Cours analyse spectrale Part ICours analyse spectrale Part I

ESPEO 3ème année

Philippe Ravier 2000-2001

Déroulement du cours

1. Définitions : spectre, dsp, corrélation

2. Procédure d’estimation

3. Estimation de la fonction de corrélation

4. Mesure de fonctions de corrélation par TFD

1.Définitions : spectre, dsp, corrélation

Terminologie : ( ) { ( )} est le spectre complexe de ( )X TF x t x t

On définit :

- le spectre d’amplitude

- le spectre de phase

- on parle de spectre de raies pour le spectre d’un signal constitué de fréquences pures

2 2( ) Re ( ) Im ( )X X X

Im ( )( )

Re ( )X

XArctg

X

( ) { ( )}x xS TF

La dsp est définie à partir de la fonction d’autocorrélation comme

Théo. de Wiener-Kintchine

Comparaisons corrélations - dsp

( )x

( )x

( )x

( )xS

( )xS

( )xS

Forte corrélation

Faible corrélation

Corrélation négative

Corrélation, dse et dsp (cas certain) signal déterministe ou certain

• signal à énergie finie

• signal à puissance moyenne finie

• signal périodique (T) : cas particulier du signal à puissance moy. finie

2*( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xx t x t dt S X

2/ 2*

/ 2

( )1( ) lim ( ) ( ) ( ) lim

TT

x T x T

T

Xx t x t dt S

T T

2/ 2*

/ 2

( )1( ) ( ) ( ) ( )

TT

x x

T

Xx t x t dt S

T T

dse

dsp

dsp

2Décomposable en séries de Fourier : ( ) ( )x k

k

kS X

T

signal aléatoire centré

2*( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xE x t x t S E X

Corrélation, dse et dsp (cas aléatoire)

Comment calculer la dsp avec une espérance mathématique ?

Si le signal est stationnaire et ergodique, on peut remplacer E par un moyennage sur plusieurs réalisations indépendantes.On ne dispose que d’une réalisation. On va envisager plusieurs réalisations d’un même processus par tronçonnage de ce processus.

Corrélogramme Périodogramme moyenné

Si le processus aléatoire est stationnaire et ergodique, alors :

/ 2*

/ 2

1( ) lim ( ) ( )

T

xT

T

x t x t dtT

dont on prend la TF

2.Procédure d’estimation

Notions de biais et variance pour un estimateur

En pratique, l’observation peut être considérée comme la réalisation d’un processus aléatoire, que le signal soit déterministe ou aléatoire.

( )X

ˆ ( )X

Spectrevrai Spectre

estimé

Variance

Biais

Formulations mathématiques des statistiques de l’estimateur

Biais (moment du 1er ordre)

Variance (moment du 2ème ordre)

ˆ ˆ( )E X X biais X

2ˆ ˆ ˆVar X E X E X

Erreur entre la grandeur réelle et l’estimée 2ˆEQM E X X

2ˆ ˆ( )EQM Var X biais X

est estimé à partir des observations YX̂

• Si ˆ( ) 0biais X l’estimateur est dit non biaisé

• On a une borne inférieure de la variance :

2,2

1ˆln ( , )Y X

Var Xp y x

Ex

Borne de Cramér-Raopour un estimateur sans biais

• Si la variance atteint la borne de CR, on dit que l’estimateurest efficace

L’estimateur idéal est non biaisé et efficace mais varianceet biais sont liés par l’EQM

Antagonisme biais-variance

• L’estimateur est dit consistent si le biais et la variancetendent vers 0 quand le nombre d’observations tend vers l’infini

Exemple avec l’estimateur de la moyenne

( )xm E X nSignal aléatoire X(n)

Stationnaire et ergodique1

0

1lim ( )

N

xN

n

m x nN

1

0

1ˆ ( )

N

xn

m x nN

Durée limitée de N points

Moyenne estimée

Variable aléatoire sur l’ensemble des réalisations de X(n)

1

0

1ˆ ( )N

xn

M X nN

On trouve2

ˆ ˆ et x x xE M m Var MN

(éch. indép. de var 2)

Exemple avec l’estimateur de la corrélation

Estimateur « naturel »pour un nombre N de points

1* *

0

1 1( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

N

x xT N

nT

x t x t dt m x n x n mT N

1*

0

1ˆ ( ) ( ) ( )N

xn

m x n x n mN

Est-ce un bon estimateur ?

Cet estimateur est biaisé car on ne tient pas compte de la duréefinie des signaux. Pour « rendre » le signal à énergie finie, onutilise des fonctions de pondération qui atténuent les extrémités.

Estimateur non biaisé1

*

0

1ˆ ( ) ( ) ( )N

xn

m x n x n mN m

3.Estimation de la fonction de corrélationOn multiplie le signal temporel par une fonction d’apodisation(pondération ou lissage) g(t)

• atténue les discontinuités qui apparaissent aux 2 extrémités du signal observé• permet de régler le biais de l’estimateur• intervient sur la variance de l’estimateur

0 T

g(t)

Forme généralede la fonctiond’apodisation

Rôle :

La fonction d’auto-corrélation est alors estimée par

* *ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) où ( ) est un facteur de normalisationx K g t x t g t x t dt K

Moyenne de l’estimateur

Variance de l’estimateur

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )x g xE K

Fonction de corrélation de g(t) : ( ) ( ) ( )g g t g t dt

Pour obtenir un estimateur non biaisé, il suffit de fixer : 1( )

( )g

K

22 4ˆ ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( )x x x xVar K g t dt w w w dw

Expression approchée pour le cas gaussien et un support de fonction de corrélationpetit par rapport à la durée d’observation, soit <<T

* *1ˆSi alors ( ) (0) et ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(0)g g x

g T

T g t x t g t x t dt Estimateur approximativement non biaisé

1ˆCas de la fenêtre rectangulaire ( ) ( ) ( )x

T

x t x t dtT

Introduisons quelques grandeurs

- On définit le temps d’intégration

C’est une mesure de la durée de g(t) qui est le temps d’observationsur lequel on effectue l’estimation.

2

2

2 4 4

( )1

(0) ( ) ( )in

g t dt

T

K g t dt g t dt

- On définit la largeur de bande équivalente de bruit

C’est une mesure de la largeur de bande de x(t). Elle est définie à partirde la bande équivalente d’un bruit associé à x(t).

2

2

2 2

( ) (0)

2 ( ) 2 ( )

xx

eq

x x

S dB

S d d

- On définit le temps de corrélation

C’est une mesure de la durée de la fonction de corrélation

1c

eq

TB

Variance relative à la puissance de l’estimateur avec ces notations

2

ˆ ( ) 1( )

(0)

x

xeq inx

VarF

B T

2Si 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1x x x xw w w F 1

Si ( ) ( ) 0 ( )2c x x xT w w F

2

2

( ) ( ) ( )( )

2 ( )

x x x

x

x

w w w dwF

w dw

dépend de la fonction de corrélations de x(t)

La variance est essentiellement contrôlée par le produit BeqTin

2

ˆ ( ) 1

(0)

x c

eq in inx

Var T

B T T

• Pour avoir une variance faible, il faut prendre un temps d’intégration le plus grandpossible, bien plus grand que le temps de corrélation du signal.

• Autre interprétation : Tin / Tc correspond au nombre de supports de la fonction de corrélation contenus dans la durée du signal observé. C’est le nombre de tranches indépendantes (décorrélées) du signal utilisées pour faire l’estimation.

Variance relative (pour un retard quelconque)

22

2 2

ˆ ( ) 1 (0)( )

( ) ( )

1

x xx

eq inx x

VarF

B T

La dispersion relative des estimationsaugmente pour les retards importants.L’estimation est moins bonne pour les grands.

4.Mesure de fcts de corrélation par TFD

1

21

0

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )N

xn

k x n x n k TFD X m

L’estimation par la TFD introduit une estimation de la corrélation circulaire.La notation [n-k] signifie : [n-k] = n-k modulo N

1) Signaux à énergie finie

Forme incorrectevenant du repliementinduit par la translationcirculaire

2) Signaux périodiques

3) Signaux aléatoires

1

21

0

1 1ˆ ( ) ( ) ( ) ( )N

xn

k x n x n k TFD X mN N

L’estimateur est une variable aléatoire qui a un biais et une variance.

Retards > 0 pour 02

Nk

Retards < 0 pour 2

Nk N

Même variance que dans le cas continu

12

02

2 ( )ˆ ( ) 1

(0)

N

xx n

x

c

nVar k

N NN

12

0

2 ( )où

N

xn

c

nN

N

est la longueur du support de corrélation en nombre d’échantillons.

Bilan :- signaux à énergie finie : ajout de zéros pour calcul par TFD- signaux périodiques : estimation erronée sauf si on connaît la période- signaux aléatoires stationnaires : estimation correcte si le calcul est effectué sur unedurée supérieure au temps de corrélation. La variance relative croît pour les retards forts.