Cours de mathématiques (Terminale...

Cours de Mathmatiques / La Trigonomtrie - Terminale Scientifique (S)

Par M. Mohamadou SINGAR ([email protected] | 06 46 19 68 96) Page 1 sur 10

Cours de mathmatiques (Terminale S)

II. Chapitre 00 : La trigonomtrie

1. Les angles orients

A. Les radians

DFINITION

Le radian est une unit de mesure angulaire, note rad et dfinie par :

REMARQUE

A partir de ce chapitre, tous les angles sont exprims par dfaut en radians .

ASTUCE

Les mesures remarquables suivantes sont connatre :

PROPRITS

La longueur de l' arc de cercle de rayon et d'angle est gale :

B. Le cercle trigonomtrique

Le plan est rapport un repre orthonormal ( ).

On dsigne les points et .

DFINITION

On appelle cercle trigonomtrique le cercle de centre , de rayon 1, et dont le sens positif est le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

PROPRITS

Chaque point du cercle est associ un rel de l'axe form par la tangente au cercle en .



PROPRITS

Deux rels a et b peuvent tre associs au mme point du cercle, si et seulement s'il existe un entier k tel

que : . Le rel a est alors gal au rel modulo et on note : .

PROPRITS

Le sens indirect correspond au sens ngatif .

C.

DFINITION

Soient deux vecteurs non nuls et .

On appelle angle orient ( ) l'angle form par les vecteurs et , dont la mesure est affecte du signe correspondant son sens (positive si direct, ngative si indirect).

DFINITION

Soient deux vecteurs non nuls et .

On appelle mesure principale de l'angle ( ; ) son unique mesure comprise dans l'intervalle

(d'amplitude ) :

REMARQUE

Un angle orient admet une infinit de mesures, toutes gales modulo . EXEMPLE

Soit l'angle orient

Le rel 7 2 tant suprieur , il ne s'agit pas de la mesure principale de l'angle ( ; ). Pour la dterminer,

on soustrait une premire fois la valeur :

Le rel tant aussi suprieur , on soustrait une nouvelle fois la valeur :

La mesure principale de l'angle ( ; ) est donc :



THORME

Soient trois vecteurs non nuls , et .

D'aprs la relation de Chasles pour les angles orients :

2. Le cosinus et sinus

A. Caractrisation sur le cercle trigonomtrique

THORME

Soient un rel et le point du cercle

trigonomtrique associ .

Les coordonnes de dans le repre sont :

et on a :

PROPRITS

Pour tout rel

Pour tout rel

Pour tout rel

Pour tout rel et tout entier :

Pour tout rel et tout entier :

B. Les valeurs remarquables

C. Les formules des angles associs

PROPRITS

Pour tout rel :



D.

PROPRITS

Pour tous rels et :

3. Les quations trigonomtriques

A.

THORME

Soit un rel a.

L'quation , d'inconnue , a pour

solutions relles :

c'est --dire :

B.

THORME

Soit un rel a.

L'quation , d'inconnue , a pour

solutions relles :

c'est --dire :



QUIZ

Enonc Corrig

1 Quel est le sens direct dans le cercle trigonomtrique ? Dans le cercle trigonomtrique, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

2 Quelle est la mesure en degr d'un angle de radians

? Un angle de radians fait .

3 A quelle condition deux points et ont - ils la mme

image sur le cercle trigonomtrique ? Deux points et on la mme image sur le cercle

trigonomtrique si et seulement si .

4 Quelle est la mesure principale d'un angle ? La mesure principale d'un angle est l'unique

mesure de l'angle qui appartient l'intervalle

5 D'aprs la relation de Chasles, que vaut ? D'aprs le relation de Chasles, .

6 Sur le cercle trigonomtrique, le cosinus d'un angle se lit - il en abscisses ou en ordonnes ?

Sur le cercle trigonomtrique, le cosinus d'un angle se lit en abscisses et le sinus d'un angle se lit en ordonnes.

7 A quel intervalle appartiennent et pour tout

rel ? Pour tout rel , et .

8 Pour tout rel , combien vaut ? Pour tout rel , .

9 Combien vaut ? ? ? ? et ; et .

10 Combien valent et en fonction

de et ?

et .

11 Combien valent et en

fonction de et ? et .


fonction de et ?

et .


fonction de et ?

et .

14 Vrai ou faux ?

? Faux,

15 Combien vaut ? ?

16 Combien vaut ? et

17 Quelles sont les solutions de l'quation ? ou

18 Quelles sont les solutions de l'quation ? ou



Mthode

01 :

Mthode Exemple

Description La mesure principale d'un angle est la mesure qui

appartient l'intervalle .

Dterminer la mesure principale de .

Etape 1 Chercher tel que

On cherche dterminer la mesure principale de l'angle .

On crit que l'on recherche tel que :

.

On rsout cette inquation pour obtenir un encadrement

de :

On calcule ensuite une valeur approche de et ,

et on choisit la valeur de vrifiant l'ingalit.

On cherche l'entier relatif tel que :

.

Or .

On choisit donc .

Etape 2 Dterminer la mesure principale

Pour la valeur de dtermine prcdemment, on

calcule .

La valeur trouve est la mesure principale de l'angle .

Le cherch est un entier relatif (un entier positif ou

ngatif). On doit donc trouver le seul entier qui appartient

l'intervalle considr.

La mesure principale de est donc :

a donc pour mesure principale .



02 : Dterminer le cosinus et le sinus des angles associs

Mthode Exemple

Description A partir de la valeur de et de , on sait dterminer le cosinus et le

sinus des angles associs :

.

Donner la valeur :

de et de .

Etape 1 Reconnatre l'angle associ

Si l'on cherche ou , on exprime en fonction d'un

angle dont on connait le cosinus et le sinus.

En particulier, si l'nonc ne donne pas la valeur de , on choisira

ou .

On crit ainsi

ou .

On peut aussi avoir

ou avec .

On reconnait que :

Etape 2 Rciter la formule du cours

D'aprs le cours, on sait que :

et

et

et

et

et

Or

et

.

Etape 3 Donner et/ou

On donne alors la valeur de et/ou de , qui est soit une des

valeurs de cours , soit donne dans l'nonc.

On sait que et

Etape 4 Conclure On peut alors donner la valeur du cosinus ou du sinus cherch.

On obtient donc :

et

CONSEILS

Pour dterminer la valeur du cosinus et du sinus des angles ennoncs, il faut connatre deux choses : les valeurs de cosinus et de

sinus des angles classiques ainsi que les formules du cosinus et du sinus des angles associs.



Exercices

Exercice

Enonc (Exo) Corrig Placer sur le cercle trigonomtrique les angles suivants :

Exercice

Enonc (Exo) Corrig

Soit . On sait que .

Calculer .

Exercice

Enonc Corrig Dterminer la mesure principale des angles suivants.

1

2

Exercice

Enonc (Exo) Corrig

Simplifier les expressions suivantes.

1

2

3

Exercice

Enonc (Exo) Corrig Calculer les cosinus et sinus des angles associs suivants :

1 et .

2 et .

3 et .

4 et .



Exercice

Enonc (Exo) Corrig

A l'aide des formules de duplication, montrer les galits suivantes :

1 .

2 .

Exercice

Enonc (Exo) Corrig

Rsoudre les quations trigonomtriques suivantes sur puis sur .

1

2

3

Exercice

Enonc (Exo) Corrig

Ecrire un algorithme qui calcule la mesure principale de l'angle saisi.

Exercice Angle orients et relation de Chasles dans un triangle

Enonc (Exo) Corrig

Soit le triangle tel que :

et

Soit le milieu de et le pied de la hauteur issue du sommet .

Calculer la mesures principale de chacun des angles orients suivants :

1

2

3

4

Exercice

Enonc (Exo) Corrig

En utilisant les formules d'addition ainsi que des valeurs trigonomtriques remarquables, calculer :

1

2

Exercice

Enonc (Exo) Corrig

1 Dans R.

2 .

3 .



Exercice

Enonc (Exo) Corrig

Rsoudre dans R les quations suivantes :

1

2

3

Exercice

Enonc (Exo) Corrig

Problmes

Problme

Enonc Corrig

Sachant que , dduire :

1

2

Problme

Enonc (Exo) Corrig

Indication : les coordonnes polaires de dans le repre sont dfinies par :

est le point de coordonnes polaires dans le repre .

1 Dterminer les coordonnes polaires du point , milieu du segment .

2 Dterminer les coordonnes polaires puis les coordonnes cartsiennes du

point , tel que le triangle soit rectangle isocle direct en .

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