COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES - … · Dans ce cas les lois de et de permettent de déterminer la...

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COUPLES DE VARIABLES

ALEATOIRES

A. Cas général 1) Définition 1

La loi d’un couple ,X Y de deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé

, ,T P est donnée par la fonction ,X Y

F définie sur 2 par :

2

,, , ,

X Yx y F x y P X x Y y

2) Propriété 1 (admise)

Si deux couples 1 1,X Y et 2 2,X Y de variables aléatoires définies sur le même espace

probabilisé , ,T P ont même loi et si g est une fonction continue sur 2 alors les variables

aléatoires 1 1,g X Y et 2 2,g X Y ont même loi

Exemples :

Si 1 1,X Y et 2 2,X Y sont deux couples de variables aléatoires définies sur le même espace

probabilisé , ,T P qui ont même loi

Alors

Les variables aléatoires 1 1X Y et 2 2X Y ont même loi

Les variables aléatoires 1 1X Y et 2 2X Y ont même loi

Les variables aléatoires 1 1X Y et 2 2X Y ont même loi …

3) Définition 2

Deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé , ,T P sont

indépendantes si et seulement si, pour tous réels x et y ,

P X x Y y P X x P Y y

Remarque :

Cette dernière égalité peut s’écrire : 2

,, , ,

X Yx y F x y X YF x F x

4) Caractérisations

a) Caractérisation 1


indépendantes si et seulement si, pour tous intervalles I et J de ,

P X I Y J P X I P Y J

2

b) Caractérisation 2


indépendantes si et seulement si

Tout évènement XA T est indépendant de tout évènement

YB T

Rappel :

On note XT la tribu ou -algèbre engendrée par les évènements X x pour tout réel x

5) Espérance conditionnelle dans le cas de l’indépendance

Soient deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé , ,T P

Si est une variable aléatoire discrète

Si est indépendante de

Si Y

X

Y X

A T

/E X E X A

Démonstration :

Soit une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé qui admet une

espérance et telle que

/A A i A i

x X i I

E X E X A x P X x x P X x

Comme iX x XT , iX x est indépendant de YA T (caractérisation2), on a

A i iP X x P X x et / i i

i I

E X A x P X x E X

X , ,T P

;iX x i I

3

B. Couples de variables aléatoires discrètes 1) Caractérisation de la loi d’un couple de variables aléatoires discrètes

La loi d’un couple ,X Y de deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace

probabilisé , ,T P est caractérisée par la donnée des valeurs

, et P X x Y y P X x Y y P X x Y y ,pour tout couple

,x y X Y

La loi du couple ,X Y permet de déterminer les lois de X et de Y :

En effet les JjjyY )( forment un système complet d’événements, la formule des

probabilités totales donne : )()( j

Jj

ii yYxXpxXp

De même les IiixX )( formant un système complet d’événements, on obtient

)()( j

Ii

ij yYxXpyYp

Mais les lois de X et de Y ne permettent pas, en général, de déterminer la loi du couple

2) Caractérisation de l’indépendance de deux variables aléatoires discrètes

Deux variables aléatoires discrètes X etY définies sur le même espace probabilisé , ,T P

sont indépendantes si et seulement si, pour tout couple ,x y X Y ,

P X x Y y = P X x P Y y

Dans ce cas les lois de X et de Y permettent de déterminer la loi du couple

3) Loi de la somme de deux variables aléatoires discrètes

Soient deux variables aléatoires discrètes X etY indépendantes définies sur le même espace

probabilisé , ,T P , on a : pour tout réel z ,

x X

P X Y z P X x P Y z x

Démonstration :

Les évènements x X

X x

forment un système complet, la formule des probabilités

totales donne : x X

P X Y z P X x X Y z

Soit x X

P X Y z P X x Y z x

et comme les variables aléatoires X etY

sont indépendantes, il vient

x X


Si z x Y alors 0P Y z x

On peut donc écrire

x X

z x Y


4

4) Stabilité par la somme

a) Stabilité de la loi binomiale

Soient X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace

probabilisé

Si ,X B n p et ,Y B m p alors ,X Y B n m p

Remarque :

n et m désignent des entiers naturels non nuls et p un réel appartenant à l’intervalle 0,1

Démonstration

Comme 0,X n et 0,Y m , on a 0,X Y m n

0, ,s m n P X Y s

0,

0,

k n

s k m

P X k P Y s k

0, 0s k m s k m s m k s

Il vient :

0, ,s m n P X Y s

min ,

max(0, )

k n s

k s m

P X k P Y s k

On a 0, ,s m n P X Y s min ,

max(0, )

k n s

k n k s k m s k

k s m

n mp q p q

k s k

Soit 0, ,s m n P X Y s min ,

max(0, )

k n sm n ss

k s m

n mp q

k s k

Pour conclure nous avons besoin de l’identité de Vandermonde

0

1m n

m n r

r

m nx x

r

Or 0 0 0 0

1 1 1m n m n

m n m n i j i j

i j i j

m n m nx x x x x x

i j i j

Identifions les termes des deux développements du polynôme 1m n

x

Pour tout entier naturel r m n , on a rm n

xr

=min( , )

max(0, )

i r mr

i r n

m nx

i r i

Doncm n

r

=min( , )

max(0, )

i r m

i r n

m n

i r i

Retour au problème initial

0, ,s m n P X Y s m n ssm n

p qk

, donc ,X Y B m n p

b) Stabilité de la loi de Poisson

Soient X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace

probabilisé

Si X P et Y P alors X Y P

5

Remarque :

et désignent des réels strictement positifs

Démonstration

Comme X et Y , on a X Y

,s P X Y s

ks k

P X k P Y s k

s k s k

Il vient : ,s P X Y s 0 0 ! !

k s ks s

k k

e eP X k P Y s k

k s k

Soit ,s P X Y s

0

!

! ! !

k s ks

k

se

k s k s

=

0!

sk s k

k

se

ks

Soit finalement ,s P X Y s

!

se

s

donc X Y P

5) Loi d’une variable aléatoire fonction de deux variables aléatoires discrètes

Pour tout couple ,X Y de variables aléatoires discrètes et pour toute fonction g définie sur

( ) ( )X Y , on montre que la variable aléatoire ,Z g X Y est une variable aléatoire

discrète

a) Problématique : déterminer la loi de la variable aléatoire discrète Z

Soient X etY deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé ),,( p

,

,

,x y X Y

g x y z

z Z Z z X x Y y

Cette union est une union d’évènements incompatibles deux à deux, donc on a

,

,

,x y X Y

g x y z

z Z p Z z p X x Y y

Exemples :

, max , , min ,Z X Y Z X Y Z X Y ….

b) Théorème « de transfert » :

Soient X etY deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé

),,( p et g une fonction, à deux variables, définie sur )()( YX .

La variable aléatoire discrète ,Z g X Y admet, sous réserve de convergence absolue, une

espérance définie par :

,

,x y X Y

E Z g x y P X x Y y

On a alors

( ) ( , ) ( )x X y Y

E Z g x y p X x Y y

( , ) ( )y Y x X

g x y p X x Y y

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c) Applications (admises)

i. Application 1 : Z=X+Y

On a alors )()()( jij

Ii Jj

i yYxXpyxZE

sous réserve de convergence absolue

Si X etY admettent chacune une espérance, alors X Y admet une espérance et on a

E X Y E X E Y (linéarité de l’espérance)

Conséquences :

Croissance de l’espérance

Si deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur le même espace probabilisé

, , p admettent une espérance et si X Y presque sûrement (c’est à dire

0P X Y ), alors E X E Y

Si deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur le même espace probabilisé , , p

admettent une espérance et si X Y presque sûrement (c’est à dire 0P X Y ), alors

E X E Y

Existence d’une espérance par domination

Si deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur le même espace probabilisé

, , p vérifient 0 X Y presque sûrement et si Y admet une espérance, alors X

admet une espérance et dans ce cas, on a E X E Y

ii. Application 2 : Z=XY

On a alors )()( jij

Ii Jj

i yYxXpyxZE

sous réserve de convergence absolue

Si X etY sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes admettent chacune une

espérance, alors .X Y admet une espérance et on a E XY E X E Y

Remarque :

Si X etY sont deux variables aléatoires discrètes admettent chacune un moment d’ordre 2

alors .X Y admet une espérance

En effet, pour tous réels a et b , 2 21

2ab a b

Donc , ,x y X Y 2 21

2xy x y

Nous avons , ,x y X Y2 21

2xy P X x Y y x y P X x Y y

Il vient 2 21

2xy P X x Y y x P X x Y y y P X x Y y

Puis 2 21

2xy P X x Y y x P X x y P Y y ,ce qui assure le résultat

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6) Covariance

a) Définition


admettant un moment d’ordre 2, on appelle covariance de X etY le réel noté ,Cov X Y défini

par :

,Cov X Y E X E X Y E Y

b) Propriétés de la covariance :

Soient ,X Y et Z trois variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé

admettant un moment d’ordre 2

➢ Symétrie : , ,Cov Y X Cov X Y

➢ Linéarité à gauche : , , , ,Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z

➢ Linéarité à droite : , , , ,Cov X Y Z Cov X Y Cov X Z

➢ , , 0a Cov X a

➢ ( , )Cov X X V X

c) Formule de Huygens-Koenig


admettant un moment d’ordre 2

,Cov X Y E XY E X E Y

Conséquence :

Si X etY sont indépendantes alors , 0Cov X Y mais la réciproque est fausse.

Deux variables aléatoires X etY telles que , 0Cov X Y sont dites non corrélées

d) Variance de la somme de deux variables aléatoires discrètes :

Soient X etY deux variables aléatoires discrètes, définies sur le même espace probabilisé,

admettant chacune une variance. La variable aléatoire discrète X Y admet une variance et

on a :

2 ,V X Y V X V Y Cov X Y

Donc

Si X etY sont indépendantes alors V X Y V X V Y mais la réciproque est fausse

7) Coefficient de corrélation linéaire :

a) Définition

Soient X etY deux variables aléatoires discrètes admettant chacune une variance non nulle

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Le coefficient de corrélation linéaire de X et Y est le réel noté ,X Y défini par :

cov( , )

,( ). ( )

X YX Y

X Y

b) Propriétés

➢ On a )().(),cov( YXYX (Inégalité de Cauchy-Schwarz) et donc , 1X Y

➢ , 1X Y si et seulement si Y est fonction quasi-affine de X (c’est à dire il existe

deux réels a et b tels que 1)( baXYp ).

➢ ,X Y « mesure » grossièrement la dépendance linéaire des variables X et Y.

Le signe de ,X Y (et donc celui de cov( , )X Y ) indique si les deux variables ont tendance à

varier dans le même sens ou en sens contraire.

Démonstration :

Montrons que )().(),cov( YXYX

Considérons la variable aléatoire X Y où

Cette variable aléatoire admet une variance

2cov , 2 cov ,V X Y X Y X Y V X X Y V Y P

Si 0V X , P est un polynôme du second degré positif

Le discriminant de P qui vaut 24 cov ,X Y V X V Y est donc négatif

On en déduit que 2cov ,X Y V X V Y soit )().(),cov( YXYX puisque la fonction

racine carrée est croissante sur 0,

Si 0V X , P est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 toujours positif

Supposons , 0cov X Y , P est alors un polynôme de degré 1, il change donc de signe :

c’est absurde

Par conséquent cov , 0X Y et l’inégalité )().(),cov( YXYX est vérifiée

, 1 cov , ( 1) cov ,X Y X Y X Y X Y X Y

Comme X etY sont deux variables aléatoires discrètes admettent chacune une variance non

nulle, on a 0V X

, 1X Y P est un polynôme du second degré positif dont le discriminant est nul

, 1X Y 0 0, 0V X Y

, 1X Y 0 presque sûrement X Y C

, 1X Y Y est fonction quasi-affine de X ou affine presque sûrement

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C. COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES A DENSITE

1) Linéarité de l’espérance

Soient deux variables aléatoires à densité X etY définies sur le même espace probabilisé



Conséquences :

Croissance de l’espérance

Si deux variables aléatoires à densité X et Y définies sur le même espace probabilisé

, , p admettent une espérance et si X Y presque sûrement (c’est à dire

0P X Y ), alors E X E Y

Si deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé , , p


E X E Y

Existence d’une espérance par domination

Si deux variables aléatoires à densité X et Y définies sur le même espace probabilisé

, , p vérifient 0 X Y presque sûrement et si Y admet une espérance, alors X

admet une espérance et dans ce cas, on a E X E Y

2) Densité de la somme de deux variables aléatoires à densité indépendantes

Soient X etY deux variables aléatoires à densité définies sur le même espace probabilisé

Soit f une densité de la variable X

Soit g une densité de la variable Y

Si la fonction h définie par la relation h x f t g x t dt

est définie et continue sauf

peut-être en un nombre fini de points, c’est une densité de la variable aléatoire Z X Y

Remarque :

C’est le cas si f (ou g ) est bornée

Le produit de convolution de la fonction f par la fonction g est la fonction f g définie sur

par f g x f t g x t dt f x t g t dt

Cette définition est à « comparer » avec l’égalité établie pour deux variables aléatoires

discrètes indépendantes X etY : ,z

x X


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3) Propriétés admises

a) Espérance d’un produit

Si X etY sont deux variables aléatoires à densité indépendantes définies sur le même espace

probabilisé, admettent chacune une espérance.

La variable aléatoire admet une espérance et on a E XY E X E Y

b) Variance d’une somme

Soient X etY deux variables aléatoires à densité indépendantes définies sur le même espace

probabilisé, admettant chacune une variance.

La variable aléatoire X Y admet une variance et on a : V X Y V X V Y

Remarque :

Si X etY sont deux variables aléatoires discrètes admettent chacune un moment d’ordre 2

alors .X Y admet une espérance

4) Stabilité par la somme

a) Stabilité de la loi par la somme


probabilisé

Si 1X et si 2Y alors 1 2X Y

Démonstration :

Notons f et g les densités respectives de X etY

Soit la fonction h définie par la relation h x f t g x t dt

On a

1 1

1

0 si 0

1 si 0x

x

f xx e x

et

2 1

2

0 si 0

1 si 0x

x

g xx e x

0 0 et 0 0 et f t g x t t x t t t x

Si 0x , 0h x

Si 0x ,

2111

0 01 2

1x x x tth x f t g x t dt t e x t e dt

Soit

2111

01 2

xxe

h x t x t dt

En effectuant le changement de variable t ux

Il vient

1 2

1 2 21

11 11 1 11

0 01 2 1 2

1x xe x e

h x ux x xu x du u u du

11

L’expression

211 11

01 2

11u u du

ne dépend pas de la variable x : elle est

constante et est notée C

La fonction est continue sur sauf peut-être en 0 ; c’est une densité de X Y

Comme 0

1h x dx h x dx

, il vient

1 2 11 2

0

1 1

xC

x e dx

Finalement si 0x ,

1 2 1

1 2

xx eh x

b) Stabilité par la somme de la loi normale


probabilisé

Si 2

1 1,X N m et 2

2 2,Y N m alors 2 2

1 2 1 2,X Y N m m

Démonstration :

La fonction Xf étant bornée, on peut dire que la fonction h définie sur par

2 21 2

2 21 22 2

1 2

1

2

t m x t m

h x e e dt

est une densité de X Y

Travail préliminaire :

Soient trois réels ,a b et c avec 0a

1) Montrer que, pour tout réel t ,

2

2

2 4

bat bt c a t

a a

avec 2 4b ac

2) En déduire que, pour tout réel t ,

2

4at bt c

ae e f ta

où f est la densité d’une loi

normale à préciser

3) En déduire que les intégrales 2at bt c

e dt

sont absolument convergentes et sont

égales à 4aea

Correction travail préliminaire :

1)

2 222 2

2 22 4 2 4

b c b b c bat bt c a t t a t a t

a a a a a a a

Alors en développent, on obtient :

2

2

2 4

bat bt c a t

a a

12

2)

2 2

2 2 2

2

2 21 1

2 21 1

2 4 2 24 41 1

212 22

b bt t

a a

ba t

at bt c a a a aa ae e e e e ea

a

Soit finalement

2

4at bt c

ae e f ta

où f est une densité de la variable aléatoire

1,

2 2

bU N

a a

3) Comme f t dt converge absolument (et vaut 1) , alors 2at bt c

e dt

converge

absolument et on a :

2

4 4at bt c

a ae dt e f t dt ea a

Retour à la démonstration :

2

1 2

1

2

at bt ch x e dt

, avec

2 2

1 2

1 1

2 2a

, 1 2

2 2

1 2

m x mb

et

22

21

2 2

1 22 2

x mmc

De plus 2 4b ac

2

1 2

2 2

1 2

x m m

et

2 2

2 2

2 2

2 22a

Donc

2 2

1 2

2 21 22 2

t m x t m

e e dt

= 4aea

=

22

2 2 1 21 2 2 2

2 22 2 2 21 2

1 2 1 2

2

24

x m mx m m

e ea a

Finalement h x

2 2

1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

2 22 2

2 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2

21 1

2 2

x m m x m m

e e

On a bien 2 2

1 2 1 2,X Y N m m

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Bilan

Propriétés de l’espérance

Soient deux variables aléatoires X etY définies sur le même espace probabilisé

Ces variables aléatoires peuvent être toutes deux discrètes, toutes deux à

densité, l’une discrète et l’autre à densité



Conséquences :

1) Croissance de l’espérance



E X E Y



E X E Y

2) Existence d’une espérance par domination


vérifient 0 X Y presque sûrement et si Y admet une espérance, alors X admet une

espérance et dans ce cas, on a E X E Y

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