Cours d'algorithmique 6 - Intranet 1 23 novembre 2006 Cours dAlgorithmique Programmation dynamique :...

Cours d'algorithmique 6 - IntranetCours d'algorithmique 6 - Intranet 1123 novembre 200623 novembre 2006

Cours d’AlgorithmiqueCours d’Algorithmique

Programmation dynamique :Programmation dynamique :

Problème du sac à dos.Problème du sac à dos.

Négociant en sardines au port de Marseille.Négociant en sardines au port de Marseille.

Problème de la plus longue sous-chaîne commune.Problème de la plus longue sous-chaîne commune.

Problème du plus court chemin.Problème du plus court chemin.

23 novembre 200623 novembre 2006 Cours d'algorithmique 6 - IntranetCours d'algorithmique 6 - Intranet 22

• Trier et chercher, recherche textuelleTrier et chercher, recherche textuelle• Listes et arbresListes et arbres• Le back-trackLe back-track• Arbres équilibrésArbres équilibrés• Récursivité et induction sur la structureRécursivité et induction sur la structure• Divide and conquerDivide and conquer• Minimax, alpha-betaMinimax, alpha-beta• DérécursionDérécursion• Divers problèmes particuliers.Divers problèmes particuliers.• Logique de HoareLogique de Hoare• Programmation dynamiqueProgrammation dynamique• Complexité et calculabilitéComplexité et calculabilité

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours


Dynamic ProgrammingDynamic Programming----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

En français : Programmation dynamique !En français : Programmation dynamique !

Abréviation classique : DPAbréviation classique : DP

Notion introduite par Richard Bellman en 1957.Notion introduite par Richard Bellman en 1957.



En français : Programmation dynamique !En français : Programmation dynamique !

Abréviation classique : DPAbréviation classique : DP

Notion introduite par Richard Bellman en 1957.Notion introduite par Richard Bellman en 1957.

Principe :Principe :

Nous explicitons le TEMPSNous explicitons le TEMPS

qui sera linéaire, bi-dimensionnel, . . .qui sera linéaire, bi-dimensionnel, . . .



• Introduction à la problématique.Introduction à la problématique.

• Considérons à nouveau la fonction Considérons à nouveau la fonction Fibonacci :Fibonacci :

fib ( n ) = fib ( n ) =

n si n = 0 ou n = 1,n si n = 0 ou n = 1,

fib ( n-2 ) + fib ( n-1 ) sinon.fib ( n-2 ) + fib ( n-1 ) sinon.{{



• Introduction à la problématique.Introduction à la problématique.

• Considérons à nouveau la fonction Fibonacci :Considérons à nouveau la fonction Fibonacci :

• Le programme récursif est exponentiel en temps !Le programme récursif est exponentiel en temps !

C’est dû auxC’est dû auxrépétitionsrépétitionsde calculs !de calculs !

fib ( n ) = fib ( n ) =

n si n = 0 ou n = 1,n si n = 0 ou n = 1,

fib ( n-2 ) + fib ( n-1 ) sinon.fib ( n-2 ) + fib ( n-1 ) sinon.{{

0 1

22

1

33

44

0 1

22



• Principe de la programmation dynamique :Principe de la programmation dynamique :

– Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?

fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,

fib ( fib ( t-2t-2 ) + fib ( ) + fib ( t-1t-1 ) sinon. ) sinon.{{





fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,

fib ( fib ( t-2t-2 ) + fib ( ) + fib ( t-1t-1 ) sinon. ) sinon.{{Nous utilisons au temps « t » ce que nous avonsNous utilisons au temps « t » ce que nous avons

pu calculer aux temps « t – 1 » et « t – 2 ».pu calculer aux temps « t – 1 » et « t – 2 ».





• Respectons le temps :Respectons le temps :

fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,

fib ( fib ( t-2t-2 ) + fib ( ) + fib ( t-1t-1 ) sinon. ) sinon.{{tt

00 11 22 33 44 55 66

fibfib 1100






fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,


00 11 22 33 44 55 66

fibfib 11 1100






fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,


00 11 22 33 44 55 66

fibfib 11 11 2200






fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,


00 11 22 33 44 55 66

fibfib 11 11 22 3300






fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,


00 11 22 33 44 55 66

fibfib 11 11 22 33 5500






fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,


00 11 22 33 44 55 66

fibfib 11 11 22 33 55 8800






• Nous avons une complexité en temps linéaire ! ! !Nous avons une complexité en temps linéaire ! ! !

fib ( fib ( tt ) = ) =

tt si si tt = 0 ou = 0 ou tt = 1, = 1,


00 11 22 33 44 55 66

fibfib 11 11 22 33 55 8800


L AL AF O N C T I O NF O N C T I O N

D ED ET E M P ST E M P S

L E S L E S D E P E N D A N C E D E P E N D A N C E

SS




• Quelle fonction de temps ?Quelle fonction de temps ?

– C’est quoi ?C’est quoi ?





– Une fonction qui dit, en termes de l’état du Une fonction qui dit, en termes de l’état du problème, à quel moment il va être résolu !problème, à quel moment il va être résolu !

– Exemples : Exemples : fib ( t ) au temps « t »,fib ( t ) au temps « t », prog( x , y ) au temps « 2 *x + y -prog( x , y ) au temps « 2 *x + y -

5 ».5 ».





– Une fonction qui dit, en termes de l’état du Une fonction qui dit, en termes de l’état du problème, à quel moment il va être résolu !problème, à quel moment il va être résolu !

– Exemples : Exemples : fib ( t ) au temps « t »,fib ( t ) au temps « t », prog( x , y ) au temps « 2 *x + y -5 ».prog( x , y ) au temps « 2 *x + y -5 ».

• N’importe laquelle pour peu queN’importe laquelle pour peu que

– nous ne répétions pas les calculsnous ne répétions pas les calculs

Ce n’est pas interdit, mais fortement déconseillé !Ce n’est pas interdit, mais fortement déconseillé !

– et que la fonction soit compatible avec les et que la fonction soit compatible avec les dépendances. dépendances.



• Dépendances entre problèmes :Dépendances entre problèmes :

– On parle aussi de « flot de données ou de On parle aussi de « flot de données ou de contrôle ».contrôle ».

– Le calcul « B » dépend du calcul « A » s’il faut Le calcul « B » dépend du calcul « A » s’il faut queque

« A » soit calculé avant « B » !« A » soit calculé avant « B » !







– Soit, parce que « A » a besoin de données produites Soit, parce que « A » a besoin de données produites par « B » --- flot de données !par « B » --- flot de données !








– Soit, parce qu’il faut respecter un ordre (par Soit, parce qu’il faut respecter un ordre (par exempleexemple

imprimer « A » avant « B »).imprimer « A » avant « B »).










– Soit, parce que « A » conditionne « B » ( si A alors B ) Soit, parce que « A » conditionne « B » ( si A alors B ) --- flot de contrôle ! --- flot de contrôle !




– On parle aussi de « flot de données ou de On parle aussi de « flot de données ou de contrôle».contrôle».






– Soit, parce que « A » conditionne « B » ( si A alors B ) Soit, parce que « A » conditionne « B » ( si A alors B ) --- flot de contrôle ! --- flot de contrôle !



• En fait, les dépendances comportent une notion En fait, les dépendances comportent une notion de temporalité sous la forme de :de temporalité sous la forme de :

AVANT --- APRESAVANT --- APRES D’ABORD --- ENSUITED’ABORD --- ENSUITE





• La fonction de temps « f » dit de manière plus La fonction de temps « f » dit de manière plus précise :précise :

QUANDQUAND






QUANDQUAND

• La contrainte sur « f » dit que :La contrainte sur « f » dit que :

– dès que « A » doit être avant « B » pour des dès que « A » doit être avant « B » pour des raisons de dépendances, alorsraisons de dépendances, alors

f ( A ) < f ( B )f ( A ) < f ( B )






QUANDQUAND

• La contrainte sur « f » dit que :La contrainte sur « f » dit que :

– dès que « A » doit être avant « B » pour des dès que « A » doit être avant « B » pour des raisons de dépendances, alorsraisons de dépendances, alors

f ( A ) < f ( B )f ( A ) < f ( B )« f » est alors dite « compatible avec les dépendances ».« f » est alors dite « compatible avec les dépendances ».



• L’arbre de dépendances de Fibonacci :L’arbre de dépendances de Fibonacci :

0

1

22

1

33

44

0

1

22




• Sa projection sur un axe de temps :Sa projection sur un axe de temps :

0

1

22

1

33

44

0

1

22

tt

00

11

22

33

44





0

1

22

1

33

44

0

1

22

tt

00

11

22

33

44





0

1

22

1

33

44

0

1

22

tt

00

11

22

33

44Compatibilité !Compatibilité !



• Parfois, la programmation dynamique estParfois, la programmation dynamique est

• la transformation d’un problème de back-track la transformation d’un problème de back-track ou divide-and-conquerou divide-and-conquer

• avec un comportement temporel anarchiqueavec un comportement temporel anarchique

• en un problème qui réalise les calculs une et une en un problème qui réalise les calculs une et une seule fois, et lorsqu’il le faut !seule fois, et lorsqu’il le faut !



Il y a une théorie derrière !Il y a une théorie derrière !

• Cadre général : les modèles de décision multi-Cadre général : les modèles de décision multi-étages.étages.

• Si certaines propriétés sont vérifiées, on peut Si certaines propriétés sont vérifiées, on peut transformer tout problème de ce modèle en un transformer tout problème de ce modèle en un programme DP.programme DP.

• Trop long et compliqué dans le contexte du cours.Trop long et compliqué dans le contexte du cours.


U n e x e m p l e c o m p l U n e x e m p l e c o m p l e t :e t :

S A C A D O S ! ! !S A C A D O S ! ! !



Sac à dos --- KnapsackSac à dos --- Knapsack----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Problème du « sac à dos » !Problème du « sac à dos » !

• Ingrédients :Ingrédients :

– 1 sac à dos de capacité « C » (par exemple en kilos),1 sac à dos de capacité « C » (par exemple en kilos),

– n objets de O , … , O n objets de O , … , O

• de poids strictement positifs respectifs pde poids strictement positifs respectifs p

• et de bénéfices strictement positifs respectifs et de bénéfices strictement positifs respectifs b .b .

nn11

ii

ii



• Problème du « sac à dos » !Problème du « sac à dos » !

• Ingrédients :Ingrédients :

– 1 sac à dos de capacité « C » (par exemple en kilos),1 sac à dos de capacité « C » (par exemple en kilos),

– n objets de O , … , O n objets de O , … , O

• de poids strictement positifs respectifs pde poids strictement positifs respectifs p

• et de bénéfices strictement positifs respectifs et de bénéfices strictement positifs respectifs b .b .

• Recette :Recette :

– Trouvez, sans dépasser la capacité, l’ensemble Trouvez, sans dépasser la capacité, l’ensemble d’objets qui maximise le bénéfice.d’objets qui maximise le bénéfice.

nn11

ii

ii



• Trouvez l’ensemble « I » inclus dans { 1 , … , n } tel Trouvez l’ensemble « I » inclus dans { 1 , … , n } tel que :que :

• P ( I ) = P ( I ) = p p CCi i IIii



• Trouvez l’ensemble « I » inclus dans { 1 , … , n } Trouvez l’ensemble « I » inclus dans { 1 , … , n } tel que :tel que :

• P ( I ) = P ( I ) = p p CC

• B ( I ) = B ( I ) = b b max ( B ( J ) )max ( B ( J ) )

i i IIii

J { 1 , … , n }J { 1 , … , n }et P ( J ) et P ( J ) CC

vviii i II



• Trouvez l’ensemble « I » inclus dans { 1 , … , n } tel Trouvez l’ensemble « I » inclus dans { 1 , … , n } tel que :que :

• P ( I ) = P ( I ) = p p CC

• B ( I ) = B ( I ) = b b max ( B ( J ) )max ( B ( J ) )

• A priori, il faut se comparer à un grand nombre A priori, il faut se comparer à un grand nombre d’autres ensembles candidats à être optimal.d’autres ensembles candidats à être optimal.

i i IIii

J { 1 , … , n }J { 1 , … , n }et P ( J ) et P ( J ) CC

vviii i II



• Correct, mais …Correct, mais …

{int max_benefice = 0 ;

pour k allant de 1 à n faire

pour chaque ensemble I, de taille k et sous-ensemble

de { 1 , ... , n } faire

si ( P ( I ) <= C )

max_benefice = max ( B ( I ) , max_benefice ) ;

}







de { 1 , ... , n } faire

si ( P ( I ) <= C )


}

Toutes les tailles possiblesToutes les tailles possiblespour les sous-ensembles.pour les sous-ensembles.







de { 1 , ... , n } faire

si ( P ( I ) <= C )


}


Tous les sous-ensemblesTous les sous-ensemblesde cette taille …de cette taille …







de { 1 , ... , n } faire

si ( P ( I ) <= C )


}



Retenez le bénéfice s’il est meilleur et queRetenez le bénéfice s’il est meilleur et quela contrainte sur la capacité est respectée.la contrainte sur la capacité est respectée.







de { 1 , ... , n } faire

si ( P ( I ) <= C )


}



Retenez le bénéfice s’il est meilleur et queRetenez le bénéfice s’il est meilleur et quela contrainte sur la capacité est respectée.la contrainte sur la capacité est respectée.

Seule ombre au tableau :Seule ombre au tableau :

le nombre des ensembles considérés est en le nombre des ensembles considérés est en 2^n ). 2^n ).



• Solution Divide and Conquer ? ? ?Solution Divide and Conquer ? ? ?



• Solution Divide and Conquer ? ? ? Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui ! ! !Mais oui ! ! !



• Solution Divide and Conquer ? ? ? Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui ! Mais oui ! ! !! !

• Considérez les ensembles qui contiennent Considérez les ensembles qui contiennent l’objet O et ceux qui ne le contiennent pas ! l’objet O et ceux qui ne le contiennent pas !





– Soit « i » l’indice de l’objet que nous allons Soit « i » l’indice de l’objet que nous allons considérer,considérer,

– soit « R » la capacité résiduelle,soit « R » la capacité résiduelle,

– soit « B » le bénéfice des objets pris jusque-là.soit « B » le bénéfice des objets pris jusque-là.







– soit « B » le bénéfice des objets pris jusque-là.soit « B » le bénéfice des objets pris jusque-là.I = 1 , R = C , B = 0I = 1 , R = C , B = 0Etat initial.Etat initial.








O est pris !O est pris !11

I = 2 , R = C - p , B = bI = 2 , R = C - p , B = b1111









I = 2 , R = C - p , B = bI = 2 , R = C - p , B = b1111

O n’est pas pris !O n’est pas pris !11

I = 2 , R = C , B = 0I = 2 , R = C , B = 0









I = 2 , R = C - p , B = bI = 2 , R = C - p , B = b1111


I = 2 , R = C , B = 0I = 2 , R = C , B = 0

Optimum local : B_avecOptimum local : B_avec Optimum local : B_sansOptimum local : B_sans









I = 2 , R = C - p , B = bI = 2 , R = C - p , B = b1111


I = 2 , R = C , B = 0I = 2 , R = C , B = 0

Optimum local : B_avecOptimum local : B_avec Optimum local : B_sansOptimum local : B_sans

MAXMAX



int D&C_sac ( int objet , int residuelle , int benefice )

{if ( objet > n )

return( benefice ) ;

else

{int memoire ;

memoire = D&C_sac ( objet + 1 , residuelle , benefice ) ;

if ( p[ objet ] > residuelle )

return( memoire ) ;

else

return( max( D&C_sac( objet + 1 ,

residuelle – p[ objet ] ,

benefice + b[ objet ] ) ,

memoire ) ) ; } }




{if ( objet > n )


else

{int memoire ;



return( memoire ) ;

else




memoire ) ) ; } }

Cas final !Cas final !




{if ( objet > n )


else

{int memoire ;



return( memoire ) ;

else




memoire ) ) ; } }


Nous explorons toujours le casNous explorons toujours le casoù l’objet ne sera pas pris !où l’objet ne sera pas pris !




{if ( objet > n )


else

{int memoire ;



return( memoire ) ;

else




memoire ) ) ; } }



Il se peut que cela suffise !Il se peut que cela suffise !




{if ( objet > n )


else

{int memoire ;



return( memoire ) ;

else




memoire ) ) ; } }



Le cas le plus courantLe cas le plus courantest celui qui exploreest celui qui exploreles deux alternatives !les deux alternatives !





{if ( objet > n )


else

{int memoire ;



return( memoire ) ;

else




memoire ) ) ; } }



Le cas le plus courantLe cas le plus courantest celui qui exploreest celui qui exploreles deux alternatives !les deux alternatives !

La capacité résiduelleLa capacité résiduellediminue !diminue !

Le bénéfice augmente !Le bénéfice augmente !




• Malheureusement, nous répétons des calculs !Malheureusement, nous répétons des calculs !

• Considérons p[ 1 ] = 1 , p[ 2 ] = 2 , p[ 3 ] = 3 Considérons p[ 1 ] = 1 , p[ 2 ] = 2 , p[ 3 ] = 3 et et

b[ 1 ] = 2 , b[ 2 ] = 4 , b[ 3 ] = b[ 1 ] = 2 , b[ 2 ] = 4 , b[ 3 ] = 6 . 6 .




• Considérons p[ 1 ] = Considérons p[ 1 ] = 11 , p[ 2 ] = , p[ 2 ] = 22 , p[ 3 ] = 3 , p[ 3 ] = 3 et et

b[ 1 ] = b[ 1 ] = 22 , b[ 2 ] = , b[ 2 ] = 44 , b[ 3 ] = , b[ 3 ] = 6 . 6 .

• Si nous sélectionnons 1 et 2 mais pas 3 , Si nous sélectionnons 1 et 2 mais pas 3 , l’appel suivant seral’appel suivant sera

D&C_sac ( 4 , C – 3 , 6 ).D&C_sac ( 4 , C – 3 , 6 ).




• Considérons p[ 1 ] = 1 , p[ 2 ] = 2 , p[ 3 ] = Considérons p[ 1 ] = 1 , p[ 2 ] = 2 , p[ 3 ] = 33 etet

b[ 1 ] = 2 , b[ 2 ] = 4 , b[ 3 ] = b[ 1 ] = 2 , b[ 2 ] = 4 , b[ 3 ] = 66 . .

• Si nous sélectionnons 1 et 2 mais pas 3 , Si nous sélectionnons 1 et 2 mais pas 3 , l’appel suivant seral’appel suivant sera

D&C_sac ( 4 , C – 3 , 6 ).D&C_sac ( 4 , C – 3 , 6 ).

• Si nous ne sélectionnons ni 1 , ni 2 , mais 3 , Si nous ne sélectionnons ni 1 , ni 2 , mais 3 , l’appel suivant seral’appel suivant sera

D&C_sac ( 4 , C – 3 , 6 ).D&C_sac ( 4 , C – 3 , 6 ).



• Organisons notre emploi du temps !Organisons notre emploi du temps !

– Au temps « t », nous nous occupons de O . Au temps « t », nous nous occupons de O . tt




– Au temps « t », nous nous occupons de O . Au temps « t », nous nous occupons de O .

• Nous avons donc déjà considéré O , … , O .Nous avons donc déjà considéré O , … , O .

tt

11 t-1t-1






• Avec une capacité résiduelle « R », la meilleure solution Avec une capacité résiduelle « R », la meilleure solution sur les « t » premiers objets est obtenue par :sur les « t » premiers objets est obtenue par :

Opt ( t , R ) = Opt ( t , R ) =

tt

11 t-1t-1

{{







Opt ( t – 1 , R ) si p > R !Opt ( t – 1 , R ) si p > R !Opt ( t , R ) = Opt ( t , R ) =

tt

11 t-1t-1

{{ tt







Opt ( t – 1 , R ) si p > R !Opt ( t – 1 , R ) si p > R !Opt ( t , R ) = Opt ( t , R ) = max ( Opt ( t – 1 , R ) , b + Opt ( t - 1 , R – max ( Opt ( t – 1 , R ) , b + Opt ( t - 1 , R –

p ) )p ) )

tt

11 t-1t-1

{{ tt

tt tt







Opt ( t – 1 , R ) si p > R !Opt ( t – 1 , R ) si p > R !Opt ( t , R ) = Opt ( t , R ) = max ( max ( Opt ( t – 1 , R )Opt ( t – 1 , R ) , , b + Opt ( t - 1 , R – b + Opt ( t - 1 , R –

p )p ) ) )

tt

11 t-1t-1

{{ tt

tt tt

O n’est pas pris !O n’est pas pris !ttO est pris !O est pris !tt







Opt ( Opt ( t – 1t – 1 , R ) si p > R ! , R ) si p > R !Opt ( Opt ( tt , R ) = , R ) = max ( Opt ( max ( Opt ( t – 1t – 1 , R ) , b + Opt ( , R ) , b + Opt ( t - 1t - 1 , R – , R –

p ) )p ) )

tt

11 t-1t-1

{{ tt

tt tt

Nous respectons l’écoulement du temps !Nous respectons l’écoulement du temps !



CC

nn

Opt ( t , R )Opt ( t , R )

t-1t-1 tt

Opt ( t-1 , R )Opt ( t-1 , R )

Si l’objet estSi l’objet esttrop lourd !trop lourd !

RR



CC

nn

Opt ( t , R )Opt ( t , R )

t-1t-1 tt

Opt ( t-1 , R )Opt ( t-1 , R )

Si l’objet estSi l’objet esttrop lourd !trop lourd !

RR

La fonction de tempsLa fonction de tempsest compatible avecest compatible avecles dépendances ! ! !les dépendances ! ! !



CC

Opt ( t , R )Opt ( t , R )

RR

Opt ( t-1 , R )Opt ( t-1 , R )

Si l’objet n’estSi l’objet n’estpas trop lourd !pas trop lourd !

Opt ( t-1 , R – p[ t ] )Opt ( t-1 , R – p[ t ] )

R – p[ t ]R – p[ t ]

nnt-1t-1 tt



CC

Opt ( t , R )Opt ( t , R )

RR

Opt ( t-1 , R )Opt ( t-1 , R )


Opt ( t-1 , R – p[ t ] )Opt ( t-1 , R – p[ t ] )

R – p[ t ]R – p[ t ]

nnt-1t-1 tt




CC

Opt ( t , R )Opt ( t , R )

RR

Opt ( t-1 , R )Opt ( t-1 , R )


Opt ( t-1 , R – p[ t ] )Opt ( t-1 , R – p[ t ] )

R – p[ t ]R – p[ t ]

nnt-1t-1 tt


00

00

00

……

……

Sans objets, il n’ySans objets, il n’ya aucun bénéfice.a aucun bénéfice.

00



{for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

Opt[ 0 , R ] = 0 ;

for ( t = 1 ; t <= n ; t++ )

for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

if ( p[ t ] > R )

Opt[ t , R ] = Opt[ t-1 , R ] ;

else

Opt[ t , R ] = max( b[ t ] + Opt[ t-1 , R–p[ t ] ,

Opt[ t-1 , R ] ) ;

}



{for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

Opt[ 0 , R ] = 0 ;

for ( t = 1 ; t <= n ; t++ )

for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

if ( p[ t ] > R )

Opt[ t , R ] = Opt[ t-1 , R ] ;

else


Opt[ t-1 , R ] ) ;

}

Initialisation de laInitialisation de lapremière colonne à 0.première colonne à 0.



{for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

Opt[ 0 , R ] = 0 ;

for ( t = 1 ; t <= n ; t++ )

for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

if ( p[ t ] > R )

Opt[ t , R ] = Opt[ t-1 , R ] ;

else


Opt[ t-1 , R ] ) ;

}


Colonne après colonne,Colonne après colonne,depuis la gauche vers la droitedepuis la gauche vers la droite

et de bas en haut …et de bas en haut …



{for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

Opt[ 0 , R ] = 0 ;

for ( t = 1 ; t <= n ; t++ )

for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

for ( R = C ; R >= 0 ; R-- )

if ( p[ t ] > R )

Opt[ t , R ] = Opt[ t-1 , R ] ;

else


Opt[ t-1 , R ] ) ;

}



et de bas en haut …et de bas en haut …et de haut en bas, pourquoi pas ?et de haut en bas, pourquoi pas ?



{for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

Opt[ 0 , R ] = 0 ;

for ( t = 1 ; t <= n ; t++ )

for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

if ( p[ t ] > R )

Opt[ t , R ] = Opt[ t-1 , R ] ;

else


Opt[ t-1 , R ] ) ;

}




… … ce qu’il faut !ce qu’il faut !



{for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

Opt[ 0 , R ] = 0 ;

for ( t = 1 ; t <= n ; t++ )

for ( R = 0 ; R <= C ; R++ )

if ( p[ t ] > R )

Opt[ t , R ] = Opt[ t-1 , R ] ;

else


Opt[ t-1 , R ] ) ;

}







N E G O C I A N TN E G O C I A N TA UA U

P O R TP O R TD ED E

M A R S E I L L E ! ! !M A R S E I L L E ! ! !

Marine marchandeMarine marchande----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


• L’énoncé :L’énoncé :

– Vous êtes acheteur au port de Marseille,Vous êtes acheteur au port de Marseille,





– « n » bateaux vont arriver et vous connaissez « n » bateaux vont arriver et vous connaissez cette valeur,cette valeur,






– la qualité de la marchandise des différents la qualité de la marchandise des différents bateaux « Q( i ) » varie de 0 à 1000, de manière bateaux « Q( i ) » varie de 0 à 1000, de manière aléatoire uniforme, et vous savez la juger, aléatoire uniforme, et vous savez la juger,







– vous achetez une et une seule cargaison !vous achetez une et une seule cargaison !







– vous achetez une et une seule cargaison !vous achetez une et une seule cargaison !

• Laquelle ? Laquelle ?



• A l’arrivée du premier bateau :A l’arrivée du premier bateau :

– Vous achetez ?Vous achetez ?

– Vous attendez mieux ?Vous attendez mieux ?






OUIOUIAchat du premier ? Achat du premier ? NONNON






OUIOUIAchat du premier ? OUIAchat du premier ? OUI NON – Achat du secondNON – Achat du second NONNON







• En fait, qu’attendez-vous ?En fait, qu’attendez-vous ?







• En fait, nous achetons si la qualité duEn fait, nous achetons si la qualité du bateau courant est meilleure que labateau courant est meilleure que la qualité moyenne espérée des bateauxqualité moyenne espérée des bateaux qui vont venir !qui vont venir !



• A l’arrivée du bateau « i » :A l’arrivée du bateau « i » :

– Nous achetons si Q( i ) est supérieure à E ( i+1 )Nous achetons si Q( i ) est supérieure à E ( i+1 )

– où E ( i+1 ) est la qualité moyenne des bateaux où E ( i+1 ) est la qualité moyenne des bateaux i+1 à ni+1 à n

– et nous en déduisons E( i ) !et nous en déduisons E( i ) !







• Donc,Donc,

– avec une probabilité de ( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000avec une probabilité de ( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000

– nous achetons le bateau « i » dont la qualité moyenne nous achetons le bateau « i » dont la qualité moyenne vaut ( 1000 + E( i+1 ) ) / 2 .vaut ( 1000 + E( i+1 ) ) / 2 .







• Donc,Donc,

– avec une probabilité de avec une probabilité de ( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000

– nous achetons le bateau « i » dont la qualité moyenne nous achetons le bateau « i » dont la qualité moyenne vaut vaut ( 1000 + E( i+1 ) ) / 2( 1000 + E( i+1 ) ) / 2 . .

– E ( i ) = E ( i ) = ( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000 * * ( 1000 + E( i+ 1 ) ) / 2( 1000 + E( i+ 1 ) ) / 2 + …+ …







• Donc,Donc,


– nous achetons le bateau « i » dont la qualité moyenne nous achetons le bateau « i » dont la qualité moyenne vaut vaut ( 1000 + E( i+1 ) ) / 2( 1000 + E( i+1 ) ) / 2 . .

– E ( i ) = E ( i ) = ( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000 * * ( 1000 + E( i+ 1 ) ) / 2( 1000 + E( i+ 1 ) ) / 2 + ( 1 - + ( 1 - ( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000 ) * ) * E( i+1 )E( i+1 )





– où E ( i+1 ) est la qualité moyenne des bateaux i+1 où E ( i+1 ) est la qualité moyenne des bateaux i+1 à nà n


• Donc,Donc,


– nous achetons le bateau « i » dont la qualité moyenne vaut nous achetons le bateau « i » dont la qualité moyenne vaut ( 1000 + E( i+1 ) ) / 2( 1000 + E( i+1 ) ) / 2 . .

– E ( i ) = E ( i ) = ( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000 * * ( 1000 + E( i+ 1 ) ) / 2( 1000 + E( i+ 1 ) ) / 2 + ( 1 - + ( 1 - ( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000( 1000 – E( i+1 ) ) / 1000 ) * ) * E( i+1 )E( i+1 )

= ( 1000^2 + E^2( i+1 ) ) / 2000= ( 1000^2 + E^2( i+1 ) ) / 2000



• Ce qui nous donne :Ce qui nous donne :

• E( n ) = 500E( n ) = 500




• E( n ) = 500E( n ) = 500

• E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625




• E( n ) = 500E( n ) = 500

• E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625

• E( n-2 ) = ( 1000 – 625 ) / 1000 * ( 1000 + 625 ) / 2E( n-2 ) = ( 1000 – 625 ) / 1000 * ( 1000 + 625 ) / 2 + 625 / 1000 * 625 / 2+ 625 / 1000 * 625 / 2 = 695= 695




• E( n ) = 500E( n ) = 500

• E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625

• E( n-2 ) = ( 1000 – 625 ) / 1000 * ( 1000 + 625 ) / 2E( n-2 ) = ( 1000 – 625 ) / 1000 * ( 1000 + 625 ) / 2 + 625 / 1000 * 625 / 2+ 625 / 1000 * 625 / 2 = 695= 695 n-10 n-9 n-8 n-7 n-6 n-5 n-4 n-3 n-2 n-n-10 n-9 n-8 n-7 n-6 n-5 n-4 n-3 n-2 n-

1 n1 n

879 871 861 850 836 820 775 741 695 625 879 871 861 850 836 820 775 741 695 625 500 500


E( x )E( x )

xx



• E( n ) = 500E( n ) = 500

• E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625


1 n1 n

879 871 861 850 836 820 775 741 695 625 879 871 861 850 836 820 775 741 695 625 500 500


E( x )E( x )

xx

L’axe de temps !L’axe de temps !



• E( n ) = 500E( n ) = 500

• E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625E( n-1 ) = ½ * 750 + ½ * 500 = 625


1 n1 n

879 871 861 850 836 820 775 741 695 625 879 871 861 850 836 820 775 741 695 625 500 500


E( x )E( x )

xx

Pour tout bateau i , i < n : Nous achetons si Q( i ) >= E( i+1 ) !Pour tout bateau i , i < n : Nous achetons si Q( i ) >= E( i+1 ) !




L A P L U S L O N G U EL A P L U S L O N G U ES O U S – C H A I N ES O U S – C H A I N EC O M M U N E ! ! !C O M M U N E ! ! !

Longest Common Sub-StringLongest Common Sub-String----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


En français : Plus longue sous-chaîne commune !En français : Plus longue sous-chaîne commune !

• On obtient une sous-chaîne en supprimant On obtient une sous-chaîne en supprimant des caractères d’une chaîne.des caractères d’une chaîne.

A B C D E F GA B C D E F G

B A C D D B E FB A C D D B E F








Une sous-chaîne : A BUne sous-chaîne : A B








Une autre sous-chaîne : B D EUne autre sous-chaîne : B D E








Une autre sous-chaîne : B D EUne autre sous-chaîne : B D E

La sous-chaîne la plus longue : A C D E FLa sous-chaîne la plus longue : A C D E F


• LCSS ( u , v ) = LCSS ( u , v ) =


{{Soient a et b des lettres et u et v des séquences de lettres.Soient a et b des lettres et u et v des séquences de lettres.

Nous allons définir LCSS de uNous allons définir LCSS de uet de v à partir de solutionset de v à partir de solutionsobtenues pour des chaînesobtenues pour des chaînesplus courtes !plus courtes !


, si u = , si u = ou v = ou v =

• LCSS ( u , v ) = LCSS ( u , v ) =




, si u = , si u = ou v = ou v =

a . LCSS ( u’ , v’ ) , si u = a . a . LCSS ( u’ , v’ ) , si u = a . u’ etu’ et

v = a . v’ v = a . v’ , ,

• LCSS ( u , v ) = LCSS ( u , v ) =




, si u = , si u = ou v = ou v =

a . LCSS ( u’ , v’ ) , si u = a . a . LCSS ( u’ , v’ ) , si u = a . u’ etu’ et

v = a . v’ v = a . v’ , ,

• LCSS ( u , v ) = LCSS ( u , v ) =



a . u’a . u’

a . v’a . v’

LCSSLCSS


, si u = , si u = ou v = ou v =

a . LCSS ( u’ , v’ ) , si u = a . u’ eta . LCSS ( u’ , v’ ) , si u = a . u’ et v = a . v’ , v = a . v’ , • LCSS ( u , v ) = LCSS ( u , v ) =

maxstr ( LCSS ( u , v’ ) , LCSS ( u’ , v ) )maxstr ( LCSS ( u , v’ ) , LCSS ( u’ , v ) )

si u = a . u’ , v = b . v’ et a <> b.si u = a . u’ , v = b . v’ et a <> b.




, si u = , si u = ou v = ou v =






a . u’a . u’

b . v’b . v’

LCSSLCSS


, si u = , si u = ou v = ou v =






a . u’a . u’

b . v’b . v’

LCSSLCSS

a . u’a . u’

b . v’b . v’ LCSSLCSS


, si u = , si u = ou v = ou v =





{{Le programme récursif s’arrête, CAR :Le programme récursif s’arrête, CAR :


, , si u = si u = ou v = ou v =






C’est fini dès que u ou v est réduite à la chaîne vide !C’est fini dès que u ou v est réduite à la chaîne vide !


, , si u = si u = ou v = ou v =

a . LCSS ( a . LCSS ( u’ , v’u’ , v’ ) , si u = a . u’ et ) , si u = a . u’ et v = a . v’ , v = a . v’ , • LCSS ( LCSS ( u , vu , v ) = ) =

maxstr ( LCSS ( maxstr ( LCSS ( u , v’u , v’ ) , LCSS ( ) , LCSS ( u’ , vu’ , v ) ) ) )




C’est fini dès que u ou v est réduite à la chaîne vide !C’est fini dès que u ou v est réduite à la chaîne vide !

A chaque appel récursif, l’une au moins des chaînes raccourcit !A chaque appel récursif, l’une au moins des chaînes raccourcit !



LCSS est donc calculé pour les suffixes de u et v .LCSS est donc calculé pour les suffixes de u et v .

suffixe( u )suffixe( u )

suffixe( v )suffixe( v )

vv

uu






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )ww

a.wa.wLCSS ( a . u’ , a . v’ )LCSS ( a . u’ , a . v’ )

==a . LCSS ( u’ , v’ )a . LCSS ( u’ , v’ )

ww






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )

LCSS ( a . u’ , b . v’ )LCSS ( a . u’ , b . v’ )==

maxstr ( LCSS ( u , v’ ) , LCSS ( u’ , v) )maxstr ( LCSS ( u , v’ ) , LCSS ( u’ , v) )






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )La case jaune dépendLa case jaune dépend

de ses trois voisines dude ses trois voisines dusudsud, de l’, de l’ouestouest et du et du sud-ouestsud-ouest,,

suivant les cas de figure !suivant les cas de figure !






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )

PremierPremieraxe de temps !axe de temps !






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )


Projection !Projection !






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )

Projection !Projection !PremierPremier

axe de temps !axe de temps !






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )


Deuxième axe de temps !Deuxième axe de temps !

Les calculs sontLes calculs sontindépendants, carindépendants, carils sont portés parils sont portés parle premier axe ! ! !le premier axe ! ! !






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )

L’ordre des calculs !L’ordre des calculs !

1.1. 3.3.

2.2.

4.4.

5.5.

6.6.






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )


1.1. 3.3.

2.2.

4.4.

5.5.

6.6.






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )







vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )



..






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )




..






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )



Deuxième axe de temps !Deuxième axe de temps !Projection !Projection !

..






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )




..






vv

uu

LCSS( ? , LCSS( ? , ) )

LCSS( LCSS( , ? ) , ? )




DeuxièmeDeuxième

PremierPremier

..





vv

uu



Temps multi-dimensionnel, ici bi-dimensionnel.Temps multi-dimensionnel, ici bi-dimensionnel.



Temps multi-dimensionnel, ici bi-dimensionnel.Temps multi-dimensionnel, ici bi-dimensionnel.



vv

uu



Heure ( u , v )Heure ( u , v )

Heure ( u+1 , v+1 )Heure ( u+1 , v+1 )


{T[ , ? ] = ;

T[ ? , ] = ;

pour x suffixe de u , suivant de jusqua u

pour y suffixe de v , suivant de jusqua v

si ( tete( x ) == tete( y ) )

T[ x , y ] = tete( x ) . T[ reste( x ) ,

reste( y ) ] ;

sinon

T[ x , y ] = maxstr( T[ x , reste( y ) ] ,

T[ reste( x ) , y ] ) ;

}



{T[ , ? ] = ;

T[ ? , ] = ;





reste( y ) ] ;

sinon


T[ reste( x ) , y ] ) ;

}


L’initialisation !L’initialisation !


{T[ , ? ] = ;

T[ ? , ] = ;





reste( y ) ] ;

sinon


T[ reste( x ) , y ] ) ;

}



Colonne par colonne,Colonne par colonne,depuis le bas …depuis le bas …


{T[ , ? ] = ;

T[ ? , ] = ;





reste( y ) ] ;

sinon


T[ reste( x ) , y ] ) ;

}




Colonne par colonne,Colonne par colonne,depuis le bas …depuis le bas …



L E C H E M I N L EL E C H E M I N L EP L U S C O U R T ! ! !P L U S C O U R T ! ! !

Shortest Path ProblemShortest Path Problem----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



• Il s’agit d’aller d’une ville de départ vers une ville Il s’agit d’aller d’une ville de départ vers une ville d’arrivée, par le plus court chemin, dansd’arrivée, par le plus court chemin, dans

– un réseau de villes avec routes en sens unique,un réseau de villes avec routes en sens unique,

– à distances connuesà distances connues

– et sans cycles (retour au point de départ).et sans cycles (retour au point de départ).







AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111







AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111LesLespluspluscourtscourtschemins !chemins !



• Notations :Notations :

– Désignons par V( x ) l’ensemble des voisines d’une ville Désignons par V( x ) l’ensemble des voisines d’une ville x ,x ,

– Soit d( x , y ) la distance entre deux villes voisines,Soit d( x , y ) la distance entre deux villes voisines,

– Soit f( x ) le plus court chemin pour aller de x à F .Soit f( x ) le plus court chemin pour aller de x à F .







• f ( x ) = min d ( x , y ) + f ( y ) et f( F ) f ( x ) = min d ( x , y ) + f ( y ) et f( F ) = 0= 0

y y V( x ) V( x )








AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111f( F ) = 0f( F ) = 0

y y V( x ) V( x )








AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 + f( F )f( D ) = 11 + f( F )

y y V( x ) V( x )








AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 + f( F )f( D ) = 11 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )

y y V( x ) V( x )








AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 + f( F )f( D ) = 11 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }

y y V( x ) V( x )








AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 + f( F )f( D ) = 11 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }

y y V( x ) V( x )








AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 + f( F )f( D ) = 11 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }

y y V( x ) V( x )



• Nous résolvons ces contraintes par substitution :Nous résolvons ces contraintes par substitution :

f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 + f( F )f( D ) = 11 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }




f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 + f( F )f( D ) = 11 + f( F ) = 11 + 0 = 11 = 11 + 0 = 11f( E ) = 37 + f( F )f( E ) = 37 + f( F )f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }




f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 f( D ) = 11 f( E ) = 37 + f( F )f( E ) = 37 + f( F ) = 37 + 0 = 37 = 37 + 0 = 37f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }




f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 f( D ) = 11 f( E ) = 37 f( E ) = 37 f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) }f( B ) = min{ 9 + f( D ) , 15 + f( E ) } = min{ 9 + 11 , 15 + 37} = 20 = min{ 9 + 11 , 15 + 37} = 20f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }




f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 f( D ) = 11 f( E ) = 37 f( E ) = 37 f( B ) = 20f( B ) = 20f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) }f( C ) = min{ 37 + f( D ) , 12 + f( E ) } = min{ 37 + 11 , 12 + 37} = 48 = min{ 37 + 11 , 12 + 37} = 48f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) }




f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 f( D ) = 11 f( E ) = 37 f( E ) = 37 f( B ) = 20f( B ) = 20f( C ) = 48f( C ) = 48f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) } f( A ) = min{ 41 + f( B ) , 13 + f( C ) } = min{ 41 + 20 , 13 + 48} = 61= min{ 41 + 20 , 13 + 48} = 61




f( F ) = 0f( F ) = 0f( D ) = 11 f( D ) = 11 f( E ) = 37 f( E ) = 37 f( B ) = 20f( B ) = 20f( C ) = 48f( C ) = 48f( A ) = 61f( A ) = 61

f( A ) = 61f( A ) = 61 = 41 + f( B )= 41 + f( B )

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111





f( A ) = 61f( A ) = 61 = 41 + f( B )= 41 + f( B ) = 41 + 9 + f( D )= 41 + 9 + f( D )

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111





f( A ) = 61f( A ) = 61 = 41 + f( B )= 41 + f( B ) = 41 + 9 + f( D )= 41 + 9 + f( D ) = 41 + 9 + 11= 41 + 9 + 11

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111





f( A ) = 61f( A ) = 61 = 41 + f( B )= 41 + f( B ) = 41 + 9 + f( D )= 41 + 9 + f( D ) = 41 + 9 + 11= 41 + 9 + 11

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

f( A ) = 61f( A ) = 61 = 13 + f( C )= 13 + f( C )





f( A ) = 61f( A ) = 61 = 41 + f( B )= 41 + f( B ) = 41 + 9 + f( D )= 41 + 9 + f( D ) = 41 + 9 + 11= 41 + 9 + 11

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

f( A ) = 61f( A ) = 61 = 13 + f( C )= 13 + f( C ) = 13 + 37 + f( D )= 13 + 37 + f( D )





f( A ) = 61f( A ) = 61 = 41 + f( B )= 41 + f( B ) = 41 + 9 + f( D )= 41 + 9 + f( D ) = 41 + 9 + 11= 41 + 9 + 11

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

f( A ) = 61f( A ) = 61 = 13 + f( C )= 13 + f( C ) = 13 + 37 + f( D )= 13 + 37 + f( D ) = 13 + 37 + 11= 13 + 37 + 11



• Principe de la résolution par programmation Principe de la résolution par programmation dynamique :dynamique :

– Nous allons supposer que les plus courts chemins sont Nous allons supposer que les plus courts chemins sont connus pour un sous-ensemble des villes. Ce seront des connus pour un sous-ensemble des villes. Ce seront des « voisines » de la ville d’arrivée.« voisines » de la ville d’arrivée.

– Pour les autres villes, nous ne connaissons qu’un majorant Pour les autres villes, nous ne connaissons qu’un majorant de la longueur du plus court chemin !de la longueur du plus court chemin !



AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111






AA

BB

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DD

EE

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4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

Plus courtPlus courtchemin connu !chemin connu !

1111

00

3737









AA

BB

CC

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EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

1111

00

3737MajorantMajorantdu plusdu pluscourt chemin !court chemin !

2020

4848

+inf+inf




• Parmi les villes non définitives, nous choisissons celle Parmi les villes non définitives, nous choisissons celle qui est à la plus petite distance.qui est à la plus petite distance.

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

1111

00


2020

4848

+inf+inf





• Cette distance est en fait exacte, et la ville passe dans Cette distance est en fait exacte, et la ville passe dans le camp de droite ! le camp de droite !

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

1111

00


2020

4848

+inf+inf






AA

BB

CC

DD

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4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

1111

00


2020

4848

+inf+inf






• Les villes qui la précèdent, et non définitives, sont Les villes qui la précèdent, et non définitives, sont mises à jour par rapport à leur plus court chemin.mises à jour par rapport à leur plus court chemin.

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

1111

00


2020

4848

+inf+inf







AA

BB

CC

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4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

1111

00


2020

4848

min( 20 + 41 ,min( 20 + 41 , +inf ) = 61+inf ) = 61







AA

BB

CC

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4141

1313

99

1212

1515

37373737

1111

1111

00


2020

4848

6161




• Exemple complet.Exemple complet.

AA

BB

CC

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FF

4141

1313

99

1212

1515

3737 3737

1111

MajorantMajorantdu plusdu pluscourt chemin !court chemin !

+inf+inf

+inf+inf +inf+inf

+inf+inf +inf+inf

2020 00



• Exemple complet (première itération).Exemple complet (première itération).

AA

BB

CC

DD

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4141

1313

99

1212

1515

3737 3737

1111


+inf+inf

+inf+inf +inf+inf

+inf+inf +inf+inf

2020 00

Sélection !Sélection !




• Exemple complet (première itération).Exemple complet (première itération).

AA

BB

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DD

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1313

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1212

1515

3737 3737

1111


+inf+inf

+inf+inf 1111

+inf+inf 3737

2020 00


Mise à jour desMise à jour desprédécesseurs.prédécesseurs.





AA

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1313

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3737 3737

1111


+inf+inf

+inf+inf 1111

+inf+inf 3737

2020 00




• Exemple complet (deuxième itération).Exemple complet (deuxième itération).

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

3737 3737

1111


+inf+inf

+inf+inf 1111

+inf+inf 3737

2020 00





• Exemple complet (deuxième itération).Exemple complet (deuxième itération).

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

3737 3737

1111


+inf+inf

2020 1111

4848 3737

2020 00







AA

BB

CC

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1313

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1515

3737 3737

1111


+inf+inf

2020 1111

4848 3737

2020 00




• Exemple complet (troisième itération).Exemple complet (troisième itération).

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

3737 3737

1111


+inf+inf

2020 1111

4848 3737

2020 00





• Exemple complet (troisième itération).Exemple complet (troisième itération).

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

3737 3737

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6161

2020 1111

4040 3737

2020 00







AA

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3737 3737

1111


6161

2020 1111

4040 3737

2020 00




• Exemple complet (quatrième itération).Exemple complet (quatrième itération).

AA

BB

CC

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1313

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1515

3737 3737

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6161

2020 1111

4040 3737

2020 00






AA

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3737 3737

1111


6161

2020 1111

4040 3737

2020 00




• Exemple complet (cinquième itération).Exemple complet (cinquième itération).

AA

BB

CC

DD

EE

FF

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1313

99

1212

1515

3737 3737

1111


6161

2020 1111

4040 3737

2020 00





• Exemple complet (cinquième itération).Exemple complet (cinquième itération).

AA

BB

CC

DD

EE

FF

4141

1313

99

1212

1515

3737 3737

1111


5353

2020 1111

4040 3737

2020 00







AA

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DD

EE

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1515

3737 3737

1111


5353

2020 1111

4040 3737

2020 00




• Exemple complet (sixième itération).Exemple complet (sixième itération).

AA

BB

CC

DD

EE

FF

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1313

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1212

1515

3737 3737

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5353

2020 1111

4040 3737

2020 00





• Exemple complet, c’est fini.Exemple complet, c’est fini.

AA

BB

CC

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1313

99

1212

1515

3737 3737

1111

5353

2020 1111

4040 3737

2020 00




pour toutes les villes v : f[ v ] = +inf ;

f[ arrivee ] = 0 ;

V = « l’ensemble de toutes les villes » ;

tantque V <> {}

{choisir dans V la ville x tq f[ x ] soit minimale sur V

/* Si ex aequo, on choisit une ville optimale au hasard */

V = V – { x } ;

pour toute ville v dans V et tq d( v , x ) est finie

f[ v ] = min( f[ v ] , d( v , x ) + f[ x ] ) ;

}




f[ arrivee ] = 0 ;


tantque V <> {}



V = V – { x } ;


f[ v ] = min( f[ v ] , d( v , x ) + f[ x ] ) ;

}

Initialisations !Initialisations !




f[ arrivee ] = 0 ;


tantque V <> {}



V = V – { x } ;


f[ v ] = min( f[ v ] , d( v , x ) + f[ x ] ) ;

}

Il y a un tour de boucle par ville !Il y a un tour de boucle par ville !




f[ arrivee ] = 0 ;


tantque V <> {}



V = V – { x } ;


f[ v ] = min( f[ v ] , d( v , x ) + f[ x ] ) ;

}

f[ x ] est la longueurf[ x ] est la longueurdu plus courtdu plus court

chemin issu de x !chemin issu de x !




f[ arrivee ] = 0 ;


tantque V <> {}



V = V – { x } ;


f[ v ] = min( f[ v ] , d( v , x ) + f[ x ] ) ;

}


chemin issu de x !chemin issu de x !x est retirée de l’ensemble !x est retirée de l’ensemble !




f[ arrivee ] = 0 ;


tantque V <> {}



V = V – { x } ;


f[ v ] = min( f[ v ] , d( v , x ) + f[ x ] ) ;

}


chemin issu de x !chemin issu de x !x est retirée de l’ensemble !x est retirée de l’ensemble !

Les villes qui précèdent x sont mises à jour !Les villes qui précèdent x sont mises à jour !



• Ceci est l’algorithme des plus courts chemins de Ceci est l’algorithme des plus courts chemins de Dijkstra.Dijkstra.

• Sa complexité est de O ( n^2 ) où « n » est le Sa complexité est de O ( n^2 ) où « n » est le nombre de villes.nombre de villes.

• Plus précisément, il est en Plus précisément, il est en ( m ) où « m » est ( m ) où « m » est le nombre d’arcs.le nombre d’arcs.

• L’algorithme est optimal, car le problème ne L’algorithme est optimal, car le problème ne peut pas être résolu avec une complexité plus peut pas être résolu avec une complexité plus petite.petite.


SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Programmation dynamique :Programmation dynamique :

Problème du sac à dos.Problème du sac à dos.

Négociant en sardines au port de Marseille.Négociant en sardines au port de Marseille.

Problème de la plus longue sous-chaîne Problème de la plus longue sous-chaîne commune.commune.

Problème du plus court chemin.Problème du plus court chemin.


m E r C i e Tm E r C i e Tb O n N e J o U r N é b O n N e J o U r N é

E ! ! !E ! ! !

n ‘ O u B l I e Z p A s D en ‘ O u B l I e Z p A s D ep R é P a R e R v O sp R é P a R e R v O s

T D ! ! !T D ! ! !

Cours d'algorithmique 6 - Intranet 1 23 novembre 2006 Cours dAlgorithmique Programmation dynamique :...

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