CORRIGS DESE´ EXERCICES - Pearson · 1.1 1.a) Vrai. ((b) Faux, 5 etant´ inferieur´ a` 3, il est...

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CORRIGÉS DESEXERCICES

1 Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire 1

2 Notions préliminaires II : Équations 10

3 Notions préliminaires III : Divers 14

4 Les fonctions d’une variable 20

5 Les propriétés des fonctions 30

6 La dérivation 35

7 Les dérivées en action 44

8 Optimisation à une variable 56

9 Intégration 65

10 Sujets d’économie financière 83

11 Les fonctions de plusieurs variables 89

12 Outils de statique comparative 97

13 Optimisation à plusieurs variables 111

14 L’optimisation sous contraintes 122

15 Algèbre des matrices et des vecteurs 136

16 Déterminants et matrices inverses 144

17 Les programmes linéaires 154

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CORRIGÉS DESEXERCICES

Chapitre 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire

1.1

1. (a) Vrai.

(b) Faux, �5 étant inférieur à �3, il est à gauche de �3 sur la droite des nombres.(c) Faux, �13 est un entier, mais pas un entier naturel.(d) Vrai.Tout entier naturel est rationnel. Par exemple, 5 = 5=1.

(e) Faux, car 3;1415 = 31 415=10 000, le quotient de deux entiers (3;1415 n’est qu’une

approximation de �).

(f) Faux. Contre-exemple :p

2 + (�p

2) = 0.

(g) Vrai.

(h) Vrai.

2. Il n’y a manifestement pas de suite finie de chiffres qui se répète continuellement

puisqu’un 0 supplémentaire est ajouté entre deux 1 successifs :

1;01001000100001000001 : : :

1.2

1. (a) 103 = 10 � 10 � 10 = 1000(b) (�0;3)2 = 0;09(c) 4�2 = 1=16(d) (0;1)�1 = 1=0;1 = 10

2. (a) 4 = 22

(b) 1 = 20



2 CORRIGÉS DES EXERCICES

(c) 64 = 26

(d) 1=16 = 2�4

3. (a) 153

(b)(� 1

3

)3

(c) 10�1

(d) 10�7

(e) t6

(f) (a � b)3(g) a2b4

(h) (�a)3

4. (a) 25 � 25 = 25+5 = 210(b) 38 � 3�2 � 3�3 = 38�2�3 = 33(c) (2x)3 = 23x3 = 8x3

(d) (�3xy2)3 = (�3)3x3 (y2)3 = �27x3y6

5. (a)p24p3

p4p= p24+3�4�1 = p22

(b)a4b�3

(a2b�3)2=a4b�3

a4b�6= a4�4b�3�(�6) = b3

(c)34 (32)6

(�3)1537 =34312

�31537 = �3�6

(d)p (pq)�

p2+�q��2= p�q2

6. (a) 26 = 64

(b) 64=27

(c) 8=3

(d) x9

(e) y12

(f) 8x3y3

(g) 10�2 = 1=100(h) k4

(i) (x + 1)2

7. (a) Comme 4�(3r)2 = 4�32r2 = 9 (4�r2), la surface de la sphère est amplifiée d’un

facteur 9.

(b) Quand le rayon r augmente de 16 %, cela veut dire que r est multiplié par le

facteur 1,16 et r2 par le facteur (1;16)2 = 1;3456. La surface augmente de 34;56 %.

8. (a) Faux. a0 = 1.

(b) Vrai. c�n = 1=cn pour tout c 6= 0.(c) Vrai. am � am = am+m = a2m.(d) Faux (sauf si m = 0 ou ab = 1). ambm = (ab)m.

(e) Faux (sauf si m = 1). Par exemple, (a + b)2 est égal à a2 + 2ab + b2.

(f) Faux (sauf si ambn = 1). Par exemple, a2b3 n’est pas égal à (ab)2+3 = (ab)5 = a5b5:



CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire 3

9. (a) x3y3 = (xy)3 = 33 = 27

(b) (ab)4 = (�2)4 = 16(c) (a8)0 = 1 pour tout a 6= 0.(d) (�1)2n = [(�1)2]n = 1n = 1

10. (a) 150 � 0;13 = 19;5(b) 2 400 � 0;06 = 144(c) 200 � 0;055 = 11

11. 1;50 meilleur marché, ce qui est 15 % de 10.

12. (a) Un investissement initial de 50 e s’il est placé à un taux d’intérêt de 11% l’an,

pendant 8 années, devient 50 � (1;11)8 � 115;23 e.(b) Un investissement initial de 10 000 e placés à 12 % l’an, pendant 20 ans, devient

10 000 � (1;12)20 � 96 462;93 e.(c) 5 000 � (1;07)�10 � 2 541;75 e est le montant que vous auriez dû investir il y a10 ans pour avoir 5 000 e aujourd’hui, si le taux d’intérêt est resté constant à 7 %.

13. (a) 12 000 � (1;04)15 � 21 611;32(b) 50 000 � (1;06)�5 � 37 362;91

14. p � 95,3%, puisque (1;25)3 = 1;9531.

1.3

1. (a) 1

(b) 6

(c) �18(d) �18(e) 3x + 12

(f) 45x � 27y(g) 3

(h) 0

(i) �1

2. (a) 3a2 � 5b(b) �2x2 + 3x + 4y(c) t

(d) 2r3 � 6r2s + 2s3

3. (a) �3n2 + 6n � 9(b) x5 + x2

(c) 4n2 � 11n + 6(d) �18a3b3 + 30a3b2(e) a3b � ab3(f) x3 � 6x2y + 11xy2 � 6y3

4. (a) acx2 + (ad + bc) x + bd

(b) 4 � t4(c) [(u � v) (u + v)]2 = (u2 � v2)2 = u4 � 2u2v2 + v4




5. (a) (2t � 1) (t2 � 2t + 1) = 2t (t2 � 2t + 1) � (t2 � 2t + 1)= 2t3 � 4t2 + 2t � t2 + 2t � 1 = 2t3 � 5t2 + 4t � 1

(b) (a+ 1)2 + (a�1)2�2 (a+ 1) (a�1) = a2 + 2a+ 1 +a2�2a+ 1�2a2 + 2 = 4. Sinon,on applique l’identité du deuxième degré x2 + y2 � 2xy = (x � y)2 avec x = a + 1 ety = a�1 et on obtient (a+1)2 +(a�1)2�2 (a+1) (a�1) = [(a+1)�(a�1)]2 = 22 = 4.(c) (x + y + z)2 = (x + y + z) (x + y + z)

= x (x + y + z) + y (x + y + z) + z (x + y + z)

= x2 + xy + xz + yx + y2 + yz + zx + zy + z2

= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

(d) Avec a = x + y + z et b = x � y � z,(x + y + z)2 � (x � y � z)2 = a2 � b2 = (a + b) (a � b) = 2x (2y + 2z) = 4x (y + z):

6. (a) x2 + 4xy + 4y2

(b) 1=x2 � 2 + x2(c) 9u2 � 30uv + 25v2(d) 4z2 � 25w2

7. (a) 2012 � 1992 = (201 + 199) (201 � 199) = 400 � 2 = 800(b) u2 � 4u + 4 = (u � 2)2 = 1 de sorte que u � 2 = ˙1 et u = 1 ou u = 3.

(c)(a + 1)2 � (a � 1)2(b + 1)2 � (b � 1)2 =

a2 + 2a + 1 � (a2 � 2a + 1)b2 + 2b + 1 � (b2 � 2b + 1) =

4a

4b=a

b

8.1 0002

(2522 � 2482) =1 0002

(252 + 248) (252 � 248) =1 0002

500 � 4 = 500

9. (a) (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(b) (a � b)3 = (a � b)2 (a � b) = (a2 � 2ab + b2) (a � b) = a3 � 3a2b + 3ab2 � b3(c) et (d) : Développer les membres de droite.

10. (a) 3 � 7 � xxyyy(b) 3 (x � 3y + 9z)(c) aa (a � b)(d) 2 � 2 � 2xy (xy � 2)

11. (a) 2 � 2 � 7aabbb(b) 2 � 2 (x + 2y � 6z)(c) 2x (x � 3y)(d) 2aabb (3a + 2b)

(e) 7x (x � 7y)(f) 5xyy (1 � 3x) (1 + 3x)(g) (4 + b) (4 � b)(h) 3 (x + 2) (x � 2)

12. (a) (x � 2) (x � 2)(b) 2 � 2ts (t � 2s)(c) 2 � 2 (2a + b) (2a + b)(d) 5x (x +

p2y) (x �

p2y)




13. (a) a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 par l’identité du second degré.

(b) KL(K � L)(c) K�5(K � L)(d) 9z2�16w2 = (3z�4w) (3z + 4w), selon la formule de la différence de deux carrés.(e) � 1

5x2 + 2xy � 5y2 = � 1

5(x2 � 10xy + 25y2) = � 1

5(x � 5y)2

(f) a4 � b4 = (a2 � b2) (a2 + b2), grâce à la formule de la différence de deux carrés.Comme a2 � b2 = (a � b) (a + b), a4 � b4 = (a � b) (a + b) (a2 + b2).

14. (a) (5 + a) (x + y)

(b) u2 � v2 + 3 (u + v) = (u + v) (u � v) + 3 (u + v) = (u + v) (u � v + 3)(c) (P +Q) (P 2 +Q2)

15. (a) KK (K � L)(b) KL(L2 + 1)

(c) (L +K) (L �K)(d) (K � L) (K � L)(e) KL (K � 2L) (K � 2L)(f) K�6(K3 � 1) = K�6(K � 1) (K2 +K + 1), grâce à la formule de l’exercice 9(c).

1.4

1. (a) 2/7

(b) 13/12

(c) 5/24

(d) 2/25

(e) 9/5

(f) 1/2

(g) 1/2

(h) 11/27

2. (a) 3x=2

(b) 3a=5

(c) 1/5

(d) 112

(�5x + 11)(e) �1=(6b)(f) 1=b

3. (a)5 � 5 � 13

5 � 5 � 5 � 5 =13

25

(b)ab2

8c2

(c)2

3(a � b)

(d)P (P +Q) (P �Q)

(P +Q)2=P (P �Q)P +Q

4. (a) 1/2

(b) 6




(c) 5/7

(d) 9/2

5. (a)1

x � 2 �1

x + 2=

x + 2

(x � 2) (x + 2) �x � 2

(x + 2) (x � 2) =x + 2 � x + 2(x � 2) (x + 2) =

4

x2 � 4(b) Comme 4x +2 = 2 (2x+1) et 4x2�1 = (2x+1) (2x�1), le plus petit dénominateurcommun est 2 (2x + 1) (2x � 1). Ensuite,

6x + 25

4x + 2� 6x

2 + x � 24x2 � 1 =

(6x + 25) (2x � 1) � 2 (6x2 + x � 2)2 (2x + 1) (2x � 1)

=42x � 21

2 (2x + 1) (2x � 1) =21

2 (2x + 1):

(c)18b2

a2 � 9b2 �a

a + 3b+ 2 =

18b2 � a (a � 3b) + 2 (a2 � 9b2)(a + 3b) (a � 3b)

=a (a + 3b)

(a + 3b) (a � 3b) =a

a � 3b

(d)1

8ab� 1

8b (a + 2)=

(a + 2) � a8ab (a + 2)

=2

8ab (a + 2)=

1

4ab (a + 2)

(e)2t � t2t + 2

�(

5t

t � 2 �2t

t � 2

)=t (2 � t )t + 2

� 3tt � 2 =

�t (t � 2)t + 2

� 3tt � 2 =

�3t2t + 2

(f)a(1 � 1

2a

)

0;25=a � 1

214

= 4a � 2, de sorte que

2 �a(1 � 1

2a

)

0;25= 2 � (4a � 2) = 4 � 4a = 4 (1 � a):

6. (a)2

x+

1

x + 1� 3 = 2 (x + 1) + x � 3x (x + 1)

x (x + 1)=

2 � 3x2x (x + 1)

(b)t

2t + 1� t

2t � 1 =t (2t � 1) � t (2t + 1)

(2t + 1) (2t � 1) =�2t

4t2 � 1

(c)3x

x + 2� 4x

2 � x �2x � 1

(x � 2) (x + 2) =3x (x � 2) + 4x (x + 2) � (2x � 1)

(x � 2) (x + 2) =7x2 + 1

x2 � 4

(d)

1

x+

1

y1

xy

=

(1

x+

1

y

)xy

1

xy� xy

=y + x

1= x + y

(e)

1

x2� 1y2

1

x2+

1

y2

=

(1

x2� 1y2

)� x2y2

(1

x2+

1

y2

)� x2y2

=y2 � x2y2 + x2

(f) Réduire les fractions du numérateur et du dénominateur au dénominateur com-

mun xy, puis simplifier.a (y � x)a (y + x)

=y � xy + x




7.�8x

x2 + 2xy � 3y2

8. (a) 14� 1

5= 5

20� 4

20= 1

20. De là,

(14� 1

5

)�2=(

120

)�2= 202 = 400.

(b) n � n

1 � 1n

= n � n � n(1 � 1

n

)� n

= n � n2

n � 1 =n (n � 1) � n2

n � 1 =�nn � 1

(c) On pose u = xp�q . Alors

1

1 + xp�q+

1

1 + xq�p=

1

1 + u+

1

1 + 1=u=

1

1 + u+

u

1 + u= 1:

(d)

(1

x � 1 +1

x2 � 1

)(x2 � 1)

(x � 2

x + 1

)(x2 � 1)

=(x + 1) + 1

x3 � x � 2x + 2

=x + 2

(x + 2) (x2 � 2x + 1) =1

(x � 1)2

(e)1

(x + h)2� 1x2

=x2 � (x + h)2x2 (x + h)2

=�2xh � h2x2 (x + h)2

, de sorte que

1

(x + h)2� 1x2

h=�2x � hx2 (x + h)2

:

(f) En multipliant numérateur et dénominateur par x2 � 1 = (x + 1) (x � 1), il vient

10x2

5x (x � 1) =2x

x � 1 :

Exercices récapitulatifs du chapitre 1

1. (a) 53 = 5 � 5 � 5 = 125(b) 10�3 = 1=103 = 1=1 000 = 0;001(c) 1=3�3 = 33 = 27(d) �1 000(e) 3

(f) (3�2)�3 = 36 = 729(g) �1(h)(� 1

2

)�3= 1

(� 12

)3= 1� 1

8

= �8

2. (a) 1

(b) Non défini.

(c) 1

(d) 1




3. (a) 2�6 = 1=64(b) 3

2� 3

4= 3

4

(c) �45=4(d) 1

4. (a) (2x)4 = 24x4 = 16x4

(b) 2�1 � 4�1 = 12� 1

4= 1

4, de sorte que (2�1 � 4�1)�1 = 4.

(c) Éliminer le facteur commun 4x2yz2.

(d) �(�ab3)�3 = �(�1)�3a�3b�9 = a�3b�9, de sorte que

[�(�ab3)�3(a6b6)2]3 = [a�3b�9a12b12]3 = [a9b3]3 = a27b9:

(e)a5a3a�2

a�3a6=a6

a3= a3

(f)

[(x

2

)3� 8x�2

]�3=

[x3

8� 8x�2

]�3=

[x3

x�2

]�3= (x5)�3 = x�15

5. (a) 0;12 � 300 = 36(b) 0;05 � 2 000 = 100(c) 0;065 � 1500 = 97;5

6. (a) Une population de 100 millions d’individus qui croı̂t de 1% par an compte, après

8 ans, 100 � (1;01)8 � 108 millions d’individus.(b) Au taux d’intérêt annuel fixé de 15 %, un investissement initial de 50 000 e sera

devenu après 10 ans 50 000 � (1;15)10 � 202 277 e.(c) 6 000 � (1;03)�8 � 4 736 e est la somme que vous auriez dû déposer il y a 8 anspour avoir aujourd’hui 6 000 e, au taux de 3 %.

7. (a) 100 000 (1;08)10 � 215 892(b) 25 000 (1;08)�6 � 15 754

8. (a) a2 � a(b) x2 + 4x � 21(c) �

p3(p

3 �p

6)

= �3 +p

3p

6 = �3 +p

3p

3p

2 = �3 + 3p

2

(d) 3 � 2p

2

(e) x3 � 3x2 + 3x � 1(f) 1 � b4(g) (1 + x + x2 + x3) (1 � x) = (1 + x + x2 + x3) � (1 + x + x2 + x3) x = 1 � x4(h) (1 + x)4 = (1 + x)2 (1 + x)2 = (1 + 2x + x2) (1 + 2x + x2) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1

9. (a) x3y3 = (x�1y�1)�3 = 3�3 = 1=27(b) (x�3)6 (x2)2 = x�18x4 = x�14 = (x7)�2 = 2�2 = 1=4(c) (z=xy)6 = (xy=z)�6 = [(xy=z)�2]3 = 33 = 27(d) (abc)4 = (a�1b�1c�1)�4 = (1=4)�4 = 44 = 256

10. (a) 5 (5x � 1)(b) xx (3 � xy)(c) (p

50 � x) (p

50 + x)

(d) a (a � 2b)2




11. (a) (5 + a) (x + 2y)

(b) (a + b) (c � d )(c) ax + ay + 2x + 2y = a (x + y) + 2 (x + y) = (a + 2) (x + y)

(d) 2x2 � 5yz + 10xz � xy = 2x2 + 10xz � (xy + 5yz) = 2x (x + 5z) � y (x + 5z)= (2x � y) (x + 5z)

(e) p2 � q2 + p � q = (p � q) (p + q) + (p � q) = (p � q) (p + q + 1)(f) u3 + v3 � u2v � v2u = u2 (u � v) + v2 (v � u) = (u2 � v2) (u � v)

= (u + v) (u � v) (u � v) = (u + v) (u � v)2

12. (a) 161=4 =4p

16 = 2

(b) 243�1=5 = 1= 5p

243 = 1=3

(c) 51=7 � 56=7 = 51=7+6=7 = 51 = 5(d) 4�3=2 = 1=8

(e) 641=3 +3p

125 = 4 + 5 = 9

(f) (�8=27)2=3 = ( 3√�8=27 )2 = (�2=3)2 = 4=9

(g) (�1=8)�2=3 + (1=27)�2=3 = ( 3√�1=8 )�2 + ( 3

√1=27 )�2

= (�1=2)�2 + (1=3)�2 = 4 + 9 = 13:

(h)1 000�2=3

3p

5�3=

(3p

1 000 )�2

5�1=

10�2

5�1=

1

20

13. (a) 8 = 23, de sorte que x = 3=2.

(b) 1=81 = 3�4, de sorte que 3x + 1 = �4 ou x = �5=3.(c) x2 � 2x + 2 = 2, de sorte que x = 0 ou x = 2.

14. (a) 5 + x = 3, de sorte que x = �2.(b) 3x � 3x�2 = 3x�2(32 � 1) = 3x�2 � 8, de sorte que 3x�2 = 3 et donc x = 3.(c) 3x � 3x�1 = 32x�1 = 81 = 34 à condition que x = 2;5.(d) 35 + 35 + 35 = 3 � 35 = 36 de sorte que x = 6.(e) 4�6 + 4�6 + 4�6 + 4�6 = 4 � 4�6 = 4�5 de sorte que x = �5.

(f)226 � 223226 + 223

=223(23 � 1)223(23 + 1)

=7

9de sorte que x = 7.

15. (a)s

2s � 1 �s

2s + 1=s(2s + 1) � s(2s � 1)

(2s � 1) (2s + 1) =2s

4s2 � 1

(b)x

3 � x �1 � xx + 3

� 24x2 � 9 =

�x (x + 3) � (1 � x) (x � 3) � 24(x � 3) (x + 3)

=�7 (x + 3)

(x � 3) (x + 3) =�7x � 3

(c) En multipliant numérateur et dénominateur par x2y2, il vient

y � xy2 � x2 =

y � x(y � x) (y + x) =

1

x + y:

16. (a) Simplifier par le facteur 25ab.

(b) x2 � y2 = (x + y) (x � y). Simplifier par x + y.




(c) La fraction peut être écrite(2a � 3b)2

(2a � 3b) (2a + 3b) =2a � 3b2a + 3b

.

(d)4x � x3

4 � 4x + x2 =x (2 � x) (2 + x)

(2 � x)2 =x (2 + x)

2 � x17. (a) x < 13=2

(b) y > �3(c) Valable pour tout x.

(d) x < 29=14

(e) �1 6 x 6 13=3(f) �

p6 6 x 6 �

p2 oup

2 6 x 6p

6.

18. (a) 30 + 0;16x

(b) Au minimum 7;5 heures. Au maximum 10 heures.

19. 2�(r +1)�2�r = 2� , où r est le rayon de la Terre (supposée sphérique). Le supplémentde corde est seulement de 6,28 m !

20. (a) Poserp=100 = r . Alors, l’expression donnée devient a+ar�(a+ar)r = a (1�r2),comme demandé.

(b) 2 000 � 1;05 � 0;95 = 1 995 e.(c) Le résultat est exactement celui de la formule (a).

(d) Avec la notation utilisée en (a), on a : a� ar + (a� ar)r = a (1� r2), ce qui est lamême expression qu’en (a).

21. (a) Non, par exemple, �1 > �2, mais (�1)2 < (�2)2.(b) On suppose a > b ou a� b > 0. Si a + b > 0, alors a2 � b2 = (a + b) (a� b) > 0,de sorte que a2 > b2.

22. (a) 2 > 1 et 1=2 < 1=1. Aussi, �1 > �2 et 1=(�1) < �1=2. Par ailleurs, 2 > �1 et1=2 > 1=(�1).(b) Si ab > 0 et a > b, alors 1=b � 1=a = (a � b)=ab > 0, de sorte que 1=b > 1=a.(Aussi, si ab < 0 et a > b, alors 1=b�1=a = (a�b)=ab < 0 de sorte que 1=b < 1=a.)

23. (i) Quel que soit c, jcj =pc2. Ensuite jabj =

√(ab)2 =

pa2b2 =

pa2pb2 = jajjbj.

(ii) De deux choses l’une, ou a = jaj, ou a = �jaj, de sorte que �jaj 6 a 6 jaj. Demême, �jbj 6 b 6 jbj. L’addition de ces inégalités conduit à

�jaj � jbj 6 a + b 6 jaj + jbj

et donc ja + bj 6 jaj + jbj.

Chapitre 2 / Notions préliminaires II : Équations

2.1

1. (a) x = 5

(b) x = 3



CHAPITRE 2 / Notions préliminaires II : Équations 11

(c) x = 6

(d) N’importe quelle valeur de x est une solution.

(e) x = �12(f) x = 1

(g) x = �5. (Suggestion : x2 + 10x + 25 = (x + 5)2.)(h) x = �1

2. (a) x = 3

(b) x = �7(c) x = �28=11(d) x = 5=11

(e) x = 1

(f) x = 121

3. (a) On remarque d’abord que l’équation n’a pas de sens pour x = �3 et x = �4. Enmultipliant l’équation par le dénominateur commun (x + 3) (x + 4), on obtient

(x � 3) (x + 4) = (x + 3) (x � 4);

c’est-à-dire x2 + x � 12 = x2 � x � 12, et donc x = 0.(b) En multipliant l’équation par le dénominateur commun (x � 3) (x + 3), on obtient3 (x + 3) � 2 (x � 3) = 9, d’où x = �6.(c) En multipliant l’équation par le dénominateur commun 15x (en supposant x 6= 0),on obtient

18x2 � 75 = 10x2 � 15x + 8x2;

d’où x = 5.

4. (a) 2x + 5 = x � 3. Solution : x = �8.(b) Avec x le plus petit possible, x + (x + 1) + (x + 2) = 10 + 2x, de sorte que x = 7 et

les nombres sont 7, 8 et 9.

(c) Si x est le salaire horaire normal de Claudia, alors 38x + (48 � 38) 2x = 812.Solution : x = 14.

(d) 1 500 + 12x=100 = 2 100. Solution : x = 5 000.

(e) 23x + 1

4x + 100 000 = x. Solution : x = 1 200 000.

5. (a) En multipliant l’équation par le dénominateur commun 12, on obtient

9y � 3 � 4 + 4y + 24 = 36y

et ainsi y = 17=23.

(b) En multipliant l’équation par le dénominateur commun 2x (x + 2), on obtient

8 (x + 2) + 6x = 2 (2x + 2) + 7x, d’où x = �4.(c) En multipliant les numérateur et dénominateur de la première fraction par 1� z,

2 � 2z � z(1 � z) (1 + z) =

6

2z + 1:

En multipliant chaque membre par (1�z2) (2z+1), on obtient (2�3z) (2z+1) = 6�6z2,et ainsi z = 4.




(d) En effectuant les produits,

p

4� 3

8� 1

4+p

12� 1

3+p

3= �1

3

puis, en multipliant par le dénominateur commun 24, on obtient l’équation

6p � 9 � 6 + 2p � 8 + 8p = �8;

dont la solution est p = 15=16.

2.2

1. (a) On multiplie les deux membres par abx pour obtenir b + a = 2abx. De là,

x =b + a

2ab=

b

2ab+

a

2ab=

1

2

(1

a+

1

b

):

(b) On multiplie l’équation par cx +d pour obtenir ax +b = cAx +dA, qui s’écrit aussi

(a � cA) x = dA � b et donc x = (dA � b)=(a � cA).(c) On multiplie l’équation par x1=2 pour obtenir 1

2p = wx1=2, d’où x1=2 = p=2w. En

élevant chaque membre au carré, x = p2=4w2.

(d) On multiplie chaque membre parp

1 + x pour obtenir 1 + x + ax = 0, de sorte que

x = �1=(1 + a).(e) x2 = b2=a2, de sorte que x = ˙b

a.

(f) On voit immédiatement que x = 0.

2. (a) p = 20q=3 � 14=15(b) P = (S � ˛)=ˇ(c) b = 2A=h

(d) r = (3V=4�)1=3

(e) L = (Y0A�1K�˛)1=ˇ

3. (a) ˛x�a = ˇx�b si et seulement si (˛�ˇ) x = a�b de sorte que x = (a�b)=(˛�ˇ).(b) Y = 94 + 0;2 (Y � (20 + 0;5Y )) = 94 + 0;2Y � 4 � 0;1Y , de sorte que 0;9Y = 90,soit Y = 100.

(c) En élevant chaque membre deppq = 3q + 5 au carré, on a pq = (3q + 5)2, de sorte

que p = (3q + 5)2=q.

(d) On élève chaque membre à la puissance quatrième

K2r

2wK = Q4

de sorte que K3 = 2wQ4=r et, de là, K =(2wQ4=r

)1=3:

(e) En multipliant numérateur et dénominateur dans la fraction du membre de gauche

par 4K1=2L3=4, on obtient 2L=K = r=w, d’où on tire L = rK=2w.



CHAPITRE 2 / Notions préliminaires II : Équations 13

(f) On élève chaque membre à la puissance quatrième, 116p4K�1 (r=2w) = r4. Il

s’ensuit que K�1 = 32r3w=p4, puis K = 132p4r�3w�1.

4. (a)1

s=

1

t� 1T

=T � ttT

, de sorte que s =tT

T � t .

(b)pKLM = B + ˛L, de sorte que KLM = (B + ˛L)2 et M = (B + ˛L)2=KL.

(c) Multiplier les deux membres par x � z conduit à x � 2y + xz = 4xy � 4yz ou(x + 4y) z = 4xy � x + 2y et z = (4xy � x + 2y)=(x + 4y).(d) V = C � CT=N , de sorte que CT=N = C � V et donc T = N (1 � V=C ).


1. (a) x = 12

(b) x = 3

(c) x = �3=2(d) x = �19(e) x = 11=7

(f) x = 39

2. (a) En supposant x 6= ˙4, on multiplie par le dénominateur commun (x � 4) (x + 4).Cela réduit l’équation à x = �x, de sorte que x = 0.(b) L’équation donnée n’a de sens que si x 6= ˙3. Si on multiplie par le dénominateurcommun (x + 3) (x�3), on obtient 3 (x + 3)2�2 (x2�9) = 9x + 27 ou x2 + 9x + 18 = 0,avec comme solutions x = �6 et x = �3. La seule solution est donc x = �6.(c) En soustrayant 2x=3 à chaque membre, l’équation se simplifie en 0 = �1 + 5=x,dont la seule solution est x = 5.

(d) À condition que x 6= 0 et x 6= ˙5, on multiplie par le dénominateur communx (x � 5) (x + 5) pour obtenir x (x � 5)2 � x (x2 � 25) = x2 � 25� (11x + 20) (x + 5).Le développement des deux membres conduit à

x3 � 10x2 + 25x � x3 + 25x = x2 � 25 � 11x2 � 75x � 100

et après simplification 50x = �125 � 75x, dont la solution est x = �1.

3. (a) x = 23(y � 3) + y = 2

3y � 2 + y = 5

3y � 2 ou 5

3y = x + 2, de sorte que y = 3

5(x + 2).

(b) ax � cx = b + d , ou (a � c) x = b + d , de sorte que x = (b + d )=(a � c).(c)pL = Y0=AK, de sorte qu’en élevant les deux membres au carré, L = (Y0=AK)

2.

(d) qy = m � px, de sorte que y = (m � px)=q.(e) On pose s = 1=(1 + r). Alors s = (a + bc)=(1 � c), de sorte que

r = (1=s) � 1 = [(1 � a) � c(1 + b)]=(a + bc):

(f) En multipliant par (Px + Q)1=3, on obtient Px + Px + Q = 0, de sorte que

x = �Q=2P .

4. (a) De (ii) et (iii), C = b (Y � tY ) = b (1 � t )Y . On introduit dans (i) et on résout parrapport à Y

Y =Ī +G

1 � b (1 � t ) :




Alors

C =b (1 � t ) (Ī +G)

1 � b (1 � t ) :

(b) Notez que 0 < b (1 � t ) < 1. Lorsque t augmente, Y et 1 � t diminuent de sorteque C = b (1 � t )Y diminue aussi.

5. (a) Multiplier l’équation par 5K1=2 pour obtenir 15L1=3 = K1=2. Élever les deux mem-

bres au carré, K = 225L2=3.

(b) Élever chaque membre à la puissance 1=t pour obtenir 1 + r=100 = 21=t et ainsi

r = 100 (21=t � 1).(c) abxb�10 = p, d’où x

b�10 = p=ab. Élever chaque membre à la puissance 1=(b � 1).

(d) Élever chaque membre à la puissance �� pour obtenir (1��) a�� +�b�� = c�� oub�� = ��1(c�� (1 � �) a��). Enfin, élever à la puissance �1=�.

6. (a) z = 0 ou z = 8.

(b) x = �7 ou x = 5.(c) p = �7 ou p = 2.(d) p = 1=4 ou p = 1=3.

(e) y = 4˙p

31

(f) x = �7 ou x = 6.

7. 53x = 25y+2 = 52 (y+2) de sorte que 3x = 2 (y + 2). Avec x � 2y = 8, cela donne x = �2et y = �5, de sorte que x � y = 3.

8. (a) Soit u = 1=x et v = 1=y. Alors, le système devient 2u+ 3v = 4, 3u� 2v = 19, aveccomme solution u = 5, v = �2 et, de là, x = 1=u = 1=5, y = 1=v = �1=2.(b) Soit u =

px et v =

py. Alors, le système devient 3u + 2v = 2, 2u � 3v = 1=4,

avec comme solution u = 1=2, v = 1=4, et, de là, x = 1=4, y = 1=16.

(c) Avec u = x2 et v = y2, on obtient u + v = 13, 4u � 3v = 24, avec comme solutionu = 9, v = 4 et, de là, x = ˙3 et y = ˙2.

Chapitre 3 / Notions préliminaires III : Divers

3.1

1. (a) 1 + 2 + 3 + � � � + 10 = 55(b) (5 � 30 � 2) + (5 � 31 � 3) + (5 � 32 � 4) + (5 � 33 � 5) + (5 � 34 � 6) = 585(c) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

(d) 220

+ 221

+ 222

= 21 + 22 + 24 = 22

(e) 2 � 10 = 20(f) 2=1 + 3=2 + 4=3 + 5=4 = 73=12

2. (a) 2p

0 + 2p

1 + 2p

2 + 2p

3 + 2p

4 = 2 (3 +p

2 +p

3)

(b) (x + 0)2 + (x + 2)2 + (x + 4)2 + (x + 6)2 = 4 (x2 + 6x + 14)

(c) a1ib2 + a2ib

3 + a3ib4 + � � � + anibn+1

(d) f (x0)x0 + f (x1)x1 + f (x2)x2 + � � � + f (xm)xm3. Regardez le dernier terme de la somme et remplacez n par k pour obtenir une expression

du k-ième terme. Notez-le sk . La somme est∑n

k=1 sk .



CHAPITRE 3 / Notions préliminaires III : Divers 15

(a)

n∑

k=1

4k

(b)

n∑

k=1

k3

(c)

n∑

k=0

(�1)k 12k + 1

(d)

n∑

k=1

aikbkj

(e) Les coefficients sont les puissances de 3

5∑

n=1

3nxn.

(f)

p∑

j=3

aji bi+j

(g)

p∑

k=0

ak+3i+k bi+k+3

(h) L’astuce est de voir que chaque terme a 198 unités de plus que le précédent3∑

k=0

(81 297 + 198k):

4. (a)

10∑

k=1

(k � 2)tk =8∑

m=�1mtm+2

(b)

N∑

n=0

2n+5 =

N+1∑

j=1

32 � 2j�1

5. (a) Le nombre total de travailleurs issus du pays i qui ont transféré leur lieu de travail.

(b) Le nombre total de travailleurs qui ont transféré leur lieu de travail vers le pays j .

6. (a), (c), (d) et (e) sont toujours vraies ; (b) et (f) ne sont généralement pas vraies.

3.2

1.

n∑

k=1

(k2 + 3k + 2) =

n∑

k=1

k2 + 3

n∑

k=1

k +

n∑

k=1

2

=1

6n (n + 1) (2n + 1) + 3

[12n (n + 1)

]+ 2n =

1

3n (n2 + 6n + 11)

2. (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6. (Les coefficients sont

ceux de la septième ligne du triangle de Pascal.)

3. (a)

(5

3

)=

5 � 4 � 31 � 2 � 3 =

5 � 4 � 3 � 2 � 11 � 2 � 3 � 2 � 1 =

5!

3! 2!=

5!

2! 3!

Formule générale

(m

k

)=m(m � 1) � � � (m � k + 1)

k!=m(m � 1) � � � (m � k + 1) � (m � k)!

k!(m � k)!

=m!

(m � k)! k! :




(b)

(8

3

)= 56 et

(8

8 � 3

)=

(8

5

)= 56 ;

(8

3

)+

(8

3 + 1

)= 56 + 70 = 126 et

(8 + 1

3 + 1

)=

(9

4

)= 126.

(c)

(m

k

)=

m!

(m � k)!k! =(

m

m � k

)et

(m

k

)+

(m

k + 1

)=

m!

(m � k)!k! +m!

(m � k � 1)!(k + 1)! =m!(k + 1 +m � k)(m � k)!(k + 1)!

=(m + 1)!

(m � k)!(k + 1)! =(m + 1

k + 1

):

4.∑n�1

i=0 (a + id ) =∑n�1

i=0 a +d∑n�1

i=0 i = na +d12[1 + (n� 1)](n� 1) = na + 1

2n (n� 1) d

3.3

1. (a)

3∑

i=1

4∑

j=1

i � 3j =3∑

i=1

(i � 3 + i � 9 + i � 27 + i � 81) =3∑

i=1

120i = 720

(b) On a

2∑

s=0

4∑

r=2

( rsr + s

)2=

2∑

s=0

[( 2s2 + s

)2+( 3s

3 + s

)2+( 4s

4 + s

)2]

= 0 +(2

3

)2+(3

4

)2+(4

5

)2+(4

4

)2+(6

5

)2+(8

6

)2= 5 +

3 113

3 600:

(c)

m∑

i=1

n∑

j=1

(i + j 2) =

n∑

j=1

( m∑

i=1

i)

+

m∑

i=1

( n∑

j=1

j 2)

.

Grâce aux formules (3.2.4) et (3.2.5), on peut écrire

n∑

j=1

12m(m + 1) +

m∑

i=1

16n (n + 1) (2n + 1) = n 1

2m(m + 1) +m

1

6n (n + 1) (2n + 1)

= 16mn (2n2 + 3n + 3m + 4):

(Notez que∑p

k=1 a = pa.)

(d)

m∑

i=1

2∑

j=1

ij =

m∑

i=1

(i + i2) =

m∑

i=1

i +

m∑

i=1

i2

= 12m (m + 1) + 1

6m (m + 1) (2m + 1) = 1

3m (m + 1) (m + 2)

2. (a) Le nombre total d’unités du bien i .

(b) Le nombre total d’unités de tous les biens détenus par la personne j .

(c) Le nombre total d’unités de tous les biens détenus par le groupe tout entier.




3.∑i

j=1 aij est la somme des i éléments de la ième ligne, chacune de cesm sommes étant

à additionner, c’est la première double somme.∑m

i=j aij est la somme des m � j + 1éléments de la j ème colonne, chacune de ces m colonnes étant à additionner, c’est la

deuxième double somme.

4. ā est la moyenne des moyennes des colonnes āj puisque

1

n

n∑

j=1

āj =1

n

n∑

j=1

(1

m

m∑

r=1

arj

)=

1

mn

m∑

r=1

n∑

j=1

arj = ā:

Pour démontrer (�), on note que, par le fait que arj � ā est indépendant de l’indicede sommation s, il est un facteur commun quand on somme sur s. Par conséquent,∑m

s=1(arj � ā)(asj � ā) = (arj � ā)∑m

s=1(asj � ā) pour chaque r . Ensuite, en sommantsur r , on obtient

m∑

r=1

m∑

s=1

(arj � ā) (asj � ā) =[ m∑

r=1

(arj � ā)][ m∑

s=1

(asj � ā)]

(��)

car∑m

s=1(arj � ā) est un facteur commun quand on somme sur r . Grâce aux propriétésdes sommes et à la définition de āj , on a

m∑

r=1

(arj � ā) =m∑

r=1

arj �m∑

r=1

ā = māj �mā = m(āj � ā):

De même, en remplaçant r par s comme indice de sommation, on a aussi

m∑

s=1

(asj � ā) = m(āj � ā):

Par substitution de ces valeurs dans (��), on a confirmation de (�).

3.4

1. (a) 2x � 4 = 2) x = 3(b) x = 3) 2x � 4 = 2(c) x = 1) x2 � 2x + 1 = 0(d) x2 > 4() jxj > 2

2. x = 2. En effet, x = �1, 0 et 1 annulent un dénominateur. En multipliant par ledénominateur commun x (x � 1) (x + 1), on obtient 2x (x2 � 3x + 2) = 0 ou

2x (x � 1) (x � 2) = 0:

De là, x = 2 est la seule solution.

3. (a) ) vraie,( fausse.(b) ) fausse,( vraie.(c) ) vraie,( fausse.




(d) ) et( vraies toutes les deux.(e) ) fausse (0 � 5 = 0 � 4, mais 5 6= 4),( vraie.(f) ) vraie,( fausse.

4. (a) x > 0 est nécessaire, mais pas suffisante.

(b) x > 50 est suffisante, mais pas nécessaire.

(c) x > 4 est nécessaire et suffisante.

5. (a) En élevant les deux membres au carré et en réordonnant les termes, on obtientx2 = 9,

de sorte que x = ˙3. Seul x = 3 est une solution.(b) En élevant les deux membres au carré et en réordonnant les termes, on obtient

x (x + 5) = 0. Tant x = 0 que x = �5 sont solutions.(c) L’équation équivalente jxj2 � 2jxj � 3 = 0 donne jxj = 3 ou jxj = �1. Seulesx = ˙3 sont solutions.

6. (a) Si (i)px � 4 =

px + 5�9, alors, en élevant les deux membres au carré, on obtient

(ii) x � 4 = (px + 5 � 9)2. Après développement du carré dans le membre de droite

de (ii), on obtient x � 4 = x + 5 � 18px + 5 + 81, qui se réduit à 18

px + 5 = 90 oup

x + 5 = 5, impliquant x + 5 = 25 et donc x = 20. Cela montre que, si x est une

solution de (i), alors x = 20. Aucune autre valeur de x ne peut vérifier (i). Mais si on

vérifie cette solution, on trouve que quand x = 20 le membre de gauche de (i) devientp16 = 4, tandis que le membre de droite devient

p25 � 9 = 5 � 9 = �4. Cela signifie

que l’équation (i) n’a en fait pas de solution. (Remarquez que 42 = (�4)2, c’est-à-direque le carré du membre de gauche est égal au carré du membre de droite. C’est pourquoi

la solution fausse x = 20 a réussi à s’infiltrer.)

(b) Si x est une solution de (iii)px � 4 = 9�

px + 5, alors, exactement comme dans

la partie (a), on trouve que x doit être une solution de (iv) x � 4 = (9 �px + 5 )2.

Maintenant, (9�px + 5 )2 = (

px + 5�9)2, de sorte que l’équation (iv) est équivalente

à l’équation (ii) dans la partie (a). Cela signifie que (iv) a exactement une solution, à

savoir x = 20. Si on remplace x par cette valeur dans (iii), on trouve que x = 20 est une

solution de (iii).

7. (a) Si et seulement si. (Notez quep

4 signifie 2, pas˙2.)(b) Seulement si. Il est facile de voir, à partir d’un tableau de signes, que x (x + 3) < 0

exactement lorsque x appartient à l’intervalle ouvert ]� 3; 0[. Par conséquent, on a uneimplication de gauche à droite, mais pas dans l’autre sens. (Par exemple, si x = 10,

alors x (x + 3) = 130.)

(c) Seulement si. x2 < 9 () �3 < x < 3, de sorte que x2 < 9 seulement si x < 3.Si x = �5, par exemple, on a x < 3 mais x2 > 9.(d) Si et seulement si. Comme x2 + 1 n’est jamais nul, ici on a ssi.

(e) Si. Si x > 0, alors x2 > 0 aussi quand x < 0.

(f) Seulement si. x4 + y4 = 0 () x = 0 et y = 0. Si x = 0 et, disons, y = 1, alorsx4 + y4 = 1. Le si n’est donc pas correct.

8. (a) Six ety ne sont pas tous les deux positifs, au moins l’un des deux doit être strictement

négatif, c’est-à-dire x < 0 ou y < 0.

(b) Si tous les x ne sont pas supérieurs ou égaux à a, au moins un x doit être inférieur

à a.




(c) Au moins l’un des deux est inférieur à 5, si pas les deux.

(d) Il existe un " > 0 tel que B ne soit pas satisfaite quel que soit ı > 0.

(e) Quelqu’un peut ne pas aimer les chats.

(f) Quelqu’un n’aime jamais personne.


1. (a)1

1 � 3 +1

2 � 4 +1

3 � 5 +1

4 � 6 =17

30

(b) 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 220

(c)0

2+

1

3+

2

4+

3

5+

4

6=

21

10= 2;1

2. (a) 12 � 4 + 22 � 5 + 32 � 6 + 42 � 7 = 4 + 20 + 54 + 112 = 190

(b) 1 � 16

= 56

(c) 1�2 + 2�1 + 30 + 41 + 52 + 63 = 1 + 1=2 + 1 + 4 + 25 + 216 = 4952

3. (a)

100∑

n=1

(2n + 1)

(b)

96∑

k=1

k + 1

k

4. (a)

38∑

i=4

i (i + 2)

(b)

n∑

i=1

1

xi

(c)

16∑

j=0

x2j

2j + 1

(d)

81∑

k=1

(�1)k�1 1k

5. (a) Correcte. Les deux sommes sont égales à a1 + a2 + � � � + an.

(b) Faux en général.n∑i=1

(ai + bi )2 =

n∑i=1

(a2i + 2aibi + b2i ) =

n∑i=1

a2i +n∑i=1

b2i + 25∑i=1

aibi .

(c) Correcte. Les deux sommes sont égales à 5a1;j + 5a2;j + � � � + 5an+1;j .

(d) Faux en général.3∑i=1

ai

bi=a1

b1+a2

b2+a3

b3, alors que

∑3i=1 ai∑3i=1 bi

=a1 + a2 + a3

b1 + b2 + b3et les deux

expressions ne sont manifestement pas égales. (Posez, par exemple, tous les ai et biégaux à 1.)

6. (a) ) vrai,( faux.(b) ) faux (car x2 = 16 a aussi comme solution x = �4),( vraie, car, si x = 4, alorsx2 = 16.




(c) ) vraie, car (x�3)2 > 0 ;( faux, car avecy > �2 etx = 3 on a (x�3)2 (y+2) = 0.(d) ) et( toutes les deux vraies, car l’équation x3 = 8 a comme solution x = 2 etaucune autre. (Dans les termes de la section 6.3, la fonction f (x) = x3 est strictement

croissante. Voir exercice 6.3.3 et le graphique de la figure 4.2.7.)

7. A\B = f1; 4g ;A[B = f1; 3; 4; 6g ;AnB = f3g ;BnA = f6g ; (A[B)n(A\B) = f3; 6g ;A [ B [ C [D = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ; A \ B \ C = f4g et A \ B \ C \D = ;.

8. D’après l’exercice 3.R.3(a), il y a 100 termes. En se servant de la même astuce que celle

employée pour déduire la formule (3.1.3), il vient

R = 3 + 5 + 7 + � � � + 197 + 199 + 201R = 201 + 199 + 197 + � � � + 7 + 5 + 3:

On additionne terme à terme

2R = 204 + 204 + 204 + � � � + 204 + 204 + 204 = 100 � 204 = 20 400:

D’où R = 10 200.

(b) S = 1 001 + 2 002 + 3 003 + � � � + 8 008 + 9 009 + 10 010= 1 001 (1 + 2 + 3 + � � � + 8 + 9 + 10) = 1 001 � 55 = 55 055

9. (a) (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x pour tout x puisque x2 > 0.

(b) (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 = 1 + 3x + x2 (3 + x) > 1 + 3x pour tout x > �3,puisque x2 (3 + x) > 0 pour tout x > �3.(c) Pour n = 1, l’inégalité est correcte par (a) (et pour n = 2, elle est correcte par (b)).

Par hypothèse, on suppose que (1 +x)k > 1 + kx pour un entier quelconque k. Comme

1 + x > 0, on a

(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x) > (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1) x + kx2 > 1 + (k + 1) x;

la dernière inégalité étant justifiée par le fait que k > 0. Par conséquent, l’inégalité de

Bernoulli est vraie, quel que soit l’entier naturel n.

Chapitre 4 / Les fonctions d’une variable

4.2

1. (a) f (0) = 02 + 1 = 1, f (�1) = (�1)2 + 1 = 2, f (1=2) = (1=2)2 + 1 = 1=4 + 1 = 5=4,et f (

p2) = (

p2)2 + 1 = 2 + 1 = 3.

(b) (i) Puisque (�x)2 = x2, f (x) = f (�x) pour tout x.(ii) On a

f (x + 1) = (x + 1)2 + 1 = x2 + 2x + 1 + 1 = x2 + 2x + 2

et f (x) + f (1) = x2 + 1 + 2 = x2 + 3:



CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable 21

Cette égalité est vérifiée si et seulement si x2 +2x+2 = x2 +3, c’est-à-dire si et seulement

si x = 1=2.

(iii) f (2x) = (2x)2 + 1 = 4x2 + 1 et 2f (x) = 2x2 + 2. On a ainsi

4x2 + 1 = 2x2 + 2 , x2 = 1=2 , x = ˙√

1=2 = ˙12

p2:

2. F (0) = F (�3) = 10, F (a + h) � F (a) = 10 � 10 = 0.

3. (a) f (0) = 0, f (a) = a2, f (�a) = a2 � (�a � a)2 = �3a2 et f (2a) = 0.(b) 3f (a) + f (�2a) = 3a2 + [a2 � (�2a � a)2] = 3a2 + a2 � 9a2 = �5a2.

4. (a) f (�1=10) = �10=101, f (0) = 0, f (1=p

2) =p

2=3, f (p�) =

p�=(1 + �),

f (2) = 2=5.

(b) f (�x) = �x=(1 + (�x)2) = �x=(1 + x2) = �f (x) etf (1=x) = (1=x)=[1 + (1=x)2] = (1=x) x2=[1 + (1=x)2] x2 = x=(1 + x2) = f (x).

5. F (0) = 2, F (�3) =p

19, F (t + 1) =pt2 + 3.

6. (a) C (0) = 1 000, C (100) = 41 000 et C (101) � C (100) = 501.(b) C (x + 1)�C (x) = 2x + 301 = coût supplémentaire dû au passage de la productionde x à x + 1.

7. (a) D(8) = 4, D(10) = 3;4 et D(10;22) = 3;334.

(b) P = 10;9.

8. (a) f (tx) = 100 (tx)2 = 100t2x2 = t2f (x)

(b) P (tx) = (tx)1=2 = t1=2x1=2 = t1=2P (x)

9. (a) b (0) = 0, b (50) = 100=11, b (100) = 200.

(b) b (50+h)�b (50) est le coût additionnel d’enleverh% de plus que 50 % d’impuretés.

10. (a) Non : f (2 + 1) = f (3) = 18, alors que f (2) + f (1) = 8 + 2 = 10.

(b) Oui : f (2 + 1) = f (2) + f (1) = �9.(c) Non : f (2 + 1) = f (3) =

p3 � 1;73, alors que f (2) + f (1) =

p2 + 1 � 2;41.

11. (a) f (a + b) = A(a + b) = Aa + Ab = f (a) + f (b)

(b) f (a + b) = 10a+b = 10a � 10b = f (a) � f (b)

12. Voir les figures C4.2.12a et C4.2.12b.

x 2

x · 1 1 · 1

1 · x

x 1

x

1

x

1

x

1

Figure C4.2.12a L’aire vaut

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

Figure C4.2.12b L’aire vautx2+1.




13. (a) Il faut 5 � x > 0, soit x 6 5.(b) Le dénominateur x2 � x = x (x � 1) doit être différent de 0, de sorte que x 6= 0 etx 6= 1.(c) Pour commencer, le dénominateur doit être différent de 0. Ce qui exige x 6= 2 etx 6= �3. En outre, comme on ne peut prendre la racine carrée que d’un nombre positif,la fraction (x � 1)=(x � 2) (x + 3) doit être positive. Un tableau de signes révèle queDf =] � 3; 1] [ [2;+1[. Notez en particulier que la fonction est définie en x = 1 oùelle vaut 0.

14. (a) Définie pour x 6= 2 ou Df =] �1; 2[[]2;+1[.(b) f (8) = 5

(c) f (x) =3x + 6

x � 2 = 3 () 3x + 6 = 3 (x � 2) () 6 = �6, ce qui est impossible.

15. Puisque g est manifestement définie pour x > �2, Dg = [�2;+1[. Notez queg(�2) = 1 et g(x) 6 1 pour tout x 2 Df . Lorsque x va de �2 à +1, g(x) décroı̂t de 1à �1, de sorte que Rg =] �1; 1].

4.3

1. Voir figure C4.3.1.

2. (a) f (�5) = 0, f (�3) = �3, f (�2) = 0, f (0) = 2, f (3) = 4, f (4) = 0.(b) Df = [�5; 4], Rf = [�3; 4].

y

1

x1

(− 3, 2)

(4, 0)

(0, 4)

(2, 3)

(− 3/ 2, − 2)

Figure C4.3.1

3.x 0 1 2 3 4

g(x) = �2x + 5 5 3 1 �1 �3

Voir figure C4.3.3.

4.x �2 �1 0 1 2 3 4

h(x) = x2 � 2x � 3 5 0 �3 �4 �3 0 5

Voir figure C4.3.4.




y

− 4− 3

− 2− 1

12

34

5

x1 2 3 4

y

−4−3−2−1

1

2

34

5

x− 2 21 3 4 22 21 1 2

1

2

3

22

21

y

x 22 21 1 2 3

1

2

3

4

22

23

21

y

x

Figure C4.3.3 Figure C4.3.4 Figure C4.3.5 Figure C4.3.6

5.x �2 �1 0 1 2

F (x) = 3x 1=9 1=3 1 3 9Voir figure C4.3.5.

6.x �2 �1 0 1 2 3

G(x) = 1 � 2�x �3 �1 0 1=2 3=4 7=8Voir figure C4.3.6.

4.4

1. (a) (8 � 3)=(5 � 2) = 5=3(b) �2=3(c) 51=5

2. Voir figures C4.4.2a, C4.4.2b et C4.4.2c.

y

1

2

3

4

x1 3

y

− 5

− 4

− 3

− 2

− 1

1

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

− 1

1

2

3

4

x1 2 3 4 5

Figure C4.4.2a Figure C4.4.2b Figure C4.4.2c

3. SiD = a + bP , alors a + 10b = 200 et a + 15b = 150. La solution en a et b est a = 300

et b = �10, de sorte que D = 300 � 10P .

4. d1 : La pente vaut 1 et la formule (2) avec (x1; y1) = (0; 2) et a = 1 donne y = x + 2.

d2 : La formule (3) avec (x1; y1) = (0; 3) et (x2; y2) = (5; 0) fournit y � 3 =0 � 35 � 0x ou

y = � 35x + 3.

d3 est la droite d’équation y = 1, de pente 0.

d4 est la droite d’équation y = 3x � 14, de pente 3.d5 est la droite d’équation y =

19x + 2, de pente 1/9.




5. (a), (b) et (d) sont du premier degré ; (c) est du second degré.

6. Si P est le prix de Q copies, alors, par la formule (3),

P � 1 400 = 3 000 � 1 400500 � 100 (Q � 100) ou P = 1 000 + 4Q:

Le prix d’impression de 300 copies est donc P = 1 000 + 4 � 300 = 2 200:7. (a) d1 : y � 3 = 2 (x � 1) ou y = 2x + 1.

(b) d2 : y � 2 = 3�23�(�2) [x � (�2)] ou y = x=5 + 12=5.(c) d3 : y = �x=2.(d) d4 : x=a + y=b = 1 ou y = �bx=a + b.

8. (a) Voir les figures C4.4.8a, C4.4.8b et C4.4.8c.

y

x

1

1

y

x− 1 1

y

x

1

1


9. Pour (a), la figure C4.4.9a montre que la solution est x = 3, y = �2. Pour (b), la fi-gure C4.4.9b montre qu’il n’y a pas de solutions, puisque les deux droites sont parallèles.

Pour (c), la figure C4.4.9c montre que la solution est x = 2, y = 0.

y

x

x + y = 1

x − y = 5

(3, − 2)

1

1

y

x

1

1

6x + 8y = 63x + 4y = 1

Figure C4.4.9a Figure C4.4.9b

y

x1

1

x − y = 2

x − 2y = 2

x + y = 2

(2, 0)

Figure C4.4.9c




10. Les points dont les coordonnées satisfont à l’inégalité 3x + 4y 6 12 sont ceux qui se

trouvent sur ou sous la droite d’équation 3x + 4y = 12, comme expliqué à l’exemple

6 pour une inégalité semblable. Les points dont les coordonnées satisfont à l’inégalité

x � y 6 1, ou, de façon équivalente, y > x � 1, sont ceux qui se trouvent sur ouau-dessus de la droite d’équation x � y = 1. Enfin, les points dont les coordonnéessatisfont à l’inégalité 3x + y > 3, ou, de façon équivalente, y > 3 � 3x, sont ceux quise trouvent sur ou au-dessus de la droite d’équation 3x + y = 3. L’ensemble de tous les

points qui satisfont aux trois inégalités est ombré dans la figure C4.4.10.

y

x

1

2

3

2 3 4

3x + 4y = 123x + y = 3

x − y = 1

Figure C4.4.10

4.5

1. 0,78

2. (a) 75 � 3P e = 20 + 2P e et, de là, P e = 11.(b) P e = 90

3. La formule (3) donne C � 200 = 275 � 200150 � 100 (x � 100) ou C =

3

2x + 50.

4. C = 0;8y + 100. (Avec C = ay + b, on sait que 900 = 1 000a + b et a = 80=100 = 0;8,

de sorte que b = 100.)

5. (a) P (t ) = 20 000 � 2 000t(b) W (t ) = 500 � 50t

6. (a) Avril 1960 correspond à t = 9=4, quand

N (9=4) = �17 400 � (9=4) + 151 000 = 111 850:

(b) �17 400 t + 151 000 = 0 implique t = 8;68, ce qui correspond environ à septembre1966.

4.6

1. (a)x �1 0 1 2 3 4 5

f (x) = x2 � 4x 5 0 �3 �4 �3 0 5

Voir figure C4.6.1.




(b) Minimum en x = 2, avec f (2) = �4.(c) x = 0 et x = 4.

y

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

4

5

x− 1 1 2 3 4 5 6

f (x) = x2 − 4x

y

− 4

− 3

− 2

− 1

1

2

3

x− 4− 3− 2− 1 2 31

f(x) = − 12x 2 − x + 3

22

− 1

Figure C4.6.1 Figure C4.6.2

2. (a)x �4 �3 �2 �1 0 1 2

f (x) = � 12x2 � x + 3

2�2;5 0 1;5 2 1;5 0 �2;5

Voir figure C4.6.2.

(b) Maximum en x = �1 où f (�1) = 2.(c) x = �3 et x = 1.(d) f (x) > 0 en (�3; 1), f (x) < 0 pour x < �3 et pour x > 1.

3. (a) Minimum �4 quand x = �2.(b) Minimum 9 quand x = �3.(c) Maximum 45 quand x = 5.

(d) Minimum �45 quand x = 1=3.(e) Maximum 40 000 quand x = �100.(f) Minimum �22 500 quand x = �50.

4. (a) x (x + 4). Racines 0 et �4.(b) Pas de factorisation possible. Pas de racines.

(c) �3 (x � x1) (x � x2), où les racines sont x1 = 5 +p

15 et x2 = 5 �p

15.

(d) 9 (x � x1) (x � x2), où les racines sont x1 = 1=3 +p

5 et x2 = 1=3 �p

5.

(e) �(x + 300) (x � 100). Racines �300 et 100.(f) (x + 200) (x � 100). Racines �200 et 100.

5. (a) x = 2p et x = p.

(b) x = p et x = q.

(c) x = 12p et x = �2q.

6. U (x) atteint un maximum en x = 4 (r � 1)=(1 + r2). (Après développement,U (x) = �(1 + r2) x2 + 8 (r � 1) x. Ensuite, on applique (4.6.4) avec a = �(1 + r2)et b = 8 (r � 1).)

7. (a) Les aires quand x = 100, 250 et 350 sont respectivement 100 � 400 = 40 000,250 � 250 = 62 500 et 350 � 150 = 52 500.




(b) L’aire est égale à A = (250 + x) (250� x) = 62 500� x2, qui manifestement atteintun maximum en x = 0. Le rectangle est alors un carré.

8. (a) �(Q) = (PUK � PG � )Q = � 12Q2 + (˛1 � ˛2 � )Q.

(b) Par (4), on voit que Q� = ˛1 � ˛2 � rend le profit maximal si ˛1 � ˛2 � > 0.Si ˛1 � ˛2 � 6 0, alors Q� = 0.(c) �(Q) = � 1

2Q2 + (˛1�˛2� � t )Q etQ� = ˛1�˛2� � t si ˛1�˛2� � t > 0.

(d) T = tQ� = t (˛1 � ˛2 � � t ). T est une fonction du deuxième degré en t ; ellevaut 0 quand t = 0 et quand t = t1 = ˛1 � ˛2 � , et elle est strictement positive pourt compris entre 0 et t1.

(e) La taxe à l’exportation est maximale quand t = 12(˛1 � ˛2 � ).

9. (a) 361 6 377

(b) On trouve quef (x) = Ax2 + Bx + C , où

A = a21 + a22 + � � � + a2n; B = 2 (a1b1 + a2b2 + � � � + anbn) et C = b21 + b22 + � � � + b2n:

Maintenant, si B2 � 4AC > 0, alors, en accord avec la formule (2.3.4), l’équationf (x) = Ax2 + Bx + C = 0 devrait avoir deux solutions distinctes, ce qui contredit

f (x) > 0 pour tout x. Donc B2 � 4AC 6 0 et la conclusion en découle.


1. (a) f (0) = 3, f (�1) = 30, f (1=3) = 2, f ( 3p

2) = 3�27 (21=3)3 = 3�27�2 = �51.(b) f (x) + f (�x) = 3 � 27x3 + 3 � 27 (�x)3 = 3 � 27x3 + 3 + 27x3 = 6.

2. (a) F (0) = 1, F (�2) = 0, F (2) = 2 et F (3) = 25=13.(b) F (x) = 1 +

4

x + 4=xtend vers 1 lorsque x devient grand positif ou négatif.

(c) Voir figure C4.R.2.

y

1

2

x− 4 − 3 − 2 − 1 21 43

F( x) = 1 + 4xx2+4

Figure C4.R.2

3. (i) f (x) 6 g(x) quand �2 6 x 6 3.(ii) f (x) 6 0 quand �1 6 x 6 3.(iii) g(x) > 0 quand x 6 3.

4. (a) x2 > 1, c’est-à-dire x > 1 ou x 6 �1.(b) La racine carrée n’est définie que si x > 4, mais comme x = 4 rend le dénominateur

nul, il faut exiger x > 4.




(c) Il faut que (x � 3) (5� x) > 0, c’est-à-dire 3 6 x 6 5 (faites un tableau de signes).

5. (a) C (0) = 100, C (100) = 24 100 et C (101) � C (100) = 24 542 � 24 100 = 442.(b) C (x + 1) � C (x) = 4x + 42 est le coût additionnel dû à la production d’une unitésupplémentaire.

6. (a) Pente �4.(b) Pente �3=4.(c) La résolution en y donne y = b � (b=a) x, de sorte que la pente vaut �b=a.

7. (a) La formule (2) donne y � 3 = �3 (x + 2) ou y = �3x � 3.(b) La formule (3) donne y � 5 = 7 � 5

2 � (�3) (x � (�3)) ou y = 2x=5 + 31=5.

(c) y � b = 3b � b2a � a (x � a) ou y = (2b=a) x � b.

8. f (2) = 3 et f (�1) = �3 entraı̂nent 2a + b = 3 et �a + b = �3, de sorte que a = 2,b = �1. De là, f (x) = 2x � 1 et f (�3) = �7. (Ou par la formule (3).)

9. Le graphique est tracé à la figure C4.R.9.

x �5 �4 �3 �2 �1 0 1y = x2ex 0;17 0;29 0;45 0;54 0;37 0 2;7

y

1

2

3

x− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 21

Figure C4.R.9

10. (1;�3) appartient au graphique si a + b + c = �3, (0;�6) appartient au graphique sic = �6 et (3; 15) appartient au graphique si 9a + 3b + c = 15. Par conséquent, a = 2,b = 1 et c = �6.

11. (a) � =(1 000� 1

3Q)Q�

(800 + 1

5Q)Q�100Q = 100Q� 8

15Q2. Ici,Q = 1 500=16,

c’est-à-dire Q = 93;75, rend � maximal.

(b) �̂ = 100Q � 815Q2 � 10Q = 90Q � 8

15Q2. Donc, Q̂ = 1 350=16 = 84;375 rend �̂

maximal.

12. Le nouveau profit est donné par �t = 100Q � 52Q2 � tQ, qui atteint son maximum en

Qt =15(100 � t ).

13. (a) La fonction de profit est �(x) = 100x � 20x � 0;25x2 = 80x � 0;25x2, maximalen x� = 160.




(b) La fonction de profit est �t (x) = 80x � 0;25x2 � 10x, maximal en x� = 140.(c) La fonction de profit est�t (x) = (p�t�˛) x�ˇx2, maximal enx� = (p�˛�t )=2ˇ.

14. (a) p(x) = x (x2 +x�12) = x (x�3) (x+4), car x2 +x�12 = 0 pour x = 3 et x = �4.(b) ˙1, ˙2, ˙4, ˙8 sont les seules racines entières possibles. Par essai et erreur, ontrouve q(2) = q(�4) = 0, de sorte que 2 (x � 2) (x + 4) = 2x2 + 4x � 16 est un facteurde q(x). La division polynomiale fournit le quotient q(x)� (2x2 + 4x� 16) = x� 1=2.Finalement, q(x) = 2 (x � 2) (x + 4) (x � 1=2).

15. (a) x3 � x � 1 n’est pas nul en x = 1, de sorte que la division laisse un reste.(b) 2x3 � x � 1 est nul en x = 1, de sorte que la division ne laisse pas de reste.(c) x3 � ax2 + bx � ab est nul en x = a, de sorte que la division ne laisse pas de reste.(d) x2n � 1 est nul en x = �1, de sorte que la division ne laisse pas de reste.

16. On utilise (4.7.5).

(a) p(2) = 8 � 2k = 0 pour k = 4.(b) p(�2) = 4k2 + 2k � 6 = 0 pour k = �3=2 et k = 1.(c) p(�2) = �26 + k = 0 pour k = 26.(d) p(1) = k2 � 3k � 4 = 0 pour k = �1 et k = 4.

17. Un calcul direct montre que p(2) = 1423 � 22 � 11

42 + 15

2= 2 � 4 � 11

2+ 15

2= 0. En

conséquence, x � 2 est un facteur de p(x). La division de p(x) par ce facteur donnep(x)�(x�2) = 1

4(x2�2x�15) = 1

4(x+3) (x�5). Les deux autres racines sont x = �3

et x = 5. (Autre possibilité : q(x) a les mêmes racines que 4p(x) = x3�4x2�11x+30.Les racines entières de ce polynôme ne peuvent être que ˙1, ˙2, ˙3, ˙5, ˙10, ˙15et˙30. Il est fastidieux de chercher les racines de cette manière.)

18. (1 + p=100)15 = 2 donne p = 100 (21=15 � 1) � 4;7 comme taux moyen annuel.

19. Pour le graphique de gauche, on remarque que, pour x 6= 0, on a

y = f (x) =a + b=x

1 + c=x;

de sorte que y tend vers a lorsque x devient grand positif ou négatif. Le graphique

montre que a > 0. La fonction n’est pas définie en x = �c et sur le graphique �c > 0,donc c < 0. f (0) = b=c > 0, d’où b < 0.

Le graphique de la fonction du deuxième degré g est une parabole convexe, aussip > 0.

De plus, r = g(0) < 0. Finalement, g(x) atteint son minimum en x = x� = �q=2p.Comme x� > 0 et p > 0, on conclut que q < 0.

20. (a) SoitF = aC +b. Alors 32 = a�0+b et 212 = a�100+b. D’où a = 180=100 = 9=5et b = 32, de sorte que F = 9C=5 + 32.

(b) Si X = 9X=5 + 32, alors X = �40.

21. (a) ln x = ln eat+b = at + b, de sorte que t = (ln x � b)=a.(b) �at = ln(1=2) = ln 1 � ln 2 = � ln 2, d’où t = (ln 2)=a.(c) e�

12t2 = 21=2�1=22�3, de sorte que� 1

2t2 = 1

2ln 2+ 1

2ln��3 ln 2 = � 5

2ln 2+ 1

2ln� ,

puis t2 = 5 ln 2 � ln� = ln(32=�) et finalement t = ˙√

ln(32=�

).




22. (a) ln(x=e2) = ln x � ln e2 = ln x � 2 pour x > 0.(b) ln(xz=y) = ln(xz) � ln y = ln x + ln z � ln y pour x; y; z > 0.(c) ln(e3x2) = ln e3 + ln x2 = 3 + 2 ln x pour x > 0. (En général, ln x2 = 2 ln jxj.)(d) Quand x > 0, notez que

1

2ln x � 3

2ln(1=x) � ln(x + 1) = 1

2ln x � 3

2(� ln x) � ln(x + 1) = 2 ln x � ln(x + 1)

= ln x2 � ln(x + 1) = ln[x2=(x + 1)]:

Chapitre 5 / Les propriétés des fonctions

5.1

1. (a) y = x2 + 1 a comme graphique celui de y = x2 translaté vers le haut de 1 unité. Voir

figure C5.1.1a.

(b) y = (x + 3)2 a comme graphique celui de y = x2 déplacé de 3 unités vers la gauche.

Voir figure C5.1.1b.

(c) y = 3 � (x + 1)2 a comme graphique celui de y = x2 renversé vers le bas, avec lesommet (0; 0) déplacé en (�1; 3). Voir figure C5.1.1c.

y

x1

1

y

x− 1

1

y

x− 1

1


2. (a) Le graphique de y = f (x) est translaté de 2 unités vers la droite. Voir figure C5.1.2a.

(b) Le graphique de y = f (x) est translaté vers le bas de 2 unités. Voir figure C5.1.2b.

(c) Le graphique de y = f (x) a subi une réflexion par rapport à l’axe Oy. Voir figu-

re C5.1.2c.

y

x

1

1

y

x

1

1

y

x

1

1


3. La condition d’équilibre est 106 � P = 10 + 2P et donc P = 32. La quantité corres-pondante est Q = 106 � 32 = 74. Voir figure C5.1.3.



CHAPITRE 5 / Les propriétés des fonctions 31

P

Q , D , D̃ , S

32

74

P = 100 − D

P = 106 − D̃P = 1

2S − 5

y

x

1

− 1

y

x

1

− 2

Figure C5.1.3 Figure C5.1.4 Figure C5.1.5

4. On déplace y = jxj de 2 unités vers la gauche. Ensuite, on en prend l’image par uneréflexion par rapport à l’axe Ox et, enfin, on translate le graphique de 2 unités vers le

haut. Voir figure C5.1.4.

5. On trace le graphique de y = 1=x2. On le translate de 2 unités vers la gauche. Puis, on

en prend l’image symétrique par rapport à l’axe Ox et, enfin, on le monte de 2 unités

vers le haut. C’est la figure C5.1.5.

6. f (y� � d ) = f (y�) � c donne A(y� � d ) + B(y� � d )2 = Ay� + B(y�)2 � cou Ay� � Ad + B(y�)2 � 2Bdy� + Bd 2 = Ay� + B(y�)2 � c. D’où

y� = [Bd 2 � Ad + c]=2Bd:

5.2

1. Voir figure C5.2.1.

y

x

14x 2

1/x

Figure C5.2.1

aQ2 + bQ + c

y

Q

y

x

y

x





2. Voir figures C5.2.2a à C5.2.2c.

3. (f + g) (x) = 3x, (f � g) (x) = 3x � 2x3, (fg) (x) = 3x4 � x6, (f=g) (x) = 3=x2 � 1,f (g(1)) = f (1) = 2 et g(f (1)) = g(2) = 8.

4. Si f (x) = 3x+7, alors f (f (x)) = f (3x+7) = 3 (3x+7)+7 = 9x+28. f (f (x�)) = 100exige 9x� + 28 = 100, de sorte que x� = 8.

5. ln(ln e) = ln 1 = 0, alors que (ln e)2 = 12 = 1.

6. g(�x) = f (�x) + f (x)2

=f (x) + f (�x)

2= g(x)

7. (a) Ni l’un, ni l’autre.

(b) Ni l’un, ni l’autre.

(c) Paire.

(d) Impaire.

(e) Ni l’un, ni l’autre.

(f) Paire.

(g) Impaire.

(h) Paire.

(i) Impaire.

5.3

1. P = 13(64 � 10D)

2. P = (157;8=D)10=3

3. (a) Domaine de définition et ensemble image : R ; x = �y=3.(b) Domaine de définition et ensemble image : R n f0g ; x = 1=y.(c) Domaine de définition et ensemble image : R ; x = y1=3.

(d) Domaine de définition [4;+1[, ensemble image [0;+1[ ; x = (y2 + 2)2.

4. (a) Comme tous les nombres de la deuxième ligne du tableau sont différents, f admet

une fonction réciproque qui envoie chaque nombre de la deuxième ligne sur son corres-

pondant dans la première ligne.

Le domaine de définition de f �1 est f�4;�2; 0; 2; 4; 6; 8g et f �1(2) = �1.(b) Comme f (x) augmente de 2 unités à chaque accroissement unitaire de x, f (x) est

de la forme 2x +a pour une constante convenable a. Or, f (0) = 4. Donc f (x) = 2x +4.

Si y = 2x + 4, alors x = (y � 4)=2 et la formule de f �1 est f �1(x) = 12x � 2.

5. f (x) = x2 n’est pas injective sur ]�1;+1[ et n’a donc pas de réciproque. Sur [0;+1[,f est strictement croissante et, de ce fait, admet une réciproque f �1(x) =

px.

6. (a) f (x) = x=2 et g(x) = 2x sont des fonctions réciproques.

(b) f (x) = 3x � 2 et g(x) = 13(x + 2) sont des fonctions réciproques.

(c) C = 59(F � 32) et F = 9

5C + 32 sont des fonctions réciproques.

7. f �1(C ) détermine le coût de C kilos de carottes.

8. (a) Voir figure C5.3.8a.



CHAPITRE 5 / Les propriétés des fonctions 33

y

x

(3, 1)

(5, 3)(1, 3)

(3, 5)

y = x

y

x

C = (b,a)

A = (a,b)

B

y = x

D

EO

Figure C5.3.8a Figure C5.3.8b

(b) Voir figure C5.3.8b. Les trianglesOBA etOBC sont isométriques. Le point milieu

entre A et C est le point B de coordonnées ( 12(a + b); 1

2(a + b)).

9. (a) (x3 � 1)1=3 = y () x3 � 1 = y3 () x = (y3 + 1)1=3. Si x désigne la variableindépendante, f �1(x) = (x3 + 1)1=3. R est le domaine de définition et l’ensemble imagedes deux fonctions f et f �1.(b) Le domaine de définition est l’ensemble des réels à l’exception de x = 2 et, dans ce

cas,

x + 1

x � 2 = y , x + 1 = y (x � 2) (1 � y) x = �2y � 1, x =�2y � 1

1 � y =2y + 1

y � 1 :

Avec x comme variable indépendante, f �1(x) = (2x + 1)=(x � 1). Le domaine dedéfinition de la réciproque est l’ensemble des réels, à l’exception de x = 1.

(c) Ici,

y = (1 � x3)1=5 + 2, y � 2 = (1 � x3)1=5 , (y � 2)5 = 1 � x3

, x3 = 1 � (y � 2)5 , x = [1 � (y � 2)5]1=3:

Avec x comme variable indépendante, f �1(x) = [1� (x � 2)5]1=3. R est le domaine dedéfinition et l’ensemble image des deux fonctions f et f �1.

10. (a) Le domaine de définition est R et l’ensemble image, ]0;+1[ de sorte que la récipro-que est définie sur ]0;+1[. De y = ex+4, on a ln y = x + 4 et, de là, x = ln y�4, y > 0.(b) L’ensemble image est R, qui est le domaine de définition de la réciproque. De

y = ln x � 4, on tire ln x = y + 4, et ainsi x = ey+4.(c) Le domaine de définition est R. La fonction y est strictement croissante, avec

y ! ln 2 lorsque x ! �1 et y ! 1 lorsque x ! +1. L’ensemble image estdonc ] ln 2;+1[. De y = ln

(2 + ex�3

), on tire ey = 2 + ex�3, puis ex�3 = ey �2 et enfin

x = 3 + ln(ey � 2) pour y > ln 2.

11. Il faut résoudre x = 12(ey � e�y) par rapport à y. On multiplie l’équation par ey , ce qui

donne 12e2y � 1

2= xey ou e2y �2xey �1 = 0. En posant ey = z, on a z2�2xz�1 = 0,

dont la solution est z = x˙px2 + 1. Celle avec le signe moins est négative. On retient

z = ey = x +px2 + 1. D’où, la fonction réciproque est y = ln

(x +px2 + 1

).





1. Les translations à appliquer à y = jxj sont les mêmes que celles appliquées à y = x2 àl’exercice 5.1.1. Voir figures C5.R.1(a) - (c).

y

x

y = | x |+ 1

y

x

y = | x + 3|

Figure C5.R.1a Figure C5.R.1b

y

x

y = 3 − |x + 1|

Figure C5.R.1c

2. (f + g) (x) = x2 � 2, (f � g) (x) = 2x3 � x2 � 2, (fg) (x) = x2 (1 � x) (x3 � 2),(f=g) (x) = (x3 � 2)=x2 (1 � x), f (g(1)) = f (0) = �2 et g(f (1)) = g(�1) = 2.

3. (a) La condition d’équilibre est 150 � 12P � = 20 + 2P �, qui donne P � = 52 et

Q� = 20 + 2P � = 124.(b) S = 20 + 2 (P̂ � 2) = 16 + 2P̂ , de sorte que S = D quand 5P̂ =2 = 134. De là,P̂ = 53;6, Q̂ = 123;2.

(c) Avant la taxe, R� = P �Q� = 6 448. Après la taxe,

R̂ = (P̂ � 2)Q̂ = 51;6 � 123;2 = 6 357;12:

4. P = (64 � 10D)=3

5. P = 24 � 15D

6. (a) x = 50 � 12y

(b) x = 5√y=2

(c) x = 13[2 + ln(y=5)]; y > 0

7. (a) La fonction f est définie et strictement croissante quand ex > 2, c’est-à-dire

x > ln 2. Son ensemble image est R, car f (x) ! �1 lorsque x ! ln 2+ etf (x) ! +1 lorsque x ! +1. De y = 3 + ln(ex � 2), on tire ln(ex � 2) = y � 3et donc ex � 2 = ey�3 ou ex = 2 + ey�3 et finalement x = ln(2 + ey�3). Donc,f �1(x) = ln(2 + ex�3), x 2 R.



CHAPITRE 6 / La dérivation 35

(b) Notez que f est strictement croissante. De plus, e��x ! +1 lorsque x ! �1 ete��x ! 0 lorsquex ! +1. Par conséquent, f (x)! 0 lorsquex ! �1 etf (x)! 1lorsque x ! +1. L’ensemble image de f , et donc le domaine de définition de f �1,est ]0; 1[. De y =

a

e��x + a, on tire e��x +a = a=y, de sorte que e��x = a (1=y�1), ou

��x = ln a+ln(1=y�1). Ensuite, x = �(1=�) ln a� (1=�) ln(1=y�1) et la formule dela fonction réciproque est f �1(x) = �(1=�) ln a � (1=�) ln(1=x � 1), avec x 2 ]0; 1[.

8. (a)p

13

(b)p

17

(c)√

(2 � 3a)2 = j2 � 3aj. (Notez que 2 � 3a est la réponse correcte seulement si2 � 3a > 0, c’est-à-dire a 6 2=3. Testez en posant a = 3.)

9. (a) (x � 2)2 + (y + 3)2 = 25(b) (x + 2)2 + (y � 2)2 = 65

10. (x � 3)2 + (y � 2)2 = (x � 5)2 + (y + 4)2. Après simplification, x � 3y = 7. Voirfigure C5.R.10.

y

x

A = (3, 2)

B = (5,− 4)

2

2

P

Figure C5.R.10

11. La fonction ne peut pas être injective, car au moins deux personnes sur les cinq auront

le même groupe sanguin.

Chapitre 6 / La dérivation

6.1

1. f (3) = 2. La tangente passe par le point de coordonnées (0; 3), de sorte que sa pente

est égale à �1=3. D’où, f 0(3) = �1=3.

2. g(5) = 1, g0(5) = 1.

6.2

1. f (5 + h) � f (5) = 4 (5 + h)2 � 4 � 52 = 4 (25 + 10h + h2) � 100 = 40h + 4h2. Ainsi,[f (5 +h)�f (5)]=h = 40 + 4h! 40 lorsque h! 0. De là, f 0(5) = 40. Cela concordeavec (6) quand a = 4 et b = c = 0.




2. (a) f 0(x) = 6x + 2(b) f 0(0) = 2, f 0(�2) = �10, f 0(3) = 20. L’équation de la tangente est y = 2x � 1.

3. (a) dD(P )=dP = �b(b) C 0(x) = 2qx

4.f (x + h) � f (x)

h=

1=(x + h) � 1=xh

=x � (x + h)hx (x + h)

=�h

hx (x + h)=

�1x (x + h)

�!h!0� 1x2

5. Pour les énoncés (a) - (c), nous appliquons la marche à suivre (6.2.3).

(a) f (a+h) = f (0 +h) = 3h+ 2 ; f (a+h)�f (a) = f (h) �f (0) = 3h+ 2�2 = 3h ;[f (h) � f (0)]=h = 3 ; [f (h) � f (0)]=h = 3 ! 3 lorsque h ! 0, de sorte quef 0(0) = 3. La pente de la tangente au point de coordonnées (0; 2) est 3.

(b) f (a+h) = f (1+h) = (1+h)2�1 = 1+2h+h2�1 = 2h+h2 ; f (1+h)�f (1) = 2h+h2 ;[f (1 + h) � f (1)]=h = 2 + h ; [f (1 + h) � f (1)]=h = 2 + h ! 2 lorsque h ! 0,de sorte que f 0(1) = 2.

(c) f (3 + h) = 2 + 3=(3 + h) ; f (3 + h) � f (3) = 2 + 3=(3 + h) � 3 = �h=(3 + h) ;[f (3+h)�f (3)]=h = �1=(3+h) ; [f (3+h)�f (3)]=h = �1=(3+h)! �1=3 lorsqueh! 0, de sorte que f 0(3) = �1=3. Pour les énoncés (d) - (f), nous appliquons toujoursla marche à suivre (6.2.3), mais de façon plus concise.

(d) [f (h) � f (0)]=h = (h3 � 2h)=h = h2 � 2 ! �2 lorsque h ! 0, de sorte quef 0(0) = �2.

(e)f (�1 + h) � f (�1)

h=�1 + h + 1=(�1 + h) + 2

h, qui se simplifie en

h2 � 1 + 1h(h � 1) =

h

h � 1 ! 0

lorsque h! 0, de sorte que f 0(0) = 0:(f) On a

f (1 + h) � f (1)h

=(1 + h)4 � 1

h=h4 + 4h3 + 6h2 + 4h + 1 � 1

h

= h3 + 4h2 + 6h + 4 ! 4 lorsque h! 0;

de sorte que f 0(1) = 4.

6. (a) f (x+h)�f (x) = a (x+h)2 +b (x+h)+c� (ax2 +bx+c) = 2ahx+bh+ah2, donc[f (x+h)�f (x)]=h = 2ax+b+ah! 2ax+b lorsque h! 0. D’où f 0(x) = 2ax+b.(b) f 0(x) = 0 pour x = �b=2a. La tangente au point de maximum/minimum estparallèle à l’axe Ox.

7. f 0(a) < 0, f 0(b) = 0, f 0(c) > 0, f 0(d ) < 0.

8. (a) En appliquant la formule (a � b) (a + b) = a2 � b2 avec a =px + h et b =

px, on

obtient

(px + h �

px) (px + h +

px) = (x + h) � x = h:




(b)f (x + h) � f (x)

h=

(px + h �

px) (px + h +

px)

h(px + h +

px)

=1p

x + h +px

(c) Grâce à (b),f (x + h) � f (x)

h=

1px + h +

px�!h!0

1

2px

=1

2x�1=2.

9. (a) f 0(x) = 3ax2 + 2bx + c.(b) Posez a = 1 et b = c = d = 0 pour avoir le résultat de l’exemple 2. Ensuite, posez

a = 0 pour avoir une expression du second degré comme à l’exercice 6(a).

10.(x + h)1=3 � x1=3

h=

1

(x + h)2=3 + (x + h)1=3x1=3 + x2=3! 1

3x2=3lorsque h ! 0 et

1

3x2=3=

1

3x�2=3.

6.3

1. f 0(x) = 2x�4, de sorte que f (x) est décroissante sur ]�1; 2], croissante sur [2;+1[.

2. f 0(x) = �3x2 + 8x � 1 = �3 (x � x0) (x � x1), où x0 = 13 (4 �p

13) � 0;13 etx1 =

13(4 +p

13) � 2;54. Ensuite f (x) est décroissante sur ] �1; x0], croissante sur[x0; x1] et décroissante sur [x1;+1[.

3. Si x2 > x1, alors x32 � x31 = (x2 � x1)

[(x1 +

12x2)2

+ 34x22]> 0, puisque la partie entre

crochets est strictement positive. Cela montre que f (x) = x3 est strictement croissante.

6.4

1. C 0(100) = 203 et C 0(x) = 2x + 3.

2. I est le coût fixe, tandis que k est le coût marginal et aussi le coût additionnel (constant)

pour produire une unité de plus.

3. (a) S 0(Y ) = b(b) S 0(Y ) = 0;1 + 0;0004Y

4. T 0(y) = t , le taux marginal d’imposition est constant.

5. x0(0) = �3 : pendant la première minute, environ 3 barils de pétrole sont extraits.

6. (a) C 0(x) = 3x2 � 180x + 7 500(b) x = 30. (C 0(x) atteint un minimum en x = 180=6 = 30, selon (4.6.3).)

7. (a) � 0(Q) = 24 � 2Q. Q� = 12(b) R0(Q) = 500 �Q2(c) C 0(Q) = �3Q2 + 428;4Q � 7 900

8. (a) C 0(x) = 2a1x + b1(b) C 0(x) = 3a1x2

6.5

1. (a) 3

(b) �1=2




(c) 133 = 2 197

(d) 40

(e) 1

(f) �3=4

2. (a) 0,6931

(b) 1,0986

(c) 0,4055 (En fait, d’après les résultats de l’exemple 7.12.2, les valeurs précises de ces

limites sont ln 2, ln 3 et ln(3=2), respectivement.)

3. (a)

x 0;9 0;99 0;999 1 1;001 1;01 1;1

x2 + 7x � 8x � 1 8;9 8;99 8;999 � 9;001 9;01 9;1

*non défini

(b) x2 + 7x � 8 = (x � 1) (x + 8), de sorte que (x2 + 7x � 8)=(x � 1) = x + 8 ! 9lorsque x ! 1.

4. (a) 5

(b) 1/5

(c) 1

(d) �2(e) 3x2

(f) h2

5. (a)1=3 � 2=3hh � 2 =

3h(1=3 � 2=3h

)

3h(h � 2) =h � 2

3h(h � 2) =1

3h! 1

6lorsque h! 2.

(b) Quand x ! 0, alors (x2 � 1)x2

= 1 � 1x2! �1 lorsque x ! 0.

(c)32t � 96t2 � 2t � 3 =

32 (t � 3)(t � 3) (t + 1) =

32

t + 1! 8, lorsque t ! 3 et

3

√32t � 96t2 � 2t � 3 !

3p

8 = 2 lorsque t ! 3:

(d)

ph + 3 �

p3

h=

(ph + 3 �

p3) (ph + 3 +

p3)

h(ph + 3 +

p3)

=1p

h + 3 +p

3�!h!0

1

2p

3

(e)t2 � 4

t2 + 10t + 16=

(t + 2) (t � 2)(t + 2) (t + 8)

=t � 2t + 8

! �23

lorsque t ! �2.

(f) On sait que 4 � x = (2 +px) (2 �

px). D’où lim

x!4

2 �px

4 � x = limx!41

2 +px

=1

4.

6. (a)f (x) � f (1)

x � 1 =x2 + 2x � 3x � 1 =

(x � 1) (x + 3)x � 1 = x + 3! 4 lorsque x ! 1.

(b)f (x) � f (1)

x � 1 = x + 3! 5 lorsque x ! 2.




(c)f (2 + h) � f (2)

h=

(2 + h)2 + 2 (2 + h) � 8h

=h2 + 6h

h= h+6! 6 lorsque h! 0.

(d) On a

f (x) � f (a)x � a =

x2 + 2x � a2 � 2ax � a =

x2 � a2 + 2 (x � a)x � a

=(x � a) (x + a) + 2 (x � a)

x � a = x + a + 2! 2a + 2 lorsque x ! a:

(e) Même réponse qu’en (d), si on pose x � a = h.(f) On a

f (a + h) � f (a � h)h

=(a + h)2 + 2a + 2h � (a � h)2 � 2a + 2h

h

= 4a + 4! 4a + 4 lorsque h! 0:

7. (a) x3 � 8 = (x � 2) (x2 + 2x + 4), de sorte que la limite vaut 1=6.(b) lim

h!0[

3p

27 + h � 3]=h = limu!3

(u � 3)=(u3 � 27), et u3 � 27 = (u � 3) (u2 + 3u + 9),de sorte que la limite vaut 1=27.

(c) xn � 1 = (x � 1) (xn�1 + xn�2 + � � � + x + 1), de sorte que la limite est égale à n.

6.6

1. (a) 0

(b) 4x3

(c) 90x9

(d) 0 (Pour rappel, � est une constante !)

2. (a) 2g0(x)(b) � 1

6g0(x)

(c) 13g0(x)

3. (a) 6x5

(b) 33x10

(c) 50x49

(d) 28x�8

(e) x11

(f) 4x�3

(g) �x�4=3(h) 3x�5=2

4. (a) 8�r

(b) A(b + 1)yb

(c) (�5=2)A�7=2

5. Dans (6.2.1) (la définition de la dérivée), choisissez h = x�a. Alors a +h est remplacépar x et h! 0 devient x ! a. Pour f (x) = x2, on a f 0(a) = 2a.




6. (a) F (x) = 13x3 + C

(b) F (x) = x2 + 3x + C

(c) F (x) =xa+1

(a + 1)+ C (Dans tous les cas, C est une constante arbitraire.)

7. (a) Avec f (x) = x2 et a = 5,

limh!0

(5 + h)2 � 52h

= limh!0

f (a + h) � f (a)h

= f 0(a) = f 0(5):

Par ailleurs, f 0(x) = 2x et f 0(5) = 10. La limite est 10.(b) Soit f (x) = x5. Alors f 0(x) = 5x4 et la limite est égale à f 0(1) = 5 � 14 = 5.(c) Soit f (x) = 5x2 + 10. Alors f 0(x) = 10x et c’est la valeur de la limite.

6.7

1. (a) 1

(b) 1 + 2x

(c) 15x4 + 8x3

(d) 32x3 + x�1=2

(e) 12� 3x + 15x2

(f) �21x6

2. (a) 65x � 14x6 � 1

2x�1=2

(b) 4x (3x4 � x2 � 1)(c) 10x9 + 5x4 + 4x3 � x�2 (Développer et dériver.)

3. (a) y =1

x6= x�6 ) y 0 = �6x�7, par la règle de dérivation d’une puissance (6.6.4).

(b) y = x�1(x2+1)px = x�1x2x1=2+x�1x1=2 = x3=2+x�1=2 ) y 0 = 3

2x1=2� 1

2x�3=2

(c) y = x�3=2 ) y 0 = � 32x�5=2

(d) y =x + 1

x � 1 ) y0 =

1 � (x � 1) � (x + 1) � 1(x � 1)2 =

�2(x � 1)2

(e) y =x

x5+

1

x5= x�4 + x�5 ) y 0 = � 4

x5� 5x6

(f) y =3x � 52x + 8

) y 0 = 3 (2x + 8) � 2 (3x � 5)(2x + 8)2

=34

(2x + 8)2

(g) y = 3x�11 ) y 0 = �33x�12

(h) y =3x � 1x2 + x + 1

) y 0 = 3 (x2 + x + 1) � (3x � 1) (2x + 1)

(x2 + x + 1)2=�3x2 + 2x + 4(x2 + x + 1)2

4. (a)3

2px (px + 1)2

(b)4x

(x2 + 1)2

(c)�2x2 + 2

(x2 � x + 1)2




5. (a) f 0(L�) < f (L�)=L�. Voir figure C6.7.5. La pente de la tangente en P est f 0(L�).On « voit » que la tangente en P est moins raide que la droite qui joint l’origine à P ,

dont la pente est f (L�)=L� = g(L�). (L’inégalité suit directement de la caractérisationdes fonctions dérivables concaves dans FMEA, théorème 2.4.1.)

P

y

L

y = f ( L)

f ( L*)

L*

Figure C6.7.5

(b)d

dL

(f (L)

L

)=

1

L

(f 0(L) � f (L)

L

), comme à l’exemple 6.

6. (a) y 0 = 6x � 12 = 6 (x � 2) > 0 () x > 2, d’où y est croissante sur [2;1[.(b) y 0 = x3 � 3x = x (x2 � 3) = x (x �

p3) (x +

p3), d’où, par un tableau de signes,

y est croissante sur[�p

3; 0]

et sur[p

3;+1[.

(c) y 0 =2 (2 + x2) � (2x) (2x)

(2 + x2)2=

2 (2 � x2)(x2 + 2)2

=2 (p

2 � x) (p

2 + x)

(x2 + 2)2, d’où y est crois-

sante sur [�p

2;p

2].

(d) y 0 =(2x � 3x2) (x + 1) � (x2 � x3)

2 (x + 1)2=�2x3 � 2x2 + 2x

2 (x + 1)2=�x (x � x1) (x � x2)

(x + 1)2,

où x1;2 = � 12 �12

p5. Alors y est croissante sur ] �1; x1] et sur [0; x2].

7. (a) y 0 = �1 � 2x = �3 quand x = 1. La pente de la tangente est donc �3. Commey = 1 quand x = 1, la formule (4.4.2) donne y � 1 = �3 (x � 1) ou y = �3x + 4.(b) y = 1 � 2 (x2 + 1)�1, de sorte que y 0 = 4x=(x2 + 1)2 = 1 et y = 0 quand x = 1.L’équation de la tangente est y = x � 1.(c) y = x2 � x�2, d’où y 0 = 2x + 2x�3 = 17=4 et y = 15=4 quand x = 2. De là,y = (17=4) x � 19=4.

(d) y 0 =4x3 (x3 + 3x2 + x + 3) � (x4 + 1) (3x2 + 6x + 1)

[(x2 + 1) (x + 3)]2= �1

9et y =

1

3quand x = 0.

D’où y = �(x � 3)=9.

8. R0(t ) = p0(t ) x (t ) + p(t ) x0(t ). R(t ) croı̂t pour deux raisons. La première, R(t ) croı̂tparce que le prix croı̂t. Cet accroissement est proportionnel à la quantité extraite x (t ) et

est égal àp0(t ) x (t ). MaisR(t ) croı̂t aussi parce que l’extraction augmente. Sa contribu-tion au taux de variation deR(t ) doit être proportionnelle au prix et est égale àp(t ) x0(t ).R0(t ), le taux de variation total de R(t ), est la somme de ces deux contributions.




9. (a) On utilise la règle de dérivation du quotient

y =at + b

ct + d) y 0 = a (ct + d ) � (at + b)c

(ct + d )2=ad � bc(ct + d )2

:

(b) y = tn(apt + b

)= atn+1=2 + btn ) y 0 = (n + 1=2)atn�1=2 + nbtn�1

(c) y =1

at2 + bt + c) y 0 = 0 � (at

2 + bt + c) � 1 � (2at + b)(at2 + bt + c)2

=�2at � b

(at2 + bt + c)2

10. En raison de la règle de dérivation du produit, f 0(x) � f (x) + f (x) � f 0(x) = 1,de sorte que 2f 0(x) � f (x) = 1. D’où, f 0(x) = 1=2f (x) = 1=2

px.

11. Si f (x) = 1=xn, la règle de dérivation du quotient donne

f 0(x) = (0 � xn � 1 � nxn�1)=(xn)2 = �nx�n�1;

qui est la règle de dérivation d’une puissance.


1. On a

[f (x + h) � f (x)]=h = [(x + h)2 � (x + h) + 2 � x2 + x � 2]=h= [2xh + h2 � h]=h = 2x + h � 1! 2x � 1 lorsque h! 0;

de sorte que f 0(x) = 2x � 1.

2. [f (x + h)� f (x)]=h = �6x2 + 2x � 6xh� 2h2 + h! �6x2 + 2x lorsque h! 0, desorte que f 0(x) = �6x2 + 2x.

3. (a) y 0 = 2, y 00 = 0.(b) y 0 = 3x8, y 00 = 24x7.(c) y 0 = �x9, y 00 = �9x8.(d) y 0 = 21x6, y 00 = 126x5.(e) y 0 = 1=10, y 00 = 0.(f) y 0 = 5x4 + 5x�6, y 00 = 20x3 � 30x�7.(g) y 0 = x3 + x2, y 00 = 3x2 + 2x.(h) y 0 = �x�2 � 3x�4, y 00 = 2x�3 + 12x�5.

4. Comme C 0(1 000) � C (1 001) �

CORRIGS DESE´ EXERCICES - Pearson · 1.1 1.a) Vrai. ((b) Faux, 5 etant´ inferieur´ a` 3, il est...

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