EPFLAlgbre linaire1re anne2006-2007

Corrig de la srie 1

Correction exercice 1Preuve de la Proposition 1.4. Soient z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 et z3 = a3 + ib3 des nombrescomplexes o a1, b1, a2, b2, a3 et b3 sont des nombres rels.

1.z1 + z2 = (a1 + ib1) + (a2 + ib2)

= (a1 + a2) + i(b1 + b2) par definition de la somme sur C= (a2 + a1) + i(b2 + b1) par commutativite de la somme sur R= z2 + z1

z1.z2 = (a1a2 b1b2) + i(a1b2 + b1a2) par definition du produit sur C= (a2a1 b2b1) + i(b2a1 + a2b1) par commutativite du produit sur R= z2.z1

2.

(z1 + z2) + z3 = [(a1 + ib1) + (a2 + ib2)] + (a3 + ib3)= [(a1 + a2) + i(b1 + b2)] + (a3 + ib3) par definition de la somme sur C= ((a1 + a2) + a3) + i((b1 + b2) + b3) par definition de la somme sur C= (a1 + (a2 + a3)) + i(b1 + (b2 + b3)) par associativite de la somme sur R= (a1 + ib1) + [(a2 + ib2) + (a3 + ib3)] par definition de la somme sur C= z1 + (z2 + z3)

La relation (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) se dmontre de manire similaire en utilisant lassocia-tivit du produit sur R.

3. Mme type de raisonnement en utilisant les lments neutres additifs et multiplicatifssur R.

4.(a1 + ib1) + (a1 ib1) = 0

5. Solution 1 : En utilisant des calculs similaires ceux des points prcdents. Solution 2 "conomique" : On sait que : z1.z1 = |z1|2 (voir Dfinition 1.5). Pour z1 6= 0,

on a |z1| 6= 0, par consquent :z1.

z1|z1|2 = 1

do w1 = z1|z1|2 .6. Mme type de raisonnement en utilisant la distributivit sur R.

Preuve de la Proposition 2.4 (2)Soit p un polynme coefficients rels et notons n son degr :

p(X) = a0 + a1X + . . .+ anXn

1

pour a0, a1, . . . , an des nombres rels. Le nombre complexe tant une racine de p, on a :

p() = a0 + a1+ . . .+ ann = 0.

En prenant le conjugu de cette galit, on obtient :

a0 + a1+ . . .+ ann = 0.

Par les points (5) et (6) de la Proposition 1.6 on obtient :

a0 + a1+ . . .+ ann = 0.

Or, pour un nombre rel , on a = , do :

a0 + a1+ . . .+ ann = 0.

La quantit de gauche ntant autre que p() on en dduit que est racine de p.

Correction exercice 2 Le principe gnral pour rsoudre ce type dexercice est dutiliser larelation z.z = |z|2 R afin davoir un nombre rel au dnominateur.

21 i3 =

2(1 + i3)(1 i3)(1 + i3) =

2 i231 + 3

= 12 i

3

2

1 + 2i

1 2i =(1 + 2i)2

(1 2i)(1 + 2i) = 3

5+ i

4

5

Correction exercice 3 Soit z = a+ ib, o a et b sont rels, une racine carre de 3 4i

z2 = (a+ ib)2 = (a2 b2) + 2abi = 3 4i

do {a2 b2 = 32ab = 4.

Daprs la deuxime quation du systme, a 6= 0, do b = 2aet donc, par la premire quation,

a2 4a2

= 3 et donca4 3a2 4 = 0.

Par un calcul de discriminant on obtient a2 = 4 (a2 tant un rel positif, la solution 1 estexclue) et donc a = 2 ou a = 2. On en dduit que les racines carres de 3 4i sont 2 i et2 + i.Par un calcul similaire on obtient que les racines carres de 24 10i sont 5 i et 5 + i.(On peut remarquer que si est une racine du polynme X2 = z, o z est un nombre complexe,alors est galement une racine.)

Correction exercice 4 Par la proposition 2.8, les racines du polynme p(z) = a0+a1z+a2z2sont

a1 a21 4a0a22a2

.

Il sagit donc, pour chacune des deux quations de lnonc, de calculer la racine carre dudiscriminant.

2

Pour la premire quation, par la mthode de lexercice prcdent, on calcule les racines carres, de z = 3 + 4i. On obtient : = 2 + i. Do les deux solutions de lquation :

3

2 1 1

2i et

3

2+ 1 +

1

2i.

Pour la deuxime quation, le discriminant du polynme de degr 2 en z2 est 12 = 12i2. Parconsquent, z2 = 13i. Par la mthode de lexercice prcdent, on calcule les racines carresde 13i. On obtient les solutions suivantes :

2

2+

6

2i, (

2

2+

6

2i),

2

26

2i,(

2

26

2i).

(On peut remarquer que le polynme est pair et appliquer le (2)b de lexercice 7 pour obtenirque si est une racine de P , , et sont galement racines de P .)

Correction exercice 5 1. On vrifie facilement que P (i) = 0.2. Daprs le point (2) de la Proposition 2.4, i est galement racine de P . Par consquent,

le polynme P est divisible par (X i)(X + i) = X2 + 1. En effectuant une divisioneuclidienne, (ou par identification) on obtient :

P (X) = (X2 + 1)(X2 2X + 2).

On vrifie que le discriminant des polynmes X2 + 1 et X2 2X + 2 est ngatif. On endduit que ces polynmes sont irrductibles sur R[X].

Correction exercice 6 1. On cherche les racines complexes du polynme. Le discriminantdu polynme de degr 2 en X2 est 3 = 3i2. On en dduit que z2 = 1

2

32i o z est une

racine de P . Il reste calculer les racines carres de 12

32i. On trouve les racines :

1

2+

3

2i, (1

2+

3

2i),

1

23

2i,(1

23

2i).

(On peut remarquer que le polynme est pair.)En notant = 1

2+

32i on en dduit la dcomposition suivante de P dans C[X| :

P (X) = (X )(X )(X + )(X + ).

Pour obtenir la dcompostion de P dans R[X] on regroupe les racines conjugues deux deux :

(X )(X ) = X2 2Re() + ||2 = X2 X + 1et

(X + )(X + ) = X2 + 2Re() + ||2 = X2 +X + 1do la dcomposition suivante de P dans R[X| :

P (X) = (X2 +X + 1)(X2 X + 1).

(On pourra comparer au nombre j introduit lexercice 7.)

3

2. On remarque que i (et donc aussi i par le point (2) de la Proposition 2.4) est racine deQ. On en dduit que :

Q(X) = (X2 + 1)(X4 X2 + 1).Par des calculs et raisonnements similaires ceux du point prcdent on obtient les racinesdu polynme X4X2+1 : , , et o =

32+ 1

2i. On en dduit la dcomposition

suivante de Q dans C[X| :

Q(X) = (X i)(X + i)(X )(X )(X + )(X + )

et la dcomposition suivante de Q dans R[X| :

Q(X) = (X2 + 1)(X2 +3X + 1)(X2

3X + 1).

Correction exercice 7 1. (a) |j| = 1(b) On obtient par calcul que j2 = 1

2 i

32

= j. On en dduit que :

j3 = j.j2 = j.j = |j|2 = 1

et1 + j + j2 = 1 + j + j = 1 + 2Re(j) = 0.

2. (a) On vrifie facilement que P (j) = 0, P (j) = 0 et P (j) 6= 0 o P (X) = 8X7 +12X5 + 12X3 + 4X et P (X) = 56X6 + 60X4 + 36X2 + 4. On en dduit que j estracine dordre 2 de P .

(b) Le polynme P tant pair (i.e. de la forme

a2nX2n) on a que si est une racine

de P alors est une racine de P . (Ce rsultat gnralise la remarque la fin dela correction de lexercice 3.)

(c) Par le point (2) de la Proposition 2.4 on a que j est racine dordre 2 de P . On dduit,alors, du point prcdent que j et j sont racines dordre 2 de P . Par consquent,on a la dcomposition suivante de P dans C[X| :

P (X) = (X j)2(X j)2(X + j)2(X + j)2.

Pour obtenir la dcompostion de P dans R[X] on regroupe les racines conjuguesdeux deux :

(X j)(X j) = X2 (j + j)X + j.j = X2 +X + 1

et(X + j)(X + j) = X2 + (j + j)X + j.j = X2 X + 1

do la dcomposition suivante de P dans R[X| :

P (X) = (X2 +X + 1)2(X2 X + 1)2.

4