il en est de même pour les chaleurs et les flux :

=n.Nc.Q=qm.q

n est le nombre de cylindres de la machine, Nc est sa fréquence cyclique (en cycles /s), W (ou Q) le travail (ou la chaleur) unitaire (par cycle en J/cycle), w (ou q) le travail (ou la chaleur) massique et qm le débit massique du fluide « énergo-porteur » traversant la machine.

La fréquence cyclique est en général égale à la vitesse de rotation60

NN c (N étant

exprimé en tr/mn), sauf dans le cas du moteur 4temps où 120

NN c car pour ce moteur, un

cycle dure 2tours. On désigne par le terme « puissance effective »la puissance récupérée ou fournie à l’arbre de la machine. Elle se calcule ainsi :

30

...

NCCPeff

La puissance échangée entre le fluide et les parties mobiles de la machine sera appelée : « puissance indiquée ». On l’obtient pour les machines alternatives en planimétrant le diagramme de Watt mesuré grâce à un indicateur de Watt (voir rappels de thermo et TP de thermique) ce qui nous donne le travail indiqué Wi :

cii NnWP .. avec cyclei dVpW .

2


Pour les machines à flux continu (compresseurs ou turbines), on l’obtient par la mesure des pressions et températures en entrée et en sortie. Ces machines étant adiabatiques, en négligeant les variations d’énergie cinétique (voir rappels de thermo et cours de machines thermiques) le 1er principe en système ouvert donne :

esi hhw

Il suffit donc pour calculer iw de déterminer es hh par la mesure de p et T et les

méthodes classiques (GI, tables, diagrammes…). La puissance calorifique maximum PCM est la puissance thermique que peut fournir le carburant :

IpqmP cCM .

qmc est le débit massique de carburant et Ip le pouvoir calorifique de celui-ci (voir cours de combustion) L’équivalent unitaire ou massique de cette « puissance » sera désigné par QCM et qCM pour des raisons évidentes… I-2 Rendements et pertes énergétiques

Les processus réels de transformation de l’énergie thermique ou chimique d’un carburant en énergie mécanique ne sont jamais parfaits mais une partie de l’énergie est « dégradée », au sens du deuxième principe, en chaleur ou dissipée dans l’atmosphère, c’est ce que l’on appelle « pertes »… On distingue en général plusieurs types de pertes suivant leurs origines physiques :

- Les pertes mécaniques dues aux frottements des pièces mécaniques entre-elles ou avec le lubrifiant dans les systèmes de transmission ou de transformation de mouvement (pistons, bielles, vilebrequins, paliers, barbotage…)

- Les pertes chimiques dues à la combustion incomplète du combustible révélées par la présence d’imbrûlés dans les fumées

- Les pertes thermodynamiques inhérentes à la transformation de la chaleur en travail et dépendantes du cycle choisi

- Les pertes thermiques dues aux échanges thermiques du fluide « énergo-porteur » avec l’extérieur à travers les parois de la machine

- Les pertes « visqueuses » dues au frottement du fluide sur les parois de la machine (phénomènes de laminage dans les clapets ou soupapes, frottement sur les aubages…)

a) Pertes mécaniques

3


Sur la figure ci-dessus, je représente deux systèmes classiques de transformation de

l’énergie mécanique de « pression » en énergie mécanique de rotation : un système bielle manivelle de moteur alternatif et un aubage de turbomachine. Le sens de la transformation

représentée est celle d’un moteur. Dans ce cas effi PP et la différence des deux est égale

aux pertes mécaniques Pméc donc dans le cas d’un moteur :

effiméc PPP et i

eff

méc P

P

Pour un récepteur (compresseur volumétrique ou axial), c’est la puissance effective

qui est fournie au système de transformation « l’énergie circule en sens inverse », donc pour un récepteur:

ieffméc PPP et eff

iméc

P

P

b) Pertes chimiques Comme le montre la figure ci-dessous, dans le cas général une quantité de carburant n’a pas été entièrement consommée, elle s’est transformée en autres combustibles appelés imbrûlés : C, CO, H2, HC… (Voir cours de combustion 1ère partie et 2ème partie).

La puissance réellement dégagée par la combustion est donc réduite du fait de la puissance calorifique restant contenue dans les produits d’échappement :

IICMICMC IpqmPPPP .

qmI est le débit de l’imbrûlé I de pouvoir calorifique IpI. PI désigne les pertes par imbrûlés. Le rendement de combustion peut donc ce définir comme suit :

CM

CC P

P

c) Pertes thermodynamiques

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Pour distinguer les pertes thermodynamiques des pertes thermiques et des pertes « visqueuses », on a recours à des modèles de « cycles » thermodynamiques plus ou moins sophistiqués (exemple les cycles de Beau de Rochas, Brayton, Hirn…Voir cours de machines thermiques). On obtient avec ces modèles un travail indiqué théorique with que l’on compare au travail indiqué réel. On définit donc le rendement thermodynamique ou thermique du cycle comme suit :

q

withth

La chaleur q est la chaleur transmise au fluide. Dans le cas d’un moteur à combustion

interne, il s’agit de qc la chaleur massique de combustion donc :

qm

Pcqq c

Ce rendement est arbitraire puisse qu’il dépend du cycle choisi. Il en est donc de

même du rendement du cycle défini au paragraphe suivant qui lui est étroitement lié. Pour les machines réceptrices (MAF ou PAC), on procède de la même manière sauf

que le rendement thermodynamique doit être remplacé par l’efficacité :

ithth w

q

q est selon le cas la chaleur cédée par le fluide au condenseur (PAC) ou fournie par

celui-ci à l’évaporateur (MAF). d) Pertes thermiques et pertes visqueuses Elles sont souvent indissociables l’une de l’autre et seront simplement prises en

compte par le rendement de cycle qui compare le travail réellement fourni ou reçu au travail théorique. Pour un moteur, on écrit :

ith

icycle w

w

Pour un récepteur et pour des raisons identique à celle du §a) :

i

ithcycle w

w

Remarque : Les machines alternatives sont relativement lentes et les débits faibles.

Les pertes quantifiées par ce rendement de cycle sont donc principalement d’origine thermiques (échanges par avec parois).

Par contre, dans les turbomachines la vitesse des fluides et leurs débits sont grands.

Ils n’échangent donc que très peu de chaleur avec les parois en regard des autres puissances. Ici le frottement du fluide sur les aubages sera la source principale de dégradation de

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l’énergie. On calculera alors le rendement isentropique des éléments de ces machines. Le rendement de cycle est étroitement lié à ces rendements isentropiques.

e) Rendement et coefficients de performance globaux La notion de rendement est attachée aux machines motrices. Le rendement global

s’exprime comme le rapport du travail fourni par la machine à la chaleur qu’elle a reçu. Il y a plusieurs façons d’exprimer ce rendement selon que l’on s’attache à la chaîne complète de la transformation ou simplement à la conversion par le fluide. Par exemple, on parlera de rendement effectif d’un moteur à combustion interne sous la forme :

CM

effeff P

P

Et de rendement indiqué :

C

ii P

P

Dans le cas d’une turbine à vapeur, le rendement indiqué s’écrira :

V

ii

P

Ces rendements globaux peuvent s’écrire comme le produit des rendements partiels définis ci-dessus. Par exemple pour un moteur à combustion interne:

CimécCM

C

C

i

i

eff

CM

effeff P

P

P

P

P

P

P

P .. et cycleth

C

ith

ith

i

C

ii P

P

P

P

P

P .

Pour une turbine à vapeur, il faudrait définir un rendement de chaudière comme suit :

CM

Vch P

Alors, nous aurions :

chiméceff .. avec cyclethi . et foyerCch . …

Dans le cas des machines réceptrices, on parle de coefficients de performance :

meccycletheff

iith

itheff P

P

Pi

P

PPCOP ..

Où est la puissance de l’évaporateur ou du condenseur… f) Consommation spécifique Pour les machines à combustion interne, on défini la consommation spécifique de la

manière suivante :

6


Peff

qmcCs

Il existe une relation évidente entre Cs et eff :

IpIpqmc

qmc

PCM

qmc

Peff

qmcCs

effeffeff .

1

...

Cs est donc inversement proportionnelle au rendement effectif du moteur. On n’utilisera surtout pas cette formule qui pose un problème d’unités. En effet Cs est

exprimé en général en g/kWh ou g/cv.h et Ip est en MJ/kg ! I-3 Définitions particulières des machines alternatives a) Définitions géométriques

La cylindrée est le volume balayé par le piston durant sa course du point mort haut au point mort bas :

4

.. 2DcVc

Si n est le nombre de cylindres de la machine, la cylindrée totale est :

VcnVcn . Souvent la cylindrée donnée est la cylindrée totale, alors on ne fera pas la différence. Le volume mort ou résiduel, Vm est le volume

restant dans la chambre de combustion lorsque le piston est au point mort haut. On défini alors le taux de compression volumique comme le rapport du volume maximum Vc+Vm au volume mort Vm :

Vm

VmVc

b) Pressions moyennes Cette pression permet de comparer les performances de moteurs de technologie ou de cylindrée différente. C’est par définition la différence des pressions d’un cycle rectangulaire en diagramme de Watt de même cylindrée fournissant le même travail que le moteur étudié. On défini donc ainsi la pression moyenne indiquée :

NcnVc

Pi

Vc

Wipmi

..

Par extension, on défini la pression moyenne effective pme et la pression moyenne due aux frottements mécaniques pmf, évidemment par le §I-2a:

pmfpmepmi Les valeurs à retenir à titre de comparaison sont les suivantes :

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- Pour un moteur 2 temps : 4bars<pme<8bars - Pour un moteur 4 temps atmosphérique : 8bars<pme<12bars - Pour un moteur 4 temps turbocompressé : pme 12 à 14bars - Pour un moteur turbo compressé de compétition : barspme 16 - Formule 1 : pme 30 à 40bars Les moteurs diesels ont des pme plus faibles que les moteurs à essence d’où leur faible

intérêt dans les domaines des hautes performances comme l’aviation ou la compétition automobile. Les moteurs 2 temps quant à eux, handicapés par une pme relativement faible dues aux problèmes de remplissages, jouissent de l’avantage d’avoir 1 cycle par tour contrairement aux moteurs 4temps: à pme et cylindrée égale ils sont deux fois plus puissants.

c) rendements volumiques Cette définition est commune aux moteurs alternatifs et aux compresseurs alternatifs

de MAF ou PAC. Le débit théorique est obtenu lorsque la machine aspire par cycle le volume de sa cylindrée de fluide dans les conditions extérieures de l’admission c'est-à-dire :

ath NcVcnqm ..

Le rendement volumique appelé aussi taux de remplissage est donc :

th

réelv qm

qm

Il quantifie les fuites (au piston ou aux soupapes) mais surtout les effets néfastes de la compressibilité (délai de mise en mouvement de la colonne de gaz) et de la viscosité (pertes de charges) et dans le cas des compresseurs de la détente du gaz résiduel du volume mort (voir TD rappels de thermo). I-4 Définitions particulières utilisée dans les turbomachines a) Généralités Les caractéristiques géométriques des turbomachines (diamètre de la roue, nombre d’étages, forme et calage des aubages…) ont un impact beaucoup moins évident sur les performances de la machines. La vitesse périphérique est la grandeur la plus caractéristique des turbomachines :

60

..

2.

DNDV

Elle est souvent de l’ordre de la vitesse du son qui constitue la limite maxi comme nous le verrons en dynamique des fluides compressibles. Elles sont parfois limitées par la résistance de la roue à l’éclatement.

Les taux de compressions sont ici manométriques contrairement aux moteurs alternatifs:

Pour les compresseurs : entrée

sortiec p

p et pour les turbines :

sortie

entréed p

p

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Et l’on défini des rendements isentropiques de compression et de détente :

ic

iscc w

w et

isd

idd w

w (voir rappel de thermo)

b) Turboréacteurs Pour ces machines, on ne peut pas définir de puissance effective car il n’y a pas d’arbre de transmission mais elles produisent une poussée. Cette poussée F quantifie l’effet moteur. En mécanique des fluides, le théorème d’Euler précise que :

)( 0CCqmF sortie

Où C0 est la vitesse de vol et Csortie la vitesse de d’échappement à la tuyère. La puissance de propulsion est la puissance de cette force se déplaçant à la vitesse de

l’avion :

0.CFPp

La puissance utile fournie par le moteur pour développer cette force est la puissance

nécessaire pour augmenter la vitesse de l’air donc sa variation d’énergie cinétique :

)2

1

2

1( 2

02 CCqmPu sortie

On défini ainsi trois rendements :

- Le rendement propulsif : u

pp P

P

- Le rendement thermique : PCM

Puth

- Le rendement thermopropulsif : PCM

Pppththp .

On défini comme pour les autres moteurs une consommation spécifique :

F

qmcCs

Attention aux unités, la consommation spécifique est ici en kg/daN.h. Il est facile de

montrer que, comme pour les autres moteurs et pour une vitesse donnée, Cs est inversement proportionnelle au rendement thermopropulsif et au pouvoir calorifique :

Ip

C

Ipqmc

Cqmc

PCM

Cqmc

F

qmcCs

thpthpthp ...

.

.

. 000

9


II BILAN ENERGETIQUE II-1Cas général a) Généralités

Faire le bilan énergétique d’une installation consiste à dresser, pour un régime donné, un tableau des puissances fournies utiles et perdues. Pour cela on isole le système à étudier. Dans le cas général, ce système subit de l’extérieur des actions mécaniques, échange de la chaleur et de la matière. On obtient le schéma suivant :

Pour l’interprétation à posteriori des résultats, il est très important de définir le

système le plus précisément possible. Dans le cas où l’on a choisi d’isoler la machine complète, fluide énergo-porteur, parties mobiles et carter compris, la puissance mécanique échangée est par définition de la puissance effective (les pertes mécaniques sont contenues dans ). Dans le cas où l’on n’a isolé que le fluide, la puissance échangée entre le système et l’extérieur est de la puissance indiquée (les pertes mécaniques sont encore contenues dans Pi).

Dans tous les cas, si le régime est stationnaire, on peut écrire le premier principe en système ouvert :

)2

1()

2

1( 22

EEEESSSS gzChqmgzChqmPi

Si le système n’était pas rigoureusement en régime stationnaire, on ne pourrait plus

écrire le premier principe de la manière précédente mais son deuxième membre comporterait

alors les termes de variations d’énergie interne des différents constituants du système dt

dUqui

sont expérimentalement impossibles à chiffrer rigoureusement. Boucler le bilan consiste à vérifier l’égalité entre le premier et le second membre

après avoir estimé chacun des termes : C’est faire la preuve par 9 de nos mesures et de nos calculs.

- Les puissances sont calculées ou estimées comme nous l’avons expliqué au

paragraphe I -1. - Les flux de chaleur dans les machines à combustion interne sont ce que l’on appelle

des « pertes thermiques directes » c'est-à-dire un flux non désiré dû à des problèmes d’isolation thermique de la machine ou à la nécessité de refroidir ses pièces mécaniques. Nous donnons au paragraphe II-4 une méthode simple pour les estimer.

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Ces flux, dans les PAC ou MAF, peuvent être des puissances utiles. Il est simple, à l’instar de la puissance indiquée des machines à flux continu, de n’isoler que la partie concernée de l’installation, par exemple l’évaporateur, pour les déterminer.

- Reste le second membre. Les variations d’énergie potentielle et cinétique sont en

général faibles. Si tel n’est pas le cas, pour l’énergie cinétique en l’occurrence, on peut estimer facilement les vitesses d’entrée et de sortie par la connaissance des débits et des sections.

Pour les enthalpies, la connaissance de la nature du fluide, de sa température et de sa pression nous permet de les chiffrer soit :

- dans le cas d’un liquide (en négligeant pv 0 ) : )( 00 TTChh

- dans le cas d’un gaz idéal )( 00 TTCphh

- dans les autres cas par les tables ou les diagrammes. Dans le cas où il y a variation de la composition chimique dans la machine,

l’estimation des enthalpies peut être moins simple. Pour nous énergéticien, il s’agit de combustions et nous avons vu dans le cours de combustion 1ère partie et au paragraphe I-1 que l’on pouvait remplacer cette combustion par un apport de chaleur extérieur de puissance PC=PCM-PI, ce qui simplifie les calculs.

Si les estimations et les déterminations précédentes conduisent à l’égalité des deux

membres du premier principe (moyennant une erreur estimée) le bilan est alors bouclé. On dresse alors un tableau de présentation des résultats qui peut prendre diverses formes :

b) acquisition des mesures Démarrer l’installation et attendre que les différents paramètres (températures, débits pressions…) n’évoluent plus. On peut choisir pour cela un paramètre test dont on relève l’évolution fréquemment. Les installations thermiques sont en général très longues à stabiliser. On peut dans certains cas anticiper sur l’évolution afin d’obtenir plus rapidement le régime établi (par exemple couper le refroidissement pendant la mise en température, diminuer la puissance demandée à une chaudière …) Lorsque le régime stationnaire semble atteint, ne plus toucher aux paramètres de réglage, éviter toute perturbation autour de la machine. Attendre encore un laps de temps

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comparable à celui qui a nécessité l’obtention du régime stationnaire en contrôlant l’évolution puis effectuer chaque série de mesures rapidement.

On acquiérera au minimum trois séries de mesures à des intervalles de temps de l’ordre de . On vérifiera qu’il n’y a pas d’évolution notable entre les séries et l’on effectuera la moyenne des mesures afin de dresser le bilan avec ces moyennes.

c) méthode pour dresser le bilan. 1- Faire un schéma clair et suffisamment détaillé de l’installation 2- Isoler le système, c'est-à-dire remplacer sur le schéma les éléments extérieurs par

les actions mécaniques, les échanges de chaleur. Attention au signe. Faire de même pour les échanges de matière.

3- Ecrire le premier principe (et le principe de conservation de la masse si nécessaire).

4- Calculer ou estimer chaque terme. 5- Vérifier l’égalité et commenter. Le commentaire porte sur la justification des

hypothèses et la précision des mesures (un calcul d’erreur s’impose souvent). 6- Dresser le bilan sous forme d’un tableau. II-2 Machines sans réaction chimique Par exemple, on veut dresser le bilan d’un échangeur de chaleur eau-eau. Isolons le

système :

Les valeurs relevées sur l’échangeur en fonctionnement sont les suivantes : Te=40,2°C, Ts=30,2°C, qmc=500/h, te=14,5°C, ts=24,6°C, qmf=500l/h Les seules actions de l’extérieur sont dues au contact de l’air ambiant et de

l’échangeur. Il n’y a pas d’échange autre que cet échange de chaleur. Ecrivons le premier principe en système ouvert :

(1) )()( fefsfcecsc hhqmhhqm

L’enthalpie d’un fluide incompressible s’écrit :

)( 00 TTChh

C est chaleur spécifique de l’eau=4180J/kgK

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Estimons les pertes thermiques directes. On peut estimer la température des parois extérieures de l’échangeur, le fluide froid est en contact avec ces parois et sa température moyenne est de 19,5°C. La température ambiante était de 17°C durant l’essai.

La surface extérieure de l’échangeur est de 0,4m2 et l’on admet un coefficient d’échange de 11W/m2°C (voir §II-4a). Donc les pertes thermiques directes sont estimées à :

W11)5,2.(4,0.11

En effet la température de l’échangeur est supérieure à la température ambiante le flux

est bien négatif. Calculons le second membre, le flux perdu par le circuit chaud est de :

Whhqm cecscc 5805)(

Celui reçu par le circuit froid est de : Whhqm fefsff 5863)(

On voit que l’égalité (1) n’est pas vérifiée 5805586311 il y a une erreur de

69W. Voyons si l’on peut expliquer cela par l’instrumentation. Pour cela estimons l’erreur sur les températures à 0,1°C (thermistances en platine). Les

débitmètres indiquent 1000l/h pleine échelle et sont de classe 1 (voir §II-4b). L’erreur sur les débit est donc de 10l/h. Donc l’incertitude sur chaque flux c et f, en négligeant l’incertitude

sur capacité calorifique de l’eau C , est de %4500

10

10

2,0 .(voir équation (1) §II-4b)

Conclusion : L’erreur de 69W c'est-à-dire de 1,2% sur c ou f du bilan est justifiée en regard des

4% c'est-à-dire 230W, estimés par le calcul d’erreur. On peut aussi négliger les pertes thermiques estimées à 11W inférieures à l’erreur instrumentale.

II-3 Machines à combustion interne Les résultats suivants ont été démontrés dans le cours de combustion 1ère partie (§ III-1

2°). Nous remplaçons le système

réel par un système équivalent en substituant au carburant la chaleur de combustion qu’il dégage dans le moteur Pc. Nous pouvons ainsi écrire le premier principe comme pour un système sans réaction chimique c'est-à-dire en calculant les enthalpies sans préoccuper des enthalpies de références des différents composés (enthalpies de formation). Ainsi si l’on fait l’hypothèse que les produits de combustion ont un comportement idéal, )('' aeeace TTCphh , Cpe

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étant la chaleur spécifique des produits de combustion. Le premier principe s’écrit : )''( ace hhqmPeffPc

Le terme )''( ace hhqm représente les pertes thermiques aux fumées par chaleur

sensible. Comme nous l’avons vu au début de ce cours : ICMC PPP . PI représente les

pertes par imbrulés. Au paragraphe suivant nous rappelons comment déterminer ces pertes. L’ordre de grandeur de PI est de 4% sur PCM par % de CO. Pour des questions de pollution, nous nous apercevons que dans nos machines PI est

négligeable. En effet, les normes imposent dans les faits des teneurs en CO inférieures à 0,2% (par exemple 2g/km pour les véhicule légers à essence) et bien moins pour les chaudières. Les négliger conduit à une erreur maximum de 0,8% faible par rapport aux erreurs instrumentales.

Après avoir calculé chacun des termes (§II-4) nous pouvons représenter le bilan de

cette machine sous forme d’un organigramme. Par exemple pour un moteur alternatif:

Puissance calorifique maximum

PCM= kW 100%

Puissance combustion

Pc= kW c= %

Pertes par imbrulés

PI= kW

Puissance indiquée

Pi= kW i= %

Pertes thermiques paroi

p= kW

Pertes thermodynamiques

Ptho= kW

Puissance effective

Peff= kW eff= %

Pertes mécaniques

Pméc= kW méc= %

Pertes thermiques directes

Pthe= kW the= %

Pertes totales à l’échap.

Ptech= kW tech= %

Puissance calorifique utile

Pcu= kW

Pertes thermiques échap.

PSF= kW

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Ce schéma résume le plus clairement possible la décomposition des puissances à l’intérieur du moteur tel qu’on l’a décrit dans ce cours :

En haut l’énergie potentielle du carburant PCM est transformée au cours de la combustion partiellement en chaleur (puissance de combustion) et en pertes par imbrulés. Les pertes par imbrulés seront évacuées à l’échappement alors que la puissance de combustion est en partie perdue par les parois (évacuée par les ailettes du moteurs ou l’eau de refroidissement) et en partie transformée au cours du cycle en force sur le piston (puissance indiquée) et en pertes thermodynamiques qui seront évacuées sous forme de chaleur sensible à l’échappement. Ce qu’a reçu le piston (puissance indiquée) est en partie perdu dans le système transformateur de mouvement (pertes per frottement) et en partie transmis à l’arbre (puissance effective).

La dernière ligne de l’organigramme explicite le bilan global tel qu’on l’a écrit à la page précédente en considérant le système comme une boite noire sans se préoccuper des transformations internes de l’énergie.

Les moyens d’obtenir certaines puissances comme par exemple les pertes mécaniques ou les pertes thermiques aux parois sont en générales multiples (littérature (§II-4), bouclage du bilan) ce qui nous permet de vérifier l’exactitude de nos calculs.

II-4 Estimation des pertes et de l’incertitude sur le bilan. a) Pertes thermiques directes Nous l’avons vu plus haut : l’échange parasite entre la machine et son environnement

s’appelle « pertes thermique directes ». Pour l’estimer lorsque l’on connaît la température du capotage extérieur de la machine, on fait l’hypothèse que cet échange s’opère par convection et par rayonnement avec l’extérieur. On peut utiliser cette méthode pour les échangeurs, les chaudières et les machines à flux continu mais pas pour les moteurs alternatifs dont les déperditions sont beaucoup plus importantes et ont une nécessité vitale dans le fonctionnement (éviter le grippage).

En convection naturelle si les différences de température ne sont pas trop importantes

on peut utiliser les relations suivantes pour les surfaces verticales, les surfaces inclinées et les surfaces horizontales dont la face chaude est tournée vers le haut. Pour les surfaces horizontales dont la face chaude est tournée vers le bas, on prendra la moitié des coefficients ci-dessous :

- en régime laminaire 910.3Ra => 25,0)(555,0 RaNu

- en régime turbulent 910.3Ra => 40,0)(021,0 RaNu

Avec Pr.GrRa , k

CpPr ( 75,0Pr air ),

2

30..

Lg

Gr ,k

hLNu

h coefficient de convection naturelle, k conductivité thermique (kair =0,025W/mK) L dimension caractéristique de la surface d’échange Viscosité dynamique et la viscosité cinématique (air=14.10-6m2/s) Cp chaleur spécifique à pression constante (Cpair=1kJ/kgK) g accélération de la pesanteur

Coefficient de dilatation à pression constante =TT ctep

11

pour les gaz

parfaits. 0 différence de température entre l’air et la paroi : pTT 0

15


En prenant une dimension caractéristique de 0,5m, 80°C de température de la paroi extérieure et 20°C de température ambiante, on trouve 910.16,1Gr donc on utilise la première corrélation (régime laminaire) et on obtient 95Nu

D’où le coefficient de convection naturelle:

KW/m75,4 2CNh

On peut démonter facilement que ce coefficient est peu variable autour des conditions définies ci-dessus. En rayonnement, la paroi échange à distance avec les surfaces des solides l’entourant dont on va supposer la température égale à la température ambiante. On utilise la loi de Stephan :

)( 44pa TT

Que l’on peut écrire sous la forme :

4

4)(

11a

apa T

TTT (1)

Pour faire apparaître le terme a

pa

T

TT )( qui est, dans notre cas, petit devant 1. On

pourra ainsi linéariser en développant au premier ordre la fonction puissance

4)(

1

a

ap

T

TT.

On rappelle que )(01)1( 2 aa où )(0 2 est un terme petit du second ordre.

Au premier ordre l’équation (1) devient :

)()(4)(

4)(

411 344paRpaa

a

paa

a

apa TThTTT

T

TTT

T

TTT

Le coefficient d’échange par rayonnement est donc :

34 aR Th

est voisin de 1 en infrarouge et =5,7.10-8W/m2K4 donc finalement :

KW/m6 2Rh

Le coefficient d’échange global est donc de l’ordre de :

KW/m11 2 RCN hhh

Pour estimer les pertes thermiques directes, ou au moins avoir un ordre de grandeur, on peut utiliser ce coefficient d’échange. La précision de ce calcul est en général suffisante car ces pertes sont faibles. Pour cela on estime la surface du capotage de la machine ainsi que sa température moyenne.

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b) Incertitude

Rappelons les deux règles simples du calcul d’incertitude :

- L’erreur absolue sur une somme ou une différence est la somme des erreurs absolues de chacun des termes de la somme ou de la différence.

- L’erreur relative sur un produit ou un rapport est la somme des erreurs relatives de chacun des termes du produit ou du rapport.

1°) Le bilan thermique se présente sous la forme :

0 pertesPP UCM

Donc l’erreur sur le bilan s’exprime ainsi :

0 pertesPP UCM

P est l’erreur absolue sur chacune des puissances.

2°) Calculons l’erreur absolue sur le PCM qui se présente sous forme d’un produit :

IpqmcPCM . , donc : %AIp

Ip

qmc

qmc

P

P

CM

CM

.

qmc

qmc est connu par le manuel du constructeur du débitmètre et

Ip

Ip est

l’indétermination sur le pouvoir calorifique qui est donnée par les normes ou par le fournisseur du carburant. Finalement, on peut donc calculer l’erreur absolue sur le PCM par :

CMCM PA

P100

3°) Les pertes thermiques ou les puissances utiles sont souvent sous la forme :

).(. 12 TTCqmP

En appliquant les deux règles du calcul d’incertitude énoncées ci-dessus:

(1) 12

12

TT

TT

C

C

qm

qm

P

P

c) Estimation de l’incertitude sur les grandeurs mesurées :

Pour la grandeur G mesurée, l’erreur absolue G sur cette grandeur peut être estimée de la façon suivante:

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- Consulter la notice du constructeur de l’appareil qui indique obligatoirement la précision de son appareil (si le constructeur est honnête). - Regarder sur l’appareil, sa classe qui est le pourcentage de l’erreur pleine échelle. Par exemple : pour un débitmètre de 1000l/h pleine échelle, de classe 1 quelque soit la mesure effectuée avec ce débitmètre l’incertitude absolue de cette mesure est de 10l/h. A 200l/h

l’erreur relative est de %5200

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- Sur les appareils à lecture directe, on peut estimer l’erreur absolue par addition de l’erreur de parallaxe et du pouvoir diviseur de l’œil. - Si les mesures varient de manière aléatoire comme c’est souvent le cas sur nos machines à causes de problèmes de perturbation extérieures et d’instabilité, on doit tenir compte de l’écart type que l’on prend comme ordre de grandeur de l’erreur statistique. d) Rappel du cours de combustion : pertes aux fumées

Pertes thermiques aux fumées par chaleur sensible : La figure ci-dessous représente Cp pour les produits de combustion d’un

hydrocarbure lourd (peu différent pour l’essence, le gazoil et fuel lourd) en fonction de la température et du facteur d’air.

Cp produits comb. hydrocarbure lourd+air

1000

1100

1200

1300

1400

1500

0 5 10 15 20

T(°K)

Cp

(kJ/

kg°K

)

air pur

l=1

500 1000 1500 2000 1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

l=1,2

l=1,5

l=2

l=3

l6

Vous pouvez aussi télécharger les et Cp pour d’autres combustibles hydrocarbures

(hydrogène, méthane, butane, hydrocarbure lourd et charbon) sur le site de l’IUT.

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On peut remarquer que sur un large domaine Cp est linéaire. On montre que, dans ce

cas, le Cp moyen est égal au Cp à la température moyenne : )(TCpCp . Alors si

RF CpCp (première partie du cours III-1-2°), on peut calculer les pertes par chaleur sensible par la formule ci-dessous :

)( RFFFmth TTCpqP

Un autre moyen d’obtenir ces pertes est la formule très utilisée de Siegert. Elle donne une précision de l’ordre de 5% dans les plages correctes de CO2 et de T. Elle calcule le pourcentage des pertes thermiques par chaleur sensibles rapportées au PCI sous la forme suivante:

)(.100

%2

RFCO

TTKs

Pth

Ks= 0,47 pour le Gaz naturel, 0,6 pour les hydrocarbures moyens, 0,62 pour le fuel lourd et 0,71 pour le charbon.

PCMPth

Pth 100

% avec qmcPCIPCM

Les analyseurs électrochimiques sont aujourd’hui équipés de calculateurs qui donnent au technicien une valeur directe de ces pertes calculées à partir de la mesure du CO2 et de la connaissance du combustible (voir TPTh). Pertes par chaleur latente Dans la plupart des cas, l’eau reste sous forme vapeur dans les fumées et l’on n’a pas à tenir compte de sa chaleur latente. Le seul cas où l’on doit en tenir compte pour le bilan, c’est dans le cas des chaudières au gaz naturel à condensation. On calcule le débit d’eau condensable au maximum qmH2O à partir du calcul de l’hydrogène total VH2O

0)2(22 .. OHOHOH Vqmcqm

Où qmc est le débit du carburant en Nm3 si c’est un gaz ou en kg s’il s’agit d’un solide ou d’un liquide. (H2O)0 est la masse volumique de la vapeur d’eau dans les conditions normales :

30)2( /8036,0

4,22

18NmkgOH

Les pertes par chaleur latentes peuvent donc s’écrire :

OHcondOHLV LvqmqmP 22 )(

Où qmcond est le dédit d’eau condensée et LvH2O=2500kJ/kg

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Calculée comme ci-dessus ces pertes ne rentrent que dans le bilan sur PCS. Pour un bilan sur PCI et en cas de condensation des fumées, la grandeur qmcond LvH2O doit être considérée comme un gain sur PCM. Pertes par imbrulés Les pertes par imbrulés sont beaucoup plus simples à calculer avec la notion de volume des fumées sèches V’FS :

IIFSIIOHI IpqmcVIpXqmpvpP ')1.(. 2

On peut utiliser l’une ou l’autre des deux formules (voir cours de combustion) : qmp est le débit des fumées, vp vaut environ 0,78m3/kg et XH2O varie entre 13 et 19%, qmc est ici le débit du carburant en Nm3/s si le combustible est un gaz ou en kg/s s’il s’agit d’un solide ou d’un liquide. eVaVV FSFS ' et IpCO=12600kJ/Nm3 et IpH2=10760kJ/Nm3

On peut mesurer les teneurs I des fumées en imbrulés grâce aux analyseurs de fumées En pratique on ne mesure pas tous les imbrulés (pas l’hydrogène et très mal les CxHy) mais seulement le CO dans le meilleur des cas. On doit alors dans la plupart des cas déterminer les autres (en particulier l’hydrogène) en nous servant des diagrammes d’équilibre (à télécharger sur le site de l’IUT) ou par le calcul approximatif suivant (voir première partie du cours de combustion) :

Pour les moteurs (équilibre supposé à 1850°C) : CO /H2 =8x/y Pour les fours ou chaudières (1450°C) : CO /H2 =5x/y

II-5 Précisions sur le bilan

1°) Corrections de débitmétrie

Que l'on utilise un rotamètre ou un compteur volumétrique les variations de masse volumique du gaz avec sa composition et les conditions de pression et de température induisent des erreurs importantes sur les débits lus. On doit donc effectuer dans tous les cas une correction de masse volumique.

a) comptage

Le compteur gaz est un compteur volumique. Il nous donne donc avec précision le volume V gaz de gaz qui l'a traversé. Pour transformer cette quantité en masse, il suffit de multiplier le volume lu par la masse volumique du gaz au niveau du compteur. Pour cela, il est nécessaire de connaitre le gaz, c'est à dire sa densité d par rapport à l'air (qui est indépendante des conditions de pression et de température si l'on fait une hypothèse de gaz parfait), la pression absolue p et la température absolue T du gaz au niveau du compteur. La pression absolue est obtenue en ajoutant la pression différentielle du gaz et la pression atmosphérique lue sur le baromètre. La masse volumique dans les conditions normales est 293,1.dN kg/Nm 3, la masse

volumique du gaz au niveau du compteur est donc:

20


Tp

Tpd

.

..293,1.

0

0 kg/m 3 avec p0=1atm et T0 =0°C

Exemple:

On a calculé un débit de 2,154m3/h qui a traversé le compteur. La température était de 15°C, la pression différentielle de 19mbars, la pression atmosphérique de 720,5mmHg et la densité du gaz de 0,6. La pression absolue est donc de 720,5+19.760/1013=734,75mmHg. On en déduit la masse volumique du gaz:

Dans le conditions normales 7758,0293,1.6,0 N kg/Nm3

711,0288.760

15,273.75,734.7758,0 kg/m3

Le débit massique est égal à:

532,1154,2.711,0 gazqm kg/h

Le pouvoir calorifique du gaz est de Ip=36MJ/Nm3 donc de 4,467758,0

36 MJ/kg

Finalement PCM=3600

.10001,532.46,4=19,74kW

Autre méthode : On écrit que le débit masse se conserve. Si qvN est le débit volumique mesuré dans les conditions normales et qv le débit mesuré réellement au compteur :

qvqvNN .. et en écrivant l’équation des gaz parfaits rTp

=> qvTp

pTqvqv

NN

0

0.

et PCM=qvIp . Ip devra alors être exprimé en MJ/Nm3

Dans l’exemple précédent on trouve : 974,1154,2.288.760

273.75,734Nqv Nm3/h

Finalement PCM=3600

1000.36.974,1=19,74kW

b) Correction de masse volumique pour rotamètres, diaphragmes, venturis…

L'indication fournie par ces instruments dépend de la masse volumique du fluide et de sa viscosité. Si le nombre de Reynolds est suffisamment important pour qu'on puisse négliger l'influence de la viscosité (cas général des gaz…), pour tous les débitmètres utilisant les effets dynamiques des écoulements (rotamètres, diaphragmes, venturis…), la correction de masse volumique s'effectue ainsi (Bernoulli voir TP climatisation, tour de refroidissement, moteur…) si est la masse volumique du fluide qans les conditions d’essai et 0 dans les conditions de l’étalonnage :

lucorrigé qmqm0

ou lucorrigé qvqv

0

2°) Précisions pour le bilan des moteurs alternatifs (TOTEM et Robin)

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Je donne ci-dessous les formules que l’on trouve dans la littérature pour calculer les pertes thermiques et les pertes par frottement dans les moteurs alternatifs.

a) Pertes thermiques aux parois: Le calcul des pertes thermiques se fait comme suit :

)()( 44ppp TTATTAh

T : température des gaz dans la chambre en °K Tp : température moyenne des parois en °K (chambre, piston cylindre) : constante de Stéphan =5,67 10 -8 W/m2 °K4 A : surface de contact gaz paroi en m² h : coefficient de transfert convectif en W/m2 OK Nusselt donne: 3/12 ).)(24,11(05,1 TpCh piston

Où 60

.2 cNC piston est la vitesse moyenne du piston (c = course en m, N vitesse de

rotation en tr/min) et p la pression en bar. En supposant que la majorité des pertes a lieu pendant le demi tour correspondant à la combustion et à la détente, c'est à dire pendant le ¼ cycle, calculez les pertes thermiques en prenant pour A deux fois la surface de la calotte du piston (d2/4), Tp ~ 300°C, T ~ 1700 °C, p=25bars, =0,075 pour les moteurs à allumage commandé. Pour le moteur Robin p=35bars, =0,57 (pour les moteurs diesel, la flamme de diffusion est particulièrement rayonnante)

b) Pertes par frottement : Pour calculer les pertes par frottement pour les moteurs atmosphériques, on utilise la formule empirique suivante :

233 10.95,310.475,05,14

4pistonCNpmf

pmf est la pression moyenne effective des forces de frottement en bar, le taux de compression, N la vitesse de rotation en tr/mn, Cpiston la vitesse moyenne du piston comme calculé plus haut.

Les pertes mécaniques en sont déduites par (voir poly bilan) :

VcnNcpmfPmec ..

Pour cette dernière formule, attention de tout mettre en unité SI (W,Pa,cycles/s,m3)

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