Cours de Mathématiques

Sup MPSI PCSI PTSI TSI

En partenariat avec l’association Sésamath http://www.sesamath.net

et le site http://www.les-mathematiques.net

Document en cours de relecture (fin des relectures, décembre2010)

Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron

5 novembre 2010

Présentation du livre

Le livre, dont vous trouverez ici un extrait, est un cours complet de mathématiques pour la premièreannée des classes préparatoires scientifiques. il est agrémenté de 1531 exercices corrigés, de 4 cha-pitres de méthodes et d’un aide-mémoire.Il se caractérise par les points suivants :• Nous nous sommes efforcés de rester très proches des consignes du programme officiel et de suivre

sa progression.• Nous avons beaucoup travaillé sur la présentation du livre et nous espérons qu’il sera agréable à

utiliser. Afin d’agrémenter sa lecture et pour rendre les mathématiques plus vivantes, nous avonsaccompagné le cours des biographies des différents mathématiciens rencontrés pendant l’année desup.

• Les exercices qui accompagnent chaque chapitre sont en quantité importante et de niveaux variés.Nous n’avons pas hésité à concevoir de nombreux exercices basiques afin que les étudiants les plusfaibles puissent affermir leurs bases. Des exercices qui demandent plus de réflexions et d’initiativessont prévus à l’intention des étudiants plus avancés. La difficulté de chaque exercice est indiquée.

• Nous avons utilisé un codage pour signaler les propositionset les preuves les plus importantesdu cours. Nous espérons que cela aidera les étudiants, dans une première lecture, à distinguer lesparties principales des parties plus secondaires.

• Le livre est terminé par 4 annexes qui recensent les techniques les plus usuelles qu’un étudiantdoit acquérir au cours de son année de sup. Ces annexes peuvent être utilisées pendant l’annéemais aussi pour réviser avant d’entrer en deuxième année. Les méthodes et techniques qui y sontconsignées sont expliquées en détail et illustrées.

• Le livre est actuellement l’objet d’une relecture collaborative sur le site les-mathematiques.net.• Le livre sera disponible sur internet sous une licence libre. Les internautes pourront en particulier le

télécharger gratuitement au format pdf ou le consulter via des pages web. Une version papier seracommercialisée en parallèle à un prix attractif.

• Une version de travail est consultable à cette adresse : http://les.mathematiques.free.fr/livre/livre.pdf.

François Capaces

Alain Soyeur

Emmanuel Vieillard-Baron

1

Table des matières

1 Nombres complexes 181.1 Le corpsC des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 18

1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 181.1.2 Construction deC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.3 Propriétés des opérations surC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Représentation d’Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Module d’un nombre complexe, inégalités triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Nombres complexes de module1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.1 GroupeU des nombres complexes de module1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.1 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7 Racinesn-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 321.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 341.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 361.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 361.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 37

1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 371.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 411.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.11.2 Polynômes, équations, racines de l’unité . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2 Géométrie élémentaire du plan 612.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1.2 Produit d’un vecteur et d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 63

2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 66

2

Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 672.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 68

Équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 692.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 692.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 712.4.2 Interprétation en terme d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.5 Application du déterminant : résolution d’un systèmelinéaire de Cramer de deux équations à deux

inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 732.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5.2 Lignes de niveau deM 7→~u.

−−→AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5.3 Lignes de niveau deM 7→det(~u,

−−→AM

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5.4 Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5.5 Équation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.8 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.9 Équation normale d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.10 Équation polaire d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 802.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 802.6.2 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6.3 Représentation paramétrique d’un cercle . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6.4 Équation polaire d’un cercle passant par l’origine d’un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6.5 Caractérisation d’un cercle par l’équation

−−→MA.

−−→MB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.6.6 Intersection d’un cercle et d’une droite . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.7.1 Produit scalaire et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.7.2 Coordonnées cartésiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.7.3 Géométrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 942.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 982.7.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 110

3 Géométrie élémentaire de l’espace 1123.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.1.1 Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plansdans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.3 Orientation de l’espace, base orthonormale directe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.2 Mode de repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 115Calcul algébrique avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 115Norme d’un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . 116

3.2.2 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1183.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.4.1 Définition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.4.2 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3

3.4.3 Propriétés du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 121Quelques exemples d’applications linéaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 122

3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.5 Déterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1233.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.5.3 Propriétés du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.5.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.6 Plans dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6.1 Représentation paramétrique des plans . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Interprétation géométrique de l’équation normale . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 128

3.6.3 Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 128Deux méthodes de calcul de la distance d’un point à un plan . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.7 Droites dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.7.1 Représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.7.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.7.3 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.8 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1333.8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1333.8.2 Sphères et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1343.8.3 Sphères et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1353.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.9.2 Coordonnées cartésiennes dans l’espace . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.9.3 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 146

4 Fonctions usuelles 1504.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.1.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1514.1.2 Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.1.4 Exponentielle de basea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.2.1 Rappels succincts sur les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1614.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1624.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 165Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 167

4.3.2 Formulaire de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.3.3 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Fonction argument sinus hyperboliqueargsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Fonction Argument cosinus hyperboliqueargch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Fonction Argument tangente hyperboliqueargth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1724.5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4

5 Equations différentielles linéaires 1975.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.2 Deux caractérisations de la fonction exponentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.2.1 Caractérisation par une équation différentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.2.2 Caractérisation par une équation fonctionnelle . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1985.3.2 Résolution de l’équation différentielle homogène normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.3.3 Résolution de l’équation différentielle normaliséeavec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 2015.3.4 Détermination de solutions particulières . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 202Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 202Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 204

5.3.5 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2055.3.6 Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 208

5.4 Équations différentielles linéaires du second ordre . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2085.4.2 Résolution de l’équation différentielle homogène dusecond ordre dansC . . . . . . . . . . . . . . 2095.4.3 Résolution de l’équation différentielle homogène dusecond ordre dansR . . . . . . . . . . . . . . 2115.4.4 Équation différentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2165.5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.5.2 Équations différentielles linéaires du second ordreà coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 2205.5.3 Résolution par changement de fonction inconnue . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.5.4 Résolution d’équations différentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.5.5 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord

des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2245.5.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 226

6 Étude des courbes planes 2296.1 Fonctions à valeurs dansR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2296.1.2 Dérivation du produit scalaire et du déterminant . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.2 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2326.2.2 Étude locale d’un arc paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Étude d’un point stationnaire avec des outils de terminale .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Étude d’un point stationnaire avec les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Branches infinies des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.2.3 Étude complète et tracé d’une courbe paramétrée . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.3 Etude d’une courbe polaireρ= f (θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2436.3.2 Etude d’une courbeρ= f (θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.3.3 La cardioïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2456.3.4 La strophoïde droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2476.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.4.2 Courbes en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 262

7 Coniques 2697.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.1.1 Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2707.1.2 Équation cartésienne d’une conique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.1.3 Équation polaire d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

7.2 Étude de la parabole :e = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.3 Étude de l’ellipse :0< e < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.4 Étude de l’hyperbole :1 < e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767.5 Définition bifocale de l’ellipse et de l’hyperbole . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.6 Courbes algébriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 284

5

7.7.1 En général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2847.7.2 Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2847.7.3 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2867.7.4 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2897.7.5 Courbes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 292

8 Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements 3018.1 Ensemble des entiers naturels - Récurrence . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

8.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3018.1.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3028.1.3 Suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3038.1.4 Notations

∑et

∏. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

8.1.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 305

8.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3058.2.2 Propriétés des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3058.2.3 Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.3 Opérations sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.4 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 308

8.4.1 Applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Nombre dep-listes d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 308Nombre d’applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 309Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 310

8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3148.5.1 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3148.5.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3198.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3218.5.4 Factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3228.5.5 Coefficients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.5.6 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 328

9 CorpsR des nombres réels 3359.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3359.2 Le corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3369.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3379.4 Majorant, minorant, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.5 Droite numérique achevéeR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.6 Intervalles deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3409.7 Propriété d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3409.8 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419.9 Densité deQ dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 343

9.10.1 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3439.10.2 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3449.10.3 Rationnels, irrationnels, densité . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3469.10.4 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 349

10 Suites de nombres réels 35010.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

10.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35010.1.2 Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

10.2 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35210.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

10.3 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.3.1 Limites et relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35510.3.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 357

10.4 Suite extraite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

10.5.1 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35910.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 360

6

10.5.3 Approximation décimale des réels . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36110.5.4 Segments emboités et théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

10.6 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36310.7 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

10.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 36410.7.2 Suite dominée par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36510.7.3 Suite négligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36510.7.4 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

10.8 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36710.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 370

10.9.1 Avec les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 37010.9.2 Convergence, divergence de suites . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37210.9.3 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37610.9.4 Suites monotones et bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38110.9.5 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 38610.9.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 38610.9.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39010.9.8 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39210.9.9 Étude de suites données par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40310.9.10 Étude de suites définies implicitement . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 40911.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

11.1.1 L’ensembleF (I,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40911.1.2 Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 41011.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 41111.1.4 Parité périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41111.1.5 Fonctions Lipschitzienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

11.2 Limite et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41311.2.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 41311.2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 41311.2.3 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41611.2.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 41711.2.5 Limite à gauche, à droite, continuité à gauche, à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41811.2.6 Limites et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41911.2.7 Théorème de composition des limites . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42011.2.8 Image d’une suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42111.2.9 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

11.3 Étude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42411.3.1 Domination, prépondérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 424Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 424Opérations sur les relations de comparaison . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 425

11.3.2 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 425Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 426

11.4 Propriétés globales des fonctions continues . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42811.4.1 Définitions et propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 428Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 429

11.4.2 Les théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 429Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 429Fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 431Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 433Théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 433

11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 43511.5.1 Avec les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 43511.5.2 Limites d’une fonction à valeurs réelles . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43511.5.3 Comparaison des fonctions numériques . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44111.5.4 Continuité des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

7

11.5.5 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45211.5.6 Continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45511.5.7 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45711.5.8 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45811.5.9 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45911.5.10 Bijection continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

12 Dérivation des fonctions à valeurs réelles 46412.1 Dérivée en un point, fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46412.2 Dérivée en un point, fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

12.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 46412.2.2 Interprétations de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 465Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 466Interprétation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 466

12.2.3 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46612.2.4 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 467

12.3 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46712.4 Étude globale des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

12.4.1 Extremum d’une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47012.4.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 470

Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 471Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 471

12.4.3 Égalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47112.4.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47212.4.5 Application : Variations d’une fonction . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47312.4.6 Condition suffisante de dérivabilité en un point . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

12.5 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47412.5.1 Dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 47412.5.2 Dérivée d’ordren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47412.5.3 Fonctions de classeC n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

12.6 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47612.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 481

12.7.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 48112.7.2 Dérivées d’ordren, formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48912.7.3 Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49312.7.4 Recherche d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 49612.7.5 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 49612.7.6 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50112.7.7 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord

des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 50312.7.8 Études de suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50412.7.9 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 50712.7.10 Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

13 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles 51213.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

13.1.1 Subdivision d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51313.1.2 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51313.1.3 Intégrale d’une fonction en escaliers . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51413.1.4 Propriétés de l’intégrale d’une fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

13.2 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51613.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51613.2.2 Approximation des fonctions continues par morceauxpar les fonctions en escalier . . . . . . . . . 51713.2.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51813.2.4 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52013.2.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52113.2.6 Nullité de l’intégrale d’une fonction continue . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52113.2.7 Majorations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52213.2.8 Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52413.2.9 Invariance de l’intégrale par translation . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

8

13.3 Primitive et intégrale d’une fonction continue . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52413.4 Calcul de primitives et d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

13.4.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52813.4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52813.4.3 Changement de variable affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52913.4.4 Étude d’une fonction définie par une intégrale . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

13.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53213.5.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53213.5.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53313.5.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 53413.5.4 Utilisation des trois formules de Taylor . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

13.6 Méthode des rectangles, Sommes de Riemann . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53713.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 541

13.7.1 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54113.7.2 Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54213.7.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 54213.7.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54313.7.5 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54613.7.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 54913.7.7 Calcul de primitives et d’intégrales - Techniques mélangées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55213.7.8 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55913.7.9 Majorations d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56113.7.10 Limite de fonctions définies par une intégrale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56413.7.11 Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 56713.7.12 Suites dont le terme général est défini par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57513.7.13 Algèbre linéaire et intégration . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58413.7.14 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 58513.7.15 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 587

14 Développements limités 59114.1 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

14.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 59114.1.2 DL fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 59114.1.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 59214.1.4 DL et régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 593

14.2 Développement limité des fonctions usuelles . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59414.2.1 Utilisation de la formule de Taylor-Young . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

14.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59514.3.1 Combinaison linéaire et produit . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59514.3.2 Composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 59514.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 59614.3.4 Développement limité d’une primitive . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 59914.4.1 Calcul de développements limités . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59914.4.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 60814.4.3 Applications à l’étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61514.4.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 62014.4.5 Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62214.4.6 Applications à l’étude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62414.4.7 Applications à l’étude locale des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62714.4.8 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord

des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 631

15 Propriétés métriques des arcs 63315.0.9 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 63315.0.10 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 634

15.1 Propriétés métriques des courbes planes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63415.1.1 Longueur, abscisse curviligne d’un arc paramétré . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63415.1.2 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 63615.1.3 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

15.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 644

9

15.2.1 Calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 64415.2.2 Calcul de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 64415.2.3 Développée, développante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64615.2.4 Exercices divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 647

16 Suites et fonctions à valeurs complexes 64916.1 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64916.2 Continuité des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65116.3 Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65116.4 Intégration des fonctions à valeurs complexes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65216.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 655

16.5.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 65516.5.2 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 65516.5.3 Intégrales et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

17 Notions sur les fonctions de deux variables réelles 65717.1 Continuité des fonctions à deux variables . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65717.2 Dérivées partielles, fonctionsC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66117.3 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66517.4 Extremum d’une fonction à deux variables . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66617.5 Dérivées partielles d’ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66917.6 Exemples d’équations aux dérivées partielles . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67117.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 675

17.7.1 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67517.7.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67717.7.3 Fonctions de classeC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67917.7.4 Dérivées de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68217.7.5 Fonctions de classeC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68317.7.6 Extremum de fonctions de deux variables . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68417.7.7 Équations aux dérivées partielles d’ordre1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68617.7.8 Équations aux dérivées partielles d’ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68817.7.9 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 689

18 Intégrales multiples 69118.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

18.1.1 Le théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 69218.1.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69318.1.3 Aire d’un domaine plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 695

18.2 Champs de vecteurs dans le plan et dans l’espace . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69518.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 699

18.3.1 Calculs élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69918.3.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70118.3.3 Intégration en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70318.3.4 Application du théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70718.3.5 Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 70718.3.6 Centres de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 708

19 Structures algébriques 70919.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 709

19.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70919.1.2 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 71119.1.3 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 714

19.2 Anneau, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 71519.2.1 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 715

19.3 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71819.3.1 Corps des fractions d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

19.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 72019.4.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72019.4.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 72119.4.3 Sous groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 72719.4.4 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 728

10

19.4.5 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 73119.4.6 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 736

20 Arithmétique 73820.1 Relation de divisibilité, division euclidienne . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

20.1.1 Relation de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73820.1.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

20.2 PGCD, théorèmes d’Euclide et de Bezout . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73920.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

20.3.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 74420.3.2 Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

20.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 74720.4.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 74720.4.2 Bezout, PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 74720.4.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 75220.4.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 754

21 Polynômes 75521.1 Polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

21.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 75521.1.2 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 75721.1.3 Valuation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75821.1.4 Composition de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 75921.1.5 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75921.1.6 Division selon les puissances croissantes . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

21.2 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76121.2.1 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76121.2.2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76121.2.3 Schéma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 76321.2.4 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 763

21.3 Polynômes dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76421.3.1 Définitions et propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76421.3.2 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

21.4 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76621.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 76621.4.2 Factorisation dansC [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76621.4.3 Interlude : polynômes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76721.4.4 Factorisation dansR [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76821.4.5 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76821.4.6 Relations coefficients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

21.5 Arithmétique dansK [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77021.5.1 Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 77021.5.2 PGCD, théorèmes d’Euclide et de Bezout . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77021.5.3 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77121.5.4 PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 77221.5.5 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

21.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 77521.6.1 L’anneau des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 77521.6.2 Dérivation, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77721.6.3 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77821.6.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78221.6.5 Racines d’un polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 78521.6.6 Factorisations de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79421.6.7 Relations entre coefficients et racines . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

11

22 Fractions rationnelles 80022.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80022.2 Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

22.2.1 Décomposition en éléments simples dansC (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802Recherche des coefficients associés aux pôles multiples . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803

22.2.2 Décomposition en éléments simples dansR (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80422.2.3 Moralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 807

22.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 80822.3.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

Décomposition surC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808Décomposition surR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 815Dérivée logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 821Sicelides Musae, Paulo Majora Canamus . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 822

23 Espaces vectoriels 83123.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831

23.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 83123.1.2 Espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 83223.1.3 Espaces de suites et de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83323.1.4 Règles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834

23.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83523.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 83523.2.2 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

23.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83923.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 83923.3.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 84023.3.3 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841

23.4 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84323.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 84323.4.2 Noyau, image d’une application linéaire . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84423.4.3 Étude deL (E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84523.4.4 Étude deL (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84523.4.5 Étude deGL(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846

23.5 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84623.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 84623.5.2 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847

23.6 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84723.6.1 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 84723.6.2 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 849

23.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 85223.7.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 85223.7.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85223.7.3 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85623.7.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85723.7.5 Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86023.7.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86423.7.7 Image et noyau d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86523.7.8 Endomorphismes inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87523.7.9 Transformations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87723.7.10 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 882

24 Dimension des espaces vectoriels 88424.1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884

24.1.1 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88424.1.2 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 88524.1.3 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88624.1.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 886

24.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88724.2.1 Espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88724.2.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 889

12

24.3 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89224.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89224.3.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 893

24.4 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89524.4.1 Bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89524.4.2 Dimension et isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89724.4.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 897

24.5 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 89924.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 902

24.6.1 Système libre, système lié, système générateur . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90224.6.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90624.6.3 Bases et dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90724.6.4 Sous-espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91024.6.5 Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 91324.6.6 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91424.6.7 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91724.6.8 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91724.6.9 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92424.6.10 Formes linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92724.6.11 L’espace vectoriel des polynômes . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92824.6.12 Endomorphismes opérant sur les polynômes . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

25 Calcul matriciel 93525.1 Matrice à coefficients dansK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936

25.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 93625.1.2 L’espace vectorielMq,p (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93725.1.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93825.1.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93925.1.5 Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 940

25.2 Matrices d’une famille de vecteurs, d’une applicationlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94125.2.1 Matrice d’une famille de vecteurs relativement à unebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94125.2.2 Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

25.3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94425.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 94425.3.2 Éléments inversibles dansMn (K), groupeGLn (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94525.3.3 Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 94825.3.4 Matrices carrées remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

Matrices scalaires, diagonales, triangulaires . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949Matrices symétriques, antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 950Matrices de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 951Matrices de transvection et de dilatation, opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes

d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 95225.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 953

25.4.1 Pour un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 95325.4.2 Pour une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95325.4.3 Pour un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 95325.4.4 Pour une forme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95425.4.5 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 954

25.5 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95425.5.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95425.5.2 Calcul pratique du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

25.6 Déterminant d’une matrice carrée de taille2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95825.6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 95825.6.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 959

25.7 Déterminants d’ordre2 ou 3 d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95925.7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 95925.7.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 96025.7.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

25.8 Déterminants d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96125.8.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 96125.8.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 962

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25.9 Méthodes de calcul du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96225.9.1 Opération sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96225.9.2 Développement d’un déterminant suivant une rangée .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963

25.10Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96425.10.1 Colinéarité de deux vecteurs du plan . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96425.10.2 Formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 96525.10.3 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96525.10.4 Orientation du plan et de l’espace . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965

25.11Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96625.11.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 96625.11.2 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966

Interprétation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 966Interprétation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 966Interprétation en termes de formes linéaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967Interprétation en termes d’applications linéaires . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967

25.11.3 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96725.11.4 Cas Particulier : Les systèmes de Cramer . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96725.11.5 Méthode du Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 968

25.12Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 96925.12.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96925.12.2 Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97325.12.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 97425.12.4 Calcul de déterminants de taille2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97725.12.5 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98125.12.6 Calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98725.12.7 Représentation matricielle d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99225.12.8 Structure formée de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99725.12.9 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 100325.12.10Matrices semblables, équivalentes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101025.12.11Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013

26 Groupe symétrique, déterminant 101826.1 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018

26.1.1 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102026.2 Construction du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023

26.2.1 Formesn-linéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 102326.2.2 Déterminant den vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102526.2.3 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102726.2.4 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028

26.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 103626.3.1 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 103626.3.2 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 103826.3.3 Exercices théoriques sur les déterminants . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045

27 Produit scalaire, groupe orthogonal 104727.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047

27.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 104727.1.2 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1048

27.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105027.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051

27.3.1 Bases orthogonales, orthonormales . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105127.3.2 Procédé d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105227.3.3 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1054

27.4 Projecteurs et symétries orthogonaux . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105527.4.1 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105527.4.2 Symétries orthogonales, réflexions . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056

27.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105727.5.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105727.5.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058

27.6 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105927.6.1 Etude du groupe orthogonal en dimension2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060

14

27.6.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1063Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1064Isométries directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1065

27.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 106927.7.1 Espaces préhilbertiens réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106927.7.2 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107527.7.3 Symétrie orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107727.7.4 Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 107827.7.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107827.7.6 Étude d’endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079

28 Géométrie affine 108328.1 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083

28.1.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 108328.1.2 Sous espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 108428.1.3 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 108628.1.4 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

28.2 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108928.2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108928.2.2 Translations affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109028.2.3 Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 109128.2.4 Projections et symétries affines . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109128.2.5 Points fixes d’une homothétie affine . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092

28.3 Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109328.3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109328.3.2 Projections et symétries orthogonales, réflexions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109428.3.3 Déplacements du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 109528.3.4 Déplacements de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095

28.4 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109728.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1099

28.5.1 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 109928.5.2 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109928.5.3 Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1104

28.6 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106

A Techniques de démonstration 1110A.1 Logique des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110

A.1.1 L’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1111A.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1113A.3 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114A.4 Plans de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115

A.4.1 Plans de preuves ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118A.4.2 Plans de démonstrations pour les applications . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120

Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1120Composée d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1122Applications injectives, surjectives . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1126Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1127

A.4.3 Familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1130A.5 Fautes de raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131

A.5.1 Bien analyser les notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132A.5.2 Plan de démonstration incorrect . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133A.5.3 Fautes de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1133A.5.4 Utilisation d’objets non-définis . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136A.5.5 Ordre des objets introduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136

15

B Techniques d’ algèbre 1139B.1 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139

B.1.1 Lecture du cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139B.1.2 Les quatre formules fondamentales de la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140B.1.3 Comment retrouver les autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141

B.2 Calculs de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1143B.2.1 Comprendre les notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1143B.2.2 Changement d’indices, télescopage . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144B.2.3 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1146

B.3 Trigonométrie et complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148B.3.1 Transformation decos(nθ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148B.3.2 Problèmes de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149B.3.3 Utilisation des sommes géométriques complexes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151

B.4 Calculs sur des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152B.4.1 Les trinômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1152

Discriminant réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1152Relations coefficients racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1152Extrémum d’un trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1153

B.4.2 Développement de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1154B.4.3 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156

Factoriser à partir d’une racine connue . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1157Trouver toutes les racines rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158

B.4.4 Polynômes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159Polynômes bicarrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1159Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1160Polynômes réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1160

B.4.5 Relations coefficients racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161B.5 Calculs en algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163

B.5.1 Symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1163B.5.2 Utilisation des matricesEpq en calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163B.5.3 Calcul de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1165

Faire apparaître des zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1165Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1166techniques polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1167Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1169Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1170Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1172

C Techniques d’ analyse 1173C.1 Majorer-minorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173

C.1.1 Quelques inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173Majorations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1173Majoration de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1173Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1174Procéder par inégalités équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174Utilisation de la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1174

C.1.2 Techniques de majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1175Majorer des produits-quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1175Bonne utilisation des valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1176

C.1.3 Erreurs de majoration fréquentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178C.1.4 Suivre son intuition avant de majorer . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179

C.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1181C.2.1 Dérivées particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181

Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1181Exponentielle en facteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1182

C.2.2 Règle de la chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1183C.3 Manipulation de bornes supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185C.4 Équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1188

C.4.1 Qu’est-ce qu’un équivalent simple ? . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188C.4.2 Suppression des sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1189

L’une des suites est négligeable devant l’autre . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189

16

Les deux suites ont le même ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1190C.4.3 Utilisation des propriétés fonctionnelles . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190

Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1191Exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1192Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1192Quantités conjuguées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1192

C.4.4 Mise sous forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193C.4.5 Utilisation des développements limités . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193

Prévoir les ordres des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1193DL et équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1195Recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1195

C.4.6 Étude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196C.4.7 Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198C.4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1200

C.5 Étude de suites récurrentes, vitesse de convergence . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203C.5.1 Étude d’une suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203C.5.2 Vitesse de convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206

C.6 Fractions rationnelles, primitives . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209C.6.1 Décomposition pratique dansC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210

Calcul de la partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1210Calcul du coefficient associé à une pôle simple . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1210Calcul des coefficients associés à un pôle multiple . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210

C.6.2 Décomposition pratique dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211C.6.3 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212

Primitives des éléments simples de première espèce . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212Primitive des éléments simples de seconde espèce . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212

C.6.4 Primitives∫

F(cos x,sin x) dx, règles de Bioche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214

C.6.5 Primitives∫

F(sh x,ch x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216

C.6.6 Primitives avec des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217Primitives

∫F(x, ) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217

Primitives∫

dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218

C.6.7∫

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1219

C.6.8 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220C.6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1221

D Conseils 1226D.1 Conseils d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226

D.1.1 Attitude pendant le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226D.1.2 Bien comprendre les définitions et les hypothèses de théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226D.1.3 Faire une synthèse des points importants d’une démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227

D.2 Conseils de rédaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228

E Formulaires 1230E.1 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230E.2 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231E.3 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232E.4 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234E.5 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1235

E.5.1 Définition et équation générale d’une coniqueC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235E.5.2 ParaboleP (e = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235E.5.3 EllipseE (0< e < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236E.5.4 HyperboleH (e > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236

E.6 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236E.7 Équivalents usuels et croissances comparées . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237E.8 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238E.9 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239

17

Chapitre 10Suites de nombres réels

On dit qu’une grandeur est la limite d’une autre grandeur, quand la seconde peut s’approcher de la pre-mière plus près que d’une grandeur donnée, si petite qu’on puisse la supposer...

D’Alembert.

Pour bien aborder ce chapitre

Nous allons définir dans ce chapitre et le suivant une des notions les plus fondamentales en analyse, celle delimite.Si on se pose les questions suivantes :– Qu’est ce qu’une dérivée ?– Qu’est ce qu’une intégrale ?– Qu’est ce qu’une somme infinie ?La réponse est la même : une limite.Bien que les mathématiciens utilisent ces différents objets depuis la renaissance, ce n’est que vers la fin du18e siècle etle début du19e siècle que la notion de limite, grâce à D’Alembert (voir 51 page 766) et à Cauchy (voir 11 page 199),commence à être formalisée. Le cours d’analyse de Cauchy, alors qu’il professait à l’École Polytechnique, allait d’ailleursdevenir une référence pour tout travail en analyse au19e siècle. Malgré la grande rigueur de son contenu, il subsistait deslacunes, comme une preuve, fausse, que la limite d’une sériede fonctions continues est continue. C’est le mathématicienallemand Karl Weierstrass vers1860 (voir 24 page 362) et ses élèves qui formalisèrent définitivement la notion de limiteet parachevèrent l’œuvre de Cauchy. La forme actuelle de la définition d’une limite est exactement celle donnée parWeierstrass.Il vous faudra prendre le temps dans ce chapitre de bien comprendre les nouvelles notions, de faire et refaire les démons-trations. Il fallut plusieurs siècles pour que les mathématiciens formalisent ces concepts correctement. Il est alorsnaturelque cela vous demande un travail approfondi. Vous êtes en train de préparer les fondations sur lesquelles seront construitestoute votre connaissance en analyse.

10.1 Définitions

10.1.1 Vocabulaire

DÉFINITION 10.1 Suite réelleUnesuite réelleest une applicationu : N→ R. On note cette application sous forme indicielle(un )n∈N ou encore(un ).L’ensemble des suites réelles est notéS (R).

Remarque 10.1– On appellera aussi suite réelle une applicationu définie à partir d’un certainn0 ∈ N, u : {n ∈N | n Ê n0} → R. On la

note :(un)nÊn0 .– Attention aux notations : la notation(un) désigne une suite, alors queun désigne letermede rangn de la suite(un ).

On adoptera une des visualisations suivantes pour une suite:

10.1.2 Opérations sur les suites

350

R

N

u0u1 u2u3u4

R

FIGURE 10.1 – Représentations d’une suite réelle

DÉFINITION 10.2 Opérations sur les suitesOn définit les lois suivantes sur l’ensemble des suitesS (R). Soient(un ), (vn) ∈S (R) etλ ∈R,– Addition : (un )+ (vn)= (un + vn )

– Multiplication par un scalaire :λ(un ) = (λ un )

– Multiplication de deux suites :(un)× (vn) = (un .vn)

Remarque 10.2– S (R) muni de l’addition et de la multiplication précédemment définies a une structure d’anneau commutatif (que l’on

verra plus tard).– Élément neutre de l’addition : la suite nulle.– Élément neutre de la multiplication : la suite constante égale à1.

– S (R) muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire précédemment définies a une structure d’espace vec-toriel que l’on verra plus tard.

DÉFINITION 10.3 Suite majorée, minorée, bornéeOn dit qu’une suite réelle(un ) est :– majoréelorsque le sous-ensemble{un | n ∈N} est majoré dansR, c’est à dire lorsque :

∃M ∈R : ∀n ∈N, un É M

– minoréelorsque le sous-ensemble{un | n ∈N} est minoré dansR, c’est à dire lorsque :

∃m ∈R : ∀n ∈N, un Ê m

– bornéesi et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

PROPOSITION10.1Une suite(un ) ∈S (R) est bornée si et seulement si la suite(|un |) est majorée :

∃M ∈R, ∀n ∈N, |un | É M

Preuve⇒ Supposons que la suite(un ) est bornée. Alors il existem,M ∈R tels que∀n ∈N, m É un É M. En notantK = max(|m|, |M|),

on a pour toutn ∈N, |un | É K. La suite|un | est majorée par le réelK.⇐ Si la suite(|un |) est majorée, il existeM ∈ R tel que∀n ∈ N, |un | É M et donc∀n ∈N, −M É un É M ce qui prouve que la

suite(un ) est bornée.

DÉFINITION 10.4 Suite croissante, décroissante, monotoneOn dit qu’une suite réelle(un ) est– croissantesi et seulement si :

∀n ∈N, un É un+1

– décroissantesi et seulement si :∀n ∈N, un+1 É un

– monotonesi et seulement si elle est croissante ou décroissante.On dit que(un ) eststrictement croissante, strictement décroissanteoustrictement monotonesi et seulement si l’inégalitécorrespondante est stricte.

DÉFINITION 10.5 Suite constanteUne suite(un ) ∈S (R) est diteconstantelorsqu’il existe un réelα ∈R tel que∀n ∈N, un =α.

351

DÉFINITION 10.6 À partir d’un certain rangOn dit qu’une propriétéP(n) est vérifiée à partir d’un certain rangN ∈N si et seulement s’il existe un entierN ∈N telque∀n Ê N, la propriétéP(n) est vraie.

10.2 Convergence d’une suite

10.2.1 Suites convergentes, divergentes

DÉFINITION 10.7 ♥♥♥ Limite, suite convergente, suite divergenteOn dit qu’une suite réelle(un ) convergevers un réell ∈R si et seulement si

∀ε> 0, ∃N ∈N : ∀n ∈N, n Ê N ⇒|un − l | É ε

c’est-à dire, pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N qui dépend de epsilontel que pour toutn plusgrand queN, un est à une distance plus petite queε del .On dit alors quel est lalimite de la suite(un ) et on noteun −−−−−→

n→+∞l ou encore lim

n→+∞= l .

– S’il existe un tell , on dit que la suite(un ) estconvergente.– S’il n’existe pas de réell vérifiant cette propriété, on dit que la suite(un ) estdivergente.

Remarque 10.3 Pour comprendre cette définition, étudiez le premier dessinde la figure ci-dessous. Imaginez qu’uneclé à molette est centrée sur l’axe(Oy) en l . Vous pouvez choisir l’ouverture2ε à votre guise aussi petite que vous lesouhaitez. Chaque ouverture détermine une bande[l −ε, l +ε]. Si la suite converge versl , on peut trouver un rangN àpartir duquel tous les termes de la suite sont dans la bande[l −ε, l +ε]. Une autre façon de comprendre cette définitionconsiste à interprétern comme un temps. À l’instantn, on allume un point sur l’axe(Ox) d’abscisseun . Pour toutε> 0,à partir de l’instantN, tous les points allumés seront dans l’intervalle[l −ε, l +ε].

N R

ll +εl −ε

R

u0 u1u2 u3u4

l

2ε

Multimédia : un pied à coulisse où l’on choisit ε avec le rang N à partir duquel tousles termes sont dans la bande [l −ε, l +ε]

PLAN 10.1 : Pour montrer queun −−−−−→n→+∞

l

On utilise le plan

1 Soitε> 0.

2 On cherche à partir de quelle valeurN, on a|uN − l | É l en sorte de vérifier le point3 . Cela se ramène laplupart du temps à la résolution d’inéquations.C’est souvent la partie la partie la plus difficile de la preuve

3 PosonsN = ....

4 Vérifions : soitn Ê N, on a bien|un − l | É ε.

5 Doncun −−−−−→n→+∞

l .

Exemple 10.1

Montrons que la suite(1/n)n∈N∗ converge vers0 en utilisant le plan ci-dessus.

1 Soit ε> 0.

2 On chercheN tel que1/N É ε. On obtientNÊ 1/ε.

3 On pose alorsN = E (1/ε)+1.

4 Vérifions. Soitn Ê N. On an Ê NÊ 1/ε ce qui s’écrit aussi1/n É ε ou encore|1/n−0| É ε.

5 Donc1/n −−−−−→n→+∞

0.

352

PROPOSITION10.2 On peut utiliser une inégalité stricte dans la définition de convergenceUne suite(un) converge vers une limitel ∈R si et seulement si

∀ε> 0, ∃N ∈N, ∀n ∈N, n Ê N =⇒ |un − l | < ε

Preuve⇐ est évidente puisqu’une inégalité stricte est à fortiori large.⇒ soit ε> 0. Posonsε′ = ε/2 > 0. Puisqueun −−−−−→

n→+∞l , il existe un rangN ∈N à partir duquel|un − l | É ε′ et à partir de ce rang,

on a|un − l | É ε′ < ε.

Remarque 10.4 Nous allons voir cette année plusieurs définitions d’analyse faisant intervenir des inégalités. Pardéfaut, nous utiliserons des inégalités larges. On peut souvent remplacer dans les définitions ces inégalités larges par desinégalités strictes au besoin en utilisant l’idée de la démonstration précédente.

THÉORÈME 10.3 ♥♥♥ Unicité de la limiteLa limite d’une suite réelle, si elle existe, est unique.

Preuve ♥ Supposons que(un ) possède deux limitesl1, l2 ∈R et montrons par l’absurde quel1 = l2.Supposonsl1 6= l2 et posonsε = |l1 − l2|/2 > 0. Puisqueun −−−−−→

n→+∞l1, il existe un rangN1 ∈ N à partir duquel|un − l1| < ε et

puisqueun −−−−−→n→+∞

l2, il existe un rangN2 à partir duquel|un − l2| < ε. Considérons l’entiern = max(N1,N2) supérieur à la fois à

N1 et N2. On a|un − l1| < ε et |un − l2| < ε mais alors, en utilisant l’inégalité triangulaire,

|l1 − l2| = |(l1 −un )+ (un − l2)| É |un − l1|+ |un − l2| < 2ε= |l1 − l2|

ce qui est absurde.

THÉORÈME 10.4 La valeur absolue d’une suite convergente est convergenteSoit (un ) une suite convergeant versl ∈R. Alors |un | −−−−−→

n→+∞|l |

Preuve Soit ε > 0, puisqueun −−−−−→n→+∞

l , il existe un rangN ∈ N à partir duquel|un − l | É ε. Alors pourn Ê N, en vertu de la

minoration de l’inégalité triangulaire voir 9.6 page 337,∣∣ |un |− |l |

∣∣É |un − l | É ε.

THÉORÈME 10.5 ♥ Une suite convergente est bornéeToute suite convergente est bornée.

Preuve ♥♥♥ Posonsε = 1. Puisque(un ) converge, il existel ∈ R et N ∈ N tel que∀n Ê N, |un − l | É ε. Donc pourn Ê N, envertu de la minoration de l’inégalité triangulaire,|un |− |l | É |un − l | É 1 et donc|un | É 1+|l |. Les premiers termes sont en nombrefini, donc on peut poserM= max(|u0|, . . . , |uN−1|,1+|l |). Alors,∀n ∈N, |un | É M ce qui montre que la suite est bornée.

On se sert souvent du résultat suivant pour transformer l’hypothèse sur une limite en inégalité à partir d’un certain rang.

THÉORÈME 10.6 ♥♥♥ Transformation de limite en inégalitésSoit (un ) une suite etk,k ′ ∈R.. On suppose que

H1 un −−−−−→n→+∞

l ∈R

H2 k < l < k ′.

Alors, il existe un rangN ∈N tel que∀n Ê N, k É un É k ′.

Preuve ♥ Posonsε= min(l −k,k′ − l ) > 0. Puisqueun −−−−−→n→+∞

l , il existe un rangN à partir duquel|un − l | É ε. Alors, sin Ê N,

• un − l É εÉ k′− l d’où un É k′,• l −un É εÉ l −k d’où un Ê k.

10.3 Opérations algébriques sur les limites

Les démonstrations de ce paragraphe sont très instructivespour comprendre ce qu’est une preuve d’analyse. Nous lesavons rédigées en deux étapes. La première étape (qui se faitau brouillon) consiste à comprendre l’idée de l’approxima-tion. La deuxième étape consiste à rédiger rigoureusement une preuve qui s’appuie sur le plan de démonstration corres-pondant aux définitions. Étudiez en particulier l’ordre dans lequel les différents objets sont introduits dans ces preuves.

353

PROPOSITION10.7Soit (un) une suite réelle etl un réel. La suite(un ) converge versl si et seulement si la suite(un − l) converge vers0.

Preuve Il suffit d’écrire |un − l | = |(un − l )−0| dans la définition.Pour montrer qu’une suite converge vers une limitel , il suffit donc de majorer|un −l | comme le montre le résultat suivant.

PROPOSITION10.8 Théorème de majorationSoit (un) une suite réelle etl ∈R. On suppose qu’il existe une suite réelle(αn) et un rangN1 ∈N tel que

H1 ∀n Ê N1, |un − l | Éαn ,

H2 αn −−−−−→n→+∞

0.

alorsun −−−−−→n→+∞

l

Preuve

Soitε> 0.

Puisqueαn −−−−−→n→+∞

0, il existe un rangN2 ∈N tel que∀n Ê N2, |αn | É ε.

PosonsN= max(N1,N2).

Soit n Ê N. Puisquen Ê N1 et n Ê N2,|un − l | Éαn É ε

THÉORÈME 10.9 La somme de suites convergentes est convergenteSoient(un ) et (vn) deux suites. On suppose que

H1 un −−−−−→n→+∞

l ,

H2 vn −−−−−→n→+∞

l ′.

Alors un + vn −−−−−→n→+∞

l + l ′.

Preuve ♥♥♥ Nous devons majorer|(un +vn )−(l+l ′)| à partir d’un certain rang. Notre hypothèse permet de majorer les quantités|un − l | et |vn − l ′| par un réelε′ > 0 arbitraire à partir d’un certain rang. Faisons donc apparaître ces groupements avant d’utiliserl’inégalité triangulaire :

|(un +vn )− (l + l ′)| = |(un − l )+ (vn − l ′)| É |un − l |+ |vn − l ′| É 2ε′

Il ne reste plus qu’à rédiger rigoureusement la preuve en suivant le plan de démonstration.

Soitε> 0.

Posonsε′ = ε/2 > 0. Puisqueun −−−−−→n→+∞

l , il existe un rangN1 ∈N à partir duquel|un − l | É ε′. De même, il existe un rang

N2 ∈N à partir duquel|vn − l ′| É ε′.

PosonsN= max(N1,N2).

Soit n Ê N, commen Ê N1 et n Ê N2,

|(un +vn )− (l + l ′)| É |(un − l )+ (vn − l ′)| É |un − l |+ |vn − l ′| É 2ε′ = ε

THÉORÈME 10.10 ♥ Combinaison linéaire de suites convergentesSoient deux suites(un ) et (vn) convergentes :un −−−−−→

n→+∞l et vn −−−−−→

n→+∞l ′. Alors pour tous réelsα,β ∈R,

αun +βvn −−−−−→n→+∞

αl +βl ′

Preuve Similaire à la preuve précédente et laissée en exercice. Utiliser ε′ = ε/(|α|+ |β|) lorsqueα et β ne sont pas tous les deuxnuls.

THÉORÈME 10.11 ♥ Produit de suites convergentesOn considère deux suites(un ) et (vn) convergentes :

H1 un −−−−−→n→+∞

l ∈R,

H2 vn −−−−−→n→+∞

l ′ ∈R.

Alors un vn −−−−−→n→+∞

l l ′.

354

Preuve ♥♥♥ Nous devons estimer la quantité|un vn − l l ′| et utiliser notre hypothèse,|un − l | É ε′ et |vn − l ′| É ε′. Faisons doncapparaître ces groupements à l’intérieur des valeurs absolues avant de majorer grâce à l’inégalité triangulaire :

|un vn − l l ′| = |un (vn − l ′)+ l ′(un − l )| É |un ||vn − l ′|+ |l ′||un − l | É (|un |+ |l ′|)ε′

Il reste |un | qu’il nous faut majorer. Nous savons qu’une suite convergente est bornée, donc|un | É M et alors|un vn − l l ′| É(|l ′|+M)ε′. Reste à rédiger rigoureusement la preuve en suivant le plande démonstration.

Soitε> 0.

Puisque la suite(un ) converge, elle est bornée. Il existeM> 0 tel que∀n ∈N, |un | É M.

Posonsε′ = ε/(|l ′|+M) > 0. Puisqueun −−−−−→n→+∞

l , il existeN1 ∈N tel que∀n Ê N1, |un − l | É ε′. Puisquevn −−−−−→n→+∞

l ′, il

existeN2 ∈N tel que∀n Ê N2, |vn − l ′| É ε′.

PosonsN= max(N1,N2).

Soit n ∈N tel quen Ê N, on a

|un vn − l l ′| = |un (vn − l ′)+ l ′(un − l )| É |un ||vn − l ′|+ |l ′||un − l | É (M+|l ′|)ε′ = ε

PROPOSITION10.12 Inverse d’une suite convergenteSoit (un) une suite etl ∈R. On suppose que

H1 un −−−−−→n→+∞

l ∈R,

H2 l 6= 0.

Alors1

un−−−−−→n→+∞

1

l.

Preuve ♥♥♥ Nous devons estimer la quantité|1/un −1/l | en utilisant l’hypothèse|un − l | É ε′. Écrivons∣∣∣∣

1

un−

1

l

∣∣∣∣=|un − l ||l ||un |

Éε′

|l ||un |

Il reste|un | au dénominateur qu’il nous faut minorer. Comme|un | −−−−−→n→+∞

|l |, et quek = |l |/2 < |l |, d’après la proposition 10.6, à

partir d’un certain rang,|1/un −1/l | É 2ε′/|l |2. Il nous reste à rédiger rigoureusement cette idée en suivant le plan :

Soitε> 0.

Posonsε′ = |l |2ε/2.

Puisqueun −−−−−→n→+∞

l , il existe un rangN1 à partir duquel|un − l | É ε′.

Puisque d’après la proposition 10.4,|un | −−−−−→n→+∞

|l |, en utilisant la proposition 10.6 aveck = |l |/2 < |l |, il existe un rang

N2 ∈N tel que∀n Ê N2, |un | Ê |ł|/2.

PosonsN= max(N1,N2).

Soit n Ê N, ∣∣∣∣1

un− 1

l

∣∣∣∣=|un − l ||l ||un |

É ε′

|l |2/2= ε

THÉORÈME 10.13 Quotient de suites convergentesOn considère deux suites(un ) et (vn) et on fait les hypothèses suivantes.

H1 un −−−−−→n→+∞

l ,

H2 vn −−−−−→n→+∞

l ′,

H3 l ′ 6= 0.

Alorsun

vn−−−−−→n→+∞

l

l ′.

Preuve Il suffit d’appliquer les théorèmes 10.12 puis 10.11.

Remarque 10.5 Les théorèmes précédents s’appellent lesthéorèmes générauxsur les suites.

10.3.1 Limites et relations d’ordre

Nous allons voir dans ce paragraphe les liens entre limites et inégalités. Ces résultats sont particuliers aux suites réelles etne s’étendront pas aux suites complexes (il n’y a pas de relation d’ordre naturelle dansC !).

355

PROPOSITION10.14 ♥♥♥ Passage à la limite dans une inégalitéSoit (un) une suite réelle etk ∈R. On suppose que :

H1 un −−−−−→n→+∞

l ∈R,

H2 À partir d’un certain rang,un É k.

Alors l É k.

Preuve Montrons le résultat par l’absurde. Supposonsl > k et posonsε= l −k > 0. Puisqueun −−−−−→n→+∞

l , il existe un rangN1 ∈N

à partir duquel|un − l | < ε (on peut utiliser une inégalité stricte dans la définition dela limite). D’après la deuxième hypothèse, ilexiste un rangN2 ∈N à partir duquelun É k. Considérons l’entiern = max(N1,N2). On devrait avoir d’une partl −un < l −k d’oùun > k et d’autre partun É k ce qui est absurde.

Remarque 10.6 Attention aux hypothèses de ce théorème important : onsupposeque la suite converge. En aucun casun passage à la limite ne permet de justifier l’existenced’une limite. On obtient évidemment le théorème correspondanten remplaçant l’inégalitéÉ parÊ.

PROPOSITION10.15 ♥♥♥ Passage à la limite dans les inégalitésSoient deux suites(un ) et (vn). On suppose que :

H1 un −−−−−→n→+∞

l ,

H2 vn −−−−−→n→+∞

l ′,

H3 À partir d’un certain rang,un É vn .

Alors l É l ′.

Preuve Il suffit d’utiliser le résultat précédent avec la suite(wn ) = (un −vn ) et k = 0.

Multimédia : Une suite cv vers l . On choisit une barre de hauteur k < l et on obtientle rang à partir duquel un Ê k

THÉORÈME 10.16 ♥♥♥ Théorème des gendarmes

On considère trois suites :(un ), (vn) et (wn) . On suppose que :

H1 À partir d’un certain rang,vn É un É wn ,

H2 Les deux suites encadrantes(vn) et (wn) convergent vers unemême limitel ∈R.

Alors la suite(un) converge versl .

Preuve ♥

Soitε> 0.

Puisquevn −−−−−→n→+∞

l , il existeN2 ∈N tel que∀n Ê N2, |vn − l | É ε. De même, il existeN3 ∈N tel que∀n Ê N3, |wn − l | É ε.

D’après la première hypothèse, il existeN1 ∈N tel que∀n Ê N1, vn É un É wn

PosonsN= max(N1,N2,N3).

Soit n Ê N. On aun − l É wn − l É ε et l −un É l −vn É ε. Par conséquent,|un − l | É ε.

Remarque 10.7 Contrairement au passage à la limite dans les inégalités, lethéorème des gendarmes garantit l’existencede la limite de(un ). Bien distinguer les deux théorèmes.

THÉORÈME 10.17 ♥ Caractérisation séquentielle de la borne supérieureOn considère une partieX non vide et majorée deR. Elle possède une borne supérieuresupX. Soit un réell ∈ R. Lesdeux propriétés suivantes sont équivalentes.

1. l = supX.

2. l est un majorant deX et il existe une suite(xn ) d’éléments deX qui converge versl .

Preuve ♥ La preuve illustre bien l’utilisation des deux théorèmes précédents.

356

⇒ On sait quesupX est un majorant de la partieX. Nous allons utiliser pour la première fois une technique importante en analyse :la construction d’une suite à partir d’une propriété à quantificateurs de la forme∀ε> 0, ∃x . . . . Utilisons la caractérisation àε dela borne supérieure (théorème 9.9 page 338).

∀ε> 0, ∃x ∈ X, supX−εÉ x É supX

Soit n ∈N⋆, en prenantε = 1/n > 0 dans la propriété ci-dessus, il existe un réelxn ∈ X vérifiant supX−1/n É xn É supX. Onconstruit ainsi une suite de points(xn ) deX qui converge verssupX d’après le théorème des gendarmes.

⇐ Montrons quel est le plus petit des majorants de la partieX. SoitM un majorant deX, on a∀x ∈X, x É M d’où

∀n ∈N, xn É M

Mais puisquexn −−−−−→n→+∞

l , par passage à la limite dans les inégalités, on en déduit quel É M.

Multimédia : illustrer cette construction séquentielle

10.3.2 Limites infinies

Nous allons étendre la notion de limite d’une suite àR.

DÉFINITION 10.8 ♥ Suite divergeant vers+∞ ou −∞

Soit (un ) une suite réelle.– On dit que(un ) diverge (ou tend)vers+∞ si et seulement si

∀M ∈R, ∃N ∈N : ∀n ∈N, n Ê N ⇒un Ê M

On note alorsun −−−−−→n→+∞

+∞.

– On dit que(un ) diverge (ou tend)vers−∞ si et seulement si

∀m ∈R, ∃N ∈N : ∀n ∈N, n Ê N ⇒un É m

On note alorsun −−−−−→n→+∞

−∞.

PLAN 10.2 : Pour montrer queun −−−−−→n→+∞

+∞

On utilise le plan :

1. SoitM ∈R.

2. PosonsN = ...

3. Vérifions : soitn Ê N, on a bienun Ê M

Remarque 10.8 Attention, il existe des suites divergentes qui ne tendent pas vers±∞, par exemple la suite de termegénéral(−1)n . . .

On étend les théorèmes généraux aux suites qui divergent vers l’infini. Par exemple :

PROPOSITION10.18Soient(un ) et (vn) deux suites. On suppose que

H1 un −−−−−→n→+∞

l ∈R,

H2 vn −−−−−→n→+∞

+∞.

Alors un + vn −−−−−→n→+∞

+∞.

Preuve On veut minorerun +vn à partir d’un certain rang. Avec nos hypothèses, à partir d’un certain rang,un Ê l −1 et vn Ê M′

(avecM′ aussi grand que l’on veut). Alors à partir d’un certain rang,un +vn Ê M′+ l −1. Il suffit de rédiger rigoureusement cetteidée :

Soit M ∈R.

PosonsM′ = M− l +1.

Puisquevn →+∞, il existeN1 ∈N tel que∀n Ê N1, vn Ê M′.

Puisqueun −−−−−→n→+∞

l et quek = l −1 < l , d’après le théorème 10.6, il existeN2 ∈N tel que∀n Ê N2, un Ê l −1.

PosonsN= max(N1,N2).

357

Soit n Ê N, un +vn Ê l −1+M′ = M.

Plus généralement, on dispose des théorèmes généraux suivants qui utilisent les opérations surR vues dans les tables 9.7page 339.

THÉORÈME 10.19 Théorèmes généraux étendus àROn considère deux suites(un ) et (vn). On suppose que :

H1 un → l ∈R,

H2 vn → l ′ ∈R

Alors,– un + vn −−−−−→

n→+∞l + l ′ sauf si(l + l ′) est une forme indéfinie.

– un vn −−−−−→n→+∞

l l ′ sauf si(l l ′) est une forme indéfinie.

– un /vn −−−−−→n→+∞

l/l ′ sauf sil/l ′ est une forme indéfinie.

On utilise souvent la variante suivante du théorème des gendarmes :

THÉORÈME 10.20 ♥♥♥ Théorème des gendarmes étendu àRSoient deux suites(un ) et (vn). On suppose que

H1 À partir d’un certain rang,vn É un ,

H2 vn −−−−−→n→+∞

+∞.

Alors un −−−−−→n→+∞

+∞.

De même, si

H1 À partir d’un certain rang,un É vn ,

H2 vn −−−−−→n→+∞

−∞,

alorsun −−−−−→n→+∞

−∞.

Preuve

Soit M ∈N.

Puisquevn −−−−−→n→+∞

+∞, il existe un rangN1 ∈N tel que∀n Ê N1, vn Ê M.

D’après la première hypothèse, il existe un rangN2 ∈N tel que∀n Ê N2, vn É un .

PosonsN= max(N1,N2).

Soit n Ê N, un Ê vn Ê M.

10.4 Suite extraite d’une suite

DÉFINITION 10.9 Suite extraiteOn dit qu’un suite(vn) estune suite extraiteou une sous suited’une suite(un ) s’il existe une applicationϕ : N→ N

strictement croissantetelle que∀n ∈N, vn = uϕ(n)

LEMME 10.21 ♥Soitϕ : N→N strictement croissante. Alors

∀n ∈N, ϕ(n)Ê n

Preuve Par récurrence :

Si n = 0 alors commeϕ est à valeurs dansN, on a bienϕ(0) Ê 0.

Soit n ∈N.

On suppose queϕ(n) Ê n. Montrons queϕ(n + 1) Ê n + 1. Commeϕ est strictement croissante, on a nécessairementϕ(n +1) >ϕ(n) Ê n. Par conséquentϕ(n +1) Ê n +1. (Si pour deux entiersx, y, on ax > y alorsx Ê y +1).

358

La propriété est alors prouvée par application du principe de récurrence.

PROPOSITION10.22 ♥♥♥ Une suite extraite d’une suite convergente est convergenteToute suite extraite d’une suite(un ) convergeant vers une limitel est une suite convergeant versl

Preuve Soitϕ : N 7→N une application strictement croissante. On suppose queun −−−−−→n→+∞

l . Montrons queuϕ(n) −−−−−→n→+∞

l .

Soitε> 0.

Puisqueun −−−−−→n→+∞

l , il existeN ∈N tel que∀n Ê N, |un − l | É ε.

Soit n Ê N. D’après le lemme précédent,ϕ(n) Ê n Ê N et donc|uϕ(n) − l | É ε.

COROLLAIRE 10.23 ♥ Critère de divergence d’une suiteSoit (un ) une suite réelle. On suppose qu’il existe deux suites extraitesuϕ(n) et uϕ(n) telles que :

H1 uϕ(n) −−−−−→n→+∞

l1 ∈R,

H2 uϕ(n) −−−−−→n→+∞

l2 ∈R,

H3 l1 6= l2.

Alors la suite(un ) est divergente.

Preuve Par l’absurde, s’il existaitl ∈ R tel queun −−−−−→n→+∞

l , d’après le théorème précédent, on auraituϕ(n) −−−−−→n→+∞

l et

uϕ(n) −−−−−→n→+∞

l . Par unicité de la limite, on aurait alorsl1 = l = l2 ce qui est absurde.

Exemple 10.2 La suite(un ) = ((−1)n ) est divergente. En effet, la suite extraite(u2n ) converge vers1 alors que la suiteextraite(u2n+1) converge vers−1.

PROPOSITION10.24 Critère de convergence d’une suite

Soit (un ) une suite etl ∈R. On suppose que :

H1 u2n −−−−−→n→+∞

l

H2 u2n+1 −−−−−→n→+∞

l

alorsun −−−−−→n→+∞

l .

Preuve

Soitε> 0.

Commeu2n −−−−−→n→+∞

l , il existe un rangN1 ∈N tel que∀p Ê N1,∣∣u2p − l

∣∣ É ε. Puisqueu2n+1 −−−−−→n→+∞

l , il existe un rang

N2 ∈N tel que∀p Ê N2,∣∣u2p+1 − l

∣∣É ε.

PosonsN= max(2N1,2N2 +1).

Soit n Ê N. Il y a deux possibilités.• Si n est pair,n = 2p avec2p Ê NÊ 2N1 d’où p Ê N1 et alors

∣∣u2p − l∣∣É ε.

• Si n est impair,n = 2p +1 avec2p +1 Ê NÊ 2N2 +1 d’où p Ê N2 et alors∣∣u2p+1 − l

∣∣É ε.Dans les deux cas, on a vérifié que|un − l | É ε.

10.5 Suites monotones

10.5.1 Théorème de la limite monotone

THÉORÈME 10.25 ♥♥♥ Théorème de la limite monotoneSoit (un ) une suitecroissante. On a les deux possibilités suivantes.

1 Si la suite(un ) est majorée alors elle converge vers une limite finiel ∈R donnée parl = sup{un | n ∈N}.

2 Si la suite(un ) n’est pas majorée alors elle diverge vers+∞.

Preuve ♥♥♥1 Supposons que(un ) soit une suite croissante et majorée par un réelM. L’ensembleA = {un | n ∈N} est une partie non vide

et majorée deR. En appliquant la propriété de la borne supérieure 9.4, cet ensemble possède une borne supérieurel ∈ R.Montrons queun −−−−−→

n→+∞l .

359

Soitε> 0.

D’après la caractérisation de la borne supérieure, il existe x ∈A tel quel −εÉ x É l . Il existeN ∈N tel quex = uN eton al −εÉ uN É l .

Soit n Ê N. Puisque la suite(un ) est croissante,uN É un et commel est un majorant deA , un É l . D’où l −εÉ uN Éun É l . Mais alors−εÉ un − l É 0 ce qui montre que|un − l | É ε.

2 Supposons que(un ) est croissante mais non majorée. SoitA ∈ R. Comme(un ) n’est pas majorée, il existeN ∈ N tel queuN Ê A. Comme(un ) est croissante, on a∀n Ê N, un Ê uN Ê A. Par conséquentun −−−−−→

n→+∞+∞.

Remarque 10.9– Ce théorème dit que toute suite croissante possède une limite dansR.– La première partie de ce théorème est souvent formulée sousla forme suivante qu’il faut impérativement retenir :

Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.

– Si une suite(un ) croissante converge versl , on a∀n ∈N, un É l .– Si un suite(un ) décroissante converge versl , on a∀n ∈N, l É un .

COROLLAIRE 10.26Soit (un ) une suitedécroissante. On a les deux possibilités suivantes.

1. Si (un ) est minorée alors(un ) converge vers une limite finiel ∈R donnée parl = inf {un | n ∈N}.

2. Si (un ) n’est pas minorée alors elle diverge vers−∞.

Preuve Il suffit d’appliquer la propriété précédente à la suite(−un ).

Remarque 10.10 Le théorème de la limite monotone permet de justifier l’existenced’une limite sans la connaîtreexplicitement. C’est un théorème d’existence abstrait très important en analyse.

10.5.2 Suites adjacentes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

FIGURE 10.2 – Suites adjacentes

DÉFINITION 10.10 Suites adjacentesSoient(un ) et (vn) deux suites réelles. On dit que(un ) et (vn) sontadjacentessi et seulement si

1 (un ) est croissante

2 (vn) est décroissante

3 vn −un −−−−−→n→+∞

0

THÉORÈME 10.27 Théorème de convergence des suites adjacentesSoient(un ) et (vn) deux suites réelles. On suppose que

H1 les suites(un ) et (vn) sont adjacentes.

Alors ces deux suites sont convergentes et convergent vers la même limitel ∈R. De plus,

∀n ∈N, un É l É vn

360

Preuve

1 Remarquons tout d’abord que pour toutn ∈N, un É vn . En effet, si ce n’était pas le cas, il existeraitN ∈N tel queuN−vN >0. Mais alors, comme(un ) est croissante et(vn ) est décroissante, il vient pour toutn Ê N, un −vn Ê uN −vN > 0 ce qui esten contradiction avec le fait queun −vn −−−−−→

n→+∞0. On en déduit en particulier que pour toutn ∈N, un É vn É v0 car (vn)

est décroissante etvn Ê un Ê u0 car(un ) est croissante.

2 (un ) est croissante et majorée parv0. En vertu du théorème de la limite monotone 10.25,(un ) converge vers une limitel1 ∈R et :∀n ∈N, un É l1.

3 (vn) est décroissante et minorée paru0. En appliquant à nouveau le théorème de la limite monotone 10.25, (vn ) convergedonc vers une limitel2 ∈R et :∀n ∈N, vn Ê l2.

4 Enfin : 0 = limn→+∞ (vn −un ) = lim

n→+∞vn − lim

n→+∞un = l2 − l1. Par conséquentl1 = l2.

Les deux suites convergent donc vers une même limitel = l1 = l2.

10.5.3 Approximation décimale des réels

Dans tout ce paragraphex est un nombre réel. Pour toutn ∈N, on pose

pn = E(10n x

)

Par définition de la partie entière d’un réel, on apn É 10n x < pn +1. Cette inégalité est équivalente àE (10n x)

10nÉ x <

E (10n x)+1

10n.

Posons, pour toutn ∈N,

an = E (10n x)

10net bn = E (10n x)+1

10n

Remarque 10.11– ∀n ∈N, bn −an = 10−n .– Pour toutn ∈N, an et bn sont des rationnels :an ,bn ∈Q.

DÉFINITION 10.11 Valeur décimale approchéeSoit n ∈N. Les rationnelsan et bn sont appelés respectivementvaleurs décimales approchéesdex à 10−n près respec-tivementpar défautet par excès.

Exemple 10.3

n an bn erreur= 10−n

1 1 <p

2< 2 1 2 1

2 1.4 <p

2< 1.5 1.4 1.5 0.1

3 1.41 <p

2< 1.42 1.41 1.42 0.01

4 1.414 <p

2< 1.415 1.414 1.415 0.001

THÉORÈME 10.28Les suites(an ) et (bn) sont adjacentes et leur limite commune estx.

Preuve Soitn ∈N. Rappelons quepn É 10n x < pn +1 où pn = E(10n x

). En multipliant par10 chaque membre de cette inégalité,

on obtient10pn É 10n+1x < 10

(pn +1

).

Or pn+1 est le plus grand entier inférieur à10n+1x et 1+pn+1 est le plus petit entier supérieur à10n+1x. Par conséquent, on a

• 10pn É pn+1 ce qui donnepn

10nÉ

pn+1

10n+1et doncan É an+1. La suite(an ) est croissante.

• 1+pn+1 < 10(pn +1

)ce qui s’écrit aussi :

1+pn+1

10n+1É pn +1

10n. La suite(bn ) est décroissante.

Commebn −an = 10−n , on a bienbn −an −−−−−→n→+∞

0 et on a prouvé que les deux suites(an ) et (bn ) sont adjacentes. Elles sont

donc convergentes et convergent vers une même limitel ∈R. Comme∀n ∈N, pn É 10n x < pn +1, on a nécessairementl = x parpassage à la limite dans les inégalités

10.5.4 Segments emboités et théorème de Bolzano-Weierstrass

361

COROLLAIRE 10.29 Théorème des segments emboîtésSoit (In)n∈N une suite de segments,In = [an ,bn ] tels que

H1 Ils sont emboîtés :∀n ∈N, In+1 ⊂ In ;

H2 Leur diamètre tend vers0 : (bn −an) −−−−−→n→+∞

0.

Alors il existe un réell ∈R tel que⋂

n∈N In = {l}.

Preuve Soit n ∈N. Puisque[an+1,bn+1] ⊂ [an ,bn ], on aan É an+1 et bn+1 É bn ce qui montre que la suite(an ) est croissanteet la suite(bn ) décroissante. La deuxième hypothèse montre que ces suites sont adjacentes. Elles convergent donc vers la mêmelimite l ∈R. Montrons par double inclusion que

⋂n∈N In = {l }.

⊃ Montrons quel appartient à l’intersection des intervallesIn . Puisque les suites(an ) et (bn ) sont adjacentes et convergent versl , on sait que∀n ∈N, an É l É bn et donc∀n ∈N, l ∈ In ce qui montre quel ∈⋂

n∈N In .⊂ Soit x ∈ ⋂

n∈N In . Montrons quex = l . Par définition de l’intersection d’une famille (voir l’appendice 1.12),∀n ∈ N, x ∈ In

d’où

∀n ∈N, an É x É bn

Par passage à la limite dans les inégalités, on en tire quel É x É l d’où l = x.

BIO 8 Né le 31 octobre 1815 à Ostenfelde (Westphalie), mort le 19 février 1897 à Berlin

Mathématicien Allemand. Karl Weierstrass est considéré comme lepère de l’analyse moderne. Après des études secondaires brillantes,son père le force à étudier le droit à l’université de Bonn. Ilne fré-quente guère les amphithéâtres et préfère s’adonner à l’escrime, auxmathématiques et à la boisson... Tant et si bien qu’au bout de4 ans iln’a toujours aucun diplôme. Son père consent à lui financer deux an-nées supplémentaires afin qu’il décroche un poste d’enseignant dansle secondaire. Il rencontre alors Guddermann qui va le former auxmathématiques. Ce n’est qu’à 40 ans et alors qu’il enseigne dans lesecondaire depuis une quinzaine d’année qu’il publie un article dansle fameux journal de Crelle sur les travaux qu’il a mené de façon iso-lée depuis plusieurs années. Il accède aussitôt à la célébrité et obtientrapidement un titre de docteur et une chaire à l’université de Berlin. Ils’est intéressé, entre autres aux fonctions analytiques etaux fonctionselliptiques. C’est à lui qu’on doit le formalisme actuel en analyse.

THÉORÈME 10.30 ♥♥♥ Théorème de Bolzano-WeierstrassDe toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

Preuve Vous pouvez la sauter en première lecture. Nous allons uniquement donner une idée de la construction en ne rédigeantpas les récurrences complètes.Considérons une suite(un ) bornée. Il existea0,b0 ∈ R tels que∀n ∈ N, a0 É un É b0. Nous allons utiliser un procédé standardd’analyse, ladichotomiepour construire une suite extraite de(un ) qui va converger.– Posonsc0 = (a0 +b0)/2 et G0 = {n ∈ N | un ∈ [a0,c0]}, D0 = {n ∈ N | un ∈ [c0,b0]}. PuisqueG0 ∪D0 = N, l’un de ces deux

ensembles est infini.– Si G0 est infini, puisqueG0 est une partie non vide deN, elle possède un plus petit élémentn0 (c’est un axiome des entiers

que nous verrons prochainement). Posonsa1 = a0, b1 = c0, c1 = (a1 +b1)/2, G1 = {n > n0 | un ∈ [a1,c1]}, D1 = {n > n0 | un ∈[c1,b1]}.

– SiG0 est fini, alorsD0 est infini et possède un plus petit élémentn0. On pose alorsa1 = c0, b1 = b0, G1 = {n > n0 | un ∈ [a1,c1]},D1 = {n > n0 | un ∈ [c1,b1]}.

Dans les deux cas,G1 ∪D1 est un ensemble infini. On construit par récurrence une suited’entiers(nk )k∈K et deux suites réelles(an), (bn ) vérifiant : n0 < n1 < ·· · < nk < . . . , a0 É a1 É ·· · É ak É ·· · É bk É ·· · É b1 É b0 et ak É unk

É bk . Puisque(bk −ak ) =(b0 −a0)/2k , on vérifie facilement que ce sont deux suites adjacentes. Elles convergent donc vers la même limitel ∈R. On définitalors l’application

ϕ :

{N −→ N

k 7−→ nk

qui est strictement croissante. Puisqueak É unkÉ bk , d’après le théorème des gendarmes, la suite extraiteuϕ(k) converge versl .

Multimédia : Animation qui explique cette construction.

362

10.6 Suites arithmétiques et géométriques

DÉFINITION 10.12 Suite arithmétiqueOn appellesuite arithmétique de raisonr ∈R et de premier termeb ∈R la suite donnée par la relation de récurrence

{u0 = b

∀n, un+1 = un + r

PROPOSITION10.31Soit (un ) la suite arithmétique de raisonr ∈R et de premier termeb ∈R. On a :

∀n ∈N, un = b +nr

Preuve Récurrence immédiate.

Remarque 10.12 Si (un ) est une suite arithmétique de raisonr ∈R alorsun −−−−−→n→+∞

+∞ si r > 0

u0 si r = 0

−∞ si r < 0

.

DÉFINITION 10.13 Suite géométriqueOn appellesuite géométrique de raisonk ∈R et de premier termeb ∈R la suite donnée par la relation de récurrence

{u0 = b

∀n ∈N, un+1 = k.un

PROPOSITION10.32 Expression d’une suite géométriqueSoit (un ) une suite géométrique de raisonk ∈R et de premier termeb ∈R. On a∀n ∈N, un = b ×kn .

Preuve Récurrence immédiate.

THÉORÈME 10.33 ♥♥♥♥ Convergence d’une suite géométriqueConsidérons la suite géométrique(kn ) de raisonk ∈R et de premier terme1.– Si k > 1, la suite(kn ) diverge vers+∞.– Si k = 1, la suite(kn ) est constante et tend vers1.– Si |k| < 1, la suite(kn) converge vers0.– Si k É−1, la suite(kn ) diverge.En résumé la suite géométrique(kn) converge si et seulement si|k| < 1 ou bienk = 1.

k−1 1

CVDV DV

Preuve• Supposonsk > 1. Nous allons utiliser l’inégalité suivante, dite de Bernouilli et qui se prouve aisément par récurrence∀x Ê

0, ∀n ∈N, (1+x)n Ê 1+nx. Commek > 1, on ak −1 > 0 et donc, pour toutn ∈N, kn = (1+ (k −1))n Ê 1+n (k −1). Commek −1 > 0, n (k −1) −−−−−→

n→+∞+∞. Par le théorème des gendarmes, on en déduit quekn −−−−−→

n→+∞+∞.

• Si k = 1, trivialementkn −−−−−→n→+∞

1.

• Si |k| < 1, alors en supposant quek est non nul et en posantb = 1/|k|, on ab > 1. D’après le point précédent, on peut affirmerquebn −−−−−→

n→+∞+∞ et alors la suite|k|n −−−−−→

n→+∞0 et donckn −−−−−→

n→+∞0. Si a = 0, le résultat est évident.

• Si k É−1, on peut extraire deux sous-suites de la suite(kn

), les suites(k2n ) et (k2n+1). Si k <−1, la première sous-suite diverge

vers+∞ et la seconde diverge vers−∞ et sik =−1, la première sous-suite converge vers1 et la seconde converge vers−1. Dansles deux cas, appliquant le théorème 10.23, on peut affirmer que

(kn

)est divergente.

363

DÉFINITION 10.14 Série géométriqueSoit k ∈ R. On définit laprogression géométrique(ou série géométrique) de raisonk comme étant la suite de terme

général

Sn = 1+k +k2 + ...+kn =n∑

i=0

ki

THÉORÈME 10.34 ♥♥♥♥ Convergence d’une série géométrique

– On sait calculer une somme géométrique :

Sn = 1+k +k2 + ...+kn =

1−kn+1

1−ksi k 6= 1

n+1 si k = 1

– Si |k| < 1, la suite(Sn) converge vers le réel1

1−ket si |k| Ê 1, la suite(Sn) diverge.

Preuve Si |k| < 1, puisquekn −−−−−→n→+∞

0, Sn = 1−kn+1

1−k−−−−−→n→+∞

1

1−k. Si k = 1, Sn = n +1 −−−−−→

n→+∞+∞ et donc(Sn) diverge.

Pour|k| Ê 1 et k 6= 1, puisque(1−k)Sn = 1−kn+1 , on tirekn = (1− (1−k)Sn )/k. Si la suite(Sn ) convergeait versl , d’après lesthéorèmes généraux, la suite(kn ) convergerait vers(1− (1−k)l )/k ce qui est faux d’après le théorème précédent.

Remarque 10.13 Le dessin suivant permet de visualiser la limite de la somme géométrique dans le cas où0 < k < 1.On place les uns après les autres des cubes de côtéki . Multimédia : Faire varier k et la valeur dela somme

11 k k2

S0 S1 Sn 1/(1−k)

y = 1− (1−k)x

Remarque 10.14 Les suites et séries géométriques sont très utilisées en analyse. On essaie souvent de majorer dessuites par des suites géométriques dont on connaît bien le comportement.

Remarque 10.15 On appellesuite arithmético-géométriqueune suite vérifiant une relation de récurrence de la formeun+1 = kun +r . Lorsquek = 1, on a une suite arithmétique et lorsquer = 0, on a une suite géométrique de raisonk. Dansle cas général, la méthode la plus rapide pour exprimerun en fonction den etu0 consiste à déterminer une suite constante(α) vérifiant la relation de récurrence :α= kα+r . La suite(vn) = (un −α) vérifie vn+1 = kvn (suite géométrique) et doncvn = kn v0. On en déduit queun =α+ (u0 −α)kn oùα= r /(1−k).

10.7 Relations de comparaison

10.7.1 Introduction

Bien que deux suites puissent avoir la même limite, ellespeuvent avoir des comportement très différents en l’infini.On s’en convaincra en observant les graphes des suites(n), (2n ) et (n!/10). Une idée simple pour comparer lecomportement asymptotique de deux suites(un ) et (vn)

est d’étudier la nature de la suite quotient(un /vn). Cetteidée est à la base des notions dedomination, prépondé-rance et équivalenceque nous allons développer mainte-nant. Ainsi, on dira que(vn) est prépondérante devant(un ) siun /vn −−−−−→

n→+∞0. On dira aussi que(un ) et (vn) sont équiva-

lentes siun /vn −−−−−→n→+∞

1. On verra que cette façon de compa-

rer le comportement asymptotique des suites aura des consé-quences utiles sur les méthodes de calcul de limites.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

FIGURE 10.3 –× (100n) - � (2n ) - •(n!/10)

364

10.7.2 Suite dominée par une autre

DÉFINITION 10.15 Suite dominée par une autreSoient(un ) et (vn) deux suites. On dit que(un ) estdominéepar (vn) si et seulement si il existe une suite(Bn) et un

rangN ∈N tels que :

1 (Bn) est une suite bornée.

2 ∀n Ê N, un = Bn vn

On note alors :un = On→+∞

(vn)

PROPOSITION10.35 Transitivité de la relation O

Le relationO est transitive, ce qui signifie que si(un ), (vn) et (wn) sont trois suites, alors :[

un = On→+∞

(vn) et vn = On→+∞

(wn)]

=⇒ un = On→+∞

(wn)

Preuve Commeun = On→+∞

(vn) et vn = On→+∞

(wn), il existe des suites bornées(B′

n

)et

(B′′

n

)telles que à partir d’un certain

rangN′ et d’un certain autreN′′, on a :∀n Ê N′, un = B′n vn et ∀n Ê N′′, vn = B′′

n wn . PosonsN = max(N′,N′′) et pour tout

n Ê N, posonsBn = B′n .B′′

n . La suite(Bn)nÊN est bornée et :

∀n Ê N, un = B′n vn = B′

n B′′n wn = Bn wn .

Par conséquent,un = On→+∞

(wn).

THÉORÈME 10.36 Une suite est dominée par une autre si et seulement si le quotient de la première par ladeuxième est borné

Soit (un ) et (vn) deux suites. Si à partir d’un certain rang(vn) ne s’annule pas alors :

un = On→+∞

(vn) ⇐⇒(

un

vn

)est bornée

Preuve Supposons que(vn ) ne s’annule pas à partir du rangN ∈N. La suite(

un

vn

)

nÊNest donc bien définie. On peut supposer

que(vn ) ne s’annule jamais (et donc queN = 0). Dire que :un = On→+∞

(vn ) revient à dire qu’il existe un rangN ∈N et une suite

bornée(Bn) tels que :∀n Ê N, un = Bn vn , ce qui est équivalent à dire que :∀n Ê N,un

vn= Bn et donc que

(un

vn

)est bornée.

10.7.3 Suite négligeable devant une autre

DÉFINITION 10.16 Suite négligeable devant une autreSoient(un ) et (vn) deux suites réelles. On dit que(un ) estnégligeabledevant(vn) si et seulement si il existe une suite

(εn) et un rangN tels que

1 εn −−−−−→n→+∞

0

2 ∀n Ê N, un = εn vn

On note alors :un = on→+∞

(vn).

Remarque 10.16 Écrire queun = on→+∞

(1) revient à dire queun −−−−−→n→+∞

0.

PROPOSITION10.37 Transitivité de la relation o

La relationo est transitive, ce qui signifie que si(un ), (vn) et (wn) sont trois suites réelles, alors :[

un = on→+∞

(vn) et vn = on→+∞

(wn)]

=⇒ un = on→+∞

(wn)

Preuve Identique à la démonstration de la transitivité deO.

365

THÉORÈME 10.38 Une suite est négligeable devant une autre si et seulement sile quotient de la première par ladeuxième tend vers0.

Soit (un ) et (vn) deux suites réelles. Si à partir d’un certain rang(vn) ne s’annule pas alors :

un = on→+∞

(vn) ⇐⇒ un

vn−−−−−→n→+∞

0

Preuve Identique à la démonstration du théorème 10.36.

Remarque 10.17 Vous rencontrerez deux façons d’utiliser la notationo.– La première est celle de la définition. Par exemple, on peut écrire ln n = o

n→+∞(n), ce qui signifie quelnn/n −−−−−→

n→+∞0.

– Mais vous rencontrerez aussi des écritures comme :

1

n−1= 1

n+ 1

n2+ 1

n3+ o

n→+∞

(1

n3

)

qui signifie que1/(n −1)−(1/n+1/n2 +1/n3

)est négligeable devant1/n3 quandn → +∞. Autrement dit :1/n +

1/n2 +1/n3 est une approximation de1/(n−1) quandn →+∞ et l’erreur commise est un on→+∞

(1

n3

)c’est-à-dire est

négligeable devant1/n3 quandn →+∞.

10.7.4 Suites équivalentes

DÉFINITION 10.17 Suite équivalentesSoient(un ) et (vn) deux suites réelles. On dit que(un ) estéquivalenteà (vn) si et seulement si :

un − vn = on→+∞

(vn)

PROPOSITION10.39La relation « est équivalente à »est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites.Soient(un ), (vn) et (wn) troissuites réelles. On a :• ∼ est réflexive :un ∼

n→+∞un .

• ∼ est symétrique :un ∼n→+∞

vn ⇐⇒ vn ∼n→+∞

un .

• ∼ est transitive :un ∼n→+∞

vn et vn ∼n→+∞

wn =⇒ un ∼n→+∞

wn .

Preuve Montrons que siun ∼n→+∞

vn , alorsvn ∼n→+∞

un . Puisqueun ∼n→+∞

vn , à partir d’un certain rangN, un −vn = vnεn

où εn −−−−−→n→+∞

0. On en tireun = (1+ εn )vn . Puisqueεn −−−−−→n→+∞

0, à partir d’un rangN2 Ê N, 1− εn 6= 0. Alors pourn Ê N2,

vn −un =−εn /(1−εn)vn . Définissons la suite(en) paren =−εn /(1+εn). On aen −−−−−→n→+∞

0 ce qui montre quevn −un = o(un )

d’où vn ∼n→+∞

un . Les autres preuves sont laissées en exercice.

THÉORÈME 10.40 Une suite est équivalente à une autre si et seulement si le quotient de la première par ladeuxième tend vers1.Soient(un ) et (vn) deux suites réelles. Si(vn) ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors

un ∼n→+∞

vn ⇐⇒ un

vn−−−−−→n→+∞

1

PLAN 10.3 : Pour montrer queun ∼n→+∞

vn

on peut au choix, montrer que

1un

vn−−−−−→n→+∞

1

2 À partir d’un certain rang,un = (1+εn )vn avecεn −−−−−→n→+∞

0.

3 À partir d’un certain rang,un = vn +εn avecεn = on→+∞

(vn).

366

THÉORÈME 10.41 Équivalents et limitesSoit (un ) et (un ) deux suites réelles . Alors :– Si un ∼

n→+∞vn et sivn −−−−−→

n→+∞l ∈R alorsun −−−−−→

n→+∞l .

– Si un −−−−−→n→+∞

l ∈R avec l 6= 0 , alors un ∼n→+∞

l .

Preuve– Commeun ∼

n→+∞vn , il existe une suite(εn) telle que, à partir d’un certain rang :un = (1+ εn )vn et εn −−−−−→

n→+∞0. Comme

vn −−−−−→n→+∞

l ∈R, par opération sur les limites :un −−−−−→n→+∞

l .

– Dire que :un −−−−−→n→+∞

l ∈R∗ revient à dire que :un

l−−−−−→n→+∞

1 et doncun ∼n→+∞

l .

Attention 10.4 Écrireun ∼n→+∞

0 revient à dire qu’à partir d’un certain rang, les termes de lasuite(un ) sont tous nuls.

PROPOSITION10.42 Un équivalent simple permet de connaître le signe d’une suiteSi (un ) et (vn) sont deux suites réelles équivalentes alors, il existe un rang à partir duquel elles sont de même signe

un ∼n→+∞

vn =⇒ [∃N ∈N : ∀n Ê N, un vn Ê 0]

Preuve Commeun ∼n→+∞

vn il existe une suite(εn) telle que, à partir d’un certain rang :un = (1+εn )vn et εn −−−−−→n→+∞

0. Le

signe de(1+εn)vn est donc donné, à partir d’un certain rang, par celui devn . Par conséquent, à partir d’un certain rang, les deuxsuites(un ) et (vn) sont de me signe.

THÉORÈME 10.43 Produits, quotients, puissances d’équivalentsSoit (an), (bn), (un ), (vn) des suites vérifiant :

un ∼n→+∞

an et vn ∼n→+∞

bn .

Alors :

1 un vn ∼n→+∞

anbn

2 Si (vn) et (bn) ne s’annulent pas à partir d’un certain rang :un

vn∼

n→+∞an

bn.

3 Si (un ) et (an) sont strictement positives à partir d’un certain rang :uαn ∼

n→+∞aα

n oùα ∈R.

Preuve Démontrons le premier équivalent. Les autres se prouvent demême. Commeun ∼n→+∞

an et vn ∼n→+∞

bn , il existe

des suites(αn) et(βn

)toutes deux convergeant vers1 telles que à partir d’un certain rang :un = αn an etvn = βn bn . Par conséquent,

à partir d’un certain rang :un .vn = (αn an ) .(βn bn

)= αnβn .an bn et par opération sur les limitesαnβn −−−−−→

n→+∞1. On a donc bien :

un vn ∼n→+∞

anbn .

Remarque 10.18 Attention, il ne faut pas

1 Sommer des équivalents.

2 Composer des équivalents. En particulier, il ne faut pas• Prendre des logarithmes d’équivalents.• Prendre des exponentielles d’équivalents.

Exemple 10.5Par exemple :– n+1 ∼

n→+∞n et−n ∼

n→+∞−n+2 mais cela n’a pas de sens d’écrire :1 ∼

n→+∞2.

– 2n +n ∼n→+∞

2n mais par contree2n+n n’est pas équivalent àe2n.

10.8 Comparaison des suites de référence

PROPOSITION10.44 Comparaison logarithmique

367

1. Si (un ) et (vn) sont deux suites à termesstrictement positifset si, à partir d’un certain rang,

un+1

unÉ vn+1

vn

alors un = On→+∞

(vn) .

2. Soit(un ) est une suite à termesstrictement positifs. On a :

(a)un+1

un−−−−−→n→+∞

l < 1 =⇒ un −−−−−→n→+∞

0 .

(b)un+1

un−−−−−→n→+∞

l > 1 =⇒ un −−−−−→n→+∞

+∞ .

Preuve

1. Si à partir d’un certain rang :un+1

unÉ vn+1

vnalors, à partir d’un certain rang, on a :

un+1

vn+1É un

vnet donc la suite

(un

vn

)est

décroissante à partir de ce rang. Comme(un ) et (vn) sont à termes strictement positifs, cette suite est minoréepar 0. On

peut donc appliquer le théorème de la limite monotone 10.25,la suiteun

vnconverge vers une limitel Ê 0. Par application du

théorème 10.5, on peut affirmer queun

vnest bornée et donc queun = O

n→+∞(vn).

2. Posonsl = limn→+∞

un+1

un.

(a) Si l < 1 alors on peut trouver un réelr ∈ ]l ,1[ (par exempler = (l +1)/2. D’après le théorème 10.6 page 353, à partir

d’un certain rangN ∈N, on aun+1

unÉ r . Par conséquent, sin Ê N,

un+1

uN= un+1

un

un

un−1. . .

uN+2

uN+1

uN+1

uNÉ r . . . .r︸ ︷︷ ︸

n+1−N fois

= r n+1−N.

Doncun É r n+1−NuN et comme0 É r < 1, la suite géométrique(r n) converge vers0. On en déduit queun −−−−−→n→+∞

0.

(b) Si l > 1 alors en prenantr ∈ ]1, l [, à partir d’un certain rangN ∈N, on aun+1

unÊ r . La démonstration se termine comme

la précédente.

THÉORÈME 10.45 Comparaison des suites de référence

Soienta > 1, α> 0 etβ> 0.

(lnn)β = on→+∞

(nα

)nα = o

n→+∞

(an

)an = o

n→+∞(n!) n! = o

n→+∞

(nn

)

Preuve

• Soit (un ) la suite de terme généralun = (lnn)β

nα. Pour toutn ∈N, on aun = β

α

lnn

α

β

n

α

β

β

. Maisln x

x−−−−−→x→+∞

0. Par conséquent

lnn

α

β

n

α

β

−−−−−→n→+∞

0 et doncun −−−−−→n→+∞

0 ce qui prouve que(ln n)β = on→+∞

(nα

).

• Considérons maintenant la suite(vn) de terme généralvn =nα

an. Soitn ∈N. On a

vn+1

vn=

1

a

(1+

1

n

)a

−−−−−→n→+∞

1

a

En appliquant le critère de comparaison logarithmique, on peut affirmer, puisque0 <1

a< 1, que vn −−−−−→

n→+∞0 et donc que

nα = on→+∞

(an

).

368

• Considérons la suite(wn ) de terme généralvn =an

n!. On a

wn+1

wn=

( n

n +1

)n=

(1+ 1

n

)−n

−−−−−→n→+∞

1

e

Comme0 <1

e< 1, en appliquant à nouveau le critère de comparaison logarithmique, on peut affirmer quevn −−−−−→

n→+∞0 et donc

quean = on→+∞

(n!).

– Pour la dernière relation, sin Ê 1 on vérifie facilement que :

n!

nn=

1×2×3× . . . ×n

n ×n ×n × . . . ×nÉ

1

n−−−−−→n→+∞

0.

THÉORÈME 10.46 Équivalents usuelsSoit (un ) une suite telle queun −−−−−→

n→+∞0 .

1 sin un ∼n→+∞

un

2 tanun ∼n→+∞

un

3 ln (1+un ) ∼n→+∞

un

4 [1−cos un ] ∼n→+∞

u2n

2

5 [eun −1] ∼n→+∞

un

6 sh un ∼n→+∞

un

7 [(1+un )α−1] ∼n→+∞

αun (α ∈R∗).

Preuve

1 La première équivalence est une conséquence de la limite usuellesin x

x−−−→x→0

1.

2tanun

un=

sinun

un

1

cosun−−−−−→n→+∞

1.

3 La troisième équivalence est une conséquence de la limite usuelleln(1+x)

x−−−→x→0

1.

4 Par application des formules de trigonométrie,1−cos un = 1−cos(2

un

2

)= 2sin2 un

2∼

n→+∞2

u2n

4=

u2n

2par produit d’équi-

valents.

5 La cinquième équivalence est une conséquence de la limite usuelleex −1

x−−−→x→0

1.

6 (1+un )α−1 = eα ln(1+un)−1 =α ln (1+un ) par application de la formule5 carα ln (1+un ) −−−−−→n→+∞

0. Donc, en appliquant

la formule3, (1+un )α−1 ∼n→+∞

αun .

En conclusion à ce chapitre et avant d’aborder les exercices, il est vivement conseillé de prendre connaissance du para-graphe C.4 de l’annexe C. On y apprendra différentes méthodes permettant de calculer des équivalents. Il sera aussi trèsprofitable de (re-)lire le paragraphe C.1 de cette même annexe.

En résumé

Les différents théorèmes et les différentes définitions de ce chapitre doivent être parfaitement compris et appris. Il fautpouvoir les illustrer par des dessins et savoir refaire les démonstrations marquées avec des♥ . Pour la plupart, cesthéorèmes et définitions seront re-formulés dans le cadre duprochain chapitre sur les fonctions réelles.En accompagnement des exercices de ce chapitre, lisez la partie C.1 page 1173 sur les techniques de majoration-minorationet la partie C.4 page 1188 sur les équivalents. Le tout se trouve dans l’annexe C.Enfin, en complément à ce chapitre, il faudra vous consacrer au paragraphe C.5 page 1203 toujours dans l’annexe C. Ony traite des suites définies par récurrence un thème .... récurrent... dans les concours.

369

10.9 Exercices

10.9.1 Avec les définitions

Exercice 10.1 ♥Soit (un ) une suite réelle. Traduire à l’aide de quantificateurs :

1. La suite (un) est constante à partir d’un certainrang.

2. La suite(un ) est croissante à partir d’un certainrang.

3. (un ) ne converge pas vers 0.

4. la suiteun n’est pas croissante à partir d’un certainrang.

Solution :

1. ∃N ∈N : ∀n ∈N, n Ê N =⇒ un = un+1

2. ∃N ∈N : ∀n ∈N, n Ê N =⇒ un É un+1

3. ∃ε> 0 : ∀N ∈N, ∃n ∈N : n Ê N et |un | Ê ε

4. ∀N ∈N, ∃n ∈N : n Ê N et un Ê un+1

Exercice 10.2 ♥En utilisant les définitions 10.7 et 10.8, montrer que :

1. ( 1n

)n∈N∗ converge vers0·

2. ( 1n2 )n∈N∗ converge vers0·

3. ( 12n )n∈N converge vers0·

4. (n2)n∈N tend vers+∞.

5. (p

n)n∈N tend vers+∞.

6. (ln n)n∈N∗ tend vers+∞.

Solution :

1. Voir l’exemple 10.1 page 352.

2. Soitε> 0. On cherche un rangN ∈N∗ tel que sin Ê N alors1/n2 É ε ou de manière équivalente1/n Épε. Posons

N= E(1/pε)+1. On a1/N É

pε. Soitn ∈N tel quen Ê N. On a bien :1/n2 É 1/N2 É ε et donc1/n2 −−−−−→

n→+∞0.

3. Soit ε > 0. On cherche un rangN ∈ N∗ tel que sin Ê N alors1/2n É ε ou de manière équivalenten Ê lnεln(1/2)

.

PosonsN = E(

− lnεln(1/2)

)+1 (on peut supposerε ∈ ]0,1[. Soit n ∈N∗ tel quen Ê N. Alors 1/2n É 1/2N < ε et donc

12n −−−−−→

n→+∞0

4. SoitM ∈ R. On peut choisirM positif sans que cela ne particularise la démonstration. Oncherche un rangN ∈N

tel que sin Ê N alorsn2 Ê M ou de manière équivalenten Êp

M. PosonsN = E(p

M)+1. On aN2 Ê M. Soit

n ∈N tel quen Ê N. On a bien :n2 Ê N2 Ê M et la suite tend donc vers+∞.

5. SoitM ∈ R. On cherche un rangN ∈N tel que sin Ê N alorsp

n Ê M ou de manière équivalenten Ê M2. PosonsN= E

(M2

)+1. On a

pNÊ M. Soitn ∈N tel quen Ê N. On a bien :

pn Ê

pN Ê M et la suite tend donc vers+∞.

6. SoitM ∈ R. On cherche un rangN ∈N tel que sin Ê N alorslnn Ê M ou de manière équivalenten Ê eM. PosonsN= E

(eM

)+1. On alnN Ê M. Soitn ∈N tel quen Ê N. On a bien :lnn Ê ln N Ê M et la suite tend donc vers+∞.

Exercice 10.3 ♥♥On considère une suite(un ) qui converge vers0. On définit la suite(vn) de terme général :

vn = 1

n2

n∑

k=1

kuk

Montrer que(vn) converge vers0.

Solution : Soit ε > 0. Comme(un ) converge vers0, il existe un rangN1 ∈ N tel que sin Ê N1 alors |un | É ε/2. Par

370

application de l’inégalité triangulaire, on peut écrire :

|vn | = 1

n2

∣∣∣∣∣N1∑

k=1

kuk +n∑

k=N1+1

kuk

∣∣∣∣∣

É 1

n2

N1∑

k=1

k |uk |+1

n2

n∑

k=N1+1

kε

2

É 1

n2

N1∑

k=1

k |uk |+ε

2

car∑n

k=N1+1k É n2. De plus, par opérations sur les limites,

1

n2

∑N1

k=1k |uk | −−−−−→

n→+∞0. Il existe donc un rangN2 ∈N∗ tel

que sin Ê N2 alors1

n2

∑N1

k=1k |uk | É ε/2. PosonsN = max (N1,N2). Soit n Ê N. On a alors|vn | É ε/2+ε/2 = ε, ce qui

prouve quevn −−−−−→n→+∞

0.

Exercice 10.4 ♥♥Soit une suite réelle(un ) telle que∀n ∈ N, un ∈ Z. Montrer que si la suite(un) converge, alors elle est constante àpartir d’un certain rang.Indication 10.5 : Montrer d’abord que la limite est un entierl ∈ Z. Pour cela, procéder par l’absurde et utiliserl’encadrementE(l) << E(l)+1 en choisissant un epsilon adéquat

Solution : Notonsl = limun . Si on suppose quel 6∈Z, en notantp = E(l), on a :

p < l < p +1

Notons alorsε= 1

2min(l −p, p +1− l)

Pour cetε> 0, il existeN∈N tel que∀n Ê N, l −ε< un < l +ε. Mais alors pourn Ê N,

p < l −εÉ un É l +ε< p +1

ce qui est impossible carun ∈Z. Doncl ∈Z.Posons ensuiteε= 1

2 . Il existeN ∈N tel que pour toutn Ê N,

l − 1

2É un É l + 1

2

Mais alors−1

2É un − l É 1

2

Puisqueun − l ∈Z et que zéro est le seul entier compris entre−1/2 et 1/2, forcémentun = l à partir du rangN.

Exercice 10.5 ♥♥♥Soit un réelα ∈]0,1[ et une suite(un ) convergeant vers une limitel ∈R. Etudier la suite de terme général

vn =n∑

k=0

αk un−k

Solution : Etudions d’abord le cas où(un ) est constante :∀n ∈N, un = a où a ∈ R. On obtient alors facilement que

pour toutn ∈N, vn = a1−αn+1

1−αet vn −−−−−→

n→+∞a

1−α. Ce cas particulier nous invite à conjecturer que que si(un ) converge

versl , la suite(vn) converge versl/(1−α). Écrivons pour toutn ∈N, un = l +εn avecεn −−−−−→n→+∞

0. Alors pourn ∈N,

vn = l1−αn+1

1−α+

n∑

k=0

αkεn−k

Définissons la suite de terme général

θn =n∑

k=0

αkεn−k

et montrons queθn −−−−−→n→+∞

0. Cela montrera que la suite(vn) converge versl/(1−α).

371

Coupons, pourn ∈N, la somme en deux sous-sommes :

|θn | Én−N∑

k=0

|αkεn−k |+n∑

k=n−N+1

|αkεn−k |

Soit ε> 0. Posonsε= ε(1−α) /2 > 0. Commeεn −−−−−→n→+∞

0, il existeN ∈N, tel que∀k Ê N, |εk | É ε.

Donc pour la première somme, sin Ê N :

n−N∑

k=0

|αkεn−k | É ε1−αn−N+1

1−αÉ ε

1−α.

En posantM = max(|ε0|, . . . , |εN−1|), on majore la deuxième somme :

n∑

k=n−N+1

|αkεn−k | É Mn∑

k=n−N+1

αk = M

αN−1αn 1−αN

1−αÉ M

αN−1(1−α)αn

carα ∈ ]0,1[. La suite(

M

αN−1αn

)converge vers0 (car c’est une suite géométrique de raisonα ∈ ]0,1[) donc il existe

N′ ∈N tel que∀n Ê N′,Mαn

αN−1É ε. PosonsN1 = max(N,N′) et soitn > N1.

Il vient finalement,

|θn | Éε

1−α+ ε

1−α= ε.

10.9.2 Convergence, divergence de suites

Exercice 10.6 ♥Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

1. un = sin nn

2. un = n2

n(n−1)+ (0.7)n

3. un = n3 +2n2 −5n+1

4. un = 3n −n22n

5. un = (−1)n

6. un =p

n2 +n−p

n

Solution :

1. Pour tout réelx, −1 É sin x É 1, donc pour toutn ∈ N∗, − 1nÉ sinn

nÉ 1

n. D’après le théorème des gendarmes :

un −−−−−→n→+∞

0.

2. Soitn ∈N∗. n2

n(n−1)= n2

n21

1(1− 1

n

) −−−−−→n→+∞

1 et (0.7)n −−−−−→n→+∞

0 car il s’agit d’une suite géométrique de raison0.7 ∈

]−1,1[. Donc par opérations sur les limitesun −−−−−→n→+∞

1.

3. un = n3 +2n2 −5n+1 = n3(1+ 2

n − 5n2 + 1

n3

)−−−−−→n→+∞

+∞ par opérations sur les limites.

4. un = 3n −n22n = 3n

(1− n2

(32

)n

)−−−−−→n→+∞

+∞ par application des relations de comparaisons et par opérations sur

les limites.

5. u2n = 1 −−−−−→n→+∞

1 et u2n+1 =−1 −−−−−→n→+∞

−1. On a ainsi extrait deux suites de la suiteun qui admettent des limites

différentes. Donc(un ) diverge.

6. un =p

n2 +n −p

n =

(pn2 +n−

pn

)(pn2 +n+

pn

)

pn2 +n+

pn

=n2 +n−n

pn2 +n+

pn

= n2

n1√

1+ 1n + 1p

n

−−−−−→n→+∞

+∞ par opéra-

tions sur les limites.

Exercice 10.7 ♥Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

372

1. un = (−3)n +3n

2. un = 22n+n3n

22n−n3n

3. un = an+bn

an−bn où a,b ∈R et 0 < a < b.

4. un = 3n−43n+2

5. un = cosnn

6. un = −n2+1n2+3

Solution :

1. u2n = 32n +32n −−−−−→n→+∞

+∞ et u2n+1 =−32n+1+32n+1 −−−−−→n→+∞

0. On a ainsi extrait deux suites de la suite(un ) qui

ne tendent pas vers une même limite. Par conséquent,(un ) diverge.

2. un = 22n+n3n

22n−n3n = 4n+n3n

4n−n3n = 4n

4n

1+ n(43

)n

1− n(43

)n

. Par croissances comparéesn(43

)n −−−−−→n→+∞

0. Donc :un −−−−−→n→+∞

1.

3. un = an+bn

an−bn = bn

bn

1+(

ab

)n

−1+(

ab

)n −−−−−→n→+∞

−1 car(

ab

)n est le terme général d’une suite géométrique de raisonab ∈ ]−1,1[.

4. un = 3n−43n+2

= 3n

3n

1− 43n

1+ 23n

−−−−−→n→+∞

1 par opérations sur les limites.

5. Pour tout réelx, −1 É cos x É 1, donc pour toutn ∈ N∗, − 1nÉ cos n

nÉ 1

n. D’après le théorème des gendarmes :

un −−−−−→n→+∞

0.

6. un = −n2+1n2+3

= n2

n2

−1+ 1n2

1+ 3n2

−−−−−→n→+∞

−1 par opérations sur les limites.

Exercice 10.8 ♥Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

1. un = n2−n ln n

n2+n(lnn)2

2. un =p

n2 +3n −n

3. un = n sin nn2+1

4. un = 4n −3n +1

5. un =(

13

)n −(

12

)n

6. un = an − (−a)n où a ∈R.

Solution :

1. un = n2−n lnnn2+n(lnn)2 = n2

n2

1− ln nn

1+ (lnn)2

n

−−−−−→n→+∞

1 par application des relations de comparaisons et par opérations sur les

limites.

2. un =p

n2 +3n−n =

(pn2 +3n −n

)(pn2 +3n +n

)

pn2 +3n +n

= 3np

n2 +3n +n= n

n

3√1+ 3

n +1−−−−−→n→+∞

32

par opérations sur

les limites.

3. On a, pour toutn ∈N∗, − nn2+1

É n sinnn2+1

É nn2+1

et nn2+1

−−−−−→n→+∞

0 donc par application du théorème des gendarmes,un −−−−−→

n→+∞0.

4. un = 4n −3n +1 = 4n(1−

(34

)n +(

14

)n)−−−−−→n→+∞

+∞ par opérations sur les limites.

5. un =(

13

)n −(

12

)n −−−−−→n→+∞

0 par opérations sur les limites et car((

13

)n)

et((

12

)n)

sont des suites géométriques de

raison élément de]−1,1[.

6. u2n = 0−−−−−→n→+∞

0 etu2n+1 = 2a2n+1. Si a 6∈ ]−1,1[, (u2n+1) diverge et les deux suites extraites(u2n) et(u2n+1) sont

de natures différentes donc(un ) diverge. Sia ∈ ]−1,1[, u2n+1 −−−−−→n→+∞

0. Les suites(u2n ) et (u2n+1) convergent

toutes deux vers0. D’après le cours,un −−−−−→n→+∞

0.

Exercice 10.9 ♥Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

1. un = e−n cos2 n

n+1

2. un =p

n2 −n −p

n2 +1

3. un = sin(n2)n

4. un =p

n4 +n2 −n2 −n

5. un = 2+4(−1)n

n

6. un = sin( nπ2

)

373

Solution :

1. Pour toutn ∈ N, −n É −n cos2 n É 0 et donc :e−n

n+1É e−n cos2 n

n+1 É 1. Mais limn→+∞

e−n

n+1= 0. Par application du

théorème des gendarmes,un −−−−−→n→+∞

0.

2. un =p

n2 −n −p

n2 +1 =

(pn2 −n −

pn2 +1

)(pn2 −n +

pn2 +1

)

pn2 −n+

pn2 +1

= − n+1p

n2 −n+p

n2 +1=

−nn

1+ 1n√

1− 1n +

√1+ 1

n2

−−−−−→n→+∞

− 12 par opérations sur les limites.

3. Pour toutn ∈N∗, − 1nÉ sin(n2)

nÉ 1

ndonc par application du théorème des gendarmes,un −−−−−→

n→+∞0.

4. un =p

n4 +n2−n2 −n =

(pn4 +n2 −n2 −n

)(pn4 +n2 +n2 +n

)

pn4 +n2 +n2 +n

= −2n3

pn4 +n2 +n2 +n

= n3

n2−2√

1+ 1n2 +1+ 1

n

−−−−−→n→+∞

−∞ par opérations sur les limites.

5. Pour toutn ∈ N∗, − 2nÉ 2+4(−1)n

nÉ 6

net lim

n→+∞− 2

n= lim

n→+∞6

n= 0. Par application du théorème des gendarmes,

un −−−−−→n→+∞

0.

6. Pour toutn ∈N, u2n = sin(nπ) = 0 etu2n+1 = (−1)n . On extrait ainsi de(un ) deux suites de nature différentes. Parconséquent,(un ) diverge.

Exercice 10.10 ♥Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

1. un = n cos n+n2

2. un =(1+ 1

n

)noù n > 0.

3. un = lnnpn+1

4. un = 3n+cos nn−1

, n Ê 2

5. un = n3+5n

5n3+cos n+ 1n2

où n > 0.

6. un =n∑

k=1

1

2k

Solution :

1. Pour toutn ∈N, un = n cosn+n2 Ê n2−n etn2−n −−−−−→n→+∞

+∞ donc par application du théorème des gendarmes,un −−−−−→

n→+∞+∞.

2. un =(1+ 1

n

)n = en ln

(1+ 1

n

). Maisn ln

(1+ 1

n

)=

ln(1+ 1

n

)

1n

et ln(1+x)x

−−−→x→0

1 doncn ln(1+ 1

n

)−−−−−→n→+∞

1 etun −−−−−→n→+∞

e1 = e par opérations sur les limites.

3. un = lnnpn+1

= ln npn

1√1+ 1

n

−−−−−→n→+∞

0 par croissances comparées (voir le théorème 10.44 page 367)et opérations sur

les limites.

4. Pour toutn Ê 2, 3n−1n−1

É 3n+cos nn−1

É 3n+1n−1

et 3n−1n−1

= nn

3− 1n

1− 1n−−−−−→n→+∞

3, 3n+1n−1

= nn

3+ 1n

1− 1n−−−−−→n→+∞

3 donc par application

du théorème des gendarmes,un −−−−−→n→+∞

3.

5. un = n3+5n

5n3+cos n+ 1n2

= n3

n3

1+ 5n2

5+ cos nn3 + 1

n5

−−−−−→n→+∞

15 par opérations sur les limites.

6. un =n∑

k=1

1

2k=

1− 12n+1

1− 12

−1 −−−−−→n→+∞

1 car on a affaire à une somme géométrique de raison12 ∈ ]−1,1[ (Attention à

l’indice de départ de la somme qui n’est pas0).

Exercice 10.11 ♥Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

1. un =(1+ a

n

)n où a ∈R et n > 0.

2. un =(

12 +

1n

)noù n > 0.

3. un = sin 2nπ3

4. un = 4.(0.5)n−2(0.5)n+3

5. un = n5

5n

6. un = 2n sin π2n

374

Solution :

1. un =(1+ a

n

)n = en ln(1+ a

n). Mais n ln

(1+ a

n

)= a

ln(1+ a

n

)

an

et ln(1+x)x

−−−→x→0

1 donc : n ln(1+ a

n

)−−−−−→n→+∞

a et

un −−−−−→n→+∞

ea .

2. un =(

12+ 1

n

)n = en ln

(12+ 1

n

)−−−−−→n→+∞

0 par opérations sur les limites et carln(

12+ 1

n

)−−−−−→n→+∞

ln 12< 0.

3. un = sin 2nπ3

=

0 si 3|n−

p3

2 si 3|n+1p3

2si 3|n+2

. On peut donc extraire de(un ) trois sous-suites qui convergent vers des valeurs

différentes. Par conséquent,(un ) diverge.

4. un = 4.(0.5)n−2(0.5)n+3

−−−−−→n→+∞

− 23

par opérations sur les limites et car(0.5n ) est une suite géométrique de raison0.5 ∈]−1,1[.

5. un = n5

5n −−−−−→n→+∞

0 par croissances comparées (voir le théorème 10.44 page 367).

6. On asinxx

−−−→x→0

1 et π2n −−−−−→

n→+∞0 doncun = 2n sin π

2n =πsin π

2n

π2n

−−−−−→n→+∞

π

Exercice 10.12 ♥Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

1. un = 2n+(−1)n

5n+(−1)n+1

2. un = ln(n+1)lnn

où n > 0

3. un = ln (n+1)− ln n où n > 0.

4. un =n sin

(1n

)

2−cos(

1n

) où n > 0.

5. un = n− 1n

n+ 1n

où n > 0.

6. un = ln(en +1)−n

Solution :

1. un = 2n+(−1)n

5n+(−1)n+1 = nn

2+ (−1)n

n

5+ (−1)n+1

n

−−−−−→n→+∞

25

2. un = ln(n+1)ln n

=ln

(n

(1+ 1

n

))

lnn= 1+

ln(1+ 1

n

)

ln n−−−−−→n→+∞

1 par opérations sur les limites.

3. un = ln (n+1)− ln n = ln n+1n

= ln(1+ 1

n

)−−−−−→n→+∞

0 par opérations sur les limites.

4. On a déjà montré quen sin(

1n

)−−−−−→n→+∞

1 donc, commecos(

1n

)−−−−−→n→+∞

cos0 = 1, un =n sin

(1n

)

2−cos(

1n

) −−−−−→n→+∞

1

5. un = n− 1n

n+ 1n= n

n

1− 1n2

1+ 1n2

−−−−−→n→+∞

1 par opérations sur les limites.

6. un = ln (en +1)−n = ln (en (1+e−n ))−n = ln (1+e−n ) −−−−−→n→+∞

0 par opérations sur les limites.

Exercice 10.13 ♥Étudier la convergence des suites suivantes, données par leur terme général :

1. un =(

sinn3

)n

2. un = tan(π2− 2

n

)où n > 0

3. un =p

1−3n+n2 où n > 2.

4. un = sinnn+(−1)n+1

5. un = np

2+ (−1)n

6. un = n−(−1)n

n+(−1)n

Solution :

1. Pour toutn ∈ N∗, 0 É(|sinn|

3

)nÉ

(13

)net lim

n→+∞

(1

3

)n= 0 donc par application du théorème des gendarmes,

un −−−−−→n→+∞

0.

2. un = tan(π2− 2

n

)−−−−−→n→+∞

+∞ par opérations sur les limites.

375

3. un =p

1−3n+n2 = n√

1n2 − 3

n+1 −−−−−→

n→+∞+∞ par opérations sur les limites.

4. Pour toutn > 1, − 1n+1 É sinn

n+1 É sin nn+(−1)n+1 É sinn

n−1 É 1n−1 et lim

n→+∞1

n+1= lim

n→+∞1

n−1= 0 donc par application du

théorème des gendarmesun −−−−−→n→+∞

0.

5. Pour toutn Ê 0, np

1 É un = np

2+ (−1)n É np

3 et np

3 = eln3n −−−−−→

n→+∞e0 = 1 donc par application du théorème des

gendarmesun −−−−−→n→+∞

1.

6. Pour toutn Ê 2, n−1n+1

É un = n−(−1)n

n+(−1)n É n+1n−1

et limn→+∞

n+1

n−1= lim

n→+∞n−1

n+1= 1 donc par application du théorème des

gendarmesun −−−−−→n→+∞

1.

Exercice 10.14 ♥♥Soient(un) et (vn) deux suites réelles telles queu2

n +un vn + v2n −−−−−→

n→+∞0.

Démontrer que(un) et (vn) convergent vers0.

Solution : Soit n ∈N. Commeu2n +un vn + v2

n = (un + vn)2 −un vn = (un − vn)2 +3un vn , la limite des deux dernièresquantités existent et vaut0. Par conséquent :un vn = 1

4

(((un + vn)2 +3un vn

)−

((un + vn)2 −un vn

))−−−−−→n→+∞

0. On en

déduit queu2n + v2

n −−−−−→n→+∞

0 ce qui n’est possible que siun −−−−−→n→+∞

0 et vn −−−−−→n→+∞

0.

Exercice 10.15 ♥♥♥Montrer que la suite(cos(n)) diverge.

Solution : Supposons que(cos n) converge vers une limitel ∈R. En utilisant le procédé de transformation d’expressionstrigonométriques en produits B.3.1 page??, on montre que :

∀x ∈R, cos 2x = 2cos2 x −1 et cos 3x = 4cos3 x −3cos x

Par passage à la limite dans ces égalités, on obtient :l = 2l 2 −1 et l = 4l 3 −3l . On tire de la première égalité quel = −1/2 ou l = 1. De la seconde, il vient quel =±1 ou l = 0. Doncl = 1. Mais alors|sinn| =

p1−cos2 n −−−−−→

n→+∞0 et

cos(n+1) = cosn cos 1− sin n sin 1 livre en passant à la limite1 = cos 1 ce qui est absurde. La suite(cos(n)) est doncdivergente d’après le théorème 10.23 page 359.

10.9.3 Relations de comparaison

Exercice 10.16 ♥Soient deux suites(un), (vn) telles que

1 ∀n ∈N,0 É un 2 ∀n ∈N, vn É 1 3 un vn −−−−−→n→+∞

1

Montrer que(un ) et (vn) convergent vers1.

Solution : Soit n ∈ N. On aun vn É un É 1. On peut alors affirmer , grâce au théorème des gendarmes, que(un )

converge vers1. De même pour(vn).

Exercice 10.17 ♥Etudier la suite(un ) définie pourn Ê 1 par :

un =2n∏

k=1

(2− k

2n

)

Solution : Pour toutk ∈ �1,n�, on a :2− k

2nÊ 3

2et pour toutk ∈ �n+1,2n�, on a :2− k

2nÊ 1. Par conséquent,

un Ê(

3

2

)n

.

Comme(3/2)n −−−−−→n→+∞

+∞, par le théorème de majoration, on peut affirmer queun −−−−−→n→+∞

+∞ .

376

Exercice 10.18 ♥Etudier la suite de terme général

un =n∑

k=1

pk

Solution : On a, pour toutn Ê 1, un Êp

n etp

n −−−−−→n→+∞

+∞ donc par comparaison,un −−−−−→n→+∞

+∞ .

Exercice 10.19 ♥Etudier la suite de terme général

un =n∑

k=1

1

n2+k2

Solution : Pour toutn Ê 1 :

0 Én∑

k=1

1

n2+k2É

n∑

k=1

1

2n2= n

n2= 1

n

et 1n −−−−−→

n→+∞0 donc par application du théorème des gendarmes,un −−−−−→

n→+∞0 .

Exercice 10.20 ♥Etudier la suite de terme général

un =n∑

k=1

1p

k

Solution : Pour toutn Ê 1 :n∑

k=1

1p

kÊ

n∑

k=1

1p

n= n

pn=p

n

etp

n −−−−−→n→+∞

+∞ donc par comparaison,un −−−−−→n→+∞

+∞ .

Exercice 10.21 ♥Etudier la suite de terme général

un =n∑

k=1

n

n2+k

Solution : Pour toutn Ê 1 :n2

n2+n=

n∑

k=1

n

n+n2É

n∑

k=1

n

n2+kÉ

n∑

k=1

n

n2= 1

et n2

n2+n−−−−−→n→+∞

1 donc un −−−−−→n→+∞

1 par application du théorème des gendarmes.

Exercice 10.22 ♥Etudiez la suite de terme général

un =n∑

k=1

k

n+k

Solution : Soit k ∈ �1,n�. Puisquek É n,k

n+kÊ

k

2net donc

un Ê1

2n

n∑

k=1

k =n+1

4→+∞

Donc par application du théorème des gendarmesun →+∞ .

Exercice 10.23 ♥Étudiez la suite de terme général

un =2n∑

k=n

kp

n2 +k2

377

Solution : Soit n Ê 1 et k ∈ �1,n�.k

pn2 +k2

Ên

pn2 +4n2

=1p

5d’où un Ê

np

5. La suite(un ) diverge donc vers+∞

d’après le théorème des gendarmes.

Exercice 10.24 ♥♥Etudier la suite de terme général

un =n2∑

k=1

kp

n9 +k

Solution : Pour toutn Ê 1 :

0 Én2∑

k=1

kp

n9 +kÉ

n2∑

k=1

kp

n9= n2(n2+1)

2p

n9= n4

2n92

(1+ 1

n2

)−−−−−→n→+∞

0

donc par application du théorème des gendarmes,un −−−−−→n→+∞

0 .

Exercice 10.25 ♥♥Etudier la suite de terme général

un =n2∑

k=1

k2

n3 +k2

Solution : Pour toutk ∈�

1,n2�,

k2

n3 +k2Ê k2

n3 +n4donc

1

n3 +n4

n2∑

k=1

k2 É un .

Mais d’après l’exercice 8.1,∑n2

k=1k2 = n2(n2+1)(2n2+1)

6donc

un Ê n2(n2 +1)(2n2 +1)

6(n3 +n4)−−−−−→n→+∞

+∞.

On en déduit grâce au théorème des gendarmes queun −−−−−→n→+∞

+∞ .

Exercice 10.26 ♥♥Soit x ∈R∗. Étudiez les suites de terme général

un =E(nx)

net vn =

E(nx)

x

Solution : Pour toutn ∈N, on a :E(nx) É nx < E(nx)+1 ce qui amène :nx−1 < E(nx) É nx. Alors, pour toutn ∈N∗,on obtient l’encadrement suivant deun :

x − 1

n< un É x.

On conclut grâce au théorème des gendarmes que(un) converge versx. L’étude de(vn) est similaire, mais il fautdistinguer deux cas :

1. Si x > 0, alors

vn > n−1

x

et donc(vn) diverge vers+∞ d’après le théorème des gendarmes.

2. Si x < 0, alors

E(nx) É nx =⇒ E(nx)

xÊ n

(on change les inégalités en les multipliant par un réel négatif !) Ici aussi, (vn) diverge vers+∞.

378

Exercice 10.27 ♥♥Soit x un réel, étudier la suite de terme général

un = 1

n2

n∑

k=1

E(kx) avecn Ê 1.

Solution : Soitn Ê 1. De la même façon que dans l’exercice 10.26, on montre que pour toutk ∈ �1,n�, kx−1 É E (kx) Ékx. Il vient alors que :

1

n2

n∑

k=1

(kx −1) É1

n2

n∑

k=1

E(kx) É 1

n2

n∑

k=1

kx

ce qui s’écrit aussi, en reconnaîssant des sommes arithmétiques :

n (n+1)

2n2x − 1

nÉ 1

n2

n∑

k=1

E(kx) É n (n+1)

2n2x

On montre facilement quen (n+1)

2n2x −−−−−→

n→+∞x

2. Par application du théorème des gendarmes, on montre que

un −−−−−→n→+∞

x2 .

Exercice 10.28On considère deux suites à termes strictement positifs,(an) et (bn) qui convergent vers0. Étudiez la suite de termegénéral

un =a2

n +b2n

an +bn

Solution : Soit n ∈N. Majorons

un =a2

n

an +bn+

b2n

an +bnÉ

a2n

an+

b2n

bn= an +bn

Comme∀n ∈N, |un | = un É an +bn , par le théorème de majoration, il vient que la suite(un ) converge vers0.

Exercice 10.29 ♥♥

1. Montrer que :∀x > 0, x − x2

2< ln(1+ x) < x.

2. En déduire la limite de la suite de terme général

un =n∏

k=1

(1+ k

n2

)

Solution :

1. L’inégalité se montre en étudiant les deux fonctionsf et g données parf (x) = ln(1+ x)− x et g (x) = ln(1+ x)−

x + x2

2sur]0,+∞[.

2. Puisque∀n ∈N, un > 0, introduisons la suite(vn) de terme généralvn = ln un . Alors

vn =n∑

k=1

ln

(1+ k

n2

)

et en utilisant l’encadrement construit dans la première question,

n∑

k=1

(k

n2− k2

2n4

)É vn É

n∑

k=1

k

n2

et donc, comme∑n

k=1k = n(n+1)

2et que

∑nk=1

k2 =(

n(n+1)(2n+1)6

)(voir exercice 8.1 page 314), il vient que :

(n+1)

2n− (n+1)(2n+1)

12n3É vn É (n+1)

2n

On conclut en appliquant le théorème des gendarmes,vn → 1

2et donc un →

pe .

379

Exercice 10.30 ♥On considère la suite(un ) donnée par :

∀n ∈N∗, un = 1

n+ 1

n+1+ 1

n+2+ . . .+ 1

np

où p est un entier strictement positif fixé.

1. Montrer que :

∀x ∈ ]0,1[ , 1+ x É ex É1

1−x.

2. En déduire que :

∀x > 1, lnx +1

xÉ 1

xÉ ln

x

x −1

3. En déduire la limite de(un ) puis qu’elle est convergente et donner sa limite.

Solution :

1. Il suffit d’étudier les fonctionsf :

{]0,1[ −→ R

x 7−→ ex − (1+ x)et g :

{]0,1[ −→ R

x 7−→ (1− x) ex −1

2. Soitx > 1. On a donc1x ∈ ]0,1[ et, par application de l’inégalité précédente, il vient que:

1+ 1

xÉ e

1

x É 1

1− 1

x

⇐⇒ x +1

xÉ e

1

x É x

x −1

⇐⇒ lnx +1

xÉ ln e

1

x = 1

xÉ ln

x

x −1

3. Pour toutk ∈�

0,np −n�, en appliquant l’inégalité précédente àx = n+k Ê 1, on obtient :

lnn+k +1

n+kÉ

1

n+kÉ ln

n+k

n+k −1

ce qui s’écrit aussi :

ln (n+k +1)− ln (n+k) É1

n+kÉ ln (n+k)− ln (n+k −1)

Sommons maintenant ces inégalités pourk variant de0 à np −n. On reconnaît des sommes télescopiques et onobtient :

ln(np +1

)− ln n É un É ln np − ln(n−1)

Mais ln(np +1

)− ln n = ln

(p + 1

n

)−−−−−→n→+∞

ln p et ln np − ln (n−1) = lnnp

n−1= ln

n

n

p

1− 1

n

−−−−−→n→+∞

ln p. Enfin, par

application du théorème des gendarmes, on obtient :un −−−−−→n→+∞

ln p

Exercice 10.31 ♥♥♥On considère une suite(un ) vérifiant :

∀k ∈N⋆, ∀n ∈N∗, 0 É un É k

n+ 1

k

Montrez que la suite(un ) est convergente, et déterminez sa limite.

Solution : Soit n ∈N∗. Posonsk = E(p

n). D’après l’énoncé, on obtient l’encadrement

0 É un ÉE(p

n)

n+

1

E(p

n)

Mais puisqueE(p

n)Ép

n < E(p

n)+1, on obtient l’encadrement

pn −1 < E(

pn) É

pn

380

Donc, on a l’encadrement suivant pourun valable pourn Ê 2 :

0 É un Ép

n

n+

1p

n−1

Si n Ê 4,p

n −1 Êp

n/2 et donc,

∀n Ê 4, 0 É un É 3p

n

Puisque la suite(3/p

n) converge vers0, et que∀n Ê 4, |un | É 3/p

n, par le théorème de majoration, on en déduit que lasuite(un) converge vers0.

10.9.4 Suites monotones et bornées

Exercice 10.32 ♥En utilisant le théorème de la limite monotone, prouver la convergence de la suite de terme général :

un =(1− 1

3

)(1− 1

5

). . .

(1− 1

2n+1

)

Solution : Soit n ∈N. un+1

un=

(1− 1

2(n+1)+1

)< 1 donc(un ) est décroissante. De plus(un ) est positive et donc minorée

par0. Par application du théorème de la limite monotone,(un ) est convergente et sa limite est positive.

Exercice 10.33 ♥Étudier la convergence de la suite de terme général :

un =n∑

k=1

1

n+k.

Solution : Soit n ∈N∗. Calculons

un+1 −un =(

1

n+2+·· ·+ 1

2n+ 1

2n+1+ 1

2n+2

)−

(1

n+1+ 1

n+2+·· ·+ 1

2n

)= 1

2(2n+1)(n+1)> 0

Par conséquent,(un ) est croissante. De plus

un = 1

n+1+ 1

n+2+·· ·+ 1

2nÉ n

n= 1

donc(un ) est minorée par1. Cette suite converge d’après le théorème de la limite monotone.

Exercice 10.34 ♥♥En utilisant le théorème de la limite monotone, prouver la convergence de la suite de terme général

un =n∑

k=1

1

kn

Solution : Soit n ∈N∗. On a :

un+1 −un = 1

n+1+ 1

2(n+1)+ . . .+ 1

(n+1) (n+1)−

(1

n+ 1

2n+ . . .+ 1

n.n

)

=(

1

n+1− 1

n

)(1+ 1

2+ . . .+ 1

n

)+ 1

(n+1)2

=(1+ 1

2+ . . .+ 1

n

) −1

n (n+1)+ 1

(n+1)2

É − 1

n (n+1)+ 1

(n+1)2

É − 1

n(n+1)2

É 0

car1+ 1

2+ . . .+ 1

nÊ 1. Donc(un ) est décroissante. Elle est minorée par0 et donc elle converge d’après le théorème de

la limite monotone.

381

Exercice 10.35 ♥Étudiez la suite de terme général

un =n∏

k=1

2k −1

2k

Solution : Majorons pourn ∈N∗,un+1

un= 2n+1

2n+2< 1

Par conséquent, la suite(un ) est décroissante. Comme elle est minorée par0, elle converge d’après le théorème de lalimite monotone.

Exercice 10.36 ♥Étudier la convergence de la suite de terme général :

un = 1!+2!+...+n!

n!

Solution : Soit n ∈N.

un+1 −un = 1!+2!+...+n!+(n+1)!

(n+1)!− 1!+2!+...+n!

n!= (n+1)n!−n(1!+...+n!)

(n+1)!= n!−n(1!+...+(n−1)!)

(n+1)!= −n(1!+...+(n−2)!)

(n+1)!É 0

donc(un ) est décroissante. De plus(un ) est positive et donc minorée par0. Par application du théorème de la limitemonotone,(un ) est convergente et sa limite est positive.

Exercice 10.37 ♥Soit (un ) la suite de terme général :un = (1+a)

(1+a2

). . . (1+an) avec0 < a < 1.

1. Étudier les variations de cette suite.

2. Prouver l’inégalité :∀x ∈R, 1+ x É ex

3. En déduire que la suite(un ) est convergente.

Solution :

1. Soitn ∈N∗. On a : un+1

un=

(1+an+1

)> 1 donc(un ) est croissante.

2. Il suffit d’étudier la fonctionf :

{R −→ R

x 7−→ ex − (1+ x).

3. Appliquantn fois l’inégalité précédente avec succssivementx = a, x = a2, ...,x = an on obtient :

un = (1+a)(1+a2

). . .

(1+an

)< eaea2

ea3

. . . ean

= ea 1−an

1−a É ea

1−a

La suite(un ) est donc majorée et en appliquant le théorème de la limite monotone, on en déduit que(un ) converge.

Exercice 10.38 ♥♥♥Soit (un ) une suite croissante de limitel ∈R. Pour toutn Ê 1, on pose

vn = u1 +u2 + ....+un

n.

1. Montrer que(vn) est croissante.

2. Montrer que(vn) est majorée et en déduire que(vn) est convergente vers un réelL.

3. Établir que∀n Ê 1, v2n Êun + vn

2.

4. En déduire quel = L.

La suite(vn) s’appelle la suite desmoyennes de Césarode la suite(un ) et on vient de prouver lethéorème de Césarodans le cas particulier où la suite(un ) est croissante.

Solution :

382

1. Soitn ∈N∗.

vn+1 − vn = nun+1 − (u1 +u2 + . . .+un )

n (n+1)= (un+1 −un )+ (un+1 −un−1)+ . . .+ (un+1 −u2)+ (un+1 −u0)

n (n+1)

Mais la suite(un ) est croissante, et doncun+1 Ê un Ê un−1 Ê . . . Ê u2 Ê u1. Il s’ensuit que :(un+1 −un ) +(un+1 −un−1)+ . . .+ (un+1 −u2)+ (un+1 −u1) Ê 0. Enfin : vn+1 − vn Ê 0 et (vn) est bien croissante.

2. La suite(un ) est croissante de limitel ∈R. Doncl majore(un ). Il vient alors, pour toutn ∈N∗ :

vn =u1 +u2 + ....+un

nÉ

nl

n= l .

(vn) est donc majorée et comme elle est croissante, par application du théorème de la limite monotone, elleconverge vers un réelL É l .

3. Soitn Ê 1.

v2n = u1 + . . .+un +un+1 + . . .+u2n

2n= u1 + . . .+un

2n+ un+1 + . . .+u2n

2n= vn

2+ un+1 + . . .+u2n

2n

Mais comme(un ) est croissante, pour touti ∈ �1,n�, un+i Ê un et donc :

un+1 + . . .+u2n

2nÊ

un + . . .+un

2n=

nun

2n=

un

2.

Finalement, on a bien :v2n Êun + vn

2.

4. Par passage à la limite dans l’inégalité précédente, on obtient : L Ê L+l2

ce qui amèneL Ê l et comme on sait queL É l alorsL = l .

Exercice 10.39 ♥♥Soit (un) une suite réelle et pour toutn ∈N∗, on considèrevn = u1 +·· ·+un

n. La suite(vn) est la suite des moyennes

de Césaro de la suite(un ) (voir l’exercice 10.38).

1. On suppose que(vn) converge. Est-ce que(un ) converge?

2. Si on suppose que(un) est croissante, montrer que(un ) converge si et seulement si(vn) converge.

Solution :

1. Considérons la suite(un ) de terme généralun = (−1)n . Alors, pour toutn ∈N∗ :

vn =

0 si n est pair

− 1

nsi n est impair

.

Il est clair que(vn) converge. Pourtant(un) ne converge pas. La convergence de(vn) n’implique donc pas cellede(un ).

2. Le sens direct consiste en le théorème de Césaro(voir l’exercice 10.38). Prouvons la réciproque. Supposons que(vn) converge vers une limiteL ∈R.Comme(un ) est croissante, d’après le théorème de la limite monotone, il n’y a que deux possibilités :

(a) Si la suite(un) est majorée, alors on sait que(un) converge vers une limite finiel ′ ∈ R. Mais d’après lethéorème de Césaro,(vn) converge également versl ′. Par unicité de la limite,l = l ′ et donc(un ) convergeversl .

(b) Par l’absurde, si la suite(un ) n’est pas majorée, alors(un ) diverge vers+∞. A partir d’un certain rang lasuite(vn) est donc positive. Mais d’après l’exercice10.38, à partir d’un certain rang, on a :

v2n Ê un + vn

2Ê un

2.

Doncv2n −−−−−→n→+∞

+∞ par application du théorème des gendarmes et nécessairement : vn −−−−−→n→+∞

+∞ ce qui

vient contredire notre hypothèse, donc(un ) ne peut être majorée.

383

Exercice 10.40 ♥On pose, pour toutn ∈N∗,

un = 1×3×5× ...× (2n−1)

2×4×6× ...× (2n).

1. Montrer que(un) converge.

2. On considère, pour toutn ∈N∗, la suite(vn) de terme général :vn = (n+1)u2n . Montrer que(vn) converge.

3. En déduire la limite de(un ).

Solution :

1. Soitn ∈N∗. On vérifie facilement queun+1

un=

2n+1

2n+2É 1

par conséquentun+1

un< 1 et (un ) est donc décroissante.(un ) est de plus positive et donc minorée par0. Il s’ensuit

d’après le théorème de la limite monotone, que(un ) est convergente.

2. Soitn ∈N∗.vn+1

vn= n+2

n+1

(un+1

un

)2

= n+2

n+1

(2n+1)2

22 (n+1)2= 4n3 +12n2 +9n+2

4n3 +12n2 +12n+4É 1

et (vn) est décroissante. Elle est aussi minorée par0 et comme précédemment, on peut alors affirmer qu’elle estconvergente.

3. En partant de l’égalitévn = (n+1)u2n , on obtient queun =

√vn

n+1. Comme(vn) converge, il en est de même de

(un ) et limun = 0 .

Exercice 10.41 ♥♥Etudier la suiteun = th 1+ th 2+ . . .+ th n− ln ch n.

Solution : On commence par remarquer quex 7−→ ln ch x est une primitive deth x. La suiteun est croissante :

un+1 − un = thn + 1− ln chn + 1 + ln chn = th n + 1 −∫n+1

nth x dx. Or x 7−→ th x est croissante sur[n,n + 1] donc

∀x ∈ [n,n+1], th x É th n+1 donc∫n+1

nth x dx É

∫n+1

nth n+1dx soit un+1 −un Ê 0 : la suite(un) est croissante.

Pour les mêmes raisons,th k É∫k+1

kth x dx donc en sommant pourk variant de1 à n,

n∑

k=1

th k É∫n+1

1th x dx soit

un É ln(

chn+1chn

)− ln ch1. La suite

chn+1

chnconverge verse, donc la suiteln

(chn+1

chn

)− ln ch 1 converge vers1− ln ch1.

Elle est donc majorée. La suiteun est donc croissante et majorée, elle est convergente.

Exercice 10.42 ♥♥On considère une suite d’entiers(qn) strictement croissante avecq0 Ê 1. On définit la suite(un ) de terme général

un =n∑

k=0

k∏

j=0

1

q j

Montrer que(un ) converge.

Solution : On vérifie que la suite est croissante. Pour toutn ∈N, on a :

un+1 −un =n+1∏

j=0

1

q j> 0

Ensuite, comme(qn) est strictement croissante, on peut affirmer que pour toutk Ê 1, on aqk Ê 2. Par conséquent,

un Én∑

k=0

1

2k= 1− (1/2)n+1

1−1/2É 2

La suite(un ) est croissante et majorée, elle converge d’après le théorème de la limite monotone.

384

Exercice 10.43 ♥♥♥Soit une suite(un ) bornée vérifiant :

∀n ∈N∗, 2un É un+1 +un−1

On définit une suite(vn) en posant pourn ∈ N, vn = un+1 −un . Montrez que la suite(vn) converge et calculez salimite.Indication 10.5 : Montrez que la suite(vn) est croissante et majorée. Montrez ensuite par l’absurde que sa limite vaut0. (on pourra sil > 0 minorer(un) à partir d’un certain rang par une suite qui diverge vers+∞).

Solution : On calcule pourn Ê 1,vn − vn−1 = un+1 −2un +un−1 Ê 0

et donc la suite(vn) est croissante. On suppose de plus que(un ) est bornée :

∃M ∈R : ∀n ∈N, −M É un É M

Donc∀n ∈N, vn = un+1 −un É M+M É 2M

La suite(vn) est donc croissante et majorée par2M.D’après le théorème de la limite monotone, la suite(vn) converge vers une limite finiel ∈R.Montrons par l’absurde quel = 0. Supposons quel 6= 0 et étudions les deux cas suivants :

1. Si l > 0, en posantk = l

2, puisquek < l , il existeN ∈N tel que pour toutn Ê N, vn Ê l

2. Mais alors pourn Ê N+1,

on a :

un Ê un−1 +l

2Ê un−2 +2

l

2Ê ·· · Ê uN + (n−N)

l

2

On a alorswn = uN −Nl

2+n

l

2→+∞ et doncun −−−−−→

n→+∞+∞, ce qui est impossible car on a supposé que la suite

(un) était bornée.

2. Si l < 0, on montre qu’à partir d’un certain rang,vn É − l

2. Mais on majore alors(un ) par une suite qui diverge

vers−∞ ce qui est impossible.

Multimédia : animation avec un exemple pour illustrer les su ites de cet exo précédentExercice 10.44 ♥♥♥

Soient deux réelsa0 > 0 et b0 > 0. On définit deux suites(an) et (bn) par les relations de récurrence :

∀n ∈N, an+1 =√

anbn bn+1 =an +bn

2

1. Montrer que∀n ∈N∗, an É bn .

2. Montrer que(an) et (bn) sont monotones à partir du rang 1, qu’elles convergent et qu’elles ont la même limite.

Solution :

1. On montre par récurrence que :∀n ∈N, an > 0 et bn > 0, ce qui montre quean et bn sont définis pour toutn ∈N.De plus :

∀n ∈N, an+1 =p

an

√bn É 1

2(p

an2 +

√bn

2) = bn+1

ce qui montre que :∀n ∈N∗, an É bn .

2. Soitn Ê 1. Calculonsan+1

an=

√bn

anÊ

√an

an= 1 et bn+1 −bn = an −bn

2É 0

(on a utilisé quean É bn). Donc∀n Ê 1, an+1 Ê an etbn+1 É bn . On a alors prouvé que(an) est croissante et(bn)

décroissante. Puisquea1 É ·· · É an−1 É an É bn É bn−1 É . . . b1

La suite(an) est croissante et majorée parb1. Donc elle converge versl ∈ R. De même, la suite(bn) est décrois-sante et minorée para1, et donc elle converge versl ′ ∈ R. De plus, la suite(an+1) est extraite de(an) et elleconverge donc versl . De même, la suite extraite(bn+1) converge versl ′. En passant à la limite dans les relationsde récurrence, on obtient :

l =p

l l ′ et l = l + l ′

2

385

De la deuxième, on tire quel = l ′.Les deux suites convergent donc vers la même limite.

Remarque 10.19 Cette exercice peut être aussi traîté en montrant que les suites(un ) et (vn) sont adjacentes.

10.9.5 Sommes géométriques

Exercice 10.45 ♥Étudier la convergence de la suite de terme général

un = 1

n

(1+1+ 1

n+

(1+ 1

n

)2

+ . . .+(

1+ 1

n

)n−1).

Solution : Soit n ∈N∗. On a :

un = 1

n

(1+1+ 1

n+

(1+ 1

n

)2

+ . . .+(1+ 1

n

)n−1)= 1

n

1−(

1+ 1

n

)n

1−(

1+ 1

n

) =(1+ 1

n

)n

−1

mais(1+ 1

n

)n

−−−−−→n→+∞

e (voir exercice 2) et doncun −−−−−→n→+∞

e −1 .

Exercice 10.46Soit (a,b) ∈R2. On considère la suite(un ) donnée par :

{u0 = a, u1 = b

un+2 = 12 (un+1 +un )

Pour toutn ∈N, posons de plus :vn = un+1 −un .

1. Montrer que(vn) est une suite géométrique.

2. Calculer, en fonction den, la sommeSn =∑n−1k=0

vk .

3. En déduire, pour toutn ∈N, un en fonction den ainsi que la limite de(un ).

Solution :

1. Soitn ∈N. On a :vn+1

vn=

un+2 −un+1

un+1 −un=

1

2(un+1 +un )−un+1

un+1 −un=−

1

2. La suite(vn) est donc une suite géométrique

de raison−1

2. Son premier terme estv0 = u1 −u0 = b −a.

2. On en déduit que pour toutn ∈ N, vn = (b −a)

(−1

2

)n

. Soit n ∈ N. On calcule :Sn = (b −a)1−

(− 1

2

)n

1+ 1

2

=

2(b −a)

3

(1−

(−1

2

)n).

3. Par télescopage, on a aussiSn = ∑n−1k=0

vk = un −u0 et doncun = 2(b −a)

3

(1−

(−1

2

)n−1)+ a. On en déduit que

un −−−−−→n→+∞

a +2b

3.

10.9.6 Suites adjacentes

Exercice 10.47Montrer que les suites suivantes(un ) et (vn), données par leur terme général, sont adjacentes :

1. un =n∑

i=0

1

i !et vn = un + 1

n!

386

2. un =n∑

i=0

1

i !et vn = un + 1

n n!

Solution :

1. La suite(un ) est clairement croissante etun −vn −−−−−→n→+∞

0. Il reste à montrer que(vn) est décroissante. Soitn ∈N.

On avn+1 − vn = un+1 −un + 1

(n+1)!− 1

n!= 2

1

(n+1)!− 1

n!= 1−n

(n+1)!< 0

dés quen > 1 et donc(vn) est décroissante.

2. La suite(un ) est clairement croissante etun −vn −−−−−→n→+∞

0. Montrons que(vn) est décroissante. Soitn ∈N. On a :

vn+1 − vn = un+1 −un + 1

(n+1) (n+1)!− 1

n.n!= 1

(n+1)!+ 1

(n+1) (n+1)!− 1

n.n!= n (n+1)+n− (n+1)2

n (n+1) (n+1)!

=− 1

n (n+1) (n+1)!< 0.

Exercice 10.48 ♥Montrer que les suites de terme général

un = 1+n−1∑

k=1

1

k2(k +1)2

vn = un + 1

3n2

sont adjacentes.

Solution : La suite(un ) est clairement croissante. Montrons que(vn) est décroissante. Soitn ∈N∗.

vn+1 − vn = un+1 −un + 1

3(n+1)2− 1

3n2= 1

n2(n+1)2+ 1

3(n+1)2− 1

3n2= 3+n2 − (n+1)2

3n2 (n+1)2= 2

(−n+1)

3n2 (n+1)2

et cette quantité est négative ou nulle dés quen Ê 1. Par suite(vn) est décroissante. Il est de plus clair quevn −un =1

3n2−−−−−→n→+∞

0 et les deux suites sont donc bien adjacentes.

Exercice 10.49 ♥♥♥Pour toutn ∈N∗, on pose

Hn =n∑

k=1

1

k.

1. Montrer que∀n ∈N∗, H2n −Hn Ê 1

2.

2. En déduire queHn −−−−−→n→+∞

+∞.

3. Prouver l’inégalité :∀t ∈ ]−1,+∞[ , ln (1+ t) É t .

4. On introduit les suites de terme général, pour toutn ∈N∗ :

un = Hn − ln (n+1) et vn = Hn − ln n

Montrer que(un ) et (vn) sont adjacentes.

5. Montrer qu’il existe un réelγ ∈ ]0,1[ tel que :

Hn = ln n+γ+ on→+∞

(1)

Le réelγ est appeléconstante d’Euler.

Solution :

1. Soitn ∈N∗.H2n −Hn =

1

n+1+

1

n+2+ . . .+

1

2nÊ

1

2n+ . . .+

1

2n=

n

2n=

1

2

387

2. La suite(Hn) est clairement croissante. Par application du théorème de la limite monotone, on peut affirmer quesoit elle converge vers un réell soit elle tend vers+∞. Si (Hn) convergeait vers un réell alors il en serait demême de toute suite extraite et doncH2n −−−−−→

n→+∞l . Par opérations sur les limites, on aurait alors :

0= l − l = limn→+∞

H2n −Hn Ê 1

2

ce qui est absurde. Par conséquent(Hn) diverge.

3. Il suffit d’étudier la fonctionf :

{]−1,+∞[ −→ R

t 7−→ ln (1+ t)− t.

4. Soitn ∈N∗.

un+1 −un = Hn+1 − ln (n+2)−Hn + ln (n+1) =1

n+1− ln

n+2

n+1= 1

n+1− ln

(1+ 1

n+1

)Ê 1

n+1− 1

n+1= 0

donc(un ) est croissante. De la même façon :

vn+1 − vn = 1

n+1+ ln

n

n+1= 1

n+1+ ln

(1− 1

n+1

)É 1

n+1− 1

n+1É 0

et (vn) est décroissante. De plus :

vn −un = lnn+1

n= ln

(1+

1

n

)É

1

n−−−−−→n→+∞

0

Les deux suites sont donc bien adjacentes et elles convergent vers une même limiteγ ∈R.

5. Commeu1 = 1− ln(2) > 0 et v1 = 1− ln 1 = 1, on a nécessairementγ ∈ ]0,1[. Par ailleurs, comme(vn) admetγcomme limite, pour toutn ∈N∗,

Hn − ln n−γ= vn −γ−−−−−→n→+∞

0

et donc : Hn = ln n+γ+ on→+∞

(1) .

Exercice 10.50 ♥♥On considère la suite de terme général

un = 1− 1

2!+ 1

4!−·· ·+ (−1)n

(2n)!

Montrez que les deux suites(u2n ) et (u2n+1) sont adjacentes. En déduire que la suite(un ) converge.

Solution : Soit n ∈N∗. On a :

un =n∑

k=0

(−1)k

(2k)!.

Donc

u2(n+1) −u2n = u2n+2 −u2n = (−1)2n+2

(2(2n+2))!+ (−1)2n+1

(2(2n+1))!= 1

(4n+4)!− 1

(4n+2)!É 0

et (u2n ) est alors décroissante. De même :

u2(n+1)+1 −u2n+1 = u2n+3 −u2n+1 =(−1)2n+3

(2(2n+3))!+ (−1)2n+2

(2(2n+2))!= 1

(4n+4)!− 1

(4n+6)!Ê 0

et (u2n+1) est croissante. De plus :

u2n+1 −u2n = (−1)2n+1

(2(2n+1))!−−−−−→n→+∞

0.

Les deux suites(u2n ) et (u2n+1) sont donc bien adjacentes et elles convergent donc vers une même limite. D’après lecours, on en déduit que(un ) converge aussi vers cette limite.

Exercice 10.51 ♥♥

1. Montrez que les deux suites de terme général

un =n∑

k=1

1p

k−2

pn+1

388

vn =n∑

k=1

1p

k−2

pn

sont convergentes de même limite.

2. En déduire un équivalent simple de la suite de terme général

Sn =n∑

k=1

1p

k

Solution :

1. On calcule pourn ∈N∗ :

un+1 −un = 1p

n+1−2

pn+2+2

pn+1 = 1

pn+1

− 2p

n+1+p

n+2

et puisquep

n+2 Êp

n+1, il vient queun+1 −un Ê 0. Donc(un) est croissante. On montre de même que(vn)

est décroissante. On calcule

0 É dn = vn −un = 2(p

n+1−p

n) =2

pn+1+

pn

et donc(dn ) converge vers0. Les deux suites(un) et (vn) sont donc adjacentes et convergent donc vers la mêmelimite l ∈R.

2. Puisque∀n ∈N∗, Sn = vn+2p

n = 2p

n

(1+ vn

2p

n

), il vient que Sn ∼

n→+∞2p

n . En effet, comme(vn) est conver-

gente, on sait quevn

2p

n→ 0.

Exercice 10.52 ♥♥

1. Montrer que les suites de terme général

un =n∑

k=1

1

n+k, vn =

2n∑

k=n

1

k

sont adjacentes.

2. Montrer que :∀n ∈N∗,1

n+1É ln

n+1

nÉ 1

n.

3. En déduire que :∀n ∈N∗, un É ln 2 É vn .

4. Que peut-on en conclure?

Solution :

1. Soitn ∈N∗. Calculons :

un+1 −un =(

1

n+1+1+ 1

n+1+2+ . . .+ 1

n+1+n−1+ 1

n+1+n+ 1

n+1+n+1

)−

(1

n+1+ 1

n+2+ . . .+ 1

n+n

)

= 1

2n+2+ 1

2n+1− 1

n+1

= 1

(n+1) (2n+2)

donc(un ) est croissante. De même :

vn+1 − vn =(

1

n+1+ . . .+ 1

2n+ 1

2n+1+ 1

2n+2

)−

(1

n+ . . .+ 1

2n

)

= 1

2n+1+ 1

2n+2− 1

n

= − 3n+2

2n (n+1) (2n+1)

et (vn) est décroissante. Enfin :vn −un = 1/n −−−−−→n→+∞

0. Les deux suites sont donc adjacentes et convergent vers

une même limite.

389

2. Soitn ∈N∗. On sait que∀x >−1, ln (1+ x) É x. Donc :lnn+1

n= ln

(1+ 1

n

)É 1

n. De même

lnn+1

n=− ln

n

n+1=− ln

n+1−1

n+1=− ln

(1− 1

n+1

)Ê 1

n+1.

3. On utilise les inégalités précédentes :

un = 1

n+1+ 1

n+2+. . .+ 1

n+nÉ ln

n+1

n+ln

n+2

n+1+. . .+ln

n+n

n+n−1= ln

(n+1

n× n+2

n+1× . . .× n+n

n+n−1

)= ln

2n

n= ln 2

vn = 1

n+ 1

n+1+ . . .+ 1

2nÊ ln

n+1

n+ ln

n+2

n+1+ . . .+ ln

2n+1

2n= ln

(n+1

n× n+2

n+1× . . .× 2n+1

2n

)= ln

2n+1

nÊ ln 2

4. Notonsl la limite commune aux deux suites. Pour toutn ∈N∗, on a :un É ln2 É vn donc par passage à la limitel É ln 2É l et doncl = ln 2.

Exercice 10.53 ♥♥♥1. Étudiez les suites de terme général

un =n∑

k=1

1

kk!

vn = un + 1

n2n!

2. Montrez que leur limite commune est irrationnelle.

Solution : Soit n ∈N∗.

1. La suite(un ) est clairement croissante. On montre de plus que :

vn+1 − vn ==1

(n+1) (n+1)!+

1

(n+1)2 (n+1)!−

1

n2n!=−

n2 +3n+1

(n+1)2(n+1)!n2.

Donc(vn) est décroissante. Commevn−un = 1/(n2n!) −−−−−→n→+∞

0, les deux suites sont adjacentes. Elles convergent

donc vers la même limitel ∈R.

2. Remarquons que commeu2 = 5/4, v2 = 11/8, et que5/4 É l É 11/8, l ne peut être un entier. Sil était rationnelle,

notons lap

qoù p, q ∈ N, q Ê 2, on auraituq < p

q< vq et en multipliant parqq !, il viendrait qq !uq < pq ! <

qq !uq + 1

q, ce qui est une absurdité carpq ! est un entier.

10.9.7 Suites extraites

Exercice 10.54 ♥Soit (un ) une suite croissante.

1. On suppose qu’il existe une suite extraite de(un ) qui diverge. Montrer que(un ) diverge.

2. On suppose qu’il existe une suite extraite de(un ) qui converge. Montrer que(un ) converge.

Solution :

1. Si (un ) convergeait alors il en serait de même de toute suite extraite, donc(un ) diverge.

2. Comme(un ) est croissante, d’après le théorème de la limite monotone, soit elle converge, soit elle tend vers+∞.Si (un ) tend vers+∞, alors toute suite extraite de(un ) tend vers+∞ (cette propriété se démontre aisément à l’aidede la définition de la divergence d’une suite vers+∞), ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc(un ) converge.

Exercice 10.55 ♥La suite définie par0 < u0 < 2 et un+1 =

p2+ (−1)n un est-elle convergente?

Solution : Supposons que oui et appelonsλ la limite. On a limn→∞

u2n = λ et limn→∞

u2n+1 = λ . D’ou λ =p

2+λ et

λ=p

2−λ. Dep

2+λ=p

2−λ on tireλ= 0, ce qui contreditλ=p

2+λ. La suiteun n’est pas convergente.

390

Exercice 10.56 ♥La suite définie par0 < u0 < 2 et un+1 =

p2+ (−1)n un est-elle convergente?

Solution : Supposons que oui et appelonsλ la limite. On a limn→∞

u2n = λ et limn→∞

u2n+1 = λ . D’ou λ =p

2+λ et

λ=p

2−λ. Dep

2+λ=p

2−λ on tireλ= 0, ce qui contreditλ=p

2+λ. La suiteun n’est pas convergente.

Exercice 10.57 ♥♥Soit une suite(un) telle que les suites extraites(u2n ), (u2n+1) et (u3n) convergent. Montrez que la suite(un) converge.

Solution : Il existe (l , l ′, l ′′) ∈ R3 tels queu2n −−−−−→n→+∞

l , u2n+1 −−−−−→n→+∞

l ′ et u3n −−−−−→n→+∞

l ′′. Montrons quel = l ′ = l ′′.

Comme la suite(u6n) est extraite de la suite(u2n), elle converge versl (toute suite extraite d’une suite convergenteest convergente de même limite). Mais la suite(u6n ) est également extraite de la suite(u3n) et elle converge donc versl ′′. Par unicité de la limite,l = l ′′. Considérons la suite(u6n+3). Comme elle est extraite de(u2n+1) et de(u3n), par lemême raisonnement, on obtient quel ′ = l ′′. Par conséquent, les suites(u2n ) et (u2n+1) convergent vers la même limite,et d’après le cours, on en déduit que la suite(un ) converge.

Exercice 10.58 ♥Etudiez la suite de terme général :

un =n∑

k=0

(−1)k

k!

Indication 10.5 :Étudier les suites extraites(u2n) et (u2n+1) et montrer qu’elles sont adjacentes.

Solution : Soit n ∈N. Posons :

αn = u2n =2n∑

k=0

(−1)k

k!et βn = u2n+1 =

2n+1∑

k=0

(−1)k

k!.

La suite(αn) est décroissante. En effet :

αn+1 −αn =2n+2∑

k=0

(−1)k

k!−

2n∑

k=0

(−1)k

k!= (−1)2n+1

(2n+1)!+ (−1)2n+2

(2n+2)!= (−1)2n+1 2n+1

(2n+2)!=− 2n+1

(2n+2)!

et(βn

)est croissante :

βn+1 −βn =2n+3∑

k=0

(−1)k

k!−

2n+1∑

k=0

(−1)k

k!= (−1)2n+2

(2n+2)!+ (−1)2n+3

(2n+3)!= (−1)2n+2 2n+2

(2n+3)!=

2n+2

(2n+3)!.

De plus,βn −αn = (−1)2n+1

(2n+1)!−−−−−→n→+∞

0. Les deux suites sont donc adjacentes. Elles convergent alors vers la même limite

l ∈R et donc, d’après le cours comme(u2n ) et (u2n+1) ont la même limitel , la suite(un ) converge versl .

Exercice 10.59 ♥♥

1. Montrer que la suite de terme général

Sn =n∑

k=1

(−1)k

pk

converge vers une limite finiel ∈R.Indication 10.5 :Étudier les suites extraites(S2n ) et (S2n+1) et montrer qu’elles sont adjacentes.

2. Calculer une valeur approchée del à 10−1 près.

Solution :

1. Définissons les deux suites extraites(un) = (S2n ) et (vn) = (S2n+1). On calcule pourn ∈N∗ :

un+1 −un = 1p

2n+2− 1p

2n+1É 0

vn+1 − vn =1

p2n+2

−1

p2n+3

Ê 0

391

donc(un) est decroissante et(vn) croissante. Si(dn ) = (un − vn),

dn = 1p

2n+1−−−−−→n→+∞

0

Les deux suites(S2n) et S2n+1) sont adjacentes et convergent donc vers la même limite finiel .

2. Pour toutn ∈N∗, l est toujours compris entreSn et Sn+1. Il vient donc que

|Sn − l | É |Sn −Sn+1| =1

pn+1

Pour queSn soit une valeur approchée del à 10−1 près, il suffit que1

pn+1

É 10−1, c’est à dire n Ê 99 . On

calcule alorsS99 =−0.6.

10.9.8 Suites équivalentes

Exercice 10.60 ♥Soient(un ), (an) et (bn ) des suites réelles telles que :

∀n ∈N, un = an +bn et bn = on→+∞

(an)

Montrer queun ∼n→+∞

an .

Solution : Commebn = on→+∞

(an), il existe une suite(εn) tel que à partir d’un certain rangbn = εn an et tel que

εn −−−−−→n→+∞

0. Donc, à partir d’un certain rang,un = (1+εn ) an . Comme(1+εn ) −−−−−→n→+∞

1, on a bienun ∼n→+∞

an .

Exercice 10.61 ♥Donner des équivalents simples lorsquen tend vers+∞ pour les suites de terme général :

1. un = n1n −1

2. un =sin 1

n +1

tan 1n2

3. un = ln(n+

pn2 +1

)

4. un = (n+3ln n)e−(n+1)

5. un = n!+en

2n +3n

6. un =1

pn−1

−1

pn+1

Solution :

1. un = n1n −1= e

lnnn −1 ∼

n→+∞lnn

npar application des formules usuelles sur les équivalents et car lnn

n −−−−−→n→+∞

0.

2. un =sin 1

n +1

tan 1n2

∼n→+∞

sin 1n +1

1n2

= n2(sin 1

n+1

)∼

n→+∞n2 carsin 1

n+1−−−−−→

n→+∞1.

3. un = ln(n+

pn2 +1

)= lnn + ln

(1+

√1+ 1

n2

)mais

ln(1+

√1+ 1

n2

)

ln n−−−−−→n→+∞

0 donc ln(1+

√1+ 1

n2

)=

on→+∞

(lnn) et donc d’après l’exercice 10.60,un ∼n→+∞

lnn .

4. un = (n+3ln n)e−(n+1) = ne−(n+1)(1+3 ln n

n

)∼

n→+∞ne−(n+1) car1+3 ln n

n −−−−−→n→+∞

1

5. un = n!+en

2n +3n= n!

3n

1+ en

n!

1+(

23

)n ∼n→+∞

n!

3ncar

1+ en

n!

1+(

23

)n −−−−−→n→+∞

1

6. un = 1p

n−1− 1

pn+1

=p

n+1−p

n−1p

n2 −1= 2

pn2 −1

(pn+1+

pn−1

) =

1

np

n

2√

1− 1n2

(√1+ 1

n +√

1− 1n

) ∼n→+∞

1

np

ncar

2√

1− 1n2

(√1+ 1

n +√

1− 1n

) −−−−−→n→+∞

1.

Exercice 10.62 ♥♥Donner des équivalents simples lorsquen tend vers+∞ pour les suites de terme général :

392

1. un = 1

n−1− 1

n+1

2. un =p

n+1−p

n−1

3.ln(n+1)− ln n

tan 1n

4. un =ln(n2 +1)

n+1

5. un = n sin 1n2

6. un =(sin 1

n

)sin 1n −1

(tan 1

n

)tan 1n −1

Solution :

1. un = 1n−1 −

1n+1 = 2

(n−1)(n+1)= 2

n21(

1− 1n

)(1+ 1

n

) ∼n→+∞

2

n2car 1(

1− 1n

)(1+ 1

n

) −−−−−→n→+∞

1.

2. un =p

n+1−p

n−1 =(p

n+1−p

n−1)(p

n+1+p

n−1)

pn+1+

pn−1

= 2pn+1+

pn−1

= 2p

n

(√1+ 1

n +√

1− 1n

) ∼n→+∞

1p

ncar

2√1+ 1

n +√

1− 1n

−−−−−→n→+∞

1.

3.ln(n+1)− ln n

tan 1n

∼n→+∞

ln(n+1)− ln n1n

= n ln(1+ 1

n

)∼

n→+∞1 par quotient et produit d’équivalents.

4. un =ln(n2 +1)

n+1=

ln n2 + ln(1+ 1

n2

)

n+1=

lnn2

n

1+ln

(1+ 1

n2

)

ln n2

1+ 1

n

∼n→+∞

2ln n

ncar ln

(1+ 1

n2

)∼

n→+∞1

n2 et donc

1+ln

(1+ 1

n2

)

ln n2

1+ 1

n

−−−−−→n→+∞

1 .

5. un = n sin 1n2 ∼

n→+∞n 1

n2 = 1

npar produit d’équivalents.

6. Considérons

an =(sin

1

n

)sin 1n −1 = esin 1

n lnsin 1n −1.

Comme x ln x −−−→x→0

0 et que sin 1n

−−−−−→n→+∞

0, il vient que : sin 1n

ln sin 1n

−−−−−→n→+∞

0 et donc

an ∼n→+∞

sin 1n

ln sin 1n

∼n→+∞

ln sin 1n

n. On montre de même que

bn =(tan

1

n

)tan 1n −1 ∼

n→+∞

ln tan 1n

n.

Commeun = an/bn , il vient :

un ∼n→+∞

lnsin 1n

ln tan 1n

=ln sin 1

n

lnsin 1n− ln cos 1

n

=1

1−lncos 1

n

ln sin 1n

∼n→+∞

1 .

Exercice 10.63 ♥♥Donner des équivalents simples lorsquen tend vers+∞ pour les suites de terme général :

1. un =p

n+1−p

n

2. un =√

en2+n −1−en

3. un =(

en

1+e−n

)n

4. un = n3 −p

n2 +1

ln n−2n2

5. un = ln(n!+nn +3n )

6. un =(

n

p

)avecp ∈ �0,n�

Solution :

1. un =p

n+1−p

n =p

n(√

1+ 1n−1

)∼

n→+∞

pn

2n∼

n→+∞1

2p

n.

393

2. un = en2+n

2

(√1−e−n−n2 −e

n−n2

2

)∼

n→+∞e

n2+n2 car

(√1−e−n−n2 −e

n−n2

2

)−−−−−→n→+∞

1.

3. un =(

en

1+e−n

)n= en2

(1+e−n )−n = en2e−n ln(1+e−n) mais n ln (1+e−n ) ∼

n→+∞ne−n −−−−−→

n→+∞0 donc

e−n ln(1+e−n) −−−−−→n→+∞

1 et un ∼n→+∞

en2

.

4. un = n3 −p

n2 +1

ln n−2n2=− n3

2n2

1−√

1n4 + 1

n6

− lnn2n2 +1

∼n→+∞

−n

2car

1−√

1n4 + 1

n6

− ln n2n2 +1

−−−−−→n→+∞

1.

5. un = ln(n! + nn + 3n ) = ln(nn

(1+ n!

nn + 3n

nn

))= n ln n + ln

(1+ n!

nn + 3n

nn

)∼

n→+∞n ln n car

ln(1+ n!

nn + 3n

nn

)∼

n→+∞n!nn + 3n

nn −−−−−→n→+∞

0.

6. un =(

n

p

)=

n (n−1) . . .(n−p +1

)

p != np

p !

(1− 1

n

). . .

(1− p−1

n

)∼

n→+∞np

p !car

(1− 1

n

). . .

(1− p−1

n

)−−−−−→n→+∞

1

Exercice 10.64 ♥♥Donner des équivalents simples lorsquen tend vers+∞ pour les suites de terme général :

1. un = ln (n+1)− ln n

2. un = 2n3−lnn+1n2+1

3. un = (n+1)α− (n−1)α avecα ∈R.

4. un = n2 +n ln(1−e−n )

n2 +1

5. un =p

n2 +n+13p

n2 −n+1

6. un =e2n +n2 + 1

n

en2tan 1

n

(√1+ ln

(1+ sh 1

n

)−1

)

Solution :

1. un = ln (n+1)− ln n = lnn+1

n= ln

(1+ 1

n

)∼

n→+∞1n

2. un = 2n3−lnn+1n2+1

= 2n3

n2

1− lnn2n3 + 1

2n3

1+ 1n2

∼n→+∞

2n car1− ln n

2n3 + 12n3

1+ 1n2

−−−−−→n→+∞

1.

3. un = (n+1)α − (n−1)α = (n−1)α((

n+1

n−1

)α−1

)= (n−1)α

((1+ 2

n−1

)α−1

)∼

n→+∞(n−1)α

2α

n−1=

2α(n−1)α−1 . Remarquons que si on factorise ainsi :un = (n+1)α(1−

(n−1

n+1

)α), on trouve que

un ∼n→+∞

2α(n+1)α−1 qui est bien entendue équivalent à l’équivalent trouvé avant.

4. un =n2 +n ln(1−e−n )

n2 +1=

1+ ln(1−e−n )n

1+ 1n2

∼n→+∞

1 carln(1−e−n)

n∼

n→+∞−

e−n

n−−−−−→n→+∞

0

5. un =p

n2+n+13p

n2−n+1= n

n32

√1+ 1

n + 1n2

3

√1− 1

n+ 1

n2

∼n→+∞

n13 car

√1+ 1

n + 1n2

3

√1− 1

n+ 1

n2

−−−−−→n→+∞

1.

6. En appliquant les formules usuelles pour les équivalents:(√

1+ ln(1+ sh 1

n

)−1

)∼

n→+∞1

2n . Par

conséquent : un =e2n +n2 + 1

n

en2tan 1

n

(√1+ ln

(1+ sh 1

n

)−1

)∼

n→+∞1

2n

e2n +n2 + 1n

en2tan 1

n

∼n→+∞

12n

e2n +n2 + 1n

en2 1n

=

e2n−n2

2

(1+ n2

e2n+ 1

ne2n

)∼

n→+∞e2n−n2

2car1+ n2

e2n+ 1

ne2n−−−−−→n→+∞

1.

Exercice 10.65 ♥♥Donner des équivalents simples lorsquen tend vers+∞ pour les suites de terme général :

1. un = 2n4(1−cos 1

n

)ln

(1+ 1

n

)tan

(1

n2

)

2. un = ln(5+n2 +n)− ln(n2 −n+3)

3. un = 1+(−1)n n

n+p

n

4. un =√

n+p

n2 +1−√

n+p

n2 −1

5. un =(

n+k

k

), (k ∈N)

6. un = esin

√ln n

n −cos1

4p

n

394

Solution :

1. un = 2n4(1−cos 1

n

)ln

(1+ 1

n

)tan

(1

n2

)∼

n→+∞2n4 × 1

2n2 × 1n× 1

n2 = 1n

par applications des formules usuelles.

2. Ecrivons en utilisant les propriétés du logarithme :

un = lnn2 +n+5

n2 −n+3= ln

n2 −n+3+2n+2

n2 −n+3= ln

(1+ 2n+2

n2 −n+3

)∼

n→+∞2n+2

n2 −n+3

car2n+2

n2 −n+3= 2n

n2

1+1/n

1−1/n+3/n2∼

n→+∞2

n−−−−−→n→+∞

0 et on peut utiliser l’équivalent usuelln(1+ vn ) ∼n→+∞

vn

lorsquevn → 0. Finalementun ∼n→+∞

2

n

3. un = 1+ (−1)n n

n+p

n= (−1)n n

n

1+ 1(−1)n n

1+ 1pn

∼n→+∞

(−1)n car1+ 1

(−1)n n

1+ 1pn

−−−−−→n→+∞

1.

4. En utilisant deux fois les quantités conjuguées, écrivons :

un =2(√

n+p

n2 +1+√

n+p

n2 −1)(p

n2 +1+p

n2 −1) =

2

vn wn

Ensuite, on cherche un équivalent de chaque partie du produit. En factorisant les termes dominants dans lessommes, écrivons

vn =p

n

√

1+√

1+ 1

n2+

√

1+√

1− 1

n2

Comme le crochet tend vers2p

2, il est équivalent à cette limite non-nulle et finalementvn ∼n→+∞

2p

2n.

De la même façon,

wn = n

[√1+ 1

n2+

√1− 1

n2

]∼

n→+∞2n

et finalement,un ∼n→+∞

1

2np

2n.

5. un =(

n+k

k

)= (n+k)!

k!n!= (n+k) (n+k −1) . . . (n+2) (n+1)

k!= nk

k!

(1+ k

n

)×

(1+ k−1

n

)× . . . ×

(1+ 2

n

)×

(1+ 1

n

)∼

n→+∞nk

k!car

(1+ k

n

)×

(1+ k−1

n

)× . . .×

(1+ 2

n

)×

(1+ 1

n

)−−−−−→n→+∞

1.

6. Ecrivons d’abord

un =(eθn −1

)+

(1−cos

14p

n

)= an +bn

Commeln n

n−−−−−→n→+∞

0,

θn = sin

√ln n

n∼

n→+∞

√lnn

n−−−−−→n→+∞

0

et d’après l’équivalent classique de l’exponentielle,an ∼n→+∞

√ln n

n. En utilisant l’équivalent classique du co-

sinus,bn ∼n→+∞

1

2p

n. Mais puisque

bn

an∼

n→+∞1

2p

lnn→ 0, bn = o

n→+∞(an) et donc, par application du résultat

prouvé dans l’exercice 10.60 :

un ∼n→+∞

an ∼n→+∞

√ln n

n

Exercice 10.66 ♥Utiliser des équivalents ou des croissances comparées pourétudier la convergence des suites suivantes.

395

1. un = 5n−n4

n!

2. un = n sin ln(1+ 1

n

)

3. un =(e1/n

)n ln(

cos(1/n))

4. un = n1

lnn

5. un = n(p

1+ sin(1/n)−cos(1/n))

6. un = n2 sinnn

Solution :

1. Comme5n = on→+∞

(n!) et n4 = on→+∞

(n!), on a :un −−−−−→n→+∞

0 .

2. ln(1+ 1

n

)∼

n→+∞1n

et donc : ln(1+ 1

n

)−−−−−→n→+∞

0, ce qui permet d’écrire : un =

n sin ln(1+ 1

n

)∼

n→+∞n ln

(1+ 1

n

)∼

n→+∞nn= 1 et un −−−−−→

n→+∞1 .

3. un =(e1/n

)n ln(

cos(1/n))= e ln(cos(1/n)) = cos(1/n) −−−−−→

n→+∞1 .

4. un = n1

lnn = elnnlnn = e.

5. Ecrivonsun = n (an +bn )

avecan =

√1+ sin(1/n)−1 ∼

n→+∞1

2n

etbn = 1−cos(1/n) ∼

n→+∞1

2n2

Donc puisque bn = on→+∞

(an), , par application du résultat prouvé dans l’exercice 10.60, bn +

an ∼n→+∞

an ∼n→+∞

1

2n. Par conséquentun ∼

n→+∞1

2et doncun → 1

2.

6. un = n2 sinnn = e2 sinn

n lnn mais pour toutn > 0, − ln nn É sin n lnn

n É lnnn (car sin est à image dans[−1,1] et que

lnn/n Ê 0 si n Ê 1 ) et lnnn

−−−−−→n→+∞

0 car ln n = on→+∞

(n). Donc par application du théorème des gendarmes,

sinn ln nn

−−−−−→n→+∞

0. Par composition,un −−−−−→n→+∞

e0 = 1 .

Exercice 10.67 ♥Utiliser des équivalents ou des croissances comparées pourétudier la convergence des suites suivantes.

1. un =(1+ sin 1

n

)n

2. un = (5n+1)2 ln(1+ 1

3n2

)

3. un = n2

√ln

(1+ 1

n4+n2+1

)

4. un = 5n tan(π

5n

)

5. un = np

n

6. un = n ln

√n+1

n−1

Solution :

1. un =(1+ sin 1

n

)n = en ln

(1+sin 1

n

)maissin 1

n−−−−−→n→+∞

0 et

n ln(1+ sin

1

n

)∼

n→+∞n sin

1

n∼

n→+∞n×

1

n= 1

Par conséquentun −−−−−→n→+∞

e .

2. un = (5n+1)2 ln(1+ 1

3n2

)∼

n→+∞(5n+1)2

3n2 = n2

n2

(5+ 1

n

)2

3−−−−−→n→+∞

25

3

3. un = n2

√ln

(1+ 1

n4+n2+1

)∼

n→+∞n2

pn4+n2+1

−−−−−→n→+∞

1

4. un = 5n tan(π

5n

)∼

n→+∞5n π

5n = π doncun −−−−−→n→+∞

π .

5. un = np

n = elnn

n maislnn = on→+∞

(n) donc lnnn

−−−−−→n→+∞

0 et par compositionun −−−−−→n→+∞

e0 = 1 .

6. Ecrivons pourn ∈N :

un =n

2ln

(1+

2

n−1

)

396

Comme2

n−1−−−−−→n→+∞

0, ln(1+2

n−1) ∼

n→+∞2

n−1∼

n→+∞2

net doncun −−−−−→

n→+∞1 .

Exercice 10.68 ♥Utiliser des équivalents ou des croissances comparées pourétudier la convergence des suites suivantes.

1. un = n2(√

1− 1n2 −1

)

2. un =( n

n− x

)noù x ∈R.

3. un =(1+ a

n

)n où a ∈R.

4. un =(

2n−12n+1

)n

5. un =√

n+√

n+p

n −p

n

6. un = 2n+4−5n+4

2n−5n

Solution :

1. un = n2(√

1− 1n2 −1

)= n2

((1− 1

n2

) 12 −1

)∼

n→+∞n2 × −1

2n2 −−−−−→n→+∞

− 1

2

2. La suite est définie à partir d’un certain rang (n Ê E(x)+1). Ecrivons-la sous forme exponentielle :

un = en ln

( n

n− x

)

= e−n ln

( n− x

n

)

= e−n ln

(1−

x

n

)

Commex

n→ 0, on peut utiliser les équivalents classiques et alors−n ln

(1− x

n

)∼

n→+∞x et doncun −−−−−→

n→+∞ex .

3. un =(1+ a

n

)n = en ln(1+ a

n)

maisn ln(1+ a

n

)∼

n→+∞n a

n= a doncun −−−−−→

n→+∞ea .

4. Pour toutn Ê 1,

un =(

2n−1

2n+1

)n

= en ln 2n−12n+1 = e

n ln(1− 2

2n+1

)

maisn ln(1− 2

2n+1

)∼

n→+∞− 2n

2n+1−−−−−→n→+∞

−1 doncun −−−−−→n→+∞

1/e .

5. En utilisant les quantités conjuguées, puis en factorisant en haut et en bas parp

n, on trouve que∀n > 0,

un =

√1+ 1p

n√1+

√1n + 1

n3/2 +1

−−−−−→n→+∞

1

2

6. un = 2n+4−5n+4

2n−5n = 5n+4

5n

(25

)n+4−1

(25

)n−1

mais((

25

)n)

et((

25

)n+4)

sont des suites géométriques de raison25∈ ]−1,1[ et donc

elles convergent vers0. On obtient alorsun −−−−−→n→+∞

54 .

Exercice 10.69 ♥Utiliser des équivalents ou des croissances comparées pourétudier la convergence des suites suivantes.

1. un = n(esin

(πn

)−1

)+ (ln n)

1n

2. un =p

n4 +4−n2

3. un = 4p

n4 +4−n

4. un =cosn−n2

2n +n sin n

5. un =(

1−1/n

cos(1/n)

)n

6. un =(1+

√1+ 1

n

)n

Solution :

1. D’une part,n(esin

( πn

)−1

)∼

n→+∞n sin

(πn

)∼

n→+∞n π

n= π. D’autre part :(lnn)

1n = e

ln(lnn)n et ln(lnn)

n= ln n

nln(lnn)

lnn

−−−−−→n→+∞

0. Finalement(ln n)1n −−−−−→

n→+∞e0 = 1 et : un −−−−−→

n→+∞π+1 .

2. Pour toutn ∈N :

un =√

n4 +4−n2 =

(pn4 +4−n2

)(pn4 +4+n2

)

pn4 +4+n2

=4

pn4 +4+n2

−−−−−→n→+∞

0

397

3. Pour toutn ∈N :

un = 4√

n4 +4−n =

(4p

n4 +4−n)(

4p

n4 +4+n)

4p

n4 +4+n=

pn4 +4−n2

4p

n4 +4+n.

En utilisant la question précédente, le numérateur tend vers 0 et il est facile de montrer que le dénominateur tendvers+∞. La suite tend donc vers0 .

4. un = cos n−n2

2n +n sin n= n2

2n

cosn

n2−1

1+ n sin n

n2

. Mais, en utilisant le théorème des gendarmes et les croissances comparées,

on montre facilement quecosnn2 −−−−−→

n→+∞0 et n sinn

n2 −−−−−→n→+∞

0. Par conséquent, commen2 = on→+∞

(2n ), il est clair

queun −−−−−→n→+∞

0 .

5. Ecrivonsun = ean avec

an = n ln

1− 1

n

cos1

n

= n ln

1+

1− 1

n−cos

1

n

cos1

n

et comme1−cos1

n∼

n→+∞1

2n2= o

n→+∞

(−

1

n

), il vient que

1− 1

n−cos

1

n

cos1

n

∼n→+∞

− 1

n−−−−−→n→+∞

0

Et par conséquent,

an ∼n→+∞

1 et un → 1

e

6. un =(1+

√1+ 1

n

)n

= en ln

(1+

√1+ 1

n

)

et 1+√

1+ 1n −−−−−→

n→+∞2 donc n ln

(1+

√1+ 1

n

)−−−−−→n→+∞

+∞ et il en est de

même deun .

Exercice 10.70 ♥♥1. Soit la suite de terme général

un =n∑

k=0

ek2

Montrez queun ∼n→+∞

en2.

2. Trouvez un équivalent devn =∑nk=0

k!.

Solution :

1. On met en facteur dans la somme la quantitéen2:

un =n∑

k=0

ek2

= en2(e−n2

+e1−n2

+e22−n2

+ . . .+e(n−1)2−n2

+1)

.

Mais0 É e−n2

+e1−n2

+e22−n2

+ . . .+e(n−1)2−n2

É ne(n−1)2−n2

= ne−2n+1 −−−−−→n→+∞

0

donc un ∼n→+∞

en2

2. On écrit :n∑

k=0

k! = n!

(1+

n−1∑

k=0

k!

n!

).

Mais pour toutk ∈ �0,n−2� , (n−k)!n! = 1

n(n−1)...(n−k+1) <1

n(n−1) donc∑n−1

k=0k !n! =

0!n!+. . .+ (n−2)!

n! + (n−1)!n! É n−1

n(n−1)+ 1

n =2n et d’après le théorème des gendarmes,

∑n−1k=0

k !n! −−−−−→n→+∞

0. En conclusionun ∼n→+∞

n! .

398

Exercice 10.71 ♥♥Trouver un équivalent de

un =√p

n+1−p

n +√

1

n+1−

1

n+2

Solution : Écrivonsun = an +bn

avecan =√p

n+1−p

n et bn =√

1

n+1− 1

n+2. On trouve les équivalents

bn =√

1

(n+1)(n+2)∼

n→+∞1

n

an = n14

((1+ 1

n)

12 −1

) 12

∼n→+∞

1p

2n14

car((1+ 1

n)

12 −1

)∼

n→+∞1

2n.

Doncun = an +bn avecbn = on→+∞

(an) et il vient queun ∼n→+∞

an ∼n→+∞

1p

2n14

.

Exercice 10.72 ♥♥On considère une suite(un ) définie paru0 > 0 et

∀n ∈N, un+1 =un

1+un

En étudiant la suite(1/un ), montrez queun ∼n→+∞

1/n.

Solution : La suite(vn) de terme général1/un est arithmétique puisque pour toutn ∈N, vn+1 = vn +1. On a donc pourtout n ∈N, vn = v0 +n et il vient quevn ∼

n→+∞n. En prenant l’inverse, on obtient que :un ∼

n→+∞1/n .

Exercice 10.73 ♥♥On considère la suite définie par :

Sn = 1+11+·· · +11. . . 1︸ ︷︷ ︸n fois

Trouver un équivalent simple de(Sn ) lorsquen →+∞.

Solution : On calcule pour1 É p É n,

11. . . 1︸ ︷︷ ︸p fois

= 1+10+102 +·· ·+10p−1 = 10p −1

9

Par conséquent, pourn Ê 1,

Sn = 1

9

n∑p=1

10p − n

9= 10

9

10n −1

10−1− n

9

Finalement,

Sn ∼n→+∞

10n+1

92

Exercice 10.74 ♥♥♥Trouver un équivalent simple de la suite de terme général

un =[

tan

(π

3+ 1

n

)]n

399

Solution : Sous forme exponentielle :

un = en ln

(tan

(π3 + 1

n

))

puis avec les formules d’addition :

un = e

n ln

p3+ tan

(1n

)

1−p

3tan(

1n

)= e

n ln

p

31+

p3

3 tan(

1n

)

1−p

3tan(

1n

)= en ln

p3e

n ln

1+p

33 tan

(1n

)

1−p

3tan(

1n

)=

(p3)n

e

n ln

1+

4p

33 tan

(1n

)

1−p

3tan(

1n

)

.

On cherche alors la limite dean = n ln

1+

4p

33 tan

(1n

)

1−p

3tan(

1n

)

. Avec les équivalents usuels :

an ∼n→+∞

n4p

33

tan(

1n

)

1−p

3tan(

1n

) ∼n→+∞

4n

p3

3

1

n= 4

p3

3

doncan −−−−−→n→+∞

4p

3/3. Il vient alors par composition de limite :

e

n ln

1+

4p

33

tan(

1n

)

1−p

3tan(

1n

)−−−−−→n→+∞

e

p3

3

donc

un ∼n→+∞

p3)ne

4p

33

Exercice 10.75 ♥♥♥Soient(an) et (bn) deux suites à termes strictement positifs. On noteAn =

n∑

k=0

ak et Bn =n∑

k=0

bk . Si an ∼n→+∞

bn et si

la série∑

bk diverge, montrer queAn ∼n→+∞

Bn .

Solution : Puisquean ∼n→+∞

bn , an/bn −−−−−→n→+∞

1. Soitε> 0. Il existe alors un rangN0 ∈N tel que pourn Ê N0, on a :

∣∣∣∣an

bn−1

∣∣∣∣É ε

et donc puisque(bn) est strictement positive :

(1−ε)bn É an É (1+ε)bn .

Donc :

(1−ε)n∑

k=N0

bk Én∑

k=N0

ak É (1+ε)n∑

k=N0

bk ,

ce qui s’écrit aussi :(1−ε)

(Bn −BN0−1

)É An −AN0−1 É (1+ε)

(Bn −BN0−1

)

ou encore (1−ε−

(1−ε)BN0−1 −AN0−1

Bn

)Bn É An É

(1+ε−

(1+ε) BN0−1 −AN0−1

Bn

)Bn

Mais commeBn −−−−−→n→+∞

+∞, limn→+∞

(1−ε) BN0−1 −AN0−1

Bn= lim

n→+∞(1+ε) BN0−1 −AN0−1

Bn= 0. Il existe alors des rangs

N1,N2 ∈N tels que

n Ê N1 =⇒ −εÉ (1−ε)BN−1 −AN−1

BnÉ ε et n Ê N2 =⇒ −εÉ (1+ε)BN−1 −AN−1

BnÉ ε.

PosonsN = max (N0,N1,N2). On a alors, pourn Ê N :

(1−2ε) Bn É An É (1+2ε) Bn

ce qui prouve queAn ∼n→+∞

Bn .

400

Exercice 10.76 ♥♥♥Soit (un ) une suite qui converge vers0 et telle queun +u2n ∼

n→+∞1

n. Trouver un équivalent deun .

Indication 10.5 :

– Si un = l

n, et vérifie l’hypothèse, que vautl?.

– On fera intervenir une somme télescopique.

Solution : Soit ε > 0. Commeun +u2n ∼n→+∞

1

n, il existe un rangN ∈ N tel que sin Ê N alors

(1−ε)

nÉ un +u2n É

(1+ε)

n. Pour toutp ∈N, on peut alors écrire :

(1−ε)

2p nÉ u2p n +u2p+1n É (1−ε)

2p n.

Donc :p∑

k=0

(−1)k (1−ε)

2k nÉ

p∑

k=0

(−1)k(u2k n +u2k+1n

)É

p∑

k=0

(−1)k (1+ε)

2k n

ce qui amène :(1−ε)

n

p∑

k=0

(−1)k

2kÉ un + (−1)p u2p+1n É (1+ε)

n

p∑

k=0

(−1)k

2k.

En utilisant queun −−−−−→n→+∞

0 et en prenant la limite quandp tend vers+∞ dans les inégalités précédentes, on obtient :

2(1−ε)

3nÉ un É 2(1+ε)

3n

et donc un ∼n→+∞

2

3n.

Exercice 10.77 ♥♥♥1. Étudier les variations de la fonctionf (x) =

(x + 1

2

)ln

(1+ 1

x

)pourx > 0.

2. Etudier la fonction définie parg (x) =(x + 1

2

). ln

(1+ 1

x

)− 1

12x(x+1)pourx Ê 1.

Indication 10.5 :(On pourra, pour étudier le signe de la dérivée seconde, introduiret = (x +1).x )

3. Démontrer que les deux suitesun =nn+1/2

enn!et vn = un .exp

(1

12n

)sont adjacentes. On appelleℓ la limite com-

mune.

4. On posewn =∫π/2

0cosn x dx. Démontrer que la suite(wn)n∈N est décroissante. Trouver une relation entrewn et

wn+2. Calculerwn . Démontrer que∀n ∈ N,(2.4. . . . .2n)2

(3.5. . . . .(2n−1))2(2n+1)É

π

2É

(2.4. . . . .(2n−2))22n

(3.5. . . . .(2n−1))2En déduire

l’existence deL = limn→∞

24n(n!)4

n [(2n)!]2, et calculerL.

5. Calculerℓ.

6. En déduire un encadrement den! pourn Ê 1

7. En déduire un équivalent simplezn den!. Donner des valeurs approchées pour1000! et pourz1000

8. Démontrer quewn ≃ wn+1.

9. Calculer(n+1).wn .wn+1 pourn ∈N.

10. Donner un équivalent dewn .

Solution :

1. Pourx > 0, f ′(x) = ln(1+ 1

x

)+

(x + 1

2

)×

(− 1

x2

)× 1

1+ 1x

= ln(1+ 1

x

)−

x + 12

x(x +1)= ln

(1+ 1

x

)− 1

2x− 1

2(x +1).

f ′′(x) = − 1

x2+ 1

2x2+ 1

2(x +1)2= − 1

x(x +1)+ 1

2x2+ 1

2(x +1)2= −2x(x +1)+ (x +1)2 + x2

2x2(x +1)2= (x +1− x)2

2x2(x +1)2=

1

2x2(x +1)2> 0.

On en déduit quef ′ est croissante sur]0,+∞[. Comme limx→∞

f ′(x) = 0, on en déduit que∀x > 0, f ′(x) < 0 et par

suite quef est décroissante sur]0,+∞[.De plus, on a en+∞ f (x) ∼ (x + 1

2). 1

x∼ 1. Donc lim

x→∞f (x) = 1. En particulier,∀x > 0, f (x) > 1.

401

2. On a∀x > 0, g ′(x) = f ′(x)+2x +1

12x2(x +1)2= f ′(x)+

1

12x(x +1)2+

1

12x2(x +1).

g ′′(x) = f ′′(x) − 1

12x2(x +1)2− 2

12x(x +1)3− 1

12x2(x +1)2− 2

12x3(x +1)=

1

6

(2

x2(x +1)2−

1

x(x +1)3−

1

x3(x +1)

)=

1

6

2x(x +1)− (x +1)2 − x2

x3(x +1)3=−

1

6x3(x +1)3< 0.

On en déduit queg ′ est décroissante sur]0,+∞[. Comme limx→∞

g ′(x) = 0, on en déduit que∀x > 0, g ′(x) > 0 et par

suite queg est croissante sur]0,+∞[.Comme lim

x→∞g (x) = 1. En particulier,∀x > 0, g (x) < 1.

3. On a, pourn Ê 1,un+1

un= (n+1)n+3/2

en+1(n+1)!

enn!

nn+1/2= (n+1)n+1/2

e. Doncln

(un+1

un

)= f (n)−1 > 0. Donc

un+1

un> 1 et

donc la suite(un )nÊ1 est croissante.

On a, pourn Ê 1,vn+1

vn= (n+1)n+3/2

en+1(n+1)!

enn!

nn+1/2

exp(

112(n+1)

)

exp(

112n

) = (n+1)n+1/2

eexp

(1

12(n+1) −1

12n

). Doncln

(un+1

un

)=

f (n)−1− 112n(n+1)

= g (n)−1< 0. Doncvn+1

vn< 1 et donc la suite(vn)nÊ1 est décroissante.

Soit enfinℓ= limn→∞

vn , puisqueun = vn .exp(− 1

12n

), on en déduit que(un )nÊ1 converge vers la même limite.

4. Intégrales de Wallis.On a wn+1 − wn =∫π/2

0cosn x(cos x − 1)dx. Commecosn x(cos x − 1) É 0 on en déduit

wn+1 −wn É 0 ce qu’il fallait vérifier.

wn − wn+2 =∫π/2

0cosn x(1 − cos2 x)dx =

∫π/2

0cosn x sin2 x dx. On intègre par parties :

u′(x) = sin x cosn x u(x) =− 1

n+1cosn+1 x

v(x) = sin x v ′(x) = cos xD’où wn − wn+2 =

[−

1

n+1cosn+1 x sin x

]π/2

0

+

1

n+1

∫π/2

0cosn+1 x dx = 0+ 1

n+1wn+2.

D’où wn =(1+

1

n+1

)wn+2 soit wn+2 =

n+1

n+2wn .

On peut ainsi calculer leswn de deux en deux, en partant dew0 =π

2ou w1 = 1.

Doncw2n = 2n−1

2nw2n−2 = . . . = 2n−1

2n

2n−3

2n−2. . .

1

2

π

2.

et w2n+1 =2n

2n+1w2n−1 = . . . = 2n

2n+1

2n−2

2n−1. . .

2

31.

En écrivantw2n+1 É w2n É w2n−1 on obtient

2n

2n+1

2n−2

2n−1. . .

2

3É 2n−1

2n

2n−3

2n−2. . .

1

2

π

2É 2n−2

2n−1. . .

2

3

Soit en multipliant chaque expression par2n

2n−1

2n−2

2n−3. . . 2 on trouve bien le résultat annoncé.

Maintenant on multiplie en haut et en bas par les facteurs pairs 2,4, . . . ,2n (au carré) pour reconstituer les facto-rielles de2n au dénominateur. On obtient alors :

∀n ∈N,(2.4. . . . .2n)4

(2.3.4.5. . . . .(2n−1)(2n))2(2n+1)É π

2É (2.4. . . . .(2n−2))4(2n)3

((2.3.4.5. . . . .(2n−1)(2n))2

On extrait ensuite les facteurs2 pour obtenir les factorielles den au numérateur. On obtient alors :

(n!)4

[(2n)!]2(2n+1)É π

2É (n!)4

[(2n)!]2(2n)

En posantWn =24n (n!)4

n [(2n)!]2, la première inégalité s’écritWn É

π

2

2n+1

net la deuxième2

π

2É Wn d’après le

principe des gendarmes,L existe et vautπ.

5. On sait quen! ∼ 1

ℓ

nn+ 12

end’où (2n)! ∼ 1

ℓ

(2n)2n+ 12

e2n, donc, d’apès la question précédente,π ∼ 24n (n!)4

n [(2n)!]2∼

24n 1

ℓ4

n4n+2

e4n

1

n

ℓ2e4n

(2n)4n+1∼

24n

24n+1

n4n+2

n4n+1n

e4n

e4n

1

ℓ2∼

1

2ℓ2. Puisqueℓ> 0, ℓ=

1p

2π.

402

6. Puisque les suitesun et vn sont adjacentes, on aun É ℓÉ vn , on a

nn+1/2

enn!É 1

p2π

É nn+1/2

enn!exp

(1

12n

).

Soit p2πn

(n

e

)nÉ n! É

p2πn

(n

e

)nexp

(1

12n

).

7. On en déduit quezn =p

2πn(n

e

)nest un équivalent (simple) den!. (formule de Stirling)

On alog10(z1000) = 2567,60461 à10−5 près. Doncz1000 = 102567×100,6046 = 4,0235×102567 . De même on calcule1000∑

k=2

log10 k = 2567,60464 à 10−5 près, puis1000! = 4,0239×102567 . Le facteur correctif vautexp(

112000

)= 1+ε,

avecε à peu près égal à 112000

de l’ordre de10−4. On est donc (largement) dans les clous.

8. On awn+2 É wn+1 É wn soitn+1

n+2wn É wn+1 É wn ou encore

n+1

n+2É wn+1

wnÉ 1 donc lim

n→∞wn+1

wn= 1 soit encore

wn+1 ∼ wn .

9. Pourn = 0, (n + 1).wn .wn+1 = 1×π

2× 1 =

π

2. Par ailleurs(n + 2).wn+1.wn+2 = (n + 2).wn+1.

n+1

n+2wn = (n +

1).wn .wn+1. Donc(n+1).wn .wn+1 est une suite constante, égale àπ

2.

10. On aπ

2∼ (n+1).wn .wn+1 ∼ nw2

n . Donc limn→∞

pnwn =

√π

2. On en déduitwn ∼

√π

2n.

10.9.9 Étude de suites données par une relation de récurrence

Exercice 10.78 ♥♥

Etudier la suite définie paru0 ∈R et∀n ∈N, un+1 =u3

n +6un

3u2n +2

.

Solution : Introduisons la fonctionf :

R −→ R

x 7−→ x3 +6x

3x2 +2

. La suite(un ) est donnée paru0 ∈ R et pour toutn ∈N,

un+1 = f (un ). On montre que pour toutx ∈ R, f ′ (x) =3(x2 −2

)2

(3x2 +2

)2. Donc f est strictement croissante surR. On trouve

les points fixes def en résolvant l’équationf (x) = x. Ce sont les nombres :p

2,0,−p

2.

1

−1

−2

1 2 3−1−2−3−4

Appliquons maintenant le cours. Les intervallesI1 =]−∞,−

p2],I2 =

[−p

2,0], I3 =

[0,p

2]

etI4 =[p

2,+∞[

sont stablespar f . Soitk ∈ �1,4�. Prenonsu0 ∈ Ik . La suite(un ) est donc bien définie et à valeurs dansIk . En résolvant l’inéquationf (x) É x surR, on vérifie facilement que

f (x) Ê x si x ∈ I1

f (x) É x si x ∈ I2

f (x) Ê x si x ∈ I3

f (x) É x si x ∈ I4

et donc que(un ) est croissante siu0 ∈ I1 ∪ I3, décroissante siu0 ∈ I2 ∪ I4. Elle est donc à chaque fois soit décroissante etminorée, soit croissante et majorée. La suite(un) est donc, d’après le théorème de la limite monotone, dans chaque cas

403

convergente et comme sa limite est nécessairement un point fixe def , on obtient :

un −−−−−→n→+∞

{−p

2 si u0 ∈ I1 ∪ I2p2 si u0 ∈ I3 ∪ I4

.

Exercice 10.79 ♥Etudier la suite définie paru0 ∈R et

∀n ∈N, un+1 =2un

1+u2n

Solution : Introduisons la fonctionf :

{R −→ R

x 7−→ 2x

1+ x2

. La suite(un ) est donnée paru0 ∈ R et pour toutn ∈ N

un+1 = f (un ). On montre que pour toutx ∈R, f ′ (x) = 21− x2

(1+ x2

)2. On en déduit les variations def

x −∞ −1 1 +∞

f ′ (x) − 0 + 0 −

f

0

& −1 %1

& 0

1

−1

−2

1 2 3−1−2−3−4

On va donc travailler dans un premier temps sur l’intervallestableI = [−1,1]. Sur I, la fonction f est strictementcroissante et ses points fixes sont−1, 0 et 1. En résolvant l’inéquationf (x) Ê x sur I on montre quef (x) É x six ∈ I1 = [−1,0] et quef (x) Ê x si x ∈ I2 = [0,1]. Remarquons que les intervallesI1 et I2 sont aussi stables parf . On endéduit alors que :• si u0 ∈ I1 alors la suite est bien définie et à valeurs dansI1. De plus, commeu0 Ê f (u0) et quef est croissante alors

(un ) est décroissante. Comme elle est minorée par−1, d’après le théorème de la limite monotone elle est convergente.Sa limite est forcément un point fixe def , donc dans ce casun −−−−−→

n→+∞−1.

• si u0 ∈ I2 alors la suite est bien définie et à valeurs dansI2. Commeu0 É f (u0) et quef est croissante alors(un )

est croissante. Cette suite est majorée par1. On termine alors comme précédemment, et on montre que dans ce casun −−−−−→

n→+∞1.

Si u0 ]−∞,−1[ alorsu1 ∈ I1 et donc on est ramené au premier cas. Siu0 ]1,+∞[ alorsu1 ∈ I2 et on est ramené au secondcas.

Exercice 10.80 ♥Soit u0 ∈ [0,1]. Étudiez la suite définie par la relation de récurrence

∀n ∈N, un+1 =1

2un (1−un )

Solution : Introduisons la fonctionf :

{[0,1] −→ R

x 7−→ 1

2x (1− x)

. On montre que pour toutx ∈ [0,1], f ′ (x) = 1/2−x.

On en déduit les variations def sur[0,1].L’intervalle [0,1] est stable donc la suite est bien définie et à valeurs dans[0,1]. On vérifie facilement que0 est le seulpoint fixe def , que pour toutx ∈ [0,1], f (x) É x et quef est croissante sur[0,1/2], décroissante sur[1/2,1]. Supposonsqueu0 ∈ [0,1/2] alors la suite(un ) est décroissante. Elle est de plus minorée par0 donc d’après le théorème de la limitemonotone, elle converge. Sa limite est un point fixe def doncun −−−−−→

n→+∞0. Si u0 ∈ ]1/2,1] alorsu1 = f (u0) ∈ [0,1/2]

car f É 1/8 sur[0,1] et on retombe sur le premier cas.

404

x 0 1/2 1

f ′ (x) + 0 −

f 0 %1/8

& 00 1

Exercice 10.81 ♥♥Soient0< u0 < v0, et p > q > 0. On définit deux suites par :

∀n ∈N, un+1 =pun +qvn

p +qvn+1 =

pvn +qun

p +q

1. Montrez que les suites(un) et (vn) convergent vers la même limite.

2. Soitε> 0. Pour quelles valeurs den est-on sûr que|un − l | É ε ?

Solution :

1. Par récurrence, on montre que∀n ∈N∗, un É vn , car

vn+1 −un+1 =p −q

p +q(vn −un )

Soit alorsn ∈N,un+1 −un = q

p +q(vn −un ) Ê 0

vn+1 − vn = q

p +q(un − vn) É 0

Donc(un ) est croissante et(vn) décroissante. En notantdn = vn −un , on a vu que

∀n ∈N, dn+1 = kdn

oùk = p −q

p +qet donc on a0 < k < 1. Par conséquent, comme(dn) est géométriquedn = kn d0 → 0. En conclusion,

les deux suites(un) et (vn) sont adjacentes et convergent vers la même limite.

2. Puisque pour toutn ∈ N∗, un É l É vn , il vient |un − l | É vn −un = dn = kn (v0 −u0). Pour avoir|un − l | É ε, ilsuffit quedn É ε. C’est à dire

n Êln

ε

v0 −u0)

ln k

Exercice 10.82Soit u0 > 0 et (un ) la suite définie par :

∀n ∈N, un+1 =√

n∑

k=0

uk

1. Trouver une relation de récurrence simple entre deux termes successifsun+1 et un de la suite.

2. Montrer que la suite(un ) est croissante

3. Montrer que la suite(un ) diverge vers+∞.

Solution :

1. Remarquons que pour toutn ∈N

un+1 =

√√√√n−1∑

k=0

uk +un =√

u2n +un

Introduisons alorsf :

{[−1,+∞] −→ R

x 7−→p

x2 + x. On a affaire à une suite récurrente de la formeun+1 = f (un ).

On vérifie par récurrence que siu0 > 0, alors∀n ∈N, un > 0 ce qui permet de définirun+1. Donc la suite(un) estbien définie.

405

2. Calculons alors pourn ∈N

un+1 −un =√

u2n +un −un =

u2n +un −u2

n√u2

n +un +un

= un√u2

n +un +un

Ê 0

La suite(un ) est donc croissante.

3. Par l’absurde, si la suite(un ) convergeait versl ∈ R, alorsl devrait être un point fixe def et on devrait avoirl = f (l), c’est à direl =

pl 2 + l et doncl = 0. Mais c’est impossible caru0 > 0 et (un) est croissante.

D’après le théorème de la limite monotone, on en déduit que lasuite(un) diverge vers+∞.

Exercice 10.83 ♥Etudiez la suite récurrente définie paru0 > 0 et∀n ∈N,

un+1 =√

un +1

Solution : On vérifie par récurrence que∀n ∈N, un > 0 et donc que la suite(un) est bien définie.

Introduisons la fonctionf :

{R+ −→ R

x 7−→p

x +1. Cette fonction est croissante comme composée de fonctionscrois-

santes. Étudions la position de son graphe par rapport à la bissectrice principale. Pour ce faire, considérons la fonctiong (x) = f (x)− x, et cherchons son signe. Pour toutx ∈R+ :

g (x) = 1+ x − x2

p1+ x + x

=− x2 − x −1p

1+ x + x

Notonsα = 1+p

5

2. La fonctiong est positive sur[0,α], négative sur[α,+∞[. En particulier, la fonctionf possède un

unique point fixeα ∈ [0,+∞[.

1

2

−1

1 2−1

Puisque pour toutn ∈N, un+1 −un = g (un), si un Éα, un+1 Ê un et siun Êα, un+1 É un .On vérifie en utilisant les variations def que les intervalles[0,α] et [α,+∞[ sont stables. On étudie alors deux cas :

1. Si u0 ∈]0,α], alors pour toutn ∈N, un ∈ [0,α] et la suite(un ) est croissante et majorée parα. Elle converge alorsvers l’unique point fixe def , α.

2. Siu0 ∈ [α,+∞[, alors pour toutn ∈N, un ∈ [α,+∞[ et la suite(un ) est décroissante et minorée parα. Elle convergedonc vers l’unique point fixe def , α.

On a donc montré que∀u0 > 0, un −−−−−→n→+∞

1+p

5

2.

Exercice 10.84 ♥♥♥Soit a > 0. Étudiez la suite de terme général :

un =√

a +√

a +·· ·+p

a

Indication 10.5 : Aidez-vous de l’exercice précédent.

Solution : Introduisons la fonctionf :

{R+ −→ R+x 7−→

pa + x

. La suite(un ) est définie par récurrence par :

{u0 =

pa

∀n ∈N, un+1 = f (un ).

406

Commef est strictement croissante et queu1 =√

a +p

a >p

a = u0, la suite(un ) est strictement croissante. Un point

fixe positif de f est une solution positive dex2 − x − a = 0. La seule possibilité estα = 1+p

1+4a

2. On en déduit que

l’intervalle [0,α] est stable pourf . De plusu0 =p

a ∈ [0,α]. Par conséquent(un ∈ [0,α]) et la suite est majorée. Onapplique le théorème de la limite monotone et on en déduit qu’elle converge vers l’unique point fixe positif def . Il vient

alors que :√

a +√

a +·· ·+p

a −−−−−→n→+∞

1+p

1+4a

2

10.9.10 Étude de suites définies implicitement

Exercice 10.85 ♥Pour toutn ∈N on considère l’équation(En ) : xex = n d’inconnuex ∈R+.

1. Montrer que, pour toutn ∈N, (En) admet une et une seule solution dansR+. On la noteraxn .

2. Déterminer la limite de(xn ).

Solution :

1. Posonsθ :

{R+ −→ R

x 7−→ xex .La fonctionθ est dérivable surR+ et six ∈R+, θ′ (x) = (x +1) ex . On en déduit que

θ′ est strictement positive surR+ et queθ est strictement croissante surR+. On peut alors affirmer queθ réaliseune bijection deR+ surR+. Pour toutn ∈ N, il existe donc un unique réel positif notéxn tel queθ (xn ) = n. Ceréel est donné par :xn = θ−1 (n).

2. Commeθ−1 (x) −−−−−→x→+∞

+∞, en appliquant le théorème de composition d’une suite par une fonction on obtient :

limn→+∞

xn = limn→+∞

θ−1 (n) =+∞ carθ (x) −−−−−→x→+∞

+∞.

Exercice 10.86 ♥Pour toutn ∈N, on considère l’équation(En) : x + ln x = n d’inconnuex ∈R∗

+.

1. Montrer que l’équationEn possède une solution unique notéexn .

2. Montrer que la suite(xn) diverge vers+∞.

3. Donner un équivalent simple de la suite(xn).

Solution :

1. Posonsθ :

{R∗+ −→ R∗

+x 7−→ x + ln x

. La fonctionθ est dérivable surR∗+ et six ∈R∗

+, θ′ (x) = x+1x . On en déduit queθ′

est strictement positive surR∗+ et queθ est strictement croissante surR+. La fonctionθ réalise donc une bijection

deR∗+ surR. Pour toutn ∈ N, il existe donc un unique réel positif notéxn tel queθ (xn ) = n. Ce réel est donné

par :xn = θ−1 (n).

2. Commeθ−1 (x) −−−−−→x→+∞

+∞, appliquant le théorème de composition d’une suite par une fonction on obtient :

limn→+∞

xn = limn→+∞

θ−1 (n) =+∞.

3. Soit n ∈ N. En partant dexn + ln xn = n on obtient :xn = n1

1+ ln xn

xn

. Mais commexn −−−−−→n→+∞

+∞, on a :

ln xn

xn−−−−−→n→+∞

0 et donc un ∼n→+∞

n .

Exercice 10.87a) Montrer que l’équation

xn + x −1 = 0

possède une unique solutionun ∈ [0,1].b) Montrer que la suite(un ) converge vers1.c) En posantyn = 1−un , montrer quen ln(1− yn ) = ln yn , et que

ln n

2nÉ yn É 2ln n

n

d) En déduire un équivalent de la suite(yn).

407

Exercice 10.88Pourn Ê 1, on considère l’équation

(x −n) ln n = x ln(x −n)

a) Montrer que pourn assez grand, cette équation admet une unique racinexn ∈]n+1,n+2[.

b) Montrer que(xn −n−1) ∼n→+∞

ln n

n.

408

Annexe CTechniques d’ analyse

C.1 Majorer-minorer

En algèbre, on s’intéresse particulièrement à des égalitésalors que l’analyse est l’art des approximations où les majorations-minorations jouent un rôle essentiel. Dans ce paragraphe, nous allons voir un bon usage des inégalités et étudier quelqueserreurs fréquentes qu’il est bon d’analyser pour ne jamais les commettre.

C.1.1 Quelques inégalités classiques

Majorations trigonométriques

On a les majorations fondamentales en trigonométrie :

♥ 3.1 ∀x ∈R, |sin(x)| É 1, |cos(x)| É 1

Préférer une majoration en valeur absolue à des inégalités lorsque c’est possible.

♥ 3.2 ∀x ∈R, |sin(x)| É |x|

Cette dernière majoration est surtout intéressante lorsque x est proche de0.

π2

y = sin(x)

y = x

y =−x

1

−1

Exemple 3.1 En utilisant la trigonométrie, on peut majorer une différence de sinus :

|sin x − sin y | =∣∣∣2sin

( x − y

2

)cos

( x + y

2

)∣∣∣É 2∣∣sin

x − y

2

∣∣É |x − y |

(On aurait pu également utiliser que la fonctionsin est1-lipschitzienne puisque|sin′(x)| = |cos(x)| É 1).

Majoration de produits

♥ 3.3 ∀(a,b) ∈R2, |ab| É a2 +b2

2

ce qui permet de majorerab et−ab par une somme de deux carrés. La démonstration s’obtient en développant(a+b)2 Ê 0

et (a −b)2 Ê 0.Pour2n réels(a1, . . . , an ) ∈Rn , (b1, . . . ,bn ) ∈Rn ,

1173

♥ 3.4

∣∣∣∣∣n∑

i=1

ai bi

∣∣∣∣∣É(

n∑

i=1

a2i

)1/2 (n∑

i=1

b2i

)1/2

C’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz utilisée avec le produit scalaire canonique deRn .

Étude de fonctions

Il est souvent utile d’étudier une fonction pour montrer uneégalité.

Exemple 3.2Montrer que∀x Ê 0, x−x3

6É sin x É x. Définissons les deux fonctionsf etg sur[0,+∞[ par f (x) = sin x−x

et g (x) = sin x − x +x3

6. Elles sont dérivables etf ′(x) = cos x −1É 0 ce qui montre quef est décroissante. Donc∀x Ê 0,

f (x) Ê f (0) = 0 d’où la majoration desin. Ensuite,g ′(x) = cos x −1+ x2

2, g ′′(x) =−sin x + x Ê 0 doncg ′ est croissante,

et commeg ′(0) = 0, g ′ est positive doncg est croissante et commeg (0) = 0, g (x) Ê 0 d’où la minoration.

0 +∞

f ′ −

g ′ +f 0

&

g 0 %

Exercice 3.1Montrer que∀x Ê 0, x − x

2É ln(1+ x) É x.

Solution : En posantf (x) = ln(1+x)−x et g (x) = ln(1+x)−x+x2/2, f ′(x) =− xx+1

É 0 pourx Ê 0 et g ′(x) = x2

x+1Ê 0.

Dresser le tableau de variations def et g pour conclure.

Procéder par inégalités équivalentes

On est souvent amené à se demander si une inégalité est vraie.On peut procéder par équivalences (c’est l’un des rares casnous vous le conseillons !) pour aboutir à une inégalité triviale.

Exemple 3.3On veut comparer les deux réels√

2−p

2 et√

3−p

3. Procédons par équivalence en utilisant quex 7→p

x

et x 7→ x2 sont des fonctions croissantes :√

2−p

2 É√

3−p

3

⇐⇒ 2−p

2 É 3−p

3

⇐⇒p

3−p

2 É 1

⇐⇒ 3−2p

6+2 É 1

⇐⇒p

6 Ê 2

⇐⇒ 6 Ê 4

La dernière inégalité étant vraie, on en déduit que√

2−p

2É√

3−p

3.

Utilisation de la convexité

♥ 3.5 ∀x ∈R, ex Ê 1+ x

♥ 3.6 ∀x ∈]−1,+∞[, ln(1+ x) É x

1174

On utilise la convexité (concavité) de l’exponentielle (dulogarithme). La courbe est située au dessus (en dessous) dechacune de ses tangentes.

y = 1+ x

y = ex

y = x

y = ln(1+ x)

π2

y = sin x

y = 2π

x

convexité deexp concavité deln concavité desin

La fonction sinus est concave sur[0,π/2], donc son graphe se situe au dessus de la corde. On obtient l’inégalité :

∀x ∈ [0,π/2], sin x Ê 2x

π

La fonction x 7→ xα étant convexe pourα Ê 1, on peut utiliser l’inégalité de convexité :f

(a +b

2

)É f (a)+ f (b)

2pour

obtenir l’inégalité :(a +b)α É 2α−1(aα+bα)

La fonctionln étant concave sur]0,+∞[, pourx, y > 0 et λ ∈ [0,1], ln(λx + (1−λ)y) Ê λ ln x + (1−λ) ln y = ln(xλy1−λ).En prenant l’exponentielle de cette inégalité, on en déduitl’inégalité de Young : sia,b > 0 et p, q sont des réels positifsvérifiant 1

p+ 1

q= 1,

ab É ap

p+ bq

q

Cette inégalité généralise l’inégalité??.

C.1.2 Techniques de majoration

En analyse, on utilise par défaut desinégalités larges(É,Ê). Une inégalité stricte peut être parfois nécessaire, maisil fauttoujours la justifier. Par exemple,

∀x ∈R, |sin(x)| É |x|

est une inégalité classique. Par contre la formule

∀x ∈R, |sin x| < |x|

est fausse : pourx = 0 l’inégalité stricte n’est pas vérifiée.

Majorer des produits-quotients

Attention aux multiplications d’inégalités :

a É b =⇒{

ac É bc si c Ê 0

ac Ê bc si c < 0

En pratique, on utilise souvent les valeurs absolues et les termes à majorer sont positifs. Pour majorer un produitP = P1×P2

de termes positifs, il suffit de majorer chaque terme du produit.

Exemple 3.4 un = (n2 +2n +1) ln(n2 +1). Puisque∀n ∈ N, ln(n2 +1) É n2 et que pourn Ê 1, 2n É 2n2 et 1 É n, onobtient la majoration grossière :

∀n Ê 1, un É (4n2)×n2 = 4n4

Pour majorer un quotientde termes positifs, majorer le numérateur et minorer le dénominateur.

1175

Exemple 3.5 Encadrer pourx ∈ [2,3] f (x) = x −1

ex +1. Puisque2 É x É 3, 1 É x −1 É 2 et e2 +1 É ex +1 É e3 +1 d’où

1

e3 +1É f (x) É 2

e2 +1.

Exemple 3.6

un =n∑

k=1

pk2 +nk

n3 +k2 −k

Puisque lorsque1 É k É n, k2 +nk É 2n2 et n3 +k(k −1) Ê n3, on majore

0É un É n×p

2n2

n3=

p2

n−−−−−→n→+∞

0

Exercice 3.2Majorer(un) par une suite de la formeCnα à partir d’un certain rang :

a. un =n3 +n2

n2 +1

b. un = n+1

3n2−n

c. un =p

n3 +n2 −n+1−p

n3 +3n

Solution :

a. Pourn Ê 1, n3 +n2 É 2n3 et n2 +1 Ê n2 d’où un É 2n.

b. Pourn Ê 1, 3n2−n = (1+2)n2−n Ê 1+2(n2−n) en utilisant la formule du binôme et en minorant les termes positifsrestants par0. Par conséquent,

un É 2n

2n2 −2n+1É 2n

2(n2 −n)É n

n2/2É 2

n

puisquen2 −n Ê n2/2 pourn Ê 2.

c. Avec les quantités conjuguées,

un = n2 −4n+1p

n3 +n2 +n+1+p

n3 +nÉ 2n2

2n3/2= 1

pn

puisque pourn Ê 1, 1 É n2.

Bonne utilisation des valeurs absolues

Une valeur absolue, un module (ou une norme) permettent de mesurer desdistances: |a−b| mesure l’écart entre les deuxréels (complexes)a et b. Ce sont des outils indispensables en analyse. Par exemple,pour montrer qu’une suite convergevers une limitel , il suffit de majorer la quantitéεn = |un − l | par une suite qui converge vers0. L’année prochaine, vousutiliserez desnormesqui se manipulent comme la valeur absolue et le module. Autant prendre maintenant de bonneshabitudes et utiliser la valeur absolue aussi souvent que possible.Les propriétés importantes sur les modules-valeurs absolues sont

1. L’inégalité triangulaire :|a +b| É |a|+ |b|

2. La minoration de l’inégalité triangulaire :∣∣∣|a|− |b|

∣∣∣É |a +b| qui permet au choix deux minorations d’un module :

{|a|− |b||b|− |a|

É |a +b|

3. Le module d’un produit :|a ×b| = |a|× |b|.On a par exemple en utilisant l’inégalité triangulaire :

|a|− |b| É |a −b| É |a|+ |b|

1176

Exemple 3.7 On définit f (x) = sin x −2cos x

esin x. Majorer| f (x)| pourx ∈R.

| f (x)| É|sin x|+2|cos x|

esin xÉ

3

e−1= 3e

On a utilisé l’inégalité triangulaire|sin x+2cos x| É |sin x|+2|cos x|, que|sin x| É |x|, queesin x était positive pour enleverla valeur absolue, puis quesin x Ê−1 pour minorer le dénominateur.

Exemple 3.8 Pourx 6= 0, on définitf (x) = |1−3x2|− x

xMinorer | f (x)| par une fonction de typeCxα pour|x| grand.

| f (x)| =∣∣|1−3x2|− x

∣∣|x|

Ê|1−3x2|− |x|

|x|

Ê3|x|2 −|x|−1

|x|Ê |x|

On a utilisé la minoration de l’inégalité triangulaire,∣∣|1−3x2|− |x|

∣∣Ê |1−3x2|−|x| puis l’inégalité triangulaire|1−3x2| É1+3|x2| et enfin que|x|+1 É 2|x|2 pour|x| Ê 1.

Exercice 3.3Montrer que la fonction

f :

R2 −→ R

(x, y) 7−→

sin(x y)

x2 + y2si (x, y) 6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0)

est bornée.

Solution : Pour(x, y) 6= (0,0),

| f (x, y)| É |x y |x2 + y2

É 1

2

On a utilisé les inégalités classiques|sinθ| É |θ| et |ab| É a2+b2

2.

On se sert très souvent de l’inégalité triangulaire pour majorer des sommes et des intégrales :∣∣∣∣∣

n∑

i=1

un

∣∣∣∣∣Én∑

i=1

|un |

∣∣∣∣∫b

af (t) dt

∣∣∣∣É∫b

a

∣∣ f (t)∣∣ dt

Pour les intégrales de Riemann, on utilise également la majoration fondamentale :

∀x ∈ [a,b], f (x) É g (x) =⇒∫b

af (x) dx É

∫b

ag (x) dx

Si f est une fonction continue sur unsegment[a,b], elle est bornée et on note‖ f ‖∞ = supx∈[a,b]

| f (x)|. On se sert très souvent

de la majoration :∣∣∣∫b

af (t) dt

∣∣∣É∫b

a| f (t)|dt É (b −a)‖ f ‖∞

Exemple 3.93 On définit la suite d’intégrales

In =∫1

0xn f (x) dx

où f : [0,1] 7→R est une fonction continue. Montrer queIn −−−−−→n→+∞

0.

1177

La fonction f est continue sur un segment donc est bornée. Notons‖ f ‖∞ = supx∈[0,1]

| f (x)| et majorons :

|In | =∣∣∣∣∫1

0xn f (x) dx

∣∣∣∣É∫1

0|xn || f (x)| dx É

∫1

0xn‖ f ‖∞ dx = ‖ f ‖∞

∫1

0xn dx =

‖ f ‖∞n+1

−−−−−→n→+∞

0

On rencontre souvent en pratique l’intégrale

♥ 3.7 Jn =∫1

0xn dx = 1

n+11

1y = xn

∫10 xn dx = 1

n+1

Multimédia : animation pour voir l’aire∫1

0 xn f (t)d t qui tend vers 0

C.1.3 Erreurs de majoration fréquentes

Une faute très fréquente consiste à majorer à l’intérieur des valeurs absolues :a É b =⇒ |a| É |b|. C’est faux en général.Par exemple,−3 É−2 et pourtant|−3| = 3> 2 = |−2|.

Exemple 3.10Voici une erreur typique rencontrée dans une copie : puisquesin x É 1 et−sin y É 1, pourx, y > 0 on a :∣∣∣∣

sin x

x− sin y

y

∣∣∣∣É∣∣∣∣

1

x− 1

y

∣∣∣∣

Si on prend par exemplex = π et y =π/2, l’inégalité obtenue s’écrit∣∣−2π

∣∣É∣∣ 1π− 2

π

∣∣= 1π

qui est évidemment fausse.

Le résultat suivant est classique et souvent posé en devoir :

LEMME 3.1 ♥♥ LebesgueSoit f ∈C 1([a,b],C),

In =∫b

asin(nt) f (t) dt −−−−−→

n→+∞0

Dans les deux « démonstrations » suivantes, il y a des erreursde majoration. Trouvez-les ! La fonctionf est continue surle segment[a,b] donc est bornée. On note‖ f ‖∞ = sup

x∈[a,b]

| f (x)|.

|In | =∣∣∣∣∫b

af (t)sin(nt) dt

∣∣∣∣

É ‖ f ‖∞∣∣∣∣∫b

asin(nt) dt

∣∣∣∣

É ‖ f ‖∞∣∣∣∣

cos(nb)−cos(na)

n

∣∣∣∣

É 2

n−−−−−→n→+∞

0

|In | É∫b

a| f (t)||sin(t)|dt

É ‖ f ‖∞∫b

a|sin(t)|dt

É ‖ f ‖∞|cos(nb)|− |cos(na)|

n

É2‖ f ‖∞

n−−−−−→n→+∞

0

Dans la première série de majorations, on a majoré à l’intérieur des valeurs absolues en multipliant parsin t qui peutêtre négatif (deux erreurs). Dans la deuxième série, les majorations sont correctes, mais|sin(nt)| ne se primitive pas en|cos(nt)|/n.

Remarque 3.1 On comprend graphiquement le résultat précédent : lorsquen est grand, la fonctiont 7→ sin(nt) oscillebeaucoup entrea et b et les aires positives compensent les aires négatives :

1178

y = f (t)

y =− f (t)

On comprend également que∫b

a f (t)|sin(nt)| dt ne converge pas vers0 et que la dernière tentative était vouée à l’échec !

La preuve correcte est instructive et doit être étudiée soigneusement.Preuve ♥♥♥ Puisque la fonctionf est de classeC 1, on peut intégrer par partiesIn et puisquef et f ′ sont continues sur lesegment[a,b], elles sont bornées :

In =[− f (t)cos(nt)

n

]b

a+ 1

n

∫b

af ′(t)cos(nt) dt

et en utilisant l’inégalité triangulaire :

|In | É| f (b)||cos(nb)|+ | f (a)||cos(na)|

n+

1

n

∫b

a| f ′(t)||cos(nt)| dt

É 2‖ f ‖∞n

+ ‖ f ′‖∞(b −a)

n−−−−−→n→+∞

0

Remarque 3.2 On montre que le résultat précédent reste vrai lorsquef est uniquement continue par morceaux sur[a,b].On commence par le démontrer lorsquef est une fonction indicatrice d’un segment, puis lorsquef est une fonction enescalier et on utilise l’approximation d’une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier.

C.1.4 Suivre son intuition avant de majorer

Pour montrer qu’une suite(un ) converge vers0, on majore|un |. Par contre, pour montrer queun −−−−−→n→+∞

l , il ne sert à rien

de majorer|un |, c’est|un − l | qu’il faudrait majorer. Avant de se lancer dans une majoration hasardeuse, il est nécessairede comprendre intuitivement comment se comportent les différents termes.

Exemple 3.11Étudier la suite de terme généralun = 1

n!

n∑

k=1

k!. Commençons par écrire les différents termes de la somme

d’une autre façon pour comprendre ce qui se passe :

un =1

n!(1+1×2+·· · +1×2×·· · ×n) = 1+

1

n+

1

n(n−1)+·· ·+

1

n(n−1) . . . 3+

1

n(n−1) . . . 2

Une erreur fréquente : puisque1

n−−−−−→n→+∞

0, . . .,1

n(n−1) . . . 2−−−−−→n→+∞

0, un −−−−−→n→+∞

1 : bien que chaque terme tende vers

0, le nombre de termes augmenteavecn. Avec le même raisonnement, on aurait1 = 1

n+·· ·+ 1

n︸ ︷︷ ︸n fois

−−−−−→n→+∞

0 !

Nous allons tout de même montrer queun −−−−−→n→+∞

1 en écrivantun = 1+εn et en montrant queεn −−−−−→n→+∞

0. Pour cela,

majoronsεn : si l’on majore tous les termes deεn par le plus grand1/n, on trouve queεn É (n −1)/n qui ne tend pasvers0. Écrivons plutôt

0 É εn É 1

n+ (n−2)

n(n−1)−−−−−→n→+∞

0

1179

Exemple 3.12On pose pourx > 0, F(x) =∫2x

x

sin t

t 2dt .

a. Déterminer la limite lorsquex →+∞ deF.

b. Déterminer la limite lorsquex → 0 deF.

a. Avec une majoration simple :

∀t ∈ [x,2x],|sin t |

t 2É

1

x2

on obtient :

|F(x)| É∫2x

x

|sin t |t 2

dt É∫2x

x

1

x2dt = 1

x

Par conséquent,F(x) −−−−−→x→+∞

0.

b. Essayons d’abord un encadrement élémentaire : pourt ∈ [0,π/2],

2

πtÉ sin t É t

on obtient pour0< x < 2x É π/2, l’encadrement

2

πln2 =

∫2x

x

2t

πt 2dt É F(x) É

∫2x

x

t

t 2dt = ln 2

On voit que la fonctionF est bornée au voisinage de zéro, mais l’encadrement obtenu ne permet de trouver lalimite. Au voisinage de0, sin(t) est proche det : on peut utiliser l’inégalitét − t 3/6 É sin t É t vue dans l’exemple3.2. On obtient l’encadrement :

ln 2−1

18(x6 − x3) =

∫2x

x

dt

t−

1

6

∫2x

xt 2 dt É F(x) É

∫2x

x

dt

t= ln 2

et avec le théorème des gendarmes, on en déduit queF(x) −−−→x→0

ln 2.

Pour des exemples plus théoriques, lorsqu’on ne dispose pasde majorations explicites des fonctions, il est nécessaired’utiliser les définitions àε d’analyse pour justifier les approximations. Voyons deux exemples classiques.

Exemple 3.132 Soit f une fonction continue sur[0,1]. Étudier la limite de la suite de terme général

In = n

∫1

0xn f (x) dx

Le graphe dex 7→ xn pour n grand montre quexn est très petit, sauf au voisinage de1 où il vaut 1. On se doute quela limite va dépendre des valeurs def au voisinage de1. Commençons par approximerf (x) par f (1) sur [0,1] pourcomprendre ce qui se passe (cela consiste à supposer dans un premier temps quef est constante) :

Jn ≈ n f (1)

∫1

0xn dx = n

n+1f (1) −−−−−→

n→+∞f (1)

Montrons rigoureusement queIn −−−−−→n→+∞

f (1) en écrivant pourx ∈ [0,1], f (x) = f (1)+r (x) oùr est une fonction continue

sur[0,1] telle quer (x) −−−→x→1

0. Par linéarité de l’intégrale,

In = n

n+1f (1)+n

∫1

0xn r (x) dx

︸ ︷︷ ︸Rn

On a déjà vu que la première suite convergeait versf (1). Il nous suffit de traiter lerestede notre approximation : montronsqueRn −−−−−→

n→+∞0. Pour cela, écrivons une démonstration à epsilon. Soitε> 0, commer (x) −−−→

x→10, il existec ∈ [0,1[ tel

que∀x ∈ [c,1], |r (x)| É ε/2. Coupons notre intégrale en deux :

|Rn | É n

∫c

0|r (x)|xn dx +n

∫1

c|r (x)|xn dx

É ncn

∫c

0|r (x)| dx +n

ε

2

∫1

0xn dx

É Kncn +nε

2(n+1)= θn

1180

Nous avons notéK =∫c

0|r (x)| dx qui est une constante indépendante den. Puisqueθn −−−−−→

n→+∞ε/2, il existeN ∈N tel que

∀n Ê N, θn É ε et pourn Ê N, |Rn | É ε.

L’exemple précédent est typique d’une démonstration en analyse.

1. On commence par comprendre intuitivement les approximations pertinentes.

2. On met en évidence l’approximation pour isoler le résultat et on se ramène à montrer qu’un reste tend vers0.

3. On utilise les majorations, les définitions àε . . .pour traiter le reste de l’approximation.

Exemple 3.141 Soit f : [0,+∞[7→ R une fonction continue telle quef (x) −−−−−→x→+∞

l . On définit pourx Ê 0, F(x) =1

x

∫x

0f (t) dt . Montrons queF(x) −−−−−→

x→+∞l .

On commence par utiliser l’hypothèse en approximantf parl :

f (x) = l + r (x) avecr (x) −−−−−→x→+∞

0

Cette approximation permet de mettre en évidence la limite de F :

F(x) = 1

x

∫x

0l dt + 1

x

∫x

0r (t) dt = l +R(x)

Il nous suffit de montrer queR(x) −−−−−→x→+∞

0. Rédigeons pour cela une démonstration àε.

Soitε> 0.

Puisquer (t)−−−−−→t→+∞

0, il existeA > 0 tel que∀t Ê A, |r (t)| É ε/2.

PosonsC =∫A

0|r (t)|dt . PuisqueC/x −−−−−→

x→+∞0, il existeB Ê A tel que∀x Ê B, C/x É ε/2.

Soit x Ê B, coupons l’intégrale en deux :

|R(x)| =∣∣∣∣

1

x

∫A

0r (t) dt + 1

x

∫x

Ar (t) dt

∣∣∣∣ÉC

x+ 1

x

∫x

A|r (t)|dt É ε/2+ (x −A)ε

2xÉ ε

C.2 Dérivation

Contrairement au calcul de primitives où l’on sait primitiver très peu de fonctions à l’aide des fonctions usuelles, on saitdériver une fonction quelconque, aussi compliquée soit-elle. Dans ce paragraphe, nous allons voir quelques règles simplespour calculer efficacement une dérivée sous forme factorisée. En effet, on se sert souvent du signe d’une dérivée pourétudier les variations d’une fonction, d’où l’intérêt d’obtenir une forme factorisée de ces dérivées.Rappelons d’abord comment calculer la dérivée d’une expression à l’aide de Maple :

MAPLE

f := exp(x) * sin(x^3);f := exp(x) sin(x^3)

> diff(f, x);3 3 2

exp(x) sin(x ) + 3 exp(x) cos(x ) x> factor(%);

3 3 2exp(x) (sin(x ) + 3 cos(x ) x )

C.2.1 Dérivées particulières

Homographies

Une homographie est une fonction définie par :

f (x) = ax +b

cx +d

Cette fonction est définie sur les deux intervallesI1 =]−∞,−d/c[ et I2 =]−d/c,+∞[.Une homographie se dérive facilement :

1181

♥ 3.8 f (x) = ax +b

cx +d, f ′(x) =

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣

(cx +d)2

Il est bon de retenir cette formule (déterminant des coefficients au numérateur, dénominateur au carré), car on rencontresouvent des homographies en pratique. Remarquez que le signe de la dérivée est donné par le signe du déterminant : lesvariations des homographies sont simples.La bijection réciproque d’une homographie est encore une homographie : il faut savoir résoudre rapidement l’équation

y =ax +b

cx +d(c y −a)x = b −d y x =−

d y −b

c y −a

On voit donc que lorsque le déterminant∆=∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ est strictement positif,f définit une bijection deI1 versJ1 =]−∞, a/c[

et deI2 versJ2 =]a/c,+∞[.Exercice 3.4

Dériver les homographies suivantes et déterminer l’expression de leur bijection réciproque.

a. f (x) = 3x −4

2x +1

b. g (x) = 2−3x

5+ x

Solution :

a. f ′(x) = 11

(2x +1)2, f −1(y) =− y +4

2y −3

b. Écrivonsg (x)=−3x −2

x +5d’où g ′(x) =−

17

(x +5)2et g−1(y) =−

5y −2

y +3

Exponentielle en facteur

On rencontre souvent en analyse des expressions de la forme

f (x) = eA(x) ×B(x)

où A et B sont deux fonctions dérivables. On peut mettreeA(x) en facteur dans la dérivée et il est bon de retenir la formulesuivante :

♥ 3.9 f (x) = eA(x)B(x), f ′(x) = eA(x)[B′(x)+A′(x)×B(x)

]

Cette formule est à la base de la résolution des équations différentielles du premier ordre. Considérons l’équation diffé-rentielle

y ′+a(x)y = b(x)

Soit y : I 7→ R une fonction solution. On considère la fonction auxiliairedéfinie parf (x) = eA(x) × y(x) où A est uneprimitive dea car lorsqu’on dérivef , on trouve

f ′(x) = eA(x)[

y ′(x)+a(x)y(x)]= eA(x) ×b(x)

Par conséquent, avec le théorème fondamental, six0 ∈ I,

f (x) = f (x0)+∫x

x0

f ′(t) dt = f (x0)+∫x

x0

eA(t )b(t) dt

et on trouve l’expression dey sur l’intervalleI en fonction de la condition initialey(0) :

y(x) = e−A(x) f (x) = y(0)e−A(x) +e−A(x)∫x

x0

eA(t )b(t) dt

On peut utiliser la même technique pour des inéquations différentielles :Exercice 3.5

Soit f : [0,+∞[7→ R une fonction dérivable vérifiantf (0) = 1 et∀x Ê 0, f ′(x)+ f (x) É 1. Montrer quef est bornée.

1182

Solution : Considérons la fonctionF définie parF(x) = ex f (x). Elle est dérivable et∀x Ê 0,

F′(x) = ex[

f ′(x)+ f (x)]É ex

d’où

F(x) = F(0)+∫x

0F′(t) dt É 1+

∫x

0e t dt = ex

et doncf (x) = e−x F(x) É 1

Il faut savoir dériver successivement une fonction définie par

f (x) = eA(x) ×B(x)

en utilisant de façon répétée la formule précédente. En particulier, pour résoudre des équations différentielles du secondordre, on rencontre souvent le cas oùA et B sont des polynômes. Par exemple :

f (x) = ex2 [x2 +1

]

f ′(x) = ex2 [2x + (2x)(x2 +1)

]= 2ex2 [

x3 +2x]

f ′′(x) = ex2 [3x2 +2+ (2x)(x3 +2x)

]= 2ex2 [

2x4 +7x2 +2]

f (3)(x) = 2ex2 [8x3 +14x +2x(2x4 +7x2 +2)

]= 4ex2 [

2x5 +11x3 +9x]

...

Remarquez que les calculs s’effectuent avec une ligne par dérivée. Pour chaque ligne, à la première étape, appliquer laformule de dérivation, à la deuxième étape, ordonner le polynôme en facteur.

C.2.2 Règle de la chaîne

Il s’agit simplement de la formule de la dérivée d’une fonction composée

( f ◦ g )′ = ( f ′ ◦ g )× g ′

Cette formule s’étend par récurrence à la composée den fonctions (on dériveà la chaîne) :

( f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fn )′ = ( f ′1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fn )× ( f ′

2 ◦ f3 ◦ · · · ◦ fn )×·· ·× ( f ′n−1 ◦ fn )× f ′

n

Remarquez que le résultat est donné sous forme de produit, donc est automatiquement factorisé !Remarquez aussi que pour une fonction composée, il est parfois plus rapide d’utiliser la « règle des signes »pour lesvariations d’une fonction (voir 11.4 page 411) que de calculer sa dérivée.

Exemple 3.15Déterminer la dérivée et les variations de la fonction définie par

f (x) = ln

(ch

(2ex2 +1

ex2 +1

))

On calcule avec la règle de la chaîne et la dérivée d’une homographie en une ligne :

f ′(x) =1

ch

(2ex2 +1

ex2 +1

) × sh

(2ex2 +1

ex2 +1

)×

1

(ex2 +1)2×ex2

× (2x)

Tous les facteurs étant toujours positifs sauf le dernier, la fonction est décroissante sur]−∞,0] et croissante sur[0,+∞[.

Exercice 3.6Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est dérivable et calculer sadérivée. Les résultats seront factorisés et on déterminerale signe de la dérivée.

1183

a. f (x) = ln(x +p

x2 +1)

b. f (x) = ln(p

2sin x +1+p

2sin x −1)

c. f (x) = arctanln x

3

d. f (x) = ex arctan(ex )− ln(p

1+e2x).

e. Pourk ∈R, f (x) = x

2

px2 +k + k

2ln

(x +

px2 +k

)

f. f (x) = sin x

cos2 x+ ln

(1+ sin x

cos x

)

g. f (x) = arcsin2x2

1+ x4

h. f (x) = x(x2)

i. f (x) = ln(tan

x

2

)− x

sin x

j. f (x) =arctan x

x− ln

xp

1+ x2

k. f (x) = 1

4aln

x −a

x +a+ 1

2aarctan

x

a

l. f (x) = arctan3x − x3

1−3x2

m. f (x) = ln

p1+ x2 −1

p1+ x2 +1

n. f (x) = ln

px4 +1− x2

px4 +1+ x2

o. f (x) =p

x arcsin(p

x)+p

1− x

p. f (x) = arcsin

(sin x√

1+ sin2 x

)

q. f (x) = arctan

(xx − x−x

2

)

r. f (x) = xx

ex(x ln x − x −1)

s. f (x) = loge2 (xn +p

x2n +1), n ∈N, n Ê 1

t. f (x) = ln[ln x(ln ln ln x −1)]

Solution :

a. Pourx ∈R,p

x2 +1 >p

x2 = |x|. Par conséquent,x +p

x2 +1 > |x|+ x Ê 0. La fonction est dérivable surR et l’on

trouve f ′(x) = 1

x2 +1Ê 0.

b. Il faut que 2sin x > 1/2, c’est à dire x ∈ ∪k∈Z ]2kπ + π/6,2kπ + 5π/6[. On trouve ensuitef ′(x) =cos x

p(2sin x −1)(2sin x +1)

Ê 0.

c. f est dérivable sur]0,+∞[ et

f ′(x) =3

x(9+ ln2 x)> 0

d. f est dérivable surR et f ′(x) = ex arctanex > 0.

e. Il faut quex2 > −k. Donc sik > 0, f est dérivable surR et si k > 0, f est dérivable surI = R et si k É 0, f estdérivable sur]

p−k,+∞[. On calcule

f ′(x) =√

x2 +k

f. Il faut quecos x > 0 et sin x >−1, c’est à direx ∈∪k∈Z]2kπ−π/2,2kπ+π/2[. On trouve que

f ′(x) =2

cos3 x> 0

g. arcsin est dérivable sur]−1,1[. Puisquex2 É 1+ x4

2,

2x2

1+ x4É 1 et la fonction est définie surR. On a

2x2

1+ x4= 1 si

et seulement six =±1 et doncf est dérivable surI1 =]−∞,−1[, I2 =]−1,1[ et I3 =]1,+∞[. On calcule

f ′(x) = 4x(1− x4)

|1− x4|(1+ x4)=

4x

1+ x4si x ∈ I2

− 4x

1+ x4si x ∈ I1 ∪ I3

h. f est dérivable sur]0,+∞[ etf ′(x) = xx2+1(1+2ln x)

i. f est définie et dérivable sur⋃

k∈Z ]2kπ, (2k +1)π[. Si z est élément de cet ensemble :f ′(x) = x cos x

sin2 x

j. f est définie et dérivable sur]0,+∞[. Si x ∈R∗, f ′(x) =−arctan x

x2

k. f ′(x) = x2

(x −a)(x +a)(x2 +a2)

l. f est définie et dérivable surR\{p

33

}et six est élément de cet ensemble,f ′(x) = 3

1+ x2

m. f est définie et dérivable surR∗ et six ∈R∗, f ′(x) =2

xp

1+ x2

1184

n. f ′(x) =−4x

px4 +1

o. f est dérivable sur]0,1[ et f ′(x) =arcsin(

px)

2p

x

p. Puisque|sin x| <√

1+ sin2 x, la fonction est dérivable surR et f ′(x) = cos x

1+ sin2 x

q. La fonction est dérivable sur]0,+∞[ et f ′(x) = 2(1+ ln x)

xx + x−x

r. La fonction est dérivable sur]0,+∞[ et f ′(x) = xx+1 ln x(ln x −1)

ex

s. f est dérivable surR et f ′(x) = nxn−1

2p

x2n +1

t. f ′(x) = ln lnln x

x ln x

C.3 Manipulation de bornes supérieures

Dans ce paragraphe, nous allons voir en pratique comment manipuler les bornes supérieures et inférieures définies dans lechapitre sur les nombres réels 9.4 page 338. Avant toute chose, retenez que l’on ne manipule jamais les bornes supérieuresen écrivant une suite d’égalités, mais en justifiant desinégalités. La technique principale s’appelle leraisonnement depassage à la borne supérieureet utilise la définition même de la borne supérieure, le plus petit élément de l’ensemble desmajorants de la partie.

PLAN 3.1 : Passage à la borne supérieure

On veut montrer que la borne supérieure d’une partieA est majorée par un réelM. Il suffit de justifier queM est unmajorant de la partie :

1. Soitx ∈ A, . . .x É M.

2. Alors, puisquesup A est le plus petit des majorants deA, sup A ÉM.

Exemple 3.16SoientA etB deux parties non vides et majorées deR telles queA∩B 6=∅. Montrer que les parties(A∪B)

et (A∩B) possèdent une borne supérieure et quesup(A∪B)É max(sup A,supB), sup(A∩B) É min(sup A,supB).– On vérifie facilement que les deux parties sont non vides et majorées ce qui justifie l’existence des bornes supérieures.– Soitx ∈ A∪B. Si x ∈ A, alorsx É sup A et six ∈ B, x É supB. Dans les deux cas,x É max(sup A,supB) ce qui montre

quemax(sup A,supB) est un majorant deA∪B. Par passage à la borne supérieure, on en déduit quesup(A∪B) Émax(sup A,supB).

– Soit x ∈ A ∪ B. Puisquex ∈ A, x É sup A et puisquex ∈ B, x É supB donc x É min(sup A,supB). Le réelmin(sup A,supB) est donc un majorant deA∩B et par passage à la borne supérieure, on en déduit quesup(A∩B) Émin(sup A,supB).

On ne raisonne jamais directement avec des égalités entre bornes supérieures, mais onjustifie toujours les égalités ensuivant le plan suivant.

PLAN 3.2 : Pour montrersup A = sup B

Pour montrer que deux bornes supérieures sont égales, on montre deux inégalités en utilisant deux passages à laborne supérieure.

1. Montrons quesup A É supB.

2. Montrons quesup BÉ sup A.

Exemple 3.17Soient deux partiesA, B non vides et majorées deR. On note

A+B= {a +b; (a,b) ∈ A×B}

Montrons quesup(A+B) = sup(A)+ sup(B).– A etB possèdent une borne supérieure puisque ce sont des parties non vides et majorées deR. PuisqueA 6=∅, il existe

a ∈ A et de même, il existeb ∈ B. Alors l’élémenta +b appartient à la partieA+B ce qui justifie qu’elle est non vide.NotonsMA un majorant deA et MB un majorant deB. Soit x ∈ A+B, il existe(a,b) ∈ A×B tel quex = a +b et alorsx É MA +MB. Nous avons montré queMA +MB est un majorant de la partieA+B. Par conséquent,sup(A+B) existe.

1185

– Montrons quesup(A+B) É sup(A)+ sup(B). Soit x ∈ A+B, il existe(a,b) ∈ A×B tels quex = a +b et alors commea É sup A et b É supB, x É sup A + supB. Le réelsup A + supB est donc un majorant de la partieA +B. Puisquesup(A+B) est le plus petit des majorants, on asup(A+B)É sup A+ supB.

– Montrons quesup(A)+ sup(B) É sup(A+B). La technique de passage à la borne supérieure permet de majorer uneborne supérieure. Isolons donc dans le membre gauche de l’inégalité à montrer une borne supérieure. La propriété quenous voulons montrer s’écrit de façon équivalente

sup(A)É sup(A+B)− sup(B)

Pour montrer l’inégalité sous cette forme, il nous faut majorer A. Soit a ∈ A, etb ∈ B, écrivons

a = (a +b)−b

Comme(a +b)∈ A+B, (a +b) É sup(A+B) d’où a É sup(A+B)−b et par passage à la borne supérieure,

sup(A)É sup(A+B)−b

L’inégalité précédente est valable pour tout élémentb ∈ B, donc

∀b ∈B, b É sup(A+B)− sup(A)

ce qui montre quesup(A+B)− sup(A) est un majorant deB. Par passage à la borne supérieure, on en déduit que

sup(B) É sup(A+B)− sup(A)

c’est à diresup(A)+ sup(B) É sup(A+B).

Exercice 3.7Reprendre l’exemple 3.16 page 1185 et montrer quesup(A∪B)= max(sup A,supB).

On dispose d’une technique similaire pourminorerune borne inférieure :

PLAN 3.3 : Passage à la borne inférieure

On veut montrer queαÉ inf A.

1. Soitx ∈ A, αÉ x doncα est un minorant de la partieA.

2. Puisqueinf A est le plus grand des minorants deA, il vient queαÉ inf A.

Exemple 3.18On considère une partieA ⊂R non vide. Pour un réelx ∈R, on définit ladistancedex à la partieA par :

d(x, A) = inf{|x −a|; a ∈ A}

– Vérifions qued(x, A) est bien défini. Soitx ∈R, on définit la partieX = {|x−a|; a ∈ A} de telle façon qued(x, A) = inf X.PuisqueA 6= ∅, il existe a ∈ A et alorsr = |x − a| ∈ X ce qui montre que la partieX est non vide. Puisque∀a ∈ A,|x −a| Ê 0, la partieX est minorée par0. La partieX possède donc une borne inférieure.

– Montrons que∀(x, y) ∈R2, ∣∣d(x, A)−d(x,B)∣∣É |x − y |

Il s’agit de montrer deux inégalités.– Soientx, y ∈R. Montrons que

d(x, A)−d(y, A) É |x − y |Écrivons l’inégalité à montrer en isolant à droite une borneinférieure :

d(x, A)−|x − y | É d(y, A)

Soit a ∈ A. En utilisant la minoration de l’inégalité triangulaire,

|x −a|− |x − y | É |(x −a)− (x − y)| = |y −a|

Mais d(x, A) É |x −a| et doncd(x, A)−|x − y | É |y −a|

Le réeld(x, A)−|x− y | ne dépend plus dea et il est un minorant de l’ensembleY = {|y −a|; a ∈ A}. Puisqued(y, A)

est le plus grand minorant deY, il vient que

d(x, A)−|x − y | É d(y, A)

– Pour montrer qued(y, A)−d(x, A) É |x − y |, il suffit de faire le même raisonnement en échangeant les rôles dex ety .

1186

On utilise très souvent en analyse les notations suivantes :

DÉFINITION 3.1 Borne supérieure d’une fonctionSoit une fonction définie sur un partieA ⊂R : f : A 7→R. On note lorsque ces bornes existent,

supx∈A

f (x) = sup f (A)= sup{ f (a); a ∈ A} infx∈A

f (x) = inf f (A)= inf{ f (a); a ∈ A}

Exemple 3.19 Soit A ⊂ R une partie non vide majorée etf : R 7→ R une fonction croissante. Comparersup f (A) etf (sup A).– Montrons quesup f (A) É f (sup A). Soit y ∈ f (A), il existex ∈ A tel quey = f (x). Puisquex ∈ A et quesup A est un

majorant deA, x É sup A. Comme la fonctionf est croissante, on af (x) É f (sup A). Le réel f (sup A) est un majorantde la partief (A) et par passage à la borne supérieure on en déduit l’inégalitéannoncée.

– L’autre inégalité est fausse en général comme le montre le contre-exemple suivant. On noteA =]−∞,0[ et f la fonctiondéfinie surR par

f (x) ={

0 si x < 0

1 si x Ê 0

Alors sup(A)= 0, f (sup A)= 1 alors quef (A)= {0} et sup f (A)= 0 et doncsup f (A)< f (sup A).

Si une fonctionf est continue sur un segment[a,b], le théorème 11.48 page 432 affirme qu’elle est bornée. Par conséquentl’ensembleX = {| f (x)|; x ∈ [a,b]} est non vide (car| f (a)| ∈X) et majoré. Il possède une borne supérieure et on note

‖ f ‖∞ = supX = supx∈[a,b]

| f (x)|

Exemple 3.20Soientf , g : [a,b] 7→R deux fonctions continues sur un segment. Montrons que

‖ f + g‖∞ É ‖ f ‖∞+‖g‖∞

En notant pour une fonctionh : [a,b] 7→ R Xh = {|h(x)|; x ∈ [a,b]}, il s’agit de montrer quesupX f +g É supX f + supXg .Utilisons le raisonnement de passage à la borne supérieure.Soit t ∈ X f +g , il existe x ∈ [a,b] tel quet = |( f + g )(x)| =| f (x)+ g (x)|. Avec l’inégalité triangulaire,

| f (x)+ g (x)| É | f (x)|+ |g (x)| É sup X f + supXg

Le réelX f +Xg est donc un majorant de la partieX f +g et par passage à la borne supérieure,supX f +g É supX f +Xg cequi prouve la propriété.Soit maintenant un réelλ. Montrons que

‖λ f ‖∞ = |λ| ‖ f ‖∞Avec les notations précédentes, il nous faut montrer quesupXλ f = |λ|sup X f . Procédons par double inégalité.

1. Montrons quesupXλ f É |λ|supX f

Soit t ∈ Xλ f , il existex ∈ [a,b] tel quet = |λ f (x)| = |λ| | f (x)| É |λ|supX f . Par passage à la borne supérieure, onen déduit l’inégalité voulue.

2. Montrons que|λ|sup X f É sup Xλ f

Le membre gauche à majorer n’est pas une borne supérieure. Écrivons l’inégalité en isolant une borne supérieure.Si λ= 0, le résultat est clair. Siλ 6= 0, il nous faut montrer que

supX f É 1

|λ|sup Xλ f

Soit t ∈ X f , il existex ∈ [a,b] tel quet = | f (x)| = 1

|λ||λ f (x)| É 1

|λ|supXλ f . Par passage à la borne supérieure, on

en déduit l’inégalité souhaitée.

1187

C.4 Équivalents

Dans ce paragraphe, nous allons voir lapratiquedes équivalents et des développements limités. Les équivalents sont unoutil très puissant en analyse, indispensables dans plusieurs chapitres du cours de math. spé. et agréables à utiliser unefois que l’on a compris certains points. À utiliser sans modération !

C.4.1 Qu’est-ce qu’un équivalent simple ?

On parle d’équivalents desuites(au voisinage de+∞) et defonctions(au voisinage d’un pointa éventuellement infini).Les techniques utilisées sont tout à fait similaires.Il y a plusieurs façons de traduire que deux suites(un) et (vn) sont équivalentesun ∼

n→+∞vn :

1.un

vn−−−−−→n→+∞

1 (si vn ne s’annule pas à partir d’un certain rang).

2. il existe une suite(εn) telle queun = vn(1+εn ) avecεn → 0

3. ladéfinition de suites équivalentes(valable même si les suites s’annulent une infinité de fois ) :

un = vn +wn avecwn = o(vn)

Pour deux fonctionsf , g définies sur un voisinage d’un pointa , elles sont équivalentes au voisinage dea et on notef (x) ∼

x→ag (x) si et seulement si l’une des propriétés suivantes est vérifiée :

1.f (x)

g (x)−−−→x→a

1 (lorsque la fonctiong ne s’annule pas sur un voisinage dea)

2. Il existe une fonctionε définie sur un voisinageV dea telle que :

∀x ∈V, f (x) = g (x) (1+ε(x)) avecε(x) −−−→x→a

0

3. Ladéfinition: f (x) = g (x)+h(x) où h(x) = o(g (x)) au voisinage dea.

Il est nécessaire de bien réfléchir à ces définitions et de ne pas les confondre avec d’autres propriétés :

Exemple 3.21

1. Si un = vn +wn avecwn −−−−−→n→+∞

0, les suites(un ) et (vn) ne sont pas nécessairement équivalentes. Par exemple

un = 1n2 et vn = 1

n+ 1

n2 , la suitewn = 1n2 converge vers0 et pourtant(un ) et (vn) ne sont pas équivalentes.

2. Les suitesun = en2+n et vn = en2ne sont pas équivalentes (former le quotient !).

3. Siun ∼n→+∞

vn , alorsun −vn −−−−−→n→+∞

0 : cette propriété est fausse en général. Par exemple,un = n2 +n et vn = n2

donne un contre-exemple.

On utilise les équivalents en pratique poursimplifier l’expression d’une suite ou d’une fonction en vue de :– calculer sa limite,– déterminer son signe à partir d’un certain rang,– en deuxième année, déterminer la nature de la série

∑un ,

– en deuxième année, voir si la fonctionf est intégrable sur un intervalle– . . .Qu’entend-t-on par unéquivalent simpled’une suiteun ? C’est une suitevn équivalente àun formée uniquement deproduits-quotientsde suites de références. Quelques exemples de suites de référence :nα, kn , n!, nα(lnn)β, nn2

, . . .Il existe une infinité de suites équivalentes à une suite donnée :

n2 ∼n→+∞

n2 + ln n ∼n→+∞

n2 + sin(n) ∼n→+∞

e2ln n+1/lnn . . .

mais parmi ces suites, il y en a une de référence (icin2) qu’on appelleraéquivalent simple. Remarquons qu’un équi-valent simple ne fait interveniraucune somme, uniquement desproduits-quotients. Voici quelques exemples d’équivalentssimples :

n sin(n), n3 ln(n), nn!, ln(n)2e3n , en2

en , ln(sin(n2)), . . .

Par contre les expressions suivantes ne sont pas des équivalents simples :

– vn = n2 +n carvn ∼n→+∞

n2

– vn = ln(n3) carln(n3) = 3ln n

1188

– vn = en2+n+1/n carvn = en2ene1/n ∼

n→+∞en2

en .

Pour déterminer un équivalent d’une suite composéeun = f (vn), il est indispensable de déterminer la limite de(vn). Uneerreur grossière courante consiste à écriresin(vn) ∼

n→+∞vn alors que la suite(vn) ne converge pas vers0. En pratique,

lorsque la suite(vn) est compliquée, on commence par chercher un équivalent simple de(vn) qui permet d’une part detrouver la limite de(vn) et d’autre part de simplifier l’équivalent de(un ) ensuite.

Exemple 3.22

un = tan

sin(e−n)

sh( n

en lnn

)

︸ ︷︷ ︸vn

Puisquee−n −−−−−→n→+∞

0, sin(e−n) ∼n→+∞

e−n . Puisquen

en ln n−−−−−→n→+∞

0, sh( n

en lnn

)∼

n→+∞n

en ln net donc

vn ∼n→+∞

ln n

n−−−−−→n→+∞

0

On peut utiliser l’équivalent usuel detan en0 et finalementun ∼n→+∞

lnn

n.

Exemple 3.23

un = ln(cos1

n)

Ici cos(1/n) −−−−−→n→+∞

1 et on connaît un équivalent deln(θn) lorsqueθn −−−−−→n→+∞

1 sous la formeln(1+ vn) ∼n→+∞

vn avec

vn −−−−−→n→+∞

0. Il suffit d’écrire un = ln(1+ vn) où vn = cos(1/n)− 1 et puisquevn ∼n→+∞

− 1

2n2−−−−−→n→+∞

0, il vient que

un ∼n→+∞

−1

2n2.

C.4.2 Suppression des sommes

Puisqu’un équivalent simple n’est formé que de produits-quotients, il faut savoir faire disparaître toutes les sommesdansla recherche d’équivalents. Supposons qu’une suite(un) s’écrive comme somme de deux suites :un = vn +wn .

Remarque 3.3 On ne peut pas sommer les équivalents !Si vn ∼n→+∞

an et wn ∼n→+∞

bn , on n’a pas toujours

un ∼n→+∞

an +bn . Par exemple :vn = n2 +n ∼n→+∞

an = n2 +1/n, wn = −n2 +1/n ∼n→+∞

−n2. On aun = vn + wn =n+1/n ∼

n→+∞n et pourtantan +bn = 2/n . . .

Deux cas se rencontrent souvent en pratique.

L’une des suites est négligeable devant l’autre

Si par exemplewn = o(vn), alorsun = vn +wn ∼n→+∞

vn . C’est la définition même d’un équivalent.

Exemple 3.24un = n2 + sinnn

∼n→+∞

n2. En effet,wn = sin n

n= o(n2) = vn car

wn

vn= sin n

n3−−−−−→n→+∞

0.

Exemple 3.25

un = ln(ln n)p

n+ ln n

np

n+ ln

pn

pn

+ ln(ln n7)p

n

Commençons par utiliser les propriétés du logarithme pour écrire

lnp

np

n= ln n

2p

n, ln(lnn7) = ln(7ln n) = ln 7+ ln(lnn)

Il est indispensable ensuite declasser les suites par ordre décroissant d’importance:

un = ln n

2p

n+2

ln(ln n)p

n+ ln 7p

n+ lnn

np

n

1189

En effet,ln(ln n) = o(ln n) puisqueln x

x−−−−−→x→+∞

0 et doncln(ln n)

ln n−−−−−→n→+∞

0. On a également7p

n= o(ln n/

pn) et

ln n

np

n=

o(1/p

n). Les trois dernières suites sont donc négligeables devantln n

2p

net on en déduit l’équivalent simple :

un ∼n→+∞

lnn

2p

n

En pratique, on commence par chercher un équivalent simple de chacune des suites(vn) et (wn) ce qui permet de lescomparer plus facilement.

Exemple 3.26

un =√

1+ sin

(ln n

n2

)−cos

(ln n

n

)

Pour utiliser les équivalents usuels, écrivons

un =(√

1+ sinlnn

n2−1

)

︸ ︷︷ ︸vn

+(1−cos

ln n

n

)

︸ ︷︷ ︸wn

avecvn ∼n→+∞

ln n

2n2= an et wn ∼

n→+∞(lnn)2

2n2= bn . Puisquean = o(bn), vn = o(wn) et doncun ∼

n→+∞(ln n)2

2n2.

Les deux suites ont le même ordre de grandeur

On suppose encore queun = vn + wn et on commence toujours par chercher un équivalent plus simple de vn et wn :vn ∼

n→+∞an , wn ∼

n→+∞bn . Ici, on n’a nian = o(bn), ni bn = o(an). Bien qu’on ne puisse pas sommer les équivalents,si

la somme n’est pas nulle, on devine l’équivalent deun . Il ne reste qu’à le démontrer en utilisant les définitions.

Exemple 3.27

un = e1

2n +√

1+ 1

2n−2

Pour utiliser les équivalents usuels, écrivons :

un =(e

12n −1

)

︸ ︷︷ ︸vn

+(√

1+ 1

2n−1

)

︸ ︷︷ ︸wn

Puisquevn ∼n→+∞

12n = an et quewn ∼

n→+∞12

12n = bn , en utilisant la définition des équivalents,

vn =1

2n+o(

1

2n) wn =

1

2

1

2n+o(

1

2n)

d’où

un =3

2

1

2n+o(

1

2n)

d’où un ∼n→+∞

3

2

1

2n

Lorsque la somme des équivalents simplesan etbn est nulle, utiliser les développements limités (voir paragraphe suivant).

C.4.3 Utilisation des propriétés fonctionnelles

On connaît nos équivalents classiques sous la formeun = f (vn) avecvn −−−−−→n→+∞

0 ou f (v(x)) avecv(x) −−−→x→a

0. Que se

passe-t-il lorsquevn −−−−−→n→+∞

l 6= 0 ?

1190

Logarithmes

On connaît un équivalent usuel deln(vn) lorsquevn −−−−−→n→+∞

1 sous la formeln(1+εn ) ∼n→+∞

εn avecεn −−−−−→n→+∞

0. Lorsque

vn −−−−−→n→+∞

l ∈]0,+∞[, il suffit d’utiliser la propriétéln(ab)= ln a + ln b en écrivant :

ln(vn) = ln(l × vn

l

)= ln l + ln

( vn

l

)avec

vn

l−−−−−→n→+∞

1

et on peut utiliser l’équivalent classique.

Exemple 3.28

un = ln

(1+ n2

n2 +1

)− ln2

Puisquen2

n2 +1→ 1, on ne peut pas utiliser l’équivalent classiqueln(1+εn ) ∼

n→+∞εn . Écrivons plutôt :

un = ln2n2 +1

2(n2 +1)

= ln

(1+

[2n2 −1

2(n2 +1)−1

])

= ln

(1− 3

2(n2 +1)

)

∼n→+∞

−3

2n2

Remarque 3.4 Attention à ne pas prendre de logarithmes d’équivalents !Si un ∼n→+∞

vn , on n’a pas toujours

ln(un) ∼n→+∞

ln(vn). Par exemple siun = 1+1/n et vn = 1+1/n2, on aun ∼n→+∞

vn ∼n→+∞

1 et pourtantln(un ) ∼n→+∞

1/n

alors queln(vn) ∼n→+∞

1/n2.

Il est intéressant d’examiner d’où vient le problème. Traduisons queun ∼n→+∞

vn parun = vn(1+εn) avecεn −−−−−→n→+∞

0.

Alors ln(un) = ln(vn)+ ln(1+εn ) donclnun

ln vn= 1+

ln(1+εn )

ln vn

Il y a un problème lorsqueln(vn) −−−−−→n→+∞

0 c’est à dire lorsquevn −−−−−→n→+∞

1 comme dans l’exemple ci-dessus.

Par contre, lorsquevn −−−−−→n→+∞

l 6= 1 (même0 ou +∞), on s’aperçoit qu’on a le droit de prendre les logarithmes des

équivalents.Pour éviter d’écrire des bêtises, il vaut mieux retenir qu’on ne peut pas prendre le logarithme d’équivalents et refaireaucas par cas la preuve précédente lorsque nécessaire.

Exemple 3.29 Déterminer un équivalent lorsquex →+∞ de f (x) = argsh(x). On connaît la forme logarithmique (voirl’exemple 2.10 page 1153) :

f (x) = ln(x +√

x2 +1)

Puisquex +p

x2 +1 = 2x +o(x),

f (x) = ln (2x(1+ε(x))) = ln x + ln 2+ ln(1+ε(x)) = ln x +o(ln x)

et doncf (x) ∼x→+∞

ln x.

Lorsqu’on veut trouver un équivalent def (x) = ln [u(x)+ v(x)] avecv(x) = o(u(x)), factoriser à l’intérieur du logaritme

le terme dominant :f (x) = ln [u(x) (1+ v(x)/a(x))]= lnu(x)+ ln(1+ v(x)/u(x)) ∼ ln u(x)

puisquev(x)/u(x) −−−→x→a

0, ln(1+ v(x)/u(x)) −−−→x→a

0.

Exemple 3.30Déterminer un équivalent def (x) = ln(ch x) lorsquex →+∞. Écrivons

f (x) = ln

(ex +e−x

2

)= ln

(ex

2

[1+e−2x

])= ln ex − ln 2+ ln(1+e−2x ) = x − ln 2+ ln(1+e−2x )

et doncf (x) ∼x→+∞

x.

1191

Exponentielles

On connaît un équivalent classique(eεn −1) ∼n→+∞

εn lorsqueεn −−−−−→n→+∞

0. Lorsqueεn −−−−−→n→+∞

l 6= 0, il suffit d’utiliser la

propriétéea+b = eaeb en écrivanteεn = e l ×e(εn−l )

Exemple 3.31

un = en2

n2+1 −en3

n3+1

Comme n2

n2+1−−−−−→n→+∞

1 ainsi que n3

n3+1−−−−−→n→+∞

1, écrivons

un = e ×e( n2

n2+1−1) −e ×e

( n3

n3+1−1)

= e

[(e− 1

n2+1 −1

)−

(e− 1

n3+1 −1

)]

Mais comme(e− 1

n2+1

)∼

n→+∞−1/n2 et que

(e− 1

n3+1 −1

)∼

n→+∞−1/n2 = o(1/n2), il vient queun ∼

n→+∞−

2

n2.

Remarque 3.5 On ne peut pas prendre d’exponentielle d’équivalents :si un ∼n→+∞

vn , on n’a pas toujours

eun ∼n→+∞

evn . Par exemple siun = n2 +n et vn = n2, en2+n n’est pas équivalent àen2.

Regardons ce qui se passe :eun

evn= eun−vn

donceun ∼n→+∞

evn si et seulement siun − vn −−−−−→n→+∞

0, ce qui n’est pas la même chose queun ∼n→+∞

vn !

Fonctions puissances

On connaît un équivalent classique de[(vn)α−1] lorsquevn −−−−−→n→+∞

1 sous la forme[(1+εn )α−1] ∼n→+∞

αεn lorsque

εn −−−−−→n→+∞

0. Si vn −−−−−→n→+∞

l 6= 1, on se ramène au cas précédent en écrivant :

[(vn)α− lα

]= lα

[( vn

l

)α−1

]

avecvn/l −−−−−→n→+∞

1.

Exemple 3.32

un =√

4n+1

n+1− 3

√8n

n+1

Écrivons :

un = 2

[(√1+

(n+1/4

n+1−1

)−1

)−

(3

√1+

( n

n+1−1

)−1

)]

= 2

[(√1− 3

4(n+1)−1

)−

(3

√1− 1

n+1−1

)]

= 2(an −bn )

et commean =−3/(8n)+o(1/n), bn =−1/(3n)+o(1/n), on trouve queun ∼n→+∞

− −1

12n.

Quantités conjuguées

Une identité basique très utile pour manipuler des différences de racines carrées (multiplication par les quantités conju-guées) :

♥ 3.10p

a −p

b = a −bp

a +p

b

Elle provient simplement de la formule(α−β)(α+β) =α2 −β2.

1192

Exemple 3.33Trouver un équivalent deun = (p

n+1−p

n).

un = (n+1)−np

n+1+p

n= 1

pn+1+

pn

∼n→+∞

1

2p

n

C.4.4 Mise sous forme exponentielle

Pour étudier un équivalent d’une suiteun = abnn où l’exposant dépend den, utiliser la forme exponentielle :

♥ 3.11 ab = eb lna

Exemple 3.34Cherchons un équivalent def (x) = xx −1 lorsquex → 0 :

xx −1 = ex ln x −1 ∼x→0

x ln x

puisquex ln x −−−→x→0

0.

Exemple 3.353 Un exemple fondamental :Soit x ∈R, étudier la limite de la suite de terme général

un =(1+ x

n

)n

Une erreur fréquente consiste à dire que lorsquevn −−−−−→n→+∞

1, vnn −−−−−→

n→+∞1. C’est une forme indéterminée1∞ . En effet,

vnn = en ln vn et on voit que sivn −−−−−→

n→+∞1, il y a une forme indéterminée∞×0 dans l’exposant.

Écrivons plutôtun = en ln(1+ x

n ) = evn

et cherchons la limite de la suite(vn). Commex/n −−−−−→n→+∞

0, avec l’équivalent du logarithme,vn ∼n→+∞

n × x

n= x et

doncvn −−−−−→n→+∞

x et par composée de limites,un −−−−−→n→+∞

ex .

Remarque 3.6 La forme exponentielle n’est utile que si l’exposant dépendde la variable. N’en abusez pas. Il seraitridicule d’écrire(n2 +1)2 = e2ln(n2+1) pour trouver un équivalent de cette suite !

C.4.5 Utilisation des développements limités

Les équivalents sont l’outil principal pour obtenir le comportement d’une fonction au voisinage d’un point et sont àutiliser en priorité. Dans certains cas, l’utilisation desdéveloppements limités est plus simple, voire nécessaire.Dans ceparagraphe, nous allons voir comment calculer et utiliser les développements limités.Rappelons que Maple permet d’obtenir des développements limités :

MAPLE

f := sin(x)^3 * tan(x);3

f := sin(x) tan(x)> series(f, x = 0, 10);

4 6 8 10x - 1/6 x + 3/40 x + O(x )

Attention, si l’on veut un DL à l’ordren avec un reste eno(xn ), il faut demander à Maple l’ordre(n +1) (Maple donne

les restes enO (xn )).

Prévoir les ordres des DL

Lorsqu’on veut obtenir un développement limité d’un produit à l’ordren, il faut faire un développement limité de chaqueterme à l’ordren et ne garder que les termes de degré inférieur àn dans le produit des parties principales. Si dans un desdeux termes, le développement limité commence parxk aveck Ê 1, on peut économiser des calculs.

1193

Exemple 3.36 Calculer le développement limité def (x) = tan x × sin2 x à l’ordre 5. Nous pouvons utiliser que le

développement desin x et tan x commence parx (pas de termes constants) en écrivantsin2 x = x2

(sin x

x

)2

et tan x =

x

(tan x

x

). Alors

f (x) = x3

[sin x

x

]2 [tan x

x

]

On voit que commex3 est en facteur, il suffit d’obtenir un DL de(sin x/x)2 et detan x/x à l’ordre2 :

sin x

x= 1− x2

3!+o(x3)

sin2 x

x2= 1− x2

3+o(x3)

tan x

x= 1+ x2

3+o(x2)

Et en effectuant le produit des DL,

f (x) = x3

[1− x2

3+o(x2)

][1+ x2

3+o(x2)

]= x3

[1+0x2 +o(x2)

]= x3 +o(x5)

Dans cet exemple, nous avons utilisé uniquement le DL desin à l’ordre3 et le DL detan à l’ordre3 (et non pas à l’ordre5 comme on aurait pu le penser).

Plus généralement, si les développements limités de deux fonctions s’écrivent :

{f (x) = ak xk + . . .

g (x) = bp xp + . . .

il suffit d’écrire

f (x)g (x) = ak bk xk+p f (x)

xk

g (x)

xp

et pour obtenir un DL à l’ordren de f g , il suffit de faire un DL à l’ordren− (k +p) de f (x)/xk et g (x)/xk . Il suffit doncd’avoir le DL de f à l’ordren−p et celui deg à l’ordren−k.

Exercice 3.8Calculer le DL à l’ordre13 de f (x) = sh3(x) ln4(1+ x2).

Solution : Commesh x = x + . . . et ln(1+ x2) = x2 − . . . , écrivons

f (x) = x3 × x8

[sh x

x

]3 [ln(1+ x2)

x2

]4

Il suffit d’avoir le DL des deux crochets à l’ordre2 :

sh x

x= 1+ x2

6+o(x2)

(sh x

x

)3

= 1+ x2

2+o(x2)

ln(1+ x2)

x2= 1− x2

2+o(x2)

(ln(1+ x2)

x2

)4

= 1−2x2 +o(x2)

et finalement,

f (x) = x11

[1+ x2

2+o(x2)

][1−2x2 +o(x2)

]= x11

[1− 3

2x2 +o(x2)

]= x11 − 3

2x13 +o(x13)

La même technique est valable pour les composées de DL. Pour calculer un DL à l’ordren de f (x) = g (h(x)), d’aprèsle cours, il nous faut un DL à l’ordren de g et deh, effectuer la composée des parties régulières et ne conserver que lestermes de degré inférieur àn. En pratique, on commence par regarder le premier terme du DLdeh et en fonction de cepremier terme, on évalue les ordres nécessaires.

Exemple 3.37Calculer le DL à l’ordre4 de f (x) = sh(sin3 x). Puisquesin3 x = x3 + . . . , lorsqu’on effectue le DL desh,sh(y) = y + . . . , en remplaçanty par la partie régulière desin3 x, on s’aperçoit que le premier terme est déjà de degré3.

1194

Les autres termes seront deso(x4) car(x3)2 = x6 = o(x4) (on peut utiliser également que la fonctionf est impaire, donc

que le coefficient dex4 est nul). Il suffit finalement d’utiliser le DL desin et sh à l’ordre1 :

f (x) = sh(x3 +o(x3))= x3 +o(x4)

DL et équivalents

Un développement limité d’une fonction au voisinage d’un point permet de trouver un équivalent. Si au voisinage de zéro,

f (x) = ak xk +ak+1xk+1 +·· ·+o(xn)

avecak 6= 0, alorsf (x) ∼x→0

ak xk .

Exemple 3.38Trouver un équivalent simple lorsquex → 1 de f (x) = xx − x. Commençons par faire un changement devariables pour se ramener à chercher un équivalent en0. On poseh = x −1 et on définit la fonction auxiliaireg (h) =f (1+h) = (1+h)1+h −1−h. On se ramène à chercher un équivalent deg lorsqueh → 0. Sous forme exponentielle,

g (h)= [e(1+h) ln(1+h) −1]−h

Avec l’ équivalent usuel,(eu −1) ∼u→0

u, puisque(1+h) ln(1+h) ∼h→0

h → 0, e(1+h) ln(1+h) −1 ∼h→0

h. On est dans le cas où

la somme formelle des équivalents est nulle. La méthode du paragraphe précédent ne s’applique pas. C’est typiquementle cas où l’on utilise les développements limités. Nous avons utilisé le DL deln(1+h) à l’ordre1, poussons le DL àl’ordre supérieur :

g (h)= e(1+h)(h−h2/2+o(h2)) −1−h = e

h+h2/2+o(h2) −1−h = 1+ (h+h2/2)+h2/2+o(h2)−1−h = h2 +o(h2)

Par conséquent,g (h) ∼h→0

h2 et doncf (x) ∼x→1

(x −1)2

Exemple 3.39 Déterminer un équivalent lorsquex → +∞ de f (x) = arctan(x)− πx +1

2x +1. On commence toujours par

étudier la limite de la fonction (sif (x) → l 6= 0, alors f (x) ∼ l !). Ici f (x) −−−−−→x→+∞

0 et il faut travailler un peu plus. On

cherche un équivalent de chaque terme de la somme : puisquearctan(x) ∼x→+∞

π/2 et πx+12x+1 ∼

x→+∞π/2, on est dans le cas

où la somme des équivalents est nulle et on ne peut pas conclure. Utilisons alors les développements limités. Faisons lechangement de variablesh = 1/x pour se ramener à nos DL en0 : on définit la fonctiong (h) = f (1/h) :

g (h) = arctan(1/h)− π+h

2+h= π

2−arctanh− π

2

1+h/π

1+h/2

On a utilisé quearctan(h)+arctan(1/h) =π/2 pourh > 0. Alors

g (h)= π

2− (h+o(h))− π

2

(1− h

2+o(h)

)= π−6

4h+o(h)

On en déduit queg (h) ∼h→0

6−π

4h et doncf (x) ∼

x→+∞6−π

4x.

Recherche de limites

Les développements limités sont un outil important, mais nécessitent des calculs souvent pénibles. Par exemple, pourtrouver le développement limité d’un produit de fonctions,il faut effectuer un produit de polynômes (utiliser la méthodevue en B.4.2 page 1154). Si l’on veut uniquement trouver la limite d’une fonction qui s’écrit comme produits-quotients,ilserait maladroit de calculer un développement limité : il est préférable d’utiliser les équivalents (on peut faire des produitset quotients d’équivalents).On veut trouver la limite d’une fonctionf qui s’écrit comme produit de fonctionsfi lorsquex → a. Voici la démarchetypique à suivre :

1. On étudie la limite de chaque fonctionfi et on regarde si la limite def est évidente.

2. S’il y a des formes indéterminées, on cherche un équivalent de chaque termefi du produit. Sia 6= 0, on se ramèneà des équivalents en zéro avec le changement de variablesh = (x −a) ou h = (a − x) (ou h = 1/x lorsquea =±∞).On se ramène à chercher des équivalents en0 de fonctionsgi .

1195

3. Si la fonctiongi est unesommede fonctions, et si les sommes d’équivalents sont nulles, utiliser les développementslimités pour trouver un équivalent degi .

4. On peut faire des produits d’équivalents et on trouve un équivalent def qui permet de trouver la limite.

Exemple 3.40Déterminer la limite lorsquex →+∞ de

f (x) = 1

x4

(ex2

−cos x)[

(1+ x)x −1]

Il y a plusieurs formes indéterminées dans cette limite. Cherchons un équivalent de chaque facteur :

f1(x) = ex2

−cos(x) =[

1+ x2

2+o(x2)

]−

[1− x2

2+o(x2)

]= 3

2x2 +o(x2) ∼

x→0

3

2x2

f2(x) =(ex ln(1+x) −1

)∼

x→0x2

d’où f (x) ∼x→0

1

x4× 3

2x2 × x2 = 3

2et doncf (x) −−−→

x→0

3

2.

Lorsque la fonctionf s’écrit commequotientde fonctions,f (x) = n(x)

d(x), on commence par chercher un équivalent dudé-

nominateur. Si par exemple,d(x) ∼x→0

bk xk avecbk 6= 0 et qu’on doit utiliser un développement limité pour le numérateur,

il suffira de faire un DL à l’ordrek pour conclure :

1. Sin(x) = ap xp +·· ·+o(xk ) avecp < k et ak 6= 0, f (x) ∼x→0

ap

bk xk−p−−−→x→0

±∞.

2. Sin(x) = ak xk +o(xk ) avecak 6= 0, alorsf (x) ∼x→0

ak

bket f (x) −−−→

x→0ak /bk .

3. Sin(x) = o(xk ), alorsf (x) = o(1) d’où f (x) −−−→x→0

0.

Exemple 3.41 Déterminer la limite lorsquex → 0 de f (x) = esin x −etan x

x(1−cos(3x)). Commençons par chercher un équivalent

du dénominateur :d(x) ∼x→0

x× 9x2

2= 9

2x3. Pour obtenir la limite def , il suffit de faire un DL du numérateur à l’ordre3.

n(x) = ex−x3/6+o(x3) −e

x+x3/3+o(x3)

= [1+ (x − x3/6)+ 1

2(x − x3/6)2 + 1

6(x − x3/6)3 +o(x3)]

− [1+ (x + x3/3)+1

2(x + x3/3)2 +

1

6(x + x3/3)3 +o(x3)]

=− x3

2+o(x3)

D’où n(x) ∼x→0

−x3/2 et en prenant les quotients d’équivalents,f (x) ∼x→0

−1/9 puis f (x) −−−→x→0

−1/9.

C.4.6 Étude locale d’une fonction

On se sert souvent des développements limités pour étudier le prolongement d’une fonction en un point. Si une fonctionf est continue sur]0, a] et qu’elle possède un développement limité en0 à l’ordre1 :

f (x) = a0 +a1x +o(x)

alors :

1. f (x) −−−→x→0

a0 donc la fonctionf se prolonge en une fonction

f :

[0, a] −→ R

x 7−→{

f (x) si x 6= 0

a0 si x = 0

qui est continue sur[0, a].

1196

2. De plus, pourx 6= 0,

f (x)− f (0)

x −0= f (x)−a0

x= a1 +o(1) −−−→

x→0a1

ce qui montre que la fonctionf est dérivable en0 et quef ′(0) = a1.

Remarque 3.7 Une fonctionf :]0, a] 7→R peut admettre un développement limité à un ordren Ê 2 sans qu’elle soit declasseC 1 sur[0, a]. Étudiez attentivement le contre-exemple classique suivant (n Ê 2) :

f :

[0,1] −→ R

x 7−→{

xn+1 sin(1/xn ) si x 6= 0

0 si x = 0

– Puisque∣∣xn+1 sin(1/xn )

∣∣É xn+1, f (x) = o(xn) et doncf admet un DL à l’ordren en0 (a0 = ·· · = an = 0).

– La fonctionf est donc continue et dérivable en0 (puisqu’elle admet un DL(0,1)).– Calculons pourx 6= 0,

f ′(x) = (n+1)xn sin1

xn−n cos

1

xn

On voit quef ′ n’admet pas de limite en0 (considérer par exemple les suitesxn = (2nπ)−1/n et yn = (2nπ+π/2)−1/n).La fonction f ′ n’est donc pas continue en0 (et à fortiori n’est pas dérivable en0). La fonction f est donc dérivablesur[0,1] mais pas de classeC 1 sur[0,1].

Exemple 3.422 Montrer que la fonction

f :

R −→ R

t 7−→

1

t− 1

sin tsi t 6= 0

0 si t = 0

est de classeC 1 sur R. La fonction f est dérivable (et continue) en tout pointx 6= 0. Étudions ce qui se passe en0.Effectuons un DL def en0 à l’ordre1 : pourt 6= 0,

f (t) = 1

t

1− 1

1− t 2

6+o(t 2)

= 1

t

[1− (1+ t 2

6+o(t 2))

]=− t

6+o(t)

On en déduit quef (t) −−−→t→0

a0 = 0 = f (0) donc quef est continue en0. De plus,f est dérivable en0 et f ′(0) = a1 = 1/6.

Le DL que nous avons fait ne suffit pas à conclure quef est de classeC 1 (voir le contre-exemple ci-dessus). Il nous fautétudier la continuité de la fonction dérivée :

f ′ :

R −→ R

t 7−→

t 2 cos t − sin2 t

t 2 sin2 tsi t 6= 0

−1/6 si t = 0

Cherchons la limite def ′ lorsquet → 0 en utilisant les équivalents : on a un équivalent immédiat dudénominateur :d(t) ∼

t→0t 4. Il suffit de faire un DL à l’ordre4 du numérateur pour conclure :

n(t) = t 2(1− t 2/2+o(t 2))− t 2(1− t 2/6+o(t 2)) =−t 4/6+o(t 4) ∼t→0

−t 4/6

d’où f (t)−−−→t→0

−1/6 = f ′(0). La fonctionf ′ étant continue, la fonctionf est de classeC 1 surR.

Un développement limité à un ordre supérieur à2 permet de préciser l’allure locale de la courbey = f (x). Si au voisinagede x0, f (x) = a0 +a1(x − x0)+ak (x − x0)k +o((x − x0)k ), la fonctionf est dérivable enx0 et l’équation de la tangente en

x0 s’écrit y = a0 +a1(x − x0). La quantitér (x) = f (x)−a0 −a1(x − x0) représente la mesure algébrique entre la courbe etla tangente :

1197

y = a0 +a1(x −x0 )

y = f (x)

x0 x

r (x) = f (x)−a0 −a1(x −x0 )

Puisquer (x) ∼x→x0

ak (x − x0)k (ak 6= 0), on obtient sur un voisinage dex0, le signe der (x) et donc la position locale de la

courbe par rapport à sa tangente (elle dépend du signe deak et de la parité dek).

Exemple 3.43Pour la fonction définie surR⋆ par f (x) = sin x

x2− 1

x, on effectue un DL à l’ordre5 du sinus pour trouver

que

f (x) =− x

6+ x3

5!+o(x3)

On en déduit quef est dérivable en0, que l’équation de la tangente au point(0,0) s’écrit y =−x/6 et qu’il existeα> 0

tel que la courbe se situe au-dessus de la tangente pourx ∈]0,α[ et au-dessous pourx ∈]−α,0[.

C.4.7 Développements asymptotiques

Revenons sur la définition d’un développement limité au voisinage de zéro :f (x) = a0 + a1x + ·· · + ak xk +o(xk ). La

fonction f s’écrit comme un polynôme (la partie régulière du DL) et un rester (x)= xkε(x) oùε(x) −−−→x→0

0. Nous pouvons

écrire par exemple :

ex ln x = 1+ x ln x + x2(ln x)2

2+o(x2 ln2 x)

En effet, il suffit d’utiliser le fait qu’un développement limité est une égalité: eu = 1+u +u2/2+u2ε(u) et on peutremplaceru parx ln x :

ex ln x = x ln x +x2 ln2 x

2+ x2 ln2 xε(x ln x)

Mais puisquex ln x −−−→x→0

0 et queε(u) −−−→u→0

, par composée de limites,ε(x ln x) −−−→x→0

0 et doncx2 ln2 xε(x ln x) = o(x2 ln2 x).

Exemple 3.44 Cherchons un équivalent lorsquex → 0 de f (x) = xx − 1− x ln x. Écrivons f (x) = ex ln x − 1− x ln x =[1+ x ln x + (x ln x)2

2+o(x2 ln2 x)

]−1− x ln x = x2 ln2 x

2+o(x2 ln2 x) et doncf (x) ∼

x→0

x2 ln2 x

2.

Exemple 3.45Cherchons un équivalent lorsquex → 0 de f (x) = (tan x)x − xx . Écrivons en utilisant le DL(0,3) detan :

f (x) = ex ln[x+x3/3+o(x3)] −ex ln x

= ex(ln x+ln(1+x2/3+o(x2))) −ex ln x

= ex ln x

[e

ln(1+x2/3+o(x2)) −1

]

= ex ln x

[x2

3+o(x2)

]

∼x→0

x2

3

en effet, puisquex ln x −−−→x→0

0, ex ln x −−−→x→0

1.

1198

Exemple 3.46

On appelledéveloppement asymptotiqued’une fonctionf au voisinage d’un pointa, une égalité :

f (x) = f0(x)+ f1(x)+·· ·+ fk (x)+ r (x)

où les fonctionsfi sont ordonnées par ordre décroissant d’importance au voisinage du pointa : f1(x) = o( f0(x)), f2(x) =o( f1(x)) . . .etr (x) = o( fk (x)). Si de plusr (x)= o(g (x)), on dit qu’on a un développement asymptotiqueà la précisiong (x).

Cette notion généralise les développements limités : un développement limité (au voisinage dea) est un développementasymptotique avec les fonctionsf0(x) = 1, f1(x) = (x −a), . . .fk (x) = (x −a)k .

Remarque 3.8 Un développement asymptotique donne un équivalent def : f (x) ∼x→a

f0(x).

Exemple 3.47Trouver un développement asymptotique à la précision1/x2 au voisinage de+∞ de

f (x) = x ln(x +1)− (x +1) ln x

Posonsh = 1/x et g (h) = f (1/h). On se ramène à effectuer un développement asymptotique deg à la précisionh2 auvoisinage de0. Écrivons :

g (h)= 1

hln

(1+h

h

)+ 1+h

hlnh

= 1

h[ln(1+h)+h ln h]

= 1

h

[h ln h+h− h2

2+ h3

3+o(h3)

]

= ln h+1− h

2+ h2

3+o(h2)

d’où au voisinage de+∞,

f (x) =− ln x +1−1

2x+

1

3x2+o(1/x2)

En particulier,f (x) ∼x→+∞

ln x.

Un développement asymptotique permet de trouver des asymptotes à une courbe. On dit que deux courbes d’équationsy = f (x) et y = g (x) sont asymptotes au voisinage dea lorsqueg (x)− f (x) −−−→

x→a0.

y = g (x)

y = f (x)

x

r (x) = g (x)− f (x)

Par exemple, pour déterminer une asymptote d’une courbe d’équationy = f (x) lorsquex → +∞, on peut effectuer undéveloppement asymptotique def au voisinage de+∞. Si par exemple

f (x) = a0x +a1 +ak

xk+o(1/xk )

En posantg (x) = a0x + a1, r (x) = f (x) − g (x) ∼x→+∞

ak

xk−−−−−→x→+∞

0 (ak 6= 0) et on en déduit que la droite d’équation

y = a0x + a1 est asymptote on détermine la position de la courbe par rapport à son asymptote à l’aide du signe de

l’équivalentak

xk.

1199

Exemple 3.48Si f (x) = (x +2)e1/x , en posanth = 1/x,

g (h) = 1+2h

heh

=1

h(1+2h)(1+h+

h2

2+o(h2))

= 1

h+3+ 5

2h+o(h)

et on obtient un développement asymptotique def lorsquex →±∞ :

f (x) = x +3+ 5

2x+o(

1

x)

On en déduit que la droite d’équationy = x +3 est asymptote à la courbey = f (x) lorsquex →±∞. De plus, puisque

f (x)− [x +3] ∼x→+∞

5

2x, sur un voisinage de+∞, f (x)− [x +3] Ê 0 ce qui montre que la courbe est située au-dessus de

son asymptote et sur un voisinage de−∞, la courbe est située en-dessous de son asymptote.

Un développement asymptotique permet également de trouverdes courbes asymptotes plus compliquées que les droites.On effectue en pratique un développement asymptotique avecle dernier terme significatif qui tend vers zéro.

Exemple 3.49 Étudier la branche infinie lorsquex → +∞ de la courbe d’équationy = f (x) où f (x) = x2ex

x2−1 . Enposanth = 1/x,

g (h)= 1

h2e

h1−h2

=1

h2e

h+h3+o(h3)

= 1

h2+ 1

h+ 1

2+ 7

6h+o(h)

d’où f (x) = x2 + x + 1

2+ 7

6x+o(

1

x). On en déduit que la parabole d’équationy = x2 + x +1/2 est asymptote à la courbe

et que sur un voisinage de+∞, la courbe est située au-dessus de cette parabole.

C.4.8 Exercices

Exercice 3.9Déterminer un équivalent simple de

a. f (x) = ln

(x3 +1

x3 + x

)lorsquex →+∞.

b. f (x) =p

th x −1 lorsquex →+∞.

c. un = cos

(π

2

n2 +1

n2 +n+2

).

d. unln(n+1)− ln n

3

√1+ tan2( 1

2n )−cos( 12n )

e. un = esin

√lnn

n −cos1

4p

n.

f. un =p

cos(1/n)−esin(1/n2).

g. un =√

n+p

n2 +1−√

n+p

n2 −1.

h. f (x) = ln(ch x)−ch(ln x) lorsquex →+∞.

i. un =(

ln(n+1)

ln n

)n ln n

.

j. un =[

tan

(π

3+ 1

n

)]n

.

Solution :

a. x3+1x3+x

−−−−−→x→+∞

1. Écrivons doncf (x) = ln(1+ x3+1

x3+x−1

)= ln

(1+ −x+1

x3+x

). Puisque−x+1

x3+x∼

x→+∞− 1

x2 −−−−−→x→+∞

0,

f (x) ∼x→+∞

− 1x2 .

b. Puisqueth x −−−−−→x→+∞

1, écrivonsf (x) =p

1+ (th x −1)−1 et cherchons un équivalent dev(x) = th x−1 = ex −e−x

ex +e−x−

1=−2e−x

ex +e−x∼

x→+∞−2e−2x −−−−−→

x→+∞0 Par conséquent,f (x) ∼

x→+∞−e−2x .

1200

c. La suite (vn) tend vers π/2. Utilisons la trigonométrie : un = cos

(π

2

[1+

(n2 +1

n2 +n+2−1

)])=

sin(π2

n+1n2+n+2

)∼

n→+∞π

2n.

d. αn = ln(n + 1)− ln(n) = ln(1+ 1/n) ∼n→+∞

1n

. βn =[(

1+ tan2(1/2n ))1/3 −1

]

︸ ︷︷ ︸vn

+[1−cos(1/2n )

]︸ ︷︷ ︸

wn

. vn ∼n→+∞

13

14n et

wn ∼n→+∞

12

14n d’où βn = 5

61

4n +o(1/2n ) et doncun ∼n→+∞

56

1n4n .

e. Écrivons d’abordun = (eθn −1)+ (1−cos n−1/4) = an +bn

Puisqueln n = o(n), θn ∼n→+∞

pln n/n → 0. Avec l’équivalent classique de l’exponentielle,an ∼

n→+∞

pln n/n.

Avec l’équivalent classique du cosinus,bn ∼n→+∞

1/2p

n et comme bn = o(an), il vient que

un ∼n→+∞

an ∼n→+∞

√ln n

n.

f. Pour utiliser les équivalents usuels, écrivons

un =[√

1+ (cos 1/n−1)−1]−

[esin(1/n2) −1

]= an +bn

On trouve quean ∼n→+∞

−1/2n2 etbn ∼n→+∞

1/n2. Donc avec la définition d’un équivalent,an =−1/2n2+o(1/n2)

et bn = 1/n2 +o(1/n2) et doncun = 1/2n2 +o(1/n2). Finalement,un ∼n→+∞

1/2n2.

g. En utilisant les quantités conjuguées, écrivons :

un = 2(√n+

pn2 +1+

√n+

pn2 −1

)(pn2 +1+

pn2 −1

) = 2

vn wn

Ensuite, on cherche un équivalent de chaque partie du produit. Puisquep

n2 +1 ∼n→+∞

n, n +p

n2 +1 = 2n +

o(n) ∼n→+∞

n. Donc√

n+p

n2 +1 ∼n→+∞

p2n. De même,

√n+

pn2 −1 ∼

n→+∞

p2n et ensuiteun ∼

n→+∞2p

n. On

fait de même pourwn : wn ∼n→+∞

2n et finalement,un ∼1

2p

2n3/2.

h. Utilisons la propriété du logarithme pour écrireln(ch x) = ln(

ex

2(1+e−2x )

)= x − ln 2+ ln(1+ e−2x ) = x +o(x) et

ensuitech(ln x) = eln x+e− ln x

2= x−1/x

2= x

2+o(x). Alors f (x) = 3

2x +o(x) ∼

x→+∞32

x.

i. Sous forme exponentielle,

un = en ln n ln

[ln(n+1)

lnn

]= ean

et an = n ln n ln[

1+ ln(1+1/n)ln n

]∼

n→+∞n ln nn ln n

= 1 d’où un −−−−−→n→+∞

1 et doncun ∼n→+∞

1.

j. Sous forme exponentielle :un = en ln

(tan

(π3 + 1

n

))= ean Utilisons ensuite la formule de trigonométrie :

tan(a +b)= tan a + tan b

1− tan a tanb

tan

(π

3+

1

n

)=

p3+ tan 1

n

1−p

3tan 1n

∼p

3

On n’a pas le droit de prendre l’exponentielle d’équivalents ! Formons toutefois le quotient :

θn = un

en lnp

3= e

n ln

1+ 1p3

tan 1n

1−p

3tan 1n

= ean

avec

an = n ln

(1+

(1p

3+p

3

)tan

1

n

)∼

(1p

3+p

3

)

doncθn → e1p3+p

3et donc

un ∼n→+∞

en ln

p3+(

p3+ 1p

3)= e( 4

p3

3 )(p

3)n

1201

Exercice 3.10Déterminer les limites :

a. f (x) =(tan πx

4

)tan πx2 lorsquex → 1.

b. f (x) = [ln(1+e−x )]1/x lorsquex →+∞.

c. f (x) = ln(cos3x)

sin2(x)lorsquex → 0.

d. f (x) =[

ln(1+ x)

ln x

]x ln x

lorsquex →+∞.

e. f (x) = xx − x

ln(1+p

x2 −1)lorsquex → 1+.

f. f (x) = 1

sh2 x− 1

ln2(1+ x)lorsquex → 0.

g. f (x) =1

2(1−p

x)−

1

3(1− 3p

x)lorsquex → 1.

Solution :

a. Par le changement de variablesh = x −1, on se ramène à chercher la limite lorsqueh → 0 de

g (h) = tan(π

4+ πh

4

)−1/tan(πh/2)

= exp

[− 1

tan πh2

ln

(1+ 2tanπh/4

1− tanπh/4

)]

et avec les équivalents usuels, on trouve que la limite vaut1/e.

b. Sous forme exponentielle,

f (x) = e1x ln(ln(1+e−x ))

Mais puisqueln(1+e−x ) ∼x→+∞

e−x , on peut écrireln(1+e−x ) = e−x ×θ(x) avecθ(x)−−−−−→x→+∞

1. Alors

1

xln

(ln(1+e−x )

)=−1+ ln(θ(x))

x−−−−−→x→+∞

−1

Finalement,f (x) −−−−−→x→+∞

1/e.

c. d(x) ∼x→0

x2 et n(x) = ln(1− (1−cos(3x))) ∼x→0

−9x2

2d’où finalementf (x) −−−→

x→0−9/4.

d. Sous forme exponentielle,f (x) = ex ln x ln

[1+

ln(1+1/x)

ln x

]

. Avec l’équivalent classique du logarithme,ln(1+1/x)

ln x∼

x→+∞1

x ln xd’où x ln x ln (1+ ln(1+1/x)/ ln x) −−−−−→

x→+∞1 et finalementf (x) −−−−−→

x→+∞e.

e. Avec le changement de variablesh = x −1, on se ramène à chercher la limite lorsqueh → 0+ de

g (h)= (1+h)1+h −1−h

ln(1+p

h(2+h))

Puisqued(h) ∼h→0

p2h, il suffit de faire un DL à l’ordre1 du numérateur :

n(h) = e(1+h)(h+o(h)) −1−h = o(h)

d’où f (x) −−−→x→1

0.

f. Réduisons au même dénominateurf (x) = ln2(1+ x)− sh2 x

sh2 x ln2(1+ x). d(x) ∼

x→0x4 et il suffira de faire un DL du numé-

rateur à un ordre inférieur à4 pour conclure. On trouve quen(x) ∼x→0

−x3 et donc quef (x) ∼x→0

−1/x d’où

f (x) −−−−→x→0+

−∞ et f (x) −−−−→x→0−

+∞.

g. Avec le changement de variablesh = x −1, on se ramène à chercher la limite lorsqueh → 0 de

g (h) = 3(1− 3p

1+h)−2(1−p

1+h)

6(1−p

1+h)(1− 3p

1+h)

Avec l’équivalent usuel(1+h)α −1 ∼h→0

αh, on trouve un équivalent du dénominateur :d(h) ∼h→0

h2. Il suffit de

faire un DL à l’ordre2 du numérateur :

n(h) = 3

[1−

(1+

h

3−

h2

9+o(h2)

)]−2

[1−

(1+

h

2−

h2

8+o(h2)

)]=

h2

12+o(h2)

Finalement,f (x) −−−→x→1

1

12.

1202

C.5 Étude de suites récurrentes, vitesse de convergence

C.5.1 Étude d’une suite récurrente

Dans ce paragraphe, nous allons voir quelques techniques pour étudier une suite définie par son premier termeu0 et unerelation de récurrence de la forme

∀n ∈N, un+1 = f (un )

Nous allons citer quelques résultats hors programme dans lebut de dégager quelques méthodes générales. Dans la pratiquedes exercices, n’utilisez pas ces théorèmes, mais rédigez des démonstrations (essentiellement des récurrences simples)pour retrouver ces résultats.Une procédure Maple permet de calculer len-ième terme d’une suite récurrente

MAPLE

terme := proc(f, u0, n)local u, i;u := u0;for i from 1 to n do

u := f(u) #u = u_iod;u; #u = u_n

end;

f := x -> x^2terme(f, 2, 3);

On peut également calculer la liste desn premiers termes de la suiteMAPLE

listetermes := proc(f, u0, n)local u, i, l;u := u0;l := [u0];for i from 1 to n do

u := f(u);l := [op(l), u];

od;l;

end;

DÉFINITION 3.2 Intervalle stableOn dit qu’un intervalleI eststablepar la fonctionf lorsquef (I)⊂ I, c’est-à-dire∀x ∈ I, f (x) ∈ I.

PROPOSITION3.2 La suite récurrente reste dans un intervalle stableSi I est un intervalle stable par la fonctionf et siu0 ∈ I, alors∀n ∈N, un ∈ I.

Preuve Par récurrence surn. Pourn = 0, on a supposé queu0 ∈ I. Supposons la propriété au rangn, un ∈ I. Puisqueun+1 = f (un )

et queI est stable parf , f (un ) ∈ I.

Le résultat suivant est fondamental car il permet de trouverles limites éventuelles d’une suite récurrente.

PROPOSITION3.3 ♥ Limites possibles de(un )

Si la suite(un ) converge vers une limite finiel , et si la fonctionf estcontinueau pointl , alorsl est unpoint fixede lafonction f : f (l) = l .

Preuve Si (un ) converge versl , alors la suite extraite(un+1) converge vers la même limitel . De plus, d’après le théorème 11.22page 421, comme la fonctionf est continue au pointl , la suite

(f (un )

)converge versf (l ). Par unicité de la limite, on doit avoir

l = f (l ).

Les deux résultats précédents montrent qu’il est importantd’étudier les intervalles stables par la fonctionf et les pointsfixes def . Un point fixe d’une fonction se lit facilement sur un dessin :il correspond à l’intersection du graphe def avecla première bissectrice. Lors de l’étude d’une suite récurrente, on commencera donc par représenter sur le même dessinle graphe de la fonction et la première bissectrice. On peut ainsi deviner le comportement de la suite(un ) en représentantles premiers termes de la suite par « ricochets »sur la première bissectrice.

1203

1

1

u0 u1 u2 u3 u4 u5u6u7u8u9u10

Multimédia : Animation pour représenter l’évolution d’une suite récurrente avec desricochets sur la première bissectrice

Le dessin permet également de visualiser les intervalles stables intéressants, en général limités par les points fixes de lafonction.

L’étude générale d’une suite récurrente peut être très compliquée, et une suite récurrente aussi simple queu0 ∈ [0,1],∀n ∈N, un+1 =λ un (1−un ) est un sujet de recherche récent ! Nous allons étudier uniquement le cas le plus simple où lafonction f estmonotonesur un intervalle stableI.

PROPOSITION3.4 Cas où f est croissante sur un intervalle stableOn suppose que la fonctionf estcontinueetcroissantesur un intervalleI stableet queu0 ∈ I.

1. Siu0 É f (u0), la suite(un ) est croissante.

2. Siu0 Ê f (u0), la suite(un ) est décroissante.

Preuve On a déjà montré que∀n ∈ N, un ∈ I. Supposons par exemple queu0 É f (u0). Montrons par récurrence que∀n ∈ N,un É un+1. La propriété est vraie pourn = 0 par hypothèse. Supposons-la vraie au rangn : un É un+1. Puisquef est croissantesurI, f (un ) É f (un+1) c’est-à-direun+1 É un+2.

Remarque 3.9 Si de plus l’intervalleI est borné, alors la suite(un ) converge en vertu du théorème de la limite monotoneet sa limite ne peut être qu’un point fixe def . Cela nous suffit en général pour conclure.

Exemple 3.50Étudions la suite définie par

{u0 Ê 0

∀n ∈N, un+1 =p

4+3un

Introduisons la fonctionf :

{[0,+∞[ −→ [0,+∞[

x 7−→p

4+3x. Elle est continue sur[0,+∞[ et un point fixel Ê 0 de f vérifie

l 2 = 4+3l , c’est-à-direl = 4.

1204

lu0 u1 u2u3

On justifie ce que l’on voit sur le dessin en appliquant le théorème précédent. Les intervallesI1 = [0,4] et I2 = [4,+∞[

sont stables par la fonction continuef .– Siu0 ∈ [0,4], puisqueu0 É f (u0), la suite(un ) est croissante. Puisqu’elle est majorée par4, elle converge et ce ne peut

être que vers l’unique point fixe def doncun −−−−−→n→+∞

4.

– Si u0 ∈ [4,+∞[, puisqueu0 Ê f (u0), la suite(un ) est décroissante. Comme elle est minorée par4, elle converge et cene peut être que vers l’unique point fixe def doncun −−−−−→

n→+∞4.

Nous avons donc montré que∀u0 Ê 0, un −−−−−→n→+∞

4.

Remarque 3.10 Dans l’étude d’une suite récurrente, il est intéressant d’étudier le signe de la fonction définie parg (x) = f (x)− x qui donne la position du graphe def par rapport à la première bissectrice et qui permet de connaître lesigne def (u0)−u0.

PROPOSITION3.5 Cas d’une fonction décroissante sur un intervalle stableOn suppose que la fonctionf est continue etdécroissantesur un intervalleI stableet queu0 ∈ I. Alors les deux suitesextraites(u2n) et (u2n+1) sont monotones de sens contraire.

Preuve Notons(vn) = (u2n ) et (wn) = (u2n+1). On calcule

vn+1 = u2n+2 = f (u2n+1) = f ◦ f (u2n) = f ◦ f (vn)

et de mêmewn+1 = f ◦ f (wn). Les deux suites vérifient la même relation de récurrence associée à la fonctiong = f ◦ f . Puisque lafonction f est décroissante surI, la fonctiong est croissante surI et les deux suites(vn ) et (wn ) sont monotones. Siu0 É f ◦ f (u0),alors u1 Ê f ◦ f (u1) et d’après la proposition 3.4, la suite(vn) est croissante et la suite(wn ) est décroissante. Si par contreu0 Ê f ◦ f (u0), alorsu1 É f ◦ f (u1) donc(vn ) est décroissante et(wn) est croissante.

u uu uu uuuuuu

1205

Remarque 3.11 La preuve précédente montre qu’il peut être intéressant d’étudier le signe de la fonction définie parθ(x) = f ◦ f (x)− x.

Exemple 3.51Étudions la suite définie par

{u0 ∈ [0,1]

∀n ∈N, un+1 = 1−u2n

Introduisons la fonctionf :

{[0,1] −→ [0,1]

x 7−→ 1− x2 . On vérifie facilement que l’intervalleI = [0,1] est stable parf donc

que∀n ∈N, un ∈ [0,1]. La fonctionf est décroissante surI et admet un unique point fixel ∈ [0,1] vérifiantl 2 + l −1 = 0

c’est-à-direl = (p

5−1)/2. On calculeg (x) = f ◦ f (x) = 1− (1−x2)2 puisg (x)−x = x(1−x)(x2 +x−1). Les points fixesdeg dans[0,1] sont donc0, l et 1. En utilisant le théorème précédent,– Si 0 É u0 < l , puisqueg (u0) Ê u0, la suite(u2n ) est décroissante et la suite(u2n+1) est croissante. Puisque(u2n) est

décroissante minorée par0, elle converge d’après le théorème de la limite monotone et ce ne peut être que vers unpoint fixe x deg . Par passage à la limite dans l’inégalitéu2n É u0, on obtient quex É u0 < l d’où la seule possibilitéx = 0. Nous avons donc montré queu2n −−−−−→

n→+∞0. Le même raisonnement montre queu2n+1 −−−−−→

n→+∞1 et la suite(un)

est donc divergente.– Si l < u0 É 1, commeg (u0) É u0, la suite(u2n ) est croissante et la suite(u2n+1) décroissante. Elles convergent toutes

les deux versl ce qui montre en vertu du théorème 10.24 page 359 queun −−−−−→n→+∞

l .

C.5.2 Vitesse de convergence d’une suite

On s’intéresse dans ce paragraphe à la vitesse de convergence d’une suite vers sa limite. Votre calculatrice sait fairedes opérations simples comme l’addition, la multiplication et la division de nombres décimaux. Lorsque vous tapez2

suivi de la touche « racine », votre calculatrice utilise unalgorithmequi calcule une valeur décimale approchée dep

2 enn’effectuant que des additions, multiplications et divisions.Certaines suites convergent vers

pa très lentement et demandent un grand nombre de termes pour obtenir une approxi-

mation satisfaisante alors que d’autres convergent très rapidement et il suffit de calculer quelques termes pour obtenir uneprécision à neuf chiffres.Considérons une suite(un) qui converge vers une limite finiel . Nous noterons

εn = |un − l |

l’erreur commise en approximant la limitel par len-ième terme de notre suite. La vitesse de convergence de la suite(un ) vers sa limite est la vitesse de convergence de la suite d’erreurs(εn) vers0. Nous voulons connaître le nombren determes à calculer pour que cette précision soit inférieure àune valeurε = 10−p donnée. Pour fixer les idées, supposonsque notre suite soit une suite récurrente et qu’à chaque terme le calcul def (x) prenne10−6 secondes à notre calculatrice.Nous noteronsT le temps total de calcul pour aboutir à une précision de10−10.– Si εn = 1/n, pour queεn É 10−p , il faut prendren = 10p . Il faut calculer1010 termes de notre suite ce qui nécessite un

temps de calculT = 104 secondes ou environ3 heures . . .– Si εn = 1/n2, n vaut10p/2 et T = 10−1 : un dixième de seconde.– Si εn = 1/10n , n = p et T = 10−5 secondes.On utilise le vocabulaire suivant pour classifier les vitesses de convergences :

– Siεn+1

εn−−−−−→n→+∞

1, (par exemple siεn = 1/nα), on parle deconvergence lente.

– Siεn+1

εn−−−−−→n→+∞

k ∈]0,1[ (par exemple siεn = kn), on parle deconvergence géométrique.

– Siεn+1

εn−−−−−→n→+∞

0, (par exemple siεn = 1/n!), on parle deconvergence rapide.

Exemple 3.52Étudions un premier algorithme de calcul de la racine carréed’un nombrea > 1 basé sur la suite récurrente

u0 = 1

∀n ∈N, un+1 =un +a

un +1

1206

1p

a a

1

a

Pour calculer les termes successifs de cette suite, nous effectuons uniquement des additions et des divisions. Définissons

la fonction associée :f :

{[0,+∞] −→ R

x 7−→x +a

x +1

. C’est une homographie de dérivéef ′(x) =1−a

(x +1)2< 0 et on vérifie

facilement en étudiant les variations def que l’intervalleI = [1, a] est stable. On calculef (x)− x = (p

a − x)(p

a + x)

x +1et on voit que la fonctionf admet un unique point fixel =

pa dans l’intervalleI. En utilisant le théorème 3.5 page

1205, on vérifie que la suite(u2n ) est croissante, que la suite(u2n+1) est décroissante et qu’elles convergent toutes lesdeux vers

pa ce qui montre queun −−−−−→

n→+∞p

a. Étudions la vitesse de convergence de cette suite. Définissons la suite

εn = un −p

a. On obtient une relation de récurrence simple :

εn+1 =un +a

un +1−p

a = un +a −p

a(un +1)

un +1= 1−

pa

un +1εn

Puisqueun −−−−−→n→+∞

pa, on en déduit que

∣∣∣∣εn+1

εn

∣∣∣∣−−−−−→n→+∞

pa −1

pa +1

= k < 1

La convergence de cette suite est donc géométrique.

Il existe une classe importante de suites récurrentes définies à l’aide d’une fonctionf contractante. La convergence d’unetelle suite est assurée par le théorème suivant que vous étudierez dans un cadre plus général en deuxième année.

THÉORÈME 3.6 Point fixe en dimension unSoit f : [a,b] 7→ [a,b] une fonctioncontractante, c’est-à-dire une fonctionk-lipschitzienne de rapportk ∈ [0,1[ :

∀(x, y) ∈ I,∣∣ f (x)− f (y)

∣∣É k|x − y |

1. La fonctionf possède un unique point fixel ∈ [a,b].

2. Pour toutu0 ∈ I, la suite récurrenteun+1 = f (un ) converge vers ce point fixe.

3. La convergence est géométrique :|un − l | É Ckn où C est une constante.

Preuve Remarquons que la fonctionf est continue sur l’intervalle stableI = [a,b] puisqu’elle est lipschitzienne. Définissonsla fonction g par g (x) = f (x)− x. Puisquef (a) Ê a, g (a) Ê 0 et puisquef (b) É b, g (b) É 0. D’après le théorème des valeursintermédiaires, il existel ∈ [a,b] tel queg (l ) = 0, c’est-à-diref (l ) = l . Montrons l’unicité d’un point fixe def . Supposons quel , l ′ ∈ [a,b] vérifient f (l ) = l et f (l ′) = l ′. En majorant la différence en valeur absolue, on obtient|l − l ′| = | f (l )− f (l ′)| É k|l − l ′|d’où (1−k)|l − l ′| É 0 et puisque1−k > 0, il vient quel = l ′. En utilisant quel est un point fixe, majorons

|un+1 − l | =∣∣ f (un )− f (l )

∣∣É k|un − l |

Une récurrence simple montre qu’alors, pour toutn ∈N, |un − l | É |u0 − l |kn .

Remarque 3.12 On vérifie en pratique qu’une fonction est contractante en calculant sa dérivée et en montrant quesup| f ′| É k < 1. Si f : R 7→ R est une fonction contractante, on peut montrer en utilisantles outils de math. sup. qu’elleadmet un segmentI = [−a, a] stable puis appliquer le théorème précédent. Puisquef est k-lipschitzienne, grâce à laminoration de l’inégalité triangulaire, pourx ∈R,

| f (x)|− | f (0)| É | f (x)− f (0)| É k|x|

1207

et donc| f (x)| É | f (0)| +k|x|. Le graphe de la fonctionf est situé dans la région délimitée par les courbes d’équationy = | f (0)| +k|x| et y = −| f (0)| −k|x|. La première bissectrice coupe ces courbes ena et −a où a = | f (0)|/(1−k). Onvérifie facilement que le segment[−a, a] est stable parf et d’après le théorème précédent, la fonctionf admet un uniquepoint fixel ∈R situé dans le segment[−a, a].

−a a

y = | f (0)|+k|x|

Exemple 3.53 Étudions une autre suite récurrente qui permet également decalculer une valeur décimale approchée depa :

u0 = a

∀n ∈N, un+1 =1

2

(un + a

un

)

Remarquons que le calcul deun ne fait intervenir ici aussi que des additions et des divisions. Introduisons la fonction

f :

{]0,+∞[ −→ R

x 7−→ 1

2

(x + a

x

) . On calculef ′(x) =x2 −a2

2x2et f (x)−x =

a − x2

2x. On en déduit quef possède un unique

point fixel =p

a ainsi que la position de la courbe représentative def par rapport à la première bissectrice.– Si 0 < u0 É

pa, alorsu1 Ê

pa et on se ramène au cas suivant.

– Si u0 Êp

a, comme l’intervalle[p

a,+∞[ est stable parf , et quef est croissante sur cet intervalle avecf (x) É x, onvérifie que la suite(un) est décroissante, minorée par

pa. Elle converge donc vers

pa.

Considérons désormais l’erreur commise en approximantp

a parun : εn = un −p

a. On obtient facilement une relationde récurrence liantεn+1 à εn .

εn+1 = un+1 −p

a =u2

n −2p

aun +a

2un= (un −

pa)2

2un=

ε2n

2un

Puisque∀n Ê 1, un Ê u1, on en déduit que0 É εn+1 É Cε2

n

où C = 1/(2u1). Lorsque la suite d’erreurs vérifie une telle relation, on dit que la convergence estquadratique. Pourcomprendre la signification pratique d’une telle convergence, regardons le cas d’une suite d’erreurs(en) vérifianten+1 Ée2

n . Si un est une valeur approchée de sa limite à10−p près, (en É 10−p ), alors commeen+1 É e2n , le terme suivant

un+1 sera une valeur approchée à10−2p près. Le nombre de décimales communes entreun et sa limitedoubleà chaqueitération. On peut calculer la liste[ε0, . . . ,εn ] avec Maple (nous avons prisa = 2) :

MAPLE

liste_erreurs := proc(n)local u, l, rac2;rac2 := evalf(sqrt(2));u := 1.;l := [];for i from 1 to n do

l := [op(l), u - rac2];u := (u + 2/u) / 2;

od;l;

end;

Digits := 30; liste_erreurs(10);

On obtient la liste d’erreurs

[−0.41421,0.08578,0.00245,2.45×10−6 ,1.59×10−12 ,8.99×10−25 ,0,0,0,0]

On voit queu5 est déjà une approximation dep

2 avec24 décimales exactes. À partir deu6, l’erreur est inférieure à laprécision de30 décimales définie par la variableDigits .

1208

La suite précédente est un cas particulier de la méthode de Newton qui permet de trouver une valeur approchée du zérod’une fonction. Supposons quexn soit une première valeur approchée de l’unique zéroc de la fonctiong sur l’intervalleI.L’idée consiste à approximer le graphe deg par sa tangente au pointxn . L’intersection de cette tangente avec l’axe(Ox)

va fournir une meilleure valeur approchée dec :

xnxn+1

c

Si l’on suppose la fonctiong dérivable surI et queg ′ ne s’annule pas surI, l’équation de la tangente au point(xn , g (xn ))

s’écrit Y = g (xn )+ g ′(xn ) (X− xn ). On cherchexn+1 = X pour queY = 0 et on trouve

xn+1 = xn − g (xn)

g ′(xn )

Si l’on prend la fonctiong définie parg (x) = x2 − a qui s’annule en±p

a, on retrouve notre suite récurrentexn+1 =(xn +a/xn )/2.Multimédia : Une applet maple pour voir l’effet d’une conver gence quadratique, géométriquesur le nombre de décimales exactes

C.6 Fractions rationnelles, primitives

Dans ce paragraphe, nous allons voir des techniques pour calculer une primitive d’une fonction sur un intervalle. Il estindispensable de comprendre que l’on ne sait calculer une primitive que d’un nombre très restreint de types de fonctions.Il est donc primordial de reconnaître des classes de fonctions que l’on saura primitiver et de connaître les algorithmescorrespondants.La première classe intéressante de fonctions que l’on sait primitiver est formée des fractions rationnelles. L’algorithme estbasé sur leur décomposition en éléments simples. Nous commençons donc par étudier la pratique de cette décomposition.On obtient la décomposition d’une fraction rationnelle dansR (X) avec Maple en utilisant la commandeconvert :

MAPLE

> F := (X^5 + 1) / (X^3 - X)^2;5

X + 1F := ---------

3 2(X - X)

> convert(F, parfrac, X);1 1 1 1

1/2 -------- - 1/4 ----- + 5/4 ----- + ----2 X - 1 X + 1 2

(X - 1) X

On calcule une primitive avec Maple en utilisant la commandeint :MAPLE

f := x / (x^3+1);x

f := ------3

x + 1> int(f, x);

2- 1/3 ln(x + 1) + 1/6 ln(x - x + 1) +

1/3 sqrt(3) arctan(1/3 (2 x - 1) sqrt(3))

1209

C.6.1 Décomposition pratique dansC

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes :F =P

Qoù Q est un polynôme unitaire. DansC [X], tout

polynôme est scindé. Le polynômeQ peut donc s’écrireQ = (X − a1)α1 . . . (X − an)αn . La forme de la décomposition enéléments simples dansC s’écrit alors :

F= E+(

λ11

X−a1+ λ12

(X−a1)2+·· ·+

λ1α1

(X−a1)α1

)+·· ·+

+(

λn1

X−an+ λn2

(X−an)2+·· ·+

λnαn

(X−an )αn

)

où la partie entièreE ∈C [X] est un polynôme et où les coefficientsλi j ∈C sont complexes.

Calcul de la partie entière

1. Lorsquedeg(P) < deg(Q), E = 0. Lorsqued = deg(P)−deg(Q)Ê 0, E est un polynôme de degréd .

2. Lorsqued = 0, E est un polynôme constant qui s’obtient directement :E = ap où ap est le coefficient de plus hautdegré deP.

3. Lorsqued Ê 1, E est le quotient de la division euclidienne deP parQ.

Exemple 3.54F = X3 +1

x2 −3X+2= (X+3)+ 7X−5

X2 −3X+2

On se ramène alors à décomposerR

Qoù R est le reste de la division deP parQ (avec une partie entière nulle).

Calcul du coefficient associé à une pôle simple

Lorsqueαi = 1, on dit que le pôleai estsimple.

Exemple 3.557X−5

(X−1)(X−2)= λ

X−1+ µ

X−2

et on cherche les coefficientsλ et µ. Il suffit de multiplier la décomposition par(X − ai ) et de prendrex = ai dan lafraction restante :

7X−5

X−2=λ+µ

X−1

X−2

En prenantx = 1, on trouve que−2=λ. De même, en multipliant par(X−2) :

7X−5

X−1=λ

X−2

X−1+µ

et en prenantx = 2, on trouve que11 =µ. On écrit alors la décomposition complète :

X3 +1

(X−1)(X−2)= (X+3)+ −2

X−1+ 11

X−2

Calcul des coefficients associés à un pôle multiple

Il existe une méthode qui permet de calculer tous les coefficientsλi j (division selon les puissances croissantes d’unpolynôme), mais elle est hors programme et en pratique l’ordre des pôles est généralement inférieur à2. Nous préféronsvous montrer une technique plus utile.

Exemple 3.562 Décomposons la fraction

F= X3

(X−1)2(X−2)2= a

X−1+ b

(X−1)2+ c

(X−2)+ d

(X−2)2

1. Multiplions parX les deux membres :

X4

(X−1)2(X−2)2= a

X

X−1+b

X

(X−1)2+c

X

(X−2)+d

X

(X−2)2

En faisantx →+∞, on obtienttoujoursune relation intéressante. Ici,1 = a + c. Il suffit donc de trouver l’un desdeux coefficientsa et c et on connaît automatiquement l’autre.

1210

2. Les coefficientsb et d sont simples à déterminer. Il suffit de multiplier les deux membres par(X−1)2 :

X3

(X−2)2= a(X−1)+b +c

(X−1)2

(X−2)+d

(X−1)2

(X−2)2

En prenant ensuitex = 1, on tireb = 1. De la même façon, en multipliant par(X−2)2 puis en prenantx = 2, on tired = 8.

3. Il suffit enfin de prendre une valeur particulière pourx afin d’obtenir une nouvelle relation lianta et c. Ici, pourx = 0, on a

0 =−a +b −c/2+d/4 =−a −c/2+3

On a les deux relations {a +c = 1

2a +c = 6

et l’on tire a = 5, c =−4.

4. La décomposition s’écrit donc :

X4

(X−1)2(X−2)2=

5

X−1+

1

(X−1)2−

4

(X−2)+

8

(X−2)2

C.6.2 Décomposition pratique dansR

Considérons une fraction rationnelleF= P

Q∈R (X). La décomposition en facteurs irréductibles dansR [X] du dénominateur

s’écrit :Q = (X−a1)α1 . . . (X−an)αn (X2 +b1X+c1)β1 . . . (X2 +bp X+cp )αp

Alors la fractionF s’écrit de façon unique :

F= E+[( λ11

X−a1+ λ12

(X−a1)2+·· ·+

λ1α1

(X−a1)α1

)+ . . .

+(

λn1

X−an+ λn2

(X−an)2+·· ·+

λnαn

(X−an)αn

)]

+[( µ11X+δ11

X2 +b1X+c1+ µ12X+δ12

(X2 +b1X+c1)2+·· ·+

µ1β1X+δ1β1

(X2 +b1X+c1)β1

)+ . . .

+(

µp1X+δp1

X2 +bp X+cp+

µp2X+δp2

(X2 +bp X+cp )2+·· ·+

µpβpX+δpβp

(X2 +bp X+cp )βp

)]

où la partie entièreE ∈ R[X] est un polynôme nul ou de degréd = degP −degQ, et tous lesλi j , µi j , δi j sont des réels.Le premier groupe est forméd’éléments simples de première espèceet le second groupe d’éléments simples de secondeespèce.Nous allons voir sur des exemples simples comment calculer les coefficients de cette décomposition.

Exemple 3.571

F= 1

X3 +1

1. Commençons par factoriser dansR [X] le dénominateur :X3 +1= (X+1)(X2 −X+1). La décomposition dansR (X)

s’écrit donc1

(X+1)(X2 −X+1)= a

X+1+ bX+c

X2 −X+1

2. On calcule facilement le coefficient du pôle simple en multipliant par(X−1) et en prenantx = 1 : a = 1/3.

3. En multipliant parX et en faisant tendrex vers+∞, on trouve une relation entre coefficients :0 = a + b d’oùb =−1/3.

4. Il ne reste que le coefficientc à déterminer. En prenantx = 0, on a la relation1= a +c d’où c = 2/3.

5. La décomposition s’écrit donc :1

X3 +1=

1

3

(1

X+1−

X−2

X2 +X−1

)

1211

Exemple 3.58

F=1

X4 +1

Le polynômeQ = X4 +1 est bicarré. On obtient sa décomposition en suivant la technique du paragraphe B.4.4 :

X4 +1= (X2 +1)2 −2X2 = (X2 −p

2X+1)(X2 +p

2X+1)

La décomposition en éléments simples dansR (X) s’écrit :

1

X4 +1= aX+b

X2 −p

2X+1+ cX+d

X2 +p

X+1

Le plus rapide lorsqu’il n’y a pas de pôles simples consiste àréduire au même dénominateur :

1

X4 +1= [a +c]X3 + [

p2(a −c)+ (b +d)]X2 + [(a +c)+

p2(b −d)]X+ (b +d)

X4 +1

On obtient ainsi un système d’équations linéaires :

a +c = 0p2(a −c)+ (b +d) = 0

b −d = 0

b +d = 1

d’où b = d = 1/2, a =−1/2p

2 =−c

La décomposition s’écrit donc :1

X4 +1= 1

2p

2

(X2 +

p2

X2 +p

2X+1− X2 −

p2

X2 −p

2X+1

)

C.6.3 Primitives de fractions rationnelles

Rappelons qu’on dit qu’une fonctionF est une primitive d’une fonctionf sur un intervalleI lorsqueF est dérivable et queF′ = f . Toute fonctionf continue possède une primitive (théorème fondamental de l’analyse) et toutes les primitives def diffèrent d’une constante. Dans les calculs qui suivent, onne notera pas les constantes de primitivation. On ne définirapas non plus les intervalles sur lesquels on cherche les primitives (ils sont définis à partir des pôles de la fraction). Nepasconfondre primitive

∫f (x) dx (une fonction) avec une intégrale définie

∫ba f (x) dx (un réel). Les méthodes que nous allons

voir s’appliquent également au calcul d’intégrales : il suffit de ne pas oublier de modifier les bornes lors d’un changementde variables.

On veut calculer une primitive d’une fraction rationnelleF(x) =∫

P(x)

Q(x)dx. On commence par décomposer la fraction en

éléments simples dansR (X) et on doit alors primitiver des éléments simples de premièreespèce et de deuxième espèce.

Primitives des éléments simples de première espèce

On connaît une primitive surI1 =]−∞, a[ ou I2 =]a,+∞[ de :

♥ 3.12 F(x) =∫

dx

(x −a)k=

− 1

k −1

1

(x −a)k−1si k 6= 1

ln|x −a| si k = 1

Remarque 3.13 Ces primitives se rencontrent très souvent en pratique. Il suffit de retenir que pourα ∈ R, α 6= −1 (ledénominateur ne doit pas s’annuler) :

♥ 3.13∫

(x −a)α dx =1

α+1(x −a)α+1

et d’écrire ∫dx

(x −a)k=

∫(x −a)−k dx = 1

−k +1(x −a)−k+1 = −1

k −1

1

(x −a)k−1

Primitive des éléments simples de seconde espèce

Il est bon de connaître par coeur deux primitives fondamentales que l’on rencontre souvent dans les calculs :

1212

♥ 3.14

∫dx

x2 +a2= 1

aarctan

( x

a

)

∫dx

x2 −a2= 1

2aln

∣∣∣ x −a

x +a

∣∣∣

Pour primitiver un élément simple de seconde espèce

F(x) =∫

ax +b

(x2 +px +q)kdx

on procèdedans l’ordre suivant:

1. Éliminer x du numérateur :

F(x) = a

2

(∫2x +p

(x2 +px +q)kdx +

∫2b/a −p

(x2 +px +a)kdx

)= a

2

∫u′(x)

uk (x)dx +C

∫dx

(x2 +px +q)k

On sait primitiver :∫

u′(x)

uk (x)dx =

−

1

(k −1)uk−1(x)pourk Ê 2

ln|u(x)| pourk = 1

On se ramène donc à trouver une primitiveG(x) =∫

dx

(x2 +px +q)k.

2. Mettre le trinôme sous forme canonique : on écrit

x2 +px +q = (x +p/2)2 + (q −p2/4) = (x −α)2 +a2

où a =√

4q −p2/2 (∆ = p2 −4q < 0 puisque le trinôme est irréductible). On effectue ensuite le changement devariablesy = x +p/2 et on se ramène à primitiver

Gk (y)=∫

dy

(y2 +a2)k

Lorsquek = 1, G1(y)=1

aarctan

y

aet pourk Ê 2,

3. Intégrer par parties Gk−1(y) :

Gk−1(y)=∫

dy

(y2 +a2)k−1

= y

(y2 +a2)+2(k −1)

∫y2 +a2 −a2

(y2 +a2)kdy

= y

(y2 +a2)k−1+2(k −1)

[Gk−1(y)−a2Gk (y)

]

On exprime alorsGk (y) en fonction deGk−1(y) et en itérant, en fonction deG1(y) que l’on sait calculer.

Exemple 3.591 CalculonsF(x) =∫

dx

x3 +1. On a décomposé la fraction en éléments simples dans l’exemple 3.57

page 1211 :3F(x) =∫

dx

x +1−

∫x −2

x2 − x +1dx = ln|x +1|−G(x). On écrit alors

G(x) =1

2

∫2x +1−3

x2 + x −1dx =

1

2ln(x2 − x +1)−

3

2H(x)

avecH(x) =∫

dx

(x −1/2)2 +3/4. Avec le changement de variablesy = (x − 1/2), on calculeK(y) =

∫dy

y2 +(p

32

)2=

2p

3arctan

2yp

3et doncH(x) = 2

p3

arctan

(2x +1p

3

)et finalement,

F(x) = 1

3ln|x +1|− 1

6ln(x2 − x +1)+ 1

p3

arctan

(2x +1p

3

)

1213

Exemple 3.60CalculonsF(x) =∫

x +1

(x2 + x +1)2dx.

F(x) = 1

2

∫2x +1

(x2 + x +1)2+ 1

2

∫dx

[(x +1/2)2 +3/4]2︸ ︷︷ ︸

G(x)

Avec le changement de variablesy = x +1/2 et en posanta =p

3/2, on est amené à calculerH2(y) = dy

(y2 +a2)2. En

intégrant par parties

H1(y) =∫

dy

y2 +a2= y

y2 +a2+2

∫y2 +a2 −a2

(y2 +a2)2= y

y2 +a2+2H1(y)−2a2H2(y)

on trouve queH2(y)= 1

2a2

[y

y2 +a2+ 1

aarctan

( y

a

)]d’où G(x) = 2x +1

3(x2 + x +1)+ 4

3p

3arctan

2x +1p

3et finalement

F(x) = x −1

3(x2 + x +1)+ 2

3p

3arctan

(2x +1p

3

)

C.6.4 Primitives∫

F(cos x, sin x) dx, règles de Bioche

On sait en théorie primitiver des fonctions définies parf (x) = P(sin x,cos x)

Q(sin x,cos x)où P(X,Y) et Q(X,Y) sont des polynômes en

deux variables (sommes-produits deX et Y). Par exemple :

–∫

sin3 x +cos x

sin x +cos2 xdx où F(X,Y) = X3 +Y

X+Y2

–∫

tan x

1+ tan3 xdx où F(X,Y) = X/Y

1+X3/Y3= XY2

X3 +Y3

On définitl’élément différentielω(x) = F(sin x,cos x) dx et on regarde s’il est invariant par l’un des trois changements de

variablesx 7→ −x, x 7→π− x, x 7→ π+ x. Par exemple, pour calculer∫

sin x cos x

sin3 x +cos3 xdx,

ω(x) = sin x cos x

sin3 x +cos3 xdx

– ω(−x) =(−sin x)(cos x)

−sin3 x +cos3 x(− dx) =

sin x cos x

−sin3 x +cos3 x6=ω(x)

– ω(π− x) = (sin x)(−cos x)

sin3 x −cos3 x(− dx) 6=ω(x)

– ω(π+ x) = (−sin x)(−cos x)

−sin3 x −cos3 xdx =−ω(x)

L’élément différentiel n’est invariant par aucun des changements de variables.

Pour∫

sin x cos x

sin4 x +cos4 xdx,

– ω(−x) =ω(x)

– ω(π− x) =ω(x)

– ω(π+ x) =ω(x)

L’élément différentiel est invariant par chaque changement de variables.Les règles de Bioche (hors programme) suggèrent un changement de variables intéressant qui ramène le calcul à uneprimitive d’une fraction rationnelle :

1. Siω(−x) =ω(x), faire le changement de variablest = cos(x).

2. Siω(π− x) =ω(x), faire le changement de variablest = sin(x).

3. Siω(π+ x) =ω(x), faire le changement de variablest = tan x.

4. Siω(x) n’est invariant par aucune des trois transformations, faire le changement de variablest = tan( x2 ).

Remarque 3.14 Ces règles sont faciles à mémoriser : parmi les trois fonctionssin,cos,tan, cos est la seule invarianteparx 7→ −x, sin est la seule invariante parx 7→ π− x et tan est la seule invariante parx 7→ π+ x.

1214

Exemple 3.61

F(x) =∫

sin x

sin2 x +1dx

On voit queω(−x) =ω(x). Comprenons pourquoi le changement de variablest = cos x va fonctionner :dt =−sin x dx

d’où F(x) =−∫

(−sin x dx)

1+ (1−cos2 x)et on se ramène à calculer la primitive de la fraction rationnelle :

G(t)=∫

dt

t 2 −2= 1

p2

ln

∣∣∣∣t −2

t +2

∣∣∣∣

d’où finalement

F(x) =1p

2ln

2−cos x

2+cos x

Exemple 3.62

F(x) =∫

tan x dx

1. ω(−x) =ω(x), on peut donc effectuer le changement de variablest = cos(x), dt =−sin(x) dx :

F(x) =−∫

(−sin x dx)

cos x

G(t) =−∫

dt

t=− ln|t |

d’où F(x) =− ln|cos x|.2. ω(π− x) =ω(x), on peut effectuer le changement de variablest = sin(x), dt = cos(x) dx :

F(x) =∫

sin x

cos2 x(cos x dx) =

∫sin x

1− sin2 x(cos x dx)

G(t) =∫

t

1− t 2dt =−1

2

∫2t

t 2 −1dt =−1

2ln|t 2 −1|

d’où F(x) =−1

2ln|1− sin2 x| = − ln|cos x|.

3. ω(π+x) =ω(x), on peut effectuer le changement de variablest = tan x, dt = (1+ tan2 x) dx = dx

cos2 x. En utilisant

la relation1+ tan2 x =1

cos2 x:

F(x) =∫

tan x cos2 xdx

cos2 x=

∫tan x

1+ tan2 x

dx

cos2 x

G(t)=∫

t

1+ t 2dt = 1

2ln(t 2 +1)

d’où

F(x) = 1

2ln(1+ tan2 x) = 1

2ln

1

cos2 x=− ln|cos x|

.

Exemple 3.63

F(x) =∫

dx

2+cos x

ω(x) n’est invariant par aucune des trois transformations. On utilise le changement de variables généralt = tan x2 :

♥ 3.15

sin(x) = 2t

1+ t 2

cos(x) = 1− t 2

1+ t 2

tan(x) = 2t

1− t 2

dx = 2 dt

1+ t 2

1215

G(t) =∫

1

2+ 1−t 2

1+t 2

2 dt

1+ t 2=

∫2 dt

t 2 +3= 2

p3

arctan

(tp

3

)

d’où F(x) = 2p

3arctan

(1p

3tan x

2

).

Remarque 3.15 En toute rigueur, les changements de variables de cette section ne sont valables que sur certains inter-

valles. Par exemple dans le dernier calcul, la fonctionx 7→ 1

2+cos(x)est continue surR et admet donc une primitive sur

R. Mais le changement de variablest = tan(x/2) n’est défini que sur les intervallesJk =](2k−1)π, (2k+1)π[. La primitiveque nous avons obtenue n’est pas définie pourx = (2k +1)π. On s’aperçoit tout de même queF(x) −−−−−−−−→

x→(2k+1)π±π/

p3

et on peut donc « recoller »les différentes primitives en ajustant les constantes d’intégration pour obtenir une fonctioncontinue surR. Il suffit ensuite de vérifier que la fonction obtenue est dérivable en chacun des points(2k +1)π et que sadérivée coïncide avec la valeur def en ces points. . .

On rencontre souvent dans les calculs les primitives de Wallis :

Wk (x) =∫

sink x dx

1. Lorsquek est impair,W2p+1(x) =∫

(1−cos2 x)p x sin x dx. Par le changement de variablesy = cos x, on se ramène

à primitiver un polynôme−∫

(1− y2)p dy .

2. Lorsquek est pair et petit, on peut linéarisersin2p x. Par exemple,

W2(x) =∫

1−cos(2x)

2dx = x

2− cos(2x)

4

3. Lorsquek est pair et supérieur à4, utiliser une intégration par parties pour trouver une relation de récurrence :

W2p+2(x) =∫

sin2p+1 x sin x dx

=−sin2p+1 x cos x + (2p +1)

∫sin2p x(1− sin2 x) dx

=−sin2p+1 x cos x + (2p +1)[W2p (x)−W2p+2(x)]

On exprimeW2p+2(x) en fonction deW2p (x) et on itère cette relation pour exprimerW2p (x) en fonction deW0(x) =x.

C.6.5 Primitives∫

F(sh x,ch x) dx

Puisquesh(x) =ex −e−x

2et ch(x) =

ex +e−x

2, on peut utiliser le changement de variablesy = ex qui conduit à une

primitive de fraction rationnelle eny . On peut également utiliser les règles de Bioche. On remplace dansω(x), sh(x) parsin(x) et ch(x) parcos(x). Si les règles de Bioche indiquent le changement de variables y = cos(x) (resp.sin(x), tan x),on utilise le changement de variablesy = ch(x) (resp.sh(x), th(x)).

Exemple 3.64CalculerF(x) =∫

sh3 x

ch x(2+ sh2 x)dx. On notantω(x) = sin3 x

cos x(2+ sin2 x), ω(−x) =ω(x), ω(π− x) =ω(x)

etω(π+ x) =ω(x). On peut utiliser plusieurs changements de variables :

1. t = sh x donneG(t) =∫

t 3

(1+ t 2)(2+ t 2)dt .

2. t = ch x donneG(t)=∫

t 2 −1

t(1+ t 2)dt .

3. t = th x donneG(t) = t 3

2− t 2dt .

4. t = ex donneG(t)=∫

(t 2 −1)3

t(t 2 +1)(t 4 +6t 2 +1)dt .

1216

Les fractions rationnelles à primitiver ne sont pas toutes agréables ! Le mieux ici est d’utiliser le changement de variablest = th x pour calculer

G(t) =− t 2

2− ln|t 2 −2|

puis

F(x) =− th2(x)

2− ln(2− th2 x)+C

C.6.6 Primitives avec des racines

Deux types de primitives avec radicaux sont à connaître :

Primitives∫

F(x, ) dx

Ce sont des primitives de fractions rationnelles enx et en une racine nième d’une homographie. Dans la notation précé-dente,F(X,Y) est une fraction rationnelle. Par exemple :

–∫ p

x +1+ x

x2 + xp

x +1dx où F(X,Y) = X+Y

X2 +XY

–∫

x

x2 +1

3

√2x +1

x +2dx où F(X,Y) = X

X2 +1Y.

Pour calculer ces primitives, on effectue le changement de variablesy = n

√ax +b

cx +d, x =−

d yn −b

c yn −a, dx =

ad −bc

(c yn −a)2nyn−1 dy

et on se ramène au calcul d’une primitive de fraction rationnelle.

Exemple 3.65CalculerF(x) =∫√

1+ x

1− x

dx

xsur l’intervalleI =]0,1[. On effectue le changement de variables

y =√

1+ x

1− x, x = y2 −1

y2 +1dx = 4y

(y2 +1)2

et on se ramène à calculer la primitive

G(y) = 4

∫y2

(y2 −1)(y2 +1)dy

La décomposition de la fraction rationnelle s’écrit

X2

(X2 −1)(X2 +1)= 1/4

X−1− 1/4

X+1+ 1/2

X2 +1

et on trouve queG(y)= ln

∣∣∣∣y −1

y +1

∣∣∣∣+2arctan y . Après simplifications :

F(x) = ln

∣∣∣∣∣

p1+ x −

p1− x

p1+ x +

p1− x

∣∣∣∣∣+2arctan

√1+ x

1− x

On peut utiliser ensuite les quantités conjuguées pour écrire

F(x) = lnx

1+p

1− x2+arctan

√1+ x

1− x

Exemple 3.66Calculer une primitiveF(x) =∫

dxp

x + 3p

xsur l’intervalleI =]0,+∞[.

On reconnaît une primitive de notre type avec ici6p

x qui est une racine sixième d’une homographie etF(X,Y) =1

Y3 +Y2.

Avec le changement de variablesy = 6p

x, x = y6, dx = 6y5 dy , on se ramène à calculer

G(y) = 6y3

1+ ydy

1217

et en effectuant la division euclidienne deX3 par(X+1) :

y3

1+ y= y2 − y +1− 1

1+ y

on calculeG(y) = 2y3 −3y2 +6y −6ln|y +1|

d’où finalementF(x) = 2

px −3 3

px +6 6

px −6ln(1+ 6

px)

Primitives∫

dx

Ce sont des primitives de fractions rationnelles enx et en uneracine carréed’un trinôme. Par exemple, on sait calculer :

–∫

x +p

x2 + x +1

x2 +p

x2 + x +1dx avecF(X,Y) = X+Y

X2 +Y,

–∫

x4 +1

x(x2 +1)3/2dx avecF(X,Y) =

X4 +1

X(X2 +1)Y.

Il est bon de connaître par coeur les primitives fondamentales (a > 0) :

♥ 3.16

∫dx

pa2 − x2

= arcsin( x

a

)(I =]−a, a[)

∫dx

px2 +a2

= argsh( x

a

)(I=R)

∫dx

px2 −a2

= argch( x

a

)(I =]a,+∞[)

Si le trinôme possède deux racines réellesα < β et on veut calculer par exemple une primitive surI =]α,β[, F(x) =∫F(x,

√(x −α)(β− x)) dx le plus rapide consiste à se ramener à une racine d’une homographie en factorisant(x −α) :

Exemple 3.67 CalculonsF(x) =∫√

x(1− x) dx sur I =]0,1[. En écrivantF(x) =∫

x

√1− x

xdx, on se ramène à une

primitive du paragraphe précédent. Le changement de variablesy =p

(1− x)/x, x = 1/(y2 +1) mène au calcul de

G(y) =−2

∫y2

(y2 +1)3dy = y

2(y2 +1)2− y

4(y2 +1)− 1

4arctan y

On trouve finalement

F(x) =2x −1

4

√x(1− x)−

1

4arctan

√1− x

x

Dans l’algorithme général de calcul de ces primitives, on commence par réduire le trinôme sous forme canonique. Par unpremier changement de variables affiney = (x −a)/b, on se ramène à calculer une primitive de la forme :

1.∫

F(y,

√1− y2) dy : on effectue alors le changement de variablesy = sinθ (ou y = cos(θ)). Avec la formule de

trigonométriesin2θ+ cos2θ = 1,√

1− sin2θ = |cosθ| et on se ramène à une primitive de type∫

F(cosθ,sinθ) dθ

que l’on sait calculer.

2.∫

F(y,

√1+ y2) dy : on effectue le changement de variablesy = shθ. Avec la formule de trigonométriech2 θ−

sh2θ= 1, on élimine la racine :√

1+ sh2θ= chθ et on se ramène à une primitive du type∫

F(shθ,chθ) dθ que l’on

sait calculer.

3.∫

F(y,

√y2 −1) dy : on effectue le changement de variablesy = chθ car

√ch2θ−1 = |shθ| et on se ramène à une

primitive de type∫

F(shθ,chθ) dθ.

Exemple 3.68CalculerF(x) =∫√

x2 + x +1 dx. On réduit le trinôme à l’intérieur de la racine :

√x2 + x +1 =

√(x +1/2)2 +3/4 =

p3

2

√[2x +1p

3

]2

+1

1218

et par le premier changement de variablesy = (2x +1)/p

3, on se ramène au calcul deG(y) = 3

4

∫√y2 +1 dy . Ensuite,

avec la changement de variablesy = shθ, dy = chθdθ, on se ramène à

H(θ)= 3

4

∫ch2θ dθ

Il suffit de linéariserch2θ= ch(2θ)+1

2pour calculer

H(θ)= 3

16sh(2θ)+ 3

8θ

G(y) =3

8

(y

√1+ y2 +argsh(y)

)

F(x) = (2x +1)p

x2 + x +1

4+ ln(2x +1+2

√x2 + x +1)

Remarque 3.16 Les primitives∫p

x2 +a2 dx,∫p

x2 −a2 dx,∫p

a2 − x2 dx se calculent plus rapidement en intégrantpar parties. Par exemple :

F(x) =∫√

x2 +1 dx = x√

x2 +1−∫

x2 +1−1p

x2 +1dx

d’où l’on tire

F(x) = xp

x2 +1

2+ 1

2argsh(x) = x

px2 +1

2+ 1

2ln(x +

√x2 +1)

C.6.7∫

Lorsque la primitive à calculer s’écrit sous la forme∫

f (xα)dx

x, on peut utiliser le changement de variablesy = xα. En

effet,dy

y= α

dx

x

et on se ramène à calculer la primitive∫

f (y)dy

yqui est plus simple.

Exemple 3.69Pour calculerF(x) =∫

x3

(x2 +1)2dx, il suffit d’écrire

F(x) =∫

x4

(x2 +1)2

dx

x

et de faire le changement de variablesy = x2,dy

y= 2

dx

xpour se ramener à la primitive

G(y)= 1

2

∫y2

(y +1)2

dy

y= 1

2

∫y

(y +1)2dy

et on trouveG(y) = 1

y +1+ ln|y +1| puisF(x) = 1

x2 +1+ ln(x2 +1).

Exemple 3.70 CalculonsF(x) =∫

dx

xp

x4 +1dx. Cette primitive ne fait pas partie des classes connues, mais avec le

changement de variablesy = x4,dy

y= 4

dx

x, on se ramène à calculer

G(y) = 1

4

∫1

y√

y +1dy

1219

C’est une fraction rationnelle eny et en une racine nième d’une homographie. Avec le changementde variablesu =√y +1, y = u2 −1, on se ramène à calculer

H(u) = 1

2

∫du

(u2 −1)= 1

4ln

∣∣∣∣u−1

u+1

∣∣∣∣

Finalement,

F(x) = 1

4ln

px4 +1−1

px4 +1+1

Exemple 3.71Calculer poura > 0, F(x) =∫

xp

a4 − x4dx. En écrivant

F(x) =∫

x2

pa4 − x4

dx

x

le changement de variablesy = x2 mène au calcul de

G(y)= 1

2

∫dy√

a4 − y2= 1

2arcsin

y

a2

d’où finalementF(x) = 1

2arcsin

x2

a2

C.6.8 Intégration par parties

On sait calculer des primitives de type∫

ex P(x) dx. Il suffit d’intégrer plusieurs fois par parties en dérivantle polynôme.

Exemple 3.72Calculer∫

(x2 − x +3)e2x dx. Une première intégration par parties donne :

F(x) = e2x

2(x2 − x +3)−

∫(x −1/2)e2x dx

︸ ︷︷ ︸G(x)

et une deuxième permet de calculer

G(x) = (2x −1)e2x

4− 1

2

∫e2x

Finalement,F(x) = (x2 −2x +4)e2x

4.

Exemple 3.73 CalculerF(x) =∫

ex sin(x) dx. La première méthode consiste à intégrer deux fois par parties pour

retrouverF(x) :

F(x) = ex sin x −∫

ex cos x dx = ex (sin x −cos x)−F(x)

d’où F(x) =1

2ex (sin x −cos x).

La deuxième méthode consiste à utiliser qu’un sinus ou un cosinus s’exprime à l’aide des exponentielles imaginaires.On primitive une fonction à valeurs complexes et on prend ensuite la partie réelle :

F(x) = Im

(∫ex ei x dx

)= Im

(e(1+i)x

1+ i

)

F(x) = Im

(ex (1+ i )(cos x + i sin x)

2

)= ex

2(sin x −cos x)

Le seul espoir pour calculer des primitives faisant intervenir ln, arctan, arcsin,. . .consiste à intégrer par parties. En effet,les dérivées de ces fonctions sont des fractions rationnelles ou des racines de trinômes. On espère ainsi se ramener à l’unedes classes de fonctions que l’on sait primitiver.

1220

Exemple 3.74CalculerF(x) =∫

arctan(x) dx. En primitivant par parties,

F(x) = x arctan x −∫

x

x2 +1dx = x arctan x − 1

2ln(x2 +1)

Exemple 3.75F(x) =∫

ln(x +1)

xdx. Si l’on intègre par parties en dérivantln,

F(x) = ln(x) ln(x +1)−∫

ln x

x +1dx

et la nouvelle primitive fait encore intervenir un logarithme. On ne sait pas primitiver cette fonction à l’aide des fonctionsusuelles.

C.6.9 Exercices

Exercice 3.11

Calculer une primitiveF(x) =∫

x +2

x +1

√1− x

1+ xdx sur l’intervalleI =]−1,1[.

Solution : En posanty =√

1−x1+x

, x = −y2+1

y2+1, dx =− 4y

(y2+1)2 et on se ramène au calcul de

G(y)=−2

∫y2(y2 +3)

(y2 +1)2dy

G(y) = y +∫

dy

y2 +1−2

∫dy

(y2 +1)2

et en utilisant la technique du paragraphe C.6.3, on trouve que

F(x) =−(1− x)

√1−x

1+x

Exercice 3.12CalculerF(x) =

∫1

x(x2 + x +1)2.

Solution : Décomposons la fraction rationnelle en éléments simples :

1

X(X2 +X+1)=

1

X−

1+X

X2 +X+1−

1+X

(X2 +X+1)2

On primitive chacun des éléments simples. Pour calculer la dernière primitive, procéder dans l’ordre :

1. Éliminer le x du numérateur :∫ x +1

(x2 + x +1)2dx = 1

2

∫ 2x +1

(x2 + x +1)2dx + 1

2

∫ dx

(x2 + x +1)2= − 1

2(x2 + x +1)+

1

2

∫ dx

(x2 + x +1)2.

2. Par réduction du trinôme et un changement de variables, seramener à∫ dy

(y2 +1)2

3. On calcule cette dernière primitive en intégrant par partie∫ dy

(y2 +1).

On trouve finalement,∫

dx

x(x2 + x +1)2= −x +1

3(x2 + x +1)− 5

3p

3arctan

(2x +1p

3

)+ ln

(x

px2 + x +1

)

Exercice 3.13

CalculerF(x) =∫

arctan

(x −1

x −2

)dx.

1221

Solution : En intégrant par parties,

F(x) = x arctanx−1

x−2+

∫x

2x2 −6x +5dx

︸ ︷︷ ︸G(x)

On calcule ensuite la primitive de la fraction rationnelle :

G(x) = 1

4

∫4x −6

2x2 −6x +5dx + 3

2

∫dx

2x2 −6x +5dx

︸ ︷︷ ︸H(x)

et

H(x) = 1

2

∫dx

(x −3/2)2 +1/4= arctan(2x −3)

d’oùF(x) = x arctan

x−1

x−2+ 1

4ln|2x2 −6x +5|+ 3

2arctan(2x −3)

Exercice 3.14

CalculerF(x) =∫

dx

x3(x2 +1).

Solution : On écritF(x) =∫

1

x2(x2 +1)

dx

xet avec le changement de variablesy = x2,

dy

y= 2

dx

x,

G(y) = 1

2

∫dy

y2(y +1)

On décompose la fraction rationnelle :1

y2(y +1)= a

y+ b

y2+ c

y +1

En multipliant pary2 (resp.y +1) et en prenanty = 0 (resp.y = −1), on tireb = 1, c = 1. En multipliant pary et enfaisant tendrey vers+∞, on obtient la relation0= a +c.

G(y)=−1

2ln|y |−

1

2

1

y+

1

2ln|y +1|

F(x) =− ln|x|− 1

2x2+ ln(x2 +1)

Exercice 3.15

CalculerI=∫1

0

x3 + x +1

(x2 +2)2dx.

Solution : On décompose la fraction rationnelle avec l’astuce suivante pour profiter de la parité :

F(x) =X3 +X

(X2 +2)2=

aX+b

X2 +2+

cX+d

(X2 +2)2

CommeF(−X) =−F(X), b = d = 0. En multipliant parx et en faisant tendrex vers+∞, on tirea = 1. En divisant parXet en prenantx = 0, on tireb =−1. On a donc

x3 + x +1

(x2 +2)2= x

x2 +1− x −1

(x2 +2)2

Ensuite,

I = 1

2

∫1

0

2x

x2 +2dx − 1

2

∫1

0

2x −2

(x2 +2)2dx = 1

2ln(3/2)+

[ 1

2(x2 +2)

]1

0+

∫1

0

dx

(x2 +2)2

et en intégrant par parties∫1

0

dx

x2 +2, on tire

∫1

0

dx

(x2 +2)2=

1

4p

2arctan(1/

p2)+

1

12

1222

et finalement,

I = 1

2ln

3

2+ 1

4p

2arctan

1p

2

Exercice 3.16

CalculerF(x) =∫

x2 ln x

(x3 +1)3dx.

Solution : Commençons par écrire

F(x) = 1

3

∫x3

(x3 +1)3ln(x3)

dx

x

Par le changement de variablesu = x3,du

u= 3

dx

x, on se ramène à calculer

G(u) = 1

9

∫ln u

(u+1)3du

et avec une intégration par parties,

G(u) =1

9

(−

ln|u|2(u+1)2

+1

2

∫du

u(u+1)2

)

On décompose la fraction1

u(u+1)2= 1

u− 1

u+1− 1

(u+1)2

et on calculeG(u) = ln

∣∣∣ u

u+1

∣∣∣+ 1

u+1

et finalement,

F(x) =− 1

12

ln|x|(1+ x3)2

+ 1

6ln|x|+ 1

18(x3 +1)− ln|x3 +1|

18

Exercice 3.17

CalculerF(x) =∫

dx

sin3 x cos5 x.

Solution : Avec Bioche, on aω(−x) =ω(x) et on effectue donc le changement de variablest = cos x :

G(t) =−∫

dt

(1− t 2)2t 5=−

∫1

(1− t 2)2t 4

dt

t

Avec le changement de variablesy = t 2, dy/y = 2 dt/t , on se ramène à calculer

H(y)=−1

2

∫dy

(1− y)2 y3

Il faut alors décomposer cette fraction rationnelle :

1

(y −1)2 y3= 3

y+ 2

y2+ 1

y3− 3

y −1+ 1

(y −1)2

On a calculé directement le coefficient de(y − 1)2 et de y3. Pour calculer les autres, on a retranché1/y3 aux deuxmembres, simplifié et calculé le coefficient de1/y2 en multipliant pary2 et en prenanty = 0 et ainsi de suite. On obtientalors

H(y)=−3

2ln|y |+ 1

y+ 1

4y2+ 3

2ln|y −1|+ 1

2(y −1)

puis

F(x) = 3ln|tan x|+1

cos2 x+

1

4cos4 x−

1

2sin2 x

Exercice 3.18

CalculerF(x) =∫

dx

1− th x.

1223

Solution : Avec la règle de Bioche, on effectue le changement de variablest = th x, dt = (1− t 2) dx :

G(t) =∫

1

(1− t)2(1+ t)dt

La décomposition de la fraction rationnelle s’écrit :

1

(t −1)2(t +1)=

1/4

t +1−

1/4

t −1+

1/2

(t −1)2

d’où G(t) = 1

4ln

∣∣∣∣t +1

t −1

∣∣∣∣−1

2(t −1)et finalement

F(x) = 1

4ln

∣∣∣∣th x +1

th x −1

∣∣∣∣−1

2(th x −1)

Exercice 3.19

Calculer l’intégraleI=∫2

1

√t −1

t +1

d t

t.

Solution : C’est une fraction rationnelle ent et en la racine nième d’une homographie. Posons doncu =√

t −1

t +1:

t = u2 +1

−u2 +1d t = 4u

(1−u2)du

Donc

I =∫ 1p

3

0

4u2

(1−u2)(1+u2)du

et en décomposant en éléments simples cette fraction rationnelle,

4u2

(1−u2)(1+u2)= 1

1+u− 1

u−1− 2

u2 +1

on trouve finalement :

I= ln

(p3+1

p3−1

)− π

3

Exercice 3.20

CalculerF(x) =∫

dx

x +p

x2 +1.

Solution : On primitive une fraction rationnelle enx et une racine d’un trinôme qui est déjà réduit sous forme cano-nique. Le changement de variablesx = sh t donne

G(t)=∫

ch t

sh t +ch tdt =

∫e t +1/e t

2e t= t

2− e−2t

4

En remplaçantt parargsh(x) = ln(x +p

x2 +1), on trouve que

F(x) = 1

2ln(x +

√x2 +1)− 1

4(x +p

x2 +1)2

Exercice 3.21

CalculerF(x) =∫ d xp

x2 +1−p

x2 −1sur l’intervalleI =]1,+∞[.

Solution : En multipliant par les quantités conjuguées :

F(x) =∫p

x2 +1+p

x2 −1

2dx

1224

on se ramène au calcul de deux primitives simples. Le plus rapide consiste à intégrer par parties pour calculerG(x) =∫√x2 +1 dx et H(x) =

∫√x2 −1 dx. On trouve finalement :

F(x) = 1

2

(1

2x√

x2 +1+argsh x + 1

2x√

x2 −1− ln(x +√

x2 −1)

)

Exercice 3.22

CalculerF(x) =∫

dx

x2(1+ x2)3/2.

Solution : La fonction à primitiver ne fait pas partie des classes connues. Essayons le changement de variablesz = x2.

On se ramène à primitiverG(z) = 1

2

∫dz

z3/2(1+ z)3/2. En écrivant

G(z)= 1

2

∫dz

z3

(z +1

z

)3/2

On se ramène à une primitive de la forme∫

F(z, n

√az+bcz+d ) dz que l’on sait calculer avec le changement de variables

y =√

z +1

z, z = 1

y2 −1, dz =− 2y

(y2 −1)2. On se ramène à calculer

H(y) =−∫

y2 −1

y2dy =−y −

1

y

d’où finalement,

F(x) =−p

x2 +1

x−

xp

x2 +1

Exercice 3.23

CalculerF(x) =∫√

1+p

1− x2

1− x2dx sur l’intervalleI =]−1,1[.

Solution : La fonction à primitiver ne fait pas partie des classes qu’ona vues. Essayons d’éliminer une racine carréeavec le changement de variablesx = sin t sur l’intervalleJ =]−π/2,π/2[ :

G(t) =∫p

1+|cos t ||cos t |

cos t dt =∫p

1+cos t dt

En effet,cos t > 0 sur J. On n’a toujours pas à primitiver une fonction qui entre dansles catégories connues. Avec latrigonométrie,1+cos t = 2cos2(t/2), on a

G(t)=p

2

∫cos(t/2) dt = 2

p2sin(t/2)

d’où finalement

F(x) = 2p

2sin

(arcsin(x)

2

)

1225