CORRIGE DES EXERCICES DU CHAPITRE 3 :

Cours/Ex3.1: Image d'un objet réel par une lentille convergente ou divergent Objet réel placé à gauche du foyer objet, tel que AF < f’ Construction : voir polycop Image réelle, inversée, agrandie. Application : projecteur de diapositives ou de cinéma Objet réel placé à gauche du foyer objet, tel que AF=f’ Image réelle, inversée, de même taille que l’objet. Application : photocopieuses. Objet réel placé à gauche du foyer objet, tel que AF>f’ Image réelle, inversée, réduite. Application : appareil photo, œil. Objet réel placé entre F et la lentille Image virtuelle, droite et agrandie. Application : loupe. Objet réel placé en F : Image à l’infini. Application : loupe. Cette configuration est plus confortable pour l’observateur utilisant une loupe.

A

B

A’

B’

F F’

O

F F’

A

B

A’

B’

O

F

F’ O A

B

A’

B’

F

F’ O

A’B’ à l’∞

A

B

Image d’un objet réel par une lentille divergente Quelle que soit la position de l’objet réel, l’image est toujours virtuelle, droite et réduite. 3.2 Image d'un objet virtuel par une lentille convergente ou divergente I. Lentille convergente a) -Objet virtuel à droite de F’ : Image réelle, droite, réduite -Objet virtuel en F’ :

Image réelle, droite, réduite

-Objet virtuel à gauche de F’ :

Image réelle, droite, réduite Donc, quelle que soit la position de l’objet virtuel, l’image par une lentille convergente est réelle, droite et réduite.

F

F’A

B

A’

B’

OF

F’A

B

A’

B’

A’

B’

A’

B’

O

FF’ A

B

A’

B’

OF

F’ A

B

A’

B’

A’

B’

A’

B’

O

F F’ O

A1 A1’ A2’ A3’

A2 A3

B1 B2 B3

B1’ B2’ B3’

FF’A

B

A’

B’

A’

B’

A’

B’

O

F

F’

A

B

OA’

B’

F

F’F’

A

B

OA’

B’

A’

B’

A’

B’

A

B

F’F

O A’

B’

A’

B’

A

B

F’F

O

b) Objet virtuel <=> 𝑂𝐴 > 0 Relation de conjugaison des lentilles =>: 𝑂𝐴′ = 1

!!!+ !

!"

𝑂𝐴′ est du signe de !!!+ !

!"

Lentille convergente ó f’>0 Donc 𝑂𝐴′ > 0 : image réelle II. Lentille divergente a) -Objet virtuel à droite de F Image virtuelle, inversée et agrandie

-Objet virtuel à gauche de F Image réelle, droite et agrandie b) Objet virtuel <=> 𝑂𝐴 > 0 Relation de conjugaison des lentilles => 𝑂𝐴′ = 1

!!!+ !

!"

𝑂𝐴′ est du signe de !!!+ !

!"

Lentille divergente ó f’<0 Donc 𝑂𝐴′ > 0 (image réelle) si objet virtuel entre O et F (0 < 𝑂𝐴 < −𝑓′) 3.3 Vision à l’aide d’une loupe 1,2,3) Cours

4) L’application de la relation de conjugaison des lentilles minces donne 𝑂𝐴! = !!!!!

!!"= −24

cm. L’image est située dans le demi-plan objet, elle est donc virtuelle.

II-5) Le grandissement vaut 𝛾 = !!!

!"= 4. L’image est quatre fois plus grande pour chaque

dimension transverse, soit 12x8 cm2. Elle est droite car γ>0.

F

F’

A

BA’

B’

OF

F’

A

BA’

B’

A’

B’

A’

B’

O

3.4 Image d'une diapositive sur un écran par une lentille convergente I. Introduction

a) L’objet est une diapositive : c’est un objet réel. L’image peut être recueillie sur un écran après la lentille : c’est une image réelle.

b) II. Etude qualitative

a) On veut montrer qu’il existe une valeur minimale Dmin de D en dessous de laquelle il est impossible de former l’image de l’objet.

On voit qualitativement sur le schéma précédent que D2 correspond à la plus courte distance objet-image. On peut voir qu’il s’agit du cas où O est au milieu du segment A2A2’. Raisonnement qualitatif : On considère qu’il n’existe qu’une distance minimum Dmin. Faisons l’hypothèse que dans cette configuration, la distance AO est différente de OA’. D’après le principe de retour inverse de la lumière, cela implique que si l’on place un objet C tel que CO = OA’, l’image C’ de C va se trouver à une distance de O telle que OC’ = OA. Cela signifie qu’il existe 2 positions différentes possibles pour l’objet tel que D = Dmin. C’est impossible puisqu’il n’existe qu’une configuration où D est minimum. Il faut donc, pour être dans la configuration où D est minimum, que AO = OA’, c'est-à-dire dans la configuration symétrique où Dmin=AO+OA’=2AO=4f’. b) Sur la figure précédente, on choisi de placer A3 tel que A3O = OA1’. Dans ce cas, on constate bien que OA3’= A1O (retour inverse de la lumière), et donc que D1 = D3. Pour toute distance D>Dmin, il existe ainsi 2 positions possibles pour l’objet par rapport à la lentille. III. Etude analytique a) On pose 𝑥 = 𝑂𝐴. Par la relation de Chasles, 𝑂𝐴! = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐴′ = 𝑥 + 𝐷 car 𝐴𝐴! > 0. La relation de conjugaison devient alors

F

F’ A1

B1

A1’

B1’

O

D1

A2

B2

A2’

B2’

A3

B3

A3’

B3’

D3 D2

1𝑥 + 𝐷 −

1𝑥 =

1𝑓′

En multipliant toute l’équation par le produit 𝑥 + 𝐷 . 𝑥. 𝑓′ , on obtient 𝑥𝑓! − 𝑥 + 𝐷 𝑓! = 𝑥(𝑥 + 𝐷)

ce qui donne l’équation quadratique recherchée après simplification. b) Cette équation quadratique n’admet de solution réelle (c.a.d l’existence d’images) que si son discriminant Δ est positif ou nul. On trouve 𝛥 = 𝐷 𝐷 − 4𝑓! . 𝛥 ≥ 0 que si D ≥Dmin= 4f’. c) Les deux positions de la lentille donnant une image réelle correspondent aux 2 racines réelles de l’équation quadratique : 𝑂𝐴 = (!!± !)

!!= !!± !

!, toutes deux négatives. Ces deux

positions de la lentille sont symétriques par rapport au centre du segment objet-écran. Cela se comprend très bien à partir du principe du retour inverse de la lumière. IV. Application à la mesure de la distance focale d’une lentille a) Les deux positions de la lentille ont pour expression : 𝑂𝐴 = (!!± !)

!!= !!± !

!

donc d = 𝑂𝐴! − 𝑂𝐴! = 𝛥 et 𝑑! = 𝐷(𝐷 − 4𝑓!), d’où 4𝐷𝑓! = 𝐷! − 𝑑! b) δ(D2-d2) = 2d δd car l’incertitude sur D étant négligeable, D peut être considéré comme constant. D’où la dernière colonne :

δ(D2-d2) (cm2)

480

549

498

535

512

588

c) Le graphe ne présente des barres d’incertitudes que en ordonnée.

d) Méthode des pentes extrêmes : Posons g(D) = D2-d2 La relation D2-d2 = 4Df’ nous dit que la fonction g(D) doit être une droite passant par l’origine, de pente p = 4f’. Le graphe précédent est bien une droite passant par l’origine. On a représenté sur ce graphe les deux droites de pentes minimale pmin et maximale pmax passant au mieux par les points expérimentaux en prenant en compte les barres d’incertitudes. On a alors comme meilleure estimation de la pente : p = (pmin+pmax)/2. Et comme estimation de l’incertitude sur cette pente : δp = (pmax-pmin)/2 On obtient pmin = 85.78 cm et pmax = 104.4 cm. Ce qui donne : f’ = 23.78 ± 2.33 cm, que l’on arrondit à : f’ = 23.8 ± 2.3 cm. Noter que l’on met toujours le même nombre de chiffres après la virgule pour le nombre et pour son incertitude, l’incertitude elle-même étant choisie comme ayant 1, voire 2 chiffres significatifs au maximum (ce qui traduit le fait que l’incertitude elle-même n’est pas connue avec précision).

0

5000

1 104

1,5 104

2 104

0 50 100 150 200 250

D (cm)

3.5 Système de deux lentilles minces accolées Il suffit d'appliquer 2 fois la formule de conjugaison, en confondant les centres optiques des deux lentilles. A à A’’ à A’ L1 :

!!!!!!

− !!!!

= !!!!

L2 : !

!!!!− !

!!!!!= !

!!! Lentilles accolées : O1~O2~O

=> L={L1 + L2} : !!"!

− !!"= !

!!!+ !

!!!= !

!!

3.6 Association de deux lentilles minces convergentes Si A"B" est à gauche de F2, l'image A'B' est réelle et droite (par rapport à AB).

Si L2 est avant A"B", A"B" est objet virtuel pour L2. L'image sera réelle dans tous les cas, et inversée.

A’’

B’’

F1

F1’

A

B

O1

L1

O

L2

F2

F2’ A’

B’

B

A’’

B’’

F1

F1’

A O1

L1

O

L2

F2 F2’ A’

B’

Si A"B" est entre F2 et O2, l'image A'B' est virtuelle et inversée

3.7 Correction d'un œil myope : écart de correction entre lunettes et lentilles

a) Le verre de lunette donne de l’objet à l’infini une image A1 située dans son plan focal image : 𝑂!𝐴! = 𝑓!! < 0 car la lentille est divergente. Cette image intermédiaire A1 est un objet pour l’œil. D’après Chasles, 𝑂!𝐴! = 𝑂!𝑂! +𝑂!𝐴! = −𝑑 + 𝑓!! d étant la distance entre la lentille-œil et la lentille-verre (d=O1O2=1cm). La position de l’image de A’ par la lentille-œil est donnée par la relation de conjugaison

1𝑂!𝐴′

−1

𝑂!𝐴!=

1𝑓′!

Cette image doit être sur la rétine donc 𝑂!𝐴′ = 22 mm. On en déduit f’1 = -21 cm. b) Idem avec O1O2 = 0 et donc f'1 = -22 cm.

O

L

F’ A

BF

oeil myope

objet à l’infini

A’’

B’’

F1

F1’

A

B

O1

L1

O2

L2

F2 F2’

A’

B’

3.8 Téléobjectif (cours-TP et ex 3.8) En TP : Champs de vue

A l’œil, derrière L1 Sur le capteur, avec l’obj. simple Sur le capteur, avec le téléobj.

Tableau récapitulatif (voir ci-dessous pour les calculs):

Objet à l’infini Objectif simple Téléobjectif

f'2 = 19,0±0,5 cm f'D = -20±5 cm

d = 19,2±0,5cm = f'2 d’ = 32,7±2 cm e = 8,3±0,5 cm

αœil = 26°=0,45rad A’B’ = 1 cm A’’B’’ = 2,3 cm

=> « zoom » du téléobjectif par rapport à l’objectif simple :

A’’B’’/A’B’ = 2,3

Encombrement et distance focale d’un objectif simple pour obtenir le même grossissement/taille d’image qu’avec le téléobjectif : f' = f’2*2,3 = 44 cm > d’

1) Objet à l’infini => A’B’ dans le plan focal image de L2 => d=f’2

Pour A’’B’’ soit une image réelle, il faut que la lentille D soit placée avant A’B’ (objet virtuel) et telle que A’B’ soit entre OD et FD.

2)

a. Grossissement de l’objectif simple On a : tan𝛼 = 𝐴!𝐵!

𝑓!!

Donc 𝛼 = tan!! 𝐴!𝐵!𝑓!!

Or 𝛼!"# = 𝛼 tel que : A’B’ = Lcapteur =24 mm

𝛼!"# = tan!! 𝐿!"#$%&'𝑓!!

= tan!! 24 190 = 7,2°

Pour petits angles, 𝛼!"# ~ 𝐿!"#$%&' 𝑓!!

b. 𝐺!"# =𝛼!"#$ 𝛼!"# ~

𝛼!"#$(𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑠)𝐿!"#$%&' × 𝑓!! =

26°7,2 = 3,6

(cohérent avec les champs de vue dessinés)

c. Grossissement du téléobjectif

𝐴′′𝐵′′𝑑! − 𝑒 =

𝐴′𝐵′𝑑 − 𝑒

𝛼 = tan!! 𝐴!𝐵!𝑓!!

= tan!! 𝑑 − 𝑒𝑑! − 𝑒×

𝐴′′𝐵!!𝑓!!

𝛼 = tan!!𝑓!! − 𝑒

𝑑! − 𝑒×𝐴′′𝐵!!

𝑓!!

d.

𝛼!é!é!"# = 𝛼 tel que : A’’B’’ = Lcapteur =24 mm

𝛼!é!é!"# = tan!! !!!!!!!!!

× !!"#$%&'!!!

= tan!! !"#!!"!"#!!"

× !"!"#

= 3,2°

𝐺!é!é!"#!"# =𝛼!"#$ 𝛼!é!é!"# ~

263,2~ 8,2

(cohérent avec les champs de vue dessinés) Remarque : On peut aussi exprimer 𝛼!é!é!"# en fonction des distances focales de chaque lentille et de leur distance, à partir de la relation de conjugaison : !

!!!!− !

!!!!!= !

!!!

𝑓!! − 𝑒𝑑! − 𝑒 = 1+

𝑓!! − 𝑒𝑓!!

𝛼 = tan!! 1+𝑓!! − 𝑒𝑓!!

×𝐴′′𝐵!!

𝑓!!

𝛼!é!é!"# = tan!! 1+ !!!!!!!!

× !!"#$%&'!!!

e. 𝐺!"#~𝛼!"#$

𝐿!"#$%&' × 𝑓!!

Donc l’encombrement de l’objectif simple serait de

𝑓! = 𝐺!"#×𝐿!"#$%&'

𝛼!"!"=8,2×240,45 ~ 437 𝑚𝑚

f’ > d’= 327 mm donc le téléobjectif est moins encombrant que l’objectif simple à grossissement égal.

rétine

A’

B’ A

B

F F’

3.9 Système optique afocal : la lunette de Galilée 1) E1E2 à l’infini à E1’E2’ dans le plan focal image de L1 Les étoiles E1 et E2 étant situées à l’infini, leurs images E’1 et E’2 sont situées dans le plan focal image de la lentille (E1’ = F1’). Comme E1 est sur l’axe de la lentille, E’1 l’est aussi et est donc confondu avec F’1. Ces images sont réelles car l’objectif est une lentille convergente, ces images sont situés après la lentille L1. E’1E’2 est une image inversée car et E2 et E’2 sont de part et d’autre de l’axe optique. 2) E1’E2’ dans le plan focal objet de L2 à E1’’E2’’ à l’infini Pour que E’’1 et E’’2 soient à l’infini, et faut que E’1 et E’2 soient dans le plan focal objet de l’oculaire (E’1 = F2 = F’1) qui est une lentille divergente. L’oculaire doit donc être placé à 2,8 cm à gauche du point foyer image F’1 de l’objectif (pour une lentille divergente, le foyer objet est à situé à droite de la lentille). 3) La taille de la lunette est la distance entre les centres des deux lentilles. Elle vaut :

d = O1O2 = O1F’1 + F’1O2 = O1F’1 + F2O2 = f’1 + f’2 = 16 – 2,8 = 13,2 cm. 4) E’1 et E’2 sont situés à droite de l’oculaire, ce sont donc des objets virtuels pour L2.

5) https://www.youtube.com/watch?v=GKIzJTYS0_M

6) L’image de E1 est centrée sur l’axe. Les rayons en provenance de E2 émergent de l’oculaire en se dirigeant vers le bas, comme ceux incidents sur la lunette. L’image observée est donc droite (s’ils sortaient en se dirigeant vers le haut, l’image serait inversée). L’œil normal n’a pas besoin d’accommoder pour observer un objet à l’infini. Il ne fatigue donc pas. 7) Dans le triangle O1E’1E’2, on trouve α ≈ tan α = E’1E’2/O1E’1. De même α’ ≈ tan α’ = E’1E’2/O2E’1 dans le triangle O2E’1E’2. Or O1E’1 = f’1 et O2E’1 = -f’2. On en déduit G = |α’/α| = | f’1 / f’2 |. A.N : G = 16/2,8 = 5,7. 3.10 Pouvoir séparateur de l'oeil 1 – Schéma de la situation : L’objet AB est au punctum proximum (AO = 25 cm – schéma pas à l’échelle). OA’=22mm. 2 - Les cônes qui tapissent la rétine ont un diamètre d’environ 4 microns. Pour pouvoir séparer les images de deux points, il faut que ces images impressionnent 2 cônes séparés par au moins un cône intermédiaire. La distance minimale entre les 2 points A’ et B’ est donc de 2+4+2=8 microns (voir schéma ci-dessous).

O

4 µm

B’

A’

α α

3.11 Mesure de l’indice d’un liquide à l’aide d’un réfractomètre 1) La distance source-lentille lorsque l’autocollimation est réalisée est la distance focale de la lentille.

2-a) L’angle d’incidence est nul, donc l’angle réfracté dans le liquide est nul également. Les rayon arrivent avec l’incidence il sur la face AC du prisme.

2-b) Les rayons doivent ressortir de la cuve parallèlement aux rayons incidents. Cela implique que les rayons réfléchis sur la face AB soient parallèles à ceux qui arrivent sur AB, et donc que les rayons incidents sur la face AB arrivent en incidence normale (angle 0).

2-c) Pour que la condition du 2-b) soit réalisée, il faut donc que l’angle que font les rayons réfractés dans le prisme avec la normale à la face AC soit alpha.

3-a) On a N = nF sin α / sin il

3-b) A .N . : N=1,6938

3-c) δN = nF sin α |cos il| / (sin il)^2 * δi . A. N. : δN = 0.0285 (en prenant δil en radians)

3-d) N=1,69±0.03