CTN504 – Mécanique des sols

Cours CTN 504 Mécanique des sols

Li Li , ing., Ph.DProfesseur en géotechnique

Département de génie de la constructionBureau: A-1484

Courriel: li.li@etsmtl.ca

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Éteindre vos cellulaires, SVP!

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Références supplémentaires:Cedergren, H.R. 1989. Seepage, drainage and flow nets. 3rd edition, John Wiley & SonsMcCarthy, D.F. 2002. Essentials of soil mechanics and foundation: Basi geotechnics. 6th edition,

Prentice Hall. Philipponnat, G. 1979. Fondation et ouvrages en terre. Éditions Éyrolles.

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Écoulement d'eau souterraineUne introduction à l'Hydro-géologie

(Séance 1)

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Introduction

"L'eau, une source de vie, est une source de souci pour l'ingénieur"

Quelques notions sur l'eau souterraine:

― Terrains aquifères. Terrains dans lesquels l'eau circule avec des débits importants. E.g., sols ou roches perméables;

― Terrains aquifuges. sols ou roches peu ou imperméables;

― Surface de la nappe. Surface de l'eau limitant la partie supérieure de la nappes;

― Nappe libre. Nappe où la pression interstitielles de l'eau au niveau de la surface est nulle;

― Nappe phréatique. Première nappe libre rencontrée depuis la surface. La surface de cette nappe s'appelle le niveau phréatique;

― Nappe artésienne. Nappe pour laquelle la pression de l'eau à la surface de la nappe est positive. C'est le cas d'un écoulement artésien ou confiné.

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Rappel de quelques notions de mécanique des fluides

En mécanique des fluides, les écoulements peuvent être distingués de:- Permanents vs transitoires (temps);- Laminaires ou turbulent (forme);

L'eau est généralement considérée comme incompressible.

Un gradient hydraulique i est définit comme la perte de charge par unité de longueur:

où h = perte de charge l = longueur d'écoulement.

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Vitesse et régime d'écoulement

s'applique pour

les sols pour la

plupart des casLoi de Darcy

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Quelques principes de mécanique des fluides

Loi de conservation de la masse:

Cette équation est appelée aussi Équation de continuité.

Équation (d'énergie) de Bernoulli:

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Équation de Bernoulli exprimée en charge:

charge de vitesse

charge de position

charge de pression

Prise en compte de la perte de charge, hf:

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Loi de Darcy:

où A = aire d'une surface transversale; q = débit total à travers la surface transversale, A; v = vitesse d'écoulement; k = coefficient de perméabilité (appelé aussi conductivité

hydraulique); h = perte de charge l = longueur d'écoulement

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Vitesse réelle vs. vitesse apparente

AA

AA

VVn vvv

11

snvv

Considérons une longueur unitaire:

nvvs /ou

où v = vitesse apparente d'écoulement dans le sol vs = vitesse réelle d'écoulement à travers les vides (pores)

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Applicabilité de la loi de Darcy

Malgré tout, la loi de Darcy est utilisée très largement dans la pratique.

Sols Applicable Remarques

Sable propre Oui Sol de base pour l'élaboration de la loi

Graviers très propres ou de remblais d'enrochement

Non Écoulement turbulent

Argile Pas de consensus Voir commentaires en bas

Hanson (1960) montre que la vitesse d'écoulement ne varie pas linéairement avec le gradient hydraulique.

Holtz et Broms (1972) montre que l'exposant n 1.5.

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Perméamètre: mesure de la perméabilité

Au laboratoire, on mesure le coefficient de perméabilité soit par essai à charge constante ou par essai à charge variable.

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Perméamètre à charge constante

L'essais consiste à mesure la quantité d'eau recueillie pendant un certain temps en maintenant le niveau d'eau d'alimentation constant:

tALhktAiktAvtqQ

tAhLQk

d'où vient l'équation suivante:

où Q = quantité d'eau collecté pendant l'intervalle de temps, t q = débit total à travers l'échantillon, A; A = aire de l'échantillon de la coupe-section horizontale; L = longueur (hauteur) de l'échantillon; h = (perte de) charge constante.

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Le volume d'eau sortant du sol est:

Pendant cette période (dt), la quantité d'eau entrant dans le sol est:

où a = aire du tube.

Le principe de continuité exige que:

Perméamètre à charge variable

L'essais consiste à mesure la quantité d'eau recueillie et la chute de la hauteur d'eau dans l'amont en fonction de temps.

D'abord, on considère l'écoulement à travers le sol. Pour une très courte durée, dt, la vitesse d'écoulement dans le sol, vsol, est constante:

Lhkkivsol

tALhktAvQ solsol d d d t = t+dt

ahQtub dd

tubsol QQ dd

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L'intégration:

Le coefficient de perméabilité est exprimé:

La hauteur d'eau dans le tube au moment t = t2:

Perméamètre à charge variable (suite)

soit: ouahtALhk dd t

aA

Lk

hh dd

2

1

2

1

dd t

t

h

ht

aA

Lk

hh 12

1

2ln ttaA

Lk

hh

2

1

122

1

12

log3.2lnhh

ttL

Aa

hh

ttL

Aak

1212 exp tt

aA

Lkhh

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Correction pour la température

où k20°C = coefficient de perméabilité à 20° Celsius;

kt = coefficient de perméabilité à température t (en °C);

20°C = viscosité dynamique de l'eau à 20° Celsius: 20°C = 1.011 ×10−3 kg/(m-sec);

t = coefficient de perméabilité à à température t (en °C);

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Coefficient de perméabilité: valeurs typiques très utiles

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Coefficient de perméabilité: Quelques valeurs de référence

écoulement laminaireécoulement turbulent

sols difficile à drainer sous faibles gradients

sols perméables

sols très susceptible

à l'érosion interne

Limite inférieure de la perméabilité des sols et des bétons

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(tiré de Philipponnat 1979)

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Relations empiriques du coefficient de perméabilité pour les sables

Hazen (1911) a proposé une relation empirique comme suit Pour les sables propres (contenant moins de 5% de particules passant le tamis n° 200):

où k = coefficient de perméabilité, en m/s; D10 = diamètre effectif des grain (3 mm D10 = 0.1 mm); C = paramètre de matériau (C = 0.004 ~ 0.012; valeur moyenne 0.01).Cette équation est valable seulement si k 10-5 m/s.

Si le coefficient de perméabilité d'un sable à un état donné (k1 avec un indice de vide e1) est connu, son coefficient de perméabilité à un autre état (k2 avec un indice de vide e2) peut être estimé approximativement par les équations suivantes:

avec C1 C2 et C'1 C'2

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Équation de Bernoulli:

où v = vitesse d'écoulement d'eau à un point considéré u = pression interstitielle au point considéré z = charge de position, définie comme la distance verticale au-dessus (positive) ou

au-dessous (négative) d'un plan arbitraire de référence ou datum.

Étant donné que la vitesse d'écoulement dans les sols est très faible, la charge de vitesse est souvent négligée. La charge totale, h, est:

où hp = charge de pression:

Charge hydraulique et écoulement unidimensionnel

constant2

2

zg

ugv

w

zhh p

wwp

ug

uh

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La charge totale, h = hp+z, est appelé charge piézométrique parce qu'elle est mesurable à l'aide d'un tube ouvert ou d'un piézomètre.

niveau phréatique

Plan de référence ou Datum

z

hp

h

piézomètre

La charge piézométrique (charge totale) est indiquée par le niveau d'eau dans le piézomètre tandis que la charge de pression hp correspond à la hauteur d'eau dans le tube (pas totalement vrai à cause de la capillarité).

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Exercice: calculer la vitesse d'écoulement à travers le sol.1) Considérer le système global;2) Considérer le segment CD.

A 0 AE AE 0

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Exemple 7.10

A 0 400 400 0

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Exemple 7.11

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Écoulement bidimensionnel: Réseaux d'écoulement

Exemple 7.18

hp A

hp B

hp C

hp D

hp E

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Considérons un élément dx par dy. Les débits totaux d'entrée (qent) et de sortie (qsor) sont donnés comme suit:

L'application du principe de continuité qent = qsor amène à l'équation suivante:

soit:

La loi de Darcy s'applique:

On obtient alors:

Si le sol est isotrope, kx = ky, on obtient:

Équation de Laplace

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Dans l'exemple 7.12, il s'agit d'un écoulement dans un tube d'environ 35.6 mm de diamètre. On peut alors négliger la variation de charge dans la direction vertical (y) le long du tube, soit: et

L'équation de Laplace devient:

L'intégration de cette équation donne:

Les deux constants C1 et C2 sont déterminés selon les conditions frontières: C1 = (hD - hB )/BD et C2 = hB

La charge totale est exprimée comme suit:

Application de l'Équation de Laplace pour l'écoulement unidimensionnel

21 CxCh

Exemple 7.12

y

x

DBB hhBDxhh

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En géotechnique, on a souvent besoin d'évaluer les fuites d'eau d'une retenu (barrage par exemple), les pressions de soulèvement sous une barrage ou localiser les points les plus vulnérables à l'érosion interne et ce, à l'aide du traçage des réseaux d'écoulement.

Un réseau d'écoulement constitue en réalité, une solution graphique de l'équation de Laplace:

Cette équation peut être représentée par deux familles de courbes qui interceptent à angle droit pour former un réseau en patron de "carrée". Une famille des courbes correspond aux lignes d'écoulement alors que la deuxième correspond aux lignes d'équipotentielle.

Les lignes d'écoulement représentent les chemins le long desquels, l'eau écoule à travers une section transversale.

Les lignes d'équipotentiels sont des lignes de charge égale.

Réseaux d'écoulement

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Tous les réseaux d'écoulement doivent satisfaire certaines exigences. Les suivantes sont exigences de base (Cedergren 1989):

1. Les ligne d'écoulement et les lignes d'équipotentiel doivent interceptent à l'angle droit pour former des zones qui sont principalement "carrées".

2. Certaines exigences d'entrée et de sortie doivent être satisfaites.

3. Une règle de déflection de base doit être suivie en passant d'un sol d'une perméabilité à un sol d'une perméabilité différente.

4. Les équipotentiels adjacents ont des pertes de charge égales.

5. La même quantité de fuites s'écoule entres une paire de lignes d'écoulement adjacentes.

Réseaux d'écoulement (suite.)

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Suggestions générales (Cedergren 1989):

1. Tracer la coupe-section du problème sur un bon papier de dessin; tourner la feuille et construire les réseaux d'écoulement en verso. Après avoir complété le réseau d'écoulement, tracer-le en recto de la feuille ou sur un nouveau papier vierge.

2. Pratiquer avec le nombre de lignes tracées. Ne bombarder pas le dessin avec trop de lignes. Mais, trop peu de lignes risque de perdre les caractéristiques essentielles.

3. Pratiquer dans la sélection d'une échelle pour le dessin. Avec une échelle trop large, on gaspille du temps et des gommes. Une feuille de 8½11' est bonne pour la plupart des cas.

4. Avant de commencer le dessin, chercher les conditions frontières importantes et les lignes de réseau d'écoulement préfixées.

5. Dans le cas du traçage des réseaux avec des sections composées (sols avec plus d'une perméabilité), chercher les parties dominantes des coupes-sections. Les parties très perméables ou très peu perméables ont parfois des influences majeures sur les formes du réseau d'écoulement.

6. Ne regarder pas la forme globale quand travailler en détails. Ne raffiner jamais une petite portion d'un réseau d'écoulement avant d'autres parties soient assez bien développées.

7. Observer les règes de base fournies en haut.

Réseaux d'écoulement (suite..)

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Erreurs fréquemment commises par des débutants (tiré de Cedergren 1989)

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Quelques notions supplémentaires:

Canal d'écoulement: Canal délimité par une paire de lignes d'écoulement

Chute de potentiel: Diminution de charge entre une équipotentielle donnée et l'équipotentielle suivante.

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Systèmes d'écoulement confinés (Artésien) – Ligne phréatique connue

Exemple 1: Fuite sous une rideau de palplanche dans une fondation sableuse.

Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 4 lignes du réseau d'écoulement connues.

12

3

4

Les lignes d'équipotentielle doivent faire un angle droit aux frontières imperméables

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Étape 2: Tracer deux lignes d'écoulement intermédiaires qui font des angles de 90° à l'entrée (à amont) et à la sortie (côté aval), tout en gardant l'esprit que la fuite tends à se concentrer à certains points focaux (point E)

Étape 3: Tracer une famille d'équipotentielles, qui doivent interceptent toutes les lignes d'écoulement à angle droit (90°), tout en essayant d'obtenir des "carrés".

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Étape 4: Vérifier si toutes les intersections sont à 90°. Si oui, les figures seront rectangulaires; c'est ce qu'on souhaite d'obtenir. Si non, surtout à la présence des figures de diamant ou d'autres formes irrégulières, les lignes doivent délibérément déplacées jusqu'à ce que toutes les intersection soient en 90° et que toutes es figures soient essentiellement en forme de rectangulaire.

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Exemple 2: Écoulement sous un barrage en béton

Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 4 lignes du réseau d'écoulement connues.

1 23

4

Étape 2: Les lignes d'équipotentielle doivent faire un angle droit aux frontières imperméables alors que les lignes d'écoulement font un angle de 90° à l'entrée (à amont) et à la sortie (côté aval).

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Étape 3: Tracer deux lignes d'écoulement intermédiaires.

Étape 4: Ajouter des lignes d'équipotentielles pour obtenir le premier réseau d'écoulement d'essai.

Étape 5: Modifier les lignes progressivement pour atteindre un réseau final.

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Étape 1: Par l'inspection de la coupe section, on voit qu'il y a 2 lignes du réseau d'écoulement connues.

1

2

Systèmes d'écoulement non confinés (gravitaire) – Ligne phréatique inconnue

Exemple 3: Fuite d'eau à travers une digue en terre sur une fondation imperméable.

Étape 2: Tracer une zone dans laquelle la ligne phréatique se trouve probablement

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Étape 4: Tracer une lignes phréatique d'essai ab et une famille d'équipotentielles qui font un angle droit avec les lignes d'écoulement.

Étape 3: Diviser la charge totale en plusieurs parties h et tracer des lignes directives horizontales qui interceptent la zone probable de la ligne phréatique.

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Étape 5: Tracer une ou plusieurs lignes d'écoulement intermédiaires pour établir un réseau d'écoulement

Étape 6: Vérification sur la règle de base: Pour un réseau d'écoulement quelconque, le nombre de canaux d'écoulement doit rester le même à travers tout le réseau.

Cette règle assure que les eaux entrant dans une coupe-section doivent écouler à travers la section et sortir du côté de potentielle basse.

Si le réseau est correctement construit et composé d'uniquement des carrées, cette règle sera observée automatiquement.

Pour satisfaire cette règle, chaque paire d'équipotentielles adjacent doit contenir le même nombre de carrées.

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Étape 6: La vérification est faite comme suivante:

Mesure en échelle les largeurs et les longueurs des figures dans le réseau et calculer le nombre de canaux entre une paire d'équipotentielles. Le nombre de canaux est donné comme suit:

cdefn f

La vérification montre que le nombre de canaux n'est pas le même partout. Correction est nécessaire.

En général, si les "carrées" sur un point donné sont allongé horizontalement, la ligne phréatique est trop au dessus de ce point; Si les figures sont allongées verticalement, elle est trop hausse au dessus du point considéré.

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Étape 7: Hausser la ligne phréatique. Les équipotentielles doivent être ajustées en conséquence.

Étape 8: Répéter les étapes 6 et 7 jusqu'à l'obtention d'un réseau qui possède le même nombre de canaux partout.

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Méthode de McCarthy (2002)

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abNhkA

lhkq dL

/

Utilité des réseaux d'écoulement

Une fois on obtient le réseau d'écoulement, la distribution de charge (potentielle) et de pression est obtenue. Le débit local (à travers les canaux) et global peut être estimé.

Le gradient hydraulique:

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Méthode de fragments (Pavlovsky 1956; Harr 1962)

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Méthode de fragments (suite)

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Exemple 7.20. À calculer:a) le débit de fuite sous l'ouvrage avec k = 2010-6 m/s;b) le gradient de sortie au point E;c) la distribution des pression sous le barrage.

Solution.

Question (a)

Étape 1: Diviser le domaine d'écoulement en fragment (trois).

Étape 2: Comparer les fragments avec les Tableaux de Pavlovsky et choisir les types de fragment.

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Étape 3: Déterminer les facteurs de forme.Pour les fragments 1 et 3 de type II, le facteur de forme est défini comme suit:

'/ KKoù K et K' sont des fonction de m, qui est défini comme suit:

Entrer les chiffres s = 12 m, T = 30 m, on obtient une valeur de m = 0.588 (m2 = 0.346). Consulter le Tableau 7.3 de Pavlovsky, on obtient K/K' = = 0.865 par l'interpolation. Soit, 1 = 2 = 0.865

Pour le fragment 2 de type V, on a: L = 40 m, T = 30m - 2m = 28 m, a = 30m – 12m = 18 m et s = 10 m.

Puisque 40 m = L > 2s = 20 m, le facteur de forme 3 est obtenu par l'équation suivante:

598.128

1024018101ln221ln23

TsL

as

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Étape 4: Calculer le débit total par l'équation suivante:

Question (b)

Le gradient de sortie au point E est donné par l'équation suivante pour le fragment 2 de type II:

msmmsmkhq n

mm

//1021.7865.0598.1865.0

12/1020 356

1

Pour notre cas:

KTmhi m

E 2

n

mm

m

m hh1

hhhn

mmmm

1

soit

où hm est la perte de charge dans le segment m, qui peut être estimé à l'aide de l'équation suivante:

mmhh 12.312598.1865.02

865.0

321

33

Le gradient de sortie au point E est:

16.0588.030741.12

12.3

m

miE

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Question (c)

Dans la question (b), on a montré que la perte de charge dans chaque fragment est calculé comme suit:

On a alors:

La charge totale à chaque équipotentielle peut être calculée: à A-A': 12 m – 3.12 m = 8.88 m à F-F': 8.88 m – 5.76 m = 3.12 m

hhhn

mmmm

1

mmhhh 12.312598.1865.02

865.0

321

331

mmhh 76.512598.1865.02

598.1

321

22

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Supposons que la charge varie linéairement le long de la frontière du point A' à A à F et à F', le gradient (perte de charge par mètre) est:

Par conséquent, les charges totales sous la base du barrage sont: au point A: 8.88 m – 0.09610 m = 7.92 m au point F: 7.92 m – 0.09640 m = 4.08 m

Ajouter le 2 m qui correspond à la hauteur du bief aval pour finalement obtenir la distribution de la charge de pression.

mmmmm

hmFFAFAA

hhi FAAFFA /096.0

104010)( 76.5

''2''

''

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Mesure de la perméabilité sur le terrain: Pompage(tiré de Philipponnat 1979)

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