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Corrigé DS1 sujet A Exercice 1 -‐ Fonctions – 4 points

g est une fonction définie par le graphique ci-‐contre. 1. Lire en faisant apparaître les pointillés de lecture : L’image de 6 est – 3

g(-‐1) = -‐ 2

Les nombres ayant pour image 1 sont 0 et 2,5

Les antécédents de -‐2 sont – 1 ; 4 ; 7

……………………………………………………………………….. 2. Citer un nombre qui n’a pas d’antécédent par g : -‐ 4 Exercice 2 -‐ Fonctions – 6 points

Voici un programme de calcul : • Choisir un nombre • Le tripler • Au résultat, retrancher le carré du nombre choisi.

On note 𝑓 la fonction qui au nombre choisi 𝑥 associe le nombre obtenu 𝑓(𝑥). 1. Déterminer l’expression de 𝑓(𝑥).

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 𝑥! 2. Compléter le tableau ci-‐dessous (en écrivant les calculs) :

𝑥 −1 0 1 2 3 4 𝑓(𝑥) -‐ 4 0 2 2 0 -‐ 4

𝑓 −1 = 3× −1 − −1 ! = −3 − 1 = −4 𝑓 3 = 3×3 − 3! = 9 − 9 = 0

𝑓 0 = 3×0 − 0! = 0 𝑓 4 = 3×4 − 4! = 12 − 16 = −4

3. Faire la représentation graphique de la fonction sur le graphique ci-‐dessous :

Exercice 3 -‐ Géométrie – 4,5 points

a) Prouver que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. Je sais que d’après le codage de la figure , les droites (A’B’) et (AA’) sont perpendiculaires, ainsi que les droites (AB) et (AA’) Or j’utilise la propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Je conclus que les droites (A’B’) et (AB) sont parallèles

b) Démontrer l’égalité : 𝒅𝒅!= 𝑨𝑩

𝑨!𝑩!

Je sais que les droites (AA’) et (BB’) sont sécantes en O et que les droites (AB) et (A’B’) sont

parallèles d’après la question précédente.

D’après le théorème de Thalès !"!"!

= !"!"!

= !"!!!!

soit 𝒅𝒅!= 𝑨𝑩

𝑨!𝑩!

c) Pour un certain appareil, 𝑑′ = 50 𝑚𝑚.

Un sapin d'une hauteur de 12 m se trouve à 15 m de l'objectif. Quelle est la hauteur de l'image qui

se forme sur la pellicule ?

D’après les informations de l’énoncé, AB = 12 m = 12000 mm d = 15 m = 15000 mm et d’ = 50 mm

Calculons la hauteur de l’image qui se forme sur la pellicule notée A’B’

𝒅𝒅!= 𝑨𝑩

𝑨!𝑩! avec les valeurs numériques 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎= 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎

𝑨!𝑩! soit 𝐴!𝐵! = !"###×!"

!"###= !"""""

!"###= !""

!"= 40

La hauteur de l’image recherchée est de 40 mm

Bonus (0,5 point) : Alors, le triangle A’OB’ est une réduction du triangle AOB de coefficient !!"" car

𝒅𝒅!= 𝑨𝑩

𝑨!𝑩!= 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎= 𝟑𝟎𝟎

Exercice 4 : Arithmétique – 5,5 points

1. Entourer toutes les bonnes réponses :

45 est un … multiple de 5 diviseur de 5 diviseur de 90

Les nombres 21 et 13 … n’ont aucun diviseur commun sont premiers entre eux sont des nombres

premiers

2. Une association organise une compétition sportive. 70 filles et 126 garçons se sont inscrits.

L’association veut former un nombre maximal d’équipes mixtes de même composition et de sorte que tous les inscrits participent. a. Combien y aura-‐t-‐il d’équipes ? Expliquer la démarche (on utilisera l’algorithme vu en classe). A l’aide de l’algorithme des soustractions successives, PGCD(70 ;126)= PGCD(126-‐70 ;70)=PGCD(56 ;70)=PGCD(14 ;56)=PGCD(42 ;14)=PGCD(28 ;14)=PGCD(14 ;14)=14 Le PGCD trouvé correspond au nombre maximal d’équipes que l’on peut former Conclusion : Le nombre maximal d’équipes mixtes est de 14 b. Quelle sera la composition de chaque équipe ?

70 ÷ 14 = 5 𝑒𝑡 126 ÷ 14 = 9 Chaque équipe sera composée de 5 filles et 9 garçons

3. On a l’égalité 722 = 54×13 + 20 a. 722 personnes vont en car au Bolchoï. Chaque car dispose de 54 places. Combien de cars faut-‐il prévoir ? Justifier. Avec 13 cars, d’après l’égalité précédente, seules 702 personnes pourraient faire la visite Il faut donc prévoir un car supplémentaire soit 14 cars. b. Même question avec des minibus de 13 places.

D’après l’énoncé, dans la division euclidienne de 722 par 13, 20 ne peut pas être le reste car 20>13. On doit écrire 722 = 13×55 + 7 .

A l’aide d’un raisonnement analogue à la question a. ,

il faudrait alors prévoir 56 cars

Corrigé DS1 sujet B Exercice 1 -‐ Fonctions – 4 points

h est une fonction définie par le graphique ci-‐contre. 1. Lire en faisant apparaître les pointillés de lecture : L’image de 0 est 1

h(5) = -‐ 3

Les nombres ayant pour image -‐2 sont -‐1 ; 4 ;7

Les antécédents de 1 sont 0 et 2,5

……………………………………………………………………….. 2. Citer un nombre ayant un antécédent par h : -‐ 4 Exercice 2 -‐ Fonctions – 6 points

Voici un programme de calcul : • Choisir un nombre • Prendre son carré • Au résultat, retrancher le triple du nombre choisi.

On note 𝑓 la fonction qui au nombre choisi 𝑥 associe le nombre obtenu 𝑓(𝑥). 1. Déterminer l’expression de 𝑓(𝑥). 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 3𝑥 2. Compléter le tableau ci-‐dessous (en écrivant les calculs) :

𝑥 −1 0 1 2 3 4 𝑓(𝑥) 4 0 −2 −2 0 4

𝑓 −1 = (−1)! − 3× −1 = 1 + 3 = 4 𝑓 3 = 3! − 3×3 = 9 − 9 = 0

𝑓 0 = 0! − 3×0 = 0 𝑓 4 = 4! − 3×4 = 16 − 12 = 4

3. Faire la représentation graphique de la fonction sur le graphique ci-‐dessous :

Exercice 3 -‐ Géométrie – 4,5 points

Voici un schéma du fonctionnement d'un

appareil photographique argentique : un objet

[AB] situé à une distance 𝑑 de l'objectif O a une

image [A'B'] située à une distance 𝑑′ de O.

a. Prouver que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.

Je sais que d’après le codage de la figure , les droites (A’B’) et (AA’) sont perpendiculaires, ainsi que les droites (AB) et (AA’) Or j’utilise la propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Je conclus que les droites (A’B’) et (AB) sont parallèles

b. Démontrer l’égalité : 𝒅𝒅!= 𝑨𝑩

𝑨!𝑩!

Je sais que les droites (AA’) et (BB’) sont sécantes en O et que les droites (AB) et (A’B’)

sont parallèles d’après la question précédente.

D’après le théorème de Thalès !"!"!

= !"!"!

= !"!!!!

soit 𝒅𝒅!= 𝑨𝑩

𝑨!𝑩!

c. Pour un certain appareil, 𝒅′ = 𝟓𝟎 𝒎𝒎.





D’après les informations de l’énoncé, AB = 12 m = 12000 mm d = 15 m = 15000 mm et d’ = 50 mm

Calculons la hauteur de l’image qui se forme sur la pellicule notée A’B’

𝒅𝒅!= 𝑨𝑩

𝑨!𝑩! avec les valeurs numériques 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎= 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎

𝑨!𝑩! soit 𝐴!𝐵! = !"###×!"

!"###= !"""""

!"###= !""

!"= 40

La hauteur de l’image recherchée est de 40 m

Bonus (0,5 point) : Alors, le triangle A’OB’ est une réduction du triangle AOB de coefficient !!"" car

𝒅𝒅!= 𝑨𝑩

𝑨!𝑩!= 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎= 𝟑𝟎𝟎

Exercice 4 : Arithmétique – 5,5 points

1. Entourer toutes les bonnes réponses :

35 est un … diviseur de 70 diviseur de 5 multiple de 5

Les nombres 17 et 25 … n’ont aucun diviseur commun

sont des nombres premiers sont premiers entre eux

2. Une association organise une compétition sportive. 189 filles et 105 garçons se sont inscrits.

L’association veut former un nombre maximal d’équipes mixtes de même composition et de sorte que tous les inscrits participent. a. Combien y aura-‐t-‐il d’équipes ? Expliquer la démarche (on utilisera l’algorithme vu en classe).

On utilise l’Algorithme des soustractions successives 189 – 105 = 84 105 – 84 = 21 84 – 21 = 63 63 – 21 = 42 42 – 21 = 21 21 – 21 = 0

Le PGCD de 189 et 105 est 21 Il correspond au nombre d’équipes mixtes que l’on peut former.

b. Quelle sera la composition de chaque équipe ?

189 ÷ 21 = 9 𝑒𝑡 105 ÷ 21 = 5 Chaque équipe sera composée de 9 filles et de 5 garçons

3. On a l’égalité 692 = 52×13 + 16 a. 692 personnes vont en car au Bolchoï. Chaque car dispose de 52 places. Combien de cars faut-‐il

prévoir ? Justifier. Avec 13 cars, d’après l’égalité précédente, seules 16 personnes ne pourraient pas faire la visite Il faut donc prévoir un car supplémentaire soit 14 cars.

b. Même question avec des minibus de 13 places.

Cette fois , 13 est le diviseur. D’après l’énoncé, le reste de la division euclidienne de 692 par 13 est 16.

Or ceci est impossible puisque 16>13

Donc on écrit : 692 = 53×13 + 3 et avec un raisonnement identique à la question a. ,

il faudrait alors prévoir un car supplémentaire soit 54 cars

Corrigé’DS1sujet’A’ Exercice’1’4’Fonctions’–’4’points 1. en...

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