Couplage d'écoulements de surface et de subsurface en … › ~filippo › ... · 2013-12-17 ·...

Couplage d'écoulements de surface et de

subsurface en hydrogéologie

Cécile Carrère

Laboratoire des Sciences du Climat et de l'Environnement

M2 Équations aux Dérivées Partielles et Calcul Scientique

Université d'Orsay

Encadré par Claude Mugler

8 septembre 2013

Table des matières

1 Problématique 31.1 Écoulements de surface et de subsurface . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Écoulements souterrains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Ruissellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Couplage des écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Modèle physique 62.1 Milieu poreux saturé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Milieu poreux non saturé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Ruissellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Approche darcéenne multidomaine . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Modélisation numérique 113.1 Présentation de Cast3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Résolution des équations d'écoulement dans Cast3M . . . . . . . 113.3 Décentrement du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1 Diérentes approches pour le ruissellement seul . . . . . . 123.3.2 Couplage avec l'écoulement souterrain . . . . . . . . . . . 15

4 Résultats 174.1 Simulation de la couche de ruissellement . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 Propagation d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.2 Runo-Runon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Simulation d'un versant 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.1 Cas-tests homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.2 Milieu hétérogène de Kollet et Maxwell . . . . . . . . . . 22

1

Résumé

L'étude des écoulements d'eau de surface et de subsurface est un élé-

ment de la compréhension du cycle de l'eau. Le couplage de ces deux

processus est un sujet de modélisation complexe, utilisant de puissants

logiciels. Le travail présenté ici cherche à améliorer un modèle existant de

couplage entre écoulements de surface et de subsurface, an de prendre

en compte les discontinuités brutales de propriétés du sol. Le nouveau

modèle développé permet de résoudre numériquement plusieurs cas-tests

classiques dans la littérature concernée.

Introduction

Les processus de transfert d'eau dans les bassins versants sont encore malcompris, et sont une question centrale de l'hydrologie. Il existe de nombreuxmécanismes d'échange entre les eaux atmosphériques, les eaux de surface etcelles de subsurface, par l'intermédiaire par exemple des lacs et des rivières.Ils peuvent être contrôlés par des phénomènes climatiques. La description et lacompréhension du cycle de l'eau sont donc très complexes. Elle est néanmoinsnécessaire pour pouvoir gérer les ressources en eau, prévoir les crues saisonnièresou encore évaluer l'impact d'une agriculture sur l'érosion d'un sol.

La modélisation hydrologique est donc devenue un outil de plus en plus e-cace pour prévoir et gérer des aspects de l'activité humaine liés au cycle de l'eau,complétant les études de terrain. Les modèles distribués à base physique perme-ttent en particulier d'étudier plus précisément les processus de transfert d'eauplutôt que la réponse globale du bassin versant. Ces modèles sont aujourd'huide plus en plus complexes, notamment grâce à l'amélioration de notre com-préhension des phénomènes régissant ces échanges, et à une capacité de calculnumérique de plus en plus grande. L'amélioration de ces modèles dépend ausside l'acquisition de données de terrain, qui ne sont pas toujours disponibles, cequi peut parfois devenir un facteur limitant dans le développement de ces outilsde modélisation.

Nous nous intéressons ici à la modélisation d'un phénomène particulier : lecouplage entre écoulements d'eau de surface et de subsurface. Sylvain Weill adéveloppé dans sa thèse [1] un modèle distribué de ce processus qui impose unecontinuité des pressions et du ux d'eau à l'interface entre les domaines de sur-face et de subsurface. Ce modèle donne de bons résultats dans les congurationsclassiques homogènes proposées dans la littérature, mais se révèle inecace dansle cas d'une discontinuité des propriétés du milieu. Nous avons cherché à adapterce modèle pour que ces cas puissent également être simulés.

J'ai eectué mon stage de n de M2 au Laboratoire des Sciences du Climatet de l'Environnement (LSCE), sous la direction de Claude Mugler. Il s'agitd'un laboratoire du CEA (Commissariat à l'Énergie Atomique) situé à l'Ormedes Merisiers, à Saclay. Les sujets d'études qui y sont exploités concernent par-ticulièrement le climat, avec des simulations des eets des modications de latempérature, ou la recherche des climats dans le passé. Je me trouvais dans uneéquipe d'hydrogéologie, où sont étudiés les ux d'eau ou d'autres uides (CO2)dans la terre.

Nous commencerons par présenter les phénomènes physiques que nous souhai-terions pouvoir modéliser avec notre outil numérique. Dans une deuxième par-

2

tie, nous présenterons le modèle physique développé par Sylvain Weill, et leséquations qui seront utilisées. Une troisième partie est consacrée au modèlenumérique proprement dit, avec les solutions que nous avons envisagées pourrésoudre le problème posé par le précédent algorithme. Enn, nous présenteronsdiérents cas-tests pour lesquels nous avons observé l'ecacité de nos modica-tions.

Les diérents développements numériques présentés dans ce rapport ont étéréalisés dans le cadre de la plateforme numérique Cast3M développée au CEA,mais également sous Matlab. En annexe se trouvent des explications sur lesschémas numériques utilisés par Cast3M (éléments nis mixtes hybrides, vol-umes nis), ainsi que les codes développés sous Matlab pour la modélisation desécoulements de surface seuls.

1 Problématique

1.1 Écoulements de surface et de subsurface

Le cours de G. De Marsily [2] décrit de manière générale le cycle de l'eaudans un bassin versant. Nous nous intéressons ici à un aspect particulier. Lesdébits créés dans un bassin versant sont dus principalement à deux phénomènes :le ruissellement de l'eau à la surface lors des pluies ou dans les cours d'eau, etles processus souterrains d'écoulements d'eau. Ce second phénomène, bien quemoins visible, peut être dans certains cas la plus importante contribution àl'hydrogramme.

1.1.1 Écoulements souterrains

Les écoulements d'eau souterrains s'expliquent par la nature du sol rencontrépar l'eau de pluie. Dans les sols qui sont plus imperméables en profondeur, en casde pluie, l'eau inltrée peut être ralentie par un sol à la conductivité hydrauliquefaible. Il se crée alors une nappe perchée, c'est à dire une zone dans laquelle lesol est saturé en eau. Celle-ci peut se déplacer selon la pente topographique pareet de gravité.

Si le niveau saturé atteint la surface du sol, toute pluie supplémentaire ruis-sellera dessus, et de l'eau anciennement contenue dans le sol poussée par lanouvelle nappe peut suinter à la surface.

Ce processus peut être accéléré par la présence d'une frange capillaire élevée,c'est à dire d'une zone de sol non saturé en eau, mais très proche de la satura-tion. Le moindre ajout d'eau peut alors provoquer la saturation totale de cettezone, permettant l'exltration d'eau à la surface. Ce phénomène est appelé in-tumescence de nappe, et apparaît en particulier à proximité des cours d'eau (cfFig 1).

La présence de galeries d'animaux, de racines, de fractures dans le sol peu-vent accélérer ou amplier ces phénomènes, en créant des réseaux d'écoulementspréférentiels. Bien que leur inuence peut être très importante, nous ne les pren-drons pas en compte dans la suite de ce travail.

3

Figure 1 Exltration d'eau de la frange capillaire

1.1.2 Ruissellement

La création de ruissellement d'eau à la surface du sol a été décrite par Horton[3] pour le ruissellement par dépassement d'inltrabilité, et par Cappus [4] etDunne et Black [5] pour le ruissellement sur surface saturée.

Horton décrit le phénomène suivant : quand la pluie tombe sur le sol, leux d'eau s'inltrant dans le sol décroît au cours du temps. Une partie desprécipitations pénètre dans le sol et alimente le processus d'inltration, tandisque l'autre s'accumule en surface et alimente le processus de ruissellement. Cepartage est d'après Horton contrôlé par une valeur, la capacité d'inltration ouinltrabilité, homogène à une vitesse, et caractéristique du sol. L'inltrabilitémaximale du sol en fonction du temps sous une condition de pluie est alors :

f = fc + (f0 − fc)e−kt (1)

où fc est la capacité d'inltration limite, f0, la capacité d'inltration initialeconsidérée comme maximale, et k, une constante dépendant de la perméabilitédu sol (cf Fig 2).

De nombreux modèles de l'ingénierie hydraulique utilisent ce modèle simple,mais on sait aujourd'hui qu'il est surtout valable pour les régions arides où lesintensités de pluie sont très fortes et les sols assez dénudés.

Le ruissellement sur zone saturée décrit par Cappus [4] et Dunne et Black[5] apparaît dans les zones déjà très humides. Lorsqu'il pleut sur un sol déjàentièrement saturé, le sol ne peut pas stocker d'eau. L'eau de pluie s'accumulealors à la surface et ruisselle. Ce phénomène est surtout présent pour les airesen fond de vallon, près des cours d'eau où la nappe est presque aeurante.

Un récapitulatif de ces échanges et de ces phénomènes est présenté sur laFig 3.

4

f > Rinltrationtotale

f < Rruissellementet inltration

eau disponiblepour le ruissellement

intensité de pluie R

Temps

capacité d'inltration f

Figure 2 Représentation du ruissellement de Horton d'après [1]

Figure 3 Description des phénomènes contribuant au débit d'un bassin ver-sant

5

1.2 Couplage des écoulements

La modélisation du cycle de l'eau, quelle que soit l'échelle, parcelle ou bassinversant, nécessite le développement de modèles et méthodes capables de représen-ter de manière intégrée et couplée les ux d'eau de surface et souterrains. Cecouplage reste une entreprise dicile. Les mécanismes d'écoulement de surfaceet souterrains sont en eet hautement non linéaires, avec des temps caractéris-tiques très diérents. De plus, pour respecter la physique des interactions entresurface et souterrain, la continuité des pressions et ux doit être assurée surl'ensemble de la surface topographique. Dans les faits, le couplage est souventeectué sans réelle rétroaction, ou sans prise en compte des processus de la zonenon-saturée de subsurface. Cependant, depuis une décennie, quelques modèlesreprésentatifs de la nouvelle génération de modèles couplés ont été proposés. Ilssont encore au stade expérimental, notamment en ce qui concerne leur applica-tion à des bassins très hétérogènes, et peuvent être améliorés par des approchesnumériques récentes mieux adaptées et plus ecaces.

Ainsi, dans le cadre de sa thèse réalisée au LSCE sous la direction d'Em-manuel Mouche, Sylvain Weill a développé une approche darcéenne multido-maine pour modéliser les échanges surface-subsurface à l'échelle de la parcelle[1], [7]. L'originalité de l'approche repose sur une description uniée de l'écoule-ment en subsurface, zones saturée et non saturée, et en surface : une mêmeéquation parabolique non linéaire, appelée équation de Richards généralisée,décrit les écoulements dans les diérents compartiments hydrologiques. D'uncompartiment à l'autre, seuls dièrent les paramètres et les lois. L'avantagede cette approche est que, contrairement aux approches classiques de couplagesurface-subsurface, le problème de couplage à la surface du sol entre l'équationde Darcy généralisée pour les écoulements de subsurface et l'onde diusante oul'onde cinématique pour les écoulements de surface ne se pose pas. Ce modèle aété implémenté dans Cast3M et a donné des résultats encourageants sur des con-gurations académiques [7]. Par contre, il s'est avéré très délicat d'utilisation,voire inadapté dans sa conguration actuelle, lors de la simulation de congu-rations plus complexes. Par exemple, le modèle s'est avéré incapable de traiterle ruissellement sur des versants dont la perméabilité du sol est hétérogène.En eet, le schéma numérique centré utilisé pour calculer la conductivité hy-draulique dans la couche de ruissellement ne permet pas de transférer de l'eaudans la couche de ruissellement d'une maille amont vers une maille aval initialement sèche. Notons ici que ce problème ne se pose pas si l'apport d'eaudans une maille de ruissellement initialement sèche se fait par le haut, par ex-emple via la pluie, ou par le bas, par exemple par exltration de la nappe ; ilapparaît uniquement lorsque cet apport se fait par l'amont ou par l'aval. Lavoie envisagée au cours de mon stage pour résoudre ce problème est d'utiliserun schéma décentré à la place du schéma centré actuel.

2 Modèle physique

Le modèle présenté ici a été développé par Sylvain Weill dans sa thèse [1].

6

2.1 Milieu poreux saturé

L'équation empirique de Darcy décrit les écoulements d'eau en milieu poreuxsaturé [2] :

−→U = −Ksat

−→∇(H) (2)

avec−→U , la vitesse de Darcy [LT−1], H, la charge hydraulique locale [L] et

Ksat, la perméabilité à saturation du milieu [LT−1], coecient propre au milieutraversé. La charge hydraulique est dénie pour un uide pesant incompressiblepar

H =u2

2g+

p

ρg+ z (3)

avec u, sa vitesse réelle au point considéré [LT−1], g, l'accélération de la pesan-teur [LT−2], p, la pression [ML−1T−2], ρ, la masse volumique de l'eau [ML−3],et z, la côte du point [L]. La vitesse de Darcy, quant à elle, est la vitesse ob-servée de l'écoulement d'eau à travers un milieu poreux : c'est le ux de volumed'eau traversant un élément de surface pendant un intervalle de temps.

En milieu poreux, les vitesses locales sont très faibles devant la pression, onutilise donc l'approximation suivante :

H = h+ z (4)

avec h = p/ρg, la pression en mètres.Cette équation empirique peut être retrouvée à partir des équations de

Navier- Stokes dans certaines conditions : écoulement laminaire, agencementparticulier du milieu [2] par exemple.

La deuxième équation que nous utiliserons est celle de la conservation de lamasse :

∂(ρθ)

∂t= −−→∇·(ρ

−→U ) + q (5)

avec θ la teneur en eau volumique (qui dépend de la nature du sol), et q le termesource [MT−1].

En combinant ces deux équations, et en supposant le uide incompressible,on obtient l'équation globale des écoulements en milieu poreux :

S∂H

∂t−−→∇·(Ksat

−→∇(h+ z)) =

q

ρ(6)

où S est le coecient d'emmagasinement du milieu [L−1].

2.2 Milieu poreux non saturé

Dans le cas où le milieu n'est pas saturé en eau, l'équation de Darcy n'estplus valable : le comportement des sols dans cette situation est fortement nonlinéaire. L'équation de Richards [8] qui les décrit s'écrit pour un milieu isotrope :

−→U = −K(h)

−→∇(H) (7)

oùK(h) est la conductivité hydraulique du milieu [LT−1], égale à la conductivitéhydraulique à saturation Ksat si le milieu est saturé en eau.

7

θr θs Ksat (mh−1) n m β (m−1)

Silty Clay Loam 0.1 0.41 0.0026 1.31 0.237 1.9Yolo Clay Loam 0.23 0.55 0.018 1.9 0.474 3.6

Sable 0.05 0.5 0.1 5 0.8 3.7

Table 1 Exemples de paramètres de Van Genuchten

L'équation globale de l'écoulement en milieu poreux devient donc :

C(h)∂H

∂t−−→∇·(K(h)

−→∇(h+ z)) =

q

ρ(8)

où C(h) = ∂θ∂h est la capacité capillaire du milieu [L−1].

La conductivité K dépend à la fois du milieu et de la teneur en eau decelui-ci, ou plus précisément de sa saturation ecace Se, dénie par

Se =θ(h)− θrω − θr

(9)

où θ est la teneur en eau, θr, la teneur en eau résiduelle, et ω la porosité dumilieu. Se est donc compris entre 0 et 1. Le lien entre saturation et charge peutêtre déni par la loi de Van Genuchten :

Se = (1 + (−βh)n)−m (10)

Le lien entre conductivité et saturation que nous avons choisi est la loi deMualem [?] :

K(h) = Ksat

√Se(1− (1− S1/m

e )m)2 (11)

où n, m = 1 − 1n et β sont des paramètres dépendant de la nature du mi-

lieu. Les lois de Van Genuchten et de Mualem sont des lois empiriques, les pluscouramment utilisées pour décrire le comportement d'un sol humidié. Des ex-emples de valeurs pour ces paramètres sont donnés dans le tableau Tab 1, et laperméabilité relative correspondante est gurée en Fig 4.

On note ici que des prols très raides de K(h) pourront entraîner des dicultésde convergence pour l'algorithme de résolution.

2.3 Ruissellement

L'équation de conservation de la masse pour les écoulements de surfaces'écrit :

∂hs∂t

+−→∇·(hs

−→Us) = qs (12)

avec hs, la hauteur d'eau moyennée [L],−→Us, la vitesse moyennée de l'eau [LT−1]

et qs, le terme source ou puits d'eau, comprenant la pluie, l'exltration d'eaudu sol et son inltration [LT−1].

Selon l'approximation faite, il existe plusieurs relations entre la vitesse moyen-née de l'eau

−→Us et la hauteur de lame d'eau hs. On choisit ici l'équation de

Manning-Strickler : elle suppose que les écoulements en surface se produisent

8

h

Krel

(1)

(2)

(3)

Figure 4 Diérentes perméabilités relatives en fonction de la pression capil-laire : (1) Argile (2) Sable marneux (3) Sable

dans un lm dont l'épaisseur est négligeable devant son étendue. Elle s'exprimeainsi [9] :

Us,i =h

2/3s

n

√Sf,i (13)

où Us,i est la vitesse dans la direction i, n, le coecient de Manning [LT−1/3]caractérisant la rugosité du sol, et Sf,i, la pente dite de friction dans cette mêmedirection.

Dans le cadre de l'approximation de l'onde diusive, le gradient de hauteurde lame d'eau est faible devant la pente topographique, et la pente de frictionpeut être approximée par la pente de la lame d'eau :

Sf,i = −∇i(hs + zs) ≈ −∇izs (14)

On note S0,i = −∇izs la pente topographique dans la direction i. On eectuealors l'approximation suivante :

Us,i =h

2/3s

n

√Sf,i =

h2/3s

n√Sf,i

Sf,i = − h2/3s

n√S0,i

∇i(hs + zs) (15)

En combinant cette approximation avec (12), on obtient :

∂hs∂t−−→∇ ·

(h

5/3s

n√S0

−→∇(hs + zs)

)= qs (16)

Cette équation a la même forme que l'équation (8) : en se basant sur cettesimilitude, le modèle présenté ici propose de modéliser l'écoulement surfaciqued'eau par une couche supérieure ctive de milieu poreux non saturé, ayant pour

9

conductivités dans les directions horizontales

Kx(hs) =h

5/3s

n√S0,x

(17)

Ky(hs) =h

5/3s

n√S0,y

(18)

sous la condition hs > 0, ces conductivités étant nulles si hs < 0, c'est à direquand il n'y a pas d'eau.

Pour dénir la conductivité verticale, le modèle cherche à vérier deux con-traintes : premièrement, l'eau doit s'écouler beaucoup plus vite dans le sensvertical que dans les autres directions, et deuxièmement, la pression dans lalame d'eau quand elle est formée doit être constante, an de pouvoir dénir unehauteur d'eau moyenne. Ces deux conditions sont vériées si la conductivité ver-ticale est très grande devant les autres conductivités. On prendra donc Kz trèsgrand et constant, qu'il y ait ou non de l'eau dans la couche de ruissellement.

En comparant le terme de dérivée en temps dans l'équation (16) à celui del'équation (8), on en déduit qu'en cas de ruissellement, la capacité capillaire dela couche ctive est C(hs) = 1. Quand il n'y a pas d'eau, la teneur en eau θsvaut zéro et le terme de dérivée temporelle s'annule : on obtient donc

Cs(hs) =

0 si hs < 0

1 sinon(19)

et

θs(hs) =

0 si hs < 0

hs sinon(20)

On a donc bien un formalisme identique à celui des équations de Richards.

2.4 Approche darcéenne multidomaine

En résumé, nous obtenons un système unié d'équations de la forme deséquations de Richards, qui pourra être résolu comme pour un continuum demilieux darcéens s'étendant de la subsurface à la surface du sol. On dénit pourcela une conductivité hydraulique globale K(h) et une teneur en eau globaleθ(h) de la manière suivante :

K(h) =

K(h) dans le domaine en subsurface

K(hs) dans la couche de ruissellement(21)

θ(h) =

θ(h) dans le domaine en subsurface

θ(hs) dans la couche de ruissellement(22)

avec

h =

h la teneur en eau dans le domaine en subsurface

hs la hauteur de la lame d'eau dans la couche de ruissellement(23)

L'équation que nous résoudrons est donc

C(H)∂H

∂t−−→∇·(K(H)

−→∇(H)) = q (24)

10

où C(H) = ∂θ/∂h est la capacité capillaire globale et q est un terme source/puitsglobal.

3 Modélisation numérique

3.1 Présentation de Cast3M

Cast3M (www-cast3m.cea.fr) est un code de calcul généraliste développédepuis le début des années 80 principalement au Commissariat à l'Énergie Atom-ique (CEA). Ce code éléments nis permet la résolution d'équations aux dérivéespartielles. D'abord développé pour résoudre des problèmes de mécanique, il aensuite été adapté pour traiter des problèmes de mécanique des uides, de ther-mique, d'acoustique et bien sûr d'écoulements en milieux poreux saturés et nonsaturés.

Ce code est une boîte à outils constituée d'un grand nombre d'opérateurspermettant de discrétiser et de résoudre des problèmes aux dérivées partielles[10]. Ce code est constitué de deux niveaux de programmation. Deux langages deprogrammation sont donc utilisés. Les opérateurs sont codés en Esope, langagedérivé du fortran. Les jeux de données sont programmés en Gibiane, langagespécique à Cast3M. La syntaxe de base d'opérations dans Cast3M est la suiv-ante :

Objet2 = Opérateur Objet1

où Opérateur est un opérateur Cast3M programmé en Esope, Objet1 l'argumentde l'opérateur et Objet2 le résultat de l'opérateur. Il existe dans la bibliothèqueCast3M des opérateurs de maillage, des opérateurs permettant de dénir les pro-priétés des milieux ou des opérateurs de résolution, soit au total 500 opérateursenviron. Les jeux de données Cast3M sont donc une succession de comman-des Gibiane permettant de dénir le problème, de le résoudre et de réaliser lespost-traitements adéquats.

Une des particularités de Cast3M est que chaque utilisateur a la possibilitéde développer ses outils pour résoudre son problème. Ce développement peutse situer aux deux niveaux évoqués précédemment et conduire à des développe-ments d'opérateurs ou de procédures. Une fois acceptés par un comité de contrôlequi vérie que les nouveaux outils sont cohérents avec les développements passéset la philosophie générale, ils peuvent être intégrés directement dans le codecommercial. Cast3M est donc un code de calcul approprié pour la recherchepuisque l'utilisateur contrôle l'intégralité de ses opérations et peut librementréaliser des développements si nécessaire. Dans le cadre de ce travail, aucunopérateur Esope n'a été développé. Les procédures nécessaires à la résolutionde problèmes d'écoulements saturé et non saturé existaient déjà, ainsi qu'uneprocédure permettant le couplage des écoulements de surface et de subsurface,nommée DARCYSAT. Le travail a donc consisté à développer une procédure Gib-iane s'appuyant sur DARCYSAT, permettant de résoudre numériquement des con-gurations que DARCYSAT ne pouvait pas simuler.

3.2 Résolution des équations d'écoulement dans Cast3M

Cast3M permet le calcul d'un écoulement en milieu poreux avec la procédureDARCYSAT, décrite dans les rapports [11], [12] [13], [14], [15].

11

Sol

couche de r

uissellemen

t

h < 0K = 0

h > 0K > 0

−→U

−→U = 0

Figure 5 Schéma du problème causé par une perméabilité ctive nulle

Cette procédure est dépendante d'un certain nombre de procédures annexesqui facilitent le travail de modélisation de l'utilisateur. La procédure SATUTILSpermet d'extraire et d'ordonner les arguments fournis par l'utilisateur, puis decalculer des données comme la perméabilité du milieu à partir de la charge à uninstant donné et du modèle de perméabilité imposé. La résolution à un instantdonné est assurée par la procédure TRANSGEOL. Le calcul adopte un schématemporel de Cranck-Nicholson, qui est résolu par une méthode de Picard.

La procédure DARCYSAT propose à l'utilisateur de dénir plusieurs zones dansson modèle, chacune d'elles ayant une perméabilité diérente. Cette diérenti-ation permet de dénir la couche de ruissellement avec une loi de perméabilitédiérente du reste du milieu.

3.3 Décentrement du schéma

La méthode proposée par Sylvain Weill [1] et décrite en 2.3 permet ecace-ment de traiter les cas de sol homogène, mais l'inclusion à la surface du sol d'unezone imperméable (Ksat < qpluie) n'est pas bien gérée. En eet, dans la couchede ruissellement, une maille sèche a pour perméabilité 0, donc la vitesse de l'eau,qui vérie

−→U = −K(h)

−→∇H est nulle d'une maille hydratée à une maille sèche.

Dans le cas d'une zone imperméable à la surface, une lame d'eau va se créerau-dessus de cette plaque, et ne passera pas dans la maille suivante, créant uneaccumulation d'eau, comme illustré par le schéma en Fig 5.

Une solution proposée à ce problème est le décentrement du calcul de l'é-coulement : en faisant apparaître dans le calcul de la perméabilité d'une maillecelle de la maille d'où vient le ux, on pourra compenser ce blocage.

3.3.1 Diérentes approches pour le ruissellement seul

Wasantha Lal [16] propose diérents algorithmes de modélisation des écoule-ments de surfaces, en s'appuyant sur le même modèle de couche de ruissellementctive. On ne s'intéresse pas ici à la dynamique de l'inltration de l'eau dansle sol, mais seulement à la propagation de l'eau sur un sol pentu perméable ounon.

12

L'équation considérée est donc

∂H

∂t=

∂

∂x

(K(h)

∂H

∂x

)+

∂

∂y

(K(h)

∂H

∂y

)(25)

avec

K(h) =h5/3

n√S

(26)

où h = H − z est la hauteur de la lame d'eau au-dessus du sol, n, le co-ecient de Manning, et S, la pente de la surface de la lame d'eau, égale à√

(∂H/∂x)2 + (∂H/∂y)2, qu'on ne suppose plus constante.

Méthode explicite La méthode explicite consiste à itérer le processus suiv-ant : connaissant au temps t = nδt la charge hydraulique (Hn)i,j sur tout ledomaine, on calcule la charge au temps t+ δt par

Hn+1i,j = Hn

i,j +Q(Hn)δt

δA(27)

où δA = δx × δy est l'élément d'aire, et Q est le ux d'eau entrant dans lacellule, déterminé par un schéma aux diérences nies :

Q(H) = Ki+1/2,j(Hi+1,j −Hi,j) +Ki−1/2,j(Hi−1,j −Hi,j)

+Ki,j+1/2(Hi,j+1 −Hi,j) +Ki,j−1/2(Hi,j−1 −Hi,j) (28)

où par exemple Ki+1/2,j est la perméabilité à la face séparant les cellules (i, j)et(i+ 1, j), que l'on calcule par Ki+1/2,j = K(1/2(hi+1,j + hi,j)). On calcule lapente de la surface de l'eau à un point à l'aide de l'expression suivante : la penteà la face entre les éléments (i, j) et (i+ 1, j) est

S2i+1/2,j =

1

δx2(Hi+1,j −Hi,j)

2

+1

16δy2(Hi+1,j+1 +Hi,j+1 −Hi+1,j−1 −Hi,j−1)2 (29)

Cette méthode a l'avantage d'être simple à implémenter, mais le pas detemps doit être petit pour garantir la stabilité.

Méthode ADE La méthode explicite de directions alternées (ADE) est présen-tée notamment dans [17]. Connaissant (H)ni,j à l'instant t, les étapes ci-dessoussont eectuées successivement, en notant δA = δx× δy :

H∗i,j = Hni,j +

Vi+1/2,j

δApour i = (N − 1)...1 (30)

H∗i+1,j = H∗i+1,j −Vi+1/2,j

δApour i = (N − 1)...1 (31)

H∗∗i,j = Hni,j +

Vi−1/2,j

δApour i = 2...N (32)

H∗∗i−1,j = H∗∗i−1,j −Vi−1/2,j

δApour i = 2...N (33)

Hn+1/2 =H∗ + H∗∗

2(34)

13

puis

H∗i,j = Hn+1/2i,j +

Vi,j+1/2

δApour j = (M − 1)...1 (35)

H∗i,j+1 = Hn+1/2i,j+1 −

Vi,j+1/2

δApour j = (M − 1)...1 (36)

H∗∗i,j = Hn+1/2i,j +

Vi,j−1/2

δApour j = 2...M (37)

H∗∗i,j−1 = Hn+1/2i,j−1 −

Vi,j−1/2

δApour j = 2...M (38)

Hn+1 =H∗ + H∗∗

2(39)

avec Vi+1/2,j le volume d'eau passant de la cellule (i+ 1, j) à la cellule (i, j),déterminé par :

Vi+1/2,j = sign(H∗i+1,j −H∗i,j)×

min

(Ki+1/2,jδt|H∗i+1,j −H∗i,j |,

δA

2|H∗i+1,j −H∗i,j |, h∗i+1δA

)(40)

Dans cette expression, on reconnaît le premier terme qui est donné par l'équa-tion de Manning, le second préservant le calcul d'un changement de sens du ux,et le troisième donnant le maximum d'eau pouvant sortir de la maille (i+ 1, j).On remarque que dans la première étape par exemple, le calcul de H∗, on peutrendre cette expression explicite.

Ce schéma calcule donc les transferts d'eau qui sont eectués du bas versle haut, puis ceux du haut vers le bas avant de faire la moyenne de ces deux passages . Le résultat obtenu est alors utilisé pour déterminer les transfertsd'eau de la droite du domaine vers la gauche, et de la gauche vers la droite,avant d'en faire la moyenne de la même façon.

Le fait d'eectuer les calculs dans une direction deux fois dans les sens op-posés est très important. Par exemple si le domaine comprend une source àdroite, l'onde créée ne peut se propager que d'une maille à la fois lors du calculdes transferts d'eau de la gauche vers la droite, alors qu'elle peut être invasivelors du calcul des transferts de la droite vers la gauche du domaine.

Méthode ADI Dans le cadre de la méthode des directions alternées implicite(ADI), on s'appuie sur une méthode de Crank Nicholson de résolution de l'équa-tion : le schéma de résolution est du type

Hn+1i,j = Hn

i,j + (1− α)Q(Hn)δt

δA+ αQ(Hn+1)

δt

δA(41)

avec α = 1/2. On dénit les opérateurs diérentiels suivants :

(DxH)i,j =δt

2δA(Ki+1/2,j(Hi+1,j −Hi,j) +Ki−1/2,j(Hi−1,j −Hi,j)) (42)

(DyH)i,j =δt

2δA(Ki,j+1/2(Hi,j+1 −Hi,j) +Ki,j−1/2(Hi,j−1 −Hi,j)) (43)

Dans ces termes, l'équation (41) devient :

(1−Dx −Dy)Hn+1 = (1 +Dx +Dy)Hn (44)

14

En négligeant les termes d'ordres élevés on obtient alors :

(1−Dx)H∗ = (1 +Dy)Hn (45)

(1−Dy)Hn+1 = (1 +Dx)H∗ (46)

On résout (45) pour chaque ligne de H∗, puis (46) pour chaque colonne deHn+1. Les termes extra-diagonaux des matrices 1 − (Dx)i et 1 − (Dy)j sontproportionnels à δt et à δA, on peut donc choisir ces paramètres pour queces matrices soient toujours inversibles quelle que soit la ligne ou la colonneconsidérée. Cet algorithme se révèle être le plus ecace des trois algorithmesconsidérés.

3.3.2 Couplage avec l'écoulement souterrain

On s'est intéressé au décentrement dans le maillage de la couche de ruisselle-ment sous Cast3M, à partir de la procédure DARCYSAT.

Comme précédemment, l'utilisateur impose les lois de perméabilité dans lacouche de ruissellement et dans le milieu. Ensuite, le calcul de la perméabilitédans la couche de ruissellement est modié par rapport à la procédure originelle.On considère la i-ème maille de la couche, la maille 0 étant positionnée en basdu domaine. Pour obtenir sa perméabilité ctive Ki, on calcule tout d'abord saperméabilité Kc

i = K(his), où his est la hauteur d'eau dans la maille i, à l'aide

des formulations (17) et (18). De même, on calcule la perméabilité de la maillesupérieure Kc

i+1 = K(hi+1s ). On dénit enn la perméabilité ctive de la maille

i comme étant Ki =Kci+Kc

i+1

2 , comme présenté en Fig 6.Ainsi, si la maille i est entièrement désaturée mais qu'il y a de l'eau dans la

maille i+ 1, la perméabilité ctive de la maille i ne sera pas nulle, et donc il yaura un ux d'eau descendant.

Comme il y a toujours une teneur résiduelle en eau dans le milieu poreux,le décentrement n'y est pas nécessaire.

Cette méthode de décentrement présente plusieurs inconvénients : elle n'estvalable qu'en dimension 2, ou alors pour un maillage suivant le sens de la pente,et si la pente suit la même direction sur tout le domaine. Dans la congurationdite du livre ouvert (cf Fig 7), qui est un cas test classique pour les modèlesd'écoulements de surface, elle doit être adaptée.

Par exemple, on peut faire repérer au logiciel les diérentes zones (1), (2)et (3) où la pente garde la même direction. Le calcul de la perméabilité ctivedans la couche de ruissellement s'eectue alors dans chacune de ces zones selonla technique décrite précédemment, puis la concaténation de ces trois domainesdonne la perméabilité ctive globale dans toute la vallée.

15

Sol

couche de r

uissellemen

t

h < 0K1 = 0

h > 0K2 > 0

−→U

−→U = 0

Sol

couche de r

uissellemen

t

h < 0K∗1 > 0

h > 0K∗2 > 0

−→U

K∗1 = K1+K2

2−→U 6= 0

Figure 6 Décentrement du schéma numérique dans Cast3M

(1)

(2)

(3)

Figure 7 Conguration du livre ouvert, avec les trois zones de décentrement

16

Méthode δt (s)Niveau nal au cen-tre (m)

Rayon du pic à mi-hauteur(km)

Explicite 25 0,4422 23,490ADE 500 0,4449 23,740ADI 8100 0,4476 23,503ADI avec un maillage plus précis 500 0,4424 23,309Résultats issus de [16] (méthodeADI)

8100 0,4422

Table 2 Pas de temps utilisé et résultat des diérentes méthodes

4 Résultats

4.1 Simulation de la couche de ruissellement

Les algorithmes proposés par Wasantha Lal [16] sont implémentés dans Mat-lab. Quelques cas-tests sont présentés ici pour comparer leur ecacité.

4.1.1 Propagation d'onde

Dans son article, Wasantha présente le cas-test suivant : sur un domaine platde dimension 160, 93 × 160, 93 km2(100 × 100mi2), se trouve une nappe d'eauformant initialement une sinusoïde au centre et uniforme autour, c'est à dire

H =

0, 4575 + 0, 1525 cos( πr

rmax) si r < rmax

0, 305 sinon(47)

où H est exprimé en mètres, avec rmax = 3, 21879 km. Le coecient de Manningest pris égal à 1, on ne considère ni pluie ni inltration ni évapo-transpiration,et la période de simulation est de 12 jours. Le pas de temps choisi dépendde la méthode de calcul, et on choisit un pas d'espace de 800m pour chaquesimulation. Par ailleurs, on eectue ce calcul avec la méthode ADI pour un pasd'espace plus petit (400m) : on peut ainsi comparer ces méthodes à une solution plus proche de la réalité. Les résultats sont présentés dans le tableau Tab 2.

La méthode ADE, telle qu'elle est codée, est extrêmement coûteuse en tempsde calcul. Un travail d'optimisation du code peut être envisagé.

On observe avec Tab 2 que les trois algorithmes donnent des résultats sat-isfaisants. La méthode explicite exige un pas de temps très petit pour pouvoirconverger, alors que cette condition peut être très relâchée pour les autres. Ladispersion numérique s'observe à travers la largeur du pic d'eau à mi-hauteur :le schéma ADE en créé plus avec ce pas de temps que les autres schémasnumériques.

4.1.2 Runo-Runon

On considère un domaine de 160 km de long et de 8 km de large, dont lapente est de 5% dans le sens de la longueur. On impose sur tout le domaineune pluie R = 0, 1m/s, et une inltration I qui dépend de la distance au hautdu domaine : elle est linéaire, vaut 0 en haut du domaine et 0.4m/s en bas

17

Figure 8 Hauteur d'eau initiale et nale

Figure 9 Lame d'eau créée par la diérence de pluie et d'inltration

18

Méthode de calcul Longueur de la lame d'eau (km) ||L(H)||∞Méthode explicite 80,40 0, 0574Méthode ADE 78,6 1, 3136Méthode ADI 79,60 0.0164

Table 3 Comparaison des trois algorithmes sur le cas-test de runon-runo

du domaine. La pluie est donc supérieure à l'inltration du sol sur 40 km. Unecouche d'eau se forme en haut du domaine et est absorbée par le sol.

Les trois algorithmes sont comparés sur ce cas-test : la longueur de la lamed'eau créée à l'équilibre est comparée. On évalue aussi l'écart de ces résultatsnumériques à une solution de l'équation diérentielle originelle, c'est à dire

0 =∂

∂x

(K(h)

∂H

∂x

)+R− I = L(H) (48)

car on peut supposer une symétrie en y et on se place à l'équilibre.On remarque avec le Tab 3 que l'algorithme de résolution numérique ADE

n'est pas adapté à ce genre de conguration : ses résultats sont assez diérentsde ceux trouvés avec les autres algorithmes, et il est loin de vérier l'équationL(H) = 0 pour sa solution à l'équilibre par rapport aux deux autres algorithmes.

Cette question de la création d'une lame d'eau sur un milieu plus ou moinsperméable est un sujet de recherche actif, comme en témoigne [18].

4.2 Simulation d'un versant 2D

Le modèle est implémenté dans Cast3M, à partir de jeux de données dévelop-pés par Claude Mugler, Sylvain Weill et Jérémy Patin principalement.

La thèse de Sylvain Weill [1] valide notamment sa modélisation de la couchede ruissellement sur diérentes congurations décrites par la littérature. Nousvérierons dans un premier temps qu'un cas-test simple souvent utilisé est en-core bien traité par notre modication du schéma numérique, puis nous nousintéresserons à deux cas-tests que l'outil numérique de Sylvain Weill ne pouvaitpas simuler.

4.2.1 Cas-tests homogènes

La maquette d'Abdul et Guilham [20] est un système expérimental perme-ttant à la base d'illustrer l'importance de la frange capillaire dans la réponserapide des zones très humides. Il s'agit d'un bac à sable humidié incliné, avecune sortie d'eau à son extrémité, schématisé en Fig 10. À part la sortie d'eau,les limites du bac sont imperméables.

Au vu de la faible épaisseur du système, on peut utiliser un domaine decalcul bidimensionnel. D'après Sylvain Weill [1], le milieu est un sable dontla perméabilité à saturation est 3, 5 × 10−5m/s et la porosité 0, 34. Les loisde teneur en eau et de perméabilité relatives sont approximées par les lois deVan Genuchten, avec n = 5, 5 et α = 2, 3m−1. Le coecient de Manning vaut0, 185 sm−1/3. La pluie imposée est de 1, 67× 10−5m/s.

On dénit une condition aux bords de ux nul sur les parois du bac, sauf àl'exutoire, c'est à dire la limite gauche de la couche de ruissellement, où le ux

19

Pluie

76cm

couchede ruis

sellement

Exutoire

Sol

bords à ux nul

140 cm

pentede 12 d

egrés

hauteur de nappe initiale

Figure 10 Schéma du dispositif d'Abdul et Guilham [20]

est libre. Le sol est maillé par des quadrangles de 1m de longueur, et de plus enplus ns à mesure qu'on se rapproche de la surface. La couche de ruissellementest maillée par des quadrangles de 1m d'épaisseur et prenant toute la hauteurde la couche. La pluie est imposée comme une source d'eau dans chaque maillede la couche de ruissellement.

On eectue le test suivant : une pluie est imposée sur le domaine, et onmesure le ux d'eau sortant du milieu au cours du temps, pendant la pluie etpendant la décharge du système, ainsi que les ux d'eau s'inltrant le long dudomaine. La pluie est inférieure à la perméabilité du sol : dans un premier temps,toute l'eau s'inltre, puis, quand la surface du sol est saturée, l'eau ruisselle lelong de la pente. Une partie de l'eau continue à s'inltrer, principalement enhaut du domaine, et est compensée par une exltration d'eau ancienne près dela sortie du domaine.

Les résultats obtenus avec le décentrement, présentés en Fig 11, sont enaccord avec ceux de Sylvain Weill et avec les mesures d'Abdul et Guilham.

Dans leur article, Kollet et Maxwell [21] présentent un cas de régime hor-tonnien, où le ux de pluie est supérieur à la perméabilité du sol. Il s'agit d'unbac de 400m de long, avec une pente de 0, 5% et une profondeur de 5m, dontles caractéristiques sont Ksat = 1, 16 × 10−7m/s, n = 2, α = 1, θres = 0, 08,θsat = 0, 4. La nappe d'eau est initialement à 1m de profondeur, et on appliqueune pluie de 1, 16× 106m/s. Le bac est schématisé en Fig 12.

Durant la simulation, l'eau de pluie s'inltre en partie dans le sol, et le resteruisselle. Selon le rapport entre le ux de pluie et la perméabilité à saturationdu sol, cette fraction est plus ou moins importante.

20

500 1000 1500Temps (s)

Flux sortant (m/s)

0, 5× 10−5

1× 10−5

1, 5× 10−5

Figure 11 Évolution temporelle du ux d'eau sortant dans la simulation dela maquette de Abdul et Guilham [20]

400 m

5m

hauteur d'eau initiale

4 m

bords à ux nul

couche de ruissellementExutoire

pente : 0,05 %

Figure 12 Schéma du premier cas-test de Kollet et Maxwell

21

5000 10000 15000 20000 Temps (s)

1× 10−3

2× 10−3

Flux d'eau sortant (m/s)

Figure 13 Évolution temporelle du ux d'eau sortant dans le cas du régimehortonnien de Kollet et Maxwell

Les résultats, présentés en Fig 13 sont en accord avec ceux présentés parKollet et Maxwell [21].

4.2.2 Milieu hétérogène de Kollet et Maxwell

Dans ce même article [21], Kollet et Maxwell décrivent une congurationhétérogène de bac à sable : le domaine a les mêmes dimensions que le bac décritci-dessus, mais sa perméabilité est plus importante (1, 16 × 10−5m/s), et onajoute à sa surface une inclusion plus imperméable. Il s'agit d'une zone de 100m de long et de 0,05 m d'épaisseur, située entre x = 120m et x = 220m,dont la perméabilité à saturation est Ksat = 1, 16 × 10−7m/s. Tous les autresparamètres sont homogènes dans tout le domaine. Le bac est schématisé en Fig14.

Les résultats obtenus par notre modèle sont proches des résultats décrits parKollet et Maxwell, mais le pas de temps et le pas d'espace nécessaires pour lebon déroulement du calcul sont bien inférieurs à ceux proposés dans l'article.

On observe sur la gure Fig 15 que la présence d'une hétérogénéité dans le solentraîne un ux sortant plus important au début de sa formation. Dès le débutde la pluie, une couche d'eau se forme sur la zone imperméable du sol, et s'étenden direction de l'exutoire. Ce surplus d'eau libre contribue principalement auxpremiers écoulements.

Sur la Fig 16 sont présentées les cartes de saturation du sol : l'eau emma-gasinée sur la zone imperméable participe à la saturation du sol plus rapide àl'aval qu'en amont de celle-ci. Le ux d'eau à l'exutoire en Fig 15 atteint unpalier à t = en même temps que le ux à l'exutoire sans inclusion, mais ce palierlui est légèrement inférieur. En eet, l'inclusion imperméable se sature pendantcette période : une partie de la pluie est utilisée à cet eet, le ux à l'exutoiren'est donc pas égal à la pluie dans ce cas.

22

400 m

5m

hauteur d'eau initiale

4 m

bords à ux nul

couche de ruissellementExutoire

inclusion5 cm

100 m

pente : 0,05 %

Figure 14 Schéma du deuxième cas-test de Kollet et Maxwell (avec uneinclusion imperméable) [21]

5000 10000 15000 20000

Temps (s)

1× 10−5

2× 10−5

Flux (m/s) Sans inclusion imperméable

Avec inclusion imperméable

Figure 15 Évolution temporelle du ux d'eau pour le modèle de Kollet etMaxwell, avec et sans inclusion imperméable

23

t = 0min t = 20min

t = 1min t = 80min

t = 10min t = 160min

Figure 16 Cartes de saturation en eau dans le modèle au cours du temps

24

Conclusion

La modélisation en hydrogéologie des ux d'eau nécessite une bonne com-préhension des phénomènes physiques qui entrent en jeu. La question du cou-plage des équations d'écoulements de surface et de subsurface est importante,car elle concerne des ux dont l'inuence sur les activités humaine est trèsforte. Cast3M propose une procédure de modélisation des ux de subsurface,DARCYSAT, que Sylvain Weill [1] a adapté pour la résolution des ux de surface etde subsurface. Cette modélisation fait partie d'une génération de nouveaux algo-rithmes permettant de résoudre ce problème. Un problème important de celle-ciest la gestion des milieux non-homogènes à la surface d'un sol : l'algorithme neparvient pas à résoudre ce genre de congurations.

Nous avons donc développé une procédure permettant le décentrement de lazone maillée à la surface dans le modèle, ce qui résout certaines des congura-tions qui posaient problème précédemment. Pour autant, cette procédure n'estpas robuste : des cas-tests récents, achant des discontinuités très importantes,ne sont pas résolues par ce modèle. De plus, la technique de décentrement quenous proposons n'est pas adaptée à des modèles en trois dimensions, ou biendont la pente change de direction.

Les algorithmes de décentrement que nous avons étudiés sous Matlab sontune proposition de nouvelle technique de modélisation de la couche de ruisselle-ment, si l'on conserve un modèle similaire pour l'intérieur du sol. Un travail pluspoussé pourrait être eectué pour trouver des solutions aux problèmes de cetteprocédure.

25

L'approximation par éléments nis

Forme variationnelle

Cast3M propose de résoudre les équations de Richards à l'aide d'élémentsnis mixtes hybrides ou de volumes nis particuliers. Nous allons présenter ici cesméthodes en prenant l'exemple de l'équation de Richards en régime permanent.De plus amples explications sont disponibles en [11], [12].

On s'intéresse ici à un écoulement permanent d'eau dans un milieu poreuxnon saturé Ω ∈ R2 ou R3. L'eau obéit alors à une équation de Richards (8). Onsuppose de plus que le système admet des conditions aux bords sur la chargeH de type Dirichlet sur ΓD, et de type Neumann sur ΓN , avec ΓD ∩ ΓN = ∂Ω.L'approche par éléments nis mixtes consistera à chercher simultanément lavitesse de Darcy et la charge dans deux espaces fonctionnels diérents.

−→∇·(−→U ) = q

K−1(h)−→U +

−→∇H = 0

H = HD sur ΓD−→U · −→n = qN sur ΓN

(49)

où h = H − z. On va chercher la charge H dans l'espace H1(Ω), et la vitesse−→U

dans H−→∇·(Ω), où

H−→∇·(Ω) = −→u ∈ (L2(Ω))n,

−→∇·(−→u ) ∈ L2(Ω)

La formulation variationnelle du système d'équations (49) revient à trouver

(−→U ,H) ∈ H

−→∇·(Ω) × H1(Ω) tels que, pour tout (−→w , v) ∈ H

−→∇·(Ω) × L2(Ω), on

ait :∫

Ω

−→∇·(−→U ) · v dΩ =

∫Ωq · v dΩ∫

ΩK−1(h)

−→U · −→w dΩ−

∫ΩH−→∇·(−→w ) dΩ +

∫ΓD

HD−→w · −→n dΓD = 0

−→U · −→n = qN sur ΓN

(50)

Discrétisation

On introduit Ωh une discrétisation de Ω en Ne éléments géométriques sim-ples, notés Ei. On désigne par Fh l'ensemble des Nf faces des éléments (côtésen dimension 2), notés Fi. On se limitera à des éléments triangulaires ou quad-rangulaires en dimension 2, et à des trapèzes, des prismes ou des hexaèdres endimension 3.

On considère les espaces de discrétisation suivants :

Vh = vh : Ω→ R/vh = cte sur Ei, i = 1..Ne ⊂ L2(Ω)

Wh = −→wh : Ω→ Rn/−→wh · −→n = cte sur Fi, i = 1..Nf ⊂ H−→∇·(Ω)

L'espace Vh servira à la discrétisation de la charge, et Wh à la discrétisationde la vitesse. Le problème (50) discrétisé devient : trouver (

−→Uh, Hh) ∈Wh × Vh

tels que pour tous (−→wh, vh) ∈Wh × Vh,

26

∫

Ω

−→∇·(−→Uh) · vh dΩ =

∫Ωq · vh dΩ∫

ΩK−1(hh)

−→Uh · −→wh dΩ−

∫ΩHh−→∇·(−→wh) dΩ +

∫ΓD

HD−→wh · −→n dΓD = 0

−→Uh · −→n = qN sur ΓN

(51)

Hybridation

L'hybridation du problème [11] consiste à ne pas imposer à l'espace Wh

la continuité des composantes normales des vecteurs qui le composent. Cettecontrainte sera ajoutée au problème sous la forme :

−−−→UE′,i · −→nE′ +

−−→UE,i · −→nE = 0,∀Fi = E ∩ E′ (52)

Le multiplicateur de Lagrange associé à ce problème sera noté Thh ∈ Nh,où

Nh = f ∈ L2(Fh)/f = cte sur Fi,∀i = 1..NF (53)

ce qui nous amène à l'expression du problème mixte hybride suivant : trouver(−→Uh, Hh, Thh) ∈Wh×Vh×Nh tels que pour tous E ∈ Ωh, pour tous (vh,

−→wh) ∈Vh,E ×Wh,E , on ait

∫E

−→∇·(−→Uh) · vh dE =

∫Eq · vh dE∫

EK−1(hh)

−→Uh · −→wh dE −

∫EHh−→∇·(−→wh) dE +

∫∂E

Thh−→wh · −→n dΓD,E = 0

(54)avec les conditions aux interfaces −−−→

Uh,E′ · −→nE′ +−−→Uh,E · −→nE = 0 sur Fi,∀Fi = E ∩ E′

Thh,E′ = Thh,E sur Fi,∀Fi = E ∩ E′(55)

et pour les conditions aux limitesThh = HD sur ΓD−→Uh · −→n = qN sur ΓN

(56)

les espaces locaux Vh,E et Wh,E vériant Vh,E ⊂ L2(E) et Wh,E ⊂ H−→∇·(E).

Les problèmes (51) et (54) sont équivalents grâce à la proposition suivante :

Proposition. Une fonction −→wh ∈ L2(Ω) dont la restriction à chaque élément

E de Ωh appartient à H(−→∇·, E) est un élément de H(

−→∇·,Ω) si et seulement si

la composante normale de −→wh est continue sur toutes les faces Fi, c'est à dire :

−−−→wE,Fi · −→nE +−−−−→wE′,Fi · −→nE′ = 0,∀E et E′ ∈ Ωh/Fi = E ∩ E′ (57)

Cette méthode des éléments nis mixtes hybrides ne convenait plus auxexigences de rapidité de calcul, le choix s'est donc porté par la suite sur laméthode des volumes nis aussi proposés par Cast3M.

27

P

QR

A

BC

D

−−→nAB

Figure 17 Structure de la maille S

Les volumes nis dans Cast3M

Le modèle de volumes nis dans Cast3M pour la résolution d'un problèmed'écoulements dans un milieu poreux utilise des éléments de la méthode d'hy-bridation des éléments nis décrite précédemment. Cette résolution est plusamplement décrite en [14].

On veut résoudre numériquement l'équation :

S∂H

∂t=−→∇·(K

−→∇H) (58)

On considère un maillage du domaine Ω constitué de K mailles notées Ωk(triangles ou quadrangles) et N noeuds. On note pour un maillage de triangles(cf Fig 17) :

T le triangle (P,Q,R) A le barycentre de T C,B,D les milieux des arêtes de T τ le triangle (A,B,C) Aτ la surface de τ , AT la surface de T −−→nAB une normale (de même norme) au vecteur

−−→AB

δτ la frontière de τ ∆P le quadrangle (A,B, P,C) NP le nombre d'arêtes autour du point P FP l'ensemble des arêtes autour de point P ΩPBC = ∆P ∩ FPOn fait de plus les hypothèses suivantes : H est ane sur ∆P

K est constant dur SOn note HA (respectivement HB , HC) la valeur de H au point A (respec-

tivement au point B, au point C).

28

On note−→U = K

−→∇H :

−→U est constant sur ∆P . On intègre cette dénition

sur T en utilisant la formule de Green :∫τ

K−1−→U dΩ =

∫τ

−→∇HdΩ =

∫δτ

H−→n dΓ (59)

En utilisant les hypothèses sur H, on obtient :

K−1−→U P =1

2Aτ(HA −HC)−−→nAB +

1

2Aτ(HA −HB)−−→nAC (60)

On peut en déduire les ux fPB et fPC à travers les interfaces PB et PC quivérient :

fPB =−→U P · −−→nPB = −−→nPBK−−→nAB 1

2Aτ (HA −HC) +−−→nPBK−−→nAC 12Aτ (HA −HB)

fPC =−→U P · −−→nPC = −−→nPCK−−→nAB 1

2Aτ (HA −HC) +−−→nPCK−−→nAC 12Aτ (HA −HB)

(61)En appliquant la condition de continuité du ux sur chaque arête autour de

P , on en déduit les valeurs aux interfaces et donc tous les ux autour de P .En intégrant l'équation (58) sur la maille T , on obtient :∫

T

S∂H

∂tdΩ =

∫T

−→∇·−→U dΩ =

∫δT

−→U ·−→n dΓ = fPB+fBQ+fQD+fDR+fRC+fCP

(62)c'est à dire

ATS∂HA

∂t= fPB + fBQ + fQD + fDR + fRC + fCP (63)

On a donc toutes les valeurs situées sur les barycentres des mailles.

Code Matlab

On note dans ces diérents codes : M_h les matrices des hauteur d'eau au-dessus du sol M_H les hauteurs d'eau au-dessus d'un certain niveau n_Manning le coecient de Manning slope la pente de la surface de l'eau (qui est calculée dans ces programmes) elevation la côte topographique du domaine deltax et deltay les pas d'espace dans les deux directions deltat le pas de temps

function res = Permeability(M_h,n_Manning,slope)

%attention, prend en argument la hauteur d'eau au-dessus de la surface (h), pas

%la hauteur d'eau au-dessus d'un niveau (H)

delta = 10^(-7);

M_h = max(M_h,zeros(size(M_h)));

S = max(slope,delta*ones(size(slope)));

Sp = (S~=delta);

hmin = 10;

M_hp = max(M_h,hmin*ones(size(M_h)));

29

M_hp = (M_hp~=hmin);

res = M_h.^(5/3)./(n_Manning*sqrt(S)) .* Sp ;

end

Méthode explicite

Partie principale

H_n = H_0;

for i = 1:(Tfin/deltat)

H_n = H_n + inflow(H_n,n_Manning,deltax,deltay,elevation)*deltat/(deltax*deltay);

end

Calcul du ot

function res = inflow(H_n,n_Manning,deltax,deltay,elevation)

M_H = H_n;

%Décalage des charges et des hauteurs d'eau

M_h = M_H - elevation;

[m,n] = size(M_h);

Mh_east = M_h(:,2:n);

Mh_east = [Mh_east , zeros(m,1)];

MH_east = [M_H(:,2:n) , zeros(m,1)];

Mh_west = M_h(:,1:(n-1));

Mh_west = [zeros(m,1) , Mh_west];

MH_west = [zeros(m,1) , M_H(:,1:(n-1))];

Mh_south = M_h(2:m,:);

Mh_south = [Mh_south ; zeros(1,n)];

MH_south = [M_H(2:m,:) ; zeros(1,n)];

Mh_north = M_h(1:(m-1),:);

Mh_north = [zeros(1,n) ; Mh_north];

MH_north = [zeros(1,n) ; M_H(1:(m-1),:)];

%Calcul des pentes au carré aux différentes faces

MH_ne = M_H(1:(m-1),2:n);

MH_ne = [[zeros(1,n-1) ; MH_ne] , zeros(m,1)];

MH_nw = M_H(1:(m-1),1:(n-1));

MH_nw = [zeros(m,1) , [zeros(1,n-1) ; MH_nw]];

MH_se = M_H(2:m,2:n);

MH_se = [[MH_se ; zeros(1,n-1)] , zeros(m,1)];

MH_sw = M_H(2:m,1:(n-1));

MH_sw = [zeros(m,1) , [MH_sw ; zeros(1,n-1)]];

sslope_e = 1/(deltax^2) * ((MH_east - M_H).^2 + (deltax/deltay)^2/16 * (MH_se + MH_south - MH_ne - MH_north).^2) ;

sslope_w = 1/(deltax^2) * ((MH_west - M_H).^2 + (deltax/deltay)^2/16 * (MH_sw + MH_south - MH_nw - MH_north).^2) ;

sslope_n = 1/(deltax^2) * ((MH_north - M_H).^2 + (deltax/deltay)^2/16 * (MH_nw + MH_west - MH_ne - MH_east).^2) ;

sslope_s = 1/(deltax^2) * ((MH_south - M_H).^2 + (deltax/deltay)^2/16 * (MH_sw + MH_west - MH_se - MH_east).^2) ;

30

%calcul des perméabilités aux faces

K_east = Permeability((Mh_east+M_h)/2,n_Manning,sqrt(sslope_e));

K_east(:,end) = 0.;

K_west = Permeability((M_h+Mh_west)/2,n_Manning,sqrt(sslope_w));

K_west(:,1) = 0.;

K_south = Permeability((Mh_south+M_h)/2,n_Manning,sqrt(sslope_s));

K_south(end,:) = 0.;

K_north = Permeability((M_h+Mh_north)/2,n_Manning,sqrt(sslope_n));

K_north(1,:) = 0.;

res = K_east.*(MH_east - M_H) + K_west.*(MH_west - M_H) + K_north.*(MH_north - M_H) + K_south.*(MH_south - M_H);

end

Méthode ADE

Partie principale


H_m = ADEstep_3(H_m,n_Manning,deltax,deltay,deltat,elevation) ;

end

Calcul du ot

function res = ADEstep_3(M_H,n_Manning,deltax,deltay,deltat,elevation)

deltaA = deltax * deltay;

r = deltax/deltay;

[m,n] = size(M_H);

%passage selon les lignes (d'est en ouest)

new_mat = zeros(m,n);

new_mat(:,n) = M_H(:,n);

for i = 1:m

for j = (n-1):(-1):1

elevation_e = elevation(i,j+1);

Hij = M_H(i,j);

hij = Hij - elevation(i,j);

Hej = new_mat(i,j+1);

hej = Hej - elevation_e;

if (i==m)

Hsj = M_H(i-1,j);

else

Hsj = M_H(i+1,j);

end

slope = 1/deltax * sqrt((Hij - Hej).^2 + r^2*(Hij - Hsj).^2);

Keast = Permeability((hij+hej)/2,n_Manning,slope);

31

H1 = 2/3*Hij + 1/3*Hej;

num = ADEtest(deltat,deltaA,Keast,H1,Hej,elevation_e);

if (num == 1)

new_mat(i,j) = H1;

else

H2 = 1../(1.+Keast*deltat/deltaA) .*(Hij -Hej) + Hej;


if (num ==2)

new_mat(i,j) = H2;

else

H3 = Hij - (Hej - elevation_e);


if (num==3)

new_mat(i,j) = H3 ;

else

H4 = Hij + (Hej - elevation_e);


if (num == 3)

new_mat(i,j) = H4 ;

else

new_mat(i,j) = H1 ;

%error('pas de solution trouvee, flux d est, i %d , j %d',i,j);

end

end

end

end

new_mat(i,j+1) = new_mat(i,j+1) - (new_mat(i,j) - Hij);

end

end

%passage selon les lignes (d'ouest en est)

new_mat2 = zeros(m,n);

new_mat2(:,1) = M_H(:,1);

for i = 1:m

for j = 2:n

elevation_w = elevation(i,j-1);

Hij = M_H(i,j);


Hwj = new_mat2(i,j-1);

hwj = Hwj - elevation_w;

if (i==m)

Hsj = M_H(i-1,j);

else

Hsj = M_H(i+1,j);

end

slope = 1/deltax * sqrt((Hij - Hwj).^2 + r^2*(Hij - Hsj).^2);

Kweast = Permeability((hij+hwj)/2,n_Manning,slope);

H1 = 2/3*Hij + 1/3*Hwj;

num = ADEtest(deltat,deltaA,Kweast,H1,Hwj,elevation_w);

if (num == 1)

32

new_mat2(i,j) = H1;

else

H2 = 1../(1.+Kweast*deltat/deltaA) .*(Hij -Hwj) + Hwj;


if (num ==2)

new_mat2(i,j) = H2;

else

H3 = Hij - (Hwj - elevation_w);


if (num==3)

new_mat2(i,j) = H3 ;

else

H4 = Hij + (Hwj - elevation_w);


if (num == 3)


else


%error('pas de solution trouvee, flux d ouest');

end

end

end

end

new_mat2(i,j-1) = new_mat2(i,j-1) - (new_mat2(i,j) - Hij);

end

end

new_H = (new_mat + new_mat2)./2.;

%passage selon les colonnes (du nord au sud)


new_mat3(1,:) = new_H(1,:);

for j = 1:n

for i = 2:(m-1)

elevation_n = elevation(i-1,j);

Hij = new_H(i,j);


Hnj = new_mat3(i-1,j);

hnj = Hnj - elevation_n;

if (j==n)

Hej = new_H(i,j-1);

else

Hej = new_H(i,j+1);

end

slope = 1/deltax*sqrt((Hij - Hej).^2 + r^2*(Hij - Hnj).^2);

Knorth = Permeability((hij + hnj)/2,n_Manning,slope);

H1 = 2/3*Hij + 1/3*Hnj;

num = ADEtest(deltat,deltaA,Knorth,H1,Hnj,elevation_n);

if (num == 1)

new_mat3(i,j) = H1;

33

else

H2 = 1../(1.+Knorth*deltat/deltaA) .*(Hij -Hnj) + Hnj;


if (num ==2)

new_mat3(i,j) = H2;

else

H3 = Hij - (Hnj - elevation_n);


if (num==3)


else

H4 = Hij + (Hnj - elevation_n);


if (num == 3)


else

error('pas de solution trouvee, flux nord');

end

end

end

end

new_mat3(i-1,j) = new_mat3(i-1,j) - (new_mat3(i,j) - Hij);

end

end

%passage selon les colonnes (du sud au nord)


new_mat4(m,:) = new_H(m,:);

for j = 1:n

for i = (m-1):(-1):1

elevation_s = elevation(i+1,j);

Hij = new_H(i,j);


Hsj = new_mat4(i+1,j);

hsj = Hsj - elevation_s;

if (j==n)

Hej = new_H(i,j-1);

else

Hej = new_H(i,j+1);

end

slope = sqrt((1/deltax^2)*(Hij - Hej).^2 + (1/deltay^2)*(Hij - Hsj).^2);

Ksouth = Permeability((hij+hsj)/2,n_Manning,slope);

H1 = 2/3*Hij + 1/3*Hsj;

num = ADEtest(deltat,deltaA,Ksouth,H1,Hsj,elevation_s);

if (num == 1)

new_mat4(i,j) = H1;

else

H2 = 1../(1.+Ksouth*deltat/deltaA) .*(Hij -Hsj) + Hsj;


34

if (num ==2)

new_mat4(i,j) = H2;

else

H3 = Hij - (Hsj - elevation_s);


if (num==3)&&(H3>=Hsj)


else

H4 = Hij + (Hsj - elevation_s);


if (num == 3)&&(H4<=Hsj)


else

error('pas de solution trouvee, flux sud');

end

end

end

end

new_mat4(i+1,j) = new_mat4(i+1,j) - (new_mat4(i,j) - Hij);

end

end

res = (new_mat3 + new_mat4)./2.;

end

Fonction-test

function res = ADEtest(deltat,deltaA,Kface,H,Hincome,elevation_i)

term1 = deltaA/2. * norm(Hincome - H);

term2 = Kface * deltat * norm(Hincome - H);

term3 = deltaA * (Hincome - elevation_i);

mat_res = [term1 term2 term3];

[mini,pos_mini] = min(mat_res);

res = pos_mini;

end

Méthode ADI

Partie principale

H_l = H_0;


35

H_l = ADIstep(H_l,elevation,n_Manning,deltat,deltax,deltay);

end

Calcul du ot implicite - explicite

function [res] = ADIstep(M_H,elevation,n_Manning,deltat,deltax,deltay)

[m,n] = size(M_H);

%construction de la matrice Dy * H

DH = [];

for i = 1:n

H_i = M_H(:,i);

DH_i = Mat_Dy(M_H,elevation,n_Manning,deltat,deltax,deltay,i) * H_i;

DH = [DH DH_i];

end

%construction de la matrice H_star

H_star = [];

for j = 1:m

Dx_j = Mat_Dx(M_H,elevation,n_Manning,deltat,deltax,deltay,j);

H_star_j = (M_H(j,:) + DH(j,:))/(eye(n) - Dx_j);

H_star = [H_star ; H_star_j];

end

%construction de la matrice Dx * H_star

DH_star = [];

for j = 1:m

H_star_j = H_star(j,:);

DH_star_j = H_star_j * Mat_Dx(H_star,elevation,n_Manning,deltat,deltax,deltay,j);

DH_star = [DH_star ; DH_star_j];

end

%construction de la matrice à t = t+deltat

H_np = [];

for i = 1:n

Dy_i = Mat_Dy(H_star,elevation,n_Manning,deltat,deltax,deltay,i);

H_np_i = (eye(m) - Dy_i)\(H_star(:,i) + DH_star(:,i));

H_np = [H_np H_np_i];

end

res = H_np;

end

Calcul des fonctions de dérivation

function res = Mat_Dx(M_H,elevation,n_Manning,deltat,deltax,deltay,num_ligne)

36

j = num_ligne;



[m,n] = size(M_h);

Mh_east = M_h(j,2:n);

MH_east = M_H(j,2:n);

Mh_west = M_h(j,1:(n-1));

MH_west = M_H(j,1:(n-1));

if (j==1)

MH_dec = M_H(j+1,1:(n-1));

else

MH_dec = M_H(j-1,1:(n-1));

end

sslope_e = 1/(deltax^2) * ((MH_east - MH_west).^2 + (deltax/deltay)^2 * (MH_west - MH_dec).^2) ;


K_east = Permeability((Mh_east+Mh_west)/2,n_Manning,sqrt(sslope_e));

K_m = [K_east 0] + [0 K_east] ;

res1 = diag(K_east,-1) + diag(K_east,1) - diag(K_m);

res = 0.5*deltat/(deltax * deltay) * res1;

end

function res = Mat_Dy(M_H,elevation,n_Manning,deltat,deltax,deltay,num_col)

i = num_col;



[m,n] = size(M_h);

Mh_south = M_h(2:m,i);

MH_south = M_H(2:m,i);

Mh_north = M_h(1:(m-1),i);

MH_north = M_H(1:(m-1),i);

if (i==1)

MH_dec = M_H(1:(m-1),i+1);

else

MH_dec = M_H(1:(m-1),i-1);

end

sslope_s = 1/(deltax^2) * ((MH_south - MH_north).^2 + (deltax/deltay)^2 * (MH_north - MH_dec).^2) ;


K_south = Permeability((Mh_south+Mh_north)/2,n_Manning,sqrt(sslope_s));

K_m = [K_south ; 0] + [0 ; K_south] ;

res1 = diag(K_south,-1) + diag(K_south,1) - diag(K_m);

res = 0.5*deltat/(deltax * deltay) * res1;

end

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Références

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