Cours de Math ematiques - ECS 1 - Lyc ee Pasteur · ECS 1 Lyc ee Pasteur Cours 2010-2011 1 Logique...

Cours de Mathematiques - ECS 1 - Lycee Pasteur

May 16, 2011

Contents

1 Logique elementaire. Demonstrations et redaction. 61.1 Logique elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Propositions, quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Connecteurs logiques et negation, implication, equivalence 71.1.3 Negations de propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Demonstrations : les principales methodes utilisees, exemples . . 81.2.1 Demonstration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Demonstration par contraposee . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Demonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Demonstration par disjonction de cas . . . . . . . . . . . 81.2.5 Demonstration par analyse et synthese . . . . . . . . . . . 91.2.6 Demonstrations par recurrence . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Conseils pour la redaction et pour les epreuves ecrites . . . . . . 10

2 Ensembles, applications 112.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Images directes, images reciproques d’ensembles par une

application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . 152.2.4 Indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Calculs et ordre dans R 173.1 Ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Ordre et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Majorant ; maximum ; borne superieure . . . . . . . . . . 17

3.2 Equations, inequations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Operations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Factorisations et developpements classiques . . . . . . . . . . . . 193.5 Manipulation de

∑. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5.1 Sommes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5.2 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.6 Manipulation de∏

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6.1 Produits simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.6.2 Produits doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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ECS 1 Lycee Pasteur Cours 2010-2011

4 Complexes 234.1 Definitions, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Complexes et trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Equations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Polynomes 275.1 Definitions, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Division euclidienne, divisibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Polynomes derives, formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Racines et multiplicites, factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . 295.5 Polynomes irreductibles, Theoreme de D’Alembert-Gauss . . . . 305.6 Remarques classiques sur les relations entre racines et coefficients 31

6 Analyse combinatoire, denombrement 326.1 Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Denombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3 Combinatoire : parties, p-listes, p-arrangements d’un ensemble fini 336.4 Cardinal et inclusion, cardinal et application . . . . . . . . . . . 35

7 Suites reelles I 367.1 Definitions, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.1.2 Limites de suites reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.1.3 Proprietes elementaires des suites convergentes . . . . . . 377.1.4 Limites et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.1.5 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.2 Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.2.1 Suites arithmetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2.2 Suites geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2.3 Suites arithmetico-geometrique . . . . . . . . . . . . . . . 397.2.4 Suites verifiant une relation de recurrence lineaire d’ordre 2 39

7.3 Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.4 Theoremes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.4.1 Theoreme d’existence d’une limite par encadrement (”Theoremedes gendarmes”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.4.2 Theoreme de convergence monotone . . . . . . . . . . . . 417.4.3 Theoreme des suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.5 Equivalence et negligeabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5.1 Definitions et caracterisations . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5.2 Equivalence, negligeabilite et operations . . . . . . . . . . 427.5.3 Equivalences et negligeabilites classiques . . . . . . . . . . 43

8 Fonctions reelles d’une variable reelle I 448.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2 Definitions des limites, proprietes elementaires . . . . . . . . . . 45

8.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2.2 Continuite en derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2.3 Proprietes elementaires liees aux limites de fonctions . . . 478.2.4 Caracterisation sequentielle de la limite . . . . . . . . . . 478.2.5 Limites et operations, limite et composition . . . . . . . . 478.2.6 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.3 Theoremes prouvant l’existence d’une limite . . . . . . . . . . . . 488.3.1 Theoreme d’existence d’une limite par encadrement (”Theoreme

des gendarmes”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.3.2 Theoreme sur les fonctions monotones . . . . . . . . . . . 49

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8.4 Equivalence et negligeabilite de fonctions en a ∈ R ∪ +∞,−∞ 498.4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.4.2 Equivalence, negligeabilite et operations . . . . . . . . . . 508.4.3 Equivalences et negligeabilites classiques . . . . . . . . . . 51

9 Suites reelles II 529.1 Etude d’une suite definie par une relation de recurrence simple . 529.2 Suites definies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10 Espaces probabilisables 5510.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2 Evenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11 Espaces probabilises finis 5711.1 Definitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5711.2 Probabilites conditionnelles et formules classiques . . . . . . . . . 58

11.2.1 Formule des probabilites composees . . . . . . . . . . . . 5811.2.2 Formule des probabilites totales . . . . . . . . . . . . . . . 5911.2.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.3 Independances d’evenements, independance de tribus . . . . . . . 5911.3.1 Independances d’evenements . . . . . . . . . . . . . . . . 6011.3.2 Independance de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

12 Series 6112.1 Definitions, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

12.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.1.2 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

12.2 Series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.3 Series alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.4 Convergence absolue, semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . 6412.5 Sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12.5.1 Series geometriques et derivees de series geometriques . . 6512.5.2 Serie de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.5.3 Simplifications des sommes partielles . . . . . . . . . . . . 65

13 Espaces probabilises discrets 6613.1 Generalisations des definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6613.2 Systeme complet et formule des probabilites totales dans le cas

discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6713.3 Theoreme de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

14 Variables aleatoires reelles discretes 6814.1 Definitions, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

14.1.1 Variables aleatoires reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.1.2 Loi et fonction de repartition d’une v.a.r. . . . . . . . . . 6914.1.3 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

14.2 Independances de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 7014.3 Esperance, variance, moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

14.3.1 Cas d’une variable aleatoire finie . . . . . . . . . . . . . . 7114.3.2 Cas d’une v.a.r.d. infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7114.3.3 Variance, ecart-type, moments. Definitions et proprietes . 72

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15 Lois usuelles 7415.1 Loi de Bernoulli de parametre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7415.2 Loi binomiale de parametre (n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7415.3 Loi uniforme sur un ensemble fini E . . . . . . . . . . . . . . . . 7515.4 Loi hypergeometrique de parametre (N,n, p) . . . . . . . . . . . 7515.5 Loi geometrique de parametre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.6 Loi de Poisson de parametre λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

16 Systemes lineaires a coefficients constants 7716.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7716.2 Resolution des systemes echelonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . 7816.3 Methode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

17 Calcul matriciel 8117.1 Definitions, operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8117.2 Systemes lineaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8117.3 Methode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8117.4 Spectre et espaces-propres d’une matrice carree . . . . . . . . . . 81

18 Espaces vectoriels, applications lineaires 8218.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

18.1.1 Definition, espaces vectoriels classiques . . . . . . . . . . . 8218.1.2 caracterisation des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . 8218.1.3 Sous-espace vectoriel engendre par une famille de vecteurs 8218.1.4 Produit cartesien, somme, somme directe, supplementaires 82

18.2 Applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8218.2.1 Definitions, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . 8218.2.2 Polynomes d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . 8218.2.3 Image et noyau, surjectivite et injectivite . . . . . . . . . 8218.2.4 Projecteurs et symetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

19 Espaces vectoriels de dimension finie 8319.1 Familles libres, generatrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 8319.2 Theoreme de la base incomplete, dimension . . . . . . . . . . . . 8319.3 Applications du theoreme de la base incomplete . . . . . . . . . . 8319.4 Matrice representative d’une application lineaire . . . . . . . . . 83

19.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8319.4.2 Operations, compositions et matrices . . . . . . . . . . . . 8319.4.3 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

20 Reduction des endomorphismes et des matrices carrees 8420.1 Pour les endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8420.2 Pour les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

21 Continuite 8521.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8521.2 Operations, composition et continuite . . . . . . . . . . . . . . . 8521.3 Continuite sur un intervalle, sur un segment . . . . . . . . . . . . 8621.4 Theoreme de la bijection monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

22 Calcul differentiel 8722.1 Definitions, caracterisation de la derivabilite, classes de fonctions 8722.2 Operations, composition et derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . 8822.3 Extremum et derivee, theoreme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . 9022.4 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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22.5 Convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9122.5.1 Definition, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . 9122.5.2 Convexite et derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

23 Calcul integral 9323.1 Integrales des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . 9323.2 Integrales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9423.3 Integrales de fonctions continue par morceaux . . . . . . . . . . . 9523.4 Theoreme fondamental du calcul integral . . . . . . . . . . . . . 9623.5 Calculs d’integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.6 Somme de Riemman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

24 Formules de Taylor 9824.1 Formule de Taylor avec reste integral . . . . . . . . . . . . . . . . 9824.2 Formule et inegalite de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 9824.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

25 Developpements limites 10025.1 Definition, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 10025.2 Operations, composition, integration . . . . . . . . . . . . . . . . 10025.3 Developpements limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

26 Couples de v.a.r.d. 10226.1 Definitions, loi conjointe et lois marginales, lois conditionnelles . 10226.2 Independances de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 10226.3 Loi d’une fonction de n variables aleatoires . . . . . . . . . . . . 10226.4 Esperance d’une fonction de deux variables aleatoires . . . . . . . 10226.5 Covariance et correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10226.6 Convergences de suites de variables aleatoires . . . . . . . . . . . 102

26.6.1 Inegalites de Markov et de Tchebichev . . . . . . . . . . . 10226.6.2 Convergence en probabilite et approximation . . . . . . . 10226.6.3 Convergence en loi et approximation . . . . . . . . . . . . 102

27 Topologie dans le plan cartesien 103

28 Fonctions de deux variables reelles 104

29 Statistique 105

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1 Logique elementaire. Demonstrations et redaction.

1.1 Logique elementaire

1.1.1 Propositions, quantificateurs

Definition 1.1 On appelle proposition (ou phrase mathematique ou enoncemathematique) toute phrase univoque, dont les mots sont definis mathematiquement,et qui est soit vraie, soit fausse.

Exercice 1.2 Dire si les phrases suivantes sont des propositions, preciser lavaleur de verite de chaque proposition.

1. 5 est impair.

2. Le nombre π est rationnel.

3. x ≤ x+ 1

4. Pour tout x dans C, x ≤ x+ 1.

5. Il existe x appartenant a R tel que x soit positif ou entier.

6. f est croissante.

7. Pour tout x dans R, il existe un unique y dans Z tel que x appartienne a[y, y + 1[.

Remarque 1.3 La phrase 3 depent d’un parametre (x) : elle n’est ni vraie nifausse, ce n’est donc pas une proposition. On dit que c’est une forme proposi-tionnelle : elle peut etre vraie ou fausse si son parametre (ici x) est fixe dansun ensemble convenable. La phrase 6 est-elle une forme propositionnelle ?

Definition 1.4 Soit E un ensemble et P(e) une forme propositionnelle dependantd’un parametre e de E. (Par exemple E = Z et P(e) est la phrase ”e est im-pair”.)

• ”∀e ∈ E, P(e)” signifie ”Pour tout x dans E, P(e) est vrai”.

• ”∃e ∈ E : P(e)” signifie ”Il existe (au moins) un x dans E tel que P(e)soit vrai”.

• ”∃!e ∈ E : P(e)” signifie ”Il existe un unique x dans E tel que P(e) soitvrai”.

Remarque 1.5 Noter que ”tel que” (”:”) s’ecrit aussi ”/”, et qu’en mathematiques,”un” sans precision supplementaire signifie ”au moins un”. Les notationsprecedentes (∀,∃) s’appellent les quantificateurs.

Exercice 1.6 Ecrire a l’aide des quantificateurs les phrases 4, 5 et 7 de l’exercice1.2.

Exercice 1.7 Attention a l’ordre des blocs dans les phrases avec des quantifi-cateurs ! Expliquer la difference entre les deux phrases suivantes :

1. ∀x ∈ R,∃y ∈ N : x ≥ y

2. ∃y ∈ N : ∀x ∈ R, x ≥ y

Exercice 1.8 Rappeler la definition de la limite d’une suite reelle (dans le casd’une limite finie). L’exprimer a l’aide des quantificateurs.

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1.1.2 Connecteurs logiques et negation, implication, equivalence

Definition 1.9 Soit A et B deux propositions. On definit A ET B, A OU B,et Non(A), par les colonnes de la table de verite suivante :

A B Non(A) A ET B A OU BV V F V VF V V F VV F F VF F F F

Remarque 1.10 Le OU mathematique est inclusif, i.e. A OU B est vraiesignifie que soit A est vraie et pas B, soit B est vraie et pas A, soit les deuxsont vraies.

Definition 1.11 Soit A et B deux propositions. On dit que A implique B (et onle note A =⇒ B) si (NonA)OUB est vraie. On dit que A et B sont equivalentes(et on le note A ⇐⇒ B) si A implique B et B implique A.

Remarque 1.12 d’apres la table de verite de l’equivalence, deux propositionssont equivalentes si et seulement si elles ont meme table de verite.

Proposition 1.13 Soit A, B et C trois propositions.

1. (Non(NonA))⇐⇒ A (involutivite de Non) ;

2. ((A OU B)⇐⇒ (B OU A)) , ((A ET B)⇐⇒ (B ET A)) (commutativitede OU et de ET) ;

3. (A OU (B OU C)) ⇐⇒ ((A OU B) OU C) (associativite de OU) ;

4. (A ET (B ET C)) ⇐⇒ ((A ET B) ET C) (associativite de ET) ;

5. (A OU (B ET C)) ⇐⇒ ((A OU B) ET (A OU C)) (distributivite de OUsur ET) ;

6. (A ET (B OU C)) ⇐⇒ ((A ET B) OU (A ET C)) (distributivite de ETsur OU).

Exercice 1.14 Prouver ces proprietes a l’aide de tables de verite. Remarquerla necessite des parentheses.

1.1.3 Negations de propositions

Theoreme 1.15 (Lois de Morgan de la logique) Soit A et B deux propositions.

• (Non(A OU B))⇐⇒ (Non(A) ET Non(B)) ;

• (Non(A ET B))⇐⇒ (Non(A) OU Non(B)) ;

Exercice 1.16 Prouver les lois de Morgan a l’aide de tables de verite.

Proposition 1.17 Soit E un ensemble et P(e) une forme propositionnelle dependantd’un parametre e de E.

• (Non(∀e ∈ E, P(e))) ⇐⇒ (∃e ∈ E : Non(P(e))) ;

• (Non(∃e ∈ E : P(e))) ⇐⇒ (∀e ∈ E : Non(P(e))).

Exercice 1.18 A l’aide de la propriete precedente, determiner la negation desphrases 4, 5 et 7 de l’exercice 1.2.

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1.2 Demonstrations : les principales methodes utilisees,exemples

1.2.1 Demonstration directe

On veut demontrer qu’une proposition P implique une proposition Q directe-ment : on traduit les hypotheses (P) et la conclusion (Q) et on passe despremieres a la derniere par une suite d’implications vraies.

Exercice 1.19 Montrer que tout entier pair a un carre pair.

Exercice 1.20 Montrer que la limite de la suite ( 1(n+1)2 )n∈N est 0.

1.2.2 Demonstration par contraposee

Definition 1.21 Soit A et B deux propositions. On appelle contraposee del’implication A =⇒ B, l’implication (NonB)=⇒(NonA).

Remarque 1.22 Attention a ne pas confondre la contraposee de A =⇒ B et lareciproque de A =⇒ B. (La reciproque de A =⇒ B est B =⇒ A.) En generalune implication et sa reciproque ne sont pas equivalentes. On a en revanche leresultat suivant :

Theoreme 1.23 Une implication et sa contraposee sont equivalentes.

On peut donc demontrer une implication en enoncant puis en demontrantsa contraposee.

Exercice 1.24 Demontrer par contraposee que si un entier n a son carre quiest pair, alors n est pair. (Que deduire de ce resultat et de l’exercice 1.19 ?)

Exercice 1.25 Demontrer le theoreme 1.23 a l’aide d’une table de verite.

1.2.3 Demonstration par l’absurde

Pour demontrer qu’une proposition A est vraie, il suffit de montrer que sanegation est fausse.On suppose donc que Non(A) est vraie et on montre que cela est impossible.On en deduit, par l’absurde, que A est vraie.

Exercice 1.26 Montrer que√

2 est irrationnel.

1.2.4 Demonstration par disjonction de cas

On montre qu’une proposition est vraie en la demontrant dans un inventaire decas possibles. Cet inventaire doit etre tel que tous les cas possibles sont traites.Les cas peuvent etre choisis deux a deux incompatibles.

Exercice 1.27 Montrer qu’un entier et son carre ont meme parite.

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1.2.5 Demonstration par analyse et synthese

Ce type de demonstration peut etre utile quand on cherche a montrer, parexemple, que chaque element d’un ensemble E peut s’ecrire sous une certaineforme F de facon unique.

• Lors de l’analyse, on considere un element e de E quelconque et on deduitde ses proprietes la seule facon possible de l’ecrire sous la forme F . (Celaprouve alors l’unicite de l’ecriture de e sous une telle forme, si une telleecriture existe.)

• Lors de la synthese, on considere un element e de E et les composantes,trouvees lors de l’analyse, de sa seule ecriture possible sous la forme F , eton verifie que cette decomposition est bien de la forme voulue et qu’elledonne bien e.

Exercice 1.28 Montrer que toute fonction de R dans R se decompose de faconunique comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Ce type de demonstration peut aussi etre utile si on veut determiner la formedes elements d’un ensemble donne.

Exercice 1.29 Determiner l’ensemble des fonctions f : R 7→ R telles que pourtout (x, y) ∈ R2,

f(x).f(y)− f(x.y) = x+ y.

1.2.6 Demonstrations par recurrence

Soit n0 un naturel.Soit H(n) une forme propositionnelle dependant d’un parametre naturel n.On veut montrer que pour tout naturel n ≥ n0, H(n) est vraie. On peut essayerde le montrer par recurrence, en utilisant le principe de la recurrence :

Theoreme 1.30 Si H(n0) est vraie, et si pour tout n ≥ n0, H(n) impliqueH(n+ 1), alors pour tout n ≥ n0, H(n).1

Exercice 1.31 Demontrer par l’absurde le principe de la recurrence en utilisantle fait que tout sous-ensemble A non-vide de N admet un plus petit element.2

Remarque 1.32 Pour bien rediger une recurrence il faut d’abord enoncer claire-ment l’hypothese de recurrence, c’est-a-dire la forme propositionnelle H(n), puisl’initialiser, puis prouver qu’elle est hereditaire a partir du rang d’initialisation,et enfin conclure.

Remarque 1.33 • Si l’hypothese de recurrence H(n) est insuffisante pourprouver l’heredite, il peut etre utile de prendre une hypothese de recurrenceforte : on pose P(n) : ”∀k ∈ n0, . . . , n, H(k).” (On montre alors parrecurrence que P(n) -donc a fortiori H(n)- est vraie pour tout entier n ≥n0.

• Une hypothese de recurrence double, i.e. de la forme P(n) : ”H(n) ETH(n+ 1)”, peut suffir.

1Autrement dit si H(n) est initialisee au rang n0 et si elle est hereditaire a partir du rangn0, alors elle est vraie pour tout naturel n ≥ n0.

2Prendre pour A l’ensemble des naturels n ≥ n0 tel que H(n) soit fausse.

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• Attention a la faute logique suivante : poser une hypothese de recurrencede la forme ”∀n ∈ N, H(n)” est absurde, car cette proposition ne dependpas de n !

Exercice 1.34 Deux questions independantes :

1. Soit u la suite definie par u0 = u1 = 1 et pour tout naturel n, un+2 −2un+1 + un = 0. Montrer que u est une suite constante.

2. Soit u telle que u0 = 1 et pour tout naturel n, un = u0 + u1 + · · ·+ un−1.Montrer que la suite u est positive.

1.3 Conseils pour la redaction et pour les epreuves ecrites

Quand vous abordez une epreuve ecrite, commencez par lire integralementl’enonce en reperant :

• les parties independantes et les parties liees ;

• les questions que vous savez faire (en notant en marge le nom des theoremesutilises) ;

• celles qui se deduisent d’une ou plusieurs autres questions.

N’hesitez pas a traiter les parties independantes dans l’ordre que vous voulezet a admettre des resultats intermediaires donnes par l’enonce pour faire unequestion, quitte a revenir apres sur ce que vous avez admis provisoirement.Changez de copie pour chaque exercice pour pouvoir plus facilement les completer.Encadrez vos resultats et veillez au soin.Ne vous laissez pas envahir par la panique. Il faut aller vite mais les epreuvessont longues ! Vous avez le temps de respirer et de prendre du recul, voire depasser a une autre partie du probleme.A la fin de l’epreuve, gardez quelques minutes pour numeroter vos copies dou-bles.

Pour la redaction proprement dite, veillez a :

• faire des phrases courtes, precises, avec un seul sens mathematiques ; nepas hesiter a repeter ”or” et ”donc”...

• bannir les phrases qui n’ont pas de sens, ou qui sont ambigues, ou quevous ne comprenez pas vous meme ;

• citer les noms des theoremes utilises (enoncer-les s’ils n’ont pas de noms),et verifier qu’on est bien dans leurs conditions d’applications (quitte aadmettre certains points) ;

• preciser le type de demonstration utilise (si ce n’est pas une demonstrationdirecte) ; bien rediger les recurrences ;

• eviter les fautes logiques et etre honnetes (mieux vaut admettre partielle-ment qu’eluder une difficulte) ;

• suivre les notations de l’enonce ;

• eviter de melanger notations mathematiques et francais dans une memephrase et respecter les regles de presentation des calculs...

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2 Ensembles, applications

2.1 Ensembles

2.1.1 Definitions

Definition 2.1 On appelle ensemble une collection d’objets mathematiques.Ces objets sont appeles les elements de l’ensemble et sont dit lui appartenir.On note x ∈ E pour ”x appartient a l’ensemble E”.

Exemples :

1. On connaıt les ensembles de nombres notes N, Z, Q, R, C, [a, b] pour a, breels, [[a, b]] pour a, b entiers etc...

2. On appelle ensemble vide, et on note ∅ l’ensemble qui ne contient aucunelement.

3. On peut definir des ensembles geometriques : cercles, droites, courbes duplan, ensembles des cercles du plan etc...

Remarque 2.2 On dit qu’un ensemble est defini en extension si on en donneexhaustivement tous les elements, comme par exemple l’ensemble dont les elementssont les naturels 1, 2 et 4. Cet ensemble se note 1, 2, 4.On dit qu’un ensemble est defini en comprehension si on caracterise ses elementscomme ceux d’un ensemble qui verifie une forme propositionnelle. Par exemplel’ensemble des entiers impairs est defini en comprehension : on peut le notern ∈ Z /Q(n), i.e. comme l’ensemble des entiers n verifiant Q(n), ou Q(n)est ”∃k ∈ Z / n = 2k + 1”.

Definition 2.3 On appelle sous-ensemble ou partie d’un ensemble de E toutensemble F tel que :

∀x ∈ F, x ∈ E.

On le note F ⊂ E et on dit que F est inclus dans E.On note P(E) l’ensemble des parties de E. Ainsi F ⊂ E signifie F ∈ P(E).

Remarque 2.4 Pour tout ensemble E, ∅ et E sont elements de P(E).

Exercice 2.5 Determiner P([[1, 3]])).

Definition 2.6 Soit E un ensemble et A ∈ P(E). On appelle complementairede A dans E l’ensemble des x ∈ E tel que x /∈ A. On le note E − A, ou A s’iln’y a pas d’ambiguıte sur E.

Remarque 2.7 Soit P(x) une forme propositionnelle dependant d’un parametrex de E, on notera ici AP la partie associee a cette forme propositionnelle, i.e.AP = x ∈ E/P(x). Alors

AP = x ∈ E / NON(P(x)).

Definition 2.8 Soit E un ensemble et A et B deux parties de E. On appelleunion de A et de B, et on note A ∪ B, l’ensemble des x ∈ E appartenant a Aou a B. On appelle intersection de A et de B, et on note A ∩B l’ensemble desx ∈ E appartenant a A et a B.

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Definition 2.9 Soit E et I deux ensembles. Pour tout i ∈ I, soit Ai ∈ P(E).On appelle union des Ai pour i ∈ I l’ensemble des x de E qui appartiennent a

(au moins) un des Ai. On le note⋃i∈I

Ai. Ainsi :

⋃i∈I

Ai = x ∈ E / (∃i ∈ I / x ∈ Ai).

On appelle intersection des Ai pour i ∈ I l’ensemble des x de E qui appartien-

nent a tous les Ai. On le note⋂i∈I

Ai. Ainsi :

⋂i∈I

Ai = x ∈ E / (∀i ∈ I, x ∈ Ai).

Remarque 2.10 Pour tout x de E :

x ∈⋃i∈I

Ai ⇐⇒ ∃i ∈ I/x ∈ Ai.

x ∈⋂i∈I

Ai ⇐⇒ ∀i ∈ I, x ∈ Ai.

Exercice 2.11 Pour tout n ∈ N∗, soit An = [3 − 1n , 3 + 1

n ]. Determiner leurunion et leur intersection pour n ∈ N∗.

Definition 2.12 Soit E un ensemble et A et B deux parties de E. On appelledifference de A par B ,ou ”A prive de B”, l’ensemble des elements de A quin’appartiennent pas a B. On le note A−B ou A\B.

Remarque 2.13 On a A−B = A ∩ B.

Remarque 2.14 On appelle difference symetrique de A et de B, et on noteA∆B, l’ensemble (A − B) ∪ (B − A), i.e. l’ensemble des x ∈ E tels que xappartienne a A ou B mais pas au deux.

Definition 2.15 Soit E et F deux ensembles. On appelle produit cartesien deE et de F l’ensemble des couples dont la premiere coordonnee est un elementde E et la seconde est un element de F . On le note E × F . Ainsi :

E × F = (e, f)/e ∈ E, f ∈ F.

Exercice 2.16 Determiner E = a, b × 1, 2, puis P(E).

Definition 2.17 Soit n ∈ N∗, soit A1, . . . , An n ensembles. On appelle produitcartesien de ces ensembles, et on note A1×A2×· · ·×An, l’ensemble des n-listesdonc la iieme coordonnee est un element de Ai, pour chaque i ∈ [[1, n]].On note en particulier En l’ensemble des n-listes de E, i.e. le produity cartesiende E avec lui-meme n fois.

2.1.2 Proprietes

Theoreme 2.18 (Lois de Morgan) Soit E un ensemble.

• Soit (A,B) ∈ P(E)2,

A ∪B = A ∩B et A ∩B = A ∪B.

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• Soit I un ensemble et pour tout i ∈ I soit Ai ∈ P(E).⋃i∈I

Ai =⋂i∈I

Ai et⋂i∈I

Ai =⋃i∈I

Ai.

Exercice 2.19 Les redemontrer.

Theoreme 2.20 (Proprietes elementaires de l’union et de l’intersection) SoitE un ensemble.

1. ∀A ∈ P(E), A ∪ ∅ = A, A ∪ E = E, A ∩ ∅ = ∅, A ∩ E = A.

2. ∀(A,B) ∈ P(E)2, A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A (commutativite del’union et de l’intersection).

3. ∀(A,B,C) ∈ P(E)3, A∪(B∪C) = (A∪B)∪C et A∩(B∩C) = (A∩B)∩C(associativite de l’union et de l’intersection).

4. ∀(A,B,C) ∈ P(E)3, A∪(B∩C) = (A∩B)∪(A∩C) et A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) (distributivite de l’union sur l’intersection, et de l’intersectionsur l’union).

5. Soit I un ensemble, et pour tout i ∈ I, soit Ai ∈ P(E). Soit B ∈ P(E).Alors :

B ∩ (⋃i∈I

Ai) =⋃i∈I

(B ∩Ai) et B ∪ (⋂i∈I

Ai) =⋂i∈I

(B ∪Ai)

(ditributivite de l’union (resp. de l’intersection) sur une intersection (resp.une union) quelconque).

Exercice 2.21 Les redemontrer.

2.2 Applications

2.2.1 Definitions

Definition 2.22 On appelle application f d’un ensemble E dans un ensem-ble F , la donnee pour chaque element x de E d’un element de F , note f(x).Exemples :

1. Soit E un ensemble. On appelle application identique de E (ou identitede E) l’application notee IdE, de E dans E, telle que IdE(x) = x, pourtout x ∈ E.

2. Soit f : x 7→ x2 + sin(lnx) de R+∗ dans R.

3. Soit f l’application du plan cartesien dans R qui a un point du plancartesien associe la somme de ces coordonnees cartesiennes...

Definition 2.23 Soit E et F deux ensembles. Soit f : E 7→ F (une applicationde E dans F ). Alors E s’appelle l’ensemble de depart de f , et F son ensembled’arrivee. Soit y ∈ F , on appelle antecedent de y par f dans E tout element xde E tel que f(x) = y. Soit t ∈ E, on appelle image de t par f l’element f(t)de F .

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Remarque 2.24 Tout element de E admet une et une seule image par f . Enrevanche, un element de F peut ne pas avoir d’antecedent par f dans E, ou enavoir un, ou en avoir plusieurs. Par exemple, 3 n’a aucun antecedent par sinus,et 0 en a une infinite.

Remarque 2.25 Deux applications f et g sont egales si et seulement si ellesont meme ensemble de depart, meme ensemble d’arrivee et pour tout x de leurensemble de depart, f(x) = g(x).

Remarque 2.26 Soit E et F deux ensembles. L’ensemble des applications deE dans F se note FE.

Definition 2.27 Soit E,F,G trois ensembles. Soit f ∈ FE et g ∈ GF . Alorson peut definir la composee de f par g, notee g f , comme l’application de Edans G qui a tout x ∈ E associe g(f(x)).

Remarque 2.28 La composition est associative, i.e. : soit E,F,G,H quatreensembles et soit f ∈ FE, g ∈ GF et h ∈ HG, alors

(h g) f = h (g f).

Remarque 2.29 Soit f ∈ FE alors IdF f = f IdE = f.

Definition 2.30 Soit E,F deux ensembles, soit f ∈ FE, soit A ∈ P(E) etB ∈ calP (F ).

• On appelle restriction de f a A au depart, et on note f|A, l’application deA dans F telle que f|A(a) = f(a) pour tout a ∈ A.

• Si pour tout x ∈ E, f(x) ∈ B, alors on peut definir la restriction de fa B a l’arrivee, notee f |B, comme l’application de E dans B telle quef |B(x) = f(x) pour tout x ∈ E.

• Si pour tout x ∈ A, fx) ∈ B, alors on peut definir la restriction de f a

A au depart et a B a l’arrivee, notee f|B|A , par f

|B|A (x) = f(x) pour tout

x ∈ A.

Definition 2.31 Soit E,F deux ensembles et A ∈ P(E). Soit f ∈ FA etg ∈ FE. On dit que g : E 7→ F est un prolongement de f : A 7→ F si g|A = f .

Remarque : c’est surtout la notion de prolongement par continuite qui serautilisee cette annee.

2.2.2 Images directes, images reciproques d’ensembles par une ap-plication

Definition 2.32 Soit f : E −→ F , A ∈ P(E) et B ∈ P(F ).

• L’image directe de A par f , note f(A), est l’ensemble des images d’elementsde A par f , i.e. c’est le sous-ensemble de F suivant :

f(A) = f(x) / x ∈ A.

• L’image reciproque de B par f , note f [−1](B), est l’ensemble des antecedentspar f des elements de B. C’est donc l’ensemble des elements de E dontl’image par f est dans B, i.e. c’est le sous-ensemble de E suivant :

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f [−1](B) = x ∈ E / f(x) ∈ B.

Exercice 2.33 Determiner f([0, π]) et f [−1]([0, 1]) pour f = sin. On pourrautiliser le theoreme des valeurs intermediaires (l’image d’un intervalle par unefonction continue est un intervalle) et les variations et la periodicite de f .

Proposition 2.34 Soit E,F deux ensembles et f ∈ FE. Soit (A,B) ∈ P(E)2

et (C,D) ∈ P(F )2 :

f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B), f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B),f [−1](A ∪B) = f1(A) ∪ f [−1](B), f [−1](A ∩B) = f [−1](A) ∩ f [−1](B).

Exercice 2.35 Le demontrer et generaliser a des unions et des intersectionsquelconques.

2.2.3 Injections, surjections, bijections

Definition 2.36 Soit E,F deux ensembles, soit f ∈ FE.

• On dit que f est injective si tout element de F admet au plus un antecedentpar f dans E. Autrement dit f est injective si pour tout y ∈ F , l’equationf(x) = y admet au plus une solution x dans E.

• On dit que f est surjective si tout element de F admet au moins unantecedent par f dans E. Autrement dit f est surjective si pour touty ∈ F , l’equation f(x) = y admet au moins une solution x dans E.

• On dit que f est bijective si f est injective et surjective, i.e. si tout elementde F admet un et un seul antecedent par f dans E. Autrement dit f estbijective si pour tout y ∈ F , l’equation f(x) = y admet exactement unesolution x dans E.

Remarque 2.37 L’application f : E 7→ F est donc surjective si et seulementsi f(E) = F .

Theoreme 2.38 (Caracterisation de l’injectivite) Soit E,F deux ensembles etf : E −→ F . Alors l’application f est injective si et seulement si :

∀(x1, x2) ∈ E2, (f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2).

Exercice 2.39 Si E, F et G sont trois ensembles et si f : E −→ F et g :F −→ G verifient que f g est injective, alors montrer que g est injective ; sielles verifient que f g est surjective alors montrer que f est surjective. Montrerpar des contre-exemples qu’aucune des reciproques n’est vraies.

Definition 2.40 Soit E,F deux ensembles et soit f ∈ FE et g ∈ EF . On ditque f admet g comme bijection reciproque si f g = IdF et g f = IdE. Unetelle application g est unique si elle existe, elle est alors notee f−1.

Exercice 2.41 Redemontrer l’unicite sous reserve d’existence de f−1.

Theoreme 2.42 (Caracterisation de la bijectivite par l’existence d’une bijec-tion reciproque) Soit E,F deux ensembles. Soit f ∈ FE. L’application f estbijective si et seulement si f admet une bijection reciproque.

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Remarque 2.43 L’application f−1 : F −→ E est alors l’application qui a y deF associe l’unique antecedent de y par f dans E, i.e. l’unique solution dans Ede l’equation f(x) = y.Par suite, pour savoir si f ∈ FE est bijective, on resout, pour chaque y ∈ F ,l’equation f(x) = y sur E. Si cette equation admet une unique solution, pourchaque y ∈ F , alors f est bijective et l’expression de cette solution x en fonctionde y est alors f−1(y)).

Remarque 2.44 Attention : la definition de l’image reciproque d’une partieB de F par f : E −→ F , notee f [−1](B) ou f−1(B), est valable que f soitbijective ou non. Il s’agit juste d’une notation d’un ensemble ; l’application f−1

n’existe pas necessairement.

Remarque 2.45 Pour tout ensemble E, IdE est bijective (elle est sa proprebijection reciproque).

Exercice 2.46 Montrer que x 7→ x+2 est bijective de R dans R, et determinersa bijection reciproque.

Remarque 2.47 Dans le cas de fonctions de variables reelles, on rappelle letheoreme de la bijection monotone : Si f est continue et strictement mono-tone sur un intervalle I alors f realise une bijection de I sur f(I) (autrementdit la restriction de f au depart a I et a l’arrivee a f(I), est bijective).On rappelle egalement que pour determiner f(I) on peut utiliser le tableau devariation de f , et le theoreme des valeurs intermediaires (l’image d’unintervalle I par une fonction continue sur I est un intervalle).

2.2.4 Indicatrices

Definition 2.48 Soit E un ensemble. Soit A ∈ P(E). On appelle indicatricede A sur E, et on note ici 11A, l’application de E dans 0, 1 qui a tout x de Eassocie 1 si x ∈ A et 0 sinon.

Par exemple l’indicatrice de ∅ est la fonction constante egale a 0, celle de E estla fonction constante egale a 1.

Theoreme 2.49 Deux parties de E sont egales si et seulement si elles ontmeme indicatrice sur E.

Remarque 2.50 Pour montrer que deux parties A et B de E sont egales onpeut donc

• montrer directement l’egalite ou une double inclusion, a partir des definitionsde A et de B,

• ou montrer que pour tout x dans E : x ∈ A⇐⇒ x ∈ B(eventuellement en montrant le sens direct puis le sens reciproque),

• ou montrer que 11A = 11B.

Proposition 2.51 Soit E un ensemble et (A,B) ∈ P(E)2. Alors

11A = 1− 11A , 11A∩B = 11A.11B et 11A∪B = 11A + 11B − 11A.11B.

Exercice 2.52 Redemontrer les proprietes elementaires de l’union et de l’intersection(sauf la derniere) a l’aide des indicatrices.

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3 Calculs et ordre dans R3.1 Ordre dans R3.1.1 Ordre et operations

Rappel : Soit a, b deux reels. On dit que a est superieur ou egal a b, et on lenote a ≥ b, si b − a est positif. On dit que a est superieur strictement a b, eton le note a > b, si a ≥ b et a 6= b. La negation de a ≥ b est ainsi a < b. Enfina = b equivaut a a ≤ b et b ≥ a.

Theoreme 3.1 (transitivite de l’inegalite) Soit a, b, c trois reels. Si a ≤ b etb ≤ c alors a ≤ c. Si de plus a < b ou b < c alors a < c.

Theoreme 3.2 (ordre et operations) Soit a, b, c, d quatre reels.

1. Si a ≤ b et c ≤ d alors a + c ≤ b + b. Si de plus a < b ou c < d alorsa+ c < b+ d.

2. Si a ≤ b et c ≥ 0 alors ac ≤ bc (si a < b et c > 0 alors ac < bc). Si a ≤ bet c ≤ 0 alors ac ≥ bc.

3. Si a et b sont strictement positifs ou strictement negatifs, alors a ≤ bequivaut a 1

b ≤1a , et a < b equivaut a 1

b <1a .

4. Si a et b sont positifs alors a ≤ b equivaut a a2 ≤ b2 (et a < b equivauta a2 < b2) ; et a ≤ b equivaut a

√a ≤

√b (de meme avec des inegalites

strictes).

5. Plus generalement si f realise une bijection (strictement) croissante de Isur f(I), et si (a, b) ∈ I2, alors a ≤ b equivaut a f(a) ≤ f(b) (et a < bequivaut a f(a) < f(b)).

Theoreme 3.3 (ordre et valeur absolue) Soit a, b deux reels et r ∈ R+.

1. Le reel |a− b| est la distance de a a b. Ainsi |a− b| ≤ r signifie que b esta une distance d’au plus r de a, i.e. que b ∈ [a− r, a+ r]. Et |a− b| ≥ requivaut a b ∈]−∞, a− r] ∪ [a+ r,+∞[.

2. |a| ≤ b equivaut a −b ≤ a ≤ b.

3.1.2 Majorant ; maximum ; borne superieure

Definition 3.4 Soit E ∈ P(R). Soit M ∈ R.

• On dit que le reel M est un majorant (resp. minorant) de E si pour toutx de E : x ≤M (resp. x ≥M).

• On dit que M est maximum (resp. minimum) de E si M est un majorant(resp. minorant) de E et si M appartient a E.

Remarque 3.5 : Si E admet un majorant (resp. minorant) alors il en admetune infinite. En revanche, il y a unicite du maximum (resp. minimum) de Es’il existe, on le note alors max(E) (resp. min(E)).

Exercice 3.6 Prouver l’unicite du maximum (resp. du minimum) de E s’ilexiste.

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Definition 3.7 Soit E ∈ P(R) et M ∈ R. On dit que M est borne superieure(resp. inferieure) de E si M est le minimum (resp. maximum) de l’ensembledes majorants (resp. minorants) de E.

Theoreme 3.8 (admis) Une partie E de R admet une borne superieure (resp.inferieure) si et seulement si elle est non vide et majoree (resp. non vide etminoree).

Remarque 3.9 Si elle existe, il y a unicite de la borne superieure (resp. inferieure)de E, on la note alors sup(E) (resp. inf(E)). C’est la consequence de l’unicitedu minimum (resp. maximum) de l’ensemble des majorants (resp. minorants)de E.

Exercice 3.10 Determiner d’abord le maximum (resp. minimum), puis laborne superieure (resp. inferieure) de l’union de deux parties A et B de Ren supposant d’abord qu’elles admettent un maximum (resp. minimum), puisseulement une borne superieure (resp. inferieure). Que dire pour A ∩B ?

Exercice 3.11 Soit f : x 7→ x2−3x2+x+1 . Determiner l’ensemble de definition

D de f puis determiner s’ils existent un majorant, minorant, le maximum, leminimum, la borne superieure, inferieure de ”f sur D”, i.e. de l’ensembleE = f(x) / x ∈ D.

3.2 Equations, inequations dans RPour resoudre une inequation, ou une equation, on commence par en determinerl’ensemble de definition D (i.e. le sous-ensemble de R sur lequel le membre degauche et le membre de droite sont definis), puis on raisonne par equivalence,pour tout element de D. Si D = D1 ∪ D2 et qu’il est plus facile de resoudrel’equation ou l’inequation sur D1 et sur D2, on traite les deux cas et l’ensemblefinal de solution est l’union des solutions dans D1 et des solutions dans D2.Savoir traiter eventuellement plus de deux cas.A savoir :

1. Resolution d’une equation polynomiale du second degre ; signe d’un trinomesur R ;

2. Resolution d’equations trigonometriques (cos(x) = a ou sin(x) = a pour aune constante) et d’inequations trigonometriques (s’aider du cercle trigonometrique,utiliser la 2π-periodicite).

Exercice 3.12 Resoudre sin(x) ≤√

22 sur R.

Exercice 3.13 Resoudre |x2 − 3x+ 4| ≤ |x− 1 sur R.

3.3 Operations dans RRappels : L’addition et le produit sur R sont commutatifs (i.e. pour tous reelsa, b, a+b = b+a et a.b = b.a), associatifs (i.e. pour tous reels a, b, c, (a+b)+c =a+(b+c) et a.(b.c) = (a.b).c). Le produit est distributif sur la somme (i.e. pourtous reels a, b, c, a.(b+ c) = a.b+ a.c).

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3.4 Factorisations et developpements classiques

Pour a, b des reels (ou complexes, ou des polynomes, ou des fonctions etc...) etn ∈ N∗ :

• a2 − b2 = (a− b)(a+ b) ; a2 + b2 = (a− ib)(a+ ib) ;

• a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2 ; a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2) ;

• an − bn = (a− b)(an−1 + anb+ an−1b2 + · · ·+ bn ;

• a2n+1 + b2n+1 = (a+ b)(a2n − a2n1b+ a2n−2b2 + · · ·+ b2n.

3.5 Manipulation de∑

3.5.1 Sommes simples

Definition 3.14 On definit la notation suivante : soit I un ensemble fini etpour chaque i ∈ I, soit ui un reel, alors∑

i∈Iui

est la somme des reels ui pour i parcourant I.

Remarque 3.15 Pour a ≤ b deux entiers et I = [[a, b]], on note aussi cettesomme

b∑i=a

ui.

C’est une somme de b− a+ 1 termes.

Remarque 3.16 Les ui peuvent aussi etre des complexes, ou des fonctions,ou des polynomes, ou des vecteurs (ou tous autres objets mathematiques appar-tenant a un ensemble muni d’une addition commutative et associative).

Remarque 3.17 Par convention, si I = ∅, une somme sur I vaut 0.

Theoreme 3.18 Soit I et J deux ensembles finis et disjoints (i.e. d’intersectionvide), et soit, pour tout i ∈ I ∪ J , ui un reel. Alors :∑

i∈I∪Jui =

∑i∈I

ui +∑i∈J

ui.

Remarque 3.19 Ce theoreme est la consequence de l’associativite et de la com-mutativite de l’addition sur R.

Theoreme 3.20 (Linearite de la sommation) Soit I un ensemble fini, et pourtout i ∈ i, soit (ui, vi) ∈ R2. Soit a, b deux reels. Alors :∑

i∈I(a.ui + b.vi) = a.

∑i∈I

ui + b.∑i∈I

vi.

Remarque 3.21 Ce theoreme est une consequence de l’associativite, de la com-mutativite de l’addition et de la distributivite du produit sur l’addition dans R.

Theoreme 3.22 (Formule de changement de variables) Soit I et J deux en-sembles finis. On suppose que φ : I 7→ J est une bijection. Pour tout j ∈ J ,soit uj un reel. Alors :

page : 19


∑i∈I

uφ(i) =∑j∈J

uj .

Remarque 3.23 Il s’agit juste d’une indexation differente du meme ensemblede reels, donc c’est la meme somme des deux cote de l’egalite. Dans la pratiqueon dit qu’on effectue le changement de variable j = φ(i), on dit que j = φ(i)parcourt l’ensemble J = φ(I) quand i parcourt I et on en deduit l’egalite.

Exercice 3.24 Effectuer le changement de variable j = i + 3 sur

7∑i=2

(i+ 3)2,

on terminera le calcul a l’aide des sommes classiques.

Theoreme 3.25 (Sommes classiques) Soit n ∈ N∗ :

1.

n∑k=1

k =n(n+ 1)

2;

2.

n∑k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6;

3.

n∑k=1

k3 =n2(n+ 1)2

4.

Exercice 3.26 Les demontrer par recurrence.

Theoreme 3.27 (Formule du binome de Newton) Soit n ∈ N, pour tous reelsa et b :

(a+ b)n =

n∑k=0

(nk )akbn−k.

Exercice 3.28 Le demontrer par recurrence, a l’aide de la formule de Pascal: (nk ) + (nk+1) = (n+1

k+1), pour tout n ∈ N et tout k ∈ [[0, n]].

Remarque 3.29 Cette formule est encore valable pour a et b complexes, oufonctions, ou polynomes (ou tous autres objets mathematiques dans un ensemblemuni d’une addition commutative et d’un produit, associatifs, ou le produit estdistributif sur l’addition, pourvu que a.b = b.a).

Exercice 3.30 Calculer

n∑k=1

(nk )(−1)k, pour n ∈ N.

Proposition 3.31 Pour tout (n, k) ∈ N2 tels que 0 ≤ k ≤ n, et pour toutx ∈ R− 1,

n∑i=k

xi =xk − xn+1

1− x.

Exercice 3.32 Demontrer directement cette formule, aussi valable pour x ∈C− 1.

page : 20


3.5.2 Sommes doubles

Il s’agit de sommes simples sur un ensemble C de couples.Soit ui,j/(i, j) ∈ C un ensemble de valeurs reelles (ou complexes). Danscertains cas d’ensembles C de couples, la somme double sur C est une sommesimple de sommes simples. Les formules suivantes sont des consequences del’associativite et de la commutativite de la somme (on peut visualiser dans untableau a double entree l’ensemble des termes a additionner, et choisir d’additionnerligne par ligne ou colonne par colonne par exemple).

Theoreme 3.33 Avec les notations precedentes, on a les formules suivantes :

1. Cas ou C est un produit cartesien I × J :∑(i,j)∈I×J

ui,j =∑i∈I

∑j∈J

ui,j =∑j∈J

∑i∈I

ui,j .

2. Cas ou C est du type (i, j) ∈ N2/a ≤ i ≤ j ≤ b pour deux naturelsa ≤ b :

∑(i,j)∈C

ui,j =∑

a≤i≤j≤b

ui,j =

b∑i=a

b∑j=i

ui,j =

b∑j=a

j∑i=a

ui,j .

3. Cas ou C est du type (i, j) ∈ N2/a ≤ i < j ≤ b pour deux naturelsa ≤ b :

∑a≤i<j≤b

ui,j =

b−1∑i=a

b∑j=i+1

ui,j =

b∑j=a+1

j−1∑i=a

ui,j .

Exercice 3.34 Soit n ∈ N∗. Calculer∑

(i,j)∈C

i.j pour C = [[1, n]]2, puis C =

(i, j) ∈ [[1, n]]2 / i ≤ j, puis C = (i, j) ∈ [[1, n]]2 / i ≤ j. Donner une relationentre les trois sommes calculees.

3.6 Manipulation de∏

3.6.1 Produits simples

Definition 3.35 Soit I un ensemble fini, et pour tout i ∈ I, soit ui ∈ R. Onnote le produit dont les facteurs sont les ui pour i dnas I de la facon suivante :∏

i∈Iui.

Si I = [[a, b]], ou a ≤ b sont deux entiers, alors on le note aussi :

b∏i=a

ui.

C’est un produit de b− a+ 1 facteurs.

Remarque 3.36 Si I = ∅, par convention le produit vide vaut 1.

page : 21


Remarque 3.37 Par associativite et commutativite du produit, le theoreme [?]reste valable en rempacant le symbole de sommation par celui du produit. Letheoreme [?] de changement de variable aussi.

Remarque 3.38 En revanche, il n’y a pas de linearite du produit.

On peut retenir le resultat suivant :

Proposition 3.39 Soit I un ensemble fini et pour tout i ∈ I, soit ui ∈ R. Soita ∈ R. Alors : ∏

i∈Ia.ui = acard(I).

∏i∈I

ui.

Retenons egalement, pour tout r ∈ R et tout (k, n) ∈ N2, si 1 ≤ k ≤ n :

n∏i=k

r = rn−k+1,

n∏i=1

i = n!, et

n∏i=k

i =n!

(k − 1)!.

3.6.2 Produits doubles

De meme, si l’ensemble de variable sur lequel on effectue le produit est un en-semble de couples, on dit qu’il s’agit d’un produit double.Les formules du theoreme 3.33 restent vraies en remplacant partoutle symbole de sommation par un symbole de produit, par associativiteet commutativite du produit.

Toutes les proprietes du produit restent vraies avec des complexes, ou desfonctions, ou des polynomes, a la place des facteurs reels.

page : 22


4 Complexes

4.1 Definitions, proprietes elementaires

L’ensemble des complexes, note C, est a + ib/(a, b) ∈ R2, ou i est tel quei2 = −1. Il contient R et est muni d’un addition + et d’un produit · ayant lesmemes proprietes que l’addition et le produit dans R et caracterises par le faitque i2 = −1. Ainsi pour tout (a, b, c, d) ∈ R4 :

(a+ ib) + (c+ id) = (a+ b) + i(c+d) et (a+ ib).(c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ cb).

Le seul complexe dont le produit avec tout autre complexe donne 0 est le complexe0 = 0 + i0, appele complexe nul.

Theoreme 4.1 Soit a, b, c, d quatre reels. On a

a+ ib = c+ id si et seulement si a = c et b = d.

On peut donc definir la partie reelle et la partie imaginaire d’un complexe z ∈ C.

Definition 4.2 Soit z ∈ C. Il existe un unique couple (a, b) de reels tel quez = a + ib ; le reel a s’appelle la partie reelle de z, notee <(z), et le reelb s’appelle la partie imaginaire de z, notee =(z). L’ecriture z = a + ib ou(a, b) ∈ R2 s’appelle l’ecriture algebrique de z.

Definition 4.3 On appelle module d’un complexe z le reel positif√<(z)2 + =(z)2,

on le note |z|.

Remarque 4.4 Un complexe est nul si et seulement si son module est nul. Lemodule d’un reel est exactement sa valeur absolue.

Representation graphique de C : L’ensemble C peut etre represente graphique-ment par le plan cartesien, i.e. le plan muni d’un repere orthonorme direct

(O,−→i ,−→j ). Un complexe z est alors represente par un point M dont l’abscisse

est <(z) et l’ordonnee =(z), ce point M est dit d’affixe z. Le module de z estalors la distance de l’origine O du repere a M .On remarque qu’un point M du plan complexe, different de l’origine, est car-

acterise par la distance OM et l’angle (−→i ,−−→OM) modulo 2π, le plan complexe

etant oriente.On note par la suite C∗ = C− 0.

Definition 4.5 Soit z ∈ C∗. On appelle argument de z, et on note arg(z), une

mesure en radiant de l’angle (−→i ,−−→OM) modulo 2π, ou M est le point d’affixe z

du plan complexe.

Theoreme 4.6 Deux complexes non-nuls sont egaux si et seulement si ils ontmeme module et meme argument modulo 2π.

Definition 4.7 Soit z ∈ C∗. On appelle ecriture exponentielle (ou trigonometrique)de z la notation z = ρ.eiθ ou ρ = |z| et θ ≡ arg(z) (mod 2π).

Des relations trigonometriques dans le triangle rectangle, on deduit le theoremesuivant.

Theoreme 4.8 (Formules d’Euler) Pour tout θ ∈ R,

page : 23


eiθ = cos(θ) + i sin(θ).

En particulier :

cos(θ) =eiθ + e−iθ

2et sin(θ) =

eiθ − e−iθ

2i.

On a les proprietes suivantes du module et de l’argument.

Theoreme 4.9 Pour tout (z, z′) ∈ C2,

1. |z.z′| = |z|.|z′| et si z 6= 0, | 1z | =1|z| ;

2. |z + z′| ≤ |z| + |z′| (inegalite triangulaire), et il n’y a egalite que si z ouz′ est nul, ou z et z′ ont meme module modulo 2π.

Pour tout (z, z′) ∈ (C∗)2,

1. arg(z.z′) ≡ arg(z) + arg(z′) (mod 2π) et arg 1z ≡ − arg(z) (mod 2π) ;

2. z ∈ R⇐⇒ arg(z) ≡ 0 (mod π) ;

3. z ∈ iR⇐⇒ arg(z) ≡ π2 (mod π).

On en deduit en particulier les resultats suivants.

Theoreme 4.10 Pour tout (ρ, ρ′) ∈ R2 et tout (θ, θ′) ∈ R2,

(ρ.eiθ).(ρ′.eiθ′) = ρρ′.ei(θ+θ

′).

Theoreme 4.11 (Formule de Moivre) Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ Z,

(eiθ)n = einθ, soit (cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + i sin(nθ).

Definition 4.12 Soit z ∈ C. On appelle conjugue de z, et on note z, le com-plexe <(z)− i=(z).

Remarque 4.13 Dans le plan complexe, le point d’affixe z est le symetriquepar rapport a l’axe des abscisses du point d’affixe z.

Remarque 4.14 Soit ρ ∈ R+ et θ ∈ R, alors ρ.eiθ = ρ.e−iθ.

Theoreme 4.15 La conjugaison a les proprietes suivantes. pour tout (z, z′) ∈C2,

1. z.z = |z|2 ;

2. z = z ;

3. <(z) = z+z2 et =(z) = z−z

2i ;

4. z ∈ R⇐⇒ z = z ; z ∈ iR⇐⇒ z = −z ;

5. z + z′ = z + z′ ; z.z′ = z.z′ et si z 6= 0, 1z = 1

z .

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4.2 Complexes et trigonometrie

A savoir faire :

1) Utilisation des formules d’Euler pour mettre sous forme trigonometrique

eiθ ± eiθ′ : mettre d’abord eiθ+θ′

2 en facteur, l’autre facteur est 2 cos( θ−θ′

2 ) ou

2i sin( θ−θ′

2 ).

Exercice 4.16 Mettre sous forme trigonometrique eiπ3 − 1.

Exercice 4.17 Retrouver les formules trigonometriques cos(a)±cos(b), sin(a)±sin(b).

2) Lineariser cosn(x) ou sinn(x) ((x, n) ∈ R × N), i.e. l’ecrire comme unesomme de cos(kx) ou de sin(kx) pour des entiers k : on utilise les formulesd’Euler pour remplacer cos(x) ou sin(x), puis la formule du binome de Newton,puis, apres regroupement adequat des termes, a nouveau les formules d’Euler.

Exercice 4.18 Lineariser sin3(x), ou x ∈ R.

3) ”Antilineariser” cos(nx) ou sin(nx) ((x, n) ∈ R× N), i.e. l’exprimer enfonction de puissance de cos(x) et sin(x) : on utilise les formules de Moivre(par exemple cos(nx) = <((cos(x) + i sin(x))n)), puis la formule du binome deNewton, puis on prend la partie reelle ou imaginaire du developpement obtenu.

Exercice 4.19 ”Antilineariser” sin(3x), ou x ∈ R.

Exercice 4.20 Montrer que pour tout n ∈ N, cos(nx) est un polynome encos(x).

4) Utiliser simplement le fait que cos(x) = <(eix) ou sin(x) = =(eix).

Exercice 4.21 Retrouver les formules de trigonometrie pour cos(a± b) et poursin(a± b).


n∑k=0

cos(kx), ou (n, x) ∈ N× R.

5) Utiliser le cercle trigonometrique pour se souvenir de relations usuelles(cos(x+ π

2 ) = − sin(x) par exemple), se souvenir des cosinus et sinus des anglesusuels (0, π6 ,

π6 ,

π4π3 ,

π2 et leurs symetriques par rapport aux axes).

Exercice 4.23 Exprimer a l’aide de cos(x) ou sin(x) : cos(x± π2 ), sin(x± π

2 ),tan(x± π

2 ), cos(x± π).

Exercice 4.24 Mettre 1 + i, 1 +√

3i sous forme trigonometrique.

4.3 Equations dans CPour resoudre un equation dans C, on peut utiliser les deux theoremes fonda-mentaux [?] et [?]. Le premier sera utile si on cherche les solutions sous formealgebrique, le second si on les cherche sous forme trignometriques. On peut etreamene alors a utiliser egalement les resultats suivants.

page : 25


Theoreme 4.25 (Rappels sur les congruences) Soit a, b, c trois reels. Par definitiona ≡ b (mod c) signifie qu’il existe k ∈ Z tel que a − b = k.c. Par consequent,pour tout d ∈ R,

a ≡ b (mod c)⇐⇒ a+ d ≡ b+ d (mod c),a ≡ b (mod c)⇐⇒ a.d ≡ b.d (mod c.d).

Exercice 4.26 Determiner les racines carrees complexes de 2− 4i.

Exercice 4.27 Resoudre dans C l’equation z.z6 = i.z.

On pourra egalement utiliser les resultats suivants.

Theoreme 4.28 (Equation du second degre) Soit (a, b, c) ∈ C3 ou a 6= 0, soitE : a.z2 + b.z + c = 0.On appelle discriminant de ce trinome le complexe ∆ = b2 − 4ac. Si δ ∈ C esttel que δ2 = ∆, alors les solutions de l’equation E sont

−b+ δ

2aet−b− δ

2a.

Exercice 4.29 Resoudre z2 −√

2z + i = 0 dans C.

Theoreme 4.30 (Racine nieme d’un complexe non nul) Soit z0 ∈ C∗ et n ∈ N∗,soit E : zn = zo.Comme z0 est non nul, il admet une forme exponentielle : zo = ρoe

iθo . L’ensembledes solutions de l’equation est alors:

ρ1no ei(

θo+2kπn ) / k ∈ [[0;n− 1]].

Les elements de cet ensemble sont appeles les racines nieme de z0.

Remarque 4.31 En particulier si z0 = 1, l’ensemble des solutions est l’ensembledes racines niemes de l’unite, i.e

Un = ωk / k ∈ [[0;n− 1]], ou ω = ei2πn .

Remarque 4.32 Si z0 = 0 (et n 6= 0), l’unique solution de E est 0. Si n = 0,l’unique solution de E est 1.

Exercice 4.33 Resoudre z5 = 1 + i dans C.

Exercice 4.34 Calculer la somme et le produit des racines niemes de l’unite.

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5 Polynomes

Dans tout ce chapitre K designe R ou C.


On appelle polynome a coefficient dans K la donnee d’un n ∈ N et d’une(n+ 1)−liste (a0, a1, . . . , an) ∈ Kn+1.

Le polynome P correspondant a cette donnee est note

n∑k=0

akXk. On peut

l’identifier a la fonction polynomiale sur K : x 7→n∑k=0

akxk.

Pour chaque k, ak s’appelle coefficient de degre k, et akXk monome de degre

k, du polynome P .On note K[X] l’ensemble des polynomes a coefficients dans K.

Definition 5.1 On appelle polynome nul de K[X] le polynome dont tous lescoefficients sont nuls. On le notera 0K[X].

Definition 5.2 Soit P ∈ K[X]−0K[X]. On appelle de degre de P , et on notedeg(P ), le plus grand naturel n tel que le coefficient de degre n de P soit nonnul.Par convention le degre du polynome nul est −∞.

Remarque 5.3 Attention : Un polynome de degre 0 est donc un polynomeconstant non nul.

Definition 5.4 Soit P ∈ K[X] − 0K[X], et n = deg(P ). Le coefficient duterme de degre n dans P s’appelle le coefficient dominant de P ; on dit qu’unpolynome est unitaire si son coefficient dominant est egal a 1.

Theoreme 5.5 Deux polynomes non nuls sont egaux si et seulement si ils ontmeme degre et memes coefficients. Un polynome est nul si et seulement si tousses coefficients sont nuls.

Theoreme 5.6 Soit (A,B) ∈ K[X]2. Alors deg(A+B) ≤Maxdeg(A), deg(B).De plus si A et B sont de degres differents, alors deg(A+B) = Maxdeg(A), deg(B).

Theoreme 5.7 Soit (A,B) ∈ K[X]2, soit p, q leurs degres respectifs et soit

(a0, . . . , ap) ∈ Kp+1, (b0, . . . , bq) ∈ Kq+1, tels que A(X) =

p∑k=O

akXk et B(X) =

q∑k=0

bkXk.

Alors deg(A.B) = deg(A) + deg(B), et pour chaque k ∈ [[0, p+ q]], le coefficientde degre k du polynome produit A.B est :∑

(i,j)∈[[0,p]]×[[0,q]]/i+j=k

ai.bj .

Remarque 5.8 Plus generalement, et par recurrence sur le nombre de fac-teurs, le degre d’un produit de polynomes est egal a la somme de leurs degres,le coefficient dominant d’un produit de polynomes etant egal au produit de leurcoefficient dominant.

page : 27


5.2 Division euclidienne, divisibilite

Theoreme 5.9 Soit (A,B) ∈ K[X] × (K[X] − 0K[X]). Il existe un uniquecouple (Q,R) ∈ K[X]2 tel que

A = BQ+R et deg(R) < deg(B).

Remarque 5.10 On utilise la convention −∞ < n pour tout n ∈ N, si lepolynome R est nul.

Definition 5.11 Q s’appelle alors le quotient et R le reste de la division eucli-dienne de A par B.

Exercice 5.12 Effectuer la division euclidienne de X3 − 5X2 + 4X − 5 parX − 2.

Definition 5.13 Soit (A,B) ∈ K[X]× (K[X]− 0K[X]). On dit que B diviseA s’il existe Q ∈ K[X] tel que A = B.Q.

Remarque 5.14 Donc B divise A si et seulement si le reste de la divisioneuclidienne de A par B est le polynome nul.

Remarque 5.15 B divise A et si A et B ont meme degre alors il existe uneconstante non nulle c ∈ K∗ telle que A = cB.

5.3 Polynomes derives, formules de Taylor

Definition 5.16 Soit P =

n∑k=1

akXk ∈ K[X]. On appelle polynome derive de

P , et on note P ′, le polynome

P ′(X) =

n∑k=1

kakXk−1.

Remarque 5.17 En tant que fonction polynomiale, P ′ correspond bien a laderivee de la fonction P .

Definition 5.18 Soit P ∈ K[X] et m ∈ N∗, on appelle derivee mieme de P ,et on note P (m), le polynome obtenu par m derivations successives de P . Parconvention, P (0) = P .

Remarque 5.19 On a deg(P (m)) = deg(P ) − m si deg(P ) ≥ m, et P (m) =0K[X] si deg(P ) < m.

Remarque 5.20 En particulier, retenons que pour tout a ∈ K, ((X − a)k)(j)

vaut k!(k−j)! (Xa)k−j si k ≥ j, et vaut 0 si k < j.

On deduit de ces remarques la formule suivante.

Theoreme 5.21 (Formules de taylor) Soit P ∈ K[X] alors pour tout a ∈ C ettout n superieur ou egal au degre de P ,

P (X) =

n∑k=0

P (k)(a)

k!(X − a)k.

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Remarque 5.22 En particulier, la formule de Taylor en a = 0 donne l’expression

des coefficients de P (le coefficient d’ordre k est P (k)(0)k! ).

Remarque 5.23 Dans cette formule, tous les termes eventuels pour k > deg(P )sont nuls. La formule est biensur fausse pour des n < deg(P ).

Remarque 5.24 Cette formule permet de determiner le quotient et le reste dela division euclidienne de P par (X − a)r pour r ∈ N.

Exercice 5.25 Determiner le quotient et le reste de la division euclidienne deXn +Xn−1 −X − 1 par (X − 1)3, en fonction de n.

Une autre formule va etre utile pour la suite du cours, elle se demontre parrecurrence, de la meme facon que la formule du binome de Newton.

Theoreme 5.26 (Formule de Leibnitz) Soit f et g deux fonctions indefinimentderivables sur un intervalle I, alors f.g est aussi indefiniment derivable sur Iet, pour tout n ∈ N, on a sur I :

(f.g)(n) =

n∑k=0

(nk )f (k).g(n−k).

On utilisera cette formule pour des polynomes, qui, en tant que fonctions, sontindefiniment derivables sur R.

5.4 Racines et multiplicites, factorisation

Definition 5.27 Soit P ∈ K[X] et α ∈ C. On dit que α est racine de P siP (α) = 0.

Definition 5.28 Soit P ∈ K[X], α ∈ C et m ∈ N∗. On dit que α est racine deP de multiplicite m si (X −α)m divisent P , mais (X −α)m+1 ne divise pas P .

Remarque 5.29 Une racine de multiplicite 1 (resp. 2) dans P est appeleeracine simple (resp. double) de P etc...

Remarque 5.30 Si (X − α)r divise P , alors α est racine de P de multipliciteau moins r.

On a les caracterisations suivantes.

Theoreme 5.31 (Caracterisation des racines) Soit P ∈ K[X] et α ∈ C. Alorsα est racine de P si et seulement si X − α divise P .

Theoreme 5.32 (Caracterisation de la multiplicite d’une racine) Soit (P, α,m) ∈K[X]×K× N∗. Le polynome P admet α comme racine de multiplicite m si etseulement si P (α) = P ′(α) = · · · = P (m−1)(α) = 0 et P (m)(α) 6= 0.

Exercice 5.33 Demontrer ces caracterisations (on pourra utiliser la formulede Taylor pour la premiere, et les formules de Taylor et de Leibnitz pour laseconde).

Remarque 5.34 Quand on veut determiner le reste sans calculer le quotientde la division euclidienne de A par B, on cherche les racines α de B et leurmultiplicite mα. Pour chaque racine α de B, on a ainsi en particulier B(α) =B′(α) = · · · = B(mα−1)(α) = 0. Chacunes de ces equations peut etre utiliseespour determiner les coefficients du reste, en utilisant l’egalite A = BQ + R etles egalites obtenues par derivation de celle-ci (A′ = BQ′ +B′Q+R′ etc...).

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Exercice 5.35 Determiner en fonction de n ∈ N, le reste de la division eucli-dienne de Xn par X2 + 1, puis par (X − 1)3.

Remarque 5.36 Si P ∈ R[X] et si α ∈ C est racine de P de multiplicite m,alors α est aussi racine de P de multiplicite m.

Exercice 5.37 Prouver cette derniere remarque a l’aide de la caracterisationde la multiplicite des racines. En deduire qu’alors P est divisible par (X2 −2<(α)X + |α|2)mα , si α n’est pas reel.

Theoreme 5.38 (Theoreme de factorisation) Si P admet n racines deux a

deux distinctes α1, . . . , αn dans K, alors

n∏k=1

(X − αk) divise P . Plus precisemment

si chaque αk est racine de P de multiplicite mk alors

n∏k=1

(X − αk)mk divise P .

Remarque 5.39 Ce theoreme permet donc de factoriser un polynome dont onconnaıt toutes les racines dans C et les multiplicites de chaque racine.

Remarque 5.40 Comme le montre le dernier exercice, il peut etre utile defactoriser un polynome de R[X] d’abord dans C[X], pour revenir ensuite dansR[X].

Exercice 5.41 Factoriser X8 + 1, puis X8 + 2X4 + 1, dans C[X] puis dansR[X].

5.5 Polynomes irreductibles, Theoreme de D’Alembert-Gauss

Definition 5.42 Soit P ∈ K[X]. On dit que P est irreductible dans K[X] sipour tous polynomes A,B de K[X], P = A.B implique que A ou B est unpolynome constant non nul.

Remarque 5.43 Autrement dit un polynome irreductible de K[X] est un polynomenon nul qu’on ne peut pas factoriser en un produit de polynomes de K[X] dedegres strictement inferieurs.

Remarque 5.44 Selon K, les polynomes irreductibles ne sont pas les memes.Ainsi X2 + 1 est irreductible dans R[X], mais pas dans C[X].

Theoreme 5.45 (Theoreme de D’Alembert-Gauss, admis) Tout polynome deC[X] de degre n ≥ 1 admet une racine dans C.

En consequence tout polynome de C[X] de degre n ≥ 1 est factorisable en unproduit de n polynomes de degre 1. On peut donc conclure au resultat suivant.

Theoreme 5.46 (Irreductibles de C[X] et de R[X])

• Les polynomes irreductibles de C[X] sont les polynomes de degre 1.

• Les polynomes irreductibles de R[X] sont les polynomes de degre 1 et lespolynomes de degre 2 de discriminant strictement negatifs.

• Tout polynome de K[X]−0K[X] peut s’ecrire de facon unique (a l’ordrepres des facteurs) comme un produit de son coefficient dominant et defacteurs irreductibles et unitaires dans K[X].

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On sait donc factoriser un polynome P de K[X] en produit de facteurs irreductiblesdans C[X] en cherchant ses racines dans C et leurs multiplicites. Si P ∈ R[X],on revient a une factorisation de P dans R[X] en ”regroupant” les racines con-juguees...

Remarque 5.47 Si l’ensemble des racines distinctes de P dans C est β1, β2, . . . , βn,si pour chaque k, βk a pour multiplicite mk dans P , et si P a pour coefficientdominant a, alors

P (X) = a

n∏k=1

(X − βk)mk ,

et il s’agit de la decomposition de P en produit de facteurs irreductibles etunitaires dans K[X].

Remarque 5.48 On peut formuler un nouveau critere de divisibilite d’un polynomeA par un polynome B, quand B est mis sous la forme precedente : B diviseA si et seulement si pour tout k ∈ [[1, n]], βk est racine de A de multiplicite aumoins mk.

Theoreme 5.49 Deux polynomes non-nuls de K[X] sont donc egaux si, etseulement si, ils ont les memes racines dans C, avec les memes multiplicites, etle meme coefficient dominant.

Exercice 5.50 Factoriser X8 + 1, puis X8 + 2X4 + 1, dans en polynomesirreductibles dans C[X] puis dans R[X].

5.6 Remarques classiques sur les relations entre racines etcoefficients

Soit P ∈ K[X], soit n son degre (on suppose n ≥ 1), et soit (a0, a1, . . . , an) ∈Kn+1 tel que P (X) =

∑nk=0 akX

k.Notons β1, . . . , βn les n racines de P , pas forcement distinctes (chaque racineapparaıt autant de fois dans cette liste que sa multiplicite dans P ).

Alors P (X) = an

n∏k=1

(X − βk) =

n∑k=0

akXk. Si on developpe le produit, on en

deduit (en considerant les termes de degre n− 1 et 0) que

n∑i=1

βk =−an−1

an,

n∏k=1

βk = (−1)na0

an...

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6 Analyse combinatoire, denombrement

6.1 Cardinal

Definition 6.1 Soit n ∈ N∗. On dit qu’un ensemble est de cardinal n s’il esten bijection avec [[1;n]]. On dit qu’il est de cardinal nul s’il est vide. On ditqu’un ensemble E est fini s’il existe n ∈ N tel que E soit de cardinal n.

Remarque 6.2 On dit que deux ensembles sont en bijection s’il existe unebijection entre ces deux ensembles.

Remarque 6.3 Cette definition signifie que E est de cardinal n si on peutindexer3 les elements de E par les elements de [[1, n]], i.e. si E = f(i) / i ∈[[1, n]] = f(1), f(2), . . . , f(n), ou f : [[1, n]] 7→ E est bijective.

Definition 6.4 On dit qu’un ensemble est infini denombrable s’il est en bi-jection avec N, et qu’il est indenombrable s’il n’est pas fini et n’est pas infinidenombrable.

Remarque 6.5 Si deux ensembles E et F sont tous les deux de cardinal n, alorsil existe une bijection de E dans F . (En effet il existe, par definition du cardinal,deux bijections f : E 7→ [[1, n]] et g : F 7→ [[1, n]], d’ou h = g−1 f : E 7→ F et hest bijective comme composees de deux bijections.)

Remarque 6.6 Reciproquement, si deux ensembles sont en bijections, alors ilsont meme cardinal.

Remarque 6.7 Il n’existe pas de bijections de [[1, n]] dans [[1, p]] si n 6= p, nide bijections de [[1, n]] dans N (admis). Donc il y a unicite du cardinal d’unensemble fini E, et ce cardinal est note card(E) ou |E|.

Exemples :

1. Soit a ≤ b deux entiers. L’application f : [[a, b]] 7→ [[1, b−a+ 1]], qui a toutx ∈ [[a, b]] associe f(x) = x− a+ 1, est bijective. Donc |[[a, b]]| = b− a+ 1.

2. Soit n ∈ N∗ et ω = ei2πn . Soit f : [[0, n − 1]] 7→ Un, l’application qui

a tout k ∈ [[0, n − 1]] associe f(k) = ωk. Alors f est bijective, donc|Un| = |[[0, n− 1]]|, soit d’apres le premier exemple : |Un| = n.

3. Les ensembles N, Z, Q sont infinis denombrables, et R est infini nondenombrable (admis).

6.2 Denombrement

Theoreme 6.8 (Formule de Poincare ou formule du crible) Soit E un ensem-ble, soit A et B deux parties finies de E, alors A ∪B est fini et

card(A ∪B) = card(A) + card(B)− card(A ∩B).

Remarque 6.9 Les resultats intermediaires a retenir et a savoir redemontrerpour prouver cette formule sont :

1. Si A1 et A3 sont deux parties finies et disjointes d’un ensemble E alorscard(A1 ∪A2) = card(A1) + card(A2).

3”Indexer” signifie ”mettre des indices sur”.

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2. Si C et D sont deux parties finies d’un ensemble E, alors card(D−C) =card(D)− card(C ∩D).

3. Pour tout n ∈ N∗, si A1, A2, . . . , An sont n parties finies et deux a deuxdisjointes de E, alors

card(

n⋃i=1

Ai) =

n∑i=1

card(Ai).

Remarque 6.10 Les resultats intermediaires 2 et 3 decoulent du 1. La formulede Poincare se generalise a un nombre fini d’ensembles, par recurrence.

Theoreme 6.11 (Formule de Poincare generalisee) Soit n ∈ N∗ et A1, A2, . . . , An,n parties finies d’un ensemble E, alors

card(

n⋃i=1

Ai) =

n∑k=1

((−1)k+1∑

1≤i1<i2<···<ik≤n

card(∩kj=1Aij )),

ou encore

card(

n⋃i=1

Ai) =

n∑k=1

((−1)k+1∑

J∈Pk([[1,n]])

card(∩j∈JAj))

ou Pk([1, n]]) designe l’ensemble des parties a k elements de [1, n]].

Remarque 6.12 Il faut savoir ecrire (in extenso) cette formule dans des casparticuliers (pour trois ou quatres parties...), et savoir aussi l’utiliser avec lesymbole de sommation.

Exercice 6.13 Parmi les 38 eleves d’une classe, 31 etudient l’anglais, 24 etudientl’espagnol, 17 etudient l’allemand, 12 etudient l’anglais et l’allemand, 9 etudientl’espagnol et l’allemand et 4 etudient les trois langues. On suppose que tout elevede la classe etudie au moins une langue. Calculer le nombre d’eleves etudiantl’anglais et l’espagnol, puis le nombre d’eleves etudiant l’anglais ou l’espagnol.Combien etudient uniquement l’allemand ?

Theoreme 6.14 Soit E et F deux ensembles finis. Le cardinal du produitcartesien E × F est card(E).card(F ).

Remarque 6.15 Pour tout n ∈ N∗, si E1, E2, . . . , En sont n ensembles finis,alors

card(E1 × E2 × · · · × En) =

n∏i=1

card(Ei). Ainsi card(En1 ) = card(E1)n.

6.3 Combinatoire : parties, p-listes, p-arrangements d’unensemble fini

Soit E un ensemble fini de cardinal n. Soit p ∈ N.

Definition 6.16 On appelle p-liste d’elements de E une liste ordonnee de pelements de E, c’est-a-dire un element de Ep.

Definition 6.17 On appelle p-arrangement d’elements de E une p-liste d’elementsdeux a deux distincts de E.

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Remarque 6.18 Dans ce cours, on notera Ap(E) l’ensemble des p-arrangementsde E. Le nombre de p-arrangements d’un ensemble a n elements se note parailleurs Apn.

Definition 6.19 On appelle partie a p elements de E un sous-ensemble de car-dinal p de E ; on note Pp(E) l’ensemble des parties a p elements de E, et onnote (np ) = card(Pp(E)).

Theoreme 6.20 On a les resultats suivants, si E est de cardinal n et p ∈ N :

1. Le nombre de p-liste de E est card(Ep) = np.

2. Si p ∈ [[0;n]], le nombre de p-arrangements de E est Apn =n!

(n− p)!.

3. Si p ∈ [[0;n]], le nombre de parties a p elements de E est (np ) =n!

p!(n− p)!.

4. Si p > n, il n’y a aucun p-arrangements de E et aucune partie a p elementsde E : Apn = (np ) = 0.

Theoreme 6.21 Soit A un ensemble a p elements. L’ensemble des p-listesde E est en bijection avec l’ensemble EA des applications de A dans E. Enparticulier :

card(EA) = card(Ep) = np.

Theoreme 6.22 L’ensemble des p-arrangements d’elements de E est en bijec-tion avec l’ensembles des applications injectives de A dans E, en particulier ily a Apn injections de A dans E.

Remarque 6.23 Notons a1, a2, . . . , ap les p elements de A. Retenir que lademonstration de ces theoremes repose sur le fait que l’application Φ : EA 7→ Ep,definie par Φ(f) = (f(a1), f(a2), . . . , f(ap)) pour tout f ∈ EA, est bijective.

Theoreme 6.24 Soit n ∈ N. Soit p ∈ [[0;n]]. On a les formules suivantes :

• (np ) = (nn−p) ;

• (n+1p+1 ) = n+1

p+1 (np ) (formule du pion) ;

• (np ) + (np+1) = (n+1p+1 ) (formule de Pascal).

Ces formules s’etendent a tout (p, n) ∈ N2, avec la convention (np ) = 0 si p > n.

Remarque 6.25 On rappelle la formule du binome de Newton, pour tout (a, b) ∈C2 et tout n ∈ N :

(a+ b)n =

n∑k=0

(nk )akbn−k.

En particulier,∑nk=0(nk ) = 2n,

∑nk=0(nk )(−1)k = 0...

On en deduit aussi que si E est de cardinal n, comme P(E) = ∪nk=0Pk(E) etcomme cette union est disjointe, card(P(E)) = 2n.

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Remarque 6.26 Soit (k, n) ∈ N2 tel que k ≤ n. Il y a autant de k-listesordonnees de facon strictement croissante que de partie a k elements de E, il yen a donc (nk ).

Exercice 6.27 Prouver cette derniere remarque et justifier ainsi les deux ex-pressions donnees pour la formule de Poincare.

6.4 Cardinal et inclusion, cardinal et application

Theoreme 6.28 Soit E un ensemble fini et A et B deux parties de E. SiA ⊂ B alors card(A) ≤ card(B). Si A ⊂ B et card(A) = card(B), alorsA = B.

Remarque 6.29 Attention, ce resultat est faux pour des ensembles infinis, parexemple N ⊂ Z et tous les deux sont de cardinal infini denombrable, mais N 6= Z.

Theoreme 6.30 Soit f : E −→ F . Alors card(f(E)) ≤Mincard(E), card(F ).De plus si E et F sont finis alors :

• card(f(E)) = card(E) si et seulement si f est injective ;

• card(f(E)) = card(F ) si et seulement si f est surjective.

• en particulier si card(E) = card(F ), alors la bijectivite de f est equivalentea sa surjectivite, et est aussi equivalente a son injectivite.

Definition 6.31 On appelle permutation d’un ensemble E une bijection de Edans E. On note S(E) l’ensemble des permutations de E.

Remarque 6.32 D’apres le theoreme precedent, si E est de cardinal fini n,alors S(E) est aussi l’ensemble des injections de E dans E, donc

card(S(E)) = Ann = n!.

Exercice 6.33 Soit f : E −→ F injective, alors pour tout A ∈ P(E) : card(f(A) =card(A). (En effet, on peut montrer qu’il y a une bijection de A dans f(A) :prendre la restriction de f a A au depart et a f(A) a l’arrivee.)

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7 Suites reelles I


7.1.1 Rappels

On appelle suite reelle toute application u de N dans R. L’ensemble des suitesreelles est donc RN. Pour chaque n ∈ N, le terme d’indice n de la suite u, i.e.u(n), est note un. La suite u est aussi notee (un)n∈N, ou (un).

Definition 7.1 Soit n0 ∈ N et soit u ∈ RN.On dit que u est croissante (resp. decroissante) a partir du rang n0 si pour toutn ≥ n0, un+1 ≥ un (resp. un+1 ≤ un).On dit que u est strictement croissante (resp. strictement decroissante) a partirdu rang n0 si pour tout n ≥ n0, un+1 > un (resp. un+1 < un).On dit que u est monotone (resp. strictement monotone) a partir du rang n0 sielle est croissante ou decroissante (resp. strictement croissante ou decroissante)a partir du rang n0.

Remarque 7.2 Si u est croissante a partir du rang n0 alors pour tous na-turels n, p tels que n ≥ p ≥ n0, un ≥ up. (cela se demontre, si demande, parrecurrence.) De meme pour les autres types de monotonie.

Definition 7.3 Soit M ∈ R et u ∈ RN.On dit que u est majoree par M si pour tout n ∈ N, un ≤M .On dit que u est minoree par M si pour tout n ∈ N, M ≤ un.On dit que u est majoree s’il existe un reel qui la majore, et qu’elle est minorees’il existe un reel qui la minore.On dit que u est bornee si elle est majoree et minoree.

Remarque 7.4 Pour montrer que u est majoree (resp. minoree) il suffit demontrer qu’elle l’est par un reel M a partir d’un rang n0, car alors M ′ =Maxu0, u1, . . . , un0−1,M est un majorant de u (resp. M ′ = Minu0, u1, . . . , un0−1,Mest un minorant de u). Par ailleurs, montrer que u est bornee equivaut a mon-trer que (|un|) est majoree

Definition 7.5 On dit que u est constante s’il existe un reel a tel que tous lestermes de la suite valent a. On dit que u est stationnaire si elle est constante apartir d’un certain rang.

7.1.2 Limites de suites reelles

Definition 7.6 Soit u ∈ RN et ` ∈ R.On dit que u converge (ou tend) vers ` si pour tout ε > 0, il existe un rang nεa partir duquel tous les termes de la suite sont dans [`− ε; `+ ε].Autrement dit : u converge vers ` si

∀ε > 0,∃nε ∈ N/∀n ≥ nε, |un − `| ≤ ε.

Definition 7.7 Soit u ∈ RN. On dit que u tend vers +∞ si pour tout A ∈ R,il existe un rang nA a partir duquel tous les termes de la suite sont superieursa A, autrement dit si

∀A ∈ R,∃nA ∈ N/∀n ≥ nA, un ≥ A.

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Definition 7.8 Soit u ∈ RN. On dit que u tend vers −∞ si pour tout A ∈ R,il existe un rang nA a partir duquel tous les termes de la suite sont inferieurs aA, autrement dit si

∀A ∈ R,∃nA ∈ N/∀n ≥ nA, un ≤ A.

On peut definir la notion de voisinage d’un reel, ou de +∞, ou de −∞, pourexprimer ces trois cas de la meme facon.

Definition 7.9 1. Soit a ∈ R. On appellera voisinage de a tout intervallede la forme [a− r, a+ r], ou r > 0.

2. On appellera voisinage de +∞, tout intervalle de la forme [B,+∞[, ouB ∈ R.

3. On appellera voisinage de −∞, tout intervalle de la forme ] −∞, B], ouB ∈ R.

Les trois definitions precedentes s’expriment alors toutes ainsi :

Definition 7.10 Soit u ∈ RN et ` ∈ R ∪ −∞,+∞.On dit que u tend vers ` si pour tout voisinage V de `, il existe un rang nV ∈ N apartir duquel tous les termes de la suite sont dans V . On note le alors limu = `ou lim

n 7→+∞un = `, et on dit que ` est limite de u.

Theoreme 7.11 (Unicite de la limite) Soit u ∈ RN et (`1, `2) ∈ (R∪−∞,+∞)2.Si u tend vers `1 et vers `2 alors `1 = `2.

Exercice 7.12 Le demontrer.

Definition 7.13 Soit u ∈ RN. On dit que u est convergente si u tend vers unelimite reelle (finie) et qu’elle est divergente si elle n’est pas convergente.

Remarque 7.14 Attention, une suite divergente ne tend pas forcement vers+∞ ou −∞. Une suite peut ne pas avoir de limite , ni finie ni infinie, parexemple (un = (−1)n)n∈N.

Exercice 7.15 Montrer, avec les definitions seulement, que limn7→+∞

2n = +∞,

que limn7→+∞

(−1)n

n= 0, et que lim

n 7→+∞

n+ 1

n= 1.

Par la suite, sauf si on le demande, les limites evidentes n’ont pas a etreredemontrees.

7.1.3 Proprietes elementaires des suites convergentes

Theoreme 7.16 Toute suite convergente est bornee.


Remarque 7.18 La reciproque de ce theoreme est fausse (cf. la suite ((−1)n)).

Remarque 7.19 Soit u une suite qui converge vers ` ∈ R∪+∞,−∞), alors

1. Si ` est un reel strictement positif ou si ` = +∞, alors il existe un rang apartir duquel tous les termes de la suite u sont strictement positifs.

2. Si ` est un reel strictement negatif ou si ` = −∞, alors il existe un ranga partir duquel tous les termes de la suite u sont strictement negatifs.

Ces resultats sont classiques et a savoir redemontrer.

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7.1.4 Limites et operations

Theoreme 7.20 (Limite d’une somme) Soit u, v deux suites reelles. Soit (`1, `2) ∈(R∪ −∞,+∞)2. On suppose que limu = `1 et lim v = `2. Le tableau suivantindique la valeur de la limite de u+ v, selon les valeurs de `1 et `2, dans les casou l’on peut conclure.

`1 ∈ R `1 = +∞ `1 = −∞`2 ∈ R `1 + `2 +∞ −∞`2 = +∞ +∞ +∞ F.I.`2 = −∞ F.I. −∞ +∞

ou F.I. signifie ”Forme indeterminee”, i.e. le theoreme ne permet pas de con-clure.

Theoreme 7.21 (Limite d’un produit) Avec les memes hypotheses que dans letheoreme precedent, le tableau suivant indique la valeur de limu.v, selon lesvaleurs de `1 et `2, dans les cas ou l’on peut conclure.

`1 = 0 `1 ∈ R+∗ `1 ∈ R−∗ `1 = +∞ `1 = −∞`2 = 0 0 0 0 F.I. F.I.`2 ∈ R+∗ 0 `1.`2 `1.`2 +∞ −∞`2 ∈ R−∗ 0 `1.`2 `1.`2 −∞ +∞`2 = +∞ F.I. +∞ −∞ +∞ −∞`2 = −∞ F.I. −∞ +∞ −∞ +∞

Exercice 7.22 Prendre des cas donnes par ces tableaux et les demontrer. Il-lustrer par des exemples un cas de ”forme indeterminee”.

Theoreme 7.23 (Limite d’un quotient) Soit u ∈ RN et ` ∈ R ∪ −∞,+∞.On suppose que u tend vers `. Alors

1. Si ` 6= 0, il exsite un rang a partir duquel la suite 1u est definie.

2. Si ` est infinie, alors lim 1u = 0.

3. Si ` ∈ R∗, alors lim 1u = 1

` .

4. Si u tend vers 0 par valeurs strictement positives (resp. strictement negatives)alors lim 1

u = +∞ (resp. lim 1u = −∞).

7.1.5 Limites et ordre

Theoreme 7.24 Soit u et v deux suites convergentes. S’il existe n0 ∈ N telque pour tout n ≥ n0, un ≤ vn, alors lim

n 7→+∞un ≤ lim

n7→+∞vn.

Remarque 7.25 Attention, on n’obtient qu’une inegalite large entre les lim-ites. De plus il faut avoir deja prouve que les suites convergent pour pouvoirpasser ainsi a la limite dans l’inegalite.

7.2 Suites classiques

Soit u ∈ RN. On sait dans certains cas exprimer un en fonction de n et d’unou deux termes initiaux.

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7.2.1 Suites arithmetiques

Soit r ∈ R. Soit n0 ∈ N.On dit que la suite u est arithmetique de raison r a partir du rang n0, si pourtout n ≥ n0, un+1 = un + r.Alors on peut montrer par recurrence, si demande, que pour tout n ≥ n0, un =un0

+ (n− n0).r.

7.2.2 Suites geometriques

Soit r ∈ R. Soit n0 ∈ N.On dit que la suite u est geometrique de raison r a partir du rang n0, si pourtout n ≥ n0, un+1 = r.un.Alors on peut montrer par recurrence, si demande, que pour tout n ≥ n0, un =rn−n0 .un0

.

7.2.3 Suites arithmetico-geometrique

On dit que la suite u est arithmetico-geometrique s’il existe (a, b) ∈ R2 tel quepour tout n ∈ N, un+1 = aun + b.(Si a = 1, c’est une suite arithmetique ; si b = 0, une suite geometrique.)Si a 6= 1, alors il existe un unique reel ` ”point fixe”, i.e. verifiant ` = a` + b(car ` est alors b

1−a).On pose alors (vn = un − `).Par soustraction, pour tout n ∈ N, vn+1 = avn. Donc v est geometrique deraison a, d’ou pour tout n ∈ N, vn = anv0, soit un = an(u0 − `) + `.

7.2.4 Suites verifiant une relation de recurrence lineaire d’ordre 2

Plus precisement, on sait exprimer en fonction de n les suites u verifiant unerelation de recurrence lineaire d’ordre 2 a coeficients constants, i.e. telles qu’ilexiste (a, b) ∈ R2, tel que pour tout n ∈ N,

un+2 = aun+1 + bun.

Notons E l’ensemble des suites reelles verifiant cette relation de recurrence.On appelle equation caracteristique associee a cette relation, l’equation

x2 = ax+ b

Il y a trois cas :

1. L’equation caracteristique a deux racines reelles, α1 et α2. Alors

E = (λ.αn1 + µ.αn2 )n∈N / (λ, µ) ∈ R2.

2. L’equation caracteristique a une seule racine reelle, α0. Alors

E = ((λ.n+ µ).αn0 )n∈N / (λ, µ) ∈ R2.

3. L’equation caracteristique a deux racines complexes conjuguees, α et α.Soit (ρ, θ) ∈ R+ × R tel que α = ρeiθ. Alors

E = (ρn(λ. cos(nθ) + µ. sin(nθ))n∈N / (λ, µ) ∈ R2.

Remarque 7.26 Dans tous les cas, si u appartient a E, on peut determinerles coefficients λ et µ pour u si on connaıt la valeur de deux termes de u (parexemple, u0 et u1), car cela fournit un systeme de deux equations verifiees par(λ, µ) qui permet de conclure.

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Remarque 7.27 On peut deja verifier que, dans tous les cas, E contient l’ensemblepropose de solutions. L’autre inclusion sera prouvee grace au cours d’algebrelineaire.

7.3 Sous-suites

Definition 7.28 Soit u une suite reelle. On dit que v est une sous-suite (ou unesuite extraite) de u s’il existe une application φ : N 7→ N strictement croissantetelle que (vn = uφ(n))n∈N. On dit alors que v est la sous-suite de u associee al’application φ.

Remarque 7.29 Par exemple u, (u2n)n∈N, (u4n+5)n∈N, (un2−n)n∈N, sont dessous-suites de u... Il y a une infinite d’applications strictement croissantes deN dans N, donc une infinite de sous-suites d’une suite donnee.

Theoreme 7.30 Si u tend vers ` (ou ` ∈ R ∪ +∞,−∞), alors toute sous-suite de u converge vers `.

Remarque 7.31 La demonstration utilise le fait que si φ : N 7→ N est stricte-ment croissante, alors φ(n) ≥ n pour tout n ∈ N, ce qui se prouve par recurrence.

Remarque 7.32 Par ailleurs ce theoreme est tres utile pour montrer qu’unesuite ne converge pas vers `, ou pour montrer qu’elle n’a pas de limite. Il suffiten effet de montrer que deux sous-suites de u ont des limites differentes, ouqu’une sous-suite de u diverge, pour prouver que u diverge.

Exercice 7.33 Montrer que (un = (−1)n) et (vn = sin(nπ4 )) divergent.

Proposition 7.34 Soit u ∈ RN, soit ` ∈ R ∪ +∞,−∞.Si les sous-suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N tendent vers `, alors u tend vers `.

Remarque 7.35 Ce resultat est tres classique et a savoir redemontrer. Onl’utilisera entre autre pour etudier les suites u suivant une relation de recurrencede la forme un+1 = f(un) ou f est croissante.

7.4 Theoremes de convergence

7.4.1 Theoreme d’existence d’une limite par encadrement (”Theoremedes gendarmes”)

Theoreme 7.36 Soit u, v, w trois suites reelles, soit ` ∈ R.S’il existe un rang n0 tel que un ≤ vn ≤ wn pour tout n ≥ n0, et si u et wconvergent vers la limite ` ∈ R alors v converge vers `.


Par ailleurs, on peut conclure a une limite infinie dans les cas suivants.

Proposition 7.38 Soit u et v deux suites reelles. S’il existe un rang n0 a partirduquel un ≤ vn, alors : si u tend vers +∞, v aussi ; si v tend vers −∞, u aussi.

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7.4.2 Theoreme de convergence monotone

Theoreme 7.39 Soit u une suite reelle et n0 ∈ N. Si u est croissante (resp.decroissante) a partir du rang n0, et si u est majoree (respectivement minoree),alors u converge, et sa limite est Supun / n ≥ n0 (resp. Infun / n ≥ n0).


Par ailleurs on peut conclure a une limite infinie dans les cas suivants.

Proposition 7.41 Soit u une suite reelle. Si u est croissante, au moins apartir d’un certain rang, et si u n’est pas majoree, alors u tend vers +∞. Si uest decroissante, au moins a partir d’un certain rang, et si u n’est pas minoree,alors u tend vers −∞.

7.4.3 Theoreme des suites adjacentes

Definition 7.42 On dit que deux suites sont adjacentes si l’une est croissante,l’autre decroissante, et si leur difference tend vers 0.

Theoreme 7.43 Si u et v sont des suites adjacentes alors elles convergent, etvers la meme limite.

Exercice 7.44 Montrer que tout reel est la limite d’une suite de nombres decimaux(en utilisant la partie entiere et le theoreme des suites adjacentes).

Remarque 7.45 On utilise aussi ce theoreme pour construire des suites ad-jacentes par dichotomie, pour trouver par exemple une valeur approchee d’unesolution de l’equation f(x) = 0 (voir TD d’informatique).

Exercice 7.46 Demontrer les trois theoremes de convergence.

7.5 Equivalence et negligeabilite

7.5.1 Definitions et caracterisations

Definition 7.47 Soit u et v deux suites reelles.On dit que u est negligeable devant v (ou que v est preponderante devant u) s’ilexiste une suite (εn)n∈N convergeant vers 0, et un rang n0 ∈ N, tels que pourtout n ≥ n0, un = εn.vn. On le note u =o (v), ou un =o (vn).

Remarque 7.48 En general, pour montrer que u est negligeable devant v, onmontre que u

v tend vers 0. Par exemple 1n2 =o ( 1

n ).

Definition 7.49 Soit u et v deux suites reelles.On dit que u et v sont equivalentes s’il existe une suite (µn)n∈N convergeantvers 1 et un rang n0 tels que pour tout n ≥ n0, un = (µn).vn. On le note u ∼ vou un ∼ vn.

Remarque 7.50 En general, pour montrer que u et v sont equivalentes, onmontre que u

v tend vers 1. Par exemple tan( 1n ) ∼ sin( 1

n ), car (cos( 1n )) converge

vers 1.

Remarque 7.51 La relation de negligeabilite n’est pas commutative, mais celled’equivalence l’est.

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Proposition 7.52 Soit u ∈ RN et ` ∈ R∗. La suite u converge vers ` ∈ R∗ siet seulement si u ∼ `, i.e. u est equivalente a la suite constante egale a `.

Remarque 7.53 Cela est faux si ` = 0 !!! D’ailleurs une suite est equivalentea la suite nulle si et seulement si elle est elle-meme nulle a partir d’un certainrang, par definition de l’equivalence.

Theoreme 7.54 Soit u et v deux suites reelles. On a la caracterisation suiv-ante :

un ∼ vn ⇐⇒ un = vn +o (vn)⇐⇒ un = vn +o (vn).


Remarque 7.56 On en deduit que si dans une somme de suites, un terme estpreponderant devant tous les autres, alors la somme est equivalente a ce terme.Par exemple : 1

n + 1n2 ∼ 1

n .

7.5.2 Equivalence, negligeabilite et operations

Theoreme 7.57 (Equivalent d’un produit) Soit u, v, w, z quatre suites. Siu ∼ v et w ∼ z alors u.w ∼ v.z.

Theoreme 7.58 (Equivalent d’un inverse) Soit u et v deux suites equivalentes.Si u et v ne sont pas nulles, au moins a partir d’un certain rang, on a aussi1u ∼

1v .

Exercice 7.59 Demontrer ces theoremes.

Remarque 7.60 Attention, on n’additionne pas, et on ne compose pasles equivalents ! Quand on cherche l’equivalent d’une somme de suites on peutmettre en facteur, s’il existe, le terme devant lequel les autres sont negligeables(cf. remarque [?]). D’une facon generale, si on devine un equivalent v de u, onchercher la limite du quotient u

v .

Theoreme 7.61 (Produit et negligeabilite) Soit u, v, w, z quatre suites. Siu =o (v) et w ∼ z ou w =o (z), alors u.v =o (w.z). Si u et v ne sont pas nulles,au moins a partir d’un certain rang, et si u = o(v) alors 1

v = o( 1u ).

Theoreme 7.62 (Transitivite de l’equivalence et de la negligeabilite) Soit u,v,wtrois suites reelles.

• Si u ∼ v et v ∼ w, alors u ∼ w.

• Si u =o (v) et v =o (w) alors u =o (w).

• Si u =o (v) et v ∼ w alors u =o (w).

Exercice 7.63 Demontrer les quatre derniers theoremes.

Remarque 7.64 L’interet de la notation o(u) est qu’on peut remplacer dansun calcul une suite negligeable devant u par cette notation, et utiliser les reglesde calculs precedentes.

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7.5.3 Equivalences et negligeabilites classiques

Theoreme 7.65 (Equivalents classiques) Si la suite u converge vers 0, alorson a les equivalents suivants :

1. sin(un) ∼ un ;

2. ln(1 + un) ∼ un :

3. eun − 1 ∼ un ;

4. 1− cos(un) ∼ u2n

2 ;

5. pour tout α ∈ R, (1 + un)α − 1 ∼ αun ;

6. tan(un) ∼ un ;

Remarque 7.66 Attention, ces resultats sont faux si u ne tend pas vers 0 !On les demontrera dans le chapitre suivant.

Theoreme 7.67 (Resultats de croissances comparees) Si u tend vers +∞ et siP , Q et R sont trois polynomes tendant vers +∞ en +∞, alors

1. ln(P (un)) =o (Q(un)) ;

2. Q(un) =o (eR(un)) ;

3. et donc ln(P (un)) =o (eR(un)).

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8 Fonctions reelles d’une variable reelle I

8.1 Rappels

Soit f une fonction reelle de variable reelle (i.e. une application definie surune partie de R et a valeurs dans une partie de R), soit D son ensemble dedefinition et I ⊂ D.

On dit que f est croissante (resp. decroissante) sur I si pour tout (x, y) ∈ I2,si x ≤ y alors f(x) ≤ f(y) (resp. f(x) ≥ f(y)). Autrement dit f est crois-sante (resp. decroissante) sur I si et seulement si pour tout (x, y) ∈ I2,(x − y).(f(x) − f(y)) ≥ 0 (resp. (x − y).(f(x) − f(y)) ≤ 0), i.e. x − y etf(x)− f(y) sont de meme signe (resp. de signe oppose).De meme pour la definition de la croissance ou de la decroissance stricte de fsur I. Et, par exemple, f est strictement croissante sur I si et seulement sipour tout (x, y) ∈ I2 tel que x 6= y, (x− y)(f(x)− f(y)) > 0.On dit que f est monotone (resp. strictement monotone) sur I si f est crois-sante ou decroissante (resp. strictement croissante ou strictement decroissante)sur I.

On dit que f est majoree (resp. minoree) sur I s’il existe M ∈ R tel quepour tout x ∈ I, f(x) ≤M (resp. f(x) ≥M). On dit que f est bornee sur I sielle est majoree et minoree sur I.

Remarque 8.1 De meme qu’il ne faut pas confondre les notations un et (un)pour les suites, il faut bien utiliser la notation f ou x 7→ f(x) quand vous parlezde la fonction f , et non f(x) qui designe le reel image de x par f . Precisezegalement sur quel ensemble la fonction est croissante, ou majoree, ou continue,derivable etc...

Remarque 8.2 Revoir des ce chapitre :

1. les fonctions usuelles (polynomiales, rationnelles, exponentielle, logarithme,puissances, cos, sin, tan), leurs ensembles de definition, de continuite, dederivabilite, leurs derivees et leurs autres proprietes ;

2. comment determiner l’ensemble ou une composee, une somme, un produitde ces fonctions usuelles est defini/continu/derivable ;

3. les formules de derivation d’une somme ((f + g)′ = f ′ + g′), d’un produit((f.g)′ = f ′.g + g′.f), d’une composee ((f g)′ = g′.(f ′ g)) ;

4. le theoreme de la bijection monotone et les proprietes de la bijectionreciproque quand elle existe.

Rappelons enfin les definitions des voisinages (cf. definition [?]) : Soit ` ∈R ∪ +∞,−∞,

• Dans le cas ou ` ∈ R : on appelle voisinage de ` tout intervalle de la forme[`− ε; `+ ε] ou ε > 0.

• Dans le cas ou ` = +∞ : on appelle voisinage de +∞ tout intervalle dela forme [A; +∞[, ou A ∈ R.

• Dans le cas ou ` = −∞ : on appelle voisinage de −∞ tout intervalle dela forme ]−∞;A], ou A ∈ R.

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Les expressions ”au voisinage de `” ou ”sur un voisinage de `” signifie alors :sur un intervalle qui est un voisinage de `.Ce premier chapitre sur les fonctions reelles de variables reelles concerne leuretude locale (i.e. au voisinage d’un point, fini ou infini).

8.2 Definitions des limites, proprietes elementaires

8.2.1 Definitions

Definition 8.3 Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞, f une fonction definie sur un voisi-nage D de a (sauf eventuellement en a), et ` ∈ R ∪ +∞,−∞.On dit que f admet ` pour limite en a si pour tout voisinage V de `, il existe unvoisinage WV de a tel que pour tout x dans WV ∩ (D− a), f(x) appartient aV .On note alors lim

x 7→af(x) = `, ou encore lim

af = `.

Theoreme 8.4 Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞, f une fonction definie sur un voisi-nage D de a (sauf eventuellement en a), et (`1, `2) ∈ (R ∪ +∞,−∞)2.Si f admet `1 et `2 pour limites en a, alors `1 = `2.

Remarque 8.5 Il y a donc, sous reserve d’existence, unicite de la limite ` ena d’une fonction f . On note alors lim

x7→af(x) = `, ou encore lim

af = `.

Exercice 8.6 Ecrire (et apprendre) cette definition dans chacun des neuf caspossibles (` et a finis ou infinis).

Exercice 8.7 Montrer avec la definition de la limite que limx 7→+∞

ln(x) = +∞,

que limx7→+∞

3

x3 + 1= 0, lim

x 7→1

x+ 1

2x− 3= −2.

Definition 8.8 (Limite a droite ou a gauche de f en a ∈ R) Soit ` ∈ R ∪+∞,−∞. On dit que f admet ` pour limite a gauche (respectivement adroite) en a si pour tout voisinage V de `, il existe un reel µV > 0 tel que pourtout x dans [a− µ, a[ (resp. ]a; a+ µ])4, f(x) appartient a V`.

Remarque 8.9 On note alors limx 7→a, x<a

f(x) = `, ou limx 7→a−

f(x) = `, ou encore

lima−

f = ` (resp. limx 7→a, x>a

f(x) = `, ou limx 7→a+

f(x) = `, ou encore lima+

f = `).

Remarque 8.10 La fonction f admet la limite ` en a si et seulement si elleadmet la limite ` a gauche et a droite en a. En particulier, pour montrer que fn’a pas de limite finie ou infinie en a il suffit de montrer que f a des limites adroite et a gauche differentes en a.

8.2.2 Continuite en derivabilite

Definition 8.11 (Continuite en a) Soit a ∈ R et f une fonction definie auvoisinage de a.On dit que f est continue en a si lim

x 7→af(x) = f(a).

Remarque 8.12 Si la limite a gauche (resp. a droite) de f en a est f(a), ondit que f est continue a gauche (resp. a droite) en a. Donc f est continue ena si et seulement si elle est continue a gauche et a droite en a.

4On peut d’ailleurs appeler voisinage a gauche (resp. a droite) de a tout intervalle de laforme [a− µ, a] (resp. [a; a+ µ]) ou µ > 0.

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Definition 8.13 (Derivabilite en a) Soit a ∈ R et f un fonction definie auvoisinage de a.

On dit que f est derivable en a si limx7→a

f(x)− f(a)

x− aexiste. On note alors f ′(a)

cette limite et on l’appelle nombre derive de f en a.

Remarque 8.14 Graphiquement, cela signifie que la courbe de f admet unetangente en a, la droite d’equation

x 7→ f(a) + f ′(a)(x− a).

Remarque 8.15 Si le taux d’accroissement de f en a,x 7→ f(x)− f(a)

x− a, n’admet

qu’une limite a gauche (resp. a droite), on appelle derivee a gauche (resp. adroite) cette limite, et on la note f ′g(a) (resp. f ′d(a)). On dit alors que f estderivable a gauche (resp. a droite) en a. Ainsi f est derivable en a si et seule-ment si elle est derivable a gauche et a droite en a et f ′g(a) = f ′d(a). (Graphique-ment, la demi-tangente a gauche et la demi-tangente a gauche se recollent enune z meme droite.)

Remarque 8.16 Il peut etre utile de reconnaıtre un taux d’accroissement enun point a d’une fonction f pour calculer la limite de ce taux d’accroissement ena (vous pouvez alors utiliser la derivabilite eventuelle de f en a pour conclure).

Definition 8.17 Soit a ∈ R et f un fonction definie au voisinage de a.On dit que f admet un developpement limite a l’ordre 1 en a s’il existe (b, c) ∈ R2

et une fonction ε definie sur un voisinage V de a et tendant vers 0 en a, telsque

∀x ∈ V, f(x) = b+ c(x− a) + (x− a)ε(x).

Remarque 8.18 On generalisera cette notion a des ordres superieurs dans unchapitre ulterieur.

Theoreme 8.19 (Caracterisation de la derivabilite en a) Soit a ∈ R et f unfonction definie au voisinage de a.La fonction f est derivable en a si et seulement si elle admet en developpementlimite a l’ordre 1 en a.De plus, dans ce cas, avec les notations de la definition precedente on a : b =f(a) et c = f ′(a).

Remarque 8.20 D’apres la derniere phrase de ce theoreme, il y a unicite dudeveloppement limite de f a l’ordre 1 en a s’il existe.

Theoreme 8.21 Si f est derivable en a, alors f est continue en a.

Exercice 8.22 Demontrer la caracterisation de la derivabilite et en deduire cedernier theoreme.

Exercice 8.23 Montrer que f : x 7→ |x| est continue mais pas derivable en 0.(Cela montre que la reciproque du theoreme precedent est fausse.)

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8.2.3 Proprietes elementaires liees aux limites de fonctions

Il faut savoir redemontrer la propriete classique suivante.

Proposition 8.24 Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞. Soit ` ∈ R ∪ +∞,−∞. Soit fdefinie au voisinage de a, tendant vers ` en a. Alors

1. Si ` ∈ R, alors il existe un voisinage de a sur lequel f esst bornee.

2. Si ` ∈ R+∗ ∪ +∞ (resp. ` ∈ R−∗ ∪ −∞) en a, alors il existe unvoisinage de a sur lequel f est strictement positive (resp. strictementnegative).

8.2.4 Caracterisation sequentielle de la limite

Theoreme 8.25 (Caracterisation sequentielle de la limite) Soit a et ` dansR ∪ +∞,−∞ Soit f definie au voisinage de a.La fonction f admet la limite ` en a si, et seulement si, pour toute suite (un)n∈Ntendant vers a, la suite (f(un))n∈N tend vers `.

Exercice 8.26 Demontrer ce theoreme.

Les remarques suivantes detaillent des applications classiques de cette car-acterisation.

Remarque 8.27 Pour montrer que f n’a pas de limite en a, il suffit donc detrouver une suite (un)n∈N tendant vers a, telle que la suite (f(un))n∈N n’a pasde limite, ou encore de trouver deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N tendant vers a,telles que les suites (f(un))n∈N et (f(vn))n∈N n’ont pas la meme limite.

Exercice 8.28 Montrer que x 7→ sin(x) n’a pas de limite en +∞, et que x 7→cos( 1

x ) n’a pas de limite en 0.

Remarque 8.29 Si on etudie la suite verifiant un+1 = f(un) pour tout n deN, les limites possibles de u sont a chercher parmi les points ou f n’est pascontinue et les solutions5 de l’equation f(x) = x.

Remarque 8.30 Les theoremes prouves pour les suites peuvent parfois se ”generaliser”aux fonctions, a l’aide de la caracterisation sequentielle de la limite (voir parexemples, les theoremes suivants lies a l’ordre, aux operations, le theoreme ”desgendarmes”...).

8.2.5 Limites et operations, limite et composition

Theoreme 8.31 (Limite en a d’une somme de fonctions) Soit a ∈ R∪+∞,−∞,f et g deux fonction definies sur un voisinage de a (sauf eventuellement en a),et (`1, `2) ∈ (R ∪ +∞,−∞)2. On suppose que lim

af = `1 et lim

ag = `2. Le

tableau suivant indique la valeur de la limite de f + g en a quand on peut ladeterminer.

`1 ∈ R `1 = +∞ `1 = −∞`2 ∈ R `1 + `2 +∞ −∞`2 = +∞ +∞ +∞ F.I.`2 = −∞ F.I. −∞ +∞

5En effet, si ` est limite de u, et si f est continue en `, la caracterisationsequentielle de la limite implique lim

n 7→+∞f(un) = lim

`f = f(`), et on aussi

limn 7→+∞

f(un) = limn 7→+∞

un+1 = limu = `, donc f(`) = `.

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Theoreme 8.32 (Limite en a d’une somme de fonctions) Soit a ∈ R∪+∞,−∞,f et g deux fonction definies sur un voisinage de a (sauf eventuellement en a),et (`1, `2) ∈ (R ∪ +∞,−∞)2. On suppose que lim

af = `1 et lim

ag = `2. Le

tableau suivant indique la valeur de la limite de f + g en a quand on peut ladeterminer.

`1 = 0 `1 ∈ R+∗ `1 ∈ R−∗ `1 = +∞ `1 = −∞`2 = 0 0 0 0 F.I. F.I.`2 ∈ R+∗ 0 `1.`2 `1.`2 +∞ −∞`2 ∈ R−∗ 0 `1.`2 `1.`2 −∞ +∞`2 = +∞ F.I. +∞ −∞ +∞ −∞`2 = −∞ F.I. −∞ +∞ −∞ +∞

Remarque 8.33 Penser a mettre sous forme exponentielle les fonctions ouapparaıt un exposant dependant de x.

Theoreme 8.34 (Limite d’une composee) Soit (a, b, `) ∈ (R ∪ +∞,−∞)3.Soit f une fonction definie au voisinage de a et g une fonction definie au voisi-nage de b.Si lim

af = b et lim

bg = `, alors lim

ag f existe et vaut `.

Exercice 8.35 Demontrer les trois theoremes precedents a l’aide de la car-acterisation sequentielle de la limite et (pour les deux premiers) des resultatssur les operations et les limites de suites.

8.2.6 Limites et ordre

Theoreme 8.36 (Passage a la limite dans les inegalites) Soit a ∈ R∪+∞,−∞et (`1, `2) ∈ R2. Soit f et g deux fonctions definies sur un voisinage V de a(sauf eventuellement en a).Si pour tout x ∈ V − a, f(x) ≤ g(x), et si lim

af = `1 et lim

ag = `2, alors

`1 ≤ `2.

Remarque 8.37 Attention, on n’obtient qu’une inegalite large entre les lim-ites. De plus il faut avoir deja prouve que les fonctions admettent des limitesen a pour pouvoir passer ainsi a la limite dans l’inegalite.

Exercice 8.38 Prouver ce theoreme a l’aide de la caracterisation sequentiellede la limite et d’un theoreme analogue pour les suites.

8.3 Theoremes prouvant l’existence d’une limite

8.3.1 Theoreme d’existence d’une limite par encadrement (”Theoremedes gendarmes”)

Theoreme 8.39 Soit a et ` dans R ∪ +∞,−∞. Soit f , g, h trois fonctionsdefinies sur un voisinage V de a (sauf eventuellement en a).Si pour tout x ∈ V − a, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), et si f et h admettent la limite` en a, alors g admet aussi la limite ` en a.

Proposition 8.40 Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞. Soit f , g deux fonctions definiessur un voisinage V de a (sauf eventuellement en a).Si pour tout x ∈ V − a, f(x) ≤ g(x), alors : si f tend vers +∞ en a, alors gaussi ; si g tend vers −∞ en a, alors f aussi.

Exercice 8.41 Demontrer ces deux resultats a l’aide de la caracterisation sequentiellede la limite et d’un theoreme analogue pour les suites.

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8.3.2 Theoreme sur les fonctions monotones

Theoreme 8.42 Soit I un intervalle, on note a ∈ R∪−∞ la borne inferieurede I, et b ∈ R∪+∞ la borne superieure de I, et on note I l’intervalle I privede ses bornes. Soit f une fonction monotone sur I, alors

1. la fonction f admet en tout c ∈ I une limite a droite et une limite a gauchefinies.

2. si f est croissante sur I alors :

• Si f est majoree sur I, elle admet une limite finie en b, sinon elleadmet en b la limite +∞.

• Si f est minoree sur I, elle admet une limite finie en a, sinon elleadmet en a la limite −∞.

3. Si f est decroissante sur I alors :

• Si f est minoree sur I, elle admet une limite finie en b, sinon elleadmet en b la limite −∞.

• Si f est majoree sur I, elle admet une limite finie en a, sinon elleadmet en a la limite +∞.

Par exemple, la fonction partie entiere qui est croissante sur R, mais ni majoree,ni minoree sur R, admet des limites finies en tout reel et tend vers +∞ en +∞et −∞ en −∞.

Remarque 8.43 Ces resultats se retiennent facilement en dessinant le graphede f , pour les limites eventuelles aux bornes. Ce theoreme sera particulierementutile en probabilite.

8.4 Equivalence et negligeabilite de fonctions en a ∈ R ∪+∞,−∞

8.4.1 Definitions

Definition 8.44 Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞. Soit f et g deux fonctions definiessur un voisinage de a, sauf eventuellement en a.On dit que f est negligeable devant g en a (ou que g est preponderante devantf en a) s’il existe une fonction ε definie sur un voisinage V de a, de limite 0en a, telle que pour tout x de V − a, f(x) = ε(x)g(x).On le note f = oa(g), ou f(x) = oa(g(x)).

Remarque 8.45 En general, pour montrer que f(x) = oa(g(x)), on montreque le quotient f

g tend vers 0 en a. La relation de negligeabilite n’est pas com-mutative.

Exercice 8.46 Soit (n, p) ∈ Z2. Montrer que xn = o+∞xp si et seulement si

n < p. Que dire en 0 ?

Remarque 8.47 Si a ∈ R et si f est une fonction derivable en a, la car-acterisation de la derivabilite vue precedemment s’ecrit donc : f est derivableen a si et seulement si il existe (b, c) ∈ R2 tel que sur un voisinage de a,

f(x) = b+ c(x− a) + oa(x− a),

et dans ce cas b = f(a) et c = f ′(a).

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Definition 8.48 Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞. Soit f et g deux fonctions definiessur un voisinage de a, sauf eventuellement en a.On dit que f et g sont equivalentes en a s’il existe une fonction µ definie surun voisinage V de a et de limite 1 en a, telle que pour tout x de V − a,f(x) = µ(x)g(x).On le note f ∼a g, ou f(x) ∼a g(x) .

Remarque 8.49 En general, pour montrer que f(x) ∼a (g(x)), on montre quele quotient f

g tend vers 1 en a. La relation d’equivalence est commutative.

Exercice 8.50 Montrer que sin(x) ∼0 tan(x).

Remarque 8.51 La fonction f tend vers ` ∈ R∗ en a si et seulement si f ∼a `,i.e. f est equivalente en a a la fonction constante egale a l. Cela est faux si ` = 0! D’ailleurs par definition de l’equivalence, une fonction f n’est equivalente a lafonction nulle en a que si f est identiquement nulle sur tout un voisinage de a.

Theoreme 8.52 Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞. Soit f et g deux fonctions definiessur un voisinage de a, sauf eventuellement en a. Alors

f ∼a g ⇐⇒ f = g + oa(g) ⇐⇒ f = g + oa(f).

Exercice 8.53 Demontrer ces equivalences.

Remarque 8.54 Par consequent, si dans une somme de fonctions un certainterme est preponderant en a devant les autres, la somme est equivalente en a ace terme.

8.4.2 Equivalence, negligeabilite et operations

Theoreme 8.55 (Equivalence, produit et quotient) Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞.Soit f , g, h, z quatre fonctions definies au voisinage de a, sauf eventuellementen a.Si f ∼a g et h ∼a z alors f.h ∼a g.z.Si f (et donc g) ne s’annule pas sur un voisinage de a, sauf eventuellement ena, on a aussi 1

f ∼a1g .

Remarque 8.56 Attention, on n’additionne pas, et on ne compose pas lesequivalents de fonctions non plus.

Remarque 8.57 Quand on cherche l’equivalent d’une somme on peut mettreen facteur, s’il existe, le terme devant lequel les autres sont negligeables, ouutiliser directement la remarque [?].

Remarque 8.58 Si limaf = b ∈ R∪+∞,−∞,et si g ∼b h (resp. g = ob(h)),

alors g f ∼a h f (resp. g f = oa(h f)) d’apres le theoreme sur la limited’une composee, en regardant les limites des quotients. Attention, il faut faireclairement reference a ce theoreme sur la limite d’une composee quand vousregarder la limite en a de gf

hf , et ne pas laisser penser au correcteur que vouscroyez qu’on peut composer les equivalences ou les negligeabilites !

Remarque 8.59 Preciser toujours sous le symbole ∼ ou o, le point ou estl’equivalence ou la negligeabilite, quand il s’agit de fonctions.

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Theoreme 8.60 (Negligeabilite, produit et quotient) Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞.Soit f , g, h, z quatre fonctions definies au voisinage de a, sauf eventuellementen a.Si f = oa(g) et h ∼a z ou h = oa(z), alors f.h = oa(g.z).Si f et g) ne s’annulent pas sur un voisinage de a, sauf eventuellement en a, etsi f = oa(g) alors 1

g = oa( 1f ).

Theoreme 8.61 (Transitivite de l’equivalence et de la negligeabilite) Soit a ∈R ∪ +∞,−∞. Soit f , g, h, trois fonctions definies au voisinage de a, saufeventuellement en a. Alors :

1. Si f ∼a g et g ∼a h alors f ∼a h.

2. Si f = oa(g) et g = oa(h) alors f = oa(h).

3. Si f = oa(g) et g ∼a h alors f = oa(h).

Exercice 8.62 Prouver les trois derniers theoremes.

8.4.3 Equivalences et negligeabilites classiques

Theoreme 8.63 On a les equivalences en 0 classiques suivantes :

1. sin(x) ∼0 x ;

2. ln(1 + x) ∼0 x :

3. ex − 1 ∼0 x ;

4. 1− cos(x) ∼0x2

2 ;

5. pour tout α ∈ R, (1 + x)α − 1 ∼0 αx ;

6. tan(x) ∼0 x.

Exercice 8.64 Demontrer 1, 2, 3 et 5 en reconnaissant des taux d’accroissementde fonction classique en 0 et en utilisant la derivabilite en 0 de ces fonctions.En deduire 4 et 6. En deduire enfin les equivalents classiques pour les suites al’aide de la caracterisation sequentielle de la limite (sens direct).

Remarque 8.65 Grace au theoreme sur la limite d’une composee, on en deduit,par exemple, que si lim

af = 0, alors sin(f(x)) est equivalente en a a f(x)...

Exercice 8.66 Determiner un equivalent en +∞ de x 7→ ln(cos(√

1 + x− 1)).(A rediger soigneusement sans composer les equivalents, mais en utilisant latransitivite de l’equivalence et la remarque precedente.) Remarque : En partic-ulier si lim

af = 0, alors sin(f(x)) est equivalente en a a f(x).

Admettons enfin les resultats de negligeabilites classiques suivants :

Theoreme 8.67 (Resultats de croissances comparees) Si P , Q et R sont troispolynomes de limite +∞ en +∞, alors

1. ln(P (x)) = o+∞(Q(x)) ;

2. Q(x) = o+∞(eR(x)) ;

3. et donc ln(P (x)) = o+∞(eR(x)).

Remarque 8.68 En particulier, grace au theoreme sur la limite d’une com-posee, si lim

af = +∞, alors ln(f(x)) est negligeable en a devant f(x), par ex-

emple...

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9 Suites reelles II

Ce chapitre donne des methodes d’etudes pour deux types de suites classiques :les suites definies par une relation de recurrence simple, et les suites definiesimplicitement, i.e. comme solution d’une equation dependant de n. Il ne con-tient pas de theoreme et doit etre illustre par des exemples. (Il est preferable derefaire d’abord le TD 9).

9.1 Etude d’une suite definie par une relation de recurrencesimple

Il s’agit des suites verifiant une relation de recurrence de la forme

∀n ∈ N, un+1 = f(un),

pour une fonction f ne dependant pas de n. Une telle suite est determinee pascette relation de recurrence et la donnee de u0.

Methode d’etude :

1. On etudie d’abord la fonction f : ensemble de definition D, ensemble despoints ou f est continue Dc, etude des variations de f . On peut egalementetudier la position relative de la courbe de f par rapport a la premierebissectrice (c’est-a-dire le signe de x 7→ f(x)−x sur D), et tracer la courbeCf de f et la premiere bissectrice. Les abscisses des points d’intersectioneventuels de ces deux courbes, i.e. les points tels que f(x) = x s’appellentles points fixes de f .

2. Si u admet une limite `, on sait deja que :

(a) Soit ` ∈ Dc, alors d’apres la caracterisation sequentielle de la limite(cf. Remarque [?]), ` est un point fixe de f .

(b) Soit ` /∈ Dc.

Dans certains cas on peut ainsi conclure directement par l’absurde queu n’a pas de limite6. Dans d’autres, on peut deja en deduire qu’il n’y aqu’une limite possible.

3. On cherche des sous-ensembles I de D stables par f (i.e. tels que f(I) ⊂I). On retiendra que si f(I) ⊂ I, et s’il existe une rang n0 tel que un0

∈ I,alors pour tout n ≥ n0, un ∈ I (demonstration par recurrence). Enparticulier si I est borne, alors u est bornee.

4. Puis si f est croissante sur I, le signe de un+1−un est celui de un0+1−un0,

pour tout n ≥ n0 (demonstration par recurrence), donc dans ce cas u estmonotone a partir du rang n0. On peut alors souvent conclure a l’aide dutheoreme de convergence monotone.

5. Par contre si f est decroissante sur I, u n’est pas monotone (le signe deun+1−un change successivement pour chaque n). On peut alors s’interessera f f , qui est, elle, croissante sur I7. Or les sous-suites (pn = u2n) et(in = u2n+1) verifient pour tout n, pn+1 = f f(pn) et in+1 = f f(in).

6Par exemple, montrer qu’une suite verifiant, pour tout n ∈ N, un+1 = eun , ne peutconverger...

7Verifier en effet que si f(I) ⊂ I et f est decroissante sur I, alors f f est croissante surI et laisse stable I.

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Donc d’apres le cas 5) applique a f f et a ces deux suites, elles sontmonotones. On cherche alors a utiliser le theoreme de convergence mono-tone pour ces deux suites et le fait que leur limites eventuelles sont soitdes points fixes de f f , soit des points ou f f n’est pas continue. Pourconclure, on utilise le cours sur les sous-suites :

(a) Soit (in) ou (pn) diverge, ou elles convergent mais des limites differentes,donc u diverge.

(b) Soit elles convergent vers une meme limite ` et alors d’apres unresultat classique sur ces sous-suites8, u converge.

Remarque 9.1 A l’ecrit, le plan d’etude de la suite est en general fourni parl’enonce. Vous devez cependant pouvoir, avec le tableau de variation de f et letableau de signe de x 7→ f(x) − x, deviner les resultats pour u en fonction duchoix de u0. Il faut egalement pouvoir determiner sur le graphe, a l’aide de lapremiere bissectrice, des termes successifs de la suite.

9.2 Suites definies implicitement

Il s’agit des suites u telles que, pour tout n ∈ N, un est l’unique solution dansun ensemble I d’une equation En. L’equation En peut etre de la forme

1. En : f(x) = tn, pour une fonction f ne dependant pas de n, et une suite(tn), ou

2. En : fn(x) = 0, pour une fonction fn dependant de n.

Dans le premier ou le deuxieme cas, on s’assure en general de l’existence,pour chaque n ∈ N, du reel un, unique solution de En dans I, en montrant quef (resp. fn) realise une bijection de I sur un intervalle contenant tn (resp. 0).On suppose ici f (resp. chaque fonction fn) continue et strictement monotonesur I (quitte a reduire cet intervalle en montrant que les solutions de En sonten fait dans un intervalle plus petit.) On peut alors utiliser le theoreme de labijection monotone.

On ne connait pas en general f−1 (resp. f−1n ) donc on ne sait pas exprimer

explicitement la suite (un). Mais on peut en donner des encadrements, grace aun encadrement de tn (resp. de 0) par des reels dont on connaıt les antecedentspar f (resp. par fn), en utilisant le tableau de variation de f (resp. de fn).Enfin on peut chercher a etudier la monotonie de u et pousuivre l’etude de u.

Dans le premier cas :

On suppose f continue et strictement monotone sur I (quitte a reduire cetintervalle en montrant que les solutions de En sont en fait dans un intervalleplus petit.) On utilise le fait que pour tout n ∈ N,

un = f−1(tn)

Or on connaıt des proprietes de f−1, meme si on ne connaıt pas l’expression decette fonction en general : on sait que f−1 a la meme monotonie sur f(I) quef sur I, et que f−1 est continue sur f(I).Donc si (tn) est monotone, (un) aussi (de meme monotonie que (tn) si f estcroissante, de l’autre sinon). Puis si (tn) est bornee, par continuite de f−1,(un) le sera aussi. Enfin si (tn) tend vers ` ∈ R ∪ −∞,+∞, d’apres lacaracterisation sequentielle de la limite,

8cf. Proposition [?], a redemontrer en epreuve si vous en avez le temps, ou a admettre.

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limn 7→+∞

un = limn 7→+∞

f−1(tn) = limx 7→`

f−1(x),

et cette limite peut se deduire de la continuite de f−1 ou du tableau de variationde f−1 (qui se deduit de celui de f).On peut aussi utiliser que si u tend vers une limite a, alors

• soit a est un reel dans l’ensemble de continuite de f et f(a) = lim tn(d’apres la caracterisation sequentielle de la limite et En) ;

• soit a est infinie ou n’est pas dans l’ensemble de continuite de f .

Dans le second cas :

Les proprietes de (un) sont plus difficiles a trouver, mais on utilise souvent,pour etudier la monotonie de (un), l’etude du signe de fn(un+1) (ou celui defn+1(un)), car d’apres En,

fn(un+1) = fn(un+1)− fn(un)

dont le signe est

• le meme que celui de un+1 − un si u prend ses valeurs dans un intervalleou fn est croissante ;

• le signe oppose de celui de un+1 − un si u prend ses valeurs dans unintervalle ou fn est decroissante.

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10 Espaces probabilisables

10.1 Definitions

Une experience aleatoire a un ensemble d’issues possibles, decrit par un ensem-ble mathematique appele univers, qu’on notera Ω.Exemples : Decrire l’univers, et preciser son cardinal s’il est fini, pour lesexperiences aleatoires suivantes : on lance un de, on lance une piece trois foissuccessivement, on distribue une main de 5 cartes d’un jeu de 52 cartes, oncompte les rebonds d’une balle, le temps d’attente dans une file etc...Remarque : On ne traitera cette annee que les cas ou l’univers est discret (i.e.fini ou infini denombrable).

Definition 10.1 On appelle tribu sur Ω un sous-ensemble T de P(Ω) tel que :

1. ∅ ∈ T ;

2. T est stable par passage au complementaire (i.e. ∀A ∈ T , A ∈ T ) ;

3. T est stable par union finie ou infinie denombrable (i.e si pour tout n ∈ N,

An ∈ T alors⋃n∈N

An ∈ T ).

Remarque 10.2 On deduit de 2), 3) et des lois de Morgan, que T est aussistable par intersection finie ou infinie denombrable. On deduit de 1) et 2) qu’unetribu a toujours au moins ∅ et Ω comme elements.

Exemples de tribus :

1. T = ∅,Ω s’appelle la tribu triviale (ou grossiere) sur Ω.

2. T = P(Ω) s’appelle le tribu discrete sur Ω.

3. Si A ∈ P(Ω), alors T = ∅,Ω, A,A est une tribu sur Ω (c’est la pluspetite tribu sur Ω qui contienne A).

Definition 10.3 On appelle evenements les elements de la tribu. On appelle ∅l’evenement impossible et Ω l’evenement certain.

Definition 10.4 On appelle espace probabilisable, un couple (Ω, T ) ou Ω estun ensemble et T est une tribu sur Ω.

Definition 10.5 Soit B un sous-ensemble de P(Ω). On appelle tribu engendreepar B sur Ω la plus petite tribu sur Ω contenant tous les elements de B. On lanotera TB dans ce cours.

Exercice 10.6 1. Si A ∈ P(Ω), montrer que la tribu engendree par A estTA = ∅,Ω, A,A.

2. Montrer que la tribu engendree par les singletons de Ω (i.e. par B =a/ a ∈ Ω) est la tribu discrete (i.e. TB = P(Ω)).

3. Determiner la tribu engendree par B = [[1; 3]], [[3; 6]] sur Ω = [[1; 6]].

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10.2 Evenements

Remarque : Un evenement est parfois libelle par une phrase, mais un evenementn’est pas une phrase : c’est une partie de l’univers Ω.Exemple : Ω = [[1; 6]] correspond a l’ensemble des issues possibles d’un lancerde de. Soit A, l’assertion ”On obtient un nombre pair”, alors A = 2, 4, 6 estl’evenement libelle par l’assertion A.Soit (Ω, T ) un espace probabilisable, soit I un ensemble fini ou infini denombrable.Pour tout i dans I, on note Ai ∈ T , un evenement libelle par une assertion Ai.Alors

• l’evenement⋂i∈I

Ai est libelle par : ”Pour tout I ∈ I, Ai est realisee” (i.e.

elles sont toutes realisees.)

• l’evenement⋃i∈I

Ai est libelle par ”l’une (au moins) des Ai est realisee”,

i.e. ”il existe i ∈ I tel que Ai soir realisee”.

• En particulier si I = 1, 2, A1 ∩ A2 est defini par ”A1 et A2 sontrealisees”, et A1∪A2 est defini par ”A1 ou A2 est realisee” (ou inclusif).Et A1∆A2 est l’evenement ”soit A1, soit A2 est realisee (pas les deux)”(ou exclusif).

Vocabulaire : Deux evenements sont dits incompatibles si leur intersection estvide. On appelle evenement contraire d’un evenement A, son complementaireA (si A est libelle par l’assertion A, alors A l’est par NON(A)).

Definition 10.7 Soit (Ω, T ) un espace probabilisable, soit I un ensemble finiou infini denombrable. Pour tout i dans I, soit Ai ∈ T , un evenement. On ditque la famille d’evenements Ai/ i ∈ I est un systeme complet d’evenementssur Ω si c’est une partition de Ω (i.e. si les Ai sont deux a deux disjoints, et sileur union est Ω.)

Exemples : Les singletons de Ω forment un systeme complet sur Ω (si T est latribu discrete). L’ensemble Ω forme un systeme complet sur Ω. Pour toutevenement A, A,A est un systeme complet sur Ω...

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11 Espaces probabilises finis

Soit (Ω, T ) un espace probabilisable fini, i.e. la tribu T est finie (par exemple,quand Ω est fini).

11.1 Definitions et premieres proprietes

Definition 11.1 On dit que P : T 7→ [0, 1] est une loi de probabilite sur (Ω, T )si :

1. P (Ω) = 1 ;

2. P est additive, i.e. pour tout couple (A,B) ∈ T 2 d’evenements incom-patibles, P (A ∪B) = P (A) + P (B).

Remarques :

1. La propriete 2) (additivite de P ) implique, par recurrence, que pour toutn ∈ N∗, si A1, A2, . . . , An sont des evenements deux a deux incompat-ibles,

P (

n⋃i=1

Ai) =

n∑i=1

P (Ai).

2. L’additivite de P et P (Ω) = 1 impliquent que pour tout A ∈ T ,

P (A) = 1− P (A).

En particulier P (∅) = 0.

3. L’additivite implique egalement9 que pour tous evenements A et B,

P (A−B) = P (A)− P (A ∩B), etP (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Et par recurrence, on generalise a n evenements :

Theoreme 11.2 (Formule de Poincare ou formule du crible Soit n ∈ N∗.Soit (A1, . . . , An) ∈ T n.

P (

n⋃i=1

Ai) =

n∑k=1

((−1)k+1∑

1≤i1<i2<···<ik≤n

P (

k⋂j=1

Aij )).

ou encore

P (

n⋃i=1

Ai) =

n∑k=1

((−1)k+1∑

J∈Pk([[1,n]]

P (⋂j∈J

Aj)).

Definition 11.3 On appelle espace probabilise un triplet (Ω, T , P ) ou Ω est unensemble, T une tribu sur Ω et P une loi de probabilite sur T .

Exemple : Si Ω est fini et si T est la tribu discrete sur Ω, un exemple deloi de probabilite sur (Ω, T ) est loi de probabilite uniforme sur Ω, qui estl’application :

P : T → [0, 1]

A 7→ card(A)

card(Ω).

9Meme demonstration que dans le cas du cardinal, car elle n’utilisait que l’additivite ducardinal.

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Cette loi est caracterisee par le fait que toutes les issues possibles de l’experiencealeatoire sont equiprobables.

Exercice classique (utilisant la loi uniforme et la formule de Poincare) : lesdanseurs de Chicago (ex.17 TD.11).

Theoreme 11.4 (admis) Si A = A1, A2, . . . , An est un syteme complet (fini)d’evenements sur Ω, on definit une et une seule loi de probabilite P sur latribu engendree par A en donnant des valeurs P (Ai) = ai ∈ [0, 1] pour chaque

i ∈ [[1, n]], de sorte que

n∑i=1

ai = 1.

Exemple : On lance un de desequilibre donnant 6 avec une chance sur deux,les autres faces apparaissant avec autant de chances chacunes. L’espace prob-abilise associe a cette experience est ([[1, 6]],P([[1, 6]]), P ), ou P est determineepar P (6) = 1

2 et pour tout i ∈ [[1, 5]], P (i) = 110 . (Plus generalement, pour

definir une loi de probabilite P sur la tribu discrete sur Ω, il suffit de donnerles valeurs des P (ω) pour ω ∈ Ω, de sorte que ces valeurs soient positives etque leur somme fasse 1.)

Definition 11.5 Soit (Ω, T , P ) un espace probabilise. On dit qu’un evenementA ∈ T est negligeable (selon P ) si P (A) = 0, on dit qu’il est presque sur (selonP ) si P (A) = 1.

11.2 Probabilites conditionnelles et formules classiques

Soit (Ω, T , P ) un espace probabilise.

Definition 11.6 Soit (A,B) ∈ T 2. Si B est non negligeable, on appelle proba-

bilite de A sachant B, et note P (A|B) ou PB(A),P (A ∩B)

P (B).

Theoreme 11.7 Si B est non negligeable, l’application PB : T → [0, 1] est uneloi de probabilite sur l’espace probabilisable (Ω, T ).

(En particulier, PB(Ω) = 1, PB(A1 ∪ A2) = PB(A1) + PB(A2) − PB(A1 ∩ A2)etc...)

11.2.1 Formule des probabilites composees

Theoreme 11.8 Soit n un naturel, n ≥ 2. Soit (A1, A2, . . . , An) ∈ T n. Sin−1⋂k=1

Ak est non negligeable10, alors

P (

n⋂k=1

Ak) = P (A1)PA1(A2)PA1∩A2

(A3) · · ·P∩n−1k=1Ak

(An)

soit P (

n⋂k=1

Ak) = P (A1)

n−1∏k=1

P∩ki=1AiP (Ak+1).

Exercice 11.9 Une urne contient initialement 8 boules noires et 4 boules blanches.On tire successivement et sans remise 4 boules de l’urne, mais quand on tire uneboule blanche, on rajoute une boule noire dans l’urne. Quelle est la probabilitede de tirer 4 boules blanches a la suite ?

10Savoir justifier que cette hypothese suffit pour que toutes les probabilites conditionnellesutilisees soient bien definies.

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11.2.2 Formule des probabilites totales

Theoreme 11.10 Soit n ∈ N∗ et soit Ai/ i ∈ [[1, n]] un systeme complet surΩ. Alors pour tout evenement B ∈ T :

P (B) =∑i∈I

P (B ∩Ai).

De plus si les Ai sont non negligeables :

P (B) =∑i∈I

P (Ai)PAi(B).

Exercice 11.11 On dispose de trois urnes, la premiere contient un tiers deboules blanche, la deuxieme en contient un cinquieme, la troisieme n’en contientpas. On tire une boule d’une urne choisie au hasard. Quelle est la probabilitequ’elle soit blanche ?

11.2.3 Formule de Bayes

Theoreme 11.12 Soit A et B deux evenements non negligeables, alors

PA(B) =P (B)

P (A)PB(A).

Remarque 11.13 Cette formule est souvent combinee avec la formule des prob-abilites totales. Par exemple si B est aussi non negligeable, d’apres la formuledes probabilites totales pour le systeme complet B,B :

PA(B) =P (B)PB(A)

P (B)PB(A) + P (B)PB(A).

Exercice 11.14 Un laboratoire fabrique des alcootest et les essais montrent que

• Deux pour cent des personnes controlees sont en etat d’ebriete.

• L’alcootest est positif dans 95 pour cent des cas ou la personne controleeest effectivement en etat d’ebriete.

• L’alcootest est negatif dans 95 pour cent des cas ou la personne controleen’est effectivement pas en etat d’ebriete.

1. On fait passer l’alcootest a une personne et il est positif. Quelle est laprobabilite qu’elle soit reellement en etat d’ebriete ?

2. On fait passer l’alcootest a une personne et il est negatif. Quelle est laprobabilite qu’elle ne soit en fait pas en etat d’ebriete ?

3. Quelle est la probabilite que l’alcootest soit fiable ?

11.3 Independances d’evenements, independance de tribus


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11.3.1 Independances d’evenements

Definition 11.15 On dit que les evenements A et B de T sont independants(selon P ) si P (A ∩B) = P (A).P (B).

Remarque 11.16 Cette notion depend du choix de la probabilite P sur (Ω, T ).

Remarque 11.17 Si A est non negligeable, A et B sont independants si etseulement si PA(B) = P (B).

Definition 11.18 Soit I un ensemble fini ou non. Soit Ai/ i ∈ I une col-lection d’evenements de T . On dit que ces evenements sont mutuellementindependants (ou independants dans leur ensemble) si pour tout J fini inclu

dans I, P (⋂j∈J

Aj) = Πj∈JP (Aj) (i.e. la probabilite de toute intersection finie

de certains des Ai est le produit de leurs probabilites).

Remarque 11.19 Si des evenements sont mutuellement independants, alorsils sont deux a deux independants, mais la reciproque est fausse des qu’il y aplus de trois evenements !

11.3.2 Independance de tribus

Definition 11.20 Soit T1 et T2 deux tribus sur Ω, incluses dans T . On ditque T1 et T2 sont independantes si pour tout (A1, A2) ∈ T1 × T2, A1 et A2 sontindependants.

Remarque : Deux evenements (A,B) ∈ T 2 sont independants si et seulement siles tribus engendrees par A1 et A2 sont independantes. Plus generalement,on admet le

Theoreme 11.21 Soit A et B deux sous ensembles de T . pour montrer que lestribus engendrees par A et B sont independantes, il suffit de montrer que pourtout (A,B) ∈ A× B, A et B sont independants.

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12 Series


12.1.1 Definitions

Soit u une suite reelle ou complexe. Soit n0 ∈ N.

On appelle serie de terme general (un)n≥n0, la suite (Sn =

n∑k=n0

uk)n≥n0. On

appelle Sn, la somme partielle d’ordre n de la serie de terme general (un).On dit que la serie de terme general (un) converge si la suite (Sn) converge.Si c’est le cas on appelle somme de la serie de terme general (un) la limite de(Sn), et on la note

+∞∑k=n0

uk.

Remarque 12.1 Attention : il ne s’agit pas d’une somme (malgre son nom),mais d’une limite, les proprietes (notamment la linearite) vues pour les sommesfinies ne s’appliquent pas pour les sommes de series.On appelle nature d’une serie le fait qu’elle soit convergente ou divergente.

Enfin, si la serie de terme general (un)n≥n0 est convergente et si on note

S = limn 7→+∞

n∑k=n0

uk =

+∞∑k=n0

uk sa somme, et (Sn =

n∑k=n0

uk)n≥n0la suite de

ses sommes partielles, alors on peut definir, pour tout n ≥ n0,

Rn = S − Sn = limp 7→+∞

p∑k=n+1

uk =

+∞∑k=n+1

uk.

Ce reel s’appelle le reste d’ordre n de la serie (convergente) de terme general(un), et la suite des restes, (Rn)n≥n0

, tend donc vers 0.

Exercice 12.2 Montrer que la serie de terme general ( 13n )n≥2 converge en cal-

culant ses sommes partielles. calculer sa somme. Donner un equivalent de lasuite des restes de cette series.

Exercice 12.3 Calculer les sommes partielles de la serie de terme general(ln(n+1

n ))n≥1. En deduire que cette serie diverge.

12.1.2 Proprietes elementaires

Theoreme 12.4 Soit u une suite reelle. Si la serie de terme general (un)converge alors u converge vers 0.

Remarque 12.5 Par contraposee, si u ne converge pas vers 0, la serie de termegeneral (un) diverge. On dit alors que la serie diverge grossierement.

Remarque 12.6 La reciproque de ce theoreme est fausse ! (Contre-exemple :dans l’exercice precedent, on a vu que la serie de terme general (ln(n+1

n ))n≥1

divergeait, mais (ln(n+1n ))n≥1 tend vers 0.)

Proposition 12.7 Si u est positive a partir d’un certain rang la serie de termegeneral (un) est croissante a partir de ce meme rang.

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Remarque 12.8 Dans ce cas, soit la serie est majoree et converge, soit ellen’est pas majoree et elle diverge vers +∞.

Les proprietes des sommes finies ne se generalise pas necessairement aux sommes(i.e. limites) de series. Notons cependant la propriete suivante :

Proposition 12.9 Soit u et v deux suites reelles. Si les series de termesgeneraux (un) et (vn) convergent, alors pour tout (α, β) ∈ R2, la serie de termegeneral (α.un + β.vn) converge, et pour tout n0 ∈ N,

+∞∑k=n0

α.uk + β.vk = α.

+∞∑k=n0

uk + β.

+∞∑k=n0

vk.

Remarque 12.10 En particulier on en deduit, par recurrence sur le nombrede termes, qu’une somme finie de series convergentes est une serie convergente.On peut aussi en deduire que la somme d’une serie convergente et d’une seriedivergente est une serie divergente.

Exercice 12.11 Redemontrer ce theoreme, ces deux proprietes, et la remarqueprecedente.

Remarque 12.12 Cette propriete qui generalise la linearite des sommes finiesne peut etre utilisee que si on a verifie que les series de termes generaux (un) et(vn) convergent ! D’une facon generale, il est toujours preferable de manipuler,dans vos calculs, les sommes partielles des series, pour tout n ≥ n0, puis depasser, si tout converge, a la limite quand n tend vers +∞ dans l’egalite.

12.2 Series a termes positifs

Comme les series a termes positifs sont des suites croissantes, on utlise letheoreme de convergence monotone pour prouver le critere suivant et en deduireles criteres suivants.

Theoreme 12.13 (Critere de comparaison) Soit u et v deux suites et n0 ∈ N.Si pour tout n ≥ n0, 0 ≤ un ≤ vn, alors

• si la serie de terme general (vn) converge alors la serie de terme general(un) aussi ;

• si la serie de terme general (un) diverge alors la serie de terme general(vn) aussi.

Theoreme 12.14 (Critere d’equivalence) Soit u et v deux suites. Si u estpositive a partir d’un certain rang et si u et v sont equivalentes, alors les seriesde termes generaux (un) et (vn) sont de meme nature.

Remarque 12.15 Dire que les deux series sont de meme nature signifie qu’ellessont toutes deux convergentes, ou toutes deux divergentes. Attention, cela nesignifie pas que les suites des sommes partielles sont equivalentes ! L’exercicesuivant en fournit un contre-exemple.

Exercice 12.16 Verifier que les series de termes generaux ( 12n ) et ( 1

2n+1 ) sontde meme nature, puis qu’elles convergent, puis verifier qu’elles ont des limitesdifferentes et ne peuvent donc etre equivalentes.

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Theoreme 12.17 (”Critere de negligeabilite”) Soit u et v deux suites. Si u estpositive a partir d’un certain rang et si u est negligeable devant v, alors

• si la serie de terme general (vn) converge alors la serie de terme general(un) aussi ;

• si la serie de terme general (un) diverge alors la serie de terme general(vn) aussi.

Theoreme 12.18 (Critere de D’Alembert) Si u est une suite strictement pos-itive a partir d’un rang n0 et si (un+1

un)n≥n0 tend vers ` ∈ R+ ∪ +∞, alors

:

• si ` < 1, la serie de terme general (un) converge.

• si ` > 1, la serie diverge.

• si ` = 1, on ne peut rien conclure.

Definition 12.19 Soit α ∈ R. On appelle serie de Riemann de parametre α,la serie de terme general ( 1

nα )n∈N∗ .

Theoreme 12.20 (Theoreme sur les series de Riemann) La serie de Riemannde parametre α converge si et seulement si α > 1.

Remarque 12.21 Se souvenir de la methode pour demontrer ce theoreme, util-isant des comparaisons entre l’aire sous la courbe d’une fonction decroissanteet des aires de rectangles.

Remarque 12.22 La serie de terme general ( 1n )n∈N∗ , qui s’appelle serie har-

monique, est donc divergente.

Exercice 12.23 Redemontrer les theoremes precedents.

Exercice 12.24 Determiner la nature de la serie de terme general (un) dansles cas suivants :

• (un = sin( n(n+1)

√n

)),

• (un = ln(1 + 1√n

).(cos( 1√n

)− 1)).

Remarque 12.25 Soit u une suite positive, pour comparer u a ( 1nα ), on etudie

leur quotient (nαun) : s’il tend vers 0, 1, ou +∞, pour un bon choix de α,on peut souvent en deduire la nature de la serie de terme general (un), graceaux criteres d’equivalence ou de negligeabilite et au theoreme sur les serie deRiemann.

Exercice 12.26 Etudier la nature des series de terme general ( ln(n)n√n

) et ( ln(n)n√n

).

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12.3 Series alternees

Definition 12.27 On appelle serie alternee toute serie de terme general ((−1)nun)ou u est une suite de signe constant.

Theoreme 12.28 Si (|un|)n≥n0est decroissante et converge vers 0, alors la

serie de terme general ((−1)nun) converge.

Exercice 12.29 Redemontrer ce resultat en montrant que, si (Sn =

n∑k=n0

uk),

alors (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes. (On utlisera un resultat classique surles sous-suites pour conclure.)

Exercice 12.30 Plus precisement, montrer que si (|un|) est decroissante etconverge vers 0, alors pour tout n ≥ n0, le reste d’ordre n de la serie (i.e.

Rn =

+∞∑k=n+1

(−1)kuk, qui existe puisque la serie converge) verifie :

|Rn| ≤ |un+1|.

Exercice 12.31 Montrer que la serie harmonique alternee (de terme general

( (−1)n

n )) converge.

12.4 Convergence absolue, semi-convergence

Definition 12.32 On dit que la serie de terme general (un) converge absolu-ment, si la serie de terme general (|un|) converge.

Theoreme 12.33 Si une serie converge absolument alors elle converge.

Exercice 12.34 En notant, pour tout a ∈ R, a+ = Maxa, 0 et a− = −Mina, 0,et en remarquant que a = a+ − a− et |a| = a+ + a−, montrer que si la seriede terme general (un) converge absolument, alors les series de termes generaux(u+n ) et (u−n ) convergent. En deduire une demonstration de ce theoreme.

Remarque 12.35 La reciproque de ce theoreme est fausse ! (La serie har-monique alternee en donne un contre-exemple.)

Remarque 12.36 Ce theoreme permet de se ramener a des series a termespositifs, pour lesquelles on a des criteres de convergence.

Definition 12.37 On dit qu’une serie est semi-convergente si elle convergemais ne converge pas absolument.

Exercice 12.38 Donner des exemples de series semi-convergentes.

Remarque 12.39 La propriete suivante, admise, des series absolument con-vergentes est importante en probabilite11. Soit u une suite reelle et Φ une bijec-tion de N dans N. Si la serie de terme general (un) converge absolument, alorsla serie de terme general (uφ(n)) converge aussi, et

+∞∑n=0

un =

+∞∑n=0

uφ(n).

11C’est une sorte de comutativite des sommes nfinies

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12.5 Sommes classiques

Dans certains cas, il est possible de calculer la somme de la serie.

12.5.1 Series geometriques et derivees de series geometriques

Definition 12.40 On appelle serie geometrique de raison r, une serie dont leterme general est une suite geometrique de raison r.

Remarque 12.41 On sait en calculer les sommes partielles. La serie convergesi et seulement si |r| < 1. Plus generalement, on admet le theoreme suivant12.

Theoreme 12.42 (Formule du binome negatif) Pour tout p ∈ N, et tout x ∈] − 1; 1[, la serie de terme general ((np )xn−p)n≥p converge et vers 1

(1−x)p+1 .

Autrement dit,

+∞∑k=p

(kp)xk =1

(1− x)p+1, ou encore

+∞∑k=p

k(k − 1) . . . (k − p+ 1)xk =p!

(1− x)p+1

Exercice 12.43 Calculer la somme de la serie de terme general (un = n2

3n )n≥0.(On pourra calculer les sommes partielles de cette serie de sorte a pouvoir ap-pliquer la formule du binome negatif pour un certain couple (x, p) ∈]−1, 1[×N.)

12.5.2 Serie de l’exponentielle

On admet temporairement la formule suivante, qu’on appelera formule de l’exponentielle.

Theoreme 12.44 Pour tout reel x, la serie de terme general (xn

n! )n∈N converge,et vers ex.

Exercice 12.45 Soit x ∈ R. Calculer en fonction de x la somme de la serie

de terme general ( (−1)nx2n+1

n! )n∈N.

Remarque 12.46 On demontrera la formule du binome negatif et la formulede l’exponentielle au chapitre [?].

12.5.3 Simplifications des sommes partielles

Telescopage : S’il existe une suite v et un rang n0 tels que pour tout n ≥ n0,un = vn+1 − vn, alors les sommes partielles de la serie de terme general (un)se calcule facilement par telescopage.

Exercice 12.47 Verifier que la serie de terme general (un) converge si et seule-ment si la suite v converge. Traiter les exemple de (un = ln(n+1

n ))n≥1, et de(un

1n(n+1) ))n≥1.

Eclatement du terme general : Dans certains cas, pour calculer lasomme d’une serie (resp. etudier sa convergence), il peut etre utile de decomposerson terme general en somme de termes generaux pour lesquels on connaıt lasomme (resp. la nature) des series. On peut alors utiliser la remarque [?].

Exercice 12.48 Montrer que la serie de terme general (un = 2n+n2

n! )n∈N con-verge et calculer sa somme. Montrer que la serie de terme general (un =ln(1 + sin( 1

n )) + e−n + cos( 1n )− 1) diverge.

12On pourra, pour retenir la formule qui suit, remarquer qu’elle s’obtient en derivant p foisle terme general xn d’une part, et en derivant p fois la somme 1

1−xd’autre part.

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13 Espaces probabilises discrets

13.1 Generalisations des definitions

On a deja defini les espaces probabilises (Ω, T , P ) dans le cas ou la tribu T estfinie (cf. Chapitre 11).Les definitions de tribu sur Ω et de systeme complet sur Ω ont deja ete vuesdans le cas general (i.e. pour Ω quelconque, cf. Chapitre 10).On generalise ici la definition de loi de probabilite au cas general, i.e pour unetribu sur Ω finie ou non.

Definition 13.1 Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. On dit que P : T 7→ [0, 1]est une loi de probabilite sur (Ω, T ) si :

1. P (Ω) = 1 ;

2. P est σ-additive.

Definition 13.2 La propriete 2) (σ-additivite de P ) signifie que pour tout en-semble I fini ou infini denombrable, et pour toute collection Ai / i ∈ I d’evenementsdeux a deux incompatibles, on a

P (⋃i∈I

Ai) =∑i∈I

P (Ai).

la probabilite de leur union est egale a la somme de leurs probabilites, cettesomme etant une somme classique si I est fini et une somme de serie si I estinfini denombrable.

Plus precisement quand I est infini denombrable, on peut se ramener a I =

[[no,+∞[[ pour un entier n0, resp. a I = Z, et alors∑i∈I

P (Ai) designe limN 7→+∞

N∑i=n0

P (Ai),

resp. limN 7→+∞

N∑i=0

P (Ai) + limN 7→+∞

N∑i=1

P (A−i).

Remarque 13.3 Si on se restreint a des ensembles d’indices I finis, la pro-priete correspondante s’appelle simplement l’additivite de P . La σ-additiviteimplique l’additivite.

On rappelle que si Ω est fini, il suffit de montrer (en plus du fait que P (Ω) = 1)que P est additive, car la tribu T ⊂ P(Ω) est alors finie. Plus precisement,pour montrer l’additivite de P , il suffit de montrer que pour tout (A,B) ∈ T 2,si A et B sont incompatibles alors P (A ∪B) = P (A) + P (B).

Remarque 13.4 L’additivite de P et P (Ω) = 1 impliquent encore que pourtout A ∈ T , P (A) = 1− P (A).

Definition 13.5 On appelle espace probabilise sur Ω un triplet (Ω, T , P ) ou Ωest un ensemble quelconque T une tribu sur Ω et P une loi de probabilite sur T .

Soit (Ω, T , P ) un espace probabilise.Les definitions des probabilites conditionnelles, de l’independance de deux

evenements, de l’independance deux a deux ou de l’independance mutuelle d’unefamille quelconque d’evenements, et la definition de l’independance de deux sous-tribus de T restent inchangees (cf. Chapitre 11).

Comme P est en particulier additive, la formule de Poincare (simple ougeneralisee) reste vraie. Les demonstrations des formules de Bayes et des prob-abilites composees restent vraies egalement.

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13.2 Systeme complet et formule des probabilites totalesdans le cas discret

Soit (Ω, T , P ) un espace probabilise.Soit I un ensemble discret, i.e. fini ou infini denombrable. Soit Ai / i ∈ I unsysteme complet d’evenements sur Ω.

On rappelle qu’on dit que Ai / i ∈ I est un systeme complet sur Ω si⋃i∈I

Ai = Ω

si pour tout (i, j) ∈ I2, i 6= j implique Ai ∩Aj = ∅.

Theoreme 13.6 (Formule des probabilites totales) Soit I un ensemble fini ouinfini denombrable, soit Ai/ i ∈ I un systeme complet sur Ω. Alors pour toutevenement B ∈ T :

P (B) =∑i∈I

P (B ∩Ai).

De plus si les Ai sont non negligeables :

P (B) =∑i∈I

P (Ai)PAi(B).

Dans le cas ou I est infini denombrable, les sommes apparaissant dans le theoremesont donc des sommes de series.

13.3 Theoreme de la limite monotone


Theoreme 13.7 Si (An)n∈N est une suite croissante d’evenements de T (i.e.An ⊂ An+1 pour tout n ∈ N), alors

P (⋃n∈N

An) = limn 7→+∞

P (An).

Si (An)n∈N est une suite decroissante d’evenements de T (i.e. An+1 ⊂ An pourtout n ∈ N), alors

P (⋂n∈N

An) = limn 7→+∞

P (An).

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14 Variables aleatoires reelles discretes


14.1.1 Variables aleatoires reelles

Definition 14.1 Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. On appelle variable aleatoirereelle (v.a.r.) sur (Ω, T ) une application X : Ω → R telle que pour tout t ∈ R,X−1(]−∞; t]) ∈ T .

Exercice 14.2 Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. Montrer les resultats suiv-ants.

1. Soit X l’application constante egale au reel a sur Ω, alors X est unevariable aleatoire sur (Ω, T ) (on dit que X est une v.a.r. certaine).

2. Soit A ∈ T alors l’indicatrice X = 11A de A est une v.a.r. sur (Ω, T ).

Exercice 14.3 Si la tribu T est la tribu discrete sur Ω, verifier que toute ap-plication de Ω dans R est une variable aleatoire reelle sur (Ω, T ).

Remarque 14.4 Pour alleger les notations, si X est une v.a.r. sur (Ω, T ),on note (X ≤ t) l’evenement ”X prend une valeur inferieure ou egal a t”, i.e.l’ensemble X−1(]−∞; t]), c’est-a-dire l’ensemble des ω ∈ Ω tels que X(ω) ≤ t.De la meme facon on note, si (t, a, b) ∈ R3, si E ⊂ R et si Y est une autrev.a.r. sur (Ω, T ) :

• (X = t) l’ensemble des ω ∈ Ω tels que X(ω) = t ;

• (X < t) l’ensemble des ω ∈ Ω tels que X(ω) < t ;

• (X ≥ t) l’ensemble des ω ∈ Ω tels que X(ω) ≥ t ;

• (X ∈ [a, b]) l’ensemble des ω ∈ Ω tels que X(ω) ∈ [a, b] ;

• (X ∈ E) l’ensemble des ω ∈ Ω tels que X(ω) ∈ E ;

• (X = Y ) l’ensemble des ω ∈ Ω tels que X(ω) = Y (ω) ;

• (X ≤ Y ) l’ensemble des ω ∈ Ω tels que X(ω) ≤ Y (ω) etc...

Definition 14.5 On appelle variable aleatoire reelle discrete (v.a.r.d.) sur(Ω, T ) une variable aleatoire reelle sur (Ω, T ) qui prend un nombre fini ou infinidenombrable de valeurs sur Ω (i.e. telle que X(Ω) est discret). En particulier,on dit que la v.a.r. X est finie si X(Ω) est fini.

Notation : Par la suite on notera X(Ω) = ai/ i ∈ I l’ensemble desvaleurs prises par X, ou I de la forme :

• I = [[0, n]], pour un n ∈ N∗ si X est finie,

• I = N si X(Ω) est infini denombrable et admet un minimum,

• I = Z) si X(Ω) est infini denombrable et n’admet pas de minimum.

De plus, on imposera que les valeurs ai soient rangees de facon strictementcroissante.

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Remarque 14.6 Avec les notations precedentes, on remarque que pour touti ∈ I, si (X ≤ ai) est realise alors (X ≤ ai+1 aussi, donc (X ≤ ai) ⊂ (X ≤ai+1). On remarque egalement que (X ≤ ai)∩ (X ≤ ai−1 = (X = ai) pour touti strictement positif de I (ou pour tout i ∈ Z si I = Z).

Definition 14.7 Si X est une v.a.r.d., alors, avec les notations precedentes,l’ensemble d’evenements (X = ai)/ i ∈ I est un systeme complet sur Ω. Onl’appelle systeme complet associe a X.

Exercice 14.8 Decrire ce systeme complet dans chacun des exemples suivants(en commencant par preciser Ω dans les trois derniers cas), sachant que T =P(Ω).

1. Soit X l’application certaine, egale au reel a sur (Ω, T (on dit que X estune v.a.r. certaine).

2. Soit A ∈ T , soit X l’indicatrice 11A sur Ω.

3. On lance un de, soit X la variable aleatoire egale au numero obtenu.

4. On lance deux des distingables, soit S la variable aleatoire egale au scoretotal obtenu.

5. On lance indefiniment une piece, soit X la variable aleatoire egale au rangou on obtient pile pour la premiere fois, et egale a 0 si on n’obtient jamaispile.

14.1.2 Loi et fonction de repartition d’une v.a.r.


Definition 14.9 Soit X une variable aleatoire sur (Ω, T ). On appelle loi de Xl’application notee PX : R 7→ [0, 1] qui a tout t de R associe PX(t) = P (X = t).

Remarque 14.10 Si X est une variable aleatoire discrete, determiner la loide X c’est determiner X(Ω) = ai/ i ∈ I puis la suite (finie ou infiniedenombrable) (PX(ai))i∈I .

Notation : Pour tout sous-ensemble E de R tel que (X ∈ E) soit un evenement,on note PX(E) la probabilite P (X ∈ E).

Definition 14.11 On appelle fonction de repartition de X l’application noteeFX : R→ [0, 1] telle que pour tout t ∈ R, FX(t) = P (X ≤ t) = PX(]−∞; t]).Exercice-type : Determiner la loi et la fonction de repartition de X dans lesexemples precedents. Tracer le graphe de la fonction de repartition obtenue.

14.1.3 Proprietes elementaires

Theoreme 14.12 13 Soit X une variable aleatoire reelle sur (Ω, T , P ), alors :

1. La fonction de repartition FX de X est croissante sur R,a valeur dans[0, 1], et continue a droite en tout t ∈ R (i.e. pour tout reel t, lim

u7→t+FX(u) = FX(t)).

13Retenir que la demonstration de ce theoreme utilise les proprietes des fonctions monotonessur un intervalle (existence de limites finies ou infinies aux bornes de l’intervalle, existenced’une limite finie a droite et a gauche en tout point ‘de l’intervalle), le fait qu’une fonctionde repartition est croissante et bornee sur R, la caracterisation sequentielle de la limite et letheoreme de limite monotone.

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2. limu7→+∞

FX(u) = 1 et limu7→−∞

FX(u) = 0.

3. Pour tout reel t : PX(t) = FX(t) − limu7→t−

FX(u). En particulier en tout

reel ou FX est continue, la loi de X est nulle.

4. Pour tous reels a ≤ b : PX(] −∞, b[) = limu 7→b−

FX(u) ; donc PX(]a, b[) =

limu7→b−

FX(u)− FX(a), PX(]a, b]) = FX(b)−FX(a) et PX(]a, b]) = limu 7→b−

FX(u)−limu7→a−

FX(u).

Remarque 14.13 Quand X est une variable aleatoire discrete, le graphe desa fonction de repartition FX est en escalier. Aves les notations precedentes, ilsuffit de connaıtre les (FX(ai))i∈I pour determiner FX .

Remarque 14.14 Il est equivalent de determiner la loi de X ou sa fonction derepartition, car l’une peut se calculer avec l’autre. En particulier deux variablesaleatoires ayant meme fonction de repartition ont meme loi.

14.2 Independances de variables aleatoires

Definition 14.15 Soit (Ω, T , P ), un espace probabilise, et X, Y deux variablesaleatoires reelles discretes sur Ω. On dit que X et Y sont independantes si leurstribus associees TX et TY sont independantes pour la loi P .

Remarque 14.16 Cela signifie que tout evenement ne dependant que des valeursprises par X est independant de tout evenement ne dependant que des valeursprises par Y . (Par exemple l’evenement ”X prend une valeur pair” est independantde l’evenement (X ≥ 3), etc...)

Exercice 14.17 Soit X1 et X2 deux variables aleatoires reelles independantessur un espace probabilise (Ω,¶(Ω), P ). Soit Y1 = MaxX1, X2 et Y2 = MinX1, X2.Exprimer les fonctions de repartion de Y1 et de Y2 en fonction de celles de X1

et de X2.

Definition 14.18 Soit (Ω, T , P ), un espace probabilise, et n ∈ N∗. Soit X1, X2, . . . , Xn

n variables aleatoires reelles discretes sur Ω. On dit que X1, X2, . . . , Xn sontmutuellement independantes si pour tout (x1, x2, . . . , xn) ∈ X1(Ω) × X2(Ω) ×· · · × Xn(Ω), les evenements (X1 = x1), . . . , (Xn = xn) sont mutuellementindependants.

Remarque 14.19 On admet que cela signifie que si pour tout i ∈ [[1, n]], Aiest un evenement ne dependant que des valeurs prises par Xi, alors les Ai sontmutuellement independants. (Autrement dit, si (A1, . . . , An) ∈ TX1 ×· · ·×TXn ,alors A1, . . . , An sont mutuellement independants.)

Exercice 14.20 Generaliser l’exercice precedent a n v.a.r.d. sur Ω, mutuelle-ment independantes.

14.3 Esperance, variance, moments

Soit (Ω, T , P ) un espace probabilise, et X une variable aleatoire reelle discretesur (Ω, T ). On note comme precedemment X(Ω) = ai/ i ∈ I, ou soit I estde la forme [[0, n]], pour un n ∈ N, soit I est infini et inclus dans N ou Z). Deplus, dans ce paragraphe, les ai sont deux a deux distints, mais pas forcementordonnees de facon strictement croissante.

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14.3.1 Cas d’une variable aleatoire finie

Definition 14.21 Dans le cas ou X est finie (i.e. il existe n ∈ N tel queI = [[0, n]]), on appelle esperance de X, et on note E(X), le reel

n∑i=1

aiPX(ai) =∑

a∈X(Ω)

aPX(a).

Theoreme 14.22 (Formule du transfert dans le cas ou X est finie) Avec lesnotations precedentes : Si f est une application definie sur X(Ω) et a valeursreelles, alors f X (notee f(X)) est une variable aleatoire, qui a pour esperance:

E(f(X)) =

n∑i=1

f(ai)PX(ai) =∑

a∈X(Ω)

f(a)PX(a).

Exercice 14.23 Prouver ce theoreme.

Remarque 14.24 L’interet pricipal de cette formule est qu’elle permet de cal-culer l’esperance de toute variable aleatoire ne dependant que de X, a partir dela loi de X seulement.

Exercice 14.25 Soit S la variable aleatoire `egale au score obtenu quand onlance une de equilibre. Une personne vous donne un euro si le score est pair etvous prend 50 centimes d’euro s’il est impair. Quel gain pouvez vous esperer ?

Exercice 14.26 Dans les exemples precedents (ou X est finie), calculer l’esperanceet la variance de X.

Remarque 14.27 On retiendra que pour tout evenement A : E(11A) = P (A).

14.3.2 Cas d’une v.a.r.d. infinie

Soit (Ω, T , P ) un espace probabilise et X une v.a.r.d. infinie sur Ω. On noteX(Ω) = ai/i ∈ I, ou I est une sous-ensemble de Z, et ou les ai sont deux adeux distincts.

Definition 14.28 Si I = [[n0; +∞[[ pour un n0 ∈ N, on dit que X admet uneesperance si la serie de terme general (anPX(an))n≥n0

converge absolument14,alors cette esperance est

E(X) =

+∞∑k=n0

akPX(ak).

Definition 14.29 Si I = Z : Si I = [[n0; +∞[[ pour un n0 ∈ N, on ditque X admet une esperance si les series de terme general (anPX(an))n∈N et(a−nPX(a−n))n∈N∗ convergent absolument, alors cette esperance est

E(X) =

+∞∑k=0

akPX(ak) +

+∞∑k=1

a−kPX(a−k).

14On admettra que si une serie converge absolument, une modification de l’ordre des termesne modifie pas sa somme, ce qui rend bien ces definitions independantes de la facon d’ordonnerles valeurs que prend X...

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Theoreme 14.30 (Formule du transfert dans le cas ou X est infinie) Si f estune application definie sur X(Ω) et a valeurs reelles, alors f X est une varaiblealeatoire et est notee f(X), de plus

• Si I = [[n0,+∞[[, f(X) admet une esperance si et seulement si la serie determe general (f(an)PX(an))n≥n0

converge absolument, et dans ce cas :

E(f(X)) =

+∞∑k=n0

f(ak)PX(ak).

• Si I = Z, f(X) admet une esperance si et seulement si les series determe general (f(an)PX(an))n∈N et (f(a−n)PX(a−n))n∈N∗ convergent ab-solument, et dans ce cas :

E(f(X)) =

+∞∑k=0

f(ak)PX(ak) +

+∞∑k=1

f(a−k)PX(a−k).

Exercice 14.31 Soit X une v.a.r.d. telle que X(Ω) = N et pour tout n ∈ N,Px(n) = e−2 2n

n! . Montrer que cela definit bien une loi de v.a.r.d., puis montrerque X, X2 et X3 admettent une esperance et calculer leurs esperances.

14.3.3 Variance, ecart-type, moments. Definitions et proprietes

Soit (Ω, T , P ) un espace probabilise et X une v.a.r.d. sur Ω. On note X(Ω) =ai/i ∈ I, ou I est un ensemble discret, et ou les ai sont deux a deux distincts.

Definition 14.32 Soit X une v.a.r.d..

• On dit que X admet une variance si (X − E(X))2 admet une esperance,et alors V (X) = E((X − E(X))2). On appelle alors ecart-type de X lereel σ(X) =

√V (X).

• Pour tout k ∈ N∗, on dit que X admet un moment d’ordre k si Xk admetune esperance, le moment d’ordre k de X est alors E(Xk). On dit queX admet un moment centre d’ordre k si (X − E(X)) admet un momentd’ordre k, le moment d’ordre k de X est alors E((X − E(X))k).

Remarque 14.33 Pour tout k ∈ N∗, le moment d’ordre k de X est donc (sousreserve de convergence absolue s’il s’agit d’une somme de serie), avec les nota-tions precedentes :

E(Xk) =

n∑i∈I

aki PX(ai).

Remarque 14.34 L’esperance est une sorte de moyenne des valeurs prises parX ponderees par leurs probabilites d’etre prises. On verra dans le chapitre [?]que son nom se justifie par la loi des grands nombres.

Remarque 14.35 L’ecart-type est ainsi une sorte de moyenne quadratique desecarts de X par rapport a sa moyenne E(X) ; l’ecart-type temoigne donc de ladispersion des valeurs prises par X, autour de sa valeur moyenne.

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Remarque 14.36 L’esperance, la variance, les moments de X ne dependentque de la loi de X, i.e. des valeurs prises par X et des probabilites que ces valeurssoient prises. Si deux variables (eventuellement sur des espaces probabilisesdifferents) ont memes lois, alors elles ont meme esperance, meme variance etmemes moments, s’ils existent.

Definition 14.37 On dit qu’une variable aleatoire est centree si elle admet uneesperance et si cette esperance est nulle.

Proposition 14.38 Si X est une v.a.r.d. positive et centree, alors X est nullepresque surement.

Exercice 14.39 Demontrer cette propriete.

Proposition 14.40 Soit X une v.a.r.d. admettant une esperance, alors pourtout (a, b) ∈ R2, la variable aleatoire aX + b admet une esperance et

E(aX + b) = aE(X) + b.

Definition 14.41 Si X est une v.a.r.d. admettant une esperance, on appellevariable centree associee a X la variable X − E(X).

Exercice 14.42 Demontrer le propriete precedente a l’aide de la formule dutransfert. En deduire que la variable centree associee a X, si elle existe, estcentree.

Theoreme 14.43 (Linearite de l’esperance) Soit X et Y deux v.a.r.d. sur unmeme espace probabilise, admettant une esperance, alors pour tout (a, b) ∈ R2,la variable aleatoire aX + bY admet une esperance et

E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ).

Remarque 14.44 Ce theoreme fondamental sera demontre dans le chapitre[?].

Theoreme 14.45 (Formule de Huygens) Une variable aleatoire X admet unvariance si et seulement si elle admet des moments d’ordre 1 et 2, et dans cecas

V (X) = E(X2)− E(X)2

Exercice 14.46 Demontrer la formule de Huygens en utilisant la linearite del’esperance.

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15 Lois usuelles

On donne ici les exemples fondamentaux de lois classiques de variables aleatoiresdiscretes. Il faut savoir les reconnaıtre dans des cas particuliers et savoir re-calculer leur loi, leur esperance, leur variance si cela est demande. Les quatrespremiers exemples sont finis, les deux derniers infinis.

15.1 Loi de Bernoulli de parametre p

Soit p ∈ [0, 1].On considere une experience aleatoire a deux issues possibles : succes (s) ouechec (e).La probabilite de succes est p.

Donc l’ensemble des issues possibles est Ω = s, e, la tribu choisie T =P(Ω), et la probabilite choisie est P telle que P (s) = p.)

Soit X la variable aleatoire egale a 1 si l’issue de l’experience est un succeset a 0 sinon.

Alors on dit que X suit une loi de Bernoulli de parametre p, on le noteX ∼ B(p).

La loi de X est donnee par : X(Ω) = 0, 1 et PX(1) = p, PX(0) = 1− p.L’esperance de X est p et sa variance est p(1− p).

15.2 Loi binomiale de parametre (n, p)

Soit p ∈ [0, 1] et n ∈ N∗.

On considere une experience aleatoire consituee de n epreuves mutuellementindependantes, chacune des epreuves ayant deux issues possibles : succes (S) ouechec (E).La probabilite de succes est p a chaque epreuve.

Donc l’ensemble des issues possibles est Ω = S,En, la tribu choisie T =P(Ω), et la probabilite choisie est P telle que P (Si) = p pour chaque i ∈ [[1, n]],ou Si designe l’evenement ”On obtient un succes a la iieme epreuve”.)

Soit X la variable aleatoire egale au nombres de succes obtenus a l’issue del’experience, i.e. des n epreuves.

Alors on dit que X suit une loi binomiale de parametres (n, p), on le noteX ∼ B(n, p).

La loi de X est donnee par : X(Ω) = [[0, n]], et pour tout k ∈ [[0, n]],PX(k) = (nk ]pk(1− p)n−k..

L’esperance de X est np et sa variance est np(1− p).

Remarque 15.1 Si, pour chaque i ∈ [[1, n]], Xi designe la variable aleatoireegale a 1 si Si est realisee et a 0 sinon, alors Xi suit une loi de bernoulli deparametre p, et X =

∑ni=1Xi.

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15.3 Loi uniforme sur un ensemble fini E

Soit E un ensemble fini de reels.On considere une variable aleatoire X peuqui prend ses valeurs dans E, cha-

cunes des valeurs de E etant prises de facon equiprobables par X.

Donc X(Ω) = E et la probabilite PX est la loi uniforme sur E, en particulierpour tout a ∈ E, PX(x) = 1

card(E) .

On dit alors que X suit la loi uniforme sur E, on le note X ∼ U(E).

L’esperance et la variance de X dependent de l’ensemble E (a recalculer achaque fois).

Exercice 15.2 Calculer l’esperance et la variance de X si x ∼ U([[1, n]]).

15.4 Loi hypergeometrique de parametre (N, n, p)

Experience aleatoire type : soit une urne avec N boules indiscernables autoucher, de couleur blanche ou rouge, dont une proportion p de boules blanches(il y a donc Np boules blanches dans l’urne). On prend une poignee de n boulesdans l’urne au hasard.(Quitte a numeroter les N boules de 1 a N , une issue possible de l’experienceest donc une partie a n elements de [[1, N ]], donc l’ensemble des issues possiblesest Ω = Pn([[1, N ]] et est de cardinal (Nn ). La tribu choisie est la tribu discreteet toutes les issues possibles etant equiprobables, la loi de probabilite P choisieest la loi uniforme sur Ω.)

Soit X la variable aleatoire qui compte le nombre de boules blanches dans lapoignee de n boules.

On dit que X suit une loi hypergeometrique de parametres (N,n, p), on lenote X ' H(N,n, p).

Au minimum, la poignee pouvant contenir jusqu’a minn,N(1− p) boulesrouges, elle contient m = max0, n−N(1− p) boules blanches. Au maximum,la poignee contient M = minn,Np boules blanches.

Donc X(Ω) = [[m,M ]] et pour tout k ∈ [[n,M ]], PX(k) =(Npk ).(

N(1−p)n−k )

(Nn ).

Proposition 15.3 En utilisant le systeme complet associe a X, on prouve laformule de Vandermonde

M∑k=m

(Npk ).(N(1−p)n−k ) = (Nn ).

Avec la convention (rk) = 0 si k < 0 ou k > r, cette formule equivaut a,

a+b∑k=0

(ak).(bn−k) = (a+bn ).

pour tous naturels a, b, n teles que n ≥ a+ b.

Exercice 15.4 Donner plusieurs demonstrations de cette formule.

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15.5 Loi geometrique de parametre p

Soit p ∈ [0, 1].

Experience aleatoire type : On considere une suite infinie d’epreuves mutuelle-ment independantes et a deux issues possibles (succes (s) ou echec (e)), la prob-abilite de succes etant p a chaque epreuve.

Une issue possible est donc une suite a valeurs dans s, e, donc l’universest Ω = s, eN∗ . La tribu choisie est la tribu discrete et la probabilite choisieest celle definie par les conditions de l’experience.

Soit X la variable aleatoire egale au rang du premier succes obtenu, et15

egale a 0 pour l’issue ou l’on obtient toujours un echec (i.e. X(ω) = 0 pourl’issue ω correspondant a la suite constante egale a e).

On dit que X suit une loi geometrique de parametre p. On le note X ∼ G(p).

L’ensemble des valeurs prises par X est alors N et pour tout n ∈ N∗,PX(n) = (1− p)n−1p.On peut alors verifier, a l’aide du systeme complet associe a X, que PX(0) = 0.

La variable X admet alors une esperance et une variance, de plus

E(X) =1

p, V (X) =

1− pp2

.

15.6 Loi de Poisson de parametre λ

Soit λ > 0.Soit X une variable aleatoire.

On dit que X suit une loi de Poisson de parametre λ si

X(Ω) = N et pour tout n ∈ N, PX(n) = e−λλn

n!.

Exercice 15.5 Verifier que ceci definit bien une loi de v.a.r.d..Si la variable X suit une loi de Poisson de parametre λ, alors X admet une

esperance et une variance, et

E(X) = λ, V (X) = λ.

15Cette derniere precision est souvent omise, meme dans les enonces.

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16 Systemes lineaires a coefficients constants

Dans tout ce chapitre, K designe R ou C.

16.1 Definitions

Definition 16.1 Soit (p, n) ∈ (N∗)2. Soit, pour tout i ∈ [[1, p]], (ai,1, . . . , ai,n, bi) ∈Kn+1 .On appelle systeme lineaire de coefficients (ai,j)(i,j)∈[[1,p]]×[[1,n]] et de secondmembre (b1, . . . , bp), la donnee des p equations lineaires a n inconnues (x1, . . . , xn)decrite ainsi :

S :

a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

. . .

ai,1x1 + ai,2x2 + · · ·+ ai,nxn = bi

. . .

ap,1x1 + ap,2x2 + · · ·+ ap,nxn = bp

On notera Li sa iieme equation, pour chaque i ∈ [[1, p]].

Definition 16.2 Soit (x1, . . . , xn) ∈ Kn. On dit que (x1, . . . , xn) est une solu-tion de S si cette n-liste verifie les p equations de S.

Definition 16.3 On dit que le systeme S est homogene si son second membre(b1, . . . , bp) est egal a (0, . . . , 0). On appelle systeme homogene associe a S lesysteme de memes coefficients que S mais de second membre egal a (0, . . . , 0).

Par la suite, on notera S0 le systeme homogene associe a S.

Par exemple, si S :

3x+ 5y = 2

−x+ 2y = −1alors S0 :

3x+ 5y = 0

−x+ 2y = 0.

On notera S l’ensemble des solutions de S et S0 l’ensemble des solutions deS0.

Remarque 16.4 Si S est homogene, alors (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0) en est unesolution particuliere.

Proposition 16.5 Soit S un systeme lineaire a n inconnues et S0 son systemehomogene associe. Soit (z1, . . . , zn) ∈ Kn, une solution particuliere de S.Soit (x1, . . . , xn) ∈ Kn. Alors (x1, . . . , xn) est solution de S si et seulement si(x1 − z1, . . . , xn − zn) est solution de S0.Par suite,

S = (z1 + y1, . . . , zn + yn) / (y1, . . . , yn) ∈ S0,

ce que l’on note aussiS = (z1, . . . , zn) + S0.

Exercice 16.6 Verifier cette proposition.

Definition 16.7 On dit que le systeme S est incompatible s’il n’a aucune so-lution. On dit qu’il est compatible s’il a au moins une solution. On dit qu’il estde Cramer s’il a exactement une solution.

Definition 16.8 On dit que deux systemes sont equivalents s’ils ont le memeensemble de solutions.

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16.2 Resolution des systemes echelonnes

Definition 16.9 On dit qu’un systeme S a p lignes est echelonne s’il existek ∈ [[1, p]] tel que

• pour tout i ∈ [[1, k − 1]], l’equation Li+1 a strictement moins d’inconnuesque l’equation Li ;

• pour tout i ∈ [[k + 1, p]], l’equation Li n’a aucune inconnue.

Les k premieres equations forment alors le systeme principal et les p−k dernieresequations forment le systeme auxiliaire de S. Autrement dit, S est de la formesuivante :

Remarque 16.10 Pour qu’un systeme soit incompatible, il suffit qu’une de sesequation s n’ait pas de solution. Pour le systeme precedent, il suffit donc qu’ilexiste i ∈ [[k + 1, p]] tel que bi 6= 0.

Definition 16.11 On dit qu’un systeme a n lignes et n inconnues, et de coef-ficients (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]2 est triangulaire, si pour tout i > j, ai,j = 0. Autrementdit un systeme triangulaire est un systeme de la forme suivante :

a11x1 + · · · + · · · + a1nxn = b1a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...annxn = bn

0 = bn+1

......

...0 = bp

(0)

Remarque 16.12 Un tel systeme se resout par substitutions successives, enpartant de la derniere ligne jusqu’a la premiere.

Exercice 16.13 Resoudre les systemes triangulaires suivants :

S1 :

3x+ 5y − 2z = 2

2y + z = −1

− z = 3

, S2 :

3x+ 5y − 2z = 2

0.y + z = −1

− z = 3

et S3 :

3x+ 5y − 2z = 2

2y − z = −1

0.z = 0

Proposition 16.14 Un systeme triangulaire, de coefficients (ai,j)(i,j)∈[[1,n]]2 ,est de Cramer si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non-nuls,i.e. si et seulement si pour tout i ∈ [[1, n]], ai,i 6= 0.

Par exemple, dans l’exercice precedent, S1 est de Cramer et S2 et S3 ne le sontpas.

Theoreme 16.15 Avec les notations precedentes, un systeme echelonne estcompatible si et seulement si son eventuel systeme auxiliaire est compatible (i.e.pour tout i ∈ [[k+1, p]], bi = 0). De plus, s’il est compatible, il est de Cramer si etseulement si son systeme principal est triangulaire et de coefficients diagonauxtous non-nuls (i.e. k = n et pour tout i ∈ [[1, n]], ai,i 6= 0).

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Un systeme echelonne et compatible est donc equivalent a son systeme principal,il se resout donc par substitutions successives, de Ln a L1.

16.3 Methode du pivot

Le but de cette section est de decrire une methode qui permet, pour tout systemeS lineaire a coefficients constants, de se ramener a un systeme echelonne,equivalent a S.

Definition 16.16 On appelle operations elementaires sur le systeme S, uneoperation d’une des trois formes suivantes :

• echange de deux lignes Li et Lj, note Li ↔ Lj ;

• ajout a une ligne Li d’un multiple d’une autre ligne αLj (ou i 6= j etα ∈ K), note Li ← Li + αLj ;

• multiplication d’une ligne Li par une constante non nulle β, notee Li ←βLi.

Theoreme 16.17 On obtient un systeme equivalent a S si on effectue uneoperation elementaire sur les lignes de S

Exercice 16.18 Prouver ce theoreme.

Methode du pivotLa methode decrite ci-dessous, permet, par une suite finie d’operations elementairessur les p lignes de S de se ramener a un systeme echelonne, qui est equivalenta S d’apres le theoreme precedent.Le resultat se prouve par recurrence sur p, l’hypothese de recurrence etant : unsysteme lineaire a p ligne est equivalent a un syteme echelonne.

Initialisation : Un systeme a une ligne est deja echelonne.

heredite : Soit p ∈ N∗, on suppose l’hypothese de recurrence vraie au rang p.Soit S un systeme lineaire a p+1 lignes, on note n le nombre de ses inconnues.Ainsi S est de la forme suivante :

S :

a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2

. . .

ai,1x1 + ai,2x2 + · · ·+ ai,nxn = bi

. . .

ap+1,1x1 + ap+1,2x2 + · · ·+ ap+1,nxn = bp+1

Premier cas : Tous les coefficients de la premiere ligne sont nuls. On effectuealors L1 ↔ Lp+1, et on applique l’hypthese de recurrence au systeme formepar les p premieres lignes du systeme obtenu. Le systeme S est donc equivalenta un systeme donc les p premieres lignes forment un systeme echelonne, etla (p + 1)ieme ligne fait partie de son systeme auxiliaire. Donc l’hypothese derecurrence est alors vraie au rang p+ 1.

Deuxieme cas : Au moins un des coefficients de la premiere ligne est non-nul.On choisit j ∈ [[1, n]] tel que a1,j 6= 0. Ce coefficient est appele pivot. On place,dans chaque ligne de S, le terme en xj en premiere position dans la somme, eton effectue, pour chaque i ∈ [[2, p+ 1]], l’operation elementaire

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Li ← Li −ai,ja1,j

L1.

Ainsi, on obtient un systeme equivalent a S dans lequel les lignes L2 a Lp+1

n’ont plus l’inconnue xj.On applique alors l’hypothese de recurrence au sous-systeme a p lignes forme parles lignes L2 a Lp+1 : ce sous-systeme est equivalent a un systeme echelonne,d’inconnues (x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn), qui reste echelonne quand on lui ad-joint L1. Donc l’hypothese de recurrence est alors vraie au rang p+ 1.

Conclusion : Quelque soit son nombre de lignes, un systeme lineaire estequivalent a un systeme echelonne. De plus cette recurrence prouve que pourechelonner un systeme S, il faut :

1. placer si necessaire en premiere position, grace a un echange de ligne, uneligne qui a des coefficients non nuls ; on note alors (ai,j) les coefficientsdu systeme obtenu ;

2. choisir un pivot non-nul aj,1 et placer le terme en xj en premiere positiondans chaque ligne ;

3. eliminer le terme en xj des lignes L2 a Lp, grace aux operations elementaires

Li ← Li −ai,ja1,j

L1, pour i ∈ [[2, p]];

4. recommencer a la premiere etape pour le systeme forme par les lignes L2

a Lp, dont on vient d’eliminer l’inconnue xj.

5. Le processus s’arrete des qu’il ne reste plus de ligne avec des coefficientsnon-nuls, i.e. quand on obtient un systeme echelonne. Ce systeme estequivalent a S puisqu’on n’a effectue que des operations elementaires suc-cessives sur S.

Remarque 16.19 On peut aussi a chaque etape choisir une ligne, parmi leslignes restantes, qui contient un pivot simple (par exemple 1), et la placer enpremiere position des lignes restantes, pour utiliser ce pivot simple.

Remarque 16.20 Plus generalement, chacun peut faire des choix (de pivotspar exemple) differents a chaque etape, il n’y a donc pas qu’une methode dupivot, mais toutes menent a un systeme equivalent a S et echelonne.

Exercice 16.21 Resoudre les systemes suivants :

S1 :

3x− 5y + 4z − t = 3

2x− 2y + 3z − t = 2; S2 :

2x− 5y + z = 1

2x− y + 3z = 0

x− 6y + 5z = 1

; S3 :

x+ y − 2z − t = 1

x− y + 3z + t = 3

x− 2y + 5z + 3t = 2

x− 3y = 2

.

Exercice 16.22 Montrer que le systeme

ax+ by = 0

cx+ dy = 0est de Cramer si et

seulement si ad− bc 6= 0.

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17 Calcul matriciel

17.1 Definitions, operations

Definitions des matrices, des ensembles Mn,p(K).Definition de la somme sur Mn,p(K), de la multiplication par scalaire, du produitsur Mn,p(K)×Mp,q(K), proprietes.

Definition de la transposition, propietes.Pour les matrices carrees : Definition de la trace, propriete.Definition de In, definition et unicite sous reserve d’existence de l’inverse d’unematrice.Matrices symetriques, diagonales, triangulaires.Polynomes de matrice carree.Exemples d’inversion de A grace a un polynome annulateur P de A tel queP (0) 6= 0.Exemple de calcul de An a l’aide du reste de la division euclidienne de Xn parun polynome annulateur de A.Formule du binome de Newton pour deux matrices qui commutent.Matrice semblables, matrices equivalentes.

17.2 Systemes lineaires et matrices

Systeme lineaire : ecriture matricielle.A est inversible ssi le systeme homogene associe est de Cramer.Methode d’inversion par les SEL.

17.3 Methode de Gauss-Jordan

Operation elementaires sur les lignes et multiplication a gauche par des matricesinversibles.Pricipe de la methode de Gauss-Jordan.

17.4 Spectre et espaces-propres d’une matrice carree

Definition du spectre et des espaces propres d’une matrice carree.

Exercice 17.1 Si P (A) est la matrice nulle, le spectre de A est inclus dansl’ensemble des racines de P .

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18 Espaces vectoriels, applications lineaires

18.1 Espaces vectoriels

18.1.1 Definition, espaces vectoriels classiques

18.1.2 caracterisation des sous-espaces vectoriels

18.1.3 Sous-espace vectoriel engendre par une famille de vecteurs

Utilisation de la notation VectK(A).Operations elementaires sur les vecteurs de A ne modifiant pas l’espace en-gendre.

18.1.4 Produit cartesien, somme, somme directe, supplementaires

Definitions de la somme, de la somme directe, de deux espaces vectoriels. Definitionset premiere caracterisation des supplementaires.Definition des composantes sur une somme directe.Exemples d’utilisation d’un raisonnement par analyse et synthese pour montrerque deux sev sont supplementaires.

Produit cartesien d’espaces vectoriels. Exemples.

18.2 Applications lineaires

18.2.1 Definitions, proprietes elementaires

Definition des applications lineaires et des espaces vectoriels LK(E,F ). Isomor-phisme, endomorphisme, automorphisme.Exemples. Exemple de l’application lineaire canoniquement associee a une ma-trice A.Une combinaison lineaires, une composee d’applications lineaires est lineaire.La reciproque d’une application lineaire bijective est lineaire.

18.2.2 Polynomes d’endomorphismes

Definition, proprietes, utilisations similaires au cas des matrices des polynomesannulateurs.

18.2.3 Image et noyau, surjectivite et injectivite

Definition du noyau et de l’image d’une application lineaire f : E 7→ F , ce sontdes sous-espaces vectoriels resp. de E et de F .Caracterisation de l’injectivite par le noyau (et de la surjectivite par l’image).

18.2.4 Projecteurs et symetries

Definitions et caracterisations. Exemples.

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19 Espaces vectoriels de dimension finie

19.1 Familles libres, generatrices, bases

Definitions.On dit qu’un espace vectoriel est de dimension finie s’il admet une famillegeneratrice finie.

19.2 Theoreme de la base incomplete, dimension

Theoreme de la base incomplete.Dans un espace de dimension finie E, toutes les bases ont meme cardinal, d’oula definition de la dimension comme le cardinal commun de toutes les bases deE.Dimension des espaces vectoriels classiques.

19.3 Applications du theoreme de la base incomplete

Dans un espace de dimension finie E, tout sev admet un supplementaire.Caracterisation des supplementaires de E al’aide des bases. Constructions desupplementaires.Caracterisation de l’egalite de deux sev en dimension finie.Caracterisation des bases de E en dimension finie.Caracterisation de la bijectivite des application lineaires entre deux espaces dememe dimension.Formule de Grassmann : dimension d’une somme, caracterisation des supplementairesen dimension finie.

19.4 Matrice representative d’une application lineaire

19.4.1 Definition

19.4.2 Operations, compositions et matrices

19.4.3 Changements de bases

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20 Reduction des endomorphismes et des ma-trices carrees

20.1 Pour les endomorphismes

Definition du spectre, des espaces propres.Definition de la diagonalisabilite dans le cas general.En dimension finie, interpretation matricielle et caracterisations. Exemples.Condition suffisante de diagonalisabilite.

20.2 Pour les matrices

Definition de la diagonalisabilite.Interpretation a l’aide de l’application lineaire canoniquement assocee.Methode de diagonalisation et utilisation pour le calcul de A..

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21 Continuite

Dans tout ce chapitre, I designe un intervalle.

21.1 Definitions

On rappelle qu’on noteI l’interieur de l’intervalle I, i.e. l’intervalle I prive de

ses eventuelles bornes.

Definition 21.1 Soit f une fonction definie sur I. Soit a ∈ I.

• Si a ∈I, on dit que f est continue en a si la limite de f en a existe et vaut

f(a).

• Si I admet a pour maximum (resp. minimum), on dit que f est continueen a si la limite a gauche (resp. a droite) de f en a est f(a).

Definition 21.2 On dit que f est continue sur l’intervalle I si f est continueen tout point de I. On note C0(I) l’ensemble des fonctions conitnues sur I.

Definition 21.3 Soit a ∈ I. Soit f une fonction definie sur I−a et continueen tout point de I − a. On dit que f est prolongeable par continuite en a s’ilexiste une fonction f ∈ C0(I) telle que f(x) = f(x) pour tout x ∈ I − a.

Remarque 21.4 La fonction f est alors appele prolongement par continuite def a I. Une telle fonction existe si et seulement si

• soit a ∈I et f admet une limite finie ` en a ;

• soit I admet a pour maximum (resp. minimum) et f admet une limitefinie ` a gauche (resp. a droite) en a.

Alors f(a) = `. S’il existe, un prolongement par continuite de f a I est doncunique.

Exercice 21.5 On considere deux fonctions definies sur R∗ : f1 : x 7→ x sin 1x

et f2 : x 7→ sin 1x . Montrer que f1 est prolongeable par continuite a R, mais que

f2 ne l’est pas.

Definition 21.6 On dit que f est continue a droite (resp. a gauche) sur I, sien tout point a de I, sauf son eventuel maximum (resp. minimum), la fonctionf admet f(a) pour limite a droite (resp. a gauche).

Remarque 21.7 On a vu par exemple que la fonction de repartition d’unevariable aleatoire reelle est continue a droite sur R, ainsi que la fonction partieentiere.

21.2 Operations, composition et continuite

Theoreme 21.8 Soit a ∈ I. Toute combinaison lineaire de fonctions continuesen a est encore continue en a. L’ensemble C0(I) est un R-espace vectoriel.

Theoreme 21.9 Soit a ∈ I. Un produit de fonctions continues en a (resp. surI) est continu en a (resp. sur I).

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Theoreme 21.10 Soit a ∈ I et f une fonction definie sur I et continue ena. Soit g un fonction definie sur f(I) et continue en b = f(a). Alors g f encontinue en a. Ainsi, si f ∈ C0(I) et g ∈ C0(f(I))16, alors g f ∈ C0(I).

Theoreme 21.11 Si f est continue sur I, alors 1f est continue en tout a de I

tel que f(a) 6= 0.

Exercice 21.12 Verifier immediatement ces theoremes a l’aide des theoremessur les limite d’une somme, d’un produit, d’une composee de fonctions.

21.3 Continuite sur un intervalle, sur un segment

Theoreme 21.13 (des valeurs intermediaires) : Soit f un fonction continuesur l’intervalle I, alors f(I) est un intervalle. Autrement dit pour tout (a, b) ∈I2, si z est une valeur entre f(a) et f(b) alors il existe c entre a et b tel quef(c) = z.

Exercice 21.14 Prouver ce theoreme en construisant par dichotomie deuxsuites adjacentes (an) et (bn) telles que z soit entre (f(an)− z).(f(bn)− z) ≤ 0pour tout naturel n.

On rappelle qu’un segment est un intervalle ferme et borne.

Theoreme 21.15 Si f est continue sur un segment [a, b] alors f est bornee etatteint ses bornes sur [a, b].

Remarque 21.16 Autrement dit, il existe (m,M) ∈ R2 tel que f([a, b])) =[m,M ], et il existe donc (α, β) ∈ [a, b]2 tel que f(α) = m et f(β) = M .

Remarque 21.17 Le resultat est faux sur un intervalle qui n’est pas un seg-ment, i.e qui n’est pas ferme ou qui n’est pas borne. Ainsi tan est continuesur ]−π2 , π2 [, mais n’est pas bornee sur cet intervalle ; x 7→ x est continue sur[0,+∞[ mais n’y est pas bornee.

Exercice 21.18 Prouver ce theoreme. On raisonnera par l’absurde en sup-posant par exemple f non majoree sur [a, b]. On construira alors une suite(xn) ∈ [a, b]N telle que f(xn) ≥ n pour tout naturel n. Puis, par dichotomie, onconstruira une sous-suite de (xn) convergente. On trouvera alors une contra-diction.

21.4 Theoreme de la bijection monotone

Theoreme 21.19 Soit f une fonction continue et strictement monotone surun intervalle I. Alors f realise une bijection de I sur f(I). Autrement dit

f|f(I)|I est bijective. De plus sa bijection reciproque g : f(I) 7→ I est continue et

de meme monotonie que f , sur f(I).

Exercice 21.20 Verifier ce theoreme17. Verifier que dans une repere orthonorme,les graphes de f|I et de g sont symetriques par rapport a la premiere bissectrice.

Exercice 21.21 Montrer que ”reciproquement”, si f est continue et injectivesur I, alors f est strictement monotone sur I.

Exercice 21.22 Appliquer le theoreme de la bijection monotone aux fonctionssin (sur [−π2 ,

π2 ]), cos (sur [0, π]) et tan (sur ]− π

2 ,π2 [), pour definir les fonctions

arcsin, arccos et arctan. Dessiner les graphes de ces fonctions.

16On verra, grace au theoreme des valeurs intermediaires, que f(I) est aussi un intervalle.17Pour la continuite de g, on pourra utiliser la caracterisation sequentielle de la limite.

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22 Calcul differentiel

Dans tout ce chapitre, I designe un intervalle, etI l’interieur de cet intervalle

(i.e. l’intervalle I prive de ses eventuelles bornes).

22.1 Definitions, caracterisation de la derivabilite, classesde fonctions

Definition 22.1 Soit f une fonction definie sur I et a ∈ I.

• Si a ∈I, on dit que f est derivable en a si son taux d’accroissement en a,

ta : x 7→ f(x)− f(a)

x− a, admet une limite finie ` en a.

• Si I admet a pour maximum (reps. minimum), on dit que f est derivableen a si ta admet une limite finie ` a gauche (resp. a droite) en a.

On appelle alors ` le nombre derive de f en a et on le note f ′(a).

Exercice 22.2 Montrer a l’aide cette definition que f : x 7→ 1x est derivable en

tout a ∈ R∗ et preciser f ′(a).

Remarque 22.3 Si a ∈I, on dit que f est derivable a droite (resp. a gauche)

en a si ta admet une limite finie a droite (resp. a gauche) en a, cette limite,notee f ′d(a) (resp. f ′g(a)) s’appelle derivee a droite (resp. auche) de f en a.Ainsi, f est derivable en a si et seulement si elle est derivable a droite et agauche en a et f ′d(a) = f ′g(a).

Definition 22.4 On dit que f est derivable sur I si f est derivable en toutpoint de I. la fonction f ′ est alors definie sur I. On note D1(I) l’ensemble desfonctions derivables sur I.

Definition 22.5 On dit que f admet un developpement limite a l’ordre 1 en as’il existe (b, c) ∈ R2 tel que

f(x) = b+ c(x− a) + oa(x− a).

Autrement dit s’il existe un voisinage V de a et ε : V 7→ R de limite nulle en atels que pour tout x ∈ V :

f(x) = b+ c(x− a) + ε(x)(x− a).

On notera DL1(a) pour developpement limite a l’ordre 1 en a.

Exercice 22.6 Montrer que si f admet un DL1(a), alors celui-ci est unique,i.e. les coefficients b et c sont uniques.

Theoreme 22.7 (Caracterisation de la derivabilite en a par l’existence d’unDL1(a))

Soit f un fonction definie sur I et a ∈I. Alors f est derivable en a si et

seulement si f admet un developpement limite a l’ordre 1 en a.De plus, si tel est le cas, ce developpement limite est :

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + oa(x− a).

Exercice 22.8 Demontrer ce theoreme. L’interpreter geometriquement. (Onrappelle que y = f(a) + f ′(a)(x− a) est l’equation de la tangente a f en a.)

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Theoreme 22.9 Soit f un fonction definie sur I et a ∈I. Si f est derivable

en a alors f est continue en a.

Exercice 22.10 Prouver ce theoreme a l’aide de la caracterisation de la derivabiliteprecedente.

Exercice 22.11 Etudier la continuite et la derivabilite en 0 de f : x 7→ x sin 1x .

Que dire de la reciproque du theoreme precedent ?

Definition 22.12 Soit n ∈ N. On dit que f est n fois derivable sur I si onpeut deriver f n fois successivement sur I. On note f (n) la derivee nieme de f ,i.e. l’application obtenue par n derivations successives de f .On note Dn(I) l’ensemble des fonctions n fois derivables successivement sur I,au moins.On note Cn(I) = f ∈ Dn(I) / f (n) ∈ C0(I).

Remarque 22.13 Pour tout n ∈ N, d’apres les definitions et le theoremeprecedent, on a

Dn(I) ⊂ Cn(I) ⊂ Dn+1(I).

Definition 22.14 On note C∞(I) ou D∞(I) l’ensemble des fonctions indefinimentderivables sur I, i.e.

C∞(I) = D∞(I) =⋂n∈N

Cn(I) =⋂n∈N

Dn(I).

22.2 Operations, composition et derivabilite

Theoreme 22.15 Une combinaison lineaire de fonctions derivables en un reelest derivable en ce reel.

Exercice 22.16 Demontrer le theoreme precedent a l’aide de la caracterisationde la derivabilite en a par l’existence d’une DL1(a). En deduire le theoremesuivant.

Theoreme 22.17 Pour tout n ∈ N, Cn(I) et Dn(I) sont des R-espaces vecto-riels.

Remarque 22.18 En tant qu’intersection d’espaces vectoriels, C∞(I) est doncegalement un R-espace vectoriel.

Theoreme 22.19 Soit a ∈I. Soit f et g deux fonctions derivables en a, alors

leur produit est derivable en a et (f.g)′(a) = f ′(a).g(a) + g′(a).f(a).

Exercice 22.20 Demontrer ce theoreme a l’aide de la caracterisation de laderivabilite en a par l’existence d’une DL1(a). En deduire le theoreme suivantpar recurrence, a l’aide de la formule de Pascal.

Theoreme 22.21 (Formule de Leibnitz)Soit n ∈ N, soit (f, g) ∈ Dn(I)2, alors f.g ∈ Dn(I) et

(f.g)(n) =

n∑k=0

(nk )f (k).g(n−k).

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Exercice 22.22 Verifier que x 7→ cos(x)e2x est dans C∞(R) et calculer, pourn ∈ N, sa derivee nieme.

Theoreme 22.23 Soit f une fonction derivable en un reel a et g une fonctionderivable en f(a), alors g f est derivable en a et (g f)′(a) = f ′(a).g′(f(a)).Donc si f est derivable sur un intervalle I et si g est derivable sur f(I) alorsg f est derivable sur I, et

(g f)′ = f ′.(g′ f) sur I.

Exercice 22.24 Prouver ce theoreme a l’aide de la caracterisation de la derivabiliteen a par l’existence d’une DL1(a). En deduire par recurrence que si f ∈ Dn(I)et g ∈ Dn(f(I)) alors g f ∈ Dn(I).

Exercice 22.25 Montrer que x 7→ sin(e3x) est dans C∞(R) et calculer, pourn ∈ N, sa derivee nieme.

Exercice 22.26 En precisant le domaine de derivabilite de x 7→ 1x , montrer le

theoreme suivant.

Theoreme 22.27 Soit f une fonction derivable en a, alors 1f est derivable en

a si f(a) 6= 0, et dans ce cas (1

f

)′(a) =

−f ′(a)

f(a)2.

Remarque 22.28 On en deduit par recurrence sur n que si f ∈ Dn(I) et si Zest l’ensemble des points de I ou f s’annule, alors 1

f ∈ Dn(I − Z).

Theoreme 22.29 Si f est une bijection de I sur J , et si f est derivable surl’intervalle I, alors sa bijection reciproque f−1 est derivable en tout y de J telque f ′(f−1(y)) 6= 0, et dans ce cas :

(f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y)).

Exercice 22.30 Appliquer ce theoreme pour montrer les resultats classiquessuivants.

1. La fonction arctan est derivale sur R, et pour tout reel y, arctan′(y) =1

1 + y2.

2. La fonction arccos est derivable sur ] − 1, 1[ et pour tout y ∈] − 1, 1[,

arccos′(y) =−1√1− y2

.

3. La fonction arcsin est derivable sur ] − 1, 1[ et pour tout y ∈] − 1, 1[,

arcsin′(y) =1√

1− y2.

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22.3 Extremum et derivee, theoreme de Rolle

Definition 22.31 Soit f : I 7→ R. On dit que f admet en a un extremum locals’il existe un voisinage de a dans I sur lequel f prend une valeur maximum ouminimum en a.

Proposition 22.32 Si f ∈ D1(I), si a ∈I et si f admet un extremum local en

a, alors f ′(a) = 0.

Exercice 22.33 Demontrer cette proposition en considerant le signe du tauxd’accroissement en a, a droite et a gauche de a, et en passant a la limite dansles inegalites. Puis en deduire le theoreme suivant.

Theoreme 22.34 (de Rolle). Soit a < b deux reels. Soit f ∈ C0([a, b]) ∩D1([a, b]) telle que f(a) = f(b). Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Exercice 22.35 Generaliser ce theoreme au cas suivant : soit f derivable surR et admettant la meme limite finie en +∞ et −∞, montrer qu’il existe un reelc tel que f ′(c) = 0.

22.4 Accroissements finis

Theoreme 22.36 (des accroissements finis). Soit a < b deux reels. Soit f ∈

C0([a, b]) ∩D1([a, b]), alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Exercice 22.37 Demontrer ce theoreme en appliquant le theoreme de Rolle aune fonction bien choisie (selon que f(a) = f(b) ou non). Puis en deduire letheoreme suivant.

Theoreme 22.38 (Inegalite des accroissements finis). Soit a < b deux reels.Soit f ∈ C0([a, b]) ∩D1([a, b]). S’il existe (m,M) ∈ R2 tel que m ≤ f ′(x) ≤Mpour tout x ∈]a, b[, alors m(b− a) ≤ f(b)− f(a) ≤M(b− a).

Remarque 22.39 En particulier si f est derivable sur un intervalle I, et s’ilexiste k ∈ R tel que |f ′(x)| ≤ k sur I, alors pour tout (x, y) ∈ I2, |f(x)−f(y)| ≤k|x− y|.

Exercice 22.40 Soit a < b deux reels et f ∈ C0([a, b]) ∩ D1(]a, b[) telle quef([a, b]) ⊂ [a, b]. On suppose qu’il existe k ∈ [0, 1[ tel que pour tout x ∈]a, b[,|f ′(x)| ≤ k.

1. Montrer que f admet un point fixe au moins dans [a, b], puis que ce pointfixe est unique. On le note α.

2. Soit u une suite telle que par u0 ∈ [a, b] et pour tout n ∈ N, un+1 = f(un).Montrer que u est bien definie et que pour tout naturel n, |un+1 − α| ≤k|un − α|.

3. En deduire que pour tout naturel n, |un − α| ≤ kn|u0 − α|. Conclure.

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22.5 Convexite

22.5.1 Definition, proprietes elementaires

Definition 22.41 Soit I un intervalle. On dit que f est convexe sur I si pourtout (a, b) ∈ I2 et tout t ∈ [0, 1],

f(ta+ (1− t)b) ≤ tf(a) + (1− t)f(b)

Remarque 22.42 Graphiquement cela signifie que tout point M sur la cordequi lie les points de la courbe de f d’abscisses a et b est au-dessus du point dela courbe de meme abscisse que M , i.e. ”la courbe de f sur I est en dessous deses cordes”.

On demontre alors par recurrence sur n le resultat suivant.

Theoreme 22.43 Si f est convexe sur I alors pour tout n ∈ N∗, tout (x1, . . . , xn) ∈

In et tout (t1, . . . , tn) ∈ (R+)n tel que

n∑i=1

ti = 1, on a

f(

n∑i=1

tixi) ≤n∑i=1

tif(xi).

Remarque 22.44 Cette inegalite est souvent utilisee pour un bon choix de fet ti = · · · = tn = 1

n .

Exercice 22.45 Montrer que pour tout n ∈ N∗ et pour tout (x1, . . . , xn) ∈R+∗n, (

n∏i=1

xi

) 1n

≤ 1

n

n∑i=1

xi.

Theoreme 22.46 La fonction f est convexe sur l’intervalle I si et seulement

si pour tout a ∈ I, la fonction ta : x 7→ f(x)−f(a)x−a est croissante sur I − a.

Exercice 22.47 Soit f une fonction convexe sur R. Montrer que x 7→ f(x)x

admet une limite dans R ∪+∞ en +∞.

22.5.2 Convexite et derivabilite

Theoreme 22.48 Soit f une fonction derivable sur l’intervalle I. Alors f estconvexe sur I si et seulement si f ′ est croissante sur I.

Remarque 22.49 Si f ∈ D2(I), alors f est convexe sur I si et seulement sif ′′ ≥ 0 sur I.

Definition 22.50 On dit que f est concave sur I si −f est convexe sur I.

Exercice 22.51 En deduire les proprietes elementaires et des caracterisationsde la concavite sur I.

Remarque 22.52 Les seules fonctions convexes et concaves sont les fonctionsaffines sur I.

Definition 22.53 Soit f : I 7→ R et a ∈ I. On dit que f admet en a un pointd’inflexion en a si elle presente un changement de concavite en a.

page : 91


Remarque 22.54 Si f ∈ D2(I), f admet donc un point d’inflexion en a si etseulement si f ′′ s’annule et change de signe en a.

page : 92


23 Calcul integral

23.1 Integrales des fonctions en escalier

Commencons par des definitions preliminaires, pour definir les fonctions en es-calier et leurs integrales sur un segment.Soit a < b deux reels.

Definition 23.1 On appelle subdivision de [a, b] une liste de reels x0 = a <x1 < · · · < xn = b. On dit que cette subdivision est pointee en (y0, . . . , yn−1) sipour tout i ∈ [[0, n− 1]], yi ∈]xi, xi+1[.

Definition 23.2 Soit (x0, . . . , xn) et (z0, . . . , zr) deux subdivisions de [a, b]. Ondit que (z0, . . . , zr) est plus fine que (x0, . . . , xn) si x0, . . . , xn ⊂ z0, . . . , zr.

Definition 23.3 On dit que f est en escalier sur [a, b] s’il existe une subdivisionx0 = a < x1 < · · · < xn = b de [a, b] telle que pour tout i ∈ [[0, n − 1]], f estconstante sur ]xi, xi+1[.On dit alors que la subdivision (x0, . . . , xn) est adaptee a la fonction en escalierf . On note E([a, b]) l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b].

Remarque 23.4 En utilisant le fait que si une subdivision de [a, b]est adapteea une fonction en escalier f , toutes subdivision plus fine de [a, b] l’est aussi,on prouve que toute combinaison lineaire de fonctions en escalier sur [a, b] estencore une fonction en escalier sur [a, b].

Proposition 23.5 l’ensemble E([a, b]) est un R-espace vectoriel.

Definition 23.6 Soit f ∈ E([a, b]), soit (x0, . . . , xn) une subdivision de [a, b],pointee en (y0, . . . , yn−1.

On appelle integrale de f sur [a, b], et on note

∫ b

a

f(t)dt le reel

n−1∑i=1

f(yi)(xi+1 − xi).

Par convention,

∫ a

b

f(t)dt = −∫ b

a

f(t)dt et

∫ a

a

f(t)dt = 0.


∫ b

a

f(t)dt dans le cas ou f est constante sur [a, b], puis

dans le cas ou f est la fonction partie entiere sur [a, b] = [−2, 3].

Remarque 23.8 L’integrale de f sur [a, b] est bien definie car ce reel ne dependpas du choix de la subdivision adaptee a f : elle vaut effectivement la somme desaires des rectangles delimites par les plateaux de la fonction en escalier f et l’axedes abscisses, ces aires etant comptees positivement si le rectangle correspondantest au dessus de l’axe des abscisses, et negativement si le rectangle correspondantest au-dessous de l’axe des abscisses.

On prouve alors facilement les theoremes suivants.

Theoreme 23.9 (linearite de l’integrale). L’application f 7→∫ b

a

f(t)dt est une

forme lineaire sur E([a, b]).

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Theoreme 23.10 (Relation de Chasles). Soit c ∈ [a, b], soit f ∈ E([a, b]), alorsf est aussi une fonction en escalier sur [a, c] et sur [c, b], et on a∫ b

a

f(t)dt =

∫ c

a

f(t)dt+

∫ b

c

f(t)dt.

Remarque 23.11 Grace a la convention de la definition precedente, cette rela-tion reste vraie quelque soit a, b, c, pourvu que f soit en escalier sur [mina, b, c,maxa, b, c].

Theoreme 23.12 (Positivite et croissance de l’integrale). Si f est positive et

en escalier sur [a, b], alors

∫ b

a

f(t)dt ≥ 0. Si h et g sont en escalier sur [a, b] et

si h ≥ g sur [a, b] alors

∫ b

a

h(t)dt ≥∫ b

a

g(t)dt.

Theoreme 23.13 (”Inegalite triangulaire”). Si f ∈ E([a, b]) alors |f | ∈ E([a, b])et

|∫ b

a

f(t)dt| ≤∫ b

a

|f(t)|dt.

23.2 Integrales des fonctions continues

Etendons la definition et les theoremes precedents au cas des fonctions contin-ues sur [a, b].

Soit a < b deux reels.Soit f une fonction continue sur le segment [a, b]. Alors f est bornee et atteintses bornes m et M sur [a, b]. Considerons les ensembles

A−(f) = ∫ b

a

φ(t)dt / φ ∈ E([a, b]) etφ ≤ f sur[a, b]

et A+(f) = ∫ b

a

ψ(t)dt /ψ ∈ E([a, b]) etψ ≥ f sur[a, b]

Alors A−(f) est un sous-ensemble de R non vide (car il contient l’integrale de lafonction en escalier constante egale a m) et majore (par l’integrale de la fonctionen escalier constante egale a M). Donc A+(f) admet une borne superieure.De meme, A+(f) est un sous-ensemble de R non vide et minore, donc il admetune borne inferieure.

Theoreme 23.14 (admis) Pour toute fonction f ∈ C0([a, b]), Sup(A−(f)) =Inf(A+(f)).

On peut ainsi etendre la definition de l’integrale aux fonctions continues.

Definition 23.15 Soit f ∈ C0([a, b]) alors on appelle integrale de f sur [a, b]

et on note

∫ b

a

f(t)dt le reel Sup(A−(f)) = Inf(A+(f)).

Par convention,

∫ a

b

f(t)dt = −∫ b

a

f(t)dt et

∫ a

a

f(t)dt = 0.

On etend egalement la validite des theoremes vus pour les fonctions en es-calier pour les fonctions continue sur [a, b]18.

18Chaque inegalite se prouve en prouvant la double inegalite, en utilisant le fait quel’integrale de f sur [a, b] est a la fois une borne superieure et une borne inferieure, et enutilisant les theoremes prouves pour les fonctions en escalier.

page : 94


Theoreme 23.16 L’application f 7→∫ b

a

f(t)dt est une forme lineaire sur C0([a, b]).

Theoreme 23.17 Soit α, β, γ trois reels. Si f est continue sur [minα, β, γ,maxα, β, γ]alors ∫ β

α

f(t)dt =

∫ γ

α

f(t)dt+

∫ β

γ

f(t)dt.

Theoreme 23.18 Si f est continue et positive sur [a, b] alors

∫ b

a

f(t)dt ≥ 0.

Si (g, h) ∈ C0([a, b])2 et si g ≥ h sur [a, b], alors

∫ b

a

g(t)dt ≥∫ b

a

h(t)dt.

Theoreme 23.19 Si f est continue sur [a, b] alors |f | aussi et

|∫ b

a

f(t)dt| ≤∫ b

a

|f(t)|dt.

23.3 Integrales de fonctions continue par morceaux

Etendons encore la definition de l’integrale aux fonctions continues par morceauxsur [a, b]

Definition 23.20 On dit que f est continue par morceaux sur [a, b] s’il existeune subdivision x0 = a < x1 < · · · < xn = b de [a, b] telle que pour tout i ∈[[0, n− 1]], f est continue sur ]xi, xi+1[ et admet un prolongement par continuitefi a [xi, xi+1].Une telle subdivision est dite adaptee a f . On note C0

m([a, b]) l’ensemble desfonctions continues par morceaux sur [a, b].

Remarque 23.21 De meme que pour E([a, b]), on montre que C0m([a, b]) est

un R-espace vectoriel.

Definition 23.22 Soit f ∈ C0m([a, b]), soit (x0, . . . , xn) une subdivision de [a, b]

adaptee a f . Pour chaque i ∈ [[0, n − 1]], on note fi le prolongement par con-tinuite de f a [xi, xi+1]. Alors on appelle integrale de f sur [a, b], et on note∫ b

a

f(t)dt le reel

n−1∑i=1

∫ xi+1

xi

fi(t)dt.

De meme que pour les fonctions en escalier, ce reel ne depend pas de la subdi-vision adaptee a f choisie.

Theoreme 23.23 la linearite, la positivite et la croissance de l’integrale restevraie sur C0

m([a, b]) . La relation de Chasles et l’inegalite trianglaire reste vraiespour des fonctions continues par morceaux.

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23.4 Theoreme fondamental du calcul integral

Theoreme 23.24 (theoreme de la valeur moyenne). Soit f ∈ C0([a, b]), alors

il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(t)dt.

Definition 23.25 Soit f definie sur un intervalle I, on dit que F : I 7→ R estune primitive de f sur I si F ∈ D1(I) et F ′ = f sur I.

Theoreme 23.26 (theoreme fondamental du calcul integral). Soit f une fonc-tion continue sur un intervalle I, soit a ∈ I. Alors f admet une primitive sur

I et l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a est F : x 7→∫ x

a

f(t)dt.

Exercice 23.27 Deduire ce theoreme du theoreme de la valeur moyenne.

Exercice 23.28 Montrer que x 7→∫ x2−2x

x

ln(t)dt est derivable sur ]2,+∞[ et

calculer sa derivee.

Exercice 23.29 Determiner la primitive de x 7→ ln(x) sur R+∗ qui s’annuleen 1.

Exercice 23.30 Justifier l’existence de I =

∫ 1

0

1

1 + t2dt et la calculer.

Theoreme 23.31 Soit f une fonction continue et positive sur [a, b]. Si

∫ b

a

f(t)dt =

0 alors f est la fonction nulle sur [a, b].

Exercice 23.32 Deduire ce resultat du theoreme fondamental du calcul integral.

23.5 Calculs d’integrales

Theoreme 23.33 (Integration par parties) Soit I un intervalle et (f, g) ∈C1(I). Alors pour tout (a, b) ∈ I2,∫ b

a

f ′(t)g(t)dt = −∫ b

a

f(t)g′(t)dt+ [f(t)g(t)]ba.

Remarque 23.34 La notation [h(t)]ba designe h(b)− h(a).

Exercice 23.35 Demontrer ce resultat a l’aide du theoreme sur la derivee d’unproduit et du theoreme fondamental du calcul integral.

Theoreme 23.36 (Changement de variables) Soit I un intervalle, soit φ ∈C1(I) et f ∈ C0([a, b]), alors pour tout (a, b) ∈ I2,∫ b

a

φ′(t).f(φ(t))dt =

∫ b

a

f(u)du.

Exercice 23.37 Demontrer ce resultat a l’aide du theoreme sur la deriveed’une composee et du theoreme fondamental du calcul integral.

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∫ 1

0

√1− u2du et la calculer a

l’aide du changement de variable u = cos(t).


∫ π

0

sin(t)

3− cos(t)dt et la calculer a

l’aide du changement de variable cos(t) = u.

23.6 Somme de Riemman

Definition 23.40 Soit f une fonction continue sur [a, b], soit n ∈ N∗. Onappelle sommes de Riemman d’ordre n associee a f sur [a, b] les reels

Sn(f) =b− an

n−1∑k=0

f(a+ kb− an

) et Tn(f) =b− an

n∑k=1

f(a+ kb− an

).

Exercice 23.41 Dessiner un graphe de fonction continue sur un segment etles sommes de Riemman S5 et T5 correspondantes. Remarquer que ces sommescorrespondent a des integrales de fonctions en escalier.

Theoreme 23.42 Si f est continue sur [a, b] alors (Sn(f))n∈N∗ et (Tn(f))n∈N∗

convergent, et vers

∫ b

a

f(t)dt.

Exercice 23.43 Montrer ce resultat a l’aide du theoreme de convergence mono-tone et de la definition de l’integrale de f , dans le cas ou f est continue etmonotone sur [a, b].

Exercice 23.44 Montrer que (un =

n−1∑k=0

n

n2 + k2) converge et calculer sa limite.

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24 Formules de Taylor

24.1 Formule de Taylor avec reste integral

Theoreme 24.1 (Formule de Taylor avec reste integral). Soit I un intervalleet n ∈ N. Soit f ∈ Cn+1(I). Alors pour tout (a, b) ∈ I2,

f(b) =

n∑k=0

f (k)(a)

k!(b− a)k +

∫ b

a

(b− t)n

n!f (n+1)(t)dt

Exercice 24.2 Prouver ce theoreme par recurrence sur n, a l’aide d’une integrationpar parties.

Exercice 24.3 Montrer que pour tout x ∈ [−π2 ,π2 ], x− x3

3! ≤ cos(x) ≤ x− x3

3! +x5

5! .

Remarque 24.4 Si f ∈ Cn(I) et a ∈ I, le polynome Tn,a(f) : x 7→n∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k

s’appelle le polynome de Taylor d’ordre n pour f en a. Le reste integral de laformule evalue donc la difference entre f et son polynome de Taylor d’ordre nen a. Dans le cas d’une fonction f polynomiale de degre r, ce reste est nul pourtout n ≥ r, et f = Tr,a(f) pour tout a de R.

24.2 Formule et inegalite de Taylor-Lagrange

Theoreme 24.5 (Formule de Taylor-Lagrange). Soit I un intervalle et n ∈ N.Soit f ∈ Cn+1(I). Alors pour tout (a, b) ∈ I2, il existe c entre a et b tel que

f(b) =

n∑k=0

f (k)(a)

k!(b− a)k +

(b− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(c)

Exercice 24.6 Prouver la formule de l’exponentielle et la formule du binomenegatif a l’aide de cette formule.

Exercice 24.7 Montrer ce resultat a l’aide de la formule de Taylor avec resteintegral. En deduire le theoreme suivant.

Theoreme 24.8 (Inegalite de Taylor-Lagrange). Soit I un intervalle et n ∈ N.Soit f ∈ C(n+1)(I) et (a, b)inI

2. S’il existe une reel M tel que |f (n+1)(t)| ≤Mpour tout t entre a et b, alors

|f(b)−n∑k=0

f (k)(a)

k!(b− a)k| ≤M.

|b− a|n+1

(n+ 1)!

24.3 Formule de Taylor-Young

Theoreme 24.9 (Formule de Taylor-Young). Soit I un intervalle et n ∈ N.Soit f ∈ Cn(I) et a ∈ I. Alors

f(x) =

n∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k + oa((x− a)n).

Remarque 24.10 Cette formule s’appelle formule de Taylor-Young a l’ordren en a. Elle ne peut etre exploitee qu’au voisinage de a, par exemple pour uncalcul de limite en a.

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Exercice 24.11 Determiner la limite en 0 de la fonction definie sur R∗ par

x 7→ x−sin(x)x3 .

Exercice 24.12 Montrer la formule de Taylor-Young a l’aide de la formule deTaylor avec reste integral.

Exercice 24.13 Ecrire la formule de Taylor-Young pour les fonctions x 7→ ex,x 7→ 1

1−x , x 7→ ln(1− x), x 7→ sin(x) et x 7→ cos(x).

page : 99


25 Developpements limites

25.1 Definition, proprietes elementaires

Definition 25.1 Soit f : I 7→ R et a ∈ I. Soit n ∈ N. On dit que f admetun developpement limite a l’ordre n en a (en abrege, un DLn(a)) s’il existe unpolynome P de degre au plus n tel que

f(x) = P (x− a) + oa((x− a)n).

Alors x 7→ P (x− a) s’appelle la partie reguliere du DLn(f) de f .

Remarque 25.2 Cette egalite n’est exploitable qu’au voisinage de a, par exem-ple pour un calcul de limite.

Proposition 25.3 Sous reserve d’existence, il y a unicite du DLn(a) de f .

Remarque 25.4 Si f ∈ Cn(V ), ou V est un voisinage de a, alors f admet unDLn(a) d’apres la formule de Taylor-Young, et la partie reguliere du DLn(a)de f est le polynome de Taylor a l’ordre n de f en a, i.e.

P (x− a) = Tn,a(f)(x) =

n∑k=1

f (k)(a)

k!(x− a)k.

Remarque 25.5 On a vu que f est derivable en a si et seulement si f admetun DL1(a). Mais pour n ≥ 2, l’existence d’un DLn(a) n’assure pas l’existencede derivees jusqu’a l’ordre n en a.

Definition 25.6 Soit P (X) =

n∑i=0

aiXi un polynome de degre au plus n. Soit

r ∈ [[0, n]]. On appelle troncature de P a l’ordre r, et on note P (X)r, le polynome

r∑i=0

aiXi.

Proposition 25.7 Si f admet un Dln(a), alors pour tout r ∈ [[0, n]], f admetun DLr(a), dont la partie reguliere est la troncature a l’ordre r de la partiereguliere de son DLn(a).

25.2 Operations, composition, integration

Theoreme 25.8 Si f et g admettent un DLn(a) alors f+g admet un DLn(a),dont la partie reguliere est la somme des parties regulieres des DLn(a) de f etde g.

Theoreme 25.9 Si f et g admettent un DLn(a) alors f×g admet un DLn(a),dont la partie reguliere est la troncature a l’ordre n du produit des partiesregulieres des DLn(a) de f et de g.

Theoreme 25.10 Si f admet un DLn(a) et si g admet un DLn(f(a)) alorsg f admet un DLn(a), dont la partie reguliere est la troncature a l’ordre nde la composee de la partie reguliere du DLn(a) de f par la partie reguliere duDLn(f(a)) de g.

Exercice 25.11 Determiner un developpement limite de x 7→ 1cos(x) en 0.

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Exercice 25.12 Determiner la limite de x 7→ esin(x)−1x en 0.

Theoreme 25.13 Si f admet un DLn(a), et si f est continue sur un voisinageV de a. Notons F une primitive de f sur V . Alors F admet un DLn+1(a).

De plus si f(x) =

n∑i=0

bi(x− a)i + oa((x− a)n), alors le DLn+1(a) de F est

F (x) = F (a) +

n∑i=0

bii+ 1

(x− a)i+1 + oa((x− a)n+1).

Remarque 25.14 L’avantage principal des developpements limites sur les equivalents,c’est qu’ils permettent de faire des operations qu’on ne peut pas faire avec lesequivalents (addition, composition, integration).

Exercice 25.15 Determiner le DLn(0) de x 7→ 11−x , en deduire le DLn+1(0)

de x 7→ ln(1 + x).

25.3 Developpements limites classiques

Theoreme 25.16 Soit n ∈ N, on a les developpements classiques suivants en0 :

ex =

n∑k=0

xk

k!+ o0(xn).

1

1− x=

n∑k=0

xk + o0(xn).

ln(1 + x) =

n−1∑k=0

(−1)k

k + 1xk + o0(xn).

(1 + x)α = 1 +

n∑k=1

α(α− 1) · · · (α− k + 1)

k!xk + o0(xn), pour tout α ∈ R.

cos(x) =

n∑k=0

(−1)k

(2k)!x2k + o0(x2n+1).

sin(x) =

n∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1 + o0(x2n+2).

Remarque 25.17 Si on cherche un DLn(a) pour f , ou a 6= 0, il peut etreutile de poser g : x 7→ f(a + x) et de chercher un DLn(0) de g, a l’aide desdeveloppements classiques en 0. Ainsi, si g(x) = P (x) + oO(xn), ou P est lapartie reguliere du DLn(O) de g, alors f(t) = f(a+ (t− a)) = g(t− a) +P (t−a) + oa((t− a)n) est le DLn(a) de f en a.

Remarque 25.18 Si on cherche un developpement asymptotique a l’ordre nde f en +∞, c’est a dire un polynome P de degre au plus n tel que f(x) =P ( 1

x ) + o+∞( 1xn ), on peut poser de meme g : x 7→ f( 1

x ) et chercher un DLn(0)de g a l’aide des developpements classiques en 0.

page : 101


26 Couples de v.a.r.d.

26.1 Definitions, loi conjointe et lois marginales, lois con-ditionnelles

26.2 Independances de variables aleatoires

26.3 Loi d’une fonction de n variables aleatoires

26.4 Esperance d’une fonction de deux variables aleatoires

26.5 Covariance et correlation

26.6 Convergences de suites de variables aleatoires

26.6.1 Inegalites de Markov et de Tchebichev

26.6.2 Convergence en probabilite et approximation

26.6.3 Convergence en loi et approximation

page : 102


27 Topologie dans le plan cartesien

page : 103


28 Fonctions de deux variables reelles

page : 104


29 Statistique

Aide-memoire de turbo-pascal

page : 105

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