Cours de mécanique analytique chapitre 2

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Cours de mcanique analytiqueMCANIQUE ANALYTIQUE 1. Formalisme Lagrangien 1.1. Coordonnes gnralises et rfrentiels 1.2. Principe variationnel 1.3. quation d'Euler-Lagrange 1.3.1. Thorme du calcul variationnel 1.4. Formalisme canonique 1.4.1. Transformation de Legendre 1.4.2. Hamiltonien 1.4.3. Crochets de Poisson 1.4.4. Transformations canoniques

N

ous devons la forme actuelle de la mcanique analytique appele aussi parfois

"mcanique lagrangienne" aux travaux des frres Bernoulli et particulirement d'Euler et Lagrange. C'est effectivement en 1696 que commence l'histoire de la vraie physique thorique. Au fait, l'vnement de dpart de la mcanique analytique provient de l'observation suivante (nonce au 17me sicle) : Tout systme semble voluer d'un tat un autre toujours en utilisant les moyens les plus simples et en conservant une grandeur constante entre les deux tats. Remarques: R1. Les moyens prcits peuvent tres : le chemin le plus court, le chemin le plus rapide (les trajectoires spatio-temporelles plus faibles amplitudes en gros...). R2. Selon le premier principe fondamental de la physique, la grandeur constante est choisie comme tant l'nergie. Cet nonc est appel dans le cadre de la mcanique "principe de moindre action (de Maupertuis)" ou dans le cadre de la physique gnrale "principe variationnel" ou encore parfois dans le cadre de l'optique "principe d'conomie" ou "principe de

Fermat". Dans le cadre mathmatique faisant purement abstraction des concepts physiques, nous parlons de "principe de Hamilton". Plus techniquement, il est aussi formul de la manire suivante : Un systme se meut d'une configuration une autre de telle faon que la variation de l'action (voir plus loin) entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelle infiniment voisine ayant les mmes extrmits dans l'espace et dans le temps soit nulle. Au fait, bien que cet nonc puisse paratre comme cohrent, il peut faire douter mais... nous verrons : 1. Qu'en mcanique classique, nous pouvons dmontrer la premire loi de Newton en admettant ce principe comme vrai et en y superposant le principe de conservation de l'nergie et nous pouvons expliquer le mouvement de nutation presque tout solide simple. 2. En lectromagntisme, nous retrouverons toutes les quations de Maxwell (in extenso la loi de Biot-Savart, Faraday, force de Lorentz, loi de Laplace, etc.) partir des proprits du principe de moindre action et de conservation de l'nergie. 3. En optique, nous dmontrerons que le chemin suivi par la lumire est toujours la plus courte et nous permettra donc de dmontrer le principe de Fermat la base de toute l'optique gomtrique. 4. En physique atomique, les proprits du principe de moindre action nous permettront de dterminer certaines proprits mathmatique des atomes et autres particules (les fermions et les bosons en physique quantique des champs). 5. Le principe de moindre action nous permettra galement de dmontrer que tout corps, avec ou sans masse, est dvi par un champ d'acclration et... permet donc de dterminer l'quation d'Einstein des champs qui est la base de tout le chapitre sur la relativit gnrale. 6. Ce principe s'applique galement pour obtenir des rsultats puissants en gomtrie comme nous allons le voir un peu plus loin. Ainsi, les techniques de la mcanique analytique est trs intiment lie la mathmatique pure. Il va donc sans dire par ces six petits exemples les applications phnomnales de ce principe!! Historiquement, il est intressant de savoir que c'est Pierre-Louis Moreau de Maupertuis qui a nonc le premier le principe de moindre action sous forme peu scientifique. L'intervention d'Euler et Lagrange dans ce domaine a t de mettre sous forme mathmatique ce principe et de dmontrer (tenez-vous bien...) qu'il dcoule d'une simple proprit mathmatique des optima des fonctions continues. Il va sans dire, que sachant que cela a permis de redmontrer toutes les lois de la physique en a drang plus d'un...

Ce principe a eu (et a toujours) des rpercussions inimaginables et le problme fut d'appliquer l'expression mathmatique de ce dernier tous les phnomnes physiques qui avaient dj ts dmontrs de faon exprimentale et empirique l'poque. Effectuer cette dmonstration revenait ainsi expliquer pourquoi tel phnomne ou tel loi tait ainsi plutt qu'autrement. Imaginez ! Ainsi, le premier s'attaquer au problme ft donc le Blois (Suisse) Lonhard Euler. Mais nous avons galement gard le nom de Lagrange (d'o l'appellation : "formalisme lagrangien") pour dfinir toute la mthode et le formalisme mathmatique construit autour du principe de moindre action.

FORMALISME LAGRANGIENMCANIQUE ANALYTIQUE 1. Formalisme Lagrangien 1.1. Coordonnes gnralises et rfrentiels 1.2. Principe variationnel 1.3. quation d'Euler-Lagrange 1.3.1. Thorme du calcul variationnel 1.4. Formalisme canonique 1.4.1. Transformation de Legendre 1.4.2. Hamiltonien 1.4.3. Crochets de Poisson 1.4.4. Transformations canoniques La mcanique classique peut tre formalise de diffrentes manires. La plus courante est la formulation de Newton, qui utilise la notion de force (cf. chapitre de Mcanique Classique). Elle est de loin la plus simple lorsqu'il s'agit de considrer un problme concret et c'est pourquoi c'est celle qui est enseigne. Mais pour pouvoir traiter des problmes plus complexes ou plus finement, et pour pouvoir faire des dmonstrations rigoureuses, cette formulation n'est pas la plus pratique. La mcanique analytique, initie ds le 18me sicle, regroupe ainsi diffrentes formulations trs mathmatises de la mcanique classique, notamment les mcaniques de Hamilton et de Lagrange (toutes ces formulations sont quivalentes!).

Cette formalisation est assez peu enseigne dans les petites coles car il faut bien l'avouer le formalisme lagrangien et hamiltonien (contenant donc le principe de moindre action sous forme mathmatique) fait appel un niveau d'abstraction un peu plus lev que les mthodes normales et malgr qu'il soit souvent d'une aide prcieuse dans l'laboration de thories (physique fondamentale, physique quantique, relativit gnrale, thorie quantique des champs, thorie des supercordes), il en dcoule rarement de nouvelles solutions (mais plutt une rduction et une mthode de validation utile et trs puissante). Commenons donc notre travail :

COORDONNES GNRALISES ET RFRENTIELSUn rflexe naturel conduit gnralement rfrer la position d'un point dans l'espace la seule connaissance de ses trois coordonnes cartsiennes x, y, z. Cette attitude est d'ailleurs le plus souvent justifie par la simplicit d'un grand nombre de situations rencontres dans la pratique, o il n'est pas ncessaire de rechercher de mthodes plus labores ou de passer dans d'autres systmes de coordonnes (cf. chapitre de Calcul Vectoriel). Pour reprer la position d'un mobile (ou d'un point matriel) en physique il est ncessaire dans un premier temps d'associer un repre au rfrentiel. Ainsi, un "repre" est un systme (physique concret) de reprage dans l'espace associ au rfrentiel. Les repres conventionnels en mcanique classique constituent majoritairement des bases d'espaces pr-euclidiens canoniques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) orients et o chaque point, ou vecteur de l'espace, peut-tre reprsent algbriquement par ses valeurs d'affixes (la valeur l'ordoonne (projection sur l'axe vertical) et la valeur l'abscisse (projection sur l'axe horizontal). Voici quelques exemples triviaux:

(ou plan d'Argand-Cauchy)(29.1)

Remarque: Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Gomtrie Diffrentielle, la distance entre deux points d'une trajectoire courbe en parcourant la courbe est appele "abscisse curviligne". Sinon, la distance entre deux points d'une trajectoire rectiligne est appele simplement "abscisse".

Dfinitions: D1. Un repre, assimil un rfrentiel, est dit "rfrentiel Galilen" (c'est rare que nous en fassions explicitement mention en physique par manque de rigueur) si : - Nous pouvons le considrer comme immobile pendant toute l'tude du mouvement du systme ou comme tant en translation rectiligne uniforme par rapport un autre rfrentiel lui mme immobile. Donc si on nglige le mouvement de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie, alors le rfrentiel hliocentrique peut tre considr comme galilen. Si on nglige le mouvement de rotation de la Terre autour du Soleil, alors le rfrentiel gocentrique peut tre considr comme galilen. Si on nglige le mouvement de rotation de la Terre sur elle mme, alors le rfrentiel terrestre peut-tre considr comme galilen. Dans beaucoup d'expriences de mcanique la surface de la Terre, nous constatons que le rfrentiel terrestre peut-tre considr comme galilen avec une trs bonne prcision. Heureusement qu'il y a quand mme un tas de phnomne o il faut tenir compte de la rotation de la Terre (dviation vers l'est, pendule de Foucault...etc.) - Nous pouvons le considrer comme un systme o les lois de Newton sont vrifies (cf. chapitre de Mcanique Classique) D2. Un repre, assimil un rfrentiel, est dit "barycentrique" (cf. le chapitre de Gomtrie Euclidienne) s'il a pour origine le centre de masse (cf. chapitre de Mcanique Classique) du corps tudi.

Ainsi, le "repre de Copernic" est assimil au centre de gravit (d'inertie) du systme solaire, le "repre hliocentrique" appel aussi "repre de Kepler" au centre d'inertie du Soleil. D3. Un repre, assimil un rfrentiel, est dit "rfrentiel gocentrique" lorsque nous prenons pour rfrence un systme d'axes placs au centre d'inertie de la Terre. Les axes, parallles ceux du rfrentiel de Copernic, pointent vers trois toiles fixes. Dans ce rfrentiel la Terre tourne sur elle mme en 24 [h.]. D4. Un repre, assimil un rfrentiel, est dit "rfrentiel Terrestre" lorsque nous prenons pour rfrence un systme d'axes placs au centre d'inertie de la Terre et qui un mouvement de rotation uniforme correspondant la vitesse de rotation de la Terre. Traditionnellement un des axes est dirig vers l'toile polaire. C'est le rf