Cours 3 : Application des équations générales du...

Master 2 – Dynamique des fluideset énergétique

Reynald [email protected]

Cours 3 : Application des équations générales du mouv ementThéorème d'Hugoniot et formule de BernoulliThéorème de la dynalpie

Théorème d'Hugoniot et formule de Bernoulli

F22 Raptor

complète linéarisée stationnaire

frottement, flux de chaleur

Equations moyennées (RANS)

instationnaire

théorie des profils minces et de la ligne

portante

Simulation des grosses structures (LES)

Simulation numérique directe (DNS)

Les méthodes de prévision en aérodynamique classiqu e

LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT

APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX

Cas général : Equations d'Euler

Ecoulement irrotationnel

Equation du potentielMonodimensionnel Bidimensionnel

Supersonique : Méthode des caractéristiques

Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques

Tridimensionnel : Méthodes numériques

Ecoulement incompressibleEquation de Laplace

Solutions analytiquesMéthode des singularités

PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX

L'approximation de couche limite

Problème completRésolution numérique des

équations de Navier -StokesEquations d'Euler :modèles non

visqueux

Méthode de couplage :fluide parfait - fluide

visqueux

ESSAIS EN SOUFFLERIE

EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

écoulement monodimensionnel : ne dépend que d'une seulevariable d'espace : X A(X) , V(X) , p(X) , ρρρρ(X) , T(X) ...

écoulement stationnaire , non visqueux , non conducteur dela chaleur , pas de force à distance (absence de gravité, deforces électromagnétiques)

écoulement adiabatique : pas d'échanges de chaleur

Equations d’Euler

Les trois équations fondamentales1. conservation de la masse2. équation du mouvement3. énergie : premier principe

Conservation de la masse ou équation de continuité

0A

dAV

dVd ====++++++++ρρρρρρρρ

tetanconsAVqm ====ρρρρ====

ou, sous forme différentielle :

qm : débit massique (kg/s)

Écoulement monodimensionnel

A(X)

XV

Equation du mouvement

γγγγ==== mFapplication au volume MM'L'L

(((( ))))xA(((( ))))dxxA ++++

dpp ++++

dpp ++++ρρρρ++++ρρρρ d

dVV ++++

p

pρρρρV

xdxx ++++

M'M

L'L

x

expression de l'accélération

dtdV====γγγγ

�

dxdV

VtV

dtdx

dxdV

tV

dtdV ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====

stationnairedxdV

VdtdV ==== masse contenue dans MM'LL' Adxρρρρ


Equation du mouvement

γγγγ==== mF

0dp

dVV ====ρρρρ

++++

(((( ))))[[[[ ]]]] pdAApdApApdxdV

VdxA

++++++++−−−−

====ρρρρ

application au volume MM'L'L

équation d'Euler

(((( ))))xA(((( ))))dxxA ++++

dpp ++++

dpp ++++ρρρρ++++ρρρρ d

dVV ++++

p

pρρρρV

xdxx ++++

M'M

L'L

x


Théorème d'Hugoniot

0A

dAV

dVd ====++++++++ρρρρρρρρ 0

dpdVV ====

ρρρρ++++continuité mouvement

ρρρρ====

ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂====

ddpp

as

2vitesse du son

aV

M ====nombre de Mach

0A

dA

a

V1

VdV

2

2====++++

−−−−

(((( )))) 0A

dAM1

VdV 2 ====++++−−−−


(((( )))) 0A

dAM1

VdV 2 ====++++−−−−

1M<<<< 0dAdV <<<<écoulement subsonique

la vitesse augmente quand la section diminue

1M >>>> écoulement supersonique 0dAdV >>>>

la vitesse augmente quand la section augmente

1M ==== 0dA ====écoulement sonique

la section est stationnaire : existence d'un col


écoulement supersoniqueécoulement subsonique

écoulement subsonique-supersonique avec passage par u n col

dM<0

0dA <<<< 0dA <<<<0dM >>>> 0dM >>>>

0dA >>>>0dM <<<< 0dM <<<<0dA >>>>

0dA <<<<0dM >>>>

0dA >>>>0dM >>>>1M ====

0dA ====

Théorème d'Hugoniot : tuyère d'une soufflerie superson ique

Tuyère Mach 2 de la soufflerie S5Ch de l'Onera-Meudon

Théorème d'Hugoniot : tuyère d'un lanceur spatial

Boeing (Rocketdyne) RS68

relation entre la pression et la vitesse dans un écoulement incompressible non visqueuxvalable le long d’une ligne de courant

V1

V2

Ligne de courant

pression statique

pression dynamique

pression d’arrêt ou totale

Détour vers l’incompressible : équation ou formule de B ernoulli

équation du mouvement : 0dp

dVV ====ρρρρ

++++

écoulement incompressible : ρρρρ = ρρρρ0 = constante

ρ+ = =2

0 tan2 i

Vp p cons te

- dans le cas général, la constante de l’équation de Bernoulli change d’une ligne de courant à l’autre

- dans le cas d’un écoulement irrotationnel , cette constante reste la même pour toutes les lignes de courant

Formule de Bernoulli : cas d’un écoulement irrotationn el

ρ+ =2

tan2

Vp cons te à travers tout l’écoulement

vitesse pression

et inversement…

interprétation énergétique : le travail fournitpar les forces de pression est égal aux variationsd’énergie cinétique dans l’écoulement

Formule de Bernoulli : interprétation physique

Formule de Bernoulli : illustration

observation : dépression effort de succion entre les plaquesqui se ferment alors

interprétation : si la vitesse augmente, alors la pression statique diminue

21

2p V gz constρ ρ+ + =

'p p gzρ= +

La pression est modifiée avec l’altitudepar la loi d’hydrostatique :

La formule de Bernoulli devient :

pression de pesanteur

Formule de Bernoulli : cas avec force de gravité

z1

z2V1=0

V2=?

Que vaut V 2 ?

Applications de la formule de Bernoulli

Le théorème de Torricelli

z1

z2V1=0

V2


Le théorème de Torricelli

jet parabolique

on considère la ligne de courantdessinée en rouge pour laquelleon écrit la formule de Bernoulliavec force de gravité :

2 21 1 1 2 2 2

1 1

2 2p V gz p V gzρ ρ ρ ρ+ + = + +

1 2 ap p p= =

2 2V g z= ∆

or : donc :

profil parabolique


Le théorème de Torricelli : illustration

Soit une aile dans un écoulement dans les condition s standard au niveau de la mer avec une vitesse de 50 m/s.A un certain point de l’aile, la pression est de 0,9x105N/m2.Calculer la vitesse de l’écoulement en ce point.

V=50m/s


Calcul de la vitesse autour d’un profil

Au niveau de la mer :ρ=1,23kg/m 3 et p=1atm=1,013x10 5N/m2

2 21 1

2 2p V p Vρ ρ∞ ∞+ = +

( ) 22 p pV V

ρ∞

∞

−= +

142.8 /V m s=


Calcul de la vitesse autour d’un profil : solution

2V

pp2

0i ρρρρ++++==== (((( ))))pp2

V i0

−−−−ρρρρ

====Le tube de Pitot

p i

p i

p

p

∆∆∆∆p = p i - p

capteur de pression différentiel

pression à la paroi du canal

V

chaîne de mesure


Sondes du type tube de Pitot utilisées en souffleri e

sonde Pitot ronde sonde Pitot aplatie poursondage de couche limite


Sondes lécheuses utilisées en soufflerie (proche paroi )

sonde pression statique

sonde pression d’arrêt


sonde température

L'antenne de Prandtl : mesure de la vitesse sur un avi on

2V

pp2

0i ρρρρ++++==== (((( ))))pp2

V i0

−−−−ρρρρ

====

mesure par l'antenne de ∆∆∆∆p = p i - p vitesse de l'écoulement

p i

p i

p

pchaîne de

mesure



Antenne de Prandtl ou sonde de Pitot

Localisation au voisinage du bord d’attaque de l’ail e

Mesure de la vitesse sur un avion en écoulement sup ersonique

mesures de p 1 et p i2 et inversion de la formule de Rayleigh (théorie du choc droit)

p i1

p i2

p1

La sonde de Mach

p2

M1 >>>> 1

L’orifice permettant de mesurer la pression statiqu e p2doit se trouver suffisamment en aval (au moins à 10 diamètres)de l’origine du corps cylindrique de la sonde p2 ≈≈≈≈ p1

M1 et vitesse de l'écoulement

En un point d’arrêt de l’écoulement, la vitesse est nulle

Exemples au bord d’attaqued’une aile d’avion


Notion de point d’arrêt d’un écoulement

Le tube de Venturi ou Venturi

22

02

21

01 V

2pV

2p

ρρρρ++++====ρρρρ++++

équation de Bernoulli

sections A 1 et A 2 connues

mesure des pressions p 1 et p 2

(A1) (A2)

p2p1

( )2 11 2

10

2

2 p pV

A1

A

−=

ρ −

V1 débit volumique q v = A1V1 (m3/s)

222111 AVVA ρρρρ====ρρρρ

conservation du débit

(((( ))))021 ρρρρ====ρρρρ====ρρρρ



Le ressaut hydraulique

L’eau qui coule du robinet… Autour de l’impact de l’ea u au fond de l’évier, on observe une brusque augmentation du niveau de l’eau

c’est le phénomène du ressaut hydraulique

instabilités et influence de la tension de surface


Le mascaret

Quand la marée remonte un fleuve, si celle-ci est suf fisamment forte, alors on peut observer le phénomène du mascaret qui fait le bonheur des surfeurs !Le mascaret est un ressaut qui remonte le cours du fleuve avec la marée

en France : sur la Garonne et la Dordogne

Théorème de la dynalpie

Applications des équations de conservation

Le théorème de la dynalpie

hypothèses : écoulement stationnaire , pas de forces à distance

(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====ρρρρ)S()S(

dSPdSVn.V��

�

�

équation fondamentale de la mécanique pour un systèm e à masse variable

(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυυυυυυυυυρρρρ++++−−−−====ρρρρ++++

υυυυρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

)()()()(. dfdSPdSVnVdV

t SS

��

�

��

(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυυυυυυυυυρρρρ++++−−−−====ρρρρ++++

υυυυρρρρ

∂∂∂∂∂∂∂∂

)()()()(. dfdSPdSVnVdV

t SS

��

�

��


Le théorème de la dynalpie

vecteur dynalpie (((( ))))VnVPD�

�

��

.ρρρρ++++====

en écoulement stationnaire, l'intégrale du vecteur dy nalpie surune surface fermée ne contenant aucun obstacle est n ulle

0dSD)S(

====∫∫∫∫∫∫∫∫�

(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====ρρρρ)S()S(

dSPdSVn.V��

�

�

(((( ))))[[[[ ]]]] 0dSVnVPS

====ρρρρ++++∫∫∫∫∫∫∫∫ )(.�

�

��

Expression des efforts aérodynamiques sur un corps

la surface (S 2) se confond avec la surface du corps

le théorème de la dynalpie est appliqué au volume dé finipar la réunion de (S 1) et (S2)


dynalpieD�

dS

(((( ))))1S

(((( ))))2S

R�

Expression des efforts aérodynamiques sur un corps

le flux de quantité de mouvement sur (S 2) est nul :surface imperméable

∫∫∫∫∫∫∫∫ ====)( 2S

RdSP��

résultante des efforts aérodynamiques

théorème de la dynalpie

∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ====++++)( )(1 2S S

0dSPdSD��

∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−====)( 1S

dSDR��

en écoulement stationnaire, sans forces à distance, la résultantedes forces aérodynamiques est égale à l'opposé de l'int égrale duvecteur dynalpie sur une surface fermée entourant le c orps


Action d'un écoulement sur une nacelle propulsive : p ousséeet traînée de captation

(S1) s'appuie sur les lèvres d'entrée de la prise d'air(S2) s'appuie sur les lèvres de sortie de la tuyère

(S3) se confond avec toutes les surfaces internes imperméablesen contact avec le fluide


I (entrée d'air) E (tuyère)

moteur

(((( ))))1S (((( ))))2S

(((( ))))3S


l'effort propulsif résulte des actions de contact in ternes

dSPR)S( 3

∫∫∫∫∫∫∫∫====��


le flux de quantité de mouvement à travers (S 3) est nul

théorème de la dynalpie

(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−====ρρρρ++++++++ρρρρ++++)( )()(

..2S SS 31

dSPdSVnVPdSVnVP�

�

��

�

��

++++−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫)( )(2 1S S

dSDdSDR��


x�

est le vecteur unitaire porté par la vitesse amont dirigé selon

∞∞∞∞V�

∞∞∞∞V�

Poussée interne de la nacelle propulsive

TFP −−−−====


Poussée de la tuyère xdSDF2S

�

�

.)(

==== ∫∫∫∫∫∫∫∫

Traînée de captation xdSDT1S

�

�

.)(

−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫


Traînée d'un corps en écoulement uniforme

(S3) : surface ou tube de courant

écoulement uniforme dans (S 1)

pression redevenue uniforme dans (S 2) p = p ∞∞∞∞

(((( ))))1S (((( ))))2S

(((( ))))3S

(((( ))))1C (((( ))))2C

(((( ))))2P(((( ))))1P

∞∞∞∞V�

R



(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ−−−−====ρρρρ ∞∞∞∞∞∞∞∞ )S()S( 21

dSn.VdSn.V�

�

�

�

conservation du débit dans le tube de courant (S 3) :

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∩∩∩∩ ∞∞∞∞∩∩∩∩++++====

)S()S()S()S( 2121

dSnpdSD�

�

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ++++ρρρρ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ )S()S( 21

dSVn.VdSVn.V�

�

��

�

�

bilan sur (S 1) et (S2) :



∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫====)( )(3 3S S

dSnpdSD�

�

(S3) : surface de courant aucun flux de mass e ne la traverse

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ρρρρ−−−−====ρρρρ)S()S( 21

dSVn.VdSVn.V�

�

��

�

�

le vecteur étant constant∞∞∞∞V�

bilan sur (S 3) :



(((( ))))(((( ))))

−−−−ρρρρ++++−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∪∪∪∪∪∪∪∪ ∞∞∞∞∞∞∞∞)()()( )(

.321 2SSS S

dSVVnVdSnpR��

�

�

�

�

∞∞∞∞→→→→ pp(C1) devient très grand à grande distance :(plan de Trefftz )

effort aérodynamique sur le véhicule :



(((( ))))(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞−−−−ρρρρ−−−−====)(

.2S

dSVVnVR��

�

��

∫∫∫∫∫∫∫∫ ∪∪∪∪∪∪∪∪ ∞∞∞∞ →→→→)()()( 321 SSS

0dSnp�

comme p = constante sur (S 1) ∪∪∪∪ (S2) ∪∪∪∪ (S3) surface fermée

traînée T : projection de sur la vitesse amo ntR�

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞ −−−−ρρρρ−−−−====)(

..2S

dSVVnVV

VT

��

�

�

�

�


(((( ))))(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

−−−−ρρρρ−−−−====)S( 2

dSV.VVn.VV1

T��

�

�

∫∫∫∫∫∫∫∫

−−−−

ρρρρρρρρ====

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞)S(x

2 AdS

Vu

1Vu

2C

Méthode de Betz pour la détermination de la traînée d 'un profil

u : composante de la vitesse selon ∞∞∞∞V�

AV21

TC

2x

∞∞∞∞∞∞∞∞ρρρρ====coefficient de traînée

(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞−−−−ρρρρ−−−−====)S( 2

dSVuuT


Méthode de Betz pour la détermination de la traînée d 'un profil

la traînée se déduit d'un sondage du sillage suffisa mment loinen aval du profil

onde de choc

zone rotationnelle

sillage visqueux

traînée d'onde

traînée de frottement

1M <<<<1M >>>> 1M <<<<

∞∞∞∞V�

2y

1y

u

u

Pearcey, 1962

déclenchementtransition

couche limite

décollement dela couche limite

onde de choc

onde de choc

sillageinteraction choc -couche limite


Exemple d’écoulement autour d’un profil transsonique

1M <<<<

1M >>>>

1M <<<<

document Onera


Ecoulement autour d’un profil supercritique

1M <<<<

24,1M0 ====

1M >>>>

1M >>>>

1M <<<<

document ISL

Ecoulement autour d’un projectile en vol supersonique



(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ∞∞∞∞

∞∞∞∞

∞∞∞∞ −−−−ρρρρ−−−−====)(

..2S

dSVVnVV

VT

��

�

�

�

�

(((( ))))∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ −−−−====δδδδ====δδδδ−−−−δδδδ VVVVVhhT

��

..

Relation d'Oswatitsch pour la traînée généralisée

1V

VV <<<<<<<<−−−−

∞∞∞∞

∞∞∞∞ ∞∞∞∞−−−−====δδδδ VVV��

à grande distance posons

VVhh T

��

δδδδ++++δδδδ====δδδδ .enthalpie totale

ρρρρδδδδ++++δδδδ====δδδδ p

sThthermodynamique

sTh δδδδ====δδδδ ∞∞∞∞car δδδδp = 0 entre (S 2) et (S1)


Relation d'Oswatitsch pour la traînée généralisée

débit massique traversant l'élément de surface dS(((( ))))dSnVdq m

�

�

.ρρρρ====

(((( )))) sThhhVV.V TT δδδδ−−−−δδδδ====δδδδ−−−−δδδδ====−−−− ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

��

(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ δδδδ−−−−δδδδ==== ∞∞∞∞∞∞∞∞

)( 2S mT dqhsTV1

T

(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ δδδδ==== ∞∞∞∞∞∞∞∞

)( 2S mdqsTV1

T

la traînée d'un véhicule est directement liée au flux de l'entropiequ'il produit au travers d'une surface l'entourant

écoulement adiabatique 0h T ====δδδδ

on a :


(((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ δδδδ==== ∞∞∞∞∞∞∞∞

)( 2S mdqsTV1

T

Source de la traînée

la traînée est une conséquence de la production d'ent ropie

en absence de flux de chaleur, la seule source d'entro pie estla viscosité du fluide

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

ττττρρρρ

====i

i

i

jij x

qx

u1dtds

Téquation de l'énergie(pas de réactions chimiques)

fluide non visqueux absence de traînée

Paradoxe de d'Alembert

tourbillon d'extrémité traînée induite

nappe de sillage traînée visqueuse


Traînée visqueuse et traînée induite

couches limites sur l'aile donnant la nappe de silla ge ou sillage

traînée visqueuse

ondes de choc

traînée d'onde (ou de choc)

tourbillons issus des extrémités de l'aile résultant du contournement

traînée induite par la portance

dans tous les cas, c'est la viscosité qui est à l'orig ine de la traînée


Source de la traînée


Détermination de la traînée d'une aile

méthode de Betz traînée déduite d'une exploration de l'écoulement dans un plan situé loin en aval de la m aquette

exploration par sonde de Pitot ou sonde de pression mu lti-trouspression statique p et pression d’arrêt p i

mesures optiques non intrusives PIV - LDVchamp de vitesse u

cette méthode s'applique aussi à partir d’un champ c alculé par résolution des équations de Navier-Stokes

maquette Airbus munie de nacelles TFN ( Through Flow Nacelle)

Détermination de la traînée par sondage du sillage d e l’aile

dispositif de sondage

demi maquettemontée à la paroi

péniche

soufflerie transsonique Onera - S1MA


dispositif de sondage en aval de la maquette dans l asoufflerie S1MA du Centre Onera de Modane-Avrieux

mât verticaltête de roulis du DSGM

sonde 5 trous

lame porte sonde

DSGM


Détermination de la traînée par sondage du sillage d e l’aile

Distributions de pression d'arrêt dans le sillage de l ’aile

sillage visqueux

sillage du choc


Répartition de pression d'arrêt dans le sillage de l' aile

sillage visqueux et tourbillon de bout d'aile

traînée visqueuse

traînée induite

© Airbus France 2001

45,0C,70,0M z ========∞∞∞∞


Airbus A380

Fin du cours

Cours 3 : Application des équations générales du...

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