PRINCIPE DES CAPTEURS !"#$%#&'()'*(%+&,'-"*(.+&,'-"*(+%/0*(1(%+&,'-"*(&+**#0*(.2$)#/2$$'-"*()'*(%+&,'-"*(&+**#0*(

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CAPTEURS DE PRESSION ET DE FORCE(<+&&';()A7;+*/%#,7(.+&,'-"(Q(6'6M"+$'(9(6+$26R,"'G(M+"26R,"'(.+&,'-"*()'(6'*-"'(Q(S+-5'*()'(%2$,"+#$,'(.+&,'-"*(%+&+%#/0*(.+&,'-"*(&#7O237;'%,"#8-'*((((CAPTEURS DES TEMPERATURE(T$,"2)-%/2$(1(U7$7"+;#,7*(C?'"62%2-&;'*((C?'"6267,"#'(&+"("7*#*,+$%'((((

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Technique de l’ ingénieur, r410 « Capteurs » par Jacques TOUX

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Dans le cas d’une variation sinusoïdale à la fréquence f de la mesure et du signal (réponse harmonique)

1f:

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R + RC

!"v = "e RC

R + RC

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11:

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VB !VDR2

= VD !VAR1

"VD = VBR1 +VAR2

R1 + R2

VB !VCR3

= VC !VAR4

"VC = VBR4 +VAR3

R3 + R4

VB !VA = eVD !VC =V

V =VD !VC = VBR1 +VAR2R1 + R2

! VBR4 +VAR3R3 + R4

V =R3 + R4( ) VBR1 +VAR2( )! R1 + R2( ) VBR4 +VAR3( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )V = VBR1R3 +VAR2R3 +VBR1R4 +VAR2R4 !VBR4R1 !VAR3R1 !VBR4R2 !VAR3R2

R1 + R2( ) R3 + R4( )

V =VB R1R3 + R1R4 ! R4R1 ! R4R2( )+VA R2R3 +VAR2R4 ! R3R1 ! R3R2( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )

V =VB R1R3 ! R2R4( )+VA R2R4 ! R1R3( )

R1 + R2( ) R3 + R4( ) = VB !VA( ) R1R3 ! R2R4( )R1 + R2( ) R3 + R4( )

V = eR1R3 ! R2R4( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )

V = eR1R3 ! R2R4( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )

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1\:

!"#$%#&'()'(;+(6'*-"'(+L'%(-$(62$,+5'('$(&2$,(

V = eR1R3 ! R2R4( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )Si le capteur correspond à une des résistances (R1)!du pont Soit une petite variation "R1 de R1

V"R1= e

R1 + "R1( )R3 ! R2R4( )R1 + "R1( )+ R2( ) R3 + R4( )

V"R1= e R "R

2R + "R( ) 2R

si R1 = R2 = R3 = R4 = R!!!(au!repos)

V"R1= e "R / 4R

1+ "R / 2R( )

Ve= !R / 4R

1+ !R / 2R( )

Si !R / R <1Ve= !R

4R

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1;:

R1 variedVdR1

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4R2( )2

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V = eR1R3 ! R2R4( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )

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4R2( )2 dR1 ! eR2 4R2

4R2( )2 dR4

"V # e2"RR

(doublage de la sensibilité)

<(:#+-4:(*4:.-.D59(8(-4:=A,.9.G)=:85.*:d1:(4:d;:/5).(-4:3(:id:(4:d\:(4:dS:3(:0id'::

!V = e !RR

(quadruplement de la sensibilité)

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1S:

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V = e(R1 + !R1 + 2Rf )R3 " (R2 + 2Rf )R4( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )

V = eR1R3 + !R1R3 + 2Rf R3 " R2R4 " 2Rf R4( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )si!R1 = R3 = R2 = R4 !

V = e !R14R

V = e(R1 + !R1 + 2Rf )R3 " R2R4( )

R1 + R2( ) R3 + R4( )si!R1 = R3 = R2 = R4

V = eR !R1 + 2Rf( )

4R2= e

!R1 + 2Rf

4R

<+)*A,(:9(:65#4(,):(*4:*.4,=:I:,-(:3.*45-6(:.8#+)45-4(:3(*:5,4)(*:)=*.*45-6(*:3,:#+-4J:.9:*H@:4)+,/(:)(9.=:#5):3(,B:

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::

Montage 3 fils Montage 2 fils

1V:

<7)-%/2$()-(M"-#,(B2W*',G()7"#L'()'(;A+;#6D(

Bruit dans un montage en pontBruit dans un montage potentiométrique

=

!e4

!RR

!e2

= !R2R

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v = e RC

R + RC

!"v = "e RC

R + RC

Si R = RC !"v = "e2

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COMPARAISON DES DEUX MONTAGES

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3T59.8(-45D+-:(*4:)=3,.4:35-*:,-:

8+-457(:(-:#+-4:1W:

Si!l'alim!fluctue!en plus de!!e!"!v = !e4

!RR

pont!équilibré!R1 = R3 = R2 = R4 = R

R1 !varie!!de! !!R"!v = e4!RR

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m(t) =m1cos !t( ) "m1ej!t

Sensibilité S ! s1m1!

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C d(T !Ta )dt

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35-*:,-:8.9.(,:I:95:4(8#=)54,)(:58G.5-4(:R5':

Q:9T=A,.9.G)(J:95:4(8#=)54,)(:3,:65#4(,):R:(*4:=759(:I:

R5': <5: 4(8#=)54,)(: 3,: 65#4(,): #(,4: /5).():

G),459(8(-4: *+,*: 9T(K(4: 3T,-: 5##+)4: 3T,-(: =-()7.(:

(B4=).(,)(:oM4N: M*+,)6(: 3(: 6!59(,)J: F,B: 9,8.-(,BpN':

<(: G.95-: 4!()8.A,(: M75.-: 3T=-()7.(%#()4(*N: *T=6).4: 3(:

95:25q+-:*,./5-4(':T!température!(en!K)C!capacité!calorique!(en!J/K)! = !0 sin("t)!! !énergie!incidente!(en!W)e!pourcentage d'énergie absorbéeK!conductance!thermique!(en!W/K)

A dsdt

+ Bs = m(t)

1Y:

<7&2$*'('$(0"78-'$%'(B(*@*,R6'()-(&"'6#'"(2")"'D(

A dsdt

+ Bs = m(t)

dsdt

= j!s

Aj!s1 ej !t+"( ) + Bs1 e

j !t+"( ) = m1 ej!t

Aj!s1 ej" + Bs1 e

j" = m1

s1 =m1

j!A+ B( )e j"

Sensibilité S( f ) ! s1m1

= 1B 1+! 2 A2 B2

S f( ) = 1B 1+ 4! 2 f 2 A2 B2

S f( ) = S 0( ) 1

1+ ffc

"#$

%&'

2avec fc = B / 2!A

1c:

m(t) =m1cos !t( ) "m1ej!t

s(t) = s1 cos !t + "( ) # s1 ej !t+"( )

cos! + j sin! = m1s1 j"A+ B( )

cos! + j sin! =m1 B ! j"A( )s1 !

2A2 + B2( )cos! = m1B

s1 "2A2 + B2( )

sin! = !m1"A!s1 "

2A2 + B2( )tan! = !"A

B!!!!"!! fc = B / 2#A

tan! = !2# f2# fc

= ! ffc

$ = !arctg ffc

Déphasage !

S f( ) S 0( ) = 1 1+ ffc

!

" #

$

% & 2

<7&2$*'('$(0"78-'$%'(B(*@*,R6'()-(&"'6#'"(2")"'D(

fc = fréquence de coupure La bande passante BP en fréquence est comprise entre f=0 et f=fc.

1e:

tg!! = ! ffc

F]'6&;'()'(*@*,R6'()-(&"'6#'"(2")"'(9(;+(&?2,2)#2)'(

fc = 12!RC

Hypothèse!harmonique

!(t) = !0 +!1 cos"t!!1 ej !t( )

i(t) = i0 + i1 cos!t! i1 ej !t( )

v(t) = v0 + v1 cos(!t +!)! v1 ej !t+!( )

C dvdt

+ vR= i

jC!v1ei" + v1

Rei" = i1

v1i1

= R

1+ 2! fRC( )2= R

1+ f / fc( )2

v1i1

= e!i! R1+ RjC"

<(:F,B:9,8.-(,B:.-6.3(-4:oM4N:(*4:8+3,9=:I:95:#,9*5D+-:r':n-:)=7.8(:3@-58.A,(J:95:

#!+4+3.+3(:(*4:=A,./59(-4(:I:,-:7=-=)54(,):3(:6+,)5-4:(-:#5)599]9(:5/(6:,-(:65#56.4=:

Réponse du premier ordre

Fréquence de coupure \f:

C'6&*()'("7&2$*'()’-$(*@*,R6'()-(&"'6#'"(2")"'(

<5:)5#.3.4=:(*4:95:*#=6.b65D+-:3’,-:65#4(,):A,.:#()8(4:3’5##)=6.():3(:A,(99(:25q+-:95:7)5-3(,):3(:*+)D(:*,.4:35-*:9(:4(8#*:9(*:/5).5D+-*:3(:95:8(*,)(':<5:7)5-3(,):,D9.*=(:#+,):3=b-.):A,5-D45D/(8(-4:95:)5#.3.4=:(*4:9(:

4(8#*:3(:)=#+-*(:$:6’(*4:9’.-4()/599(:3(:4(8#*:A,.:*’=6+,9(:5#)]*:,-(:/5).5D+-:G),*A,(:M,-:=6!(9+-N:3,:8(*,)5-3(:[,*A,’I:6(:A,(:95:*+)D(:-(:3.K])(:#9,*:3(:*5:/59(,):b-59(:3(:#9,*:3’,-:=65)4:bB='::

<7&2$*'(Q(-$(7%?';2$(

\1:

PREUVE!solution!sans!2nd !membre

A dsdt

+ Bs = 0

A dss= !Bdt

Ln!s = ! BAt + cte

s = c1e!BAt

solution!avec!2nd !membre

s = c1e!BAt+ c2

t = 0" s = 0" c1 = !c2

s = c2 1! e!BAt#

$%&'(

t = )" s = s0 = c2 !et !B = m0 / s0

s = s0 1! e! t!#

$%&'(!!!!avec!! = A

B

A dsdt

+ Bs = m0

La solution à un échelon est :

s = s0 1! e! t/!( ) avec ! " A / B cons tan te de temps!caractéristiqueavec!B = m0 / s0

Si t = ! # SS0

=1!1/ e = 63%

C'6&*()'("7&2$*'()’-$(*@*,R6'()-(&"'6#'"(2")"'(

Le temps de réponse tr est défini de la façon suivante :temps de réponse ! trcons tan te!de!temps!! !tr ! tm ! td ! t90% " t10% = 2.2!

1/ Pour !un!système!du!premier !ordre!!A dsdt

+ Bs = m(t) !,

on!a!vu!que! fc = B / 2!A

2 /Comme! " ! A / B cons tan te de temps!caractéristiqueAlors,!on!a tr = 2.2" = 2.2A / B = 0.35 / fc

d=#+-*(:I:,-:*.7-59:#=).+3.A,(:

tr = 0.35 / fcP+,):,-:*@*4]8(:3,:#)(8.():+)3)(J:+-:5:95:)(95D+-:*,./5-4(:(-4)(:

4(8#*:3(:)=#+-*(:(4:2)=A,(-6(:3(:6+,#,)(:

Hyp. la mesure varie de façon périodique

Si SS0

=10% s=s0 1!e! t/!( )" #""" t10% = 0.1!

Si SS0

= 90% s=s0 1!e! t/!( )" #""" t90% = 2.3!! "####### $#######

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$

\\:

<7&2$*'('$(0"78-'$%'()’-$((*@*,R6'()-(*'%2$)(2")"'(

Ad2sdt2

+ Bdsdt

+ Cs =m(t)

m(t) = m1 cos !t( ) " m1ej!t

dsdt

= j!s et d2sdt 2

= "! 2

!A! 2s1 ej" + Bj!s1 e

j" +Cs1 ej" = m1

s1 =m1

j!B+C ! A! 2( )e j!

s1 ==m1 /C

1! AC" 2"

#$%&'2

+" 2 B2

C2

s1 =m1 /C

1! ff0

"#$

%&'

2"

#$

%

&'

2

+ 4# 2 ff0

"#$

%&'

2

avec

f0 =12!

CA

fréquence propre sans amortissement

et

" = 12

BAC

coefficient d 'amortissement

Sensibilité en régime dynamique S = s1m1

= 1

C 1! ff0

"#$

%&'

2"

#$

%

&'

2

+ 4! 2 ff0

"#$

%&'

2

Déphasage =! = "arctg 2#

f0f1" f

f0

$

% &

'

( ) 2$

% & &

'

( ) )

s(t) = s1 cos !t + "( ) # s1ej !t+"( )

\;:

<7&2$*'('$(0"78-'$%'()’-$(*@*,R6'()-(*'%2$)(2")"'(

P+,):,-:6+(s6.(-4:3T58+)D**(8(-4:

3(:9T+)3)(:3(:tLf'YJ:95:)=#+-*(:(-:

2)=A,(-6(:(*4:A,5*.:6+-*45-4(:35-*:

,-(:7588(:3(:2)=A,(-6(:=4(-3,(:(4:

95:3.*4+)*.+-:3(:#!5*(:(*4:)=3,.4(':

Sensibilité en régime dynamique

S = s1m1

= 1

C 1! ff0

"#$

%&'

2"

#$

%

&'

2

+ 4! 2 ff0

"#$

%&'

2

\S:

F]'6&;'()'(*@*,R6'()-(*'%2$)(2")"'((9(;A+%%7;7"26R,"'(

M d 2zdt2

+ k ' dzdt

+ kz = 0

M d 2zdt2

+ k ' dzdt

+ kz = !M!

h5-*:566=9=)5D+-:(B4=).(,)(:

Q/(6:566=9=)5D+-:(B4=).(,)(:!"Hypothèse!harmonique

! = ! 1 cos "t( )! ! 1 ej !t( )

z = z1 cos !t +!( )! z1 ej !t+!( )

avec!!

f0 =12!

kM! fréquence propre sans amortissement

et

" = 12

k 'kM

!!!!coefficient d 'amortissement

Solution

z1 =!M! 1 / k

1! ff0

"#$

%&'

2"

#$

%

&'

2

+ 4" 2 ff0

"#$

%&'

2

L'équation du mouvement est!celle!d'unsystème du second ordre!

A d2sdt2 + B ds

dt+Cs = m(t)

Z-:566=9=)+8]4)(:#(,4:E4)(:*6!=85D*=:#5):,-:*@*4]8(:85**(0

)(**+)4':Q:9H=A,.9.G)(J:95:#+*.D+-:^:3(:95:85**(:8:*()5:95:)=2=)(-6(J:

3+-6:^Lf':h.:9(:*,##+)4:*,G.4:,-(:566=9=)5D+-:/()D659(J:/()*:9(:G5*:

#5):(B(8#9(J:3(,B:6!+*(*:/+-4:5/+.):9.(,:$:6(:*,##+)4:/5:*(:

3=#956():/()*:9(:G5*:3H,-(:#5)4:(4J:I:65,*(:3(:9H.-()D(:3(:95:85**(:

8J:6(99(06.:/5:5/+.):4(-35-6(:I:)(*4():I:*5:#+*.D+-:3(:3=#5)4J:

2+)q5-4:9(:)(**+)4:I:*(:6+8#).8():3H5,4)(:#5)4':<5:/59(,):^:*()5:

3H5,45-4:#9,*:7)5-3(:A,(:9H566=9=)5D+-:5##9.A,=(:5,:*,##+)4:*()5:

.8#+)45-4(':

\V:

C'6&*()'("7&2$*'()’-$(*@*,R6'()-(*'%2$)(2")"'((

1():65*:# u1:$:*@*4]8(:I:25.G9(:58+)D**(8(-4':<(:)=7.8(:4)5-*.4+.)(:(*4:#=).+3.A,(:58+)D':

\]8(:65*:# L1::$:*@*4]8(:I:58+)D**(8(-4:6).DA,(J:5#=).+3.A,(':

;]8(:65*:# U1:$:*@*4]8(:I:58+)D**(8(-4:2+)4J:5#=).+3.A,(':

h+.4:,-:=6!(9+-:$:8Lf:#+,):4uf:(4:8L8f:(-*,.4(':

P+,):,-:*@*4]8(:3,:*(6+-3:+)3)(:3=b-.:#5):9’=A,5D+-:3.K=)(-D(99(::

Q::3\*%34\:l:_:3*%34:l:C*:L:8f:

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/.(.99.**(8(-4: 3,: 65#4(,): I: ,-: =459+--57(: .-6+))(64p': <H())(,): *@*4=85DA,(: *(: 3=4(64(: (-: 6+8#5)5-4: 9(*:

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:

F<<FJ<H(Ic`IC:T<FH($:<5:65,*(:#).-6.#59(:3(:6(*:.-6()D4,3(*:(*4:95:#)=*(-6(:3(:*.7-5,B:+,:3’.-F,(-6(*:v:#5)5*.4(*:w:3+-4:9H58#9.4,3(:(*4:59=54+.)(:(4:A,(:9’+-:A,59.b(:3(:v:G),.4:w':<(*:())(,)*:59=54+.)(*:#(,/(-4:E4)(:9.=(*:5,B:())(,)*:3(:9(64,)(:+,:I:95:-54,)(:59=54+.)(:3,:#!=-+8]-(':<(:)=*,9454:3(:95:8(*,)(:(*4:65)564=).*=:

#5):,-(:3.*4).G,D+-:3(:#)+G5G.9.4=:)=#5)D(:5,4+,):3(:95:/59(,):/)5.(::35-*:9(:65*:3T())(,)*:#,)(8(-4:

59=54+.)(*':`5-*:6(:65*J:*,):,-:7)5-3:-+8G)(:3(:8(*,)(*J:+-:5:,-(:3.*#()*.+-:A,.:)(#)=*(-4(:95:/5).5G.9.4=:+,:

9H=4(-3,(:3(*:3.K=)(-4(*:/59(,)*:A,(:#(,4:#)(-3)(:95:8(*,)(':C("(:3.*#()*.+-:(*4:(*D8=(:#5):9H=65)4:4@#(:xJ:

A,.:*()4:I:6596,9():9H())(,):3(:8(*,)('::

::

4:_FKKF(h,):,-:(-*(8G9(:3(:-:8(*,)(*:3(:95:/5).5G9(:BJ:95:

/59(,):8+@(--(::(*4:3=b-.(:#5)::

:

\Y:

F""'-"*(*@*,76+/8-'*(3(F""'-"*(+;7+,2#"'*((

`.I<C3C_!F(<H=65)404@#(J:65)564=).*(:95:3.*#()*.+-:3H,-(:*=).(:3(:8(*,)(*:5,4+,):3(:95:

8+@(--(':P+,):65)564=).*():A,5-D45D/(8(-4:95:3.*#()*.+-:3’,-(:3.*4).G,D+-:*45D*DA,(:+-:#+,))5.4::6596,9():95:8+@(--(:3(*:=65)4*:(-4)(:9(:)=*,9454:3(:

6!5A,(:8(*,)(:-:(4:95:/59(,):8+@(--('::C("(:8+@(--(:(*4:-,99(:#5):3=b-.D+-':

P+,):=/.4():95:6+8#(-*5D+-:(-4)(:/59(,)*:#+*.D/(*:(4:-=75D/(*:3(:9’=65)4:I:95:8+@(--(J:+-:9(*:=9]/(:5,:65))=:5/5-4:3(:#)(-3)(:95:8+@(--(':m-:3=b-.4:59+)*:

9’=65)4:A,53)5DA,(:8+@(-:+,:=65)4:4@#(:x:6+88(:=45-4:95:)56.-(:65))=:3(:95:

8+@(--(:3(*:65))=*:3(*:=65)4*:I:95:8+@(--(:*,):,-:(-*(8G9(:3(:-:8(*,)(*:':

:

(+), (+), (+), ...(+) n

! " # # # $ # # # , (-), (-), (-), ...(-) N!n

! " # # $ # #

% (-), (-), (-), ...()

N!n! " # # $ # # , (+), (+), (+), ...(+)

n! " # # # $ # # #

"

#

$ $ $ $ $

nb de combinaisons

CNn = N!n! (N!n)!

(P+ )! (P+ )! (P+ ), ...! (P+ ) n

! "#### $#### ! (P- ), (P- ), (P- ), ...(P- ) N"n

! "### $### = P+nP"

N"n

% (P- )! (P- )! (P- ), ...! (P- )

N"n! "#### $#### ! (P+ ), (P+ ), (P+ ), ...(P+ )

n! "#### $#### = P+

nP"N"n

probabilité

#

$

%%%%%

P(N,n) = CNn P+

nP!N!n

n=0

N"

n=0

N" =

formule du binômeP+ +P!( )N =1

95:9+.:G.-+8.59(:3(:#5)58]4)(*:-:(4:#:(*4:,-(:9+.:3(:#)+G5G.9.4=:3(:='"$2-#;;#:A,.:)(#)=*(-4(:,-(:(B#=).(-6(:+;7+,2#"':M6H(*40I03.)(:*+,8.*(:5,:!5*5)3N:6+8#+)45-4:3(,B:.**,(*:#+**.G9(*J:7=-=)59(8(-4:3=-+88=(*:)(*#(6D/(8(-4:v:*,66]*:w:

(4:v:=6!(6:wJ:95:#)+G5G.9.4=:3H,-:*,66]*:=45-4:#J:6(99(:3H,-:=6!(6:=45-4:AL10#'::

:

nB(8#9(:

C+-*.3=)+-*:,-(:85)6!(:5,:!5*5)3:#+,):95A,(99(:+-:(K(64,(:a:#5*:/()*:95:3)+.4(:+,:/()*:95:75,6!(':h+.4:MlN:9’=/=-(8(-4:

/()*:95:3)+.4(:5/(6:Pl:*5:#)+G5G.9.4=:(4:M0N:9’=/=-(8(-4:/()*:95:75,6!(::5/(6::P0:*5:#)+G5G.9.4=':m-:5:PllP0L1':

y,(99(:(*4:35-*:6(*:6+-3.D+-*:95:#)+G5G.9.4=:PMaJ:-N:#+,):A,(J:5,:6+,)*:3(:a:#5*:9’=/=-(8(-4:MlN:*(:)=59.*(:-:2+.*z:

\c:

c2#(=#$26#+;'(

KM()'(%26M#$+#*2$*(!2-"(8-'(

;A7L7$'6'$,(BdD(*'("7+;#*'($(02#*b(

&"2M+M#;#,7(!BKG($D(&2-"(8-'G(+-(%2-"*(

)'(K(&+*(;’7L7$'6'$,(BdD(*'("7+;#*'($(02#*(

P(N,n)=CNn P+

nP!N!n

loi binomiale

Valeur Moyenne : n = n P(N,n) = n CNn P+

nP!N!n

n=0

N"

n=0

N"

n = n CNn P+

nP!N ! n

n = 0

N"

n = P+ n CNn P+

n !1P!N ! n

n = 0

N"

n = P+ ddP+ CN

n P+nP!

N ! n

n = 0

N"

n = P+ d P+ + P!( )N

dP+

n = P+ N P+ + P!( )N !1

n = N P+

{|PmR{nhn:$:PlLP0L1%\:

!:<(:-+8G)(:3(:3=#956(8(-4*:/()*:95:3)+.4(::5#)]*:a:4(-45D/(*:(*4:a%\:

X+)8,9(:3,:G.-k8(:

\e:

c2#(=#$26#+;'(

Si Ngrand!!! P+ =1/ 2

!= 12 N

comme n=N/2

! !n= N

N= 1

N!!! "!quand !n #( )

! !=! N (N!1)P+2+ N P+ ! N 2P+

2

n2 = N (N !1)P+2 + N P+

n = N P+

"#$

%$

;f:

F%+",(,@&'(

n2 = n2 P(N,n) = n2 CNn P+

nP!N!n

n=0

N"

n=0

N"

n2 = P+ n2 CNn P+

n !1P!N ! n

n = 0

N"

n2 = P+ d

dP+ nCNn P+

nP!N ! n

n = 0

N"

n2 = P+ d

dP+ P+ nCNn P+

n !1P!N ! n

n = 0

N"

#

$ % %

&

' ( (

n2 = P+ d

dP+ P+d

dP+ CNn P+

nP!N ! n

n = 0

N"

#

$ % %

&

' ( (

n2 = P+ d

dP+#

$ %

&

' ( P+

d

dP+#

$ %

&

' ( CN

n P+nP!

N ! n

n = 0

N"

n2 = P+ d

dP+#

$ %

&

' ( P+

d

dP+#

$ %

&

' ( P+ + P!( )N

n2 = P+ d

dP+#

$ %

&

' ( P+ N P+ + P!( )N!1# $ % &

' (

n2 = N P+d

dP+ P+ P+ + P!( )N !1#

$ %

&

' (

n2 = N P+ P+ + P!( )N!1+ (N !1)P+ P+ + P!( )N!2#

$ % &

' (

n2 = N P+ P+ + P!( )N!2 P+ + P!( ) + (N !1)P+( )

n2 = N (N !1)P+2 + N P+

X+)8,9(:3,:G.-k8(:

! !=! n!n( )2

! != n2+n 2!2nn

! !=! n2!n 2

! !=! N P+ 1!P+( )

c'(,?72"R6'(%'$,"+;(;#6#,'(7,+M;#,(;+(%2$L'"5'$%'('$(;2#()'(;+(*266'()X-$'(*-#,'()'(L+"#+M;'*(+;7+,2#"'*(L'"*(;+(;2#(5+-**#'$$'':?-4,.D/(8(-4J:6(:)=*,9454:5s)8(:A,(:4+,4(:*+88(:3(:/5).5G9(*:59=54+.)(*:

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3H,-(:*=).(:3H,-:7)5-3:-+8G)(:3H(B#=).(-6(*:59=54+.)(*:.-3=#(-35-4(*':

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http://www.univ-rouen.fr/LMRS/Vulgarisation/Galton/galton.html

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http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Pascal

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C'est la mesure utilisée pour évaluer le temps de réponse des photodiodes à un signal périodique sinusoïdal. Elle est définie comme la fréquence à laquelle la réponse de la photodiode diminue de 3 décibels. Le temps de montée tr et la fréquence de coupure fc sont reliés par la relation suivante:

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Les charges qui apparaissent sur les faces du cristal piézo-électrique dépendent de l’orientation des forces appliquées qui se décomposent en composantes axiales et de cisaillement.

!11,! 22,! 33 " tension, contrainte!12 ,! 21,!13,! 31,! 23,! 32 " cisaillement

Les forces axiales tendent à étirer le cube suivant et les forces de cisaillement tendent à faire glisser les plans parallèles l’un par rapport à l’autre.

les composantes des contraintes dans un solide, l’indice i donnant la direction de la composante et l’indice j indiquant la normale de la face à laquelle cette composante est appliquée

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Deux vecteurs p et q se transforment en p' et q' de la même façon que les vecteurs de base sous l'action de la matrice de passage (A)

Attention au sens des indices

Notation condensée (dite notation d'Einstein) La sommation est implicite sur l'indice qui apparaît deux fois dans le même terme (ici l'indice j).

L'indice muet peut être quelconque pourvu que l'on utilise aucun autre indice avec une lettre identique dans la même expression. Les deux écritures suivantes sont donc équivalentes:

pi = Tij q j = Tik qk

! p i = aijp j et qj = aij ! q i

Transformation des axes sous l’action d’une opération de symétrie A

A( ) =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

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Transformation des composantes d'un point de coordonnées x,y,z sous l’action d’une opération de symétrie A ! x i = aijx j et x j = aij ! x i

! x i ! x j = aikxk ajlxl = aikajlxkxl

Transformation des composantes d'un tenseur T sous l’action d’une opération de symétrie A

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! p i = aik pk

pk = Tklql

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Les mailles représentées sont

les mailles conventionnelles et elles ne sont pas toujours primitives

(une maille primitive possède un nœud ou

un motif /maille)

o{(<`HFIJ|(>F(=<IqITH((

1ff:

Une molécule avec une symétrie d’ordre 5 ou 7 peut exister, mais un cristal avec une telle symétrie n’existe pas car on ne peut pas remplir l’espace avec un tel objet.

Les symétries du cristal dépendent à la fois de celles du réseau de

Bravais et du motif

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Tetragonal

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2

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Symétrie max du motif

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1fc:

Système cristallographique Groupeponctuel

Élément générateur du groupe

Triclinique a!b!c et !!"!# 1 E

1 iMonoclinique (1 axe d'ordre 2)(2 // b par convention) 2 2ba!b!c et !=#=90°!" m mb

2/m 2b, i

Orthorhombique(3 axes d'ordre 2 perpendiculairesentre eux)

222 2c, 2a ou 2c, 2b ou 2b, 2a

a!b!c et !="=#=90° mm2 2c, ma ou 2c, mbmmm 2c, 2a, i ou 2c, 2b, i ou 2b, 2a, i

Tetragonal (1 axe d'ordre 4)(4 // c par convention) 4 4ca=b!c et !="=#=90° 4 4c+i

4/m 4c, i422 4c, 2a ou 2b4mm 4c, ma ou mb4 2m 4c+i, 2a ou 2b4/mmm 4c, 2a ou 2b, i

Trigonal (1 axe d'ordre 3 )(3// c par convention) 3 3ca=b!c et !="=90°, #=120° 3 3c, i

32 3c, 2b ou 2a3m 3c, mb ou ma3 m 3c, 2b ou 2a, i

Hexagonal (1 axe d'ordre 6)(6//c par convention) 6 6ca=b!c et !="=90°, #=120° 6 6c+i

6/m 6c, i622 6c, 2a ou 2b6mm 6c, ma ou mb6 m2 6c+i, ma ou mb6/mmm6c, 2a ou 2b, i

Cubique (4 axes d'ordre 3// diagonalesdu cube) 23 2a ou 2b ou 2c, 3abca=b=c et !="=#=90° m3 2a ou 2b ou 2c, 3abc , i

432 4a ou 4b ou 4c, 3abc4 3m (4a ou 4b ou 4c)+i, 3abcm3m 4a ou 4b ou 4c, 3abc, i

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Parmi les cristaux piézoélectriques certains sont aussi ferroélectriques : à un champ électrique excitateur E correspond une polarisation P et la représentation graphique de P en fonction de E est une courbe fermée, ce qui permet de définir une polarisation rémanente Pr et un champ coercitif Ec. Tel est le cas en particulier du titanate de baryum BaTiO3 et de nombreux sels (titanates, zirconates, stannates) ayant comme lui la structure cristalline de la perovskite (CaTiO3). Le cas des céramiques diffère toutefois de celui des cris- taux piézoélectriques et c’est en fait l’existence de la ferro- électricité qui conduit à d’excellentes caractéristiques piézoélectriques. Par frittage d’oxydes ou de sels de plomb, de zirconium et de titanate on réalise des composés de formule générale :Pb Ti (1–x) Zrx O3 avec x voisin de 0,5. Dans tous ces composés, les microcristaux élémentaires sont ferroélectriques, donc doués d’une polarisation spontanée, mais l’agrégat désordonné de ces microcristaux qui constitue la céramique simplement frittée n’a, à l’échelle macroscopique, aucun moment dipolaire électrique global. Pour introduire dans un tel milieu l’anisotropie nécessaire à l’existence de la piézoélectricité, on doit le soumettre à un champ électrique intense qui, alignant préférentiellement sur sa direction les polarisations des microcristaux élémentaires, va susciter une polarisation rémanente considérable. C’est uniquement après cette opération dite “polarisation” que la céramique devient ferroélectrique, et puis piézoélectrique. Une élévation de la température tende à détruire l’alignement des dipôles élémentaires sur le champ de polarisation. A une température dite température de Curie, il n’existe plus de moment électrique macroscopique et la céramique perd toutes ses propriétés piézoélectriques. L’un des avantages des céramiques est d’ailleurs d’avoir une température de Curie nettement plus élevée que celle de la plupart des cristaux piézoélectriques. Constantes piézoélectriques d33=65 10–12 C.N–1 , d31=-2.5 10–12 C.N–1.

11Y:

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Mesures de températures

" Thermocouples V(T)

" Thermorésistances R(T)

1;c:

THERMOCOUPLES Effet Seebeck

L'effet Seebeck a été découvert par le physicien allemand Thomas Johann Seebeck en 1821. Une différence de potentiel apparaît entre deux points d’un même matériau et à la jonction de deux matériaux soumis à une différence de température.

SAB (V/K) est le coefficient Seebeck s'exprime en V.K-1

1;e:

A B

T1

T2 T2 U

1

2 3

U1 U2

U1 = SA (T2 -T1)

U2 = SB (T2 -T1)

U = U2 ! U1 = (SB ! SA )(T2 ! T1) = SAB "T

Exemples de thermocouples

1Sf:

A c h a q u e t y p e d e thermocouple correspond un type de couleur suivant la norme utilisée.

1S1:

Thermomésistance D'une façon générale, la valeur de la résistance électrique d'un matériau varie avec sa température. On distingue deux cas : les métaux et les oxydes métalliques.

1S\:

1/ Conducteurs métalliques

Le courant électrique dans un métal est dû au déplacement d'électrons libres : un réseau cristallin parfaitement périodique ne présenterait aucun obstacle à leur mouvement et sa résistance électrique serait nulle. L’agitation thermique et la présence d’impuretés engendrent une résistivité non nulle. Dans le modèle de « Drude », l'expression de la résistivité est : m est la masse de l'électron N est le nombre d'électrons libres par unité de volume q la charge de l'électron ç:le temps de relaxation (durée moyenne entre 2 chocs) % 1/ T:

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Critères de choix d'un métal

Selon le domaine de température où elles seront utilisées et des qualités particulières recherchées, on réalise les résistances en platine, en nickel et plus rarement en cuivre et en tungstène. Le platine peut être obtenu avec une très grande pureté (99,999%) garantissant une bonne reproductibilité des caractéristiques; son inertie chimique et l'absence de modifications cristallines assurent la stabilité de ses caractéristiques électriques. Les sondes de platine sont utilisées pour des températures allant de -200°C à 1000°C, lorsque leur enveloppe leur permet (problème de sublimation du platine). L'intérêt du nickel réside dans sa sensibilité thermique supérieure : entre 0°C et 100°C, sa résistance est multipliée par 1,617 alors que celle du platine est multipliée par 1,385; par contre sa réactivité chimique (oxydation en particulier) peut affecter sa stabilité et limite en général son utilisation à des températures inférieures à 250°C. Le cuivre a trouvé des applications à cause de la très grande linéarité de ses variations thermiques de résistance; cependant sa réactivité chimique ne permet pas son emploi au-delà de 180°C et sa faible résistivité amène à utiliser de plus grandes longueurs de fil. 1S;:

pt100

Résistance de platine

Equation de Callendar-Van Dusen : Equation qui peut aussi s’écrire sous la forme : Avec: Avec R0 = R(0°C); ', ( et ) sont des constantes qui dépendent de la calibration de chaque résistance. Par définition, ( = 0 si * > 0°C. Des valeurs de ', ( et ) typiques sont données par :

' = 3,90802.10-3 (°C)-1

( = 0,1 (°C)-4

) = 1,49 (°C)-3

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1SS:

Valeurs de la résistance au platine

R(0°C) = 100!

1SV:

2) Thermistances

- La propriété primordiale de ce type de résistance est une sensibilité thermique très supérieure, de l’ordre de 10 fois, à celles des résistances métalliques; en outre leur coefficient de température est généralement négatif et dépend fortement de T. - Elles sont constituées à partir de mélange d’oxydes poly-cristallins tels que : MgO, MgAl2O4, Mn2O3, Fe3O4, Co2O3, NiO, ZnTiO4. - La très grande sensibilité thermique des thermistances les rend particulièrement aptes à la détection et à la mesure de très faibles variations de température (10-4 à 10-3K).

1SW:

Mesures de résistance Typiquement, une mesure de résistance via un pont de Wheatstone à 4 fils est utilisée.

R = AeEg2kT !!!!!!si!!T "