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COURS DE MATHÉMATIQUES C TERMINALE · LycéeEdgarQUINET 63,ruedesMartyrs 75009 PARIS...
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Lycée Edgar QUINET
63, rue des Martyrs75 009 PARIS
Manuel scolaire : Sigma - Editions Foucher
COURS DE MATHÉMATIQUES
CLASSE DE TERMINALE STMG
Emmanuel DUPUY
PARIS
Année 2017-2018
COURS DE MATHS - TERMINALE STMG
Sommaire
CHAPITRE 1. Taux d’évolution et indices
§ 1. Taux d’évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4a. Taux d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4b. Coefficient multiplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4c. Calcul d’une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5d. Évolutions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5e. Évolution réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6f. Évolution moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 2. Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7a. Indice simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7b. Lien entre indice simple et taux d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
CHAPITRE 2. Suites
§ 1. Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8a. Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8b. Expression de un en fonction de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8c. Sens de variation d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9d. Représentation graphique d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9e. Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 2. Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10a. Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10b. Expression de un en fonction de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10c. Sens de variation d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11d. Représentation graphique d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11e. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 3. Applications économiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12a. Intérêts simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12b. Intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12c. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13d. Annuité d’un emprunt à annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
CHAPITRE 3. Statistiques
§ 1. Séries statistiques simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14a. Série de notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14b. Série classée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§ 2. Séries statistiques doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16a. Série statistique double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16b. Nuage de points et point moyen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16c. Ajustement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
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CHAPITRE 4. Fonctions
§ 1. Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18a. Fonction affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18b. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 2. Fonctions polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19a. Fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19b. Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19c. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20d. Discriminant du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20e. Résolution de l’équation ax2 +bx +c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21f. Signe de ax2 +bx +c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 3. Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22a. Tangente à une courbe en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22b. Nombre dérivé d’une fonction en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22c. Nombre dérivé des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23d. Dérivées et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23e. Équation de la tangente à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§ 4. Sens de variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24a. Signe de la dérivée et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24b. Sens de variations et tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25c. Étude du sens de variations d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25d. Étude du sens de variations d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
CHAPITRE 5. Probabilités
§ 1. Probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27a. Approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27b. Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27c. Arbre de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 2. Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29a. Épreuve de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29b. Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 3. Loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30a. Schéma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30b. Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§ 4. Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31a. Approximation de la loi binomiale par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31b. Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31c. Calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32d. Intervalle à « 2 sigmas » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 5. Intervalles de fluctuation et de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33a. Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33b. Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Lycée Edgar QUINET 3/34 Emmanuel DUPUY
COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 1. TAUX D’ÉVOLUTION ET INDICES
CHAPITRE
1Taux d’évolution et indices
§ 1. Taux d’évolution
a. Taux d’évolution
DÉFINITION
Le taux d’évolution t d’une grandeur qui évolue de la valeur initiale y1 à la valeur finale y2
est donné par la formule :
• t =y2 − y1
y1.
+t %y1 y2
EXEMPLE
• Un article coûtait 35 € en juin 2017 et 42 € en septembre 2017.
On a : t =y2 − y1
y1=
42−35
35=
7
35=
1
5= 0,20 =+20%.
Le prix de l’article a augmenté de 20%.
• Le cours d’une action est passé de 60 € à 57 € en un jour.
On a : t =y2 − y1
y1=
57−60
60=−
3
60=−
1
20=−0,05 =−5%.
Le cours de l’action a diminué de 5%.
b. Coefficient multiplicateur
DÉFINITION
Le coefficient multiplicateur c d’une grandeur qui évolue de la valeur initiale y1 à la valeurfinale y2 est donné par la formule :
• c =y2
y1.
y1 y2×c
EXEMPLE
• Un article coûtait 35 € en juin 2017 et 42 € en septembre 2017.
On a : c =y2
y1=
42
35=
6
5= 1,20.
Le prix de l’article a été multiplié par 1,20.
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COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 1. TAUX D’ÉVOLUTION ET INDICES
PROPRIÉTÉ
Soient t le taux d’évolution d’une grandeur et c le coefficient multiplicateur de cette gran-deur. On a :
• c = 1+ t .
• t = c −1.
EXEMPLE
• t1 =+5%.
On a : c1 = 1+ t1 = 1+0,05 = 1,05.
• t2 =−20%.
On a : c2 = 1+ t2 = 1−0,20 = 0,80.
• c3 = 0,91.
On a : t3 = c3 −1= 0,91−1=−0,09 =−9%.
• c4 = 1,005.
On a : t4 = c4 −1= 1,005−1 = 0,005 =+0,5%.
REMARQUE
• Si une grandeur augmente, alors t > 0 et c > 1.
• Si une grandeur diminue, alors t < 0 et 0 < c < 1.
c. Calcul d’une grandeur
MÉTHODE
On considère une grandeur qui évolue de la valeur initiale y1 à la valeur finale y2 et onnote t le taux d’évolution de la grandeur. On a :
• y2 = (1+ t)× y1.
• y1 =y2
1+ t.
EXEMPLE
• Une baguette coûte 1,20 € en juin 2017. Son prix augmente de 15% durant l’été 2017.
On a : y2 = (1+ t)× y1 = 1,15×1,20 = 1,38.
La baguette coûte 1,38 € en septembre 2017.
• Au bout d’un an, j’ai retiré 936 € d’un capital placé à un taux annuel de 4%.
On a : y1 =y2
1+ t=
936
1,04= 900.
J’ai placé 900 €.
d. Évolutions successives
PROPRIÉTÉ
Si t1 et t2 sont les taux de deux évolutions successives, alors le taux d’évolution global dela valeur initiale yI à la valeur finale yF est tel que :
• 1+ tglobal = (1+ t1)× (1+ t2).
yI yF
×c1 ×c2
×c1 ×c2
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COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 1. TAUX D’ÉVOLUTION ET INDICES
EXEMPLE
• On considère deux hausses successives de 10%. On a :
1+ tglobal = (1+ t1)× (1+ t2) = 1,10×1,10 = 1,21
tglobal = 1,21−1 = 0,21 = 21%
La hausse globale est de 21%.
REMARQUE
Les taux d’évolution ne s’additionnent pas mais les coefficients multiplicateurs se multi-plient.
e. Évolution réciproque
PROPRIÉTÉ
Si t est un taux d’évolution de la valeur initiale yI à la valeur finale yF, alors le taux d’évo-
lution réciproque de la valeur finale yF à la valeur initiale yI est tel que :
• 1+ tréc. =1
1+ t.
yI yF
× 1c
×c
EXEMPLE
• Quelle baisse compense une hausse de 25% ?
1+ tréc. =1
1+ t=
1
1,25= 0,80
tréc. = 0,80−1=−0,20 =−20%
Une hausse de 25% est compensée par une baisse de 20%.
REMARQUE
Les taux d’évolution ne s’opposent pas mais les coefficients multiplicateurs s’inversent.
f. Évolution moyenne
PROPRIÉTÉ
Si tglobal est le taux d’évolution global de n évolutions successives, alors le taux d’évolution
moyen sur une période n fois plus petite est tel que :
• 1+ tmoyen =(
1+ tglobal)
1n .
EXEMPLE
• En 6 mois, le prix d’un bien de consommation a diminué de 12%.
1+ tmoyen =(
1+ tglobal)
1n = 0,88
16 ≃ 0,978 9
tmoyen ≃ 0,978 9−1 ≃−0,021 1≃−2,11%
La baisse mensuelle moyenne est d’environ 2,11%.
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COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 1. TAUX D’ÉVOLUTION ET INDICES
§ 2. Indices
a. Indice simple
DÉFINITION
On considère une grandeur ayant évolué de la valeur de référence y0 à la valeur y1 entredeux dates t0 et t1. Dire que I1 est l’indice simple à la date t1 en prenant pour base I0 = 100à la date de référence t0 signifie que :
•I1
I0=
y1
y0.
Autrement dit, il y a proportionnalité entre les indices et les valeurs.
MÉTHODE
Avec les notations précédentes et pour calculer I1, on utilise la formule :
• I1 = 100×y1
y0.
EXEMPLE
• Le cours d’une action est passé de 45 € à 54 € entre 2017 et 2018.
L’indice simple en 2018 en prenant pour base 100 en 2017 est donné par :
I1 = 100×y1
y0= 100×
54
45= 100×1,20 = 120
b. Lien entre indice simple et taux d’évolution
PROPRIÉTÉ
Le taux d’évolution entre deux valeurs est égal au taux d’évolution entre les indices asso-ciés. On a donc :
• t =I2 − I1
I1.
• I2 = (1+ t)× I1.
• I1 =I2
1+ t.
EXERCICE
• Remplir le tableau :
Année 2015 2016 2017 2018Indice 100 102Taux + 5% + 4%
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COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 2. SUITES
CHAPITRE
2Suites
§ 1. Suites arithmétiques
a. Suite arithmétique
DÉFINITION
Soit r un réel.
Une suite (un) est une suite arithmétique de raison r lorsque, pour tout n ∈N :
un+1 = un + r
EXEMPLE
• « Économies »
Le 1er janvier 2017, j’économise 100 €. Puis chaque 1er jour des mois suivants, j’écono-mise 15 €.
On note un les économies au bout de n mois depuis le 1er janvier 2017.
Puisque chaque 1er jour du mois, j’économise 15 €, alors pour tout n ∈N :
un+1 = un +15
Par DÉFINITION, la suite (un ) des économies est une suite arithmétique de premierterme u0 = 100 et de raison r = 15.
u1 = u0 +15 = 100+15 = 115
u2 = u1 +15 = 115+15 = 130 etc. . .
b. Expression de un en fonction de n
PROPRIÉTÉ
Si (un ) est une suite arithmétique de raison r , alors, pour tout n ∈N :
un = u0 +n× r
EXEMPLE
• « Économies »
La suite (un) est une suite arithmétique de premier terme 100 et de raison 15 donc,par PROPRIÉTÉ, pour tout n ∈N :
un = u0 +n× r = 100+15n
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COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 2. SUITES
Par exemple le 1er janvier 2018, n = 12 et : u12 = 100+15×12 = 280.
Ainsi, au bout d’un an, j’ai économisé 280 €.
COROLLAIRE
Si (un ) est une suite arithmétique de raison r , alors, pour tout p ∈N, pour tout n ∈N :
un = up + (n−p)× r
EXEMPLE
• « Économies »
La suite (un ) est une suite arithmétique de raison 15 donc, pour tout n ∈N :
un = u12 + (n−12)× r = 280+15(n−12)
Par exemple le 1er janvier 2020, n = 36 et : u36 = 280+15× (36−12) = 640.
Ainsi, au bout de trois ans, j’ai économisé 640 €.
c. Sens de variation d’une suite arithmétique
PROPRIÉTÉ
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r .
• Si r < 0, alors la suite (un) est strictement décroissante.
• Si r = 0, alors la suite (un) est constante.
• Si r > 0, alors la suite (un) est strictement croissante.
d. Représentation graphique d’une suite arithmétique
PROPRIÉTÉ
Si (un ) est une suite arithmétique, alors l’ensemble des points Mn de coordonnées (n ; un )est situé sur la droite d’équation y = u0 + x × r .
EXEMPLE
• « Économies »
On a : M0 (0 ; 100) ; M1 (1 ; 115) ; M2 (2 ; 130) ; M3 (3 ; 145) ; M4 (4 ; 160) ; M5 (5 ; 175) ;M6 (6 ; 190) ; M7 (7 ; 205) etc...
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8
b
M0
b
M1
b
M2
b
M3
b
M4
b
M5
b
M6
b
M7
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e. Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
PROPRIÉTÉ
Si (un ) est une suite arithmétique, alors la somme S de p termes consécutifs dont le pre-mier terme est a et le dernier est b est donnée par :
• S = p ×a +b
2.
EXEMPLE
• Calculer : S = 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.
La somme S est la somme de 10 termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison2 dont le premier terme est 1 et le dernier est 19 donc :
S = p ×a +b
2= 10×
1+19
2= 100
§ 2. Suites géométriques
a. Suite géométrique
DÉFINITION
Soit q un réel strictement positif.
Une suite (un) est une suite géométrique de raison q lorsque, pour tout n ∈N :
un+1 = q ×un
EXEMPLE
• « Population »
Le 1er janvier 2010, la population d’une ville nouvelle est de 10 000 habitants. La po-pulation augmente régulièrement de 5% par an.
On note un la population de la ville au bout de n années depuis le 1er janvier 2010.
Puisque chaque année, la population est multipliée par 1,05, alors pour tout n ∈N :
un+1 = 1,05×un
Par DÉFINITION, la suite (un ) des populations est une suite géométrique de premierterme u0 = 10 000 et de raison q = 1,05.
u1 = 1,05×u0 = 1,05×10 000 = 10 500
u2 = 1,05×u1 = 1,05×10 500 = 11 025 etc. . .
b. Expression de un en fonction de n
PROPRIÉTÉ
Si (un ) est une suite géométrique de raison q , alors, pour tout n ∈N :
un = qn ×u0
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EXEMPLE
• « Population »
La suite (un ) est une suite géométrique de premier terme 10 000 et de raison 1,05 donc,par PROPRIÉTÉ, pour tout n ∈N :
un = qn ×u0 = 1,05n ×10 000
Par exemple le 1er janvier 2020, n = 10 et : u10 = 1,0510 ×10 000 ≃ 16 289.
Ainsi, au bout de dix ans, la population sera d’environ 16 289 habitants.
COROLLAIRE
Si (un ) est une suite géométrique de raison q , alors, pour tout p ∈N, pour tout n ∈N :
un = qn−p ×up
EXEMPLE
• « Population »
La suite (un ) est une suite géométrique de raison 1,05 donc, pour tout n ∈N :
un = qn−10 ×u10 ≃ 1,05n−10 ×16 289
Par exemple le 1er janvier 2040, n = 30 et : u30 ≃ 1,0530−10 ×16 289 ≃ 43 219.
Ainsi, au bout de trente ans, la population sera d’environ 43 219 habitants.
c. Sens de variation d’une suite géométrique
PROPRIÉTÉ
Soit (un ) une suite géométrique de raison q > 0.
• Si q < 1, alors la suite (un ) est strictement décroissante.
• Si q = 1, alors la suite (un ) est constante.
• Si q > 1, alors la suite (un ) est strictement croissante.
d. Représentation graphique d’une suite géométrique
PROPRIÉTÉ
Si (un ) est une suite géométrique de raison q 6= 1, alors l’ensemble des points Mn de coor-données (n ; un ) est situé sur une courbe exponentielle.
EXEMPLE
• « Population »
On a : M0 (0 ; 10 000) ; M1 (1 ; 10 500) ; M2 (2 ; 11 025) ; M5 (5 ; 12 763) etc...
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
b
M0
b
M1
b
M2
b
M5
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e. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
PROPRIÉTÉ
Si (un ) est une suite géométrique de raison q 6= 1, alors la somme S de p termes consécutifsdont le premier terme est a est donnée par :
• S = a ×1−qp
1−q.
EXEMPLE
• Calculer : S = 1+2+4+8+16+32+64.
La somme S est la somme de 7 termes consécutifs d’une suite géométrique de raison2 dont le premier terme est 1 donc :
S = a ×1−qp
1−q= 1×
1−27
1−2= 127
§ 3. Applications économiques
a. Intérêts simples
EXEMPLE
• Un capital de 1 000 € est placé à intérêts simples au taux annuel i = 7,5%.
On note Cn la valeur acquise par le capital au bout de n années.
Au bout de n années, les intérêts produits In sont donnés par :
In = i ×C0 = 0,075×1 000 = 75
Ces intérêts produits s’ajoutent au capital pour former le capital l’année suivante.
Autrement dit et pour tout n ∈N :
Cn+1 =Cn + In =Cn +75
Par DÉFINITION, la suite (Cn) est une suite arithmétique de premier terme C0 = 1 000et de raison r = 75.
Par PROPRIÉTÉ et pour tout n ∈N, on a :
Cn =C0 +n× r = 1 000+75n
Par exemple et au bout de 10 années : C10 = 1 000+75×10 = 1 750 €.
b. Intérêts composés
EXEMPLE
• Un organisme propose un placement de 1 000 € à intérêts composés au taux annueli = 4%.
On note Cn la valeur acquise par le capital au bout de n années.
Au bout de n années, les intérêts produits In sont donnés par :
In = i ×Cn = 0,04×Cn
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COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 2. SUITES
Ces intérêts produits s’ajoutent au capital pour former le capital l’année suivante.
Autrement dit et pour tout n ∈N :
Cn+1 =Cn + In =Cn +0,04×Cn = 1,04×Cn
Par DÉFINITION, la suite (Cn) est une suite géométrique de premier terme C0 = 1 000et de raison q = 1,04.
Par PROPRIÉTÉ et pour tout n ∈N, on a :
Cn = 1,04n ×C0 = 1,04n ×1 000
Par exemple et au bout de 10 années : C10 = 1,0410 ×1 000 ≃ 1 480 €.
c. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes
DÉFINITION
La valeur actuelle E d’une suite de n annuités constantes (a1 ; · · · ; an) au taux d’intérêtannuel i est la somme des valeurs actuelles de chaque annuité.
Autrement dit :
• E =a1
1+ i+·· ·+
an
(1+ i )n.
PROPRIÉTÉ
Avec les notations précédentes et en notant a l’annuité constante :
• E = a ×1− (1+ i )−n
i.
EXEMPLE
• Une entreprise souhaite anticiper un remboursement de matériel décomposé en 5annuités de 2 000 € au taux d’intérêt annuel de 6%.
On a : E = a ×1− (1+ i )−n
i= 2 000×
1−1,06−5
0,06≃ 8 425.
Le montant du remboursement anticipé est environ 8 425 €.
L’économie réalisée e est donnée par : e ≃ 5×2 000−8 425 ≃ 1 575 €.
d. Annuité d’un emprunt à annuités constantes
REMARQUE
L’annuité a d’un emprunt E à n annuités constantes au taux d’intérêt annuel i est donnéepar :
• a = E ×i
1− (1+ i )−n.
EXEMPLE
• On emprunte 200 000 € pendant 20 ans au taux d’intérêt annuel de 4%.
On a : a = E ×i
1− (1+ i )−n= 200 000×
0,04
1−1,04−20≃ 14 716.
Le montant de l’annuité est environ 14 716 €.
Le coût total du crédit c est donné par : c = 20a ≃ 294 327 €.
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COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 3. STATISTIQUES
CHAPITRE
3Statistiques
§ 1. Séries statistiques simples
a. Série de notes
EXERCICE
• On a relevé, pour les élèves d’une classe de terminale STMG, leur note à un examenet on a obtenu la série statistique suivante :
Note xi 6 8 9 10 11 12 15 18Effectif ni 1 2 3 6 4 2 1 1
1. Calculer la taille n de la série.
2. Calculer la moyenne x de la série.
3. Calculer la médiane Me de la série.
4. Calculer le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 de la série.
5. Représenter la série par un diagramme en boîtes.
6. Calculer la variance V et l’écart-type σ de la série.
7. Représenter la série par un nuage de points.
8. Calculer le pourcentage de valeur appartenant à l’intervalle[
x−σ ; x+σ]
.
RÉSOLUTION
1. On a : n =∑
ni = 20.
Pour les besoins de l’exercice, on note (a1 ; · · · ; a20) les 20 valeurs de la série,rangées dans l’ordre croissant, et comptées avec leur ordre de multiplicité.
2. On a : x =∑
ni xi
n=
210
20= 10,5.
3. La taille n de la série est paire donc la médiane Me est la demi-somme des
valeurs de rangn
2et
n
2+1.
On a : Me =a10 +a11
2=
10+10
2= 10.
4. Puisque 25% de n vaut 5, alors Q1 est la 5ième valeur.
On a : Q1 = a5 = 9.
Puisque 75% de n vaut 15, alors Q3 est la 15ième valeur.
On a : Q3 = a15 = 11.
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5. Diagramme en boîtes de la série :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
xmin Q1 Me Q3 xmax
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
6. On a : V =∑
ni x2i
n−x2 =
2 328
20−10,52 = 6,15.
On a : σ=p
V =p
6,15 ≃ 2,48.
7. Nuage de points de la série :
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
++
+
+
+
++ +
8. On a :[
x−σ ; x+σ]
≃ [10,5−2,48 ; 10,5+2,48]≃ [8,02 ; 12,98].
L’intervalle [8,02 ; 12,98] contient 15 valeurs sur 20, soit 75% des valeurs.
b. Série classée
EXERCICE
• On a relevé, pour les élèves d’une autre classe de terminale STMG, leur taille et on aobtenu les résultats suivants (en cm) :
Taille xi [150 ; 160[ [160 ; 170[ [170 ; 175[ [175 ; 180[ [180 ; 200[Effectif ni 2 6 6 4 2Centre ci 155 165 172,5 177,5 190
1. Estimer la moyenne x par la série des centres.
2. Estimer la variance V et l’écart-type σ par la série des centres.
RÉSOLUTION
1. On a : x ≃ c =∑
ni ci
n=
3 425
20= 171,25.
2. On a : V ≃∑
ni c2i
n−c2 =
588 162,5
20−171,252 ≃ 81,56.
On a : σ=p
V ≃p
81,56 ≃ 9,03.
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§ 2. Séries statistiques doubles
a. Série statistique double
DÉFINITION
Une série statistique double est le résultat de l’étude statistique de deux variables X et Y
sur une population de n individus.
On note (x1 ; · · · ; xn ) les n valeurs de la variable X et (y1 ; · · · ; yn) les n valeurs de lavariable Y .
EXEMPLE
• « Série de notes »
Note xi au baccalauréat 7 10 11 13 16Note yi à un concours 8 9 11 12 13
b. Nuage de points et point moyen
DÉFINITION
• Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points Mi de coordonnées(
xi ; yi
)
est ap-pelé le nuage de points associé à la série statistique à deux variables X et Y .
• On note x la moyenne des n valeurs de la variable X et y la moyenne des n valeurs de lavariable Y .
Le point G de coordonnées(
x ; y)
est appelé le point moyen du nuage de points associéà la série statistique à deux variables X et Y .
EXEMPLE
• « Série de notes »
Le nuage de points de la série statistique double est formé des points M1 (7 ; 8) ;M2 (10 ; 9) ; M3 (11 ; 11) ; M4 (13 ; 12) et M5 (16 ; 13).
On a : x =7+10+11+13+16
5= 11,4.
On a : y =8+9+11+12+135
5= 10,6.
Le point moyen G est le point de coordonnées (11,4 ; 10,6).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
+M1
+M2
+M3
+M4
+M5
+G
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c. Ajustement affine
DÉFINITION
Lorsque le nuage de points d’une série statistique double a une forme « allongée », on peuttracer une droite (ou plusieurs) qui passe « le plus près possible » des points du nuage.
On dit qu’une telle droite réalise un ajustement affine du nuage de points.
PROPRIÉTÉ
Il existe une unique droite passant par le point moyen du nuage et qui minimise la sommedes carrés des écarts verticaux des points du nuage à cette droite.
Cette droite est appelée la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés
ou la droite de régression de y en x.
EXEMPLE
• « Série de notes »
Le nuage de points de la série statistique double a une forme « allongée ». On peutréaliser un ajustement affine du nuage de points par une droite.
On choisit la droite (d) de régression de y en x et à la calculatrice, on obtient l’équa-tion :
(d) : y = 0,59x +3,84
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
+M1
+M2
+M3
+M4
+M5
+G
(d)
La droite (d) passe par les points G et A de coordonnées (11,4 ; 10,6) et (0 ; 3,84).
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CHAPITRE
4Fonctions
§ 1. Fonctions affines
a. Fonction affine
DÉFINITION
Une fonction affine est une fonction f définie sur R par l’expression :
f (x) = ax +b
où a et b sont deux réels.
EXEMPLE
• « Entreprise »
On suppose que la recette R(x), en euros, de x objets vendus par une entreprise, estdonnée par : R(x) = 150x.
La fonction R est une fonction affine avec a = 150 et b = 0.
b. Représentation graphique
PROPRIÉTÉ
La représentation graphique de la fonction affine f définie sur R par f (x) = ax +b est ladroite (d) d’équation y = ax +b.
EXEMPLE
• « Entreprise »
La représentation graphique de la fonction R est la droite (d) d’équation y = 150x.
La droite (d) passe par les points O et A de coordonnées (0 ; 0) et (10 ; 1 500).
0
200
400
600
8001000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
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§ 2. Fonctions polynômes du second degré
a. Fonction polynôme du second degré
DÉFINITION
• Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f définie sur R par l’expression :
f (x) = ax2 +bx +c
où a, b et c sont trois réels, avec a 6= 0.
• La forme ax2 +bx +c s’appelle la forme développée de l’expression f (x).
EXEMPLE
• « Entreprise »
On suppose que le coût de fabrication C (x), en euros, de x objets fabriqués par l’en-treprise de l’EXEMPLE précédent, est donné par :
C (x) = 10x2 +10x +180
La fonction C est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 10, b = 10 et c = 180.
Le bénéficie B(x) réalisé par l’entreprise, en euros, pour x objets fabriqués et vendusest donné par :
B(x) = R(x)−C (x) = 150x − (10x2 +10x +180)
B(x) =−10x2 +140x −180
La fonction B est une fonction polynôme de degré 2 avec a =−10, b = 140 et c =−180.
b. Forme canonique
PROPRIÉTÉ
Avec les notations précédentes, il existe deux réels α et β tels que :
f (x) = a(x −α)2 +β
Les réels α et β sont donnés par :
α=−b
2aet β= f (α)
DÉFINITION
La forme a(x −α)2 +β s’appelle la forme canonique de l’expression f (x).
EXEMPLE
• « Entreprise »
On considère le bénéficie B(x) =−10x2 +140x −180.
On a : α=−b
2a=
−140
2× (−10)= 7.
On a : β= f (α) =−10×72 +140×7−180 = 310.
On a : B(x) =−10(x −7)2 +310.
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c. Représentation graphique
PROPRIÉTÉ
Soit f une fonction polynôme de degré 2 de forme canonique a(x −α)2 +β.
La représentation graphique de f est une parabole de sommet S(
α ; β)
et d’axe de symétriela droite d’équation x =α.
• Si a > 0 :
x =α
S(
α ; β)
b
• Si a < 0 :
x =α
S(
α ; β)
b
EXEMPLE
• « Entreprise »
On considère le bénéficie B(x) =−10x2 +140x −180.
La représentation graphique de B est une parabole de sommet S(7 ; 310), d’axe desymétrie la droite d’équation x = 7, et dont les branches sont « tournées vers le bas ».
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Le bénéfice maximum est 310 € pour 7 objets vendus.
d. Discriminant du trinôme
DÉFINITION
Le discriminant du trinôme f (x) = ax2 +bx +c est le réel ∆ défini par :
∆= b2 −4ac
EXEMPLE
• « Entreprise »
On considère le bénéficie B(x) =−10x2 +140x −180.
On a : ∆= b2 −4ac = 1402 −4× (−10)× (−180) = 12 400.
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e. Résolution de l’équation ax2 +bx +c = 0
PROPRIÉTÉ
On note ∆ le discriminant du trinôme f (x) = ax2 +bx +c.
• Si ∆> 0, alors l’équation f (x) = 0 possède deux solutions :
x1 =−b −
p∆
2a
x2 =−b +
p∆
2a
• Si ∆= 0, alors l’équation f (x) = 0 possède une solution :
x0 =−b
2a=α
• Si ∆< 0, alors l’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.
DÉFINITION
Les réels éventuels x1, x2 et x0 de la PROPRIÉTÉ s’appellent les racines du trinôme f (x).
EXEMPLE
• « Entreprise »
On considère le bénéficie B(x) =−10x2 +140x −180.
Puisque ∆> 0, alors l’équation B(x) = 0 admet deux solutions :
x1 =−b −
p∆
2a=
−140−p
12 400
2× (−10)≃ 12,57
x2 =−b −
p∆
2a=
−140+p
12 400
2× (−10)≃ 1,43
f. Signe de ax2 +bx +c
PROPRIÉTÉ
On note ∆ le discriminant du trinôme f (x) = ax2 +bx +c.
• Si ∆> 0, et en ordonnant x1 et x2, alors :
x
f (x)
−∞ x1 x2 +∞
signe de a 0 signe de −a 0 signe de a
• Si ∆= 0, alors :
x
f (x)
−∞ x0 +∞
signe de a 0 signe de a
• Si ∆< 0, alors :
x
f (x)
−∞ +∞
signe de a
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EXEMPLE
• « Entreprise »
On considère le bénéficie B(x) =−10x2 +140x −180.
x
B(x)
−∞ 1,43 12,57 +∞− 0 + 0 −
L’entreprise réalise un bénéfice en vendant entre 2 et 12 objets.
§ 3. Dérivée
a. Tangente à une courbe en un point
DÉFINITION
On considère une fonction f définie sur un intervalle I. On note C la courbe de f dans unrepère et on considère un point A de C d’abscisse a.
La tangente à la courbe C au point A est la droite (d), parmi toutes les droites passant parA, qui « approche » le mieux la courbe C au « voisinage » de A.
C
(d)
bA
b. Nombre dérivé d’une fonction en un réel
DÉFINITION
Avec les notations précédentes. Le nombre dérivé de f en a, noté f ′(a), est le coefficientdirecteur, lorsqu’il existe, de la tangente à la courbe C au point A.
EXEMPLE
• f (x) = x2 +1.
La tangente à la courbe de la fonction f au point A d’abscisse 1, au « jugé », est la droite(AB) où A et B sont les points de coordonnées (1 ; 2) et (2 ; 4).
On a : f ′(1) =∆y
∆x=
yB − yA
xB − xA=
4−2
2−1= 2.
1
2
3
4
5
−11 2 3−1
C
bA
bB
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c. Nombre dérivé des fonctions usuelles
PROPRIÉTÉ
Fonction Expression f (x) Nombre dérivé f ′(x)
Constante k 0
Linéaire x 1
Affine ax +b a
Carrée x2 2x
Puissance xn nxn−1
Polynôme de degré 2 ax2 +bx +c 2ax +b
Inverse1
x−
1
x2
EXEMPLE
• f (x) = x2 +3x −2.
La fonction f est une fonction polynôme de degré 2.
Pour tout x ∈R : f ′(x) = 2x +3.
d. Dérivées et opérations
DÉFINITION
On considère une fonction f définie sur un intervalle I qui admet un nombre dérivé f ′(x)pour tout réel x ∈ I.
• On dit que f est dérivable sur I.
• La fonction f ′ définie sur I par l’expression f ′(x) s’appelle la fonction dérivée de f .
PROPRIÉTÉ
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R et k une constante réelle.
Fonction f Fonction dérivée f ′
ku ku′
u+ v u′+ v ′
uv u′v +uv ′
u
v
u′v −uv ′
v2
EXEMPLE
• f (x) = 5x3.
La fonction f est de la forme ku avec k = 5 et u(x) = x3.
Pour tout x ∈R : u′(x) = 3x2.
Pour tout x ∈R : f ′(x) = 5×u(x) = 5×3x2 = 15x2.
• f (x) = (2x +3)(5x −7).
La fonction f est de la forme uv avec u(x) = 2x +3 et v(x) = 5x −7.
Pour tout x ∈R : u′(x) = 2 et v ′(x) = 5.
Pour tout x ∈R : f ′(x) = 2× (5x −7)+ (2x +3)×5 = 20x +1.
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e. Équation de la tangente à une courbe en un point
PROPRIÉTÉ
Avec les notations précédentes.
Une équation de la tangente (d) à la courbe C au point A d’abscisse a est donnée par :
(d) : y = f ′(a)(x −a)+ f (a)
EXEMPLE
• f (x) = x2 +3.
Pour tout x ∈R, on a : f ′(x) = 2x.
On a : f (1) = 4 et f ′(1) = 2.
L’équation de la tangente (d) à la courbe C au point A d’abscisse 1 est donnée par :
(d) :y = f ′(1)(x −1)+ f (1)
(d) :y = 2(x −1)+4
(d) :y = 2x +2
§ 4. Sens de variations d’une fonction
a. Signe de la dérivée et monotonie
THÉORÈME
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R.
• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) Ê 0, alors f est croissante sur I.
• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) = 0, alors f est constante sur I.
• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) É 0, alors f est décroissante sur I.
b A
b B
EXEMPLE
• f (x) = x2 +3.
La fonction f est dérivable sur R et pour tout x ∈R, on a : f ′(x) = 2x.
Pour tout x Ê 0, f ′(x) Ê 0 donc la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Pour tout x É 0, f ′(x) É 0 donc la fonction f est décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; 0].
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b. Sens de variations et tableau de variations
DÉFINITION
Étudier le sens de variations d’une fonction consiste à découper son ensemble de défini-tion en une succession d’intervalles les plus larges possibles sur lesquels la fonction estmonotone.
MÉTHODE
Pour étudier le sens de variations d’une fonction définie sur un intervalle I, il suffit d’étu-dier le signe de sa dérivée sur I.
Un tableau de variations permet alors de résumer le sens de variations de la fonction.
EXEMPLE
• Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par : f (x) = 2x2 −12x.
La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 4].
Pour tout x ∈ [0 ; 4], on a : f ′(x) = 4x −12.
On obtient le signe de f ′(x) et, d’après le THÉORÈME, le sens de variations de f , dansle tableau de variations :
x
f ′(x)
f (x)
0 3 4− 0 +
00
−18−18
−16−16
c. Étude du sens de variations d’une fonction polynôme
EXERCICE
• Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−2 ; 4] par : f (x) = x3 −3x2 +2.
Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle [−2 ; 4].
RÉSOLUTION
La fonction f est dérivable sur l’intervalle [−2 ; 4].
Pour tout x ∈ [−2 ; 4], on a :
f ′(x) = 3x2 −6x
f ′(x) = 3x × (x −2)
On obtient le signe de f ′(x) et, d’après le THÉORÈME, le sens de variations de f ,dans le tableau de variations :
x
3x
x −2
f ′(x)
f (x)
−2 0 2 4− 0 + +− − 0 ++ 0 − 0 +
−18−18
22
−2−2
1818
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d. Étude du sens de variations d’une fonction rationnelle
EXERCICE
• Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par : f (x) =2x +3
x +1.
Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; 4].
RÉSOLUTION
La fonction f est de la formeu
vavec : u(x) = 2x +3 et v(x) = x +1.
Pour tout x ∈ [0 ; 4], on a : u′(x) = 2 et v ′(x) = 1.
La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 4].
Pour tout x ∈ [0 ; 4], on a :
f ′(x) =2× (x +1)− (2x +3)×1
(x +1)2
f ′(x) =−1
(x +1)2
On obtient le signe de f ′(x) et, d’après le THÉORÈME, le sens de variations de f ,dans le tableau de variations :
x
f ′(x)
f (x)
0 4−
33
1,81,8
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CHAPITRE
5Probabilités
§ 1. Probabilités conditionnelles
a. Approche
EXEMPLE
Le tableau d’effectifs suivant donne la répartition des 500 élèves d’un lycée suivantleur sexe et la LV2 étudiée :
Allemand Espagnol TotalFilles 140 60 200
Garçons 180 120 300Total 320 180 500
On tire au hasard, parmi le fichier des élèves du lycée, la fiche d’un élève.
Calculer de deux manières la probabilité que l’élève soit une fille germaniste.
On note F l’événement : « l’élève est une fille » et A l’événement : « l’élève est germa-niste ».
On veut calculer p(A∩F).
1ère manière :
On a : p(A∩F) =nbre de filles germanistes
nbre d’élèves=
140
500= 0,28.
2ème manière :
On a : p(A∩F) =nbre de germanistes
nbre d’élèves×
nbre de filles germanistes
nbre de germanistes=
320
500×
140
320= 0,28.
Ainsi, en notant pA(F) la probabilité que l’élève soit une fille sachant que l’élève estgermaniste, on a :
p(A∩F) = p(A)×pA(F)
b. Probabilité conditionnelle
DÉFINITION
On considère une loi de probabilité sur un univers Ω, et un événement A tel que p(A) 6= 0.
Pour tout événement B, la probabilité de B sachant A, notée pA(B), est définie par :
pA(B) =p(A∩B)
p(A)
COROLLAIRE
Dans les conditions précédentes, on a :
• p(A∩B) = p(A)×pA(B).
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EXEMPLE
• On tire successivement et sans remise deux boules d’une urne contenant 5 boulesrouges et 2 boules bleues. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules rouges ?
On note les événements A : « la 1ère boule est rouge » et B : « la 2ème boule est rouge ».
On cherche p(A∩B).
On a : p(A∩B) = p(A)×pA(B) =5
7×
4
6=
20
42=
10
21.
c. Arbre de probabilités
EXEMPLE « Urnes U, V et W »
On considère les trois urnes U, V et W schématisées ci-dessous.
On choisit une urne au hasard puis on tire une boule au hasard dans cette urne.
U V W
On note U l’événement : « l’urne choisie est l’urne U » etc...
On note B l’événement : « la boule tirée est bleue ».
L’arbre de probabilités est le suivant :
Ω
U
1/3
R4/7
B3/7
V1/3
R3/5
B2/5
W
1/3R1/4
B3/4
MÉTHODE
Un arbre de probabilités schématise le déroulement d’une expérience aléatoire.
Il est constitué :
• de nœuds, sur lesquels sont indiqués des événements.
• de branches, auxquelles sont affectées des probabilités.
• de chemins que l’on assimile à des intersections d’événements.
EXEMPLE « Urnes U, V et W »
• La probabilité d’une intersection d’événements correspondant à un chemin est égaleau produit des probabilités affectées à chaque branche de ce chemin.
Par exemple, par le chemin du haut : p(U∩R) = p(U)×pU(R) =1
3×
4
7=
4
21.
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• La somme des probabilités affectées aux branches d’un même nœud est égale à 1.
Par exemple, depuis le nœud W : pW(R)+pW(B) =1
4+
3
4= 1.
• La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des cheminsconduisant à l’événement.
Par exemple : p(R) =1
3×
4
7+
1
3×
3
5+
1
3×
1
4=
199
420.
§ 2. Loi de Bernoulli
a. Épreuve de Bernoulli
DÉFINITION
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui n’a que 2 issuespossibles :
• Une issue S, appelée succès, de probabilité p.
• Une issue S, appelée échec, de probabilité 1−p.
EXEMPLE
• Une urne contient 40 boules blanches et 60 boules noires.
On tire une boule de l’urne et on note sa couleur.
Soit S l’événement : « la boule tirée est blanche ».
On réalise une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,4.
b. Loi de Bernoulli
DÉFINITION
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre p à deux issues S et S.
La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de probabilité discrète de la variable aléatoireX à valeurs dans 0 ; 1 et comptant le nombre de succès dans l’épreuve de Bernoulli.
Valeur k 0 1Probabilité p(X = k) 1−p p
PROPRIÉTÉ
Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. On a :
• E (X ) = p.
EXEMPLE
• Une urne contient 40 boules blanches et 60 boules noires.
On tire une boule de l’urne et on note sa couleur.
Le nombre de boules blanches X prend ses valeurs dans 0 ; 1 et suit la loi de Bernoullide paramètre 0,4.
Valeur k 0 1Probabilité p(X = k) 0,6 0,4
On a : E (X ) = 0,6×0+0,4×1 = 0,4.
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§ 3. Loi binomiale
a. Schéma de Bernoulli
DÉFINITION
Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est une expérience aléatoire qui consiste àrépéter n fois et de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètrep d’issues contraires S et E de probabilités p et 1−p.
Les issues sont donc des « mots » de n lettres, chaque lettre étant S ou E.
EXEMPLE
• Une urne contient 40 boules blanches et 60 boules noires.
On tire successivement et avec remise trois boules de l’urne et on note leur couleur.
Soit S l’événement : « la boule tirée est blanche » lors d’un tirage.
On réalise une schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 0,4.
Il y a huit issues : SSS ; SSE ; SES ; SEE ; ESS ; ESE ; EES et EEE.
Ω
S
0,4
S0,4
S → SSS0,4
E → SSE0,6
E0,6
S → SES0,4
E → SEE0,6
E
0,6S
0,4
S → ESS0,4
E → ESE0,6
E0,6
S → EES0,4
E → EEE0,6
b. Loi binomiale
DÉFINITION
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p), est la loi de probabilité discrètede la variable aléatoire X à valeurs dans 0 ; 1 ; · · · ; n et comptant le nombre de succèsobtenus dans le schéma de Bernoulli.
NOTATION
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p et un entier naturel k É n.
On note
(
n
k
)
, et on lit « k parmi n », le nombre de « mots » de n lettres contenant k fois la
lettre S.
PROPRIÉTÉ
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).
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• Pour tout entier k ∈ [0 ; n], on a : p(X = k) =(
n
k
)
pk (1−p)n−k .
• E (X ) = np.
• V (X ) = np(1−p).
EXEMPLE
• La loi binomiale B(3 ; 0,4).
Valeur k 0 1 2 3Probabilité p(X = k) 0,216 0,432 0,288 0,064
On obtient directement la loi à la calculatrice par la séquence binomFdp(3, 0.4).
On obtient p(X = k) par la séquence binomFdp(3, 0.4, k).
On obtient p(X É k) par la séquence binomFRép(3, 0.4, k).
§ 4. Loi normale
a. Approximation de la loi binomiale par la loi normale
REMARQUE
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).
Son diagramme en bâtons, où en abscisses sont placées les valeurs k de X et en ordonnéesles probabilités p(X = k), prend la forme d’une courbe en cloche, symétrique par rapportà la droite d’équation x = np.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
x = 30
n = 75
p = 0,4
b. Loi normale
DÉFINITION
La courbe en cloche est la courbe d’une fonction dite de densité de probabilité dont l’airesous la courbe définit une loi de probabilité, appelée loi normale.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
µ= 30
σ≃ 4,2
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PROPRIÉTÉ
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale qui approche une variable aléatoireY suivant une loi binomiale.
L’espérance de X , notée µ, est celle de la variable aléatoire Y , et l’écart-type, noté σ, estcelui de la variable aléatoire Y .
NOTATION
On note N (µ ; σ2) la loi normale de paramètres µ et σ.
c. Calcul de probabilités
PROPRIÉTÉ
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (µ ; σ2).
Pour tout intervalle [a ; b], la probabilité p(a É X É b) que X appartienne à l’intervalle[a ; b] est égale à l’aire délimitée par la courbe en cloche, l’axe des abscisses, et les droitesd’équation x = a et x = b.
a b
p(a É X É b)
COROLLAIRE
• p(X = k) = 0.
• p(X Ê a) = p(X > a).
• p(X É b) = p(X < b).
• p(X ɵ) = p(X ʵ) = 0,5.
• p(X Ê a) = 1−p(X É a).
EXEMPLE
Dans une coopérative, le diamètre X d’une orange suit la loi normale N (70 ; 32).
• On a : p(64É X É 76) ≃ 0,954 5 ≃ 95,45%.
A la calculatrice : normalFRép(64, 76, 70, 3).
Environ 95% des oranges ont un diamètre compris entre 64 mm et 76 mm.
• On a : p(X É 76) ≃ 0,977 2≃ 97,72%.
A la calculatrice : normalFRép(-10∧9, 76, 70, 3).
On peut aussi utiliser : p(X É 76) = p(X É 70)+p(70 É X É 76) ≃ 0,5+0,477 2.
A la calculatrice : 0.5 + normalFRép(70, 76, 70, 3).
Environ 98% des oranges ont un diamètre inférieur à 76 mm.
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d. Intervalle à « 2 sigmas »
PROPRIÉTÉ
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (µ ; σ2). On a :
• p(µ−2σÉ X É µ+2σ) ≃ 0,95.
EXEMPLE
Dans l’EXEMPLE précédent, on peut affirmer que si on choisit au hasard une orangedans la coopérative, son diamètre sera compris entre 64 mm et 76 mm au seuil de 95%c’est à dire au risque de 5%.
§ 5. Intervalles de fluctuation et de confiance
a. Intervalle de fluctuation
CADRE
• On dispose d’une urne contenant des boules blanches et des boules noires.
On sait que la proportion de boules blanches est p.
On tire successivement et avec remise n boules.
On note Xn le nombre de boules blanches tirées et Fn =Xn
nla fréquence de boules blanches
dans l’échantillon.
On veut estimer F50 au seuil s = 95%, c’est à dire au risque α= 5%.
PROPRIÉTÉ
Si n Ê 30, np Ê 5 et n(1− p) Ê 5, alors Fn ∈ In =[
p −1p
n; p +
1p
n
]
avec une probabilité
supérieure ou égale à 0,95.
DÉFINITION
L’intervalle
[
p −1p
n; p +
1p
n
]
de la PROPRIÉTÉ s’appelle l’intervalle de fluctuation au
seuil de 95% de la fréquence Fn .
b. Intervalle de confiance
CADRE
• On dispose d’une urne contenant des boules blanches et des boules noires.
On ne connaît pas la proportion p de boules blanches et on veut estimer p.
On tire successivement et avec remise n boules.
On note Xn le nombre de boules blanches tirées et f =Xn
nla fréquence de boules blanches
dans l’échantillon.
PROPRIÉTÉ
Si n Ê 30, n f Ê 5 et n(1− f ) Ê 5, alors p ∈ Jn =[
f −1p
n; f +
1p
n
]
avec une probabilité
supérieure ou égale à 0,95.
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DÉFINITION
L’intervalle
[
f −1p
n; f +
1p
n
]
de la PROPRIÉTÉ s’appelle l’intervalle de confiance de la
proportion p au seuil de confiance de 95%.
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