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COURS DE MATHÉMATIQUES SEMESTRE 1 Jean-Marie De Conto Université Grenoble Alpes IUT1 – Département Mesures Physiques 1
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COURS DE MATHÉMATIQUESSEMESTRE 1
Jean-Marie De Conto
Université Grenoble Alpes
IUT1 – Département Mesures Physiques
1
Me contacter: sans hésiter• À l’IUT…
• Au laboratoire: Laboratoire de Physique Subatomique et de Cosmologie(LPSC), 53, avenue des Martyrs
• 04 76 28 40 98
• http://jmdeconto.pagesperso-orange.fr/ pour les supports de cours
• http://maths.tetras.org/ pour les TDs (Guillaume Laget)
2
Cours à l’IUT1Maths S1, mécanique S2, métrologie S3 , chaîne de mesure S4
Autres activités• Calcul, conception, construction et mise au points d’accélérateurs de
particules: théorie, simulation, calcul numérique, instrumentation,
expérimentation.
• D’autres cours hors IUT, direction de thèses, comités scientifiques…
• Chargé de mission AHN à la COMUE (INP, Sciences-Po, ENSAG, UGA)
Conseils
• Prenez des notes en cours et arrêtez moi si je vais trop vite
• Posez des questions y compris en amphi
• Demandez au prof , pas aux voisin(e)s
• Pas de rappels de cours en TD
• Venez avec le cours, et en l’ayant regardé au préalable
• Revoyez le cours et/ou le TD avant d’y assister
• Cours et TD sont obligatoires
• Sortir de cours en n’ayant guère compris n’est pas grave: c’estla répétition qui permet d’assimiler(cours+relecture+TD+questions au prof…)
• Sachez les “formules à connaître” que je vous indique
• Demandez de l’aide si besoin (“soutien” si besoin, rattrapagepour absence etc)
3
4
Résolution d’un problème grâce aux mathématiques : un
point au milieu de plusieurs autres.
• Poser correctement le problème
• Modéliser le problème et précisant les hypothèses
• Résoudre le problème
• La connaissance du comportement physique vous guide pour trouver des solution (ex: eq. Diff avec second membre)
• Rester conscient que cette solution est dépendante du modèle
• F=ma est FAUX en physique relativiste
• Chute libre = parabole vrai pour un champ de pesanteur uniforme. Ellipse en réalité
• Vitesse relative = différence des vitesses est FAUX en physique relativiste
• Vivre sur des acquis est une erreur fondamentale
Plan du cours
• Rappels: formules usuelles de dérivation, logarithmes et
exponentielle
• Fonctions et équations trigonométriques
• Nombres complexes
• introduction aux fonctions de plusieurs variables, formes
différentielles
• Intégration
• Equations différentielles
• Vecteurs, équations linéaires
• Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques
5
Fonctions d’une seule variable
Rappels
Continuité
Dérivation
Extrema
6
7
Continuité
• Une fonction peut être continue ou non, selon que sa courbe représentative l’est ou non.
• Exemples• f(x)=1/x est discontinue en 0 car
non définie.
• La courbe qui à x associe 0 pour x<0 et 1 sinon est définie partout et non continue en 0.
• Les fonctions polynômiales sont continues
• La fonction sin(x)/x est non définie en 0. On peut néanmoins la prolonger par continuité en lui donnant la valeur 1 en zéro.
8
Limite à droite
• On dit que +∞est la limite de f quand x tend vers x0 si pour tout A, on peut trouver η tel que
• A gauche c’est pareil avec x0-x<
A
0)( xxsiAxf
9
Limites finies
• Définitions générales et rigoureuses: cf cours
• Théorème : Quand la limite existe, elle est unique.
• Théorème : Quand une fonction admet une limite finie en un point ou elle est définie, elle y est continue. Si elle n’y est pas définie, on peut la définir en ce point en la prolongeant par continuité (exemple déjà donné : sin(x)/x en zéro).
0
0
)()(lim
petit assez que dès veut onl'
que fixé à Lde proche aussi )(
0
xxsiLxfLxf
xx
xf
xx
10
Limites infinies (un seul exemple)
• On dit que +∞est la limite
de f quand x tend vers x0
si pour tout A, on peut
trouver η tel que
• Voir cours
• L’infini a un signe!!!
0)( xxsiAxf
A
Quelques règles pour les limites à ±∞
• Toute puissance de x l’emporte sur le logarithme
• L’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x
• La limite à ±∞ d’une fraction rationnelle (rapport de deux
polynômes) est égale à la limite du rapport des termes de
plus haut degré
11
0
0)ln(lim
0)ln(
lim
)ln(lim
)ln(lim
0
0
n
xx
x
x
x
x
n
x
nx
x
x
0)exp(lim
)exp(lim
0)exp(lim
)exp(lim
xx
x
x
x
x
n
x
nx
x
x
Exemples
• Limites en + ∞ de
2𝑥 − 𝑒𝑥
𝑥3+2
3−𝑥4et
𝑥3+2
3+𝑥3
𝑒𝑥
𝑥3 + 1
ln(𝑥2)
𝑥3
𝑒−𝑥 ∙ cos(𝑥) et 𝑒𝑥 ∙ cos(𝑥)
cos(2𝑥 + 1)
𝑥3
12
Quelques rappels (sans démonstration)
Dérivation• Le nombre dérivé, quand il existe,
caractérise la pente d’une courbe en un point
• 𝑓′ 𝑥0 = ൗsin(𝜃)cos(𝜃) = tan(𝜃) où est
« l’angle limite »
• Une fonction n’est pas nécessairementdérivable en un point (discontinuité ou point anguleux). Ex: la valeur absolue de la fonction précédente
• Si une fonction est dérivable alors elle estcontinue (dans le domaine de dérivabilité).
• Si la dérivée s’annule et change de signe, la fonction admet un extrémum
• 𝑢 + 𝑣 ′ = 𝑢′ + 𝑣′
• 𝑎𝑢 ′ = 𝑎𝑢′ pour a constant
• 𝑢𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′
•𝑢
𝑣
′=
𝑢′𝑣−𝑢𝑣′
𝑣2
• 𝑔(𝑓(𝑥) ′ = 𝑔′(𝑓 𝑥 ) ∙ 𝑓′(𝑥)
• Notation: 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥))
13
14
Dérivation et limites• Définition : Si la limite L existe, la fonction
qui associe à x le nombre dérivé de f en x est la fonction dérivée de f par rapport à x.
• Théorème : La dérivée en un point est la pente de la courbe en ce point.
• Propriété 1: Une fonction dérivable en un point y est continue
• Propriété 2 : Une fonction impaire a pour dérivée une fonction paire et vice-versa. Preuve?
• Non dérivabilité si• Non continuité OU• Point anguleux
• Devinette. Existe-t-il• Des fonctions jamais continues• Continues mais jamais dérivables• Dérivables mais jamais continues
x
f
x
xfxxfL
xx
0
00
0lim
)()(lim
0xxdx
df
Δf
Δx
𝑓 𝑥0 + ℎ ~𝑓 𝑥0 + ℎ ∙ 𝑓′(𝑥0) quand h est petit
15
Un exemple amusant
• Pour x<=1:
• continue
• dérivable
• Pour x>1
• continue
• Pas dérivable
1
2
)sin()(
n
n
n
nxxf
Dérivées usuelles (à savoir sauf les deux dernières)
• 𝑥𝛼 → 𝛼𝑥𝛼−1
• 𝑥 = 𝑥1/2 →1
2𝑥−1/2 =
1
2 𝑥
•1
𝑥= 𝑥−1 → −𝑥−2 = −
1
𝑥2
• cos 𝑥 → −sin 𝑥
• sin(𝑥) → cos(𝑥)
• cos 𝑎𝑥 + 𝑏 → −𝑎 ∙ sin 𝑎𝑥 + 𝑏
• sin 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑎 ∙ cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
• 1 + 𝑥3 →1
2 1+𝑥3∙ 3𝑥2
• 1 + 𝑐𝑜𝑠3(𝑥) →1
2 1+𝑐𝑜𝑠3(𝑥)∙ 3𝑐𝑜𝑠2(𝑥) ∙ −sin(𝑥)
• Remarque de notation: on note également 𝑓′ 𝑥 sous la forme 𝑑𝑓
𝑑𝑥
16
17
Exemple: dériver𝑥
𝑥 + 1
cos 3𝑥 + 2
𝑠𝑖𝑛3(𝑥) et sin(𝑥3)
ln 2𝑥 − 1
ln(2𝑥)
𝑥
𝑒1/𝑥
𝑒2𝑥−3
3𝑥 + 1
18
19
Minimum – maximum - extremum
• Théorème : Pour admettre un extremum local, il est nécessaire que la dérivée s’annule. Si La dérivée s’annule et change de signe, alors on a un extremum local.
6 x5
5 x 6
6 x5
6
20
Concavité et point d’inflexion
• Si la dérivée seconde sur un intervalle est positive, alors la fonction y est dite convexe.
• Si la dérivée seconde sur un intervalle est négative, alors la fonction y est dite concave. (f concave si –f convexe)
• Si la dérivée seconde est nulle en un point et change de signe, on a un point d’inflexion.
21
Dérivation de fonctions composées
)()()(
)())(()(
xgxgfxF
xgfxgfxF
)()(11
yFxyxFF
si Fde réciproque
))((
1)(
)(
1))((1)())((
)(
1
1
11
1
yFF
yF
xFxFFxFxFF
xxFF
22
x
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑥 = 𝑦2 → 𝑦 = 𝑥
La symétrie permute x et y et inverse
les pentes
exemple
• 𝐹 𝑥 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2est croissante sur R (F’ >0)
• 𝐹 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝐹−1(𝑦)
• 𝐹′ 𝑥 =𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2= 𝐺 𝑥 = 𝐺 𝐹−1(𝑦)
• 𝐺2 𝑥 − 𝐹2 𝑥 = 1
• 𝐺2 𝑥 = 1 + 𝐹2 𝑥 = 1 + 𝑦2
• 𝐺 𝑥 = 1 + 𝑦2 = F′(𝐹−1 𝑦 ) car F’>0
⇢ 𝑭−𝟏 ′ 𝒚 =𝟏
𝟏 + 𝒚𝟐
• On note F(x)=sh(x), G(x)=ch(x) (sinus et cosinus hyperboliques)
Nota: 𝐹−1 𝑦 ≝ 𝑎𝑟𝑔𝑠ℎ 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑦 + 1 + 𝑦2
23
))((
1)(
1
1
yFF
yF
24
Théorème de Rolle
• Théorème de Rolle : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a,b]. Si f(a)=f(b) alors il existe tel que la dérivée de f en c soit nulle (f’(c)=0).
• Démonstration: Faites Belmont – Uriage – Belmont en vélo
25
Théorème des accroissements finis
• Formule des accroissements
finis : Soit f une fonction
dérivable sur [a,b]. Il existe tel
que
ab
afbfcf
)()()(
ab
afbfcf
ab
afbfxfxg
cgbac
afbg
afag
ab
afbfxaxfxg
)()()(
)()()()(
0)(],[
)()(
)()(
)()()()()(
que tel
Démonstration: Belmont Luitel OU
Belmont – Séchillienne – Luitel ??
26
Règle de l’Hopital
• Pour résoudre les indéterminations « 0/0 »
0)()()(
)(lim
agaf
xg
xf
ax quand
)(
)(lim
)()(
)()(lim
)(
)(lim
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
0
0
)(
)(lim0)()(
xg
xf
agxg
ax
ax
afxf
xg
xf
agxg
ax
ax
afxf
agxg
afxf
xg
xf
xg
xfagaf
axaxax
ax
11
coslim
sinlim
00
x
x
x
xx
2
1
2
coslim
2
sinlim
cos1lim
0020
x
x
x
x
x
xxx
Fonctions logarithmes et exponentielle
• La fonction logarithme népérien
est la fonction définie par
• Autrement dit:
• Propriété: le logarithme du
produit est égal à la somme
des logarithmes (on suppose a
et x positifs)
•𝑑
𝑑𝑥ln 𝑥 =
1
𝑥avec ln(1)=0
• ln 𝑥 = 1𝑥 𝑑𝑡
𝑡
• Soit 𝑓 𝑥 = ln(𝑎𝑥) (avec a constant)
→𝑓′ 𝑥 =1
𝑎𝑥∙ 𝑎 =
1
𝑥
→ln 𝑎𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶
→ln 𝑎 = ln 1 + 𝐶 = 𝐶
→𝐶 = ln 𝑎
→ln 𝑎𝑥 = ln 𝑎 + ln(𝑥)
27
Propriétés élémentaires
• Domaine de définition: ℝ∗+
• Fonction strictement
croissante
• lim𝑥→+∞
ln 𝑥 = +∞
• lim𝑥→0+
ln 𝑥 = −∞
• ln 1 = 0
• ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦
• ln𝑥
𝑦= ln 𝑥 − ln(𝑦)
• Il existe un nombre 𝑒 ≈2.718 tel que ln 𝑒 = 1
28
lim𝑥→+∞
ln(𝑥)
𝑥𝑛= 0
𝑛 > 0
Histoires de dérivées: dérivée logarithmique
• Quelle est la dérivée (si elle existe) de𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 ?
• Pour x>0, on a 𝑥 = 𝑥 donc 𝑔 𝑥 = ln 𝑥 donc 𝑔′ 𝑥 = 1/𝑥
• Pour x<0, on a 𝑥 = −𝑥 donc 𝑔 𝑥 = ln −𝑥
𝑔′ 𝑥 =1
−𝑥∙ −1 =
1
𝑥également
𝑑
𝑑𝑥ln 𝑥 =
1
𝑥pour tout x≠0
• De la même manière, pour toute fonction f, on a 𝑓(𝑥) = ±𝑓 𝑥
•𝑑
𝑑𝑥𝑙𝑛 𝑓(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥𝑙𝑛 ±𝑓(𝑥) =
1
±𝑓(𝑥)∙ ±𝑓′(𝑥) =
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥ln 𝑓(𝑥) =
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
29
Théorème
• Les primitives de 𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)sont 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝐶 avec C une constante
réelle quelconque
• Exemple:
න
−2
−13𝑥2𝑑𝑥
𝑥3 + 2𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥3 + 2 −2
−1 = ln 1 − ln 6 = − ln 6 = ln(1
6)
• Les primitives de 1
𝑥sont 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 avec C une constante réelle
quelconque
• Exemple: 2−−1 𝑑𝑥
𝑥= ln 1 − ln 2 = − ln 2 = ln(
1
2)
30
31
La fonction exponentielle
• Def: la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction
logarithme.
• Propriété fondamentale
• exp 1 = 𝑒 car ln 𝑒 = 1 par définition
Donc exp 𝑛 = 𝑒 ∙ 𝑒 ∙ 𝑒⋯𝑒 ∙ 𝑒 = 𝑒𝑛
• On montre que pour tout x réel on a:
• On a bien sûr: exp −𝑥 = 𝑒−𝑥 = 1/𝑒𝑥
xex )exp(
)ln()ln()ln(
)exp(
abba
eeyx yx
𝑦 = exp 𝑥 ⟺ 𝑥 = ln(𝑦)
)exp()exp())exp(ln()exp()ln()ln()ln()ln(
)ln(yxababyxabbayx
by
ax
Autres propriétés
• L’exponentielle est définie sur ℝ tout entier
• Sa courbe représentative s’obtient par
symétrie de la courbe de ln par rapport à la
diagonale
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 et
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑎𝑥 = 𝑎𝑒𝑎𝑥
32
baab
a
eeab
ae
)exp(
)ln(
En rouge: fonction exponentielle.
En vert: fonction ln
0)exp(lim
)exp(lim
0)exp(lim
)exp(lim
xx
x
x
x
x
n
x
nx
x
x
Un exemple: 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 = 3
• On pose 𝑒𝑥 = 𝑋
• 𝑋 +1
𝑋= 3 ⟹ 𝑋2 − 3𝑋 + 1 = 0 ⟹ 𝑋 =
3± 5
2
• Les deux valeurs trouvées pour X sont positives et correspondent à
𝑥1 = 𝑙𝑛3+ 5
2et 𝑥2 = 𝑙𝑛
3− 5
2
• Si X solution, 1/X aussi. Si x solution, -x aussi
• On a bien3+ 5
2∙3− 5
2=
9−5
4= 1 donc les solutions en X sont
inverses l’une de l’autre et les solutions en x opposées
• 𝑥1 = 𝑙𝑛3+ 5
2et 𝑥2 = −𝑥1
33
Equation différentielle associée à l’exponentielle
• La solution générale de l’équation différentielle
𝑓′ 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑓 𝑥 , 𝑎 ∈ ℝ
• Est
𝑓 𝑥 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑎𝑥, 𝐶 ∈ ℝ
• Où C est une constante réelle qui dépend des données du problème. En fait C=f(x=0), condition dite “initiale”
34
Logarithme de base quelconque
• Soient x et b deux nombres réels positifs et non nuls. On cherche 𝛼 tel que 𝑥 =𝑏𝛼
𝑥 = 𝑒ln(𝑥) = 𝑏𝛼 = 𝑒ln(𝑏)𝛼= 𝑒𝛼∙ln(𝑏)
⟹ ln 𝑥 = 𝛼 ∙ ln 𝑏 ⟹ 𝛼 =ln(𝑥)
ln(𝑏)
• On dit que 𝛼 est le logarithme à base b de x et on le note 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥) =ln(𝑥)
ln(𝑏)
• Exemple le plus fréquent: b=10 (logarithme décimal)
• Nombre de chiffres d’un nombre entier N?
𝐸 𝑙𝑜𝑔10(𝑁) + 1 où E désigne la partie entière
• Décibel: mesure de la puissance relativement à une puissance de référence
𝐺𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔10𝑃
𝑃𝑟𝑒𝑓• Exemple: le dBm indique la puissance relativement à Pref=1mW
35
36
Pot pourri
0
0)ln(lim
0)ln(
lim
)ln(lim
)ln(lim
0
0
n
xx
x
x
x
x
n
x
nx
x
x
0,0
)ln()ln()ln(
yx
yxxy
)ln()ln(ln yxy
x
y
x
yx
e
eyx
eeyx
)exp(
)exp(
xex )exp(
)ln(
)ln()(log
)(log
)ln(
b
xx
bx
ex
b
xb
x
)(ln)( xfxG
)(
)()(
xf
xfxG
0)exp(lim
)exp(lim
0)exp(lim
)exp(lim
xx
x
x
x
x
n
x
nx
x
x
xx
xx
1)exp(
)1ln(
baab
baba
ee
eee
)(
axCexfxafxfdx
df )()()(
37
Trigonométrie – Equations trigonométriques
• Tout se fait sur le cercle
trigonométrique (rayon 1)
• Mesure et orientation des
angles
• Formules trigo simples
• Un angle est défini modulo O
M
x
y
P
Q
180deg radiansrés
k20 ]2,0[0
ou
],[0
,,,3
,2,0,2
2
sin θ =𝑄𝑀
𝑂𝑀cos θ =
𝑃𝑀
𝑂𝑀tan θ =
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑄𝑀
𝑃𝑀
𝜃
La fonction tangente
• Domaine de définition:
ℝ\ (2𝑛 + 1)𝜋
2
• Périodique de période 𝜋
• Infinité d’asymptotes verticales
• Dérivée:
•𝑑𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑥=
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑥)= 1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)
38
39
A savoir par cœur ou à savoir retrouver
θ s i n c o s
0 0 1
6
2
1
2
3
4
2
2
2
2
3
2
3
2
1
2
1 0
?2
sin
?2
cos
?2
sin
?2
cos
?sin
?cos
?sin
?cos
?2
3sin
?2
3cos
?2
3sin
?2
3cos
40
Formules utiles
• Acheter une loupe
• Rouge: par cœur
• Vert: savoir déduire
• Orange: savoir que
cela existe et penser à
lire le formulaire
Fonctions trigonométriques réciproques
• L’équation 𝑦 = sin 𝑥 admet une solution unique dans l’intervalle [-/2, /2] notée arcsin(𝑦)
• L’équation 𝑦 = cos 𝑥 admet une solution unique dans l’intervalle [0, ] notée arc𝑜 𝑠 𝑦 .
• L’équation 𝑦 = tan(𝑥) admet une solution unique dans l’intervalle ]-/2, /2[ notée arc𝑡𝑎𝑛(𝑦).
• Nous avons ainsi défini trois fonctions• Arcsin : défini de [-1 1] sur [-/2, /2]
• Arccos défini de [-1 1] sur [0, ]
• Arctan défini de ]-∞ +∞ [ sur ]-/2, /2[
41
Propriétés
42
2/arcsinarccos
1)tan(arccos
1)tan(arcsin
)sin(arccos1)cos(arcsin
2
2
2
xx
x
xx
x
xx
xxx
2
2
2
1
1arctan
1
1arcsin
1
1arccos
xx
dx
d
xx
dx
d
xx
dx
d
• En rouge: fonction arcsin
• En vert: fonction arccos
43
Détermination de l’angle à partir de son sinus ET de son cosinus
• Dans ce cas, l’angle est unique(à 2 près)
• Une seule une valeur est solution. Laquelle ?
• La fonction arctan a ses valeurs dans le demi-cercle trigonométrique de droite ]-/2, /2[, correspondant aux cosinus positifs.
bx
ax
cos
sin
)/arctan(
)/arctan(
/)tan(
bax
OU
bax
bax
)/arctan(/)tan(0)cos( baxbaxxb
)/arctan(/)tan(0)cos( baxbaxxb
Attention: dans certains domaines, le cas +𝜋n’arrive jamais (en électricité, par exemple, une
résistance est toujours positive) mais ce n’est pas une généralité!
44
Equations angulaires
n
• Un exemple simple
• Une solution fausse
• La solution juste
• Il y a en fait (ici) 5 solutions
• Nota:
• Cas général: n solutions
??????102
5
nk
n
kn
2
2
102
105
10
10
5
8
10,
5
6
10,
5
4
10,
5
2
10,
10
5
2
10
22
5
k
k
45
Equations trigonométriques de base
il suffit de lire sur le cercle pour ne rien oublier.
nkyArc
nnx
oun
kyArcn
x
kyArcnx
ou
kyArcnx
ynx
nkyArc
nx
oun
kyArcn
x
kyArcnx
ou
kyArcnx
ynx
kyArcx
ou
kyArcx
yx
kyArcx
ou
kyArcx
yx
2)sin(1
2)sin(1
2)sin(
2)sin(
sin
2)cos(1
2)cos(1
2)cos(
2)cos(
cos
2)sin(
2)sin(
sin
2)cos(
2)cos(
cos
46
Equations trigonométriques générales
• Objectif: écrire
• Problème: a et b ne sont
pas forcément des sinus
ou cosinus
CxBxA
ba
cx
ba
bx
ba
a
sincos
sincos222222 1
2
22
2
22
22
ba
b
ba
aBA
yba
asin
22
y
ba
bcos
22
Cyxxyxy )sin(sincoscossin
cxbxa sincos
kzyx
kzyxzyx
ou
kzyx
kzyxzyx
2
2)sin()sin(
2
2)cos()cos(
yba
acos
22
y
ba
bsin
22
Cyxxyxy )cos(sinsincoscos
A et B définissent un seul angle y dont ils
sont le sinus ET le cosinus
1C
0 si )/arctan(
0 si )/arctan(
bbay
bbay
0 si )/arctan(
0 si )/arctan(
aaby
aaby
47
Procédure
• On écrit sous la forme qui nous arrange
• On s’assure qu’il y a des solutions
• On déduit y (unique) de ses sinus et cosinus A et B (pas de 2k) (je recommande arctan)
• On passe aux angles en faisant apparaître le 2k
• On résoud
• Cas où l’équation est en x: deux familles de solutions (deux points sur le cercle)
• Cas où l’équation est en nx: 2n familles de solutions (2n points sur le cercle) et du 2k/n
48
• Equation normalisée:
• Je décide de travailler avec
le sinus
222 52534
2)3sin(3)3cos(4
5
2)3sin(
5
3)3cos(
5
4
5
2)3sin()3sin()cos()3cos()sin(
5
3)cos(
5
4)sin(
Vérif: il y a des solutions
3
2)5/2arcsin(
3
13
2)5/2arcsin(
3
1
2)5/2arcsin(3
2)5/2arcsin(3
k
k
k
k
3/4arctan Car cos>0)
Pas de valeurs décimales!!!
La somme de deux fonctions sinusoïdales de même
fréquence est une fonction sinusoïdale de même fréquence
49
•
•
50
Nombres complexes
• Rotations dans le plan: la rotation d’un vecteur quelconque estdéterminée par la rotation des vecteurs de base (système rigide)
ℛ𝜃 Ԧ𝑖 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑗ℛ𝜃 Ԧ𝑗 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗
ℛ𝜃 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 = 𝑥 ∙ ℛ𝜃 Ԧ𝑖 + 𝑦 ∙ ℛ𝜃 Ԧ𝑗ℛ𝜃 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗= 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗
• Similitude : Rotation et homothétie 𝑆𝜌,𝜃 Ԧ𝑋 = 𝜌 ∙ ℛ𝜃Ԧ𝑋 =
𝑥 ∙ 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦 ∙ 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑥 ∙ 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦 ∙ 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗
• Le vecteur𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃
≡𝑎𝑏
caractérise la similitude
𝑆𝜌,𝜃:𝑥𝑦 ↦
𝑥𝑦 ⨂
𝑎𝑏
=𝑎𝑏⨂
𝑥𝑦
51
Nombres complexes
• Au point M de coordonnées (x,y) on associe le nombre
complexe 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. M est appelé affixe de z
• La multiplication par “i” correspond à une rotation de 𝜋/2 (cf
transparent précédent)
• On a ainsi défini une opération de multiplication
• 𝑥 + 𝑖𝑦 ∙ 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑥𝑎 − 𝑦𝑏 + 𝑖(𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)
• En particulier 𝑖2 = −1, ce qui signifie simplement que deux
quarts de tours de 90 degrés donnent un demi-tour
• On définit une addition: 𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑥 + 𝑎 + 𝑖(𝑦 + 𝑏)
• On a étendu au plan la notion de produit
• La multiplication par un nombre complexe est une rotation
combinée à une homothétie
52
Définitions et propriétés
• Soit 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
• 𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧 est la partie réelle
• 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧) est la partie imaginaire
• 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2est le module de z
• 𝜃 est son argument
• 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝐼𝑚(𝑧)
𝑅𝑒(𝑧)→
ቐ𝜃 = arctan
𝐼𝑚 𝑧
𝑅𝑒 𝑧𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧 > 0
𝜃 = arctan𝐼𝑚 𝑧
𝑅𝑒 𝑧+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧 < 0
• arg −𝑧 = arg 𝑧 + 𝜋
• arg 𝑖 =𝜋
2et 𝑖 = 1
• arg −𝑖 = −𝜋
2et 𝑖 = 1
53
z
x
y
O
ҧ𝑧
Le point symétrique à l’affixe
de z, par rapport à l’axe
horizontal, définit le conjugué
de z
ҧ𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦
Propriétés
Module
• 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
• 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧1 ∙ 𝑧2• 𝑧1 +𝑧2 ≠ 𝑧1 + 𝑧2
• 𝑧 ∙ ҧ𝑧 = 𝑧 2
•1
𝑧=
ҧ𝑧
𝑧 2
• Remarque: 1
𝑖= − 𝑖
Argument
• Si 𝛼𝜖ℝ+, arg 𝛼 = 0
• Si 𝛼𝜖ℝ−, arg 𝛼 = 𝜋
• arg ҧ𝑧 = −arg(𝑧)
• Multiplier par 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃correspond à une rotation d’angle 𝜃
• Multiplier par 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃1 ∙𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃2 correspond donc à
une rotation d’angle 𝜃1 + 𝜃2
• Si 𝛼𝜖ℝ+, arg 𝛼𝑧 = arg(𝑧)
• arg 𝑧1 ∙ 𝑧2 = arg 𝑧1 + arg 𝑧2• arg 𝑧1/𝑧2 = arg 𝑧1 − arg 𝑧2
54
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑧 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 est la forme trigonométrique de z
Exemple: 𝑧 =1+𝑖 3
1+𝑖 3
• 1 + 𝑖 = 2 et arg 1 + 𝑖 =𝜋
4
• 1 + 𝑖 3 = 2 et arg 1 + 𝑖 3 =𝜋
3
• 𝑧 =1+𝑖 3
1+𝑖 3= 2
• arg 𝑧 = 3 ∙𝜋
4−
𝜋
3=
5𝜋
12
• Par ailleurs: 1+𝑖 3
1+𝑖 3=
1+𝑖 3
1+𝑖 3=
(−2+2𝑖)(1−𝑖 3)
4=
1
2ൣ൫−1 +
55
→ 𝒛 = 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟓𝝅
𝟏𝟐+ 𝒊𝒔𝒊𝒏
𝟓𝝅
𝟏𝟐
Formule de Moivre
• Soit 𝑧 = 𝜌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 avec 𝜌 = 𝑧 et 𝜃 = arg 𝑧
• En vertu de ce qui précède
𝑧𝑛 = 𝜌𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛 = 𝜌𝑛 ∙ cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃)
• En particulier, on a la formule de Moivre
𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃)
• Corollaire:
cos 𝑛𝜃 = 𝑅𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛
sin 𝑛𝜃 = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛
56
57
Module et argument de zn
• L’application directe de la formule de Moivre donne
immédiatement les deux relations :
• Exemple
)arg(arg znz
zz
n
nn
2424231 i
Application: expression de
cos 3𝜃 𝑒𝑡 𝑑𝑒 sin 3𝜃 𝑒𝑛𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃
• On développe 𝑎 + 𝑏 𝑛 à l’aide
du triangle de Pascal.
Avec 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑏 = 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 et n=3
𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
58
cos 3𝜃 + 𝑖 ∙ sin 3𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 ∙ sin 𝜃 3
cos 3𝜃 + 𝑖 ∙ sin 3𝜃 = 𝑐𝑜𝑠3 𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝜃 ∙ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛3(𝜃)
൝𝐜𝐨𝐬 𝟑𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 − 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝜽) = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝒔𝒊𝒏𝟑(𝜽)
59
La fonction exponentielle complexe
• On montre que
• On a alors
!5!4!321)exp(
!5!3sin
!6!421cos
5432
53
642
!5!4!32
1)exp(5432
iiii
)sin()cos( iei
La fonction exponentielle complexe peut donc être vue comme l’extension à tous
le plan complexe de la fonction exponentielle, compte tenu de ses relations avec
les fonctions trigonométriques circulaires.
60
• Module
• Tout nombre complexe z de
module et d’argument θ
peut s’écrire sous la forme
• Autre version de la formule
de Moivre
1ie
iez
innn ez
)sin()cos()exp( iei i
)sin()cos(sincos nini nn
1ie
i
i
i
ez
ez
ez 11
Formules d’Euler
𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑒−𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
⟹𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
2
𝑠𝑖𝑛𝜃 =𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
Application: linéarisation (réduction d’une puissance de sinus ou cosinus à une somme de sinus et cosinus)
Exemple: calculer une primitive de 𝑐𝑜𝑠3𝜃
61
Linéarisation de 𝑐𝑜𝑠3𝜃
• On développe 𝑎 + 𝑏 𝑛 à l’aide du
triangle de Pascal.
Avec 𝑎 = 𝑒𝑖𝜃 , 𝑏 = 𝑒−𝑖𝜃et n=3
𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
62
𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
2
𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1
8∙ 𝑒3𝑖𝜃 + 3𝑒2𝑖𝜃𝑒−𝑖𝜃 + 3𝑒𝑖𝜃𝑒−2𝑖𝜃 + 𝑒−3𝑖𝜃
𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1
8∙ 𝑒3𝑖𝜃 + 3𝑒𝑖𝜃 + 3𝑒−𝑖𝜃 + 𝑒−3𝑖𝜃
𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1
8∙ 2 cos 3𝜃 + 6𝑐𝑜𝑠𝜃 =
cos 3𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃
4
63
Remarque: racines nièmes de l’unité
• Racines carrées
• Racines cubiques
• Racines huitièmes
=1
Pour tout n entier, les n nombres
𝑧𝑘 = 𝑒𝑥𝑝𝑖2𝑘𝜋
𝑛(𝑘 = 0. . 𝑛 − 1)
Vérifient 𝑧𝑘𝑛 = 1
On les appelle racines nièmes de l’unité
Un exemple: 𝑧3 = 1
• Dans ℝ il y a une seule solution z=1
• Dans ℂ il y a 3 solutions.
1, exp 𝑖2𝜋
3, exp 𝑖
4𝜋
3= exp −𝑖
2𝜋
3
1,1
2−1 + 𝑖 3 ,
1
2−1 − 𝑖 3
Donc:
𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 𝑥 −1
2−1 + 𝑖 3 𝑥 −
1
2−1 − 𝑖 3
𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1
64
Equation du second degré à coefficients réels
Résoudre 𝑃 𝑧 = 𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 (avec a, b et c réels)
Soit ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (discriminant)
• Si ∆= 0 alors il y a une solution unique 𝑧0 = −𝑏
2𝑎
𝑃 𝑧 = 𝑎 ∙ 𝑧 − 𝑧02
• Si ∆> 0 alors il y a deux solutions réelles 𝑧1,2 =−𝑏± ∆
2𝑎
• Si ∆< 0 alors il y a deux solutions conjuguées 𝑧1,2 =−𝑏±𝑖∙ ∆
2𝑎
Dans les cas ∆≠ 0 : 𝑃 𝑧 = 𝑎 ∙ 𝑧 − 𝑧1 ∙ 𝑧 − 𝑧2
65
66
Vous avez dit géométrie???
• Circuits électriques en régime sinusoïdal (transformée de Fourier)
• Systèmes en régime quelconque (transformée de Laplace)
• Problèmes harmoniques (électrostatique, magnétostatique, hydrodynamique 2D)
• Calculs d’intégrales (méthode des résidus)
• Théorie des nombres (premiers en autres)
• Modélisation des systèmes dynamiques et fractals
Impedance complexe (régime établi)
• On applique une tension
sinusoïdale aux bornes d’un circuit
RLC. Quel est le courant qui
traverse le circuit?
• Le courant est sinusoïdal de même
fréquence mais éventuellement
déphasé
• On écrit la tension totale
• On considère la tension complexe
et le courant complexe
• On définit l’impédance complexe
(connue) notée 𝑍 (connue)
𝒁 = 𝑹 +𝟏
𝒋𝑪𝝎+ 𝒋𝑳𝝎
• On déduit le courant crête et son
déphasage
67
Ug
𝑈𝑔 = 𝑈0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡
𝐼 = 𝐼0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑈0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 = RI +1
𝐶න 𝐼𝑑𝑡 + 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
𝑈 = 𝑈0 ∙ 𝑒𝑗𝜔𝑡
𝐼 = 𝐼0 ∙ 𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝜑
𝑈0 ∙ 𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝑅 +
1
𝑗𝐶𝜔+ 𝑗𝐿𝜔 ∙ 𝐼0 ∙ 𝑒
𝑗 𝜔𝑡+𝜑
𝑈0 = 𝑅 +1
𝑗𝐶𝜔+ 𝑗𝐿𝜔 ∙ 𝐼0 ∙ 𝑒
𝑗𝜑 = 𝑍 ∙ 𝐼0∙ 𝑒𝑗𝜑
𝜑 = −arg 𝑍
𝐼0 = ൘𝑈0
𝑍
Ici 𝑗2 = −1
68
Racines carrées - Compléments
• Un nombre complexe
• Admet deux racines carrées
• Preuve: il y a deux racines uniquement, et celles-ci
conviennent!
• La notation n’a de sens que pour X réel positif ou
nul
• Pourquoi? On peut définir sans ambiguité ,
pour X réel. C’est LE réel positif dont le carré est X (relation
d’ordre dans R)
Il n’est pas possible d’ordonner les complexes, donc d’en
privilégier un!
iez
2/
2,1
iez
X
X
69
Pourquoi pas ?
Nous décidons que
On a =1 et =-/2 donc
Mais on a tout autant =3/2 donc
Or
i
2/ iei
4/iei
4/3iei
4/34/ ii ee
La décision « démocratique, unanime et consensuelle » ci-dessus
conduit à une incohérence
Une autre
• Un nombre réel n’admet pas forcément de racine carrée réelle
• Tout nombre complexe admet deux racines carrées complexes.
Mais cela n’autorise pas à faire n’importe quoi.
• 1 = 1 = −1 ∙ −1 = −1 ∙ −1 = 𝑖 ∙ 𝑖 = −1
• Théorème très personnel: si z (complexe) n’est pas un réel
positif ou nul, alors 𝑧 = 0, où “0” est la note que je vous mets.
• Dit autrement: ne pas utiliser le symbole pour autre chose
qu’un nombre réel positif ou nul
70
71
Polynômes dans R et C
• Monôme de degré n (x et a réels ou complexes)
• Polynôme: somme de monômes
• Degré du polynôme: celui du monôme de degré le plus élevé
• Les monômes doivent être rangés dans l’ordre des puissances (croissantes ou décroissantes)
n
i
ii
nn xaxaxaxaaxP
0
2210)(
nax
72
Quatre résultats très élémentaires
• Théorème «évident»: Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.
• Théorème «moins évident»: Si deux fonctions polynomiales sont égales en tout point, alors les coefficients des deux polynômes sont égaux.
• Corollaire : Un polynôme est identiquement nul si et seulement si ses coefficients sont tous nuls.
• Théorème :
• Les coefficients de la somme de deux polynômes sont obtenus en faisant la somme des coefficients de chaque polynôme.
• Le degré de la somme est le degré du polynôme de degré maximum.
),max(
000
)()()(
nm
i
iii
m
i
ii
n
i
ii xqpxqxpxQxP
73
Produit de deux polynômes
• Théorème : Le produit de deux polynômes est un polynôme de degré égal à la somme des degrés des deux polynômes. On obtient le produit par développement.
• La notation « somme » est très commode
• Calcul à la main
• Programmation
ji
jiji
m
j
jiji
n
i
m
i
ii
n
i
ii xqpxqpxqxpxQxP
,0000
)()(
74
Division de deux polynômes
selon les puissances décroissantes
• Division Soient P1(x) et P2(x) deux polynômes quelconques, P2 étant supposé non identiquement nul.
• Théorème : il existe deux polynômes uniques Q et R, tels que
• Procédure : Ecrire les polynômes de gauche à droite selon les puissances décroissantes et procéder à une division classique.
• Exemple : diviser x5+3x3-3x-2 par x3+x+1.
• Réponse : Q(x)=x2+2 et
• R(x)=-x2-5x-4
)deg()deg(
:
:
)()()()(
2
21
PR
resteR
quotientQ
xRxQxPxP
)(
)()(
)(
)(
22
1
xP
xRxQ
xP
xP
Sert au calcul de primitives…entre autres
75
Un exemple:
• Une primitive de :
• est
1
122
2
x
xx
Cxx )1ln( 2
76
Division selon les puissances croissantes
• On se fixe r entier >0
• Théorème : il existe deux polynômes uniques S et T, appelés également quotient et reste, tels que Procédure : Ecrire les polynômes de gauche à droite selon les puissances croissantes et procéder à une division classique.
• Exemple : diviser 2+x2 par 1-x+3x2 en s’arrêtant à l’ordre r=2.
• Réponse :
• S(x)=2+2x-3x2
• x3T(x)=-9x3+9x3 = x3(-9+9x)
rS
restexTx
quotientS
xTxxSxPxP
r
r
)deg(
:)(
:
)()()()(
)1(
)1(21
petit assezx pour )(
)(
)()(
)(
)( )1(
22
1
xS
xxP
xTxS
xP
xP r
Sert aux approximations
77
Remarque
• Allure à l’infini des polynômes réels.
• Théorème : Un polynôme de variable réelle et à coefficients réels
se comporte à l’infini comme son monôme de plus haut degré.
• Preuve : on met le terme de plus haut degré en facteur.
6
652
646 44
123
4
2
4
914123294 x
xxxxxxx
Propriétés générales des polynômes réels
• Tout polynôme réel est défini sur ℝ tout entier
• Il y est dérivable donc continu
• Les limites à ±∞ sont celles du terme de plus haut degré
• Conséquences: les limites à ±∞ d’une fraction rationnelle (rapport de
deux polynômes) sont celles du rapport des termes de plus haut
degré
lim𝑥→+∞
3𝑥2 + 𝑥 + 1
4𝑥2 + 2= lim
𝑥→+∞
3𝑥2
4𝑥2=3
4
lim𝑥→+∞
3𝑥2 + 𝑥 + 1
4𝑥3 + 2= lim
𝑥→+∞
3𝑥2
4𝑥3= 0
lim𝑥→−∞
3𝑥3 + 𝑥 + 1
4𝑥2 + 2= lim
𝑥→−∞
3𝑥3
4𝑥2= lim
𝑥→−∞
3𝑥
4= −∞
78
Zéros de polynômes
• Soit un polynôme P(z), de variable complexe et à coefficients
complexes.
• Définition: on appelle “zéro” ou “” racine” de P tout nombre
complexe z0 vérifiant
• 𝑃 𝑧0 = 0
• Théorème: Si P est un polynôme de degré n, alors𝑃 𝑧0 = 0 ⟺𝑃 𝑧 = 𝑧 − 𝑧0 ∙ 𝑄(𝑧) où Q est un polynôme de degré (n-1).
• Ceci permet de factoriser un polynôme
• Exemple: 𝑃 𝑋 = 𝑋3 + 𝑋2 − 5𝑋 − 2 vérifie 𝑃 2 = 0
• On procède par division. Le reste doit être NUL
• Théorème de Dalembert (forme simplifiée) : tout polynôme admet
des zéros dans ℂ
79
80
Polynômes à coefficients réels
• Théorème : Si un polynôme est à coefficients réels, le conjugué de tout zéro est un zéro.
• Preuve : Si P est à coefficients réels, alors .
• Corollaire : Un polynôme de degré 3 à coefficients réels a au moins un zéro réel.• Il a deux zéros conjugués et un troisième zéro « seul » conjugué de lui-même
donc réel
• Autre démonstration du corollaire : On suppose que le coefficient du terme de plus haut degré est positif (s’il est négatif, le raisonnement reste semblable). Alors, la limite à plus l’infini du polynôme P(x) est plus l’infini. Elle est moins l’infini quand x tend vers moins l’infini. Comme la fonction polynôme est continue, sa valeur passe au moins une fois par zéro.
00000
___
)(0)(0)(
)()(
zzzPzPzP
baabzPzP
que témultiplici même de zéro
de vertuen
81
Illustration
:= ( )P x 3 x3
2 x 4 := ( )Q x 5 x3
2 x 4
Fonction de plusieurs variables
Dérivées partielles et totalles
Différentielles
Différentielle exacte
82
Fonctions de plusieurs variables
• Un exemple𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦
Ici, f est représentée par unesurface dans l’espace à troisdimensions
Questions:• Quelles sont les isovaleurs?
• Où sont les extrema?
• Quelles sont les lignes de plusgrande pente?
• Comment caractériser unetrajectoire qui s’inscrit sur lasurface (problème de lafourmi)?
83
Isovaleurs: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒
• Il suffit d’écrire 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦 = C
• Les isovaleurs sont des ellipses non centrées
• (ici) on a un minimum pour
x~-0.1 et y~-0.4
Les lignes de plus grande pente
sont perpendiculaires aux
isovaleurs
84
Isovaleurs sur quelques exemples
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒 ou 𝑦 = 𝑔 𝑥 définissent une courbe du plan
Ex: 𝑥2 + 𝑦2 = 2 est l’équation d’un cercle
𝑦 = 𝑥2est celle d’une parabole
• 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 défini une surface dans l’espace 3D
Ex: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2 est l’équation d’une sphère
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 est celle d’un paraboloïde
• Isobares, isothermes, isenthalpie, équipotentielles…
85
Dérivation (sur deux variables)
• Identique quel que soit le nombre de variables
• On considère (si elles existent) les dérivées partielles
limℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ, 𝑦0 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0ℎ
=𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑥0, 𝑦0
limℎ→0
𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ℎ − 𝑓 𝑥0, 𝑦0ℎ
=𝜕𝑓
𝜕𝑦𝑥0, 𝑦0
• Les dérivées partielles sont obtenues en considérant toutes les autre variables comme étant constantes
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦𝜕𝑓
𝜕𝑥= 6𝑥 + 𝑦 + 1
𝜕𝑓
𝜕𝑦= 𝑥 + 4𝑦 + 2
Interprétation: 𝑓 𝑥0 + ℎ𝑥 , 𝑦0 + ℎ𝑦 ~𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ℎ𝑥 ∙𝜕𝑓
𝜕𝑥+ ℎ𝑦 ∙
𝜕𝑓
𝜕𝑦
86
Dérivées secondes (sur deux variables)
Identique pour plus de variables
• Chaque dérivée partielle est une fonction de deux variables et possèdedes dérivées partielles. On définit:
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥≡𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥≡
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦≡𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦≡
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦• Théorème de Schwartz:
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝝏𝒚=
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝝏𝒙
87
A connaître
Le problème de la fourmi• Une fourmi se déplace sur la surface de tout à l’heure. Sa position (x,y) est
de la forme
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡)
son altitude est 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦
Courbes: w1=2 et w2=7, 7,5 et 7.56789 avec A=B=5
• Questions: quelle est sa vitesse ascentionnelle? Quelle est la vitesse
ascentionnelle d’un papillon qui l’accompagne, en étant à une altitude relative
notée 𝐻 𝑡 = 𝛼 ∙ exp cos t ????
88
89
Différentielle d’une fonction
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ~ℎ ∙ 𝑓′(𝑥0) quand h est petit
Ou encore : ∆𝑓~𝑓′(𝑥) ∙ ∆𝑥 pour h petit
• En mots: l’accroissement de f est en première approximation le
produit de la dérivée par l’accroissement de la variable
• On l’écrit ainsi:
𝒅𝒇 = 𝒇′ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙 =𝒅𝒇
𝒅𝒙∙ 𝒅𝒙
• df est la différentielle de f
• Avec une variable, ce n’est guère intéressant. Posons nous la
question suivante: comment est orientée la ligne de plus grande
pente pour la fourmi de tout à l’heure? C’est plus intéressant, c’est
plus compliqué!
90
91
Différentielle logarithmique
• Calcul de petites variation d’un produit ou d’un rapport
Si )()()( xvxuxf alors :
v
dv
u
du
uv
df
f
df
duvdvudf
Si )(
)()(
xv
xuxf alors :
v
dv
u
dudf
u
v
f
df
v
dvuduvdf
2
u
du
f
dfuaf
92
Fournit des approximations commodes pour
les variations relatives
v
v
u
u
f
f
v
dv
u
du
f
dfuvf
v
v
u
u
f
f
v
dv
u
du
f
df
v
uf
u
u
f
f
u
du
f
dfuaf
a et constantes
réelles
93
exemple
• Exemple: variation du
volume d’une sphère
quand le rayon varie peu
• Si le rayon varie de 2%, le
volume varie d’environ 6%
• Ne sert à rien dans le cas
de sommes (ne convient
que pour les produits,
puissances et rapports)
R
R
V
V
R
dR
V
dV
RV
u
du
f
dfuaf
33
3
4 3
Différentielle d’une fonction de plusieurs variables (2 ici)
• De par la construction même des dérivées partielles, on a
𝑓 𝑥0 + ℎ1, 𝑦0 + ℎ2 ~𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ℎ1 ∙𝜕𝑓
𝜕𝑥+ ℎ2 ∙
𝜕𝑓
𝜕𝑦
∆𝑓~𝜕𝑓
𝜕𝑥∙ ∆𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ ∆𝑦
• On définit la différentielle de f
d𝑓 =𝜕𝑓
𝜕𝑥∙ 𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ 𝑑𝑦
94
95
dérivation d’une fonction composée (1/3)
dtdt
dydy
dtdt
dxdx
tyy
txx
dyy
fdx
x
fdf
dt
dftf
yxff
)(
)(
???)(
),( tempsdu dépendants y x,et
dtdt
dfdt
dt
dy
y
f
dt
dx
x
fdt
dt
dy
y
fdt
dt
dx
x
fdf
𝒅𝒇
𝒅𝒕=𝝏𝒇
𝝏𝒙∙𝒅𝒙
𝒅𝒕+𝝏𝒇
𝝏𝒚∙𝒅𝒚
𝒅𝒕
96
dérivation d’une fonction composée (2/3)
),(
),(
),(
vuyy
vuxx
yxff
𝝏𝒇
𝝏𝒖=𝝏𝒇
𝝏𝒙∙𝝏𝒙
𝝏𝒖+𝝏𝒇
𝝏𝒚∙𝝏𝒚
𝝏𝒖
𝝏𝒇
𝝏𝒗=𝝏𝒇
𝝏𝒙∙𝝏𝒙
𝝏𝒗+𝝏𝒇
𝝏𝒚∙𝝏𝒚
𝝏𝒗
On a deux notions: celle de dérivée partielle (avec les 𝜕) et
de dérivée totale (avec les d)
97
dérivation d’une fonction composée (3/3)
)(
)(
),,(
tyy
txx
tyxff
Bis: on a deux notions, celle de dérivée partielle (avec les 𝜕)
et de dérivée totale (avec les d)
𝒅𝒇
𝒅𝒕=𝝏𝒇
𝝏𝒙∙𝒅𝒙
𝒅𝒕+𝝏𝒇
𝝏𝒚∙𝒅𝒚
𝒅𝒕+𝝏𝒇
𝝏𝒕
Le problème de la fourmi• Une fourmi se déplace sur la surface de tout à l’heure. Sa position (x,y) est
de la forme
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡)
son altitude est 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦
Courbes: w1=2 et w2=7, 7,5 et 7.56789 avec A=B=5
• Questions: quelle est sa vitesse ascentionnelle? Quelle est la vitesse
ascentionnelle d’un papillon qui l’accompagne, en étant à une altitude relative
notée 𝐻 𝑡 = 𝛼 ∙ exp cos t ????
98
Exemple: la fourmi et le papillon
Position de la fourmi 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡)
Altitude de la fourmi: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦 = 𝑧
• Vitesse ascensionnelle de la fourmi:𝜕𝑧
𝜕𝑥= 6𝑥 + 𝑦 + 1 𝑒𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 𝑥 + 4𝑦 + 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡= −𝐴𝜔1𝑠𝑖𝑛 𝜔1𝑡 𝑒𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝐵𝜔2𝑐𝑜𝑠 𝜔2𝑡
𝒗𝒛 =𝒅𝒛
𝒅𝒕=𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕+𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕• Position du papillon: p t = z + 𝐻 𝑡 = 𝑧 + 𝛼 ∙ exp cos t
• Vitesse ascensionnelle du papillon:
𝒗𝒑 =𝒅𝒑
𝒅𝒕=𝝏𝒑
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕+𝝏𝒑
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕+𝝏𝒑
𝝏𝒕=𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕+𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕+𝒅𝑯
𝒅𝒕
99
La différentielle définit le plan tangent
𝒅𝒇 = 𝒇′ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙∆𝑓~𝑓′(𝑥) ∙ ∆𝑥
• Si y=f(x)
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥0) ∙ 𝑥 − 𝑥0est la droite tangente
𝒅𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒙∙ 𝒅𝒙 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚∙ 𝒅𝒚
∆𝑓~𝜕𝑓
𝜕𝑥∙ ∆𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ ∆𝑦
• Si z=f(x,y)
𝑧 − 𝑧0 =𝜕𝑓
𝜕𝑥∙ 𝑥 − 𝑥0 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ (𝑦 − 𝑦0)
Est le plan tangent
100
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥= 6𝑥 + 𝑦 + 1
𝜕𝑓
𝜕𝑦= 𝑥 + 4𝑦 + 2
• Plan tangent
𝑧 − 𝑧0 =𝜕𝑓
𝜕𝑥∙ 𝑥 − 𝑥0 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ (𝑦 − 𝑦0)
𝜕𝑓
𝜕𝑥∙ 𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ 𝑦 − 𝑧 = 𝑥0 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ 𝑦0 = 𝑐𝑡𝑒
• Vecteur normal: 𝜕𝑓
𝜕𝑥,𝜕𝑓
𝜕𝑦, −1
101
102
Notion de forme différentielle
• Loi des gaz parfaits:
𝑉 =𝑛𝑅𝑇
𝑃
𝑑𝑉 = −𝑛𝑅𝑇
𝑃2∙ 𝑑𝑃 +
𝑛𝑅
𝑃∙ 𝑑𝑇
• Cas du cylindre de section 𝑆 = 𝜋𝑅2
103
dx
Travail des forces de pression (détente selon x)
𝐹 = 𝑃𝑆 → 𝛿𝑊 = 𝐹𝑑𝑥 =𝐹
𝑆𝑆 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑃. 𝑑𝑉
Variation d’énergie interne:
𝛿𝑄 = −𝑃 ∙ 𝑑𝑉 =𝑛𝑅𝑇
𝑃∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇
Questions: déduire Q, énergie interne du système
En écrivant δ𝑄 =𝑛𝑅𝑇
𝑃∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇 ?
Formes différentielles
• On appelle forme différentielle toute quantité (ici avec troisvariables)
𝜔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑑𝑧
• Exemples:
df, la différentielle de n’importe quelle fonction
𝜔 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦
𝛿𝑄 =𝑛𝑅𝑇
𝑃∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇
104
Différentielle exacte
• Une forme différentielle sera dite exacte si elle est la différentielle d’une fonction autrement dit si:
𝜔 = 𝑃 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 ∙ 𝑑𝑦 + 𝑅 ∙ 𝑑𝑧 =𝜕𝑓
𝜕𝑥∙ 𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ 𝑑𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧∙ 𝑑𝑧
• U ne condition nécessaire (mais pas suffisante) est de vérifier lethéorème de Schwartz:
𝝏𝑸
𝝏𝒙=𝝏𝑷
𝝏𝒚,
𝝏𝑹
𝝏𝒙=𝝏𝑷
𝝏𝒛,
𝝏𝑸
𝝏𝒛=𝝏𝑹
𝝏𝒚• Dans le cas de deux variables x et y, on a seulement, bien sûr:
𝝏𝑸
𝝏𝒙=
𝝏𝑷
𝝏𝒚• Une forme qui vérifie le théorème de Schwartz est dite fermée
• Toute forme exacte est donc fermée
𝜔 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 est exacte (différentielle de f=xy)
𝛿𝑄 =𝑛𝑅𝑇
𝑃∙ 𝑑𝑃 − 𝑛𝑅 ∙ 𝑑𝑇 n’est pas exacte
𝛿𝑄
𝑃=
𝑛𝑅𝑇
𝑃2∙ 𝑑𝑃 −
𝑛𝑅
𝑃∙ 𝑑𝑇 est exacte
105
Réciproque, théorème de Poincaré
• Nous avons vu qu’une forme exacte est fermée (Schwartz)
• Une forme fermée est elle exacte?
• 𝜔 =2𝑥
𝑥2+𝑦2𝑑𝑥 +
2𝑦
𝑥2+𝑦2𝑑𝑦 vérifie le th. de Schwartz (fermée)
• Si 𝑓 = 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2) on voit que 𝜔 = 𝑑𝑓en
observant les dérivées
• Mais f n’est pas définie en (0,0) (« trou »)
• Théorème de Poincaré: si 𝜔 est fermée sur
un ensemble de définition sans trou
(domaine simplement connexe) alors elle est exacte.
106
Autres exemples
• 𝜔 = −𝑦
𝑥2+𝑦2𝑑𝑥 +
𝑥
𝑥2+𝑦2𝑑𝑦 est non exacte
Les dérivées sont celles de arctan𝑦
𝑥
• 𝜔 =𝑦
1+𝑥2𝑦2𝑑𝑥 +
𝑥
1+𝑥2𝑦2𝑑𝑦 est exacte
Les dérivées sont celles de arctan 𝑥𝑦
107
Le problème inverse
• On suppose que 𝜔 est exacte. De quelle fonction est-elle
la différentielle?
• Ex: 𝑑𝑓 = 2𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥2 + 3𝑦2 ∙ 𝑑𝑦 ≡𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦𝑑𝑦
• On intègre les dérivées partielles en considérant l’autre
variable comme constante
• 2𝑥𝑦 =𝜕𝑓
𝜕𝑥→ 𝑓 = 2𝑥𝑦 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑦 + 𝜑(𝑦)
• 𝑥2 + 3𝑦2 =𝜕𝑓
𝜕𝑦→ 𝑓 = 𝑥2 + 3𝑦2 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑦3 + 𝜓(𝑥)
• 𝒇 = 𝒙𝟐𝒚 + 𝒚𝟑 + 𝐂 où C est une constante
108
Notion de gradient, exprimé en coordonnées cartésiennes
• Soit 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2 + 𝑥 + 2𝑦 (la fourmi!)
• Les lignes de même altitude (isovaleurs, lignes de niveau), vérifient 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶 où C est constante
• Si la fourmi, au cours du temps, se déplace à altitude constante, alors𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡) = 𝐶, et son vecteur vitesse est tangent aux lignes de niveau
𝑑𝑓
𝑑𝑡=𝜕𝑓
𝜕𝑥∙𝑑𝑥
𝑑𝑡+𝜕𝑓
𝜕𝑦∙𝑑𝑦
𝑑𝑡=𝜕𝑓
𝜕𝑥∙ 𝑣𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦∙ 𝑣𝑦 = 0
• Le vecteur
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑓
𝜕𝑦
noté 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 est perpendiculaire aux lignes de niveau. On l’appelle
le gradient de f.
• En dimension 3 on a 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
109
Propriété
• Le gradient définit la direction de plus grande pente.
• Si la fourmi se dáplace pendant un intervalle de temps ∆𝑡 petit POSITIF, du point 𝑥0, 𝑦0 au point 𝑥1, 𝑦1 , alors
•𝑥1𝑦1
~𝑥0𝑦0
+ 𝑡 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 →∆𝑥~𝑡
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∆𝑦~𝑡𝜕𝑓
𝜕𝑦
• 𝑓 𝑥1, 𝑦1 ~𝑓 𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑥𝜕𝑓
𝜕𝑥+ ∆𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦= 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + 𝑡 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓
2
• Quand f(x,y)=C est une courbe, gradf est orthogonal à cette courbe et pointe vers le sens des f croissants
• Quand f(x,y,y )=C est une surface, gradf est orthogonal à cette surface et pointe vers le sens des f croissants
110
Extrema
• Une variable: 𝑓′ 𝑥0 = 0 𝑒𝑡 𝑓′′ 𝑥0 > 0 → 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚𝑓′ 𝑥0 = 0 𝑒𝑡 𝑓′′ 𝑥0 < 0 → 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚
• Deux variables𝝏𝒇
𝝏𝒙𝒙𝟎, 𝒚𝟎 =
𝝏𝒇
𝝏𝒚𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝟎
• 𝑟 =𝜕2𝑓
𝜕𝑥2𝑥0, 𝑦0 , 𝑠 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2𝑥0, 𝑦0 , 𝑡 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦𝑥0, 𝑦0
• ∆= 𝑟𝑠 − 𝑡2
∆> 𝟎 𝒆𝒕 𝒓 > 𝟎 → 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒖𝒎
∆> 𝟎 𝒆𝒕 𝒓 < 𝟎 → 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒖𝒎
∆< 𝟎 → 𝒑𝒂𝒔 𝒅′𝒆𝒙𝒕𝒓𝒆𝒎𝒖𝒎
111
Exemples
• 𝑟 =𝜕2𝑓
𝜕𝑥2𝑥0, 𝑦0 , 𝑠 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2𝑥0, 𝑦0 , 𝑡 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦𝑥0, 𝑦0
• ∆= 𝑟𝑠 − 𝑡2
• De haut en bas:
• ∆> 0 𝑒𝑡 𝑟 > 0 → 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚
• ∆> 0 𝑒𝑡 𝑟 < 0 → 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚
• ∆< 0 → 𝑝𝑎𝑠 𝑑′𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑢𝑚
• 𝑓 = 𝑥2 + 𝑦2 +1
2𝑥𝑦
• 𝑓 = −𝑥2 − 𝑦2 +1
2𝑥𝑦
• 𝑓 = 𝑥2 + 𝑦2 + 10𝑥𝑦
112
Intégration
primitives
intégration par parties
intégration par changement de variables
intégrales généralisées
113
114
Intégration – Intégrales généralisées
• Définition 1: Une fonction f définie de manière constante sur des intervalles (finis ou non) est dite fonction en escalier.
• Définition 2 : Soit f une fonction en escalier définie sur [a,b], l’aire I algébrique, située entre la courbe et l’axe de x est appelée intégrale de Riemann de f
b
a
dxxfI )(
Les surfaces sont comptées positivement quand: on va vers les x croissants et la
courbe est au dessus de l’axe des x ou quand on va vers les x décroissants avec
la courbe sous l’axe des x
b
a
b
a
b
a
fdttfdxxf )()(Les variables
d’intégration sont
muettes
115
Intégration des fonctions continues par morceaux
• Théorème : Une fonction
continue par morceaux sur
[a, b] peut être approchée
uniformément par des fonctions
en escalier
• L’intégrale de f est obtenue
comme limite des intégrales des
fonctions en escalier
• Elle correspond à la notion
intuitive de surface, avec un
signe
],[,)()(,0 baxxsxfs nn escalier, en
b
a
nn
b
a
dxxsdxxf )(lim)(
116
Propriétés élémentaires
• La surface sous un point est nulle
• Relation de Chasles
• Corollaire :
• Linéarité. Si α et β sont deux réels quelconques, et f deux fonctions intégrables
0)( a
a
dxxf
c
a
c
b
b
a
dttfdxxfdxxf )()()(
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
117
Remarques et contre-remarques
• Si A est constant
A savoir!!!
• Attention
Une raison simple: une
surface n’est pas le carré
d’une surface!
)( abAAdx
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
b
a
dxxgx
dxxxg
dxxgdxxfdxxgxf
)(2
)(
)()()()(
2
118
Autres propriétés
• Si f(x)<g(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [a,b],
• Inégalité triangulaire
• Conséquence
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
BABA
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
119
Primitives et intégrales
• Définition : Une fonction F(x) dont la dérivée par rapport
à x est f(x) est appelée primitive de f.
• Propriété : la fonction nulle admet pour primitives toutes
les fonctions constantes.
• Théorème : Si F et G sont deux primitives de f, alors elles
diffèrent seulement par une constante.
• Preuve: la dérivée de F-G est nulle
120
Relation primitive/intégrale
• Théorème : La fonction F définie par
une primitive de f.
h
x x+h
f(x+h)
f(x)
)()()(
)()()(
2
)()()()(
2
)()()()()(
xhfxFhxF
xhfxFhxF
xfhxfhxFhxF
xfhxfhxhfxFhxF
x
a
dttfxF )()(
hx
x
dttfxFhxF )()()(
b
a
aFbFdttf )()()(Corollaire : Si F est une primitive
quelconque de f, donc est définie à
une constante près, on a :
Calcul d’intégrales
• Ce peut être le calcul de primitives (on ne met pas de bornes)
𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =𝑥2
2+ 𝐶
les primitives étant à une constante additive près
• Ce peut être le calcul de valeurs (on met les bornes)
න2
3
𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =𝑥2
22
3
=5
2
Ici, n’importe quelle primitive convient
• Ce peut être une fonction particulière
𝐹 𝑥 = න1
𝑥
𝑡 ∙ 𝑑𝑡 =𝑡2
21
𝑥
=𝑥2
2−1
2
Attention: la variable d’intégration n’a rien à voir avec les bornes, elle est dite muette, et il ne doit pas y avoir de confusion
121
Attention à que vous écrivez
• 23𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =
𝑥2
2 2
3
=5
2
• 23𝑥 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑥𝑡 2
3 = 3𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 (on intègre selon t)
• 1𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ne veut rien dire car x est, ici, à la fois variable
et constante
• 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶 ne pose pas de problème
122
123
Méthodes d’intégration
• Intégration à l’aide de fonctions connues
Tableaux de primitives, dérivée logarithmique etc..
Linéarisation des fontions trigonométriques (Euler)
• Intégration par parties
• Changement de variables
b
a
ba
b
a
dttvtutvtudttvtuvuvuuv )()()()()()()(
)(
)(
)()())((
bg
ag
bt
at
dfdttgtgf
Un premier exemple
• 𝑓 𝑥 =2𝑥2+2𝑥+3
𝑥2+1= 2 +
2𝑥+1
𝑥2+1= 2 +
2𝑥
𝑥2+1+
1
𝑥2+1
• Une primitive de f est donc
• 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥2 + 1 + arctan(𝑥)
• On a décomposé f en éléments plus simples avant de reconnaître des dérivées connues.
124
Par linéarisation
• 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2
• 𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1
8∙ 𝑒3𝑖𝜃 + 3𝑒2𝑖𝜃𝑒−𝑖𝜃 + 3𝑒𝑖𝜃𝑒−2𝑖𝜃 + 𝑒−3𝑖𝜃
• 𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1
8∙ 𝑒3𝑖𝜃 + 3𝑒𝑖𝜃 + 3𝑒−𝑖𝜃 + 𝑒−3𝑖𝜃
• 𝑐𝑜𝑠3𝜃 =1
8∙ 2 cos 3𝜃 + 6𝑐𝑜𝑠𝜃 =
cos 3𝜃 +3𝑐𝑜𝑠𝜃
4
න𝑐𝑜𝑠3𝜃 ∙ 𝑑𝜃 =1
4
1
3sin(3𝜃) + 3𝑠𝑖𝑛𝜃
125
Exemples d’intégrations par parties
න ln 𝑥 𝑑𝑥 = න1 ∙ ln(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − න𝑥 ∙1
𝑥∙ 𝑑𝑥
ቊ𝑢 = ln 𝑥𝑣′ = 1
→ ቐ𝑢′ =
1
𝑥𝑣 = 𝑥
⟹නln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥
126
b
a
ba
b
a
dttvtutvtudttvtuvuvuuv )()()()()()()(
Exemples
න𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 − න1 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
൜𝑢 = 𝑥
𝑣′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥→ ቊ
𝑢′ = 1𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
൜𝑢 = 𝑥𝑣′ = 𝑒𝑥
→ ቊ𝑢′ = 1𝑣 = 𝑒𝑥
• Si P est un polynôme de degré N, on calcule 𝑃(𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 par N
intégrations par parties, chacune faisant baisser d’un degré
127
b
a
ba
b
a
dttvtutvtudttvtuvuvuuv )()()()()()()(
Intégration par changement de variables
128
)(
)(
)()())((
bg
ag
bt
at
dfdttgtgf
න
𝑎
𝑏
𝑒𝑥2∙ 2𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑏
𝑒𝑥2∙ 𝑑𝑥2 = න
𝑎2
𝑏2
𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑏2− 𝑒𝑎
2
Un exemple simple (si l’on ne reconnaît pas la dérivée de 𝑒𝑥2)
Tout consiste à noter que 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒙𝟐 et à voir que
𝑢 = 𝑥2 est une variable plus appropriée
129
Exemple
• Calculer
• On reconnaît que 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 =1
2𝑑𝑡2
b
a
dtttI 21
2tx
2
2
2
22/322/322/32 )1()1(
3
11
3
2
2
11
2
11
bx
ax
b
a
b
a
abxdxxdttt
2
2
1112122
212
bx
ax
b
a
b
a
dxxdttdtttI
Méthode générale pour l’intégration par
changement de variables
• 0) Trouver la bonne variable: pas de règle générale
• 1) Remplacer l’ancienne variable par la nouvelle dans la
fonction à intégrer
• 2) Remplacer la différentielle de l’ancienne variable par
celle de la nouvelle en écrivant une relation entre les deux
différentielles en question
• 3) Changer les bornes en mettant les nouvelles
130
131
Exemple: le même (méthode générale)
• Calculer
• On POSE
• On écrit l’ancienne variable en fonction de la nouvelle
• On différencie
• On reporte
• On n’a plus qu’à intégrer
b
a
dtttI 21
2tx
dxxdttt
dxt
dxx
dt
xt
12
11
2
1
2
1
2
2
2
2
22/322/322/32 )1()1(
3
11
3
2
2
11
2
11
bx
ax
b
a
b
a
abxdxxdttt
Un autre exemple: intégrer1/𝑐𝑜𝑠4𝜃
132
𝐼 = න
𝜃1
𝜃21
𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑑𝜃
(0)1
𝑐𝑜𝑠2𝜃= 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝜃 → 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃
(1)1
𝑐𝑜𝑠4𝜃= 1 + 𝑡2 2
(2) 𝑑𝑡 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 ∙ 𝑑𝜃 = 1 + 𝑡2 ∙ 𝑑𝜃
𝑑𝜃 =1
1 + 𝑡2∙ 𝑑𝑡
1
𝑐𝑜𝑠4𝜃𝑑𝜃 = 1 + 𝑡2 2 ∙
1
1 + 𝑡2∙ 𝑑𝑡 = 1 + 𝑡2 ∙ 𝑑𝑡
𝐼 = න
𝑡𝑎𝑛𝜃1
𝑡𝑎𝑛𝜃2
1 + 𝑡2 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑡 +𝑡3
3𝑡𝑎𝑛𝜃1
𝑡𝑎𝑛𝜃2
133
Valeur moyenne d’une fonction
• Définition : La valeur moyenne d’une fonction sur un
intervalle [a,b] est
b
a
dttfab
f )(1__
2
0
2
0
2
2
1
22
)2cos(1
2
1)(cos
2
1dt
tdtt
Application et exercice : On applique une tension sinusoïdale de
valeur crête V0 aux bornes d’une résistance R. Quelle est la valeur
de la tension Veff continue qui, placée aux bornes de R, dissiperait
en moyenne la même puissance Joule ? 2
0VVeff
134
Tension efficace
2
2)(cos
11
)(cos
)(cos)(
0
22
0
0
22
0
0
22
0
22
0
2
VV
R
V
R
Vdtt
TR
VE
TP
dttR
VE
dttR
Vdt
R
tVdE
eff
eff
T
T
135
Un exemple d’application: longueur d’un arc de courbe
• On calcule la longueur
infinitésimale d’une portion de
courbe
dxxfdxdx
dydydxds
dydxds
dxxfdfdy
)(11)()(
)()()(
0(
22
22
222
dy
dx
ds
b
a
dxxfL )(1 2
136
Application : surface d’un demi cercle
• Demi cercle supérieur de rayon R
𝑦 = 𝑅2 − 𝑥2 = 𝑅 1 − 𝑥/𝑅 2
𝑆 = න
−𝑅
𝑅
𝑦 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑅 න
−𝑅
𝑅
1 − 𝑥/𝑅 2𝑑𝑥
𝑥
𝑅= 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 1 − 𝑥/𝑅 2 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 et 𝑑𝑥 = −𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑑𝜃
𝑆 = −𝑅2න
𝝅
𝟎
𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃
𝑠𝑖𝑛2𝜃 =1 − cos(2𝜃)
2→ න
𝜋
0
𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃 = −𝜋/2
𝑺 =𝝅
𝟐. 𝑹𝟐
x
y
137
Calcul numérique des intégrales: une méthode simple
• Méthode des trapèzes
• Discrétisation :
hi=(xi+1-xi) et fi=f(xi)
• Si le pas est constant (h)
iii
i hff
A2
1
N
i
iii
x
x
hff
dxxfA
N
0
1
2)(
0
N
i
NN
ii ffff
fh
ffhA
0
12101
222
627.2100
667.23
82
0
2
pas
dxx
138
Intégrales généralisées
• Intégrales où la fonction
à intégrer possède une
singularité
• Le truc: peut on passer à
la limite?
1
0x
dx
1
2x
dx
21(2lim2limlim0
1
0
1
0
x
x
dx
2lim
1
0
1
0
x
dx
x
dx
11
1limlim
1
2
1
2
Xx
dx
x
dx
X
X
X
?
139
Définitions plus précises
• Définition : I est convergente si la limite existe (f non singulière en a)
• Cas de deux singularités en A et B• F est définie en a
• Le résultat doit être indépendant de a
• La propriété « physique » à vérifier, de manière générale, est que l’aire comprise sous la courbe soit une quantité finie.
X
aAX
A
a
dxxfdxxfI )(lim)(
X
aBX
a
XAX
B
A
dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(
140
Convergence absolue.
• Convergence absolue
• Si, pour x assez grand >X et s>1
• Si l’on peut définir
• Alors
• Or
•
• Donc, si x>1
econvergent econvergent
B
A
B
A
dxxfdxxf )()(
sxxf )(
X
a
dxxf )(
A
X
s
A
X
dxxdxxf )(
AXs
A
X
s xs
dxx 1
1
1
convergedxxf
X
)(
Converge si s>1
convergedxxf
X
)(
141
divergentexx
dx
x
0)ln(lim
1
econvergentee x
x
x
11lim
0
2
1
/11
[0,1]sur intégrablent parfaiteme
0
1
2
1
2
2
2
2
2
dxe
econvergentdxx
dxe
xexSi
e
x
x
x
x
142
Application: série de Fourier
• Décomposer un signal périodique f(t) en somme de
signaux périodiques
i
ii
T
i
T
i
tT
ibtT
iaa
tf
idttT
itfT
b
dtT
titf
Ta
2sin
2cos
2)(
~
)0(2
sin)(1
2cos)(
1
0
0
0
.......
??????)(~
)(??????
dépendça
tftf
143
Premier essai: degré 10 – Super!
1-1
1
:= ( )g t 1
4
2 ( )cos t
2
2
9
( )cos 3 t
2
2
25
( )cos 5 t
2
2
49
( )cos 7 t
2
2
81
( )cos 9 t
2
144
Ordre 10 ou 100: le phénomène de Gibbs
( )g t 0.25000 0.31831 ( )cos t 0.11310 10-14
( )cos 2 t 0.10610 ( )cos 3 t 0.68870 10-14
( )cos 4 t 0.063660 ( )cos 5 t 0.64155 10-14
( )cos 6 t :=
0.045473 ( )cos 7 t 0.69075 10-14
( )cos 8 t 0.035368 ( )cos 9 t 0.11233 10-14
( )cos 10 t
145
Un autre exemple avec les mains: la transformée de
Fourier
• Connaître le contenu
fréquentiel d’un signal
• Mal défini pour un
cosinus. On considère
seulement
• Que vaut la limite quand
N tend vers l’infini?
dtetff tj )()(ˆ
N
N
tjN dtetC 0cos)(ˆ
2 ( )-1( )1 N~
sin
N~
2
2
146
• N=10..100..1000, ω0=7
)(ˆlim NN
C On a fabriqué un pic de largeur
nulle et d’intégrale !
Théorie des distributions
(Laurent Schwartz, Médaille
Fields)
)7cos( t
147
• Raies à ω0=7 et ω1=21 – Intégrale
•
)21cos(5)7cos( tt
148
Equations différentielles
• Relation entre une fonction et ses dérivées• Equations du premier ou du second ordre
• Equations d’ordre supérieur
• Equa. Diff. = Equation + conditions aux limites (ou conditions initiales)
• Equations du premier ordre• Zoologie (à variable separables etc…)
• Méthodes de résolution
• Equations du second ordre• Linéaires avec ou sans second membre
• Méthode de variation des constantes
• Applications• Systèmes dynamiques (oscillateur, mécanique du point …)
• Thermique, vibrations, électromagnétisme (EDP)
• Hypothèse: une solution unique une fois les conditions initiales données• 1 C.I. pour le premier ordre
• N C.I.pour l’ordre N
• Remarque: équation du mouvement = du second ordre (force versus position
149
Exemple: chute d’un corps
Facile – no comments
• Equation fondamentale
de la dynamique
• Conditions initiales
• Solution
• Trajectoire parabolique
mgym
xmjmg
dt
Xdm
jyixy
xX
0
2
2
00
00
)0()0(
)0()0(
y
x
vyyy
vxxx
et
et
002
00
2
2
1)(
)(
2
1)(
)(0
ytvgtty
xtvtx
dctgtty
battx
mgym
xm
y
x
Devinette: un satellite suit une ellipse.
Où est la différence?
Une autre: la Lune ne tombe pas,
mais le stylo tombe. Qu’est ce qui
cloche?
150
Second exemple pour comprendre la signification
physique des termes: oscillateur forcé
)()(
)()(
1
)()(
)()(1
)(
202
2
2
2
2
2
ttidt
di
L
R
dt
id
L
tvti
LCdt
di
L
R
dt
id
dt
diR
C
ti
dt
idLtv
tRidttiCdt
diLtv
g
g
g
Excitation
(extérieure)
Résonance
(intérieure)Pertes (facteur
de qualité)
Comment l’oscillateur se comporte t’il
pour un générateur sinusoïdal
quelconque?
Combinaison du mode propre
d’oscillation (eq. Sans second
membre) et du terme forcé (le
second membre)
Le équations les plus fréquentes: systèmes du premier et
du second ordre (mais ce ne sont pas les seules)
• Système linéaires
• Systèmes régis par une équation différentielle du type (à coefficients constants réels)
• A, B et C sont les constantes du système (résistances, masse, capacitécalorifique…)
• e(t) est la grandeur d’entrée (tension, position, température…)
• s(t) est la grandeur de sortie (tension relevée sur oscilloscope…)
)()()()()()(
)()(2121
22
11tststete
tste
tste
)()()()(
)()()(
2
2
tetCsdt
tdsB
dt
tsdA
tetBsdt
tdsA
152
Equations du premier ordre à variables séparables
• Séparation de x et y
→intégration séparée
• Equation de départ
• Résolution
• Cas particulier
x
dfyxyyy
dfxydxxfdy
xfyxfdx
dy
0
00 )()()0(
)()()(
)()(
Notation: x = variable, y = fonction recherchée
153
Une autre….y est la fonction cherchée
• Equation type)(ygy
)()()()(
)(1
xGyyGyg
dyxdx
yg
dyyg
dx
dy
122
)(1211
1
2
cxy
yGcycy
dyx
y
dydx
dx
dyyy
On vérifie?
C. limites
154
Une dernière, mais le principe est le même
• Equation type
)(
)(
yg
xfy
cxFGycyGxF
cdyygdxxfdyygdxxfdx
dy
yg
xfy
)()()(
)()()()()(
)(
1
3/14
433232
2
3
4
3
43
dx
y
cxy
dxxdyyxyyy
xy
Conditions initiales
4
3)(
)0(
43
300
TydyTy
ydyy
TT
Exemples
155
Equations homogènes du premier ordre
• Equation type
• Changement « naturel » de
fonction
x
yfy
x
yxt )(
)(tftxtytxy
ttf
dt
x
dx
dx
dtxttf
)()(
CxFxy
x
yFCx
x
yFtF
ttf
dt
x
dx
)ln(
)ln(
)()(
1
La solution
156
Un exemple
• On divise tout par x
0222 xyyyx
x
yf
xy
xyy
x
yy
x
y222
2
1
2021
x
yxt )(
ttf
dt
x
dx
dx
dtxttf
)()(
22222
2
2
23
2
/1
/
1
1ln1lnlnln
1
211
)(
yx
yx
xy
xy
t
t
ct
tcttx
dtt
t
tdt
tt
t
ttf
dt
x
dx
022
22
Cyyx
yx
xykx
157
La solution: des cercles
Equation sans second membre et à coefficients constants
158
𝐴𝑦′ + 𝐵𝑦 = 0• Il suffit d’écrire
𝑦′
𝑦= −
𝐵
𝐴= 𝛼 → 𝑙𝑛 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝐾1
𝑦 = ±𝑒𝐾1 ∙ 𝑒𝛼𝑥 = 𝐾 ∙ 𝑒𝛼𝑥 , 𝐾 ∈ ℝ
• Formellement, K est non nul, mais on voit que K=0 donne également
une solution.
• Par identification, K=y(0), correspondant à une condition initiale
𝒚(𝒙) = 𝒚(𝟎) ∙ 𝒆−𝑩𝒙/𝑨
Equation sans second membre et à coefficients non constants
159
𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 0• Il suffit d’écrire
𝑦′
𝑦= −
𝐵 𝑥
𝐴 𝑥= 𝛼(𝑥) → 𝑙𝑛 𝑦 = න𝛼 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐾1
𝑦 = ±𝑒𝐾1 ∙ 𝑒 𝛼 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐾 ∙ 𝑒 𝛼 𝑡 𝑑𝑡 , 𝐾 ∈ ℝ
• Formellement, K est non nul, mais on voit que K=0 donne également
une solution.
• Par identification, K=y(0), correspondant à une condition initiale
𝒚(𝒙) = 𝒚(𝟎) ∙ 𝒆− 𝑩 𝒕 /𝑨(𝒕)∙𝒅𝒕
Equation à coefficients non constants, cas général
160
𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 𝜑(𝑥)Théorème: la solution générale de cette équation est la somme de la
solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution
particulière de l’équation complète
𝒚 𝒙 = 𝑲 ∙ 𝒆−
𝑩 𝒕𝑨 𝒕
∙𝒅𝒕+ 𝒚𝒑(𝒙)
On détermine yp par divination quand c’est facile, par méthode de la
variation de la constante quand c’est plus difficile
Attention: Ici, 𝐾 ≠ 𝑦(0). On détermine K à partir des conditions initiales
une fois que l’on a l’expression de la solution complète
161
Equations linéaires et combinaison linéaire de solution (marche
aussi pour les équations linéaires du second ordre)
• Théorème : si F et G sont deux solutions de l’équation sans second membre alors 𝐾 𝑥 = 𝜆𝐹 𝑥 + 𝜇𝐺 𝑥 l’est aussi
• .
0)()(
)()()(
)()()(
BGGABFFABKKA
xGxFxK
xGxFxK
Cas particulier: équation à coefficients constants
162
𝐴𝑦′ + 𝐵𝑦 = 𝐶, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑠
Théorème: la solution générale de cette équation est la somme de la
solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution
particulière de l’équation complète, et donc, de manière évidente:
𝒚 𝒙 = 𝑲 ∙ 𝒆−𝑩𝒙𝑨 + 𝑪/𝑩
Condition initiale: 𝑦 0 = 𝐾 +𝐶
𝐵→ 𝐾 = 𝑦 0 − 𝐶/𝐵
Méthode de variation de la constante. Recherche de yp
163
𝐴(𝑥)𝑦′ + 𝐵(𝑥)𝑦 = 𝜑(𝑥)
Une solution de l’équation sans second membre est
𝑦𝐺 𝑥 = 𝑒−
𝐵 𝑡𝐴 𝑡
∙𝑑𝑡
Une solution particulière de l’équation complète est
𝒚𝒑(𝒙) = 𝒚𝑮(𝒙) ∙ න𝝋(𝒕)
𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮(𝒕)∙ 𝒅𝒕
164
𝒚𝒑(𝒙) = 𝒚𝑮(𝒙) ∙ න𝝋(𝒕)
𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮(𝒕)∙ 𝒅𝒕
𝒚′𝒑(𝒙) = 𝒚′𝑮(𝒙) ∙ න𝝋(𝒕)
𝑨(𝒕) ∙ 𝒚𝑮(𝒕)∙ 𝒅𝒕 +𝒚𝑮 (𝒙) ∙
𝝋(𝒙)
𝑨(𝒙) ∙ 𝒚𝑮(𝒙)
𝐴 𝑥 ∙ 𝑦′𝑝 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝑝 = 𝐴 𝑥 ∙ 𝑦′𝐺 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝐺 ∙ 𝜑(𝑡)
𝐴(𝑡)∙𝑦𝐺(𝑡)∙ 𝑑𝑡 +𝜑 𝑥
𝐴 𝑥 ∙ 𝑦′𝐺 + 𝐵 𝑥 ∙ 𝑦𝐺 = 0 (définition de yg)
𝑨 𝒙 ∙ 𝒚′𝒑 +𝑩 𝒙 ∙ 𝒚𝒑 = 𝝋 𝒙
Un exemple
𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥
𝑦𝐺 = 𝑒−2𝑥
𝑦𝑝(𝑥) = 𝑦𝐺(𝑥) ∙ න𝜑(𝑡)
𝐴(𝑡) ∙ 𝑦𝐺(𝑡)∙ 𝑑𝑡
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑒−2𝑥 ∙ න 𝑡 ∙ 𝑒2𝑡 ∙ 𝑑𝑡
𝑢 = 𝑡, 𝑣′ = 𝑒2𝑡 → 𝑢′ = 1, 𝑣 =1
2𝑒2𝑡
න𝑡 ∙ 𝑒2𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑥/2 ∙ 𝑒2𝑥 −1
2න𝑒2𝑡𝑑𝑡 = 𝑒2𝑥 ∙ 𝑥/2 −
1
4
𝒚𝒑 = 𝒙/𝟐 −𝟏
𝟒
165
166
Application: circuit RC forcé
t
g
g
Dei
RC
vC
iiR
tvidtC
Ri
0
1
)(1
Circuit RC fermé
sans générateur
t
gtp
R
dveei
0
)(
)0(
)(
0
iD
R
dveeDei
t
gtt
167
Exemples: C=10-6F, R=100Ω, i0=2A
• Décharge simple
• Rampe de tension (négative)
• Générateur sinusoidal
168
Equations linéaires du second ordre dans C
• LINEAIRES: si F et G solutions, alors aF+bG solution, pour a et b constantes
• Equations linéaires sans second membre: solutions générales
• Equations avec second membre (système forcé) avec variation de la constante
• Cas important: équations avec coefficients constants
initiales conditions 2
0)()()( yxcyxbyxa Equation « homogène » sans
second membre
On se donne y et y’ pour x
donné
Ou y pour deux x donnés
Ou y’ pour deux x donnés
169
Théorème, déjà vu:
• si F et G solutions, alors F+G solution, pour a et b
constantes
0))(())(())((
_______________________
0)()()(
0)()()(
GFxcGFxbGFxa
GxcGxbGxa
FxcFxbFxa
170
Théorème d’existence et d’unicité
• Théorème: Il existe deux familles de solutions linéairement
indépendantes de l’équation homogène. La solution générale est
combinaison linéaire de deux de ces solutions.
• Théorème équivalent: Il existe 2 solutions particulières
indépendantes (de rapport non constant) C et S telles que
• C(0)=1, C’(0)=0, S(0)=0, S’(0)=1
• où y0 et y’0 sont les conditions initiales (fonction et dérivée)
)()()( 00 xSyxCyxy
171
Exemple: oscillateur harmonique
)()(
1)0(
0)0()cos()()sin(
1)(
0)0(
1)0()sin()()cos()(
0
00
2
xSyxCyy
S
SxxSxxS
C
CxxCxxC
yy
172
Equations du second ordre à coefficients constants et
sans second membre
• Equations du type
• On cherche deux solutions
indépendantes de la forme
• On a
0 cyybya
tey
t
t
ey
ey
2
02 ttt ceebea
02 cba Equation caractéristique
173
Résolution de l’équation caractéristique
• Deux solutions simples réelles
• Une solution double réelle
• Deux solutions simples conjuguées
• Purement imaginaires
• Avec partie réelle non nulle
• Peut on avoir une autre situation?
02 cba
174
Théorème :
• Si les zéros de l’équation caractéristique sont tous deux réels, distincts, on a des solutions en
• Si les zéros sont égaux,donc réels on a des solutions en
• Si les zéros sont complexes, donc conjugués, les solutions sont alors :
xxeCeCy 21
21
21 CxCey x
xCxCey x sincos 21
i
175
Cas un: deux zéros réels distincts
0
0
2
cba
cyybya
2
1
013
03
1
1
2
yyy
)/( tesindépendan
esélémentair solutionset
2
2
cteee
ee
xx
xx
CIeCeCy xx 2
21
176
Les conditions initiales
002
01
021
021
0
0
2
21
2
21
2
2)0(
)0(
2
yyC
yyC
yCC
yCC
yy
yy
eCeCy
eCeCy
xx
xx
03 yyy
177
Conclusion1:
• Si les zéros de l’équation
caractéristique sont tous deux
réels, distincts, on a des
solutions en
• Conditions initiales (par
exemple)
xx
xx
eCeCy
eCeCy
21
21
2211
21
21
02211
021
0
0,
)0(
)0(CC
yCC
yCC
yy
yy
178
Cas deux: une solution double réelle
0
0
2
cba
cyybya
1
012
02
2
yyy
)/( tesindépendan
esélémentair solutionset
ctexee
xee
xx
xx
CICxeCBxeAey xxx 21
On vérifie?
179
Conditions initiales
212110
210
211
21
1
)1(
CCCCCy
CCy
eCCexCy
CxeCy
xx
x
180
Conclusion2
• Si les zéros sont égaux,donc réels on a des solutions
en
21 CxCey x
212110
210
1 CCCCCy
CCy
181
Cas 3: deux imaginaires purs (donc opposés)
0
0
2
cba
cyybya
i
yy
3
09
09
2
tesindépendan
esélémentair tionsin(3x)soluet os(3x) sc
CIxCxCy )3sin()3cos( 21
On vérifie?
182
Conditions initiales
20
10
21
21
3
)3cos(3)3sin(3
)3sin()3cos(
Cy
Cy
xCxCy
xCxCy
183
Cas 3 bis: zéros conjugués
0
0
2
cba
cyybya
i
yyy
32
0134
0134
2
ixxxi
ixxxi
eee
eee
32)32(
32)32(
)3sin()3cos()3sin()3cos( 21
22
2
2
1 xCxCexeCxeCy xxx
Amortissement oscillation
Question à 50c: où sont passés les complexes?????
184
Conclusion 3
• Si les zéros sont complexes, donc conjugués, les
solutions sont alors :
• Les solutions sont réelles car les CI le sont
xCxCey x sincos 21
i
185
Equations avec second membre – exemple: oscillateur forcé
• Théorème : La solution générale de l’équation avec second membre est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre, et d’une solution particulière de l’équation complète.
• Le hic: comment trouver la solution particulière?
• Variation des constantes!
limites conditionsdeux
)()()()( xyxcyxbyxa
186
La solution (sans démonstration). Nous ne l’utiliserons pas, mais
ceci donne la forme générales quand on veut une expression
thoérique
• Solution particulière et solution totale
xx
p dw
SxCd
w
CxSxy
00)(
)()()(
)(
)()()()(
xx
dw
SxCd
w
CxSxSyxCyxy
00
00)(
)()()(
)(
)()()()()()(
limites conditionsdeux
)()()()( xyxcyxbyxa
x
dtta
tbxw
0)(
)(exp)(
187
Interprétation physique des solutions
• La solution particulière de l’équation complète correspond
au comportement à long terme du système quand celui-ci
est amorti (coefficient en y’)
• Elle correspond à son comportement à long terme quand
on démarre le système avec une énergie interne nulle
• On peut donc la deviner (ou au moins deviner sa forme)
dans le cas d’un système physique ou technique )
188
Equations à coefficients constants
• Tous les coefficients sont
constants
• Une solution particulière
évidente est 𝑦𝑝 =Φ
𝑐
• Si Y est la solution générale
de l’équation sans second
membre, alors
cyybya
cYy
189
Exemple: circuit RLC série fermé
Tension aux bornes du condensateur
• i=Cdu/dt
• Equation:𝑈 − 𝑅𝐶 ∙ 𝑈′ + 𝐿𝐶 ∙ 𝑈′′ = 0
LCCR 422
<0 >00
nsoscillatioC
LR
iteC
LR
nsoscillatiopasdC
LR
20
lim20
'20
190
Circuit forcé – Etape 1
)4cos( tyyy
𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 0𝛼2 + 𝛼 + 1 = 0
α =−1 ± 𝑖 3
2.
𝑦𝑠𝑠𝑚 = 𝑒−𝑥/2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠3
2∙ 𝑥 + 𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛
3
2∙ 𝑥
𝑒−𝑥/2 ∙ 𝑐𝑜𝑠3
2∙ 𝑥
191
Oscillateur forcé - finSolution particulière:
)4cos( tyyy
𝑦𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 + 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)
𝑦′𝑝 = −4𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 4𝑡 + 4𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠(4𝑡)
𝑦′′𝑝 = −16𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 − 16𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)
𝑦′′𝑝+𝑦′𝑝+𝑦𝑝 = −15𝑎 + 4𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 − 4𝑎 + 15𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 4𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 4𝑡
൝−𝟏𝟓𝒂 + 𝟒𝒃 = 𝟏𝟒𝒂 + 𝟏𝟓𝒃 = 𝟎
→ ቊ𝒂 = −𝟏𝟓/𝟐𝟒𝟏𝒃 = 𝟒/𝟐𝟒𝟏
𝑦 = 𝑒−𝑥/2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠3
2∙ 𝑥 +𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛
3
2∙ 𝑥 −
15
241∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 +
4
241∙ 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)
192
On observe le régime transitoire
(éq. Sans second membre,
régime libre) et le régime à long
terme (forcé, solutionparticulière)
Calcul vectoriel
• Notion générale de vecteur, bases, norme
• Produit scalaire
• Droites et plans, vectoriels et affines
• Produit vectoriel
• Equation d’une droite, d’un plan
• Normale à une droite ou à un plan
• Applications: distance d’un point à une droite, à un plan
• Systèmes d’équations linéaires
193
Définitions générales
• Un vecteur permet de définir une direction, un sens et une intensité.
Exemple: une force de 5N dirigée verticalement vers le bas
• On peut multiplier un vecteur par un réel: trois personnes exerçant
une force de 5N de même direction et de même sens exercent au
total 15 N
• On peut ajouter des vecteurs: deux personnes qui exercent chacun
une force exercent au total une force résultante qui dépend des sens
et des intensités de deux force initiale
194
• De manière générale, un espace vectoriel réel E est un ensemble au sein duquel on sait définir une addition et une multiplication (externe) par un réel
• 𝐴 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝐵 ∈ 𝐸 ⟹ 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝐸
• 𝐴 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝜆 ∈ ℝ ⟹ 𝜆𝐴 ∈ 𝐸
• Deux vecteurs A et B sont dits colinéaires s’ils sont de même direction donc si l’on peut écrire B = 𝜆𝐴, 𝜆 ∈ ℝ
• Nous indiquerons par la suite les vecteurs avec des flèches mais cen’est pas indispensable…
• L’”intensité”du vecteur s’appelle sa norme, elle est positive
• Exemples de vecteurs et norme associée
La position d’un point par rapport à une origine / la distance (m)
Une force / l’intensité de la force (N)
Une vitesse / la vitesse en m/s
La position et la vitesse (en m/s) d’une masse située au bout d’un ressort (x,v) / norme non définie…
195
Quelques questions qui demandent le calcul vectoriel
• Travail d’une force
• Calculer le champ magnétique créé par un fil parcouru
par un courant
• Calculer la force qui s’exerce sur un proton en
mouvement
• Pourquoi et comment un patineur en rotation et qui
resserre les bras accélère t’il?
• Pourquoi et comment le pendule de Foucault voit il son
plan d’oscillation varier?
196
197
Somme et produit par un réel: les deux seules choses qui
définissent des vecteurs (même pas besoin de la norme)
Y
YX
X
YX
0 avec X
0 avec X
XX
YXYX
Espaces vectoriels et affines
• Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs
• Ex: l’ensemble des vecteurs colinéaires à un vecteur donné est une droite
vectorielle, et est constitué de vecteurs uniquement
• Un espace affine est constitué de points. Deux points permettent de définir un
vecteur
• Si A et B permettent de définir un vecteur 𝐴𝐵 et si (A,B,C,D) est un
parallélogramme, alors D et C définissent le même vecteur: 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶(mêmes direction et sens, même norme)
• 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪 (𝑪𝒉𝒂𝒔𝒍𝒆𝒔)
• Deux droites affines parallèles ont le même vecteur directeur.
• Deux droites vectorielles parallèles sont…identiques
198
AB
C
D
199
Définitions/propriétés
• Combinaison linéaire (2 vecteurs ou plus)
• Définition : Deux vecteurs sont indépendants s’ils ne sont pas colinéaires.
• n vecteurs forment un système libre, par opposition à un système lié) si aucun de ses vecteurs ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres.
• La dimension d’un espace vectoriel est le plus grand nombre de vecteurs qui puissent former un système libre.
• On appelle base tout système libre de n vecteurs, n étant ici la dimension de l’espace considéré.
• Théorème : Tout espace vectoriel admet des bases.
• Corolaire: tout vecteur de l’espace vectoriel peuts’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de base
• Les coefficients sont les coordonnées (oucomposantes) du vecteur
• Repère dans un espace affine: Une base + un point • Pas forcément orthonormé
• Nous noterons les vecteurs sous formecolonne sauf quand il n’y a pas d’ambiguité.
NN XX
YX
11
kji
,,
kcjbiaOM
O
i
k
j
M
Dimension = nombre de degrés de liberté
• Les trois degrés de liberté de l’espace ambiant définissent
un espace de dimension 3.
• L’espace ambiant est un espace affine de dimension 3
• L’ensemble des trajectoires d’un point dans l’espace
ambiant est déterminé par 3 coordonnées de position et 3
composantes de vitesse. C’est un espace à 6 dimensions
appelé espace des phases (6N dimensions si N points)
• L’ensemble des polynômes de degré n est un espace
vectoriel de dimension (n+1)
• L’ensemble des solutions d’une équation linéaire du
second membre et sans secon membre est un espace
vectoriel de dimension 2
200
Divers
• Combinaison linéaire de deux vecteurs (ici en dimension 2)
Si Ԧ𝐴 = 𝑥𝐴𝑦𝐴
𝑒𝑡 𝐵 = 𝑥𝐵𝑦𝐵
alors λ Ԧ𝐴 + 𝜇𝐵 = 𝜆𝑥𝐴+𝜇𝑥𝐵𝜆𝑦𝐴+𝜇𝑦𝐵
• Vecteur défini par deux points
𝑀 = 𝑥𝑀𝑦𝑀
𝑒𝑡 𝑁 = 𝑥𝑁𝑦𝑁
alors 𝑀𝑁 = 𝑥𝑁−𝑥𝑀𝑦𝑁−𝑦𝑀
• Milieu M d’un segment [A,B], O étant une origine quelconque
𝑂𝑀 =1
2∙ 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
• Barycentre de n points Xi
𝑂Ω =1
𝜆1 +⋯𝜆𝑛∙𝜆𝑖 ∙ 𝑂𝑋𝑖
• Indépendant du point d’origine (heureusement!)
𝑂𝐴 + 𝐴Ω =1
𝜆1 +⋯𝜆𝑛∙𝜆𝑖 ∙ 𝑂𝐴 + 𝐴𝑋𝑖 = 𝑂𝐴 +
1
𝜆1 +⋯𝜆𝑛∙𝜆𝑖 ∙ 𝐴𝑋𝑖
201
Produit scalaire
• Par définition, le produit scalaire de deux vecteurs est le nombre réel
Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 = Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
où 𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs
• En particulier Ԧ𝑋 ∙ Ԧ𝑋 = Ԧ𝑋2
• Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produitscalaire est nul.
Le produit scalaire commute Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑌 ∙ Ԧ𝑋
Il se distribue Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 + Ԧ𝑍 = Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 + Ԧ𝑋 ∙ Ԧ𝑍
𝛼 ∙ Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 = 𝛼 Ԧ𝑋 ∙ 𝑌 = Ԧ𝑋 ∙ 𝛼𝑌 , 𝛼 ∈ ℝ
𝜶𝑿 = 𝜶 ∙ 𝑿
• Théorème: le vecteur 𝑛 =1
𝑋∙ Ԧ𝑋 est colinéaire à Ԧ𝑋, de même sens et
de norme 1. On a ainsi normalisé le vecteur Ԧ𝑋
202
Le produit scalaire est une projection
• 𝑛 = 1, 𝑛 vecteur directeur de la droite, O un point quelconque
• 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐴
• 𝑛 ∙ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 (distance algébrique, avec un signe)
203
O
A
H
𝒏 Le produit scalaire est un NOMBRE
Base orthornormée (dimension 3 pour l’exemple)
• Une base Ԧ𝑖, Ԧ𝑗, 𝑘 est une base orthonormée si et seulement si
• Ԧ𝑖 = Ԧ𝑗 = 𝑘 = 1
• Ԧ𝑖 ∙ Ԧ𝑗 = Ԧ𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ Ԧ𝑖 = 0
• Théorème: Si la base est orthonormée et si Ԧ𝐴 =
𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴
et 𝐵 =
𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵
alors Ԧ𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐵 + 𝑧𝐴 ∙ 𝑧𝐵
• Si la base n’est pas orthonormée, la formule est plus
compliquée
204
Démonstration
Ԧ𝐴 = 𝑥𝐴 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑦𝐴 ∙ Ԧ𝑗 + 𝑧𝐴 ∙ 𝑘
𝐵 = 𝑥𝐵 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑦𝐵 ∙ Ԧ𝑗 + 𝑧𝐵 ∙ 𝑘Ԧ𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 ∙ Ԧ𝑖 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑥𝐴 ∙ 𝑦𝐵 ∙ Ԧ𝑖 ∙ Ԧ𝑗 + ⋯
• Si la base est orthonormée, les carrés scalaires valent 1
et les produits croisés sont nuls, et alors
→ Ԧ𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑥𝐴 ∙ 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐵 + 𝑧𝐴 ∙ 𝑧𝐵• Sinon, le produit scalaire dépend des produits scalaires
des vecteurs de base entre eux.
• On n’a pas toujours une base orthonormée
205
Angle entre deux vecteurs
𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑋 ∙ 𝑌 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑋∙𝑌
𝑋 ∙ 𝑌
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑋 ∙ 𝑌
𝑋 ∙ 𝑌∈ [0, 𝜋]
Angle interne
Exemple: Ԧ𝑋 = 1,2,3 𝑒𝑡 𝑌 = 2,1,0
𝑐𝑜𝑠𝜃 =4
70
206
Equation d’un plan dans un espace de dimension 3
• Les vecteurs (x,y,z) perpendiculaires à un vecteur donné 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)forment, un dimension 3, un plan vectoriel
• L’équation du plan vectoriel est donc
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0
dont 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) est un vecteur normal
• Plan affine passant par un point A fixé.
A et B (x,y,z) sont un plan perpendiculaire à 𝑛 si 𝐴𝐵 est perpendiculaire à 𝑛
𝑎 𝑥 − 𝑥𝐴 + 𝑏 𝑦 − 𝑦𝐴 + 𝑐 𝑧 − 𝑧𝐴 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑐𝑡𝑒
est l’équation d’un plan affine dont 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) est un vecteur normal
207
Exemple: distance D de M(1,2,3) au plan 3x+2y+z=7
Position du point par rapport au plan
A(1,1,2) appartient au plan et 𝐴𝑀 = (0,1,1)
𝐴𝑀 = 𝐴𝐻 + 𝐻𝑀
𝑛 = (3,2,1) est un vecteur normal
𝑛 ∙ 𝐴𝑀 = 𝑛 ∙ 𝐻𝑀 = ± 𝑛 ∙ 𝐻𝑀 = ± 𝑛 ∙ 𝐷
±𝐷 =𝑛∙𝐴𝑀
𝑛=
3
14,
positif, donc M est du côté du plan donné par le sens de 𝑛
Bis: prendre A (0,0,7)….
208
209
Produit vectoriel
• un système de trois vecteurs est dit direct si l’orientation des vecteurs, dans l’ordre indiqué, correspond à l’orientation des trois premiers doigts de la main droite, dans l’ordre (pouce, index, majeur).
• Pas forcément orthogonalité
• Correspond au sens trigonométriquedans le plan, qui n’a plus de sens en 3 dimensions ou plus
• Dans un espace, quelle que soit la dimension, il n’y a que deuxorientations possibles
ZX
,Y,
X
Z
Y
210
Plusieurs définitions: (i,j,k) direct quand
• Règle du tire-bouchon• Si l’on tourne de i vers j,
alors k est orienté dans le sens où avance le tire-bouchon
• Règle de la main droite• La main tendue donne le
sens de i
• Une balle dans la paume donne le sens de j
• Le pouce donne le sens de k
• Règle des trois doigts de la main droite
X
Z
Y
Produit vectoriel, définition:
• On définit Ԧ𝑍 = 𝑋⋀𝑌 comme étant le seul vecteur vérifiant
• 𝑿, 𝒀, 𝒁 est direct
• Z orthogonal à X et Y
• 𝒁 = 𝑿 ∙ 𝒀 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜽 (l’angle étant compté en zéro et 𝜋)
• Propriétés• Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul
• Le produit vectoriel est anticommutatif
• Plus généralement
211
XXX
XXXX
BABXAXBAX
XXX
XX
ZYY ZZ Y
ZZ
YYY
Y YY
Y-Y
0
Le produit vectoriel
est un VECTEUR
Cas d’une base orthonormée directe
• La définition du produit vectoriel implique immédiatement que
si Ԧ𝑖, Ԧ𝑗, 𝑘 est orthonormée directe alors
Ԧ𝑖 ∧ Ԧ𝑗 = 𝑘 et Ԧ𝑗 ∧ Ԧ𝑖 = −𝑘
Ԧ𝑗 ∧ 𝑘 = Ԧ𝑖 et 𝑘 ∧ Ԧ𝑗 = −Ԧ𝑖
𝑘 ∧ Ԧ𝑖 = Ԧ𝑗 et Ԧ𝑖 ∧ 𝑘 = −Ԧ𝑗
Ԧ𝑖 ∧ Ԧ𝑖 = Ԧ𝑗 ∧ Ԧ𝑗 = 𝑘 ∧ 𝑘 = 0
• Conséquence: Si 𝑋 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 + 𝑧𝑘 et 𝑌 = 𝑎Ԧ𝑖 + 𝑏Ԧ𝑗 + 𝑐𝑘
𝑋 ∧ 𝑌 = 𝑥𝑎Ԧ𝑖 ∧ Ԧ𝑖 + 𝑥𝑏Ԧ𝑖 ∧ Ԧ𝑗 + ⋯+ 𝑦𝑎Ԧ𝑗 ∧ Ԧ𝑖 + ⋯
𝑋 ∧ 𝑌 = 0 + 𝑥𝑏𝑘 +⋯− 𝑦𝑎𝑘 +⋯
𝑿 ∧ 𝒀 = 𝒚𝒄 − 𝒛𝒃 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒛𝒂 − 𝒙𝒄 ∙ Ԧ𝒋 + 𝒙𝒃 − 𝒚𝒂 ∙ 𝒌
212
213
Cas d’une base orthonormée: calcul pratique
• Règle des déterminants
yaxb
xcza
zbyc
c
b
a
z
y
x
yaxb
xcza
zbyc
c
b
a
z
y
x
214
Un exemple avec les deux produits
deg6.24
184
49
84
35
84
49
614
7coscos7
84
35
614
35sin
6
14
359251
01*31*52*1
03*32*51*1
3
5
1
1
1
2
3
2
1
YXYX
YX
Z
Y
X
Z
ZYX
Y YY
Y)Y
)Y
,sin
(
(
XXX
X
XX
YYY
,cos XXX
Distance d’un point à une droite
• 𝑛 vecteur directeur de la droite, O un point quelconque
• 𝑂𝐴 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐴
• 𝑛 ∧ 𝑂𝐴 = 𝐴𝐻 ∙ 𝑛 → 𝐴𝐻 =𝑛∧𝑂𝐴
𝑛
215
O
A
H
𝒏 Le produit vectoriel est un VECTEUR
216
Problèmes de magnétisme
BvEqF
• Force électrique et force
magnétique
• Champ crée par un courant (loi de
Biot et Savart)𝑑𝐵 =
𝜇0 ∙ 𝐼
4𝜋𝑟3∙ 𝑑Ԧ𝑙 ∧ Ԧ𝑟
Champ élémentaireFil rectiligne infini Solénoïde (inductance)
217
Interaction entre deux charges en
mouvement• Champ magnétique crée
par une charge en
mouvement
• Interaction entre deux
charges en mouvement
Un peu de géométrie
• Vecteur directeur de la droite formant l’intersection de
deux plans
• 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6
• 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
• Vecteurs normaux: (1,2,3) et (1,-1,1)
•
123
∧1−11
=52−3
convient…..
218
C’est pas
bioutiful??
219
Une autre interprétation du produit vectoriel
• Orthogonal au plan qui
contient X et Y
Y YY
YY
Y
,sin XXX
X
XX
ammeparalélogr du aire triangledu aire*2
Y
YX
hXY
,sin
h
X
Y
220
Applications
• Moment d’un vecteur par
rapport à un point
• vecteur
• Moment d’un vecteur par
rapport à un axe
• scalaire
XABXM A
uXABuXMXM A
221
Un autre exemple: levier
• La « force qui compte » est
• L’effet est d’autant plus important que le « bras de levier » OM est grand
• La seule quantité importante est donc
• Ceci doit être indépendant de la position angulaire dans le plan
• On définit donc ainsi le moment de la force par
• La rotation, et tout ce qui entraîne une rotation, sera donc associé à la notion de moment
jFFeff
cos
sincos FOMFOM
FOMMOF
/
M
j F
O
i
222
Vecteur rotation: une façon de voir les choses
• ω: vitesse angulaire
(radians/seconde)
• Comment décrire quelque chose
qui change tout le temps?
X
O
vOXR
OX
vOX
OX
v
R
v
2
2
1
Moment cinétique (ici un seul point) analogue à la quantité de mouvement
Sytèmes d’équations linéaires
• On considère les systèmes linéaires de plusieurs
équations à plusieurs inconnues
• ቐ
𝑀11𝑥1 +⋯+𝑀1𝑛𝑥𝑛 = 𝑦1⋯
𝑀𝑝1𝑥1 +⋯+𝑀𝑝𝑛𝑥𝑛 = 𝑦𝑝
p équations à n inconnues
• Un tel système peut admettre une solution unique,
aucune solution, ou une infinité de solutions
• Quand il y a plus d’équations que d’inconnues, il n’y a en
général pas de solution stricte, mais on sait en définir au
sens des moindres carrés (exemple: déterminer
expérimentalement deux paramètres avec 20 mesures)
223
Résolution par combinaison linéaire
• Théorème: On obtient un système équivalent en remplaçant l’une des équations par une combinaison linéaire de cette équation et d’une autrequelconque (attention, il faut l’une des deux d’origine).
• On peut ainsi éliminer une inconnue de toutes les équations sauf une et réitérer le processus. On peut pour cela• échanger deux lignes.
• multiplier une ligne par un nombre non nul.
• ajouter dun multiple d'une ligne à une autre ligne.
• ቐ
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 134𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
→ ቐ
𝐸𝑞2 − 2 ∗ 𝐸𝑞14𝐸𝑞3 − 𝐸𝑞2
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13→ ቐ
−7𝑦 − 𝑧 = −2715𝑦 + 7𝑧 = 53
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
• ൞
7𝐸𝑞1 + 𝑒𝑞215𝑦 + 7𝑧 = 53
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13→ ቐ
−34𝑦 = −13615𝑦 + 7𝑧 = 53
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13→ ቐ
𝑦 = 47𝑧 = −7
𝑥 = 13 − 12 + 2 = 3
224
Cas où il n’y a pas de solution unique
• Si l’une des équations est une combinaison linéaire de certaines des
autres, il y a une infinité de solutions ou aucune.
• ቐ
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 12𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 23𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 3
• L’équation 3 est la somme des deux premières, le système se ramène à deux
équations
• ቊ𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 12𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2
qui est l’équation d’une droite
• ቐ
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 12𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 23𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 4
• L’équation 3 est la somme des deux premières à gauche mais pas à droite. Il
n’y a pas de solutions, les équations étant incompatibles.
225
La méthode du pivot de Gauss
•
1𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = 42𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 + 1𝑡 = 33𝑥 + 4𝑦 + 1𝑧 + 2𝑡 = 24𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 1
• On élimine x de chaque
ligne, puis y etc
• On résout le système
triangulaire obtenu de
proche en proche
• ex: -10z=-5, -y+z=0 etc
226
Un programme aisé (donne la matrice triangulaire et le
vecteur associé, il reste à résoudre
227
228
Applications linéaires et matrices
• On considère une fonction qui, à un vecteur en dimension
n, associe un vecteur en dimension p
• On part donc d’un espace donné pour arriver dans un
autre, qui n’est pas nécessairement le même
• Définition: f est linéaire si, pour tout couple de vecteurs
(X,Y) et pour tout couple de réels (a,b) on a
f(aX+bY)=af(X)+bf(Y)
• Exemple: Un circuit électrique avec 3 tensions d’entrée et
deux de sortie
229
Théorème fondamental
• Il existe np nombres, notés Mik tels que si
• Alors
• On appelle matrice de l’application f le tableau de nombres
)( avec et
11
XfY
y
y
Y
x
x
X
pn
npnppp
nn
xMxMxMy
xMxMxMy
22111
12121111
pnp
n
MM
MM
M
1
111
230
Démonstration succinte
• Si ei est un vecteur de base de l’espace de départ et si E1…Ep sont
les vecteurs de base de l’espace d’arrivée, on peut toujours
décomposer f(ei) sous la forme:
• Dans ces conditions, la colonne de rang i de la matrice M est
constituée des coordonnées de l’image du ième vecteur de la base
de départ dans la base d’arrivée.
• La linéarité de f fait le reste
• Remarque importante: La matrice dépend des bases de départ et
d’arrivée
pipii EMEMef 11)(
231
Exemple de matrice carrée 2*2
• Une rotation dans le plan, d’angle , a pour matrice
• Démonstration: que sont les images des vecteurs de base?
• Application: Comment obtenir la rotation d’un vecteur quelconque?
• L’identité f(x)=x a pour matrice un tableau où la diagonale vaut 1 et où les autres termes sont nuls, la matrice Identité
cossin
sincosR
cossin
sincos
yx
yx
Y
X
232
Addition et multiplication par un réel
• Si M est la matrice de f, la matrice de af, où a est un nombre réel, est
la matrice notée aM, dont chaque terme est obtenu en multipliant le
terme correspondant dans M par a
• Si f et g sont deux applications linéaires de matrices M et N, la
matrice de l’application f+g est égale à la somme M+N des deux
matrices, calculée en faisant la somme termes à termes
• L’addition est commutative
ijij aMaM
ijijij NMNM
233
Composition• Si f g sont deux applications linéaires de matrices respectives M et N
• Théorème: L’application f(g) est linéaire et est caractérisée par une
matrice notée MN (produit)
• Nota: le produit de matrices n’est pas commutatif. Attention aux
dimensions
mpm
ij
p
mnm
iniki
n
npnjn
kj
pj
PP
P
PP
MM
MMM
MM
NNN
N
NNN
1
111
1
1
111
1
1111
pj
ni
NMPnk
kjikij
..1
..1
..1
234
Exemple: composée de deux rotations
cossin
sincos
sinsincoscossincoscossin
sincoscossinsinsincoscos
cossin
sincos
cossin
sincos
R
R
Deux rotations successives de 90
degrés:
IRR
R
10
01*
01
10
2/2/
2/
What is it?
Was ist das?
Kecose?
Matrice identité I
235
Le produit de deux matrices n’est pas commutatif
• Un exemple suffit
1 2
3 4
2 1
4 3
5 8
13 20
1 2
3 4
2 1
4 3
10 7
22 15
236
Notion de matrice inverse
• Soit une matrice M. S’il existe une matrice (notée M-1)
telle que
Alors la matrice M-1 est appelée MATRICE INVERSE de M
• L’inverse de M-1 est M
IMMMM 11
237
Inverse d’une matrice d’ordre 2
1 2
3 4
-2 1
3
2
-1
2
1 0
0 1
-2 1
3
2
-1
2
1 2
3 4
1 0
0 1
1 2
3 4
D=4*1-3*2=-2 est le
DETERMINANT de la
matrice 2*2
•On divise chaque terme par D.
•On permute les termes diagonaux M11 et M22
•On change le signe des termes hors diagonale
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul
Se généralise en dimension quelconque
238
Notion de matrice transposée
• Soit M une matrice n*p.
• La matrice transposée de M, notée Mt est la matrice p*n
telle que
Mtik = Mki
(permutation des termes, sauf la diagonale évidemment)
239
Une application: équation à deux inconnues..ou plus
• Les matrices permettent de résoudre les systèmes de n
équations à p inconnues, y compris différentiels
• Si n#p, on trouve des solutions au sens des moindres
carrés
• D’un point de vue pratique, quand n=p,on ne calcule pas
l’inverse de la matrice, mais on utilise des méthodes plus
sophistiquées issues des matrices
7/8
7/2
2
4
7/27/3
7/37/1
2
4
2
4
13
32
23
432
1YMXYMX
MXy
x
yx
yx
Coordonnées polaires (dans le plan)
• Dans un repère orthonormé(𝑂, Ԧ𝑖, Ԧ𝑗)
• 𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
• 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃• 𝑟 𝑒𝑡 𝜃 sont les
coordonnées polaires de M
• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
• 𝜃 = arctan𝑦
𝑥𝑠𝑖 𝑥 > 0
• 𝜃 = arctan𝑦
𝑥+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0
• 𝜃 =𝜋
2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0
• 𝜃 = −𝜋
2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0
240
r
𝜃
x
y
Exemples
• 𝑟 = 3 𝑒𝑡 𝜃 =2𝜋
3→ 𝑥 = −
3
2𝑒𝑡 𝑦 =
3 3
2
• 𝑥 = 3 𝑒𝑡 𝑦 = 4 → 𝑟 = 25 = 5 𝑒𝑡 𝜃 = arctan4
3
• Attention
• Il est correct d’écrire 𝑀𝑥𝑦 en coordonnées cartésiennes
• Il n’est pas correct d’écrire 𝑀𝑟𝜃
(exemple suit)
241
Repère polaire (repère tournant)
On définit
• Le vecteur radial:𝑢𝑟 =1
𝑂𝑀∙ 𝑂𝑀
Il est colinéaire au rayon vecteur et de
norme 1
• Le vecteur orthoradial:𝑢𝜃Il est perpendiculaire à 𝑢𝑟 et obtenu en
tournant dans le sens trigonométrique
𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ Ԧ𝒋
𝑢𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝜋/2 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 +𝜋
2∙ Ԧ𝑗
𝒖𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ Ԧ𝒋
242
𝑢𝑟𝑢𝜃
M
O
(𝑢𝑟 , 𝑢𝜃) est direct
Propriétés “cinématiques” (fondamentales en mécanique)
• 𝑢𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑗
• 𝑢𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗
𝑑𝑢𝑟𝑑𝜃
= 𝑢𝜃
𝑑𝑢𝜃𝑑𝜃
= −𝑢𝑟
243
La dérivation est une rotation de 𝜋/2 dans le sens
trigonométrique
Eléments de longueur et déplacement élémentaire
• On suppose un déplacement aussi petit que l’on veut
(”infiniment petit”)
• 𝑑 𝑀1,𝑀3 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 2
• 𝑀1𝑀3 = 𝑀1𝑀4 +𝑀4𝑀3 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑢𝜃(en lisant sur le dessin)
• De façon plus rigoureuse, on calcule une différentielle
• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 = 𝑓 𝑟, 𝜃
• 𝑑(𝑂𝑀1) =𝜕𝑓
𝜕𝑟𝑑𝑟 +
𝜕𝑓
𝜕𝜃𝑑𝜃
• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃
244
M1
M2
M4
M3
drd𝜃
Elément de surface
• 𝑑2𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝜃
• Cas d’un cercle don’t le
rayon varie de dr: il faut
intégrer sur un tour
complet et dans ce cas
• 𝑑𝑆 = 2𝜋𝑟 ∙ 𝑑𝑟• La surface d’un disque
est donc, par intégration
• 𝑆 = 0𝑅2𝜋𝑟 ∙ 𝑑𝑟 = 𝜋𝑅2
245
M1
M2
M4
M3
drd𝜃
Dérivation d’un vecteur de norme constante
• Ԧ𝑟 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟
• Ԧ𝑟 = 𝑟 = 𝑐𝑡𝑒
• Ԧ𝑟 ∙ Ԧ𝑟 = 𝑟2 = 𝑐𝑡𝑒
•𝑑
𝑑𝜃Ԧ𝑟 ∙ Ԧ𝑟 =
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝜃∙ Ԧ𝑟 + Ԧ𝑟 ∙
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝜃= 2 ∙ Ԧ𝑟 ∙
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝜃= 0
• La dérivée (selon 𝜃) d’un vecteur de norme constante est
perpendiculaire à ce vecteur
246
247
Coordonnées cylindriques: polaires+ 1 dimension
• Vecteur position
• Attention: les vecteurs radiaux sontdans le plan (Ԧ𝑖, Ԧ𝑗)
• 𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
• 𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
• 𝑧 = 𝑧
• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
• 𝜃 = arctan𝑦
𝑥𝑠𝑖 𝑥 > 0
• 𝜃 = arctan𝑦
𝑥+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0
• 𝜃 =𝜋
2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0
• 𝜃 = −𝜋
2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0
kzrkzurkzjyixOM r
x
z
r
z
u
ruP
M
248
Vecteurs unitaires
• Vecteur position
• Vecteur radial
• (𝑢𝑟 , 𝑢𝜃 , 𝑘) orthonomé
direct
• Vecteur orthoradial
• 𝑢𝑟 ∧ 𝑢𝜃 = 𝑘
• 𝑢𝜃 ∧ 𝑘 = 𝑢𝑟
• 𝑘 ∧ 𝑢𝑟 = 𝑢𝜃
kzrkzurkzjyixOM r
ruku
𝑢𝑟 =1
𝑂𝑃∙ 𝑂𝑃
x
z
r
z
u
ruP
M
𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ Ԧ𝒋
𝒖𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽 ∙ Ԧ𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∙ Ԧ𝒋
Dérivation: comme en polaires avec Ԧ𝑘 constant
• 𝑢𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑗
• 𝑢𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ Ԧ𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ Ԧ𝑗
• 𝑘 = 𝑘
𝑑𝑢𝑟𝑑𝜃
= 𝑢𝜃
𝑑𝑢𝜃𝑑𝜃
= −𝑢𝑟
𝑑𝑘
𝑑𝜃= 0
249
Eléments de longueur et déplacement élémentaire
• On suppose un déplacement aussi petit que l’on veut
(”infiniment petit”)
• 𝑑 𝑀1,𝑀5 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 2 + 𝑑𝑧 2
• 𝑀1𝑀5 = 𝑀1𝑀4 +𝑀4𝑀3 +𝑀3𝑀5 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑢𝜃 + dz ∙ 𝑘
(en lisant sur le dessin)
• De façon plus rigoureuse, on calcule une différentielle
• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 + 𝑧 ∙ 𝑘 = 𝑓 𝑟, 𝜃
• 𝑑(𝑂𝑀1) =𝜕𝑓
𝜕𝑟𝑑𝑟 +
𝜕𝑓
𝜕𝜃𝑑𝜃 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧𝑑𝑧
• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz
250
M1
M2
M4
M3
drd𝜃
M5
Elément de volume
• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz
• 𝑑3𝑉 = 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑧
• On utilise explicitement le fait que les coordonnées sont orthogonales, i.e. les vecteurstangents aux lignes d’iso-coordonnées formentune base orthonormée
• 𝑢𝑟 , 𝑢𝜃, 𝑘 est orthonormé direct
251
M1
M2
M4
M3
drd𝜃
M5
Gradient
• Le vecteur gradient
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
noté 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 est perpendiculaire
aux lignes de niveau.
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒙∙ Ԧ𝒊 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚∙ Ԧ𝒋 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛∙ 𝒌
• En coordonnées cylindriques
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒓∙ 𝒖𝒓 +
𝟏
𝒓
𝝏𝒇
𝝏𝜽∙ 𝒖𝜽 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛∙ 𝒌
252
Une manière de comprendre
𝒅𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒙∙ 𝒅𝒙 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚∙ 𝒅𝒚 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛∙ 𝒅𝒛
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒙∙ Ԧ𝒊 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚∙ Ԧ𝒋 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛∙ 𝒌
• En coordonnées cylindriques, il faut considérer les déplacements élémentairesdans chaque direction
• 𝒅𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒓∙ 𝒅𝒓 +
𝝏𝒇
𝝏𝜽∙ 𝒅𝜽 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛∙ 𝒅𝒛
• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑢𝜃 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 + 𝑘 ∙ dz
• 𝒅𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒓∙ 𝒅𝒓 +
𝟏
𝒓∙𝝏𝒇
𝝏𝜽∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝜽 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛∙ 𝒅𝒛
𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 =𝝏𝒇
𝝏𝒓∙ 𝒖𝒓 +
𝟏
𝒓
𝝏𝒇
𝝏𝜽∙ 𝒖𝜽 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛∙ 𝒌
253
Coordonnées sphériques
• 𝑂𝑀 = 𝑟, 𝜑 = Ԧ𝑖, 𝑂𝑃 ∈ 0,2𝜋 , 𝜃 = 𝑘 𝑂𝑀 ∈ 0, 𝜋
• 𝑂𝑃 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
• 𝑂𝐻 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑧
• 𝑥 = 𝑂𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑
• 𝑦 = 𝑂𝑃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑
• ቐ𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
254
Illustration: http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M01_G01/co/contenu_26.html
Relations réciproques
• 𝑂𝑀 = 𝑟, 𝜑 = Ԧ𝑖, 𝑂𝑃 ∈ 0,2𝜋 , 𝜃 = 𝑘 𝑂𝑃 ∈ 0, 𝜋
• ቐ𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
• 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
• 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑧
𝑟∈ 0, 𝜋
• 𝑡𝑎𝑛𝜑 =𝑦
𝑥
• 𝜑 = arctan𝑦
𝑥𝑠𝑖 𝑥 > 0
• 𝜑 = arctan𝑦
𝑥+ 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 < 0
• 𝜑 =𝜋
2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 > 0
• 𝜑 = −𝜋
2𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑦 < 0
255
Illustration: http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M01_G01/co/contenu_26.html
Un exemple
• 𝑟 = 2, 𝜃 =5𝜋
6, 𝜑 =
𝜋
3(emprunt G. Laget)
𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 2 ∙1
2∙1
2=1
2
𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 2 ∙1
2∙3
2=
3
2
𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 ∙− 3
2= − 3
• 𝑥 = −1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3
𝑟 = 14
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑧
𝑟= arccos
3
14𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −2 + 𝜋 = −arctan 2 + 𝜋
256
La base sphérique: une base orthonormée directe
• 𝑢𝑟 =1
𝑂𝑀∙ 𝑂𝑀 =
1
𝑟∙ 𝑂𝑀
• 𝑢𝜑 =1
𝑘∧𝑢𝑟∙ 𝑘 ∧ 𝑢𝑟
• 𝑢𝜃 = 𝑢𝜑 ∧ 𝑢𝑟
257
Déplacements élémentaires (transparent Guillaume Laget)
258
Eléments de surface (transparent Guillaume Laget)
259
Un dernier transparent volé à Guillaume, parce que le
point de vue est partagé
260
Complément: calcul de I = ∞−+∞
𝑒−𝑥2𝑑𝑥
261
• 𝑂𝑀1 = 𝑟 ∙ 𝑢𝑟 = 𝑓 𝑟, 𝜃
• 𝑑(𝑂𝑀1) = 𝑢𝑟 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑟 ∙ 𝑢𝜃 ∙ 𝑑𝜃
• 𝑆 =𝜃
2∙ 𝑟2
• 𝑑S 𝑟 = 𝑟𝜃 ∙ 𝑑𝑟
• 𝑑𝑆 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
261
Intégrale double (figure: Guillaume Laget, S2)
262
𝑋 = 𝑥, 𝑦
𝑉 = ඵ
𝐷
𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑆 = ඵ
𝐷
𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥2−𝑦2
Calcul
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥2−𝑦2 = 𝑒−𝑟
2
• 𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑒−𝑥2∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑒−𝑦
2∙ 𝑑𝑦
• 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = ∞−
+∞𝑒−𝑥
2∙ 𝑑𝑥 ∙ ∞−
+∞𝑒−𝑦
2∙ 𝑑𝑦 = 𝐼2
𝑑𝑆 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
• 𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 𝑒−𝑟2∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜃 ∙ 𝑑𝑟
• 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 = 0
2𝜋𝑑𝜃 ∙ 0
+∞𝑟𝑒−𝑟
2∙ 𝑑𝑟 = 𝜋
I = න−∞
+∞
𝑒−𝑥2𝑑𝑥 = 𝜋
263
Compléments
• Question: un objet est en orbite autour de la Terre. A
l’altitude H0=10000 km sa vitesse est de 200 m/s. Quelle
est sa vitesse à H1=200 km ?
• De quoi a-t-on besoin?
𝐴 =3.982 ∙ 108
ℎ + 6370 2
264
Intégrale curviligne
• Soit 𝛾 une courbe du plan paramétrée par t
𝛾 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)Soit 𝜔 = 𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑑𝑦
On définit l’intégrale curviligne d’un point A à un point B de 𝛾 par
ර𝐴
𝐵
𝜔 = න𝑡=𝑡𝐴
𝑡=𝑡𝐵
𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑦′(t) ∙ 𝑑𝑡
Théorème: Si 𝜔 est exacte alors l’intégrale ne dépend que des extrémités de la trajectoire
Corollaire: l’intégrale est nulle pour un circuit fermé
Démonstration: Si 𝜔 = 𝑑𝑓 alors 𝑃 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑥′(𝑡) + 𝑄 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑦′(t)=𝑑𝑓
𝑑𝑡
Et: ׯ𝐴𝐵𝜔 = 𝑓 𝐵 − 𝑓(𝐴)
265
dtdt
dfdt
dt
dy
y
f
dt
dx
x
fdt
dt
dy
y
fdt
dt
dx
x
fdf
𝒅𝒇
𝒅𝒕=𝝏𝒇
𝝏𝒙∙𝒅𝒙
𝒅𝒕+𝝏𝒇
𝝏𝒚∙𝒅𝒚
𝒅𝒕
Travail d’une force (ici: dans le plan)
𝛿𝑊 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑠 où 𝑑Ԧ𝑠 est le déplacement élémentaire
𝛿𝑊 = 𝐹𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 ∙ 𝑑𝑦
∆𝑊 = න𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡
𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒
𝛿𝑊
• Si 𝛿𝑊 est une différentielle exacte, alors le travail ne dépend que des points
de départ et d’arrivée
On note alors 𝛿𝑊 = −𝑑𝐸𝑝 (énergie potentielle).
• Cela signifie que Ԧ𝐹 =𝐹𝑥𝐹𝑦
= −𝑔𝑟𝑎𝑑(𝐸𝑝)
• Une force est dite conservative quand son travail ne dépend que des points
de départ d’arrivée. Dans ce cas, la variation d’énergie cinétique est égale à
la l’opposé de la variation d’énergie potentielle et l’énergie totale 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 est
constante
266
Cas d’une force radiale
• Ԧ𝐹 = −𝑘𝑚
𝑟2∙ 𝑢𝑟 (en sphériques, force attractive pour la gravité)
• m: masse de l’objet
• De manière évidente Ԧ𝐹 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 −𝑘𝑚
𝑟→ 𝐸𝑝 = −
𝑘𝑚
𝑟
• Quand on passe du point A au point B
• 𝐸𝑐𝐵 − 𝐸𝑐
𝐴 =1
2𝑚𝑣𝐵
2 −1
2𝑚𝑣𝐴
2 =𝑘𝑚
𝑟𝐵−
𝑘𝑚
𝑟𝐴→ 𝑣𝐵
2 = 𝑣𝐴2 + 2
𝑘
𝑟𝐵− 2
𝑘
𝑟𝐴
• Il faut connaître 𝑘 = 6.67 ∙ 10−11 ∙ 𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒
• 𝑟 = 𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 +𝐻
• 𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 = 597 ∙ 1022𝑘𝑔 𝑒𝑡 𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 = 6370 𝑘𝑚
• 𝑣𝐵 = 8519 𝑚/𝑠
267
