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Courbes en coordonnées polaires

1. Coordonnées polaires.

2. Courbes en coordonnées polaires.

3. Premiers exemples.

4. Théorème de relèvement.

5. Tangentes et étude locale.

6. Points d’inflexion, concavité par rapport à l’origine.

7. Plan d’étude d’une courbe en polaires.

8. Courbes classiques.

Pierre-Jean Hormière _____________ 1. Coordonnées polaires.

EEEE désigne un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct RRRR = (O, i , j ).

Pour tout θ, on pose )(θu = cos(θ). i +sin(θ). j et )(θv = )2

( πθ +u = − sin(θ). i +cos(θ). j .

θ → (O, )(θu , )(θv ) est un repère orthonormé mobile, de classe C∞

, appelé repère radial, et :

)(θθ k

k

dud

= )2

( πθ ku + . En particulier : θdud = v et θd

vd = −u .

Définition : On appelle système de coordonnées polaires (relativement à RRRR) du point M(x, y)∈EEEE

tout couple (r, θ) ∈ R2 tel que OM = r. )(θu , i.e. x = r.cos θ , y = r.sin θ.

Proposition 1 : i) Le point O admet pour coordonnées polaires tous les couples (0, θ) ∈ R2 .

ii) Un point M ≠ O admet deux séries infinies de systèmes de coordonnées polaires. Si (r0, θ0) est l’un d’eux, les autres sont (r0, θ0 + 2pπ) et (−r0, θ0 + π + 2qπ) , où p et q décrivent Z.

Or un tel couple (r0, θ0) est facile à trouver : r0 = ²² yx + et θ0 ∈ ]−π, π] par exemple.

L’application Φ : (r, θ) ∈ R2 → (x, y) = (r.cos θ, r.sin θ) ∈ R

2 est de classe C

∞.

Les formules x = r.cos θ, y = r.sin θ ne sont pas faciles à inverser.

Proposition 2 : Les 4 applications suivantes Φi, 1 ≤ i ≤ 4, sont des C∞

-difféomorphismes :

Φ1 : (r, θ) ∈ R*+×]0, π[ → (r.cos θ , r.sin θ) ∈ Ω1 = R×R*+ ;

Φ2 : (r, θ) ∈ R*+×]−π, 0[ → (r.cos θ , r.sin θ) ∈ Ω2 = R×R*− ;

Φ3 : (r, θ) ∈ R*+×]−2π ,

2π [ → (r.cos θ , r.sin θ) ∈ Ω3 = R*+×R ;

Φ4 : (r, θ) ∈ R*+×]2π ,

23π [ → (r.cos θ , r.sin θ) ∈ Ω4 = R*−×R*+ .

Preuve : Soit M(x, y) un point du demi-plan y > 0. Les formules x = r.cos θ, y = r.sin θ s’inversent en

r = ²² yx + , θ = Arccos²² yx

x+

, si l’on exige r > 0, 0 < θ < π.

Soit M(x, y) un point du demi-plan x > 0. Les formules x = r.cos θ , y = r.sin θ s’inversent en

2

r = ²² yx + , θ = Arcsin²² yx

y

+, si l’on exige r > 0, −

2π < θ <

2π .

Les assertions 2 et 4 sont laissées en exercice.

Proposition 3 : Les 2 applications Φi , i = 5, 6, sont des C∞

-difféomorphismes :

Φ5 : (r, θ) ∈ R*+×]−π, π[ → (r.cos θ , r.sin θ) ∈ L = C − R−−−− ;

Φ6 : (r, θ) ∈ R*+×]0, 2π[ → (r.cos θ , r.sin θ) ∈ L ’ = C − R+ .

Preuve : 1) Soit M(x, y) un point du plan fendu L = C − R−−−− . Cherchons un couple (r, θ) tel que x = r.cos θ, y = r.sin θ, avec r > 0, −π < θ < π.

On a forcément r = ²² yx + . De plus, on a cos θ = 2.cos2

2θ − 1 =

rx , sin θ = 2.sin

2θ .cos

2θ =

ry

D’où 2θ = Arctan

rxy+ = Arctan

²² yxx

y

++.

Ainsi, Φ5 est une bijection de classe C∞

, de réciproque r = ²² yx + , θ = 2.Arctan²² yxx

y

++.

L’application réciproque est de classe C∞

comme composée.

2) Soit M(x, y) un point du plan fendu L = C − R+ .

Cherchons un couple (r, θ) tel que x = r.cos θ, y = r.sin θ, avec r > 0, 0 < θ < 2π.

On a forcément r = ²² yx + . De plus, on a 2θ = Arccotan

yrx+ = Arccotan

yyxx ²²++

.

Ainsi Φ6 est une bijection de classe C∞

, de réciproque r = ²² yx + , θ = 2.Arccotany

yxx ²²++.

Remarque : Plus généralement, notons ur

(α) = (cos α, sin α), et Lα le plan fendu C−R+.ur

(α) .

Φ induit un C∞

-difféomorphisme de R*+×]α, α+2π[ sur le plan fendu Lα.

2. Courbes en coordonnées polaires. 1 2.1. Courbes paramétrées.

Soit I un intervalle de R, ou une réunion d’intervalles, t → (r(t), θ(t)) une application de I dans R2.

La courbe polaire associée est l’arc paramétré t → M(t) = O + r(t).u (θ(t)) Il a pour équations cartésiennes x(t) = r(t).cos θ(t) , y(t) = r(t).sin θ(t) .

En géométrie, le plus souvent t = θ ou, plus rarement t = r.

La courbe r = f(θ) est l’arc )(θOM = f(θ). )(θu : x(θ) = f(θ).cos θ , y(θ) = f(θ).sin θ .

La courbe θ = g(r) est l’arc )(rOM = r. ))(( rgu : x(r) = r.cos g(r) , y(r) = r.cos g(r) .

En cinématique, t est le temps, et )(tOM = r(t). ))(( tu θ . 2.2. Courbes implicites.

Soit D ⊂ R2, F : D → R. On appelle courbe d’équation implicite F(r, θ) = 0 l’ensemble C des points

M dont l’un au moins des systèmes de coordonnées polaires (r, θ) vérifie F(r, θ) = 0.

Il résulte des considérations du § 1 que C possède deux séries infinies d’équations polaires :

1 Ces courbes, quel fouillis !

3

F(r , θ + 2pπ) = 0 et F(− r , θ + π + 2qπ) = 0 , où (p, q) ∈ Z2.

Il est cependant fréquent que ces deux séries infinies se réduisent à deux ou une équation.

Application : intersection de deux courbes.

Pour trouver les points d’intersection des courbes C1 : F1(r, θ) = 0 et C2 : F2(r, θ) = 0, il ne suffit pas

de résoudre le système F1(r, θ) = 0 , F2(r, θ) = 0, mais il faut intersecter une équation de C1 avec

toutes les équations de C2. Il faut donc résoudre deux séries infinies de systèmes :

F1(r, θ) = 0 et F2(r, θ + 2pπ) = 0 où p décrit Z.

F1(r, θ) = 0 et F2(− r, θ + π + 2qπ) = 0 où q décrit Z.

En particulier, pour chercher les points multiples de C, il faut intersecter C et C, donc résoudre les systèmes ci-dessus (avec p ≠ 0). 2.3. Equations polaires et cartésiennes.

− Si C a pour équation cartésienne H(x, y) = 0, C a pour équation polaire H(r.cosθ, r.sinθ) = 0, équation du reste unique. − Le passage inverse est plus délicat, comme on l’a vu au § 1. 2.4. Transformations ponctuelles.

Les coordonnées polaires sont bien adaptées à certains types de transformations géométriques : − les homothéties et les rotations de centre O. − plus généralement, les similitudes directes ou indirectes de centre O. − les inversions de pôle O.

Définition : On appelle inversion de pôle O et de puissance k l’application qui au point M O

associe le point M’ aligné avec O et M tel que OM . 'OM = k.

En termes vectoriels 'OM = k.²OM

OM . En coordonnées polaires, M(r, θ) a pour image M’(rk , θ).

L’inversion est une involution continue de EEEE − O qui abonde en propriétés géométriques. Cf. mes chapitres sur la géométrie du cercle, et la géométrie anallagmatique.

3. Premiers exemples. 3.1. Les droites.

Droites passant par O. θ = θ0 est l’équation de la droite R.u (θ 0). Celle-ci a deux séries infinies

d’équations, à savoir θ = θ0 + 2pπ et θ = θ0 + π + 2qπ

Droites ne passant pas par O. x = a ⇔ r = θcosa , y = b ⇔ r = θsin

b .

Plus généralement D : ax + by = c a pour équation polaire r = θθ sin.cos. bac+ .

Il n’y a ici qu’une équation polaire. 3.2. Les cercles.

Cercles passant par O. Ils ont pour équation cartésienne x2 + y

2 − 2ax − 2by = 0,

donc pour équation polaire r = 2a.cos θ + 2b.sin θ = 2R.cos(θ − α). Cette équation s’obtient aussi par rotation d’angle α d’un cercle centré sur Ox, lequel a pour équation r = 2R.cosθ.

4

On voit aussitôt que les inversions de pôle O échangent droites ne passant pas par O et cercles passant par O (privés du point O).

Cercles ne passant pas par O. Ils n’ont pas d’équation polaire simple : on n’évite pas les radicaux. Mieux vaut donc rester en cartésiennes. 3.3. Définition homofocale des coniques.

Soit D une droite, F un point n’appartenant pas à D, e un réel > 0. Cherchons l’ensemble des points dont le rapport des distances à F et à D est constant et égal à e : Γe = M ; MF = e.d(M, D) .

Prenons F pour pôle, et (F, i ) pour axe polaire, où i est orthogonal à D et FK = d > 0.

MF = e.MH ⇔ MF2 = e

2.MH

2 ⇔ r

2 = e

2.(d − r.cos θ)

2 ⇔ r = ± e.(d − r.cos θ)

⇔ r.( 1 ± e.cos θ ) = ± ed ⇔ r = θcos.1 eed

±± .

Ainsi Γe est la réunion des deux courbes d’équation polaire r = θcos.1 eed

+ et r = θcos.1 eed

−−

Mais r = θcos.1 eed

+ et r = θcos.1 eed

−− sont les équations polaires d’une même courbe, en vertu du fait

que r = f(θ) a deux séries infinies d’équations polaires : r = f(θ + 2pπ) et −r = f(θ + π + 2qπ).

Conclusion : Γe a pour équation polaire r = θcos.1 eed

+ = θcos.1 ep

+ ( p = ed ).

Γ0 a pour équation polaire r = p. Plus généralement, si l’on ne suppose plus la directrice verticale,

l’équation polaire d’une conique de foyer F = O est : r = )cos(.1 0θθ −+e

p = θθ sin.cos.1 BA

p++ .

4. Théorème de relèvement.

Théorème de relèvement : Soit f une application de classe C

k (1 ≤ k ≤ +∞) d’un intervalle I de R

dans U. Il existe une application θ : I → R, de classe Ck, telle que (∀t ∈ I) f(t) = exp(i.θ(t)).

Les autres sont de la forme θk(t) = θ(t) + 2kπ (k ∈ Z).

Démonstration : 1) La seconde affirmation est facile : Si (∀t ∈ I) f(t) = exp(i.θ(t)) = exp(i.ϕ(t)), où θ

et ϕ sont de classe Ck sur I, alors θ − ϕ est continue sur I, et à valeurs dans 2πZ. Elle est constante,

en vertu du théorème des valeurs intermédiaires.

2) Pour montrer l’existence de la fonction θ, supposons le problème résolu.

En dérivant, il vient : f’(t) = i.θ’(t).exp(i.θ(t)) = i.θ’(t).f(t) , donc θ’(t) = − i.)()'(

tftf

.

3) Posons donc θ(t) = θ0 − i ∫t

tdu

ufuf

0

.)()'(

, où t0 ∈ I et θ0 est un réel vérifiant f(t0) = exp(i.θ 0).

On a : dtd (f(t).exp(−i.θ(t)) = 0, donc f(t).exp(−i.θ(t)) = f(t0).exp(−i.θ0) = 1 et f(t) = exp(i.θ(t)).

De plus, θ est à valeurs réelles, car f. f = 1 ⇒ f’. f + f. 'f = 0 ⇒ ff'

∈ i.R

Enfin, f est Ck ⇒ f’/ f est C

k−1 ⇒ θ est C

k. Cqfd.

Corollaire : Soit t ∈ I → M(t) ∈ E un arc paramétré de classe Ck

(1 ≤ k ≤ +∞) dont le support ne

contient pas O. Il existe alors des couples (r, θ) d’applications de classe Ck de I dans R telles que :

(∀t ∈ I) )(tOM = r(t). ))(( tu θ , où ( ),(θu ))(θv désigne le repère radial usuel.

5

Preuve : Posons r(t) = || )(tOM ||. Comme x → ||x || est de classe C∞

sur E−O, r est de classe Ck

sur I comme composée. f (t) = )(

)(

tOM

tOM vérifie les hypothèses du théorème précédent.

Remarques : 1) Ce théorème reste vrai pour k = 0, mais la preuve est plus difficile, et d’une autre nature. Elle introduit à la topologie algébrique.

2) Il est indispensable de supposer que l’arc ne passe pas par O, comme le montrent les exos svts.

Exercice 1 : Soit l’arc )(tOM = (t2, 0) pour t ≤ 0, )(tOM = (0, t

2) pour t ≥ 0.

1) Montrer qu’il est de classe C1 ; représentation ? 2) Le théorème de relèvement s’applique-t-il ?

Exercice 2 : Considérons l’arc )(tOM = (e−1/t²

, 0) pour t < 0 , )(tOM = (0, e−1/t²

) pour t > 0.

1) Montrer qu’une fois prolongé en 0, il est de classe C∞

; représentation ? 2) Le théorème de relèvement s’applique-t-il ?

Exercice 3 : Clin d’œil à Rémi Bouhl. Soit l’arc

)(tOM = ((t + 1)2, 0) pour t < −1 , )(tOM = (0, 0) pour |t| ≤ 1, )(tOM = (0, (t − 1)

2) pour t > 1.

1) Montrer qu’il est de classe C1 ; représentation ? 2) Le théorème de relèvement s’applique-t-il ?

Exercice 4 : Trouver tous les couples (f, g) de fonctions continues de R dans R vérifiant :

∀(x, y)∈R2 f(x + y) = f(x).f(y) − g(x).g(y) et g(x + y) = g(x).f(y) + g(y).f(x) .

Exercice 5 : Trouver tous les homomorphismes continus de groupe de (C, +) dans (C* , ×).

Exercice 6 : Soit γ : I = [a, b] → C* un lacet de classe C1, i.e. un arc paramétré tel que γ(a) = γ(b).

Montrer que : πi21 ∫

b

adt

tt

.)()'(

γγ

∈ Z.

Exercice 7 : Intégrer les systèmes différentiels :

x’ = − y + x. ²² yx + x’ = − x − y + (x − y).(x2 + y

2) x’ = x.( 1 − x

2 − y

2 ) − y

y’ = x + y. ²² yx + y’ = x − y + ( x + y).(x2 + y

2) y’ = y.( 1 − x

2 − y

2 ) + x

5. Tangentes et étude locale.

5.1. Généralités : étude locale au pôle.

La courbe passe par le pôle O ss’il existe t0 ∈ I tel que r(t0) = 0. Si l’on suppose les fonctions r et θ

continues en t0, la droite OM(t) tend vers le droite OT d’angle polaire : celle-ci est la tangente géométrique en O. Si l’équation est de la forme r = f(θ), les zéros θ0, θ1, … , de f fournissent autant de tangentes en O à la courbe. Si l’équation est de la forme θ = g(r), la valeur g(0) donne la seule tangente éventuelle de C en O (à condition que g soit définie en 0).

Précisons l’allure locale de C au V(0) dans le cas d’une courbe donnée par r = f(θ).

Supposons f de classe Ck, k ≥ 1, et qu’il existe un plus petit entier p ≥ 1 tel que f

(p)(θ0) ≠ 0.

Alors, par Taylor-Young f(θ0 + h) = !p

hp

[ f(p)(θ0) + o(1) ].

• Si p est impair, f s’annule en changeant de signe, il y a allure ordinaire, la courbe reste du même côté de la tangente.

6

• Si p est pair, f s’annule sans changer de signe : il y a rebroussement de première espèce. 5.2. Points stationnaires, points réguliers.

Plaçons-nous dans le repère radial. De )(tOM = r(t). ))(( tu θ , on déduit les formules :

dt

dM = r’(t). ))(( tu θ + r(t).θ’(t). ))(( tv θ ²

²dtMd = (r’’ − r.θ’

2). ))(( tu θ + (r.θ’’ + 2.r’. θ’). ))(( tv θ

Elles donnent les composantes radiales et orthoradiales de la vitesse et de l’accélération.

Conséquences : M est stationnaire (ou critique) ssi r’ = r.θ’ = 0.

En particulier, si r = r’ = 0, O est point stationnaire.

• Si t = θ, r = f(θ) . θddM = f’(θ).u + f(θ).v . Les seuls points critiques sont ceux pour lesquels f(θ)

= f’(θ) = 0. Il n’y a pas de point critique autre que O.

• Si t = r , θ = g(r) . dr

dM = u + r.g’(r).v . Il n’y a pas de point critique du tout

Etude locale en un point M ≠ O. Si M est régulier, notons V = (OM ,dt

dM ) ; dt

dM = r’. u + r.θ’. v .

cos V = '²².'²

'θrr

r+

, sin V = '²².'²

'.θ

θrr

r+

, tan V = r.dtdrdtd

//θ = r.

drdθ .

En particulier, si r = f(θ) , tan V = )'()(

θθ

ff

; si θ = g(r) , tan V = )'(rg

r .

6. Points d’inflexion, concavité par rapport à l’origine.

On rapporte le plan euclidien orienté à un repère orthonormé direct (O, i , j ), et notons (u (θ),v (θ))

le repère radial, et [x , y ] le produit mixte (i.e. le déterminant dans une base orthonormée directe).

M(r(t), θ(t)) est point d’inflexion ssi E(t) ≡ [dt

dM , ²

²dtMd ] = 0.

Tous calculs faits dans le repère radial, cela équivaut à r2.θ'3 + r.r'.θ" − r.r".θ' + 2.r'

2.θ' = 0.

Dans le cas d’une courbe r = f(θ), on a θ = t et E(θ) = 3

''ϕ

ϕϕ+ , où ϕ =

r1 .

On dit que la courbe polaire C tourne sa concavité vers le pôle au point M si, au voisinage de ce point, C est du même côté que O par rapport à sa tangente.

Il faut pour cela écrire que [²

²dtMd ,

dtdM ] et [ OM ,

dtdM ] ont même signe.

Dans le cas d’une courbe r = f(θ), cela conduit à la discussion :

si E(θ) = 3

''ϕ

ϕϕ+ > 0 , C tourne sa concavité vers O,

si E(θ) = 3

''ϕ

ϕϕ+ < 0 , C tourne sa concavité à l’opposé de O.

Exercice : Montrer que les points d’inflexion de r = θθθ sin.cos.)cos(1

ban ++ sont alignés.

7

7. Plan d’étude d’une courbe en polaires r = f(θθθθ).

Rappelons qu’étudier la courbe r = f(θ), c’est étudier l’arc paramétré :

)(θOM = f(θ).[ cos(θ). i + sin(θ). j ] = f(θ). )(θu .

1. Domaine de définition et d’étude.

1.1. Recherche du domaine de définition de f , D(f).

1.2. Recherche du domaine d’étude. Notons G le groupe additif des périodes de f. En général, f

est continue et non constante, donc G est fermé, et distinct de R, donc monogène G = p0.Z.

a) Si f est non périodique, G = 0, faire prendre à θ toutes les valeurs et passer à d).

b) Si f est périodique et G = p0.Z, p0 > 0 étant la période fondamentale.

− si p0 = 2πa, a ∉ Q, p0 est incommensurable à π. La courbe se compose d’une infinité d’arcs se

déduisant par les rotations Rot(O, k.p0) de l’arc donné par θ ∈ [θ0, θ0 + p0] ∩ D(f). On représentera quelques-uns de ces arcs.

− si p0 = 2π ou 2kπ ( k ∈ Z ), les angles θ et θ + p0 donnent le même point.

L’intervalle θ ∈ [θ0, θ0 + p0] ∩ D(f) donne toute la courbe.

− si p0 = nkπ2 ( k ∧ n = 1 ), la courbe est formée de n arcs se déduisant de l’arc θ ∈ [θ0, θ0 + p0]

∩ D(f) par Rot(O, k.p0).

c) Examiner si f a des anti-périodes, i.e. si f(θ + 2

0p) = − f(θ).

Si tel est le cas, M(θ + 2

0p) se déduit de M(θ) par Rot(O,

20p

+ π).

Etudier l’arc sur θ ∈ [θ0, θ0 + 2

0p ] ∩ D(f), et compléter par la rotation indiquée.

d) Symétries par rapport aux droites passant par O.

♣ Si f est paire, la courbe est invariante par Sym/Ox ; ♦ Si f est impaire, la courbe est invariante par Sym/Oy ; ♥ Si f(2β − θ) = f(θ), la courbe est invariante par la symétrie d’axe d’angle polaire β ;

♠ Si f(2β − θ) = −f(θ), elle est invariante par la symétrie d’axe d’angle polaire β + 2π .

Ces transformations engendrent un groupe auquel correspond un groupe de transformations qui conservent la courbe. On conjuguera ces propriétés avec celles de b) et c) pour réduire le domaine d’étude.

2. Etude du signe de f(θθθθ).

Décomposer le domaine d’étude en sous-intervalles sur lesquels f est continue et de signe constant. Si f(θ) se présente comme un quotient, on étudiera le signe du numérateur et celui du dénominateur. On les présentera de préférence sous forme de produit. Chaque fois que θ passe par un zéro de f, M passe au pôle, et la tangente en O est la droite d’angle polaire θ, par continuité de f. On étudie les limites de f(θ) aux bornes du domaine, et on dresse un tableau des signes de f, du type ci-dessus :

L’étude des variations de f n’est pas impérative.

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Lorsqu’elle praticable et demandée, elle permet de préciser le tracé. Ainsi, les valeurs de θ annulant f’ et pas f correspondent aux points où la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur ? On peut alors distinguer les formes ci-dessus. 3. Etude des branches infinies .

Elles correspondent à r = f(θ) → ±∞ quand θ → θ0. Alors xy

= tan θ → tan θ0. Il y a une direction

asymptotique θ = θ0. Pour en préciser la nature, on se place dans le repère radial (O, )( 0θu , )( 0θv ). L’ordonnée de M dans le repère radial est

OH = OM . )( 0θv = f(θ).sin(θ − θ0).

On étudie si OH = f(θ).sin(θ−θ0) = f(θ0 + h).sin h

a une limite quand θ → θ0, i.e. h → 0.

• Si OH → ±∞ , il y a « branche parabolique ».

• Si OH → λ ≠ 0 , il y a asymptote d’ordonnée λ

dans le repère radial ; le signe de OH − λ au V(±∞) fournit la position locale de la courbe par rapport à cette asymptote. 4. Points asymptotes, cercles asymptotes, branches spirales.

Ils correspondent resp. à θ → ±∞ et r → 0 , ou θ → ±∞ et r → a ≠ 0 , ou θ → ±∞ et r → ±∞ .

5. Tracé qualitatif.

Insistons sur le fait qu’un tracé manuel doit résumer toutes les informations contenues dans l’étude précédente, et donc parfois légèrement caricaturer la courbe véritable, pour en mieux faire ressortir les traits marquants.

6. Etude éventuelle des points multiples.

Les points multiples s’obtiennent en coupant la courbe C : r = f(θ) avec toutes ses équations. Rappelons que C a deux séries infinies d’équations polaires, à savoir : r = f(θ + 2kπ) , k ∈ Z et r = − f(θ + π + 2lπ) , l ∈ Z. Il suffit d’intersecter une équation de C avec toutes les équations de C.

7. Etude éventuelle de la concavité par rapport à l’origine, et des points d’inflexion : cf. § 7.

8. Rectification, courbure.

Rappelons que si f est de classe C1, la courbe C : r = f(θ) est

rectifiable ds2 = dr

2 + r

2.dθ2

Si on l’oriente dans le sens des θ croissants,

ds = θθθ dff .)²()²'( + , etc.

Le rayon de courbure est donné par RRRR = αdds =

dVdds+θ ,

où α = (Ox , T ), et V = (OM , T ).

OM = r. )(θu donne dM = dr. )(θu + r. θθ dv ).( ,

d’où T = ds

dM = dsdr . )(θu + r

dsdθ . ).(θv

Il en résulte que cos V = dsdr , sin V = r.

dsdθ , d’où : tan V =

drdr θ. .

9

9. Aire des courbes en polaires.

L’aire d’une portion de courbe comprise dans un secteur angulaire est A = 21 ∫

2

1

².θ

θθdr .

Cela se déduit aisément des formules A = ∫∫K dydx. , où K est le secteur angulaire considéré, ou de la

la formule A = 21 ∫ −

t

tdxydyx

01

)..( , avec ici t = θ, x = r.cosθ, y = r.sinθ.

Mais cela peut aussi se montrer heuristiquement : donnons à θ un petit accroissement, et notons M le point de la courbe de coordonnées polaires (r, θ) et M’ celui de coordonnées (r + ∆r, θ + ∆θ). L’aire A s’accroît de ∆A, triangle curviligne délimité par les segments OM, OM’ et l’arc MM’. Considérons les arcs de cercle MH et M’H’ de centre O compris entre les demi-droites OM et OM’. L’aire ∆A est comprise entre les aires de

secteurs circulaires OMH et OM’H’, resp. égales à 21 r2.∆θ et

21 (r +

∆r)2.∆θ. On en déduit aussitôt lim θ∆∆A =

21 r2.

Avec Maple

with(plots) ;

f : = theta - > etc. ; polarplot(f(theta), theta = a ..b , scaling = constrained) ;

Recourir à l’instruction display pour tracer plusieurs graphes sur le même dessin.

Pour des compléments, taper : ? polarplot ;

8. Courbes classiques.

8.1. Les spirales.

Les spirales sont une des formes les plus répandues dans la nature : spirales des fougères et des fleurs de tournesol, spirales des coquillages et des cornes du bélier, gerbes dessinées par les collisions de particules ou tourbillons de galaxies2, spirales plus éphémères des boucles de cheveux, etc. A mi-chemin d’Aristote et de René Thom, elles ont inspiré les

réflexions du savant érudit Wentworth d’Arcy Thompson (1860-1948), pro-fesseur de zoologie à l’université de St Andrews en Ecosse, qui leur consacra tout un chapitre de son grand ouvrage Forme et croissance, dont la première édition remonte à 1917 : « En termes généraux, une spirale est une courbe caractérisée par un point d’origine, et dont la courbure diminue à mesure qu’elle s’éloigne de ce point ; en d’autres termes, le rayon de courbure d’une spirale ne cesse d’augmenter. Cette définition est si générale qu’elle convient à la description d’un très grand nombre de courbes, mais elle a par ailleurs le mérite d’exclure un exemple familier qui prête à confusion et que nous assimilons à tort à une spirale vraie : la vis, qui n’est en fait qu’une hélice cylindrique, et qui n’est caractérisée ni par une origine précise ni par une courbure variable. »

2 cf. Des vagues dans la mare galactique, F. Combes (Pour la science, nov. 2005)

10

La spirale logarithmique, ou spirale équiangle.

Cette spirale fut identifiée pour la première fois par Descartes en 1638 dans ses lettres à Mersenne. Plus tard Jacob Bernoulli s’enthousiasma pour elle au point d’en faire graver une sur sa tombe, avec cet épitaphe « Eadem mutata resurgo », dans la cathédrale de Bâle.

On nomme ainsi la courbe dont les rayons vecteurs font un angle donné avec les tangentes.

OM = r. )(θu donne dM = dr. )(θu + r. θθ dv ).( , puis tan V = drdr θ. .

Cette équation différentielle à variables séparées s’intègre facilement :

• Si V = 2π , dr = 0, r est constant ; on trouve les cercles de centre O.

• Si V = 0, dθ = 0, θ est constant : on trouve les droites passant par O.

• Sinon, il vient rdr = dθ.cotanV, donc ln |r| = θ.cotanV + K, r = ± exp[(θ − θ0).cotan V]

On trouve les courbes d’équation polaire r = C.emθ

, où m = cotan V. Leur construction est facile. Propriétés géométriques.

Elles sont nombreuses : l’image d’une spilog par une similitude, ou une inversion, est une spilog. Mais surtout, le groupe des transformations planes conservant globalement une spilog donnée (C) est incroyablement riche :

1) La spilog r = C.emθ

a aussi pour équations r = C.em(θ+2pπ)

, et r = − C.em(θ+π+2qπ)

. Cela revient à dire que (C) est globalement invariante par le groupe des homothéties de centre O et

de rapports e2mpπ

et −em(π+2qπ)

, où p et q décrivent Z. C’est un groupe monogène engendré par

Hom(O, −emπ

). Autrement dit, (C) est auto-homothétique, invariante par « zoom » ou « grand angle », identique dans l’infiniment grand et dans l’infiniment petit : c’est la première courbe fractale de la géométrie. 2) De plus θ → θ + a transforme r en r.e

ma . Donc (C) est invariante par les similitudes directes de

centre O : S(a) = Hom(O, ema

) o Rot(O, a). Ces similitudes forment un groupe à un paramètre qui contient le groupe précédent.

3) Enfin θ → − θ + a transforme r en C2.e

ma/r. Donc (C) est invariante par les inversions de pôle O

et de puissance C2.e

ma.

Exercice : Trouver toutes les similitudes, toutes les inversions, toutes les homographies et anti-homographies conservant (C). Décrire le groupe engendré. Propriétés dynamiques.

Les spilogs se rencontrent aussi comme trajectoires de certains systèmes dynamiques plans. x’ = a.x − b.y s’intègre en passant dans C : si l’on pose z = x + i.y, et α = a + i.b , il s’écrit :

y’ = b.x + a.y z’ = α.z, et s’intègre en z(t) = z(0).eαt

.

d’où : x(t) = C.eat

.cos(bt) , y(t) = C.eat

.sin(bt) . Les trajectoires s’écrivent en polaires : r = C.e

at , θ = b.t.

• Si b = 0, elles sont portées par des demi-droites d’origine O : mouvement rectiligne.

• Si b ≠ 0, et a = 0, elles sont portées par des cercles : mouvement circulaire uniforme.

• Si ab ≠ 0, elles sont portées par les spirales loga-

rithmiques r = C.eaθ/b

.

11

De plus :

• Si a < 0, O est un point d’équilibre stable, i.e. || )(tOM || → 0 quand t → +∞.

• Si a > 0, O est un équilibre instable, i.e. || )(tOM || → +∞ quand t → +∞ si M(0) ≠ O.

Exercice : On considère plus généralement le système différentiel x’ = a.x + b.y , y’ = c.x + d.y.

Montrer que si la matrice A =

dcba a deux valeurs propres complexes conjuguées α ± i.β, il existe

P ∈ Gl2(R) telle que P −1

.A.P =

−

αββα . En déduire que ses trajectoires sont des spilogs dans un

repère oblique.

Exercice : n personnes sont placées aux sommets d’un polygone régulier de n côtés. Chacune d’elle est amoureux du précédent. Ecrire un programme informatique qui représente les positions de chacune par la méthode d’Euler. Application aux tragédies de Racine. Que dire si n est impair ?

Exercice : Groupes à un paramètre de similitudes. Soit GO(E) le groupe des similitudes du plan vec-

toriel euclidien. Chercher les applications f : t ∈ R → f(t) ∈ GO(E) de classe C1, resp. C

0, vérifiant

∀(s, t) f(s + t) = f(s) o f(t). Propriétés métriques.

Supposons (C) et m > 0. Rectifions (C) : ds2 = dr

2 + r

2 dθ2

= C2

(m2 + 1) e

2mθ dθ2

.

Si l’on oriente (C) dans le sens des θ croissants, ds = C. 1²+m .emθ

.dθ .

Si l’on prend M(θ0) comme origine, s(θ) = ∫ +θ

θ0

..1². dtemC mt = Cm

m 1²+ ( emθ

− e2mθ0

).

On en déduit que le pôle O est non seulement adhérent à (C), mais encore peut être pris comme origine des abscisses curvilignes.

L’ abscisse curviligne de M(θ) est alors s(θ) = ∫ ∞−+

θdtemC mt..1². = C

mm 1²+ e

mθ.

Exercice : Montrer que (C) ∪ O est connexe par arcs.

Le rayon de courbure est RRRR = αdds =

dVdds+θ = θd

ds = C. 1²+m .emθ

= m.s.

Il ne cesse d’augmenter, conformément à la définition de d’Arcy Thompson.

Exercice : Montrer que la développée d’une spilog (lieu des centres de courbure), est une spilog semblable. Retrouver ce résultat en cherchant l’enveloppe des normales.

Exercice : Trouver les courbes telles que RRRR = as + b.

Exercice : Trouver les développantes d’une spilog. Tombe de Jacques Bernoulli dans la cathédrale de Bâle Exercices divers sur les spilogs.

Exercice : Vérifier si la spirale gravée sur la tombe de Bernoulli à Bâle est bien logarithmique.

Exercice : Une spilog peut-elle être l’enveloppe de ses propres normales, i.e. égale à sa développée ?

12

Exercice : Trouver l’orthoptique d’une spilog, c’est-à-dire le lieu des points d’où l’on peut mener deux tangentes orthogonales à une spilog.

Exercice : Quelle est la podaire d’une spilog par rapport à son pôle, c’est-à-dire le lieu des projections du pôle sur les tangentes.

Exercice : Caustique par réflexion d’une spilog pour des rayons émanés du pôle ?

Exercice : On fait tourner une spilog autour de son pôle. Lieu des pieds des normales menées par un point fixe.

Exercice : Une spilog roule sans glisser sur une droite. Lieu de son pôle ? Réciproque ?

Exercice : Une spilog roule sans glisser sur un cercle fixe. Lieu de son pôle ?

Exercice : Une spilog roule sans glisser sur une autre. Lieu du pôle ? 3

Exercice : Une loxodromie de la sphère est un courbe coupant les méridiens (et les parallèles) sous un angle constant. Montrer que les projections stéréographiques des loxodromies de la sphère sont des spilogs.

Exercice : Newton a montré que si la force gravitationnelle était inversement proportionnelle au cube, et non au carré de la distance, les planètes s’éloigneraient du Soleil sur des orbites spirales, et entre autres des spilogs. Démontrer ces résultats… Ouf ! on l’a échappé belle ! Autres spirales classiques.

♣ Spirale uniforme ou spirale d’Archimède : r = a θ . Quelle est l’équation polaire d’un cordage que l’on enroule sur lui-même ? (Thomas Heath, History of Greek Mathematics, t. 2, p. 64-75)

♦ Spirale de Galilée : r2 = a

2 θ4 ♥ Spirale de Fermat (1636) : r

2 = a

2 θ

♠ Lituus de Roger Cotes (1722) : r = θa ♣ Spirale de Poinsot (1834) : r =

)( θmcha .

♦ Spirale parabolique : r = a ± θpa2 ♣ Spirale de Parker 4 : θ = − r + ln r.

♥ On déroule un fil autour d’un polygone convexe (triangle, quadrilatère, etc. ). Décrire la courbe décrite par un point de ce fil. 8.2. Conchoïdes.

Les conchoïdes (de κογχη, conque) furent introduites par les Grecs en vue de résoudre le problème déliaque de la duplication du cube et celui de la trisection de l’angle. Elles furent aussi utilisées dans la construction des profils verticaux des colonnes grecques.

Définition : Soit (C) une courbe plane, O un point du plan, b un réel ≥ 0. A tout point P de (C) on associe les points M et M’ de la droite OP tels que MP = M’P = b. Le lieu géométrique des points M et M’ lorsque P décrit (C) est appelé conchoïde de C par rapport au point O, et noté

(Cb).

Si l’on prend O comme pôle et si (C) a pour équation polaire r = f(θ),

(Cb) a pour équation polaire : r = f(θ) ± b.

Conchoïdes de droites ou conchoïdes de Nicomède (250 av. J.-C.).

Soit D une droite ne passant pas par O. Si l’on prend pour axe polaire Ox la perpendiculaire menée de O à D, D a pour équation polaire

3 D’autres particularités sexuelles des spilogs se trouvent dans un problème torride d’ESIM du début des années 80, consacré aux spilogs surosculatrices. 4 Ces spirales sont décrites par les particules émises lors du vent solaire, dixit Pierre Falconnier.

13

r = θcosa ( a > 0 ). La conchoïde de Nicomède (Db) a alors pour équation polaire r = θcos

a ± b.

Mais r = θcosa + b donne déjà toute l’équation de (Db).

Exercice 1 : Vérifier que (Db) a pour équation cartésienne :

( x − a )2.( x

2 + y

2 ) − b

2.x

2 = 0 (quartique)

Exercice 2 : Etudier et tracer la courbe r = θcosa + b

pour différentes valeurs de b. On notera que : • Si b < a, elle ne passe pas par O. • Si b = a, elle passe par O pour θ = π et a un rebroussement de première espèce en ce point.

• Si b > a, r s’annule pour θ = Arccos ba− .

Exercice 3 : Application à la trisection de l’angle.

Soit à triséquer l’angle θ = (Ox, OA).

1) Tracer la perpendiculaire D à Ox menée de A, et la conchoïde (Db), où b = 2.OA.

2) La parallèle à Ox menée de A recoupe (Db) en N. Montrer que ON est une trisectrice de θ. 3) Cette construction contredit-elle l’impossibilité de triséquer un angle à la règle et au compas ?

Ceci n’est qu’une des applications des conchoïdes de Nicomède à la résolution graphique des équations du troisième degré. Limaçons de Pascal. 5

On appelle limaçon de Pascal une conchoïde d’un cercle (C) par rapport à l’un de ses points.

Si l’on prend pour axe polaire le diamètre OA du cercle (C), (C) a pour équation polaire r = a.cos θ (a > 0), et

(Cb) a pour équation polaire r = a.cos θ ± b, et en fait r = a.cos θ + b.

Exercice 1 : Montrer que (Cb) a pour équation cartésienne :

( x2 + y

2 )2 − 2ax ( x

2 + y

2 ) + ( a

2 − b

2 ) x

2 − b

2 y

2 = 0

(quartiques).

Exercice 2 : Etudier et représenter la courbe r = a.cos θ + b. On vérifiera que :

• Si b < a, r change de signe et (Cb) présente une « boucle ».

• Si b = a, (Ca) présente un rebroussement en O : c’est la célèbre cardioïde chère à Boris Vian.

• Si b > a, (Cb) est une courbe régulière ne passant pas par O. Plus précisément : − Si a < b < 2a, il y a trois points à tangente verticale, un seul étant situé sur Ox ; − Si 2a ≤ b, il y a deux points à tangente verticale, situés sur Ox.

5 Il s’agit d’Etienne Pascal (Clermont 1588, Paris 1651), conseiller de Basse-Auvergne et père de Blaise Pascal (1623-1662). Après la mort de sa femme en 1626, Étienne Pascal s’installa à Paris en 1631 et se lia aux milieux scientifiques de la capitale : Mersenne, Hérigone, Mydorge, Beaugrand, Roberval, Desargues, etc. tout en supervisant l’éducation de ses enfants. En 1634 il fut nommé par Richelieu membre du comité scientifique chargé de se prononcer sur la méthode de Morin de détermination de la longitude. Plus tard, après une courte disgrâce, Richelieu lui confia la charge de Commissaire aux tailles en Normandie. (Savez-vous que les dames étaient folles de Blaise et admiraient sa façon de relever le gant ?)

14

Exercice 3 : Montrer que les limaçons de Pascal sont les inverses des coniques de foyer O, les cardioïdes étant les inverses des paraboles.

Exercice 4 : Deux vecteurs OA et OBde longueurs constantes a et b tournent autour de Ox de façon

que (Ox, OA) = t, et (Ox, OB ) = 2t. Montrer que le point M tel que OM = OA + OB décrit un limaçon de Pascal. Cas où a = b ?

Exercice 5 : Montrer que l’image d’un cercle par z → z2 est un limaçon de Pascal.

Exercice 6 : Lieu des milieux des cordes du limaçon (Cb) vues du point O sous un angle droit. Propriétés particulières de la cardioïde.

« L’église n’était pas très éloignée. La voiture décrivit une élégante cardioïde et s’arrêta en bas des marches. »

Boris Vian, L’Écume des jours, XXI, p.105 Dans tous ces exercices, Γ désigne la cardioïde d’équation polaire r = a.( 1 + cos θ ).

Exercice 1 : Rectifier Γ. Rayon de courbure. Montrer que sa développée est une cardioïde semblable.

Exercice 2 : Lieu des milieux des cordes de Γ vues de O sous un angle droit.

Exercice 3 : Montrer qu’il y a 3 tangentes à la cardioïde Γ parallèles à une direction donnée ∆. Si A, B et C sont les points de contact, montrer que le centre de gravité et l’aire de ABC restent constants quand ∆ varie.

Exercice 4 : Courbe orthoptique d’une cardioïde Γ, c’est-à-dire lieu des points d’où l’on peut mener à Γ deux tangentes rectangulaires.

Exercice 5 : Caustique par réflexion d’un cercle par rapport à un de ses points.

Exercice 6 : Soit A un point d’un cercle (C). Trouver la podaire de (C) par rapport à A, c’est-à-dire le lieu des projections de A sur les tangentes à (C).

Exercice 7 : Lieu du point d’intersection des tangentes en M et N à Γ lorsque M, O et N sont alignés.

Exercice 8 : La tangente à Γ en M à recoupe Γ en P et Q. Lieu du point d’intersection des tangentes à Γ en P et Q lorsque M varie.

Exercice 9 : Les amours de la cardioïde et de la cycloïde.

On considère la cardioïde r = b(1 + cos θ) et l’arche de cycloïde x = a(u − sin 2u), y = a(1 − cos u), 0 ≤ u ≤ 2π (a et b > 0). Relation entre a et b pour qu’elles aient même longueur ? On fait rouler sans glisser la cardioïde à l’intérieur de l’arche de cycloïde, de manière que les points de rebroussement coïncident au départ. Lieu du point de rebroussement de la cardioïde.

Exercice 10 : Etudier les amours de la cardioïde et du piano, au vu du Pianotaure d’André Masson (1937) reproduit ci-contre.

15

8.3. La quadratrice d’Hippias.

Exercice : Soit un carré ABCD. On trace le quart de cercle BD de centre A. Un rayon AE de ce cercle tourne d’un mouvement continu et uniforme autour de A, en partant de la position AB pour aboutir à la position AD. Un segment de droite HK restant toujours parallèle à AD se déplace d’un mouvement continu et uniforme en partant de la position BC pour aboutir à la position AD. Ces deux mouvements s’effectuent rigoureusement dans le même temps. Tout au long de leur déplacement les segments AE et HK se coupent en F. On appelle quadratrice d’Hippias le lieu du point F.

1) Visualiser le mouvement de F à l’aide de la commande animateplot de Maple.

2) Trouver des équations paramétriques et polaire de la quadratrice. Etude et tracé. 3) Soit G le point de la quadratrice situé sur AD. Montrer

la formule de Dinostrate : AGAD =

ABBD .

4) Application à la trisection de l’angle : pour diviser en 3 l’angle BAD, il suffit de diviser en trois le segment AB et de considérer les points F et F’ correspondant aux points H et H’ obtenus. Quel inconvénient a cette méthode ? 8.4. Cissoïde de Dioclès et courbes cissoïdales.

Exercice 1 : Soient (C) un cercle de diamètre OA, (T) la tangente en A au cercle (C). Une sécante

mobile issue de O recoupe (C) en B et (T) en D. On porte sur cette droite le point M tel que OM =

BD . On appelle cissoïde de Dioclès, ou cissoïde droite, le lieu du point M.

1) Montrer que, dans un repère convenable, la cissoïde a pour équation cartésienne y2 =

xax−2

3

, et

pour équation polaire r = θθ

cos²sin.2a . Représentation graphique et tracé animé (Maple ou Cabri) ?

2) Indiquer comment résoudre à l’aide cette courbe le problème déliaque, ou problème de la duplication du cube.

Exercice 2 : Soient (C) un cercle de centre A, O un point de (C), (D) la perpendiculaire en A à la droite (OA). Une sécante mobile issue de O recoupe (C) en P et (D) en Q. On porte sur cette droite le

point M tel que OM = PQ. On appelle strophoïde droite le lieu du point M. Trouver, dans un repère convenable, les équations cartésienne et polaire de cette courbe. Représentation graphique et tracé animé (Maple ou Cabri) ? ___________

Exercices

Ex 1 : Etudier et représenter r = ( θ − 3π )

2 , r =

81 ( θ2

− π2 ) .

Ex 2 : Etudier et représenter r = 11

+−

θθ . Points doubles, point d’inflexion ; rectification.

Ex 3 : Etudier et représenter r =

9²²

²πθ

θ−

.

16

Ex 4 : Etudier et représenter r = 1−θ

θa ( a > 0 ). Points doubles.

Ex 5 : Etudier et représenter r = 1²−θ

θ . Points doubles. Points d’inflexion.

Ex 6 : Etudier et représenter r = 1)cos(2

)2cos(−θ

θ. Calculer l’aire de chacune des boucles.

Ex 7 : Etudier et représenter r = 2 + cos(2θ). Equation cartésienne. Points d’inflexion. Aire délimitée.

Ex 8 : Trèfles et rosaces…

i) Etudier et tracer la courbe r = a.sin(2θ) (a > 0), ainsi que ses conchoïdes. ii) Etudier et représenter r = a.sin(3θ). Aire de chaque feuille. iii) Etudier et représenter r = a.sin(nθ). Aire de chaque feuille.

Ex 9 : Etudier et tracer r = a.sin 2θ (a > 0). Equation cartésienne, points doubles, aires des boucles.

Ex 10 : Etudier et représenter r = a.sin3

2θ (a > 0). Points doubles. Aires des boucles.

Ex 11 : Etudier et représenter r = 1 + tan2θ . Points doubles. Asymptote et position relative. Aire de

la boucle.

Ex 12 : Etudier et représenter r = θθ

sin.4)4sin(

. Aire de chacune des boucles.

Ex 13 : Etudier et représenter r = )2cos(.cos1

sinθθ

θ+ , r = sin θ − tan

2θ .

Ex 14 : Etudier et représenter les courbes :

r = )2sin(sin

1θθ − , r =

)2cos(cos1

θθ − , r = )cos()sin(

sinθθ

θ− , r =

)sin()cos(cos

θθθ

−

r = )cos(21

sinθ

θ+ , r =

)cos(21)2sin(θ

θ+ , r =

1)cos(2)2sin(−θ

θ , r = 1 − tan(2θ) , r = tan(θ).tan(3θ)

r = )3/tan(1

)3/sin()3/cos(θ

θθ−

+ , r =

)2/²(sin)6/sin(

θπθ −

, r = )cos(21)2/sin(θ

θ− , r =

)2cos()3sin(

θθ

, r = exp(sin2

3θ )

r = θcos21

− ; la reconnaître , r = ln( 1 – sin θ ).

Ex 15 : Etudier et tracer r = θθ

sincos21− . Points doubles.

Ex 16 : Etudier et tracer r = a( θcos1 −cosθ) (a > 0). Aire comprise entre la courbe et son asymptote.

Ex 17 : Quelques gags. Etudier et représenter les courbes :

r = )2cos(

)4/cos(θπθ +

, r = )2cos(1 θ+ + )2cos(1 θ−

r = )2cos(1)2cos(1

1θθ −++

, r = )4sin(1)4sin(12

1θθ −+++

.

Ex 18 : Etudier et représenter r = a θθcos . Montrer que les tangentes en des points alignés avec

l’origine sont concourantes.

Ex 19 : Cochléoïde (Falkenburg et Benthem, 1884). Etudier et représenter r = a θθsin , inverse de la

quadratrice d’Hippias. Montrer que les pieds des normales issues de O sont situées sur un cercle.

17

Ex 20 : Montrer que r = θθθ sincos.1− a une infinité d’asymptotes, toutes tangentes à une courbe

algébrique simple.

Ex 21 : Etudier la courbe d’équation ( x2 + y

2 ).( y

2 − 2x ) + x

2 = 0.

Ex 22 : Construire l’image du cercle unité |z| = 1 par z → 1 + z + z2.

Ex 23 : Construire les ensembles A = z ∈ C ; | z2 − 1 | = 1 , B = z ∈ C ; | z

3 − 1 | = 1 ,

H = z ∈ C ; Re z2 = 1 , et K image de H par z → 1/z .

Ex 24 : Image du cercle unité U − j , j2

par f(z) = ²1

1zz++ .

Ex 25 : On considère les points A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1). Lieu des points M tels que AM.BM.CM.DM = 1.

Ex 26 : Trisectrice de Maclaurin. Soient a > 0, C le cercle de centre A(4a, 0) et de rayon 4a, D la droite x = −2a. Une droite variable passant par O coupe C en P, D en Q. 1) Trouver le lieu du milieu M de PQ ; équations polaire et cartésienne. 2) Tracé de la courbe. Aire de la boucle.

3) Soit Ω(2a, 0). Montrer que ( AΩ , MΩ ) = 3 (OA,OM ). 4) En déduire une méthode de trisection d’un angle à la règle et au compas… cum grano salis ! 5) Equation polaire du lieu de M rapportée à Ωx.

Ex 27 : Hommage à Simone Weil.6 Un point P décrit le cercle de diamètre AB. La bissectrice de l’angle ABP recoupe AP en M. Trouver le lieu de M. Tracé avec Cabri Géomètre.

Ex 28 : Soit C le cercle de centre O et de rayon R, A un point de C. Un point M décrit C. Quel est le lieu du centre du cercle inscrit au triangle OAM ? Tracé avec Cabri Géomètre.

Ex 29 : Etudier et représenter : θ = r + r1

, θ = )1)²(1( +− rr

r , θ = 123

3

+− rrr

.

Ex 30 : Etudier et représenter les courbes : r = t2 − 4 et θ = t +

t1 , r = tan t et θ = 2t − tan t.

Ex 31 : La feuille de châtaignier.

Etudier et tracer sur un même graphe les courbes r = | sin2θ .sin(4θ ) | et r = | sin

2θ |.

(Wentworth d’Arcy Thompson, Forme et croissance, p. 279-281).

Ex 32 : Conchoïdes de rosace. Etudier les courbes r = a.cos(nθ) + b (n réel). Montrer qu’elles sont algébriques ssi n est rationnel. Tracer ces courbes dans les trois cas 0 < b < a, a = b, b > a, pour chacune des valeurs de n suivantes :

n = 1, 2, 3, 4, 5, 21 ,

23 ,

25 ,

27 ,

29 ,

31 ,

32 ,

34 ,

35 ,

37 ,

41 ,

43 ,

45 ,

47 ,

49 , etc.

Ex 33 : Les nœuds 7 de La Gournerie (1851) 8. Etudier les courbes r = a.tan(mθ).

6 Cet exercice est tiré des carnets de la philosophe Simone Weil (1909-1943), sœur d’André Weil. 7 Il y a de gros bœufs dans la plaine. Cachez vos bœufs, tristes nigauds ! Car le freux est bien agile, et l’hirondelle infâme. 8 Jules Antoine René Maillard de La Gournerie (Nantes 1814 - 1883). Admis major de l’École Navale en 1830, il est employé au service des transports entre Toulon et Alger. Une altercation avec un lieutenant de vaisseau interrompt sa carrière. Traduit en Conseil de guerre en décembre 1832, il est acquitté et maintenu dans son grade, mais il démissionne, et, attiré par les mathématiques, se présente à Polytechnique où il est reçu 4ème en 1833. Sous les ordres de Léonce Reynaud, il construit un phare aux Heaux de Bréhat sur un récif, puis la grande jetée du Croisic, et crée le bassin à flot de Saint-Nazaire. Il est ensuite nommé professeur de géométrie descriptive à l’École polytechnique, où il succède à l’inusable Leroy, de 1850 à 1863, puis

18

Cas où m = 1, 2, 21 ,

31 ,

32 ,

52 , etc. Tracer les courbes correspondantes.

Ex 34 : Le catleya 9. Etudier et représenter la courbe r = cos θ + )2/sin(

1θ .

Aire du domaine de pénétration…

Ex 35 : Tracer la courbe d’équation polaire r(θ) = 21 + ∑

+∞

=

−

−+−

1

1

)13)(13()3cos()1(

k

k

kkkθ

.

Ex 36 : La feuille de vigne de Weierstrass. Etudier et représenter la courbe r = ∑+∞

=0 2).3cos(

nn

n θ.

Ex 37 : L’étoile polaire.

Soit d(x) = d(x, Z) , f(x) = 10π (1 + 4.d( π2

5x − 41 )). Etudier la courbe r =

)(sin1

θf.

Ex 38 : Equation polaire du polygone régulier de n côtés de centre O.

Ex 39 : La chapelle romane.

Soit f la fonction 2π -périodique définie par f(θ) = 2.cos θ si −

4π ≤ θ ≤

4π .

Développer f en série de Fourier. Représenter la courbe r = f(θ).

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Bibliographie

G. Cagnac, E. Ramis, J. Commeau : Cours de math spé, Masson, 1966. H. Brocard, T. Lemoyne : Courbes géométriques remarquables, Blanchard. Wentworth d’Arcy Thompson : Forme et croissance, Seuil, 1994. E. Brieskorn, H. Knörrer : Plane algebraic curves, Birkhaüser, 1986. Eli Maor : e, the story of a Number, Princeton paperbacks, 1994. Joël Martin : La bible du contrepet, R. Laffont, 2003. Site Internet sur lequel on trouve de nombreuses courbes polaires

http://www.mathcurve.com/ _________

Problème

1) Soit z = ρ.eiθ

un nombre complexe (ρ > 0 et θ ∈ R). Déterminer, en fonction de ρ et de θ, une

forme trigonométrique du nombre complexe ξ = z.e−z

.

2) Démontrer que la fonction u, définie sur ]0, 1] par u(t) = t

tln1+ , est un homéomorphisme

croissant de ]0, 1] sur ]−∞, 1] dont la fonction réciproque est de classe C1 sur ]−∞, 1[.

3) En déduire l’existence d’une fonction θ → r(θ) de R dans R telle que, pour tout réel θ,

r(θ) ∈ ]0, 1] et r(θ).e−r(θ).cosθ

= e1 .

enseignant au Conservatoire des Arts et Métiers (1854). La nomination de La Gournerie à Polytechnique coïncide avec les nouvelles lois des 26 janvier, 3 mai, 5 juin 1850 relatives à cette école, qui suppriment la gratuité des études et diminuent les enseignements d’analyse : mesures contestées par les élèves. Chasles et La Gournerie affrontent le lieutenant-colonel Frossard, parachuté directeur des études. Le ministre de la Guerre doit intervenir pour que La Gournerie consente à reprendre son cours. 9 Courbe ainsi nommée en hommage à Marcel Proust ; tracé interdit aux moins de 18 ans.

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4) Exprimer de manière simple r(0), r(π/2). Donner une valeur approchée à 10−6

près, en justifiant l’algorithme utilisé, de la constante r(π).

5) Montrer que r est une fonction continue, 2π-périodique et paire ; démontrer qu’elle est de classe

C1 sur ]0, 2π[ et que, pour tout θ ∈ ]0, 2π[ : θd

dr = 1cos.

sin².−θθ

rr .

6) Donner un équivalent simple en h de la fonction v définie par h → v(h) = 1 − u(1 − h) lorsque h → 0 par valeurs supérieures. Grâce à une expression de 1 − cos θ à l’aide de u(r(θ)), en déduire que, lorsque θ → 0 par valeurs supérieures : r(θ) = 1 − θ + o(θ).

Prouver que θ → r(θ) est de classe C1 par morceaux sur R.

7) Un plan affine euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé direct ; dessiner sommairement la courbe Γ dont une équation polaire est ρ = r(θ). Quelle est l’image de Γ par la

transformation complexe z → z.e−z

?

[ Centrale 2001, extrait ]